南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第3章

第三章 能量原理

(习题解答)

3-1 写出下列弹性元件的应变能与余应变能的表达式。(a)等轴力杆;(b)弯曲梁;(c)纯剪矩形板。

解:(a)等轴力杆 应变能

{}{}2220111()2222T V

V V

Ef U AdV d dV dV E Lf E Lf L L εσεεσεε∆∆⎡⎤======⎢⎥⎣⎦⎰

⎰⎰⎰

余应变能

22*

21()2222V V fL fL N N L U BdV dV E E f Ef

σεσ=====⎰⎰

其中L 为杆的长度,f 为杆的截面积,Δ为杆的变形量,E 为材料的弹性模量。

(b)弯曲梁 应变能

{}{}{}{}222222222220111()()22211()()22T

T

x V V V V l V d w d w U dV dV z dV Ez dV

dx dx

d w d w E z dydzdx EJ dx dx dx

σεσεσ==-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰线性

余应变能

222*

220111111()2222l x x V V V My M y M U dV dV dzdydx dx J E E EJ

J σε===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(c)纯剪矩形板 应变能

{}{}t b a G dV G dV dV U V V V

T

⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=

=⎰⎰⎰2

22

12121γγγτεσ 余应变能

Gt

f

q t b a G dV G dV U V V 222*

21212121=⋅⋅⋅==⋅=⎰⎰ττγτ

3-2 求图3-2所示桁架的应变能及应变余能,应力—应变之间的关系式为 (a) E σε=

(b) σ=

解:取节点2进行受力分析,如图3-2a 所示。 根据平衡条件,有

1321

311221

13cos 45cos 45sin 45sin 4522

N N P N N P N N ︒︒︒︒⎧+=⎨=+⎩⇒== (1)

311313

N N

f f σσ== (2)

(a) E σε=时

3

1131

3

N N Ef Ef εε=

=

(3) 0

V

U AdV fl d εσε==⎰⎰ (4) 0

V

U BdV fl d σ

εσ*==⎰⎰ (5)

联立(1)、(2)、(3)、(4),得到桁架的应变能为

()()22

221212

31131322P P P P N N l l U f f f f ⎤+-⎫=+=

+⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

联立(1)、(2)、(3)、(5),得到桁架的余应变能为

()()2222121231

13132224P P P P N N l l U E f f E f f *⎡⎤+-⎛⎫=+=

+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

(b) σε=时

22

3113222213

N N E f E f εε== (6)

联立(1)、(2)、(4)、(6),得到桁架的应变能为

()()33

1221222

133P P P P l U E f f ⎡⎤+-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

联立(1)、(2)、(5)、(6),得到桁架的应变能为

()()33

1221222

136P P P P l U E f f *

⎡⎤+-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力—应变规律

()()22

2x x y y y x xy xy E

E εσμσεσμσγτ=-=-= 其中E 、G 与μ就是材料常数。导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。

解:应变能密度

A d ε

σε=⎰

余应变能密度

B d σ

εσ=⎰

总应变能密度

()3

33

12x T x y xy y xy x x y y xy xy

xy x y x y A B E G

σεεγστσεσετγτσσμσσ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

=++=+-+

而

()()0

2

22

333

11112333x y xy

x

y

xy

xy x x y y xy xy

x

y x y

x y xy x y x y xy B d d d E d E d G d E G

σστσστεσεσγτσ

μσσσ

μσσττσσμσστ=++=-+-+⎛⎫=

+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

所以应变能密度为 ()()3

33

333333

()1111122333213xy x y x y x y x y xy xy x y A A B B

E G E G E G τσσμσσσσμσσττσσ=+-⎛⎫=+-+-+-- ⎪⎝⎭

⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3-4 试用虚位移原理或最小位能原理确定题3-4图所示平面桁架的节点o 的位置与各杆内力。各杆材料相同,弹性常数为E 。N P 4110=,N P 32105⨯=,各杆截面积215.1cm f =,222cm f =,233cm f =。

解:设o 点的位移为u 、v ,则各杆的变形量如下: o-1杆:)(2

2

sin cos 1v u v u +=+=∆θθ o-2杆:v =∆2