函数、不等式恒成立问题完整解法
函数、不等式恒成立问题全方位总结
总结高中阶段出现的这类问题的类型,形成完整;
即2 (2
三.
某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主
换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到
例
若所给不等式进行合理的变形化为(或
函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.
)在点
成立,得即可;
1,
高中数学丨解题技巧「不等式恒成立」问题的8种解决策略分享
高中数学丨解题技巧「不等式恒成立」问题的8种解决策略分
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不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．纵观历年高考数学压轴题，无一不是涉及有关不等式恒成立、求参数取值范围的问题。
这类题型意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考察的核心素养是逻辑推理、数学运算考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．
恒成立与有解问题的解决策略大致分四类：
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
这里对这一类问题整理了八种方法解决不等式恒成立问题，同学们可以收藏或打印一份，word打印版在文末获取。
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很多时候，我们认为努力是好的，对么？显然不对，努力的方向，如果与你的目标背道而驰，其实就是在做负功清北总结出高中《一体化学习法》课程，
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不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题经典教程
不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
27用含参不等式恒成立问题的解法
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
................
(*)
（1）当| x | ≤2，不等式恒成立，求实数m的取值范围 ；
求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
（2）当| m | ≤2，不等式恒成立，求实数x的取值范围 .
变更“主元” 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m∈[-2,2]）法
（Ⅱ）{a|a≥-4}
练 习
设f（x）=x2-2ax+2（a∈R），g（x）=lgf（x） （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围； （2）若g（x）的值域为R，求a的取值范围； （3）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（1）{a|-2≤a≤1}； （2）{a|a≥ 或a≤2 }2
例1：已知关于x的不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 2 ( a 2) 4( a 2) 0
练 已知不等式x2+mx＞4x+m-4． 习 （1）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x≤1的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （1）实数x的取值范围为：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）； （2）实数m的取值范围是：{m|m＜4}． 求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
f 0 ＞0 则 f 4 ＞0
函数不等式恒成立问题解法
函数不等式恒成立问题解法函数和不等式是数学中的重要概念和工具，有着广泛的应用。
在解决函数和不等式恒成立的问题时，通常可以采用以下一些基本的解法。
一、函数恒成立问题的解法：1.分析函数的定义域和值域：函数的定义域是所有满足函数定义的输入值的集合，值域则是函数的所有可能输出值的集合。
通过分析函数的定义域和值域，可以判断函数在一些特定范围内是否恒成立。
2.化简和变形：有时候可以通过对函数进行化简和变形来更方便地判断函数的恒成立性。
例如，对于分式函数，可以尝试化简分式，然后观察化简后的形式是否恒成立。
对于多项式函数，可以通过因式分解或配方法进行化简和变形。
3.列出函数的性质和特点：函数有很多性质和特点，例如奇偶性、周期性、增减性等。
通过分析函数的性质和特点，可以判断函数在一些特定条件下是否恒成立。
4.利用函数的图像和性质：通过绘制函数的图像，可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。
对于一些特殊类型的函数，如三角函数和指数函数，可以利用函数的图像和性质来判断函数是否恒成立。
二、不等式恒成立问题的解法：1.利用性质和等价变形：不等式有一些基本性质和等价变形，如加减性、乘除性、取反性、平方性等。
通过利用这些性质和等价变形，可以将原不等式转化为等价的不等式，然后判断等价不等式的恒成立性。
2.化简和变形：和函数恒成立问题类似，有时候可以通过对不等式进行化简和变形来更方便地判断不等式的恒成立性。
例如，可以合并同类项、化简分式、配方等。
3.列出不等式的性质和特点：不等式也有一些性质和特点，如单调性、对称性、周期性等。
通过分析不等式的性质和特点，可以判断不等式在一些特定条件下是否恒成立。
4.利用数轴和区间：对于一元不等式，可以利用数轴和区间的表示法来帮助我们理解和解决不等式。
可以将不等式中的变量表示在数轴上，并根据不等式的性质和条件，确定变量可取的范围和解集。
以上是一些常见的解决函数和不等式恒成立问题的基本方法和思路。
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
关于不等式恒成立问题的几种求解方法不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。
这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。
下面我们一起来探讨其中一些典型的问题一、一次函数型――利用单调性求解例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。
若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。
这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。
能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将m 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于?。
?，或）可合并成同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;若改为：,构造函数，画出图象，得a。
高中数学核心考点：解不等式恒成立问题10种方法
函数中“恒成立”问题求解对策十种本文对此类问题的解题技巧，仅介绍几种常用的方法，供学习参考。
一. 利用函数思想例 1.已知，当时，f（a）恒为正数，求a的取值范围。
分析：从表面结构看f（a）是一个以为变量的二次函数，而实质是变量x的一次函数，因此可构造x的一次函数求解。
解：原式变形为因为在区间上恒正，所以，即且解得二. 分离参数法例 2.设，如果对满足的x，y，不等式恒成立，求r的取值范围。
解：令因为，故不妨设，代入得上式对内的一切都成立，故对上述区间内的的最小值也成立因为所以所以当时等号成立（因为，所以）所以的最小值是所以三. 判别式法例 3.已知函数在其定义域内恒为非负，求方程的根的取值范围。
解：因为f（x）恒为非负，则解得，方程化为当时，则所以所以当时，则所以所以方程的根的取值范围是四. 利用函数的单调性例4.已知不等式，对一切大于1的自然数n 恒成立，试确定参数a的取值范围。
分析：显然，只需令函数的最小值不小于即可。
解：设因为所以f（n）是增函数，所以，且时，要使对一切大于1的自然数n恒成立必须有所以因为所以解得即a的取值范围是五. （1）利用一元不等式在区间上恒成立的充要条件例5.已知（其中a为正常数），若当x在区间［1，2］内任意取值时，P的值恒为正，求b的取值范围。
解：P变形为设因此，原题变为当t在区间［0，1］内任意取值时，f（t）恒为正，求b的取值范围。
由充要条件，当（1）或（2）时恒为正解（1）得解（2）得故，当时，当（2）利用一元二次不等式在区间上恒成立的充要条件。
例6.已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在上是增函数，对任意实数，问是否存在这样的实数m，使得对所有的都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：因为f（x）为奇函数，且在上是增函数所以f（x）在上为增函数，且由，得，即，由此原不等式可化为于是问题可化为：当时，不等式是否成立。
依充要条件有：（1）或（2）或（3）解（1）得解（2）得实数m不存在解（3）得综上，当时，使得不等式对所有的都成立。
不等式恒成立问题的处理
不等式恒成立问题的处理王 婷恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③ 其他类不等式恒成立一、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于⎨⎧>0)(m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1．对任意]1,1[-∈a ，不等式)4(2-+x a x 分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。
解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。
当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。
当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或。
故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。
注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 。
练习：对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。
解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.二、 二次函数型（1）当二次函数的定义域为R 时： 若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a 若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)小于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆<00a例1.若函数y =R 上恒成立，求m 的取值范围。
谈不等式恒成立问题的基本类型和常见解法
2013.NO19 2学，都很有兴趣地、积极地、独立地、较好地去完成;通过对作业的完成，他们都能清楚地把握当前身边的——些个体商贩盈利或亏损的原因，并且在讲评课上，他们都能有理有据地说出自己设计的经营方案盈利的可能性。
这—方面利于学生掌握数学知识，同时对他们对生活认识的加深、数学学习兴趣的增强、自信心的养成等等的作用都是不言而喻的。
三、改变数学课外作业的评价方式，发展学生的情感态度和个性品质学生是发展的人，是教育活动的主体，其身心发展具有巨大的发展潜能。
如何去开发学生数学学习的潜能，培养学生积极的态度和情感是一项复杂的工程。
前面所述的各种形式的数学课外作业都能有效地培养学生的态度和情感，但老师对数学课外作业的评价对学生态度、情感的培养，乃至个性品质的形成更为重要。
因为，评价是学生认识自我，建立自信心的最主要的因素。
斯金纳的教学理论就指出“要充分运用积极有效的强化手段，要及时总结，及时讲评，使学生及时知道自己的学习效果，强化正确的学习行为。
传统的数学课外作业的评价方式是采用分数或等级来甄别学生学习的优劣，这种简单的方式不能达到有效强化的目的，容易使那些原来充满学习热情的学生开始怀疑起自己的能力，变得越来越不自信。
长此以往，容易造成部分学生原有的学习热情和愿望一点点消失。
因此，必须改变评价方式。
在对学生数学课外作业的评价时，我不仅仅关注某次学生作业的结果或作品的优劣，更关注他们在整个学习过程中表现出来的情感和态度，努力去发现他们的“好”的方面，通过变化多样的教师个性评语;教师评价与学生自评、互评相结合;书面材料与对学生口头报告、活动、展示的评价相结合;定性评价与定量评价相结合;以定性评价为主等形式加以鼓励、表扬和肯定，让学生看到自己的长处和进步，帮助学生认识自我，建立自信，使学生认识到数学有趣，使他们在数学学习的过程中逐步对数学产生积极的情感和态度，并从中悟出一些对做人和生活有帮助的道理，进而形成良好的个性品质。
函数、不等式恒成立问题解法
1函数、不等式恒成立问题解法恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
八种解法解决不等式恒成立问题
八种解法解决不等式恒成立问题1最值法例1．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（I ）试确定b a ,的值；（II ）讨论函数)(x f 的单调区间；（III ）若对于任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．分析：不等式22)(c x f -≥恒成立，可以转化为2min 2)(c x f -≥解：（I ）（过程略）3,12-==b a ．（II ）（过程略）函数)(x f 的单调减区间为)1,0(，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞． （III ）由（II ）可知，函数)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值．要使22)(c x f -≥（0>x ）恒成立，只需223c c -≥--，解得23≥c 或1-≤c ． 所以c 的取值范围为),23[]1,(+∞⋃--∞．评注：最值法是我们这里最常用的方法．a x f ≥)(恒成立a x f ≥⇔)(min ；a x f ≤)(恒成立a x f ≤⇔)(max ．2分离参数法例2．已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(22（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若不等式e n a n ≤++)11(对于任意*∈N n 都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值．分析：对于（II ）不等式e na n ≤++)11(中只有指数含有a ，故可以将函数进行分离考虑． 解：（I ）（过程略）函数)(x f 的单调增区间为)0,1(-，)(x f 的单调减区间为),0(+∞（II ）不等式e n a n ≤++)11(等价于不等式1)11ln()(≤++n a n ，由于111>+n ，知1)11ln()(≤++na n n n a -+≤⇔)11ln(1；设x x x g 1)1ln(1)(-+= ]1,0(∈x ，则221)1(ln )1(1)(x x x x g +++-=')1(ln )1()1(ln )1(2222x x x x x x ++-++=． 由（I ）知，01)1(ln 22≤+-+x x x ，即0)1(ln )1(22≤-++x x x ；于是，0)(<'x g ]1,0(∈x ，即)(x g 在区间]1,0(上为减函数．故)(x g 在]1,0(上的最小值为12ln 1)1(-=g ． 所以a 的最大值为12ln 1-． 评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当]2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f x x g a log )(=在]2,1(∈x 观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数2)1()(-=x x f 与函数x x g a log )(=在(∈x 图象（如右），从图象中容易知道：当0<a )(x g 上方，不合题意；当1>a 且]2,1(∈x 或部分点重合，就必须满足12log ≥a ，即21≤<a ．故所求的a 的取值范围为]2,1(．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法． 4 变更主元法例4．对于满足不等式11≤≤-a 的一切实数a ，函数)24()4(2a x a x y -+-+=的值恒大于0，则实数x 的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以x 为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于0对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设)44()2()(2+-+-=x x a x a f ，]1,1[+-∈a ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立的问题． 故应该有⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(f f ，解得1<x 或3>x ． 所以实数x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃-∞．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设0a 是常数，且1123---=n n n a a （*∈N n ）．（I ）证明：对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-． （II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意1≥n 有1->n n a a 求出0a 的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I ）递推式可以化归为31)3(32311+-=--n n nn a a ，]51)3[(3251311--=---n n n n a a ，所以数列}513{-n n a 是等比数列，可以求得对于任意1≥n ，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-． （II ）假设对于任意1≥n 有1->n n a a ，取2,1=n 就有⎩⎨⎧>=->-=-0603101201a a a a a a 解得3100<<a ； 下面只要证明当3100<<a 时，就有对任意*∈N n 有01>--n n a a 由通项公式得011111215)1(2)1(332)(5a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅-+⋅-⋅+⋅=------当12-=k n （*∈N k ）时，02523322152332)(511101111=⋅-⋅+⋅>⋅⋅-⋅+⋅=--------n n n n n n n n a a a当k n 2=（*∈N k ）时，023*********)(51101111=⋅-⋅>⋅⋅+⋅-⋅=-------n n n n n n n a a a ，可见总有1->n n a a ． 故0a 的取值范围是)31,0(评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法． 6分段讨论法例6．已知2)(--=a x x x f ，若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围． 解：（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈（ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x -＜a ＜2+x x ， 令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x=-∈=+∈ 则221)(xx g +='＞0，∴()g x 是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==- 221)(xx h -='＜0，∴()h x 是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h == 此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3） ．例7．若不等式032>+-ax x 对于]21,21[-∈x 恒成立，求a 的取值范围． 解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对x 进行分段讨论，当0=x 时，不等式恒成立，所以，此时R a ∈； 当]21,0(∈x 时，不等式就化为x x a 3+<，此时x x 3+的最小值为213，所以213<a ； 当)0,21[-∈x 时，不等式就化为x x a 3+>，此时x x 3+的最大值为213-，所以213->a ； 由于对上面x 的三个范围要求同时满足，则所求的a 的范围应该是上三个a 的范围的交集即区间)213,213(- 说明：这里对变量x 进行分段来处理，那么所求的a 对三段的x 要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在),0(+∞的函数)(x f 满足)()()(xy f y f x f =+，且1>x 时不等式0)(<x f 成立，若不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对于任意),0(,+∞∈y x 恒成立，则实数a 的取值范围是＿＿＿．解：设210x x <<，则112>x x ，有0)(12<x x f ．这样，0)()()()()()()()(121112111212<=-+=-⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ，则)()(12x f x f <，函数)(x f 在),0(+∞为减函数． 因此)()()(22a f xy f y x f +≤+⇔)()(22xy a f y x f ≤+⇔xy a y x ≥+22xy y x a 22+≤⇔；而2222=≥+xy xyxy y x （当且仅当y x =时取等号），又0>a ，所以a 的取值范围是]2,0(．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式012>++ax ax 对于任意R x ∈恒成立．则实数a 的取值范围是＿＿＿． 分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意R x ∈恒成立，可以选择判别式法．解：当0=a 时，不等式化为01>，显然对一切实数恒成立； 当0≠a 时，要使不等式012>++ax ax 一切实数恒成立，须有⎩⎨⎧<-=∆>0402a a a ，解得40<<a ．综上可知，所求的实数a 的取值范围是)4,0[．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于x 的不等式ax xx x ≥-++232525在]12,1[∈x 上恒成立，求 实数a 的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵]12,1[∈x ，∴不等式可以化为a x x x x ≥-++5252；下面只要求x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值即可，分段处理如下．当]5,1[∈x 时，x x x x f 256)(2++-=，223225622562)(x x x x x x f -+-=-+-='，再令2562)(231-+-=x x x f ，0126)(21=+-='x x x f ，它的根为2,0；所以在区间)2,1[上有0)(1>'x f ，)(x f 递增，在区间]5,2(上有0)(1<'x f ，)(x f 递减，则就有2562)(231-+-=x x x f 在]5,1[∈x 的最大值是017)2(1<-=f ，这样就有0)(<'x f ，即)(x f 在区间]5,1[是递减．同理可以证明)(x f 在区间]12,5[是递增；所以，x x xx x f 525)(2-++=在]12,1[∈x 时的最小值为10)5(=f ，即10≤a ． 技巧解：由于]12,1[∈x ，所以，25225≥+xx ，052≥-x x 两个等号成立都是在5=x 时；从而有10525)(2≥-++=x x x x x f （5=x 时取等号），即10≤a ． 评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。
不等式恒成立问题方法完美归纳教师版
不等式恒成立与有解问题解法归纳一、分离变换法： （一）分离参数法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，即分离参数法。
基本步骤为：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论. 分离参数法有以下几种类型： I.常规法分离参数所谓常规法分离参数，就是通过解不等式或解方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数取值范围。
例、若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)【解析】f′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518【例】已知函数H (x )＝ln x x －λ()x 2－1，若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0，求实数λ的取值范围．【分析】H (x )≤0＝H (1)恒成立转化为H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0恒成立，再分离参数求解【解析】设函数H (x )＝ln x x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立．又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x ≤2λ恒成立时， 函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln xx 2≤0，所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增． 于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意； 当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增． 于是当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意； 【变式训练】1、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．2、设124()lg ,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
数学不等式的恒成立问题的解决方法
数学不等式的恒成立问题的解决方法下面和小编一起来看看高中数学不等式的恒成立问题的解决方法。
1、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时，常用分离参数法.例1已知函数(为常数)是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数. (Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解析：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则;若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.2、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.3、最值法当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解.例4 已知函数(Ⅰ)当时，求的单调区间;(Ⅱ)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解(Ⅱ)当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，;当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例5 对于任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立，求实数a的取值范围分析①：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解. 解法1：设f(x)=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,(x≤1)3，(-12) ∴f(x)min=3. ∴a<3.分析②：利用绝对值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解f(x)=│x+1│+│x-2│的最小值.解法2：设f(x)=│x+1│+│x-2│，∵│x+1│+│x-2│≥│(x+1)-(x-2)│=3，∴f(x)min=3. ∴a<3.分析③：利用绝对值的几何意义求解.解法3：设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│>3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a<3时，│PA│+│PB│>a恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│>a 恒成立.∴实数a的取值范围为(-∞，3).点评：求"恒成立问题"中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正(负)的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象. 从图象上直观得到04、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如;例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重
要！
方法一：分离参数法
解析：分离参数法适用的题型特征：
当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，
并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，
则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，
将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，
若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min 方法二：变换主元法(也可称一次函数型)
解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，
把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，
则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：
题目有两个变量，
且已知取值范围的变量只有一次项，
这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法
解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分
析
1，判断二次函数的开口方向
2，二次函数的判别式是大于0还是小于0
3，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性
方法四：判别式法
解析：不等式一边是分式，
且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，
利用判别式法可以快速的解题，
分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法
解析：不等式两边是两个函数，
且含有参数时，我们可以分出出参数，
构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。
平时练习过程中，应注意观察，总结！。
恒成立能成立问题总结详细
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 假设不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g解得231271+<<+-x ，所以x 的围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)假设不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，数a 的取值围。
〔2〕对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值围。
〔答案：或〕〔二〕构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
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函数、不等式恒成立问题完整解法
恒成立问题的基本类型：
类型1：设，<1）上恒成立
；<2）上恒成立。
类型2：设
<1）当时，上恒成立
，
上恒成立
<2）当时，上恒成立
上恒成立
类型3：。
类型4：
恒成一、用一次函数的性质
对于一次函数有：
例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范
围。
解读：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：
，；令，则时，
恒成立，所以只需即，所以x的范围是。
二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数有：
<1）上恒成立；
<2）上恒成立
例2：若不等式的解集是R，求m的范围。
解读：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
<1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
<2）时，只需，所以，。
三、利用函数的最值<或值域）
<1）对任意x都成立；
<2）对任意x都成立。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3：在ABC中，已知恒
成立，求实数m的范围。
解读：由
，
，恒成立，，即
恒成立，
例4：<1）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解读：因为函，显然函数有最
大值，。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：
<2）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解读：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变
化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。
利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
例5：已知，求实数a的取值范围。
解读：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由
得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数
在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在
在区间对应图象的上面即可。
当才能保证，而才可以，所以。
例6：若当P(m,n>为圆上任意一点时，不等式
恒成立，则c的取值范围是< ）
A、 B、
C、 D、
解读：由，可以看作是点P(m,n>在直线的右侧，而点
P(m,n>在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与
它相离或相切。
，故选D。
同步练习
1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。
分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒
成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。
解：如果时，恒有意义，对恒成立.
恒成立。
令，又则对
恒成立，又在上为减函数，
，。
2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式
对于任意恒成立，求实数的取值范围。
分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为
对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。
解：是增函数对于任意恒成立
对于任意恒成立
对于任意恒成立，令，
，所以原问题，又即
易求得。
3、已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值
范围。
方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围<x R）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。
解：原不等式
当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立
设则
∴
方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。
解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为
a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1],
不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t[-1,1]恒成立。
设f(t>= 2t2-4t+4-a，显然f(x>在[-1，1]内单调递减，f(t>
=f(1>=2-
min
a,2-a>0a<2
4、设f(x>=x2-2ax+2,当x [-1,+>时，都有f(x>a恒成立，求a的
取值范围。
分析：在f(x>a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。
解：设F(x>= f(x>-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ>
当=<-2a）2-4(2-a>=4<a-1>(a+2><0时，即-2<a<1时，对一切
x [-1,+>，F(x> 0恒成立；
ⅱ）当=4<a-1>(a+2> 0时由图可得以下充要条件：
即
得-3a-2。
综上所述：a的取值范围为[-3，1]。
5、、当x(1,2>时，不等式(x-1>2<log
a
x恒成立，求a的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。
解：设T
1:=,T
2
:,则
T
1
的图象为右图所示的抛物线，要使对一切
x (1,2>,<恒成立即T
1
的图象一定要
在T
2
的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只
需
故log
a
2>1,a>1,1<a 2.
6、、已知关于x的方程lg(x2+20x>-lg(8x-
6a-3>=0有唯一解，求实数a的取值范围。
分析：原方程可化成lg(x2+20x>=lg(8x-6a-3>,从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
解：令T
1：y
1
= x2+20x=<x+10）2-100, T
2
：
y 2=8x-6a-3,则如图所示，T
1
的图象为一抛物线，
T
2
的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直
线，要使T
1和T
2
在x轴上有唯一交点，则直线必
须位于l
1和l
2
之间。
<包括l
1
但不包括l
2
>
当直线为l
1
时，直线过点<-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=。
当直线为l
2时，直线过点<0，0），纵截距为
-6a-3=0，a=∴a 的范围为[，）。
7、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个变量：x 、P,并且是给出了p 的范围要求x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题。
解：原不等式可化为 (x-1>p+x 2-2x+1>0,令 f(p>= (x-1>p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p>>0在p ∈[-2,2]上恒成立，故有：
方法一
：
或
∴x<-1或
x>3.
方法二：即
解得：
∴x<-1或x>3.。