高中数学 基础知识汇总

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式

2

2

2

2b a b a ab +≤

+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x

a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定

① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④|

|2:)cos(),sin(ωπ

ϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；

(3)与周期有关的结论

)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：α

x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x

；

⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；

⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02

=++c bx ax ； ⑻其它常用函数：

① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x

a

x y ； 9．二次函数： ⑴解析式：

①一般式：c bx ax x f ++=2

)(；②顶点式：k h x a x f +-=2

)()(，),(k h 为顶点；

③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2

的图象的对称轴方程是a b

x 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。 10．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；

② 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)

0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0

y )(x f y -=；

ⅲ )(x f y =−→−=0

x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=x

y ()x f y =；

③ 翻转变换：

ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；

注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;

②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0

③f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）→y=f(x)图像关于直线x=2

b

a +对称；

特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）→y=f(x)图像关于直线x=a 对称；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。 13．导数

⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='

→∆=)()(lim

)(000

00

；

⑵常见函数的导数公式: ①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ；③x x cos )(sin '

=；④x x sin )(cos '

-=；

⑤a a a x

x ln )('

=；⑥x

x e e ='

)(；⑦a x x a ln 1)(log '

=

；⑧x

x 1)(ln '

= 。 ⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2

v

v u v u v

u

v u v u uv v u v u '

-'=

''+'=''±'='± ⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'='

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？ ②利用导数判断函数单调性：

①)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；②)(0)(x f x f ⇒<'为减函数；③)(0)(x f x f ⇒≡'为常数； ③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度ο

180=，180

1π

=

ο

弧度，1弧度ο)180

(

π

='1857ο≈

⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2

1

212==θ。

2．三角函数定义:角α中边上任意一P 点为),(y x ,设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααx

y =αtan

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦； 4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； 5．⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：2

x k π

ωϕπ+=+

；对称中心：))(0,(

Z k k ∈-ω

ϕ

π； ⑵)cos(

ϕω+=x A y 对称轴：x k ωϕπ

+=；对称中心：))(0,2

(

Z k k ∈-+

ω

ϕ

ππ；

6．同角三角函数的基本关系：x x

x

x x tan cos sin ;1cos sin 22==+； 7．三角函数的单调区间：