ch1偏微分方程第一章

AB
x1 x2
下面利用 Fourier 热力学定律和能量守恒定律来建 立热传导方程。
由Fourier 热力学定律，单位时间单位面积内通过A 端的热量为
Qx1
=
−k ∂u ∂n
x= x1
=
−k∇u1, t ) ∂x
单位时间单位面积内通过 B 端的热量为
Qx2
=
−k
∂u ∂n
各点的运动方向垂直于最初的平衡位置. “微小的”是 指弦上各点的位移与弦的长度相比很小, 弦的纵向伸 长可以忽略不计. y 考虑一根拉紧的长为l 的弦，线密度ρ , 以弦的平衡 位置所在直线为 x 轴，并以弦的左端点为坐标原 点，则右端点的坐标为 l。求它在平衡位置附近做微 小的横向振动的规律。
动量守恒律
在从事热流动的研究中，1822年发表了《热的解析 理论》，在文章中他提出了三维空间的热传导方程，也 就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展 的影响是很大的。
1.4 偏微分方程的发展
现在偏微分方程相关理论及其方法已经应用到各个 自然科学，工程技术领域和社会科学领域中。
由于其特殊的地位，偏微分方程现在是数学领域中 最活跃，最核心的领域之一。在菲尔兹奖获得者中与 偏微分方程研究相关的，就有十位左右的数学家。
∫ ∫t2
b
F ( x,t)dxdt
t1 a
由动量守恒律有
∫b a
ρ
(
ut
(
x,
t2
)
−
ut
(
x
,
t1
)
)
dx
∫ ( ) ∫ ∫ =
T t2
t1
ux (b, t) − ux (a,t)
dt +
t2 t1
b
F ( x,t)dxdt
a
由Newton-Leibnitz 公式，有
ρutt ( x,t) = Tuxx ( x,t) + F ( x,t),
(4). (ut )2 + (ux )2 = u2
拟线性PDE: 在非线性方程中, 如果关于未知函数的 所有最高阶偏导数是线性的. 例如：
(1 + u2y )uxx − 2uxuyuxy + (1 + ux2 )uyy = 0
utt − uxx + u3 = 0
ut + uux + uxxx = 0 拟线性PDE的一般形式：
y T 在[ t1, t2 ]内产生的冲量：
∫ ( ) T t2 t1
ux (b,t) − ux (a,t)
dt
y [ a, b ]的动量变化为：
∫b a
ρ
(
ut
(
x
,
t2
)
−
ut
(
x,
t1
))
dx
y 在点 x 处 t 时刻外力密度为F(x, t), 则F(x, t)在微弦段
[ a, b ]上[ t1, t2 ]内产生的冲量
utt − uxx + u3 = 0 ut + uux + uxxx = 0
半线性PDE的一般形式：
∑ aα ( x)Dα u + b( x, u, Du, Dm−1u) = 0,
|α |= m
其中 Dα
=
∂α ∂x1α1 ∂xnαn
, Dk u = (Dα u :| α
|=
k ).
1.5 叠加原理
即弦振动方程 (又称为一维波动方程) utt ( x, t ) − a2uxx ( x, t ) = f ( x, t ),
其中 f ( x,t ) = F ( x,t ) / ρ 表示单位质量所受的力。
二维、三维波动方程的形式分别为
( ) utt = a2 uxx + uyy + f ( x, y, t), ( ) utt = a2 uxx + uyy + uzz + f ( x, y, z, t ).
偏微分方程
主讲：赵志红
本课程要求
y 平时成绩占30分，期末考试占70分； y 每周周一交作业，由课代表课前收齐放到讲台上 y 答疑安排：双周周一晚7：00-9：00，学楼103 y E-mail: zzh_math@
第一章 方程的导出及定解问题 的提法
y 基本概念 y 几个经典方程 y 定解问题
以二阶线性偏微分方程的为例来说明叠加原理.
偏微分方程可用偏微分算符来表示.
一般含n个自变量的二阶线性偏微分方程可写为以 下形式：
∑ ∑ n aij
i, j=1
∂2u ∂xi∂x j
+
n
bi
i =1
∂u ∂xi
+ cu =
f
∑ ∑ 引入以下算符
L=
n
aij
i , j=1
∂2 ∂xi∂x j
+
n
bi
i =1
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数 学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方 法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日 也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容.
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数 学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物 理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家 傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
x= x2
=
−k∇uin( x2 )
=
−k
∂u( x2 , t ) ∂x
在 dt 时段内通过A, B的两端流入的热量
dQ1
=
(Qx1
−
Qx2
)dt
=
k( ∂u( x2 ,t ) ∂x
小结
叠加原理使得以后在使用分离变量法时能够将分离 变量法得到的线性无关的解叠加在一起, 然后去构造 原问题的解.
二、几个经典方程
y 波动方程 y 均匀弦的微小横振动方程 y 推广
y 热传导方程 y 一维热传导方程 y 推广
y 稳定场方程
2.1 弦振动方程 y 弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。 y 振动特性：微小的、横向振动：在一个平面内弦上
1.3 偏微分方程的起源
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的 著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久， 法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中 提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多 大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成 的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同 的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了 偏微分方程这门学科。
3. 两个非齐次方程的解的线性组合为一个新的非齐次方 程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。
若 L u1 = f1 ， L u2 = f2， 则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2
线性方程的叠加原理
设ui (i = 1, 2, 3, ) 满足方程 Lui = fi (i = 1, 2, 3, ), 的解，ci (i = 1, 2, 3, ) 为常数，而级数
总结
建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观 事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓住事物发展 的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化。
在上面的推导过程中，我们作了一些假设。 ¾弦是完全柔软的，张力才会沿着弦的切线方向；
¾弦的横振动是很小的, 所以才可用sinθ 代替 tanθ .
¾弦的纵向伸长可以忽略不计，不然各点张力的不同，
千禧年大奖难题，又称世界七大数学难题，其中之 一就是纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在 性与光滑性。
偏微分方程: Partial Differential Equation (PDE)
PDE的阶 所含有的未知函数最高阶导数的阶数. m = m1 + m2 + + mn
古典解 是指满足方程，并且在所考虑的
j=1
主部
,
∂u xn ) ∂x j
+
c( x1,
, xn )u = f ( x1,
, xn )
其中aij ,bj ,c, f 是给定的函数.
线性PDE的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分.
常系数线性PDE: 齐次线性PDE:
系数aij ,bj ,c均为常数. 否则称为变系数的PDE． f ≡ 0. 否则称为非齐次的．
PDE的解
区域内有m阶连续偏导数的函数.
广义解 (弱解)
PDE的分类 线性PDE 非线性PDE
半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE
线性PDE： PDE中关于未知函数及其各阶偏导数都 是线性的。例如：
∑ ∑ n aij ( x1 ,
i , j=1
∂2u , xn ) ∂xi∂x j
+
n
bj ( x1,
∞
∑ u = ciui i =1
一致收敛且能够逐项微分两次，则u满足方程
Lu = f ,
∞
∑ 此处要求级数 f = ci fi 一致收敛。 i =1
特别是，如果 ui (i = 1,2,3, ) 是二阶线性齐次方程 Lu = 0
∞
∑ 的解, 则只要 u = ciui 一致收敛，且可以逐项微分两次, i =1 则u一定也是此方程的解.
t2时的动量- t1时的动量=[t1, t2]内外力产生的冲量
取弦的平衡位置为ox 轴，运动平面为 xou
在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t)
o
a, b两点受力图示
利用微元法建立方程：
在任一时刻 t，任取一小段弦 [a,b], 它弧长为
∫ ∫ s =