高考含绝对值不等式的解法
高考数学含绝对值的不等式的解法
三 灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被 盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话 语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。 人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。 那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
含绝对值不等式的解法(1)
题型四 | f (x) | g(x) , | f (x) | g(x)
不等式两边平方法化为 | f (x) |2 g(x) 2 , | f (x) |2 g(x) 2
作业：解下列不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|<4 3、| x-1 | > 2( x-3) 4、2x 1 x 2 5. x＋|2x＋3|＞2.
数 都 不 是 原 不 等 式 的 解。 将 点A向 左 移 动1个 单 位 到 点A1， 这 时 有A1 A A1B 5； 同 理， 将 点B向 右 移 动 一 个 单 位 到 点B1， 这 时 也 有B1 A B1B 5， 从 数 轴 上 可 以 看 到 点A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点A， B的 距 离 之 和 都 小 于5； 点A1的 左 边 或 点B1的 右 边 的 任 何 点 到 点A，， 的 距 离 之 和 都 大 于。 故 原 不 等
是
.
2 x 0,x 2, x ,2
【做一做】 （3）若不等式|2-x|>2-x成立，则实数x的取值范围
是
.
解析:依题意 x-2<0,解得 x<2.
答案: -∞,2
变式例题：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
绝对值不等式的解法（一） 郑慧
复习绝对值的意义：
代数的意义
x X>0 |x|= 0 X=0
- x X<0 一个数的绝对值表示：
几何意义
数轴上与这个数对应的 点到原点的距离,|x|≥0
x2
高考数学一轮复习考点知识专题讲解72---绝对值不等式
高考数学一轮复习考点知识专题讲解绝对值不等式考点要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c .知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.(×) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．(×) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．(√) 教材改编题1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为() A ．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案D解析由题意得⎩⎨⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎨⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为______．答案(－∞，4)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．答案R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x ≥1时，2x ＋2≥6，得x ≥2；当－3<x <1时，4≥6，此时没有x 满足条件； 当x ≤－3时，－2x －2≥6，得x ≤－4. 综上，不等式f (x )≥6的解集为 {x |x ≤－4或x ≥2}．(2)f (x )＝|x －a |＋|x ＋3|≥|(x －a )－(x ＋3)|＝|a ＋3|， 当且仅当(x －a )(x ＋3)≤0时，等号成立． 所以f (x )min ＝|a ＋3|>－a ， 当a <－3时，－a －3>－a ，无解； 当a ≥－3时，a ＋3>－a ，解得a >－32，综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.教师备选已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )<4的解集；(2)若不等式f (x )－|a ＋1|<0有解，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∵f (x )<4， ∴⎩⎨⎧－2x <4，x ≤－1或⎩⎨⎧2<4，－1<x ≤1或⎩⎨⎧2x <4，x >1，∴－2<x ≤－1或－1<x ≤1或1<x <2，故不等式的解集为(－2,2)． (2)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴f (x )min ＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号， ∵f (x )－|a ＋1|<0有解， ∴|a ＋1|>f (x )min ＝2， ∴|a ＋1|>2，∴a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1， 故a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象； (2)若f (x ＋a )≥g (x )，求a 的取值范围． 解(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x <－32，4x ＋2，－32≤x <12，4，x ≥12，作出图象，如图所示．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，函数f (x ＋a )的图象即为将函数f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位长度，当a ≤0时，即为将函数f (x )的图象向右平移|a |个单位长度得到f (x ＋a )的图象，此时函数f (x ＋a )的图象始终有部分图象位于函数g (x )的图象下方，无法满足f (x ＋a )≥g (x )，则要满足f (x ＋a )≥g (x )， 需a >0，f (x ＋a )＝|x ＋a －2|，当函数y ＝|x ＋a －2|的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，4时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋a －2＝4， 解得a ＝112或a ＝－52(舍去)， 根据图象可得若f (x ＋a )≥g (x )，则a ≥112，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞.题型二 利用绝对值不等式的性质求最值 例2已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤6；(2)若不等式f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解，求实数a 的取值范围．解(1)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x <－12，x ＋5，－12≤x ≤4，3x －3，x >4，当x <－12时，－3x ＋3≤6，即x ≥－1，∴－1≤x <－12；当－12≤x ≤4时，x ＋5≤6，即x ≤1，∴－12≤x ≤1；当x >4时，3x －3≤6，即x ≤3(舍去)． 综上得f (x )≤6的解集为[－1,1]．(2)f (x )＋|x －4|＝|2x ＋1|＋|2x －8|≥9，⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当－12≤x ≤4时取等号 ∵f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解， ∴a 2－8a >9，(a －9)(a ＋1)>0，a <－1或a >9，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 教师备选已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －k |(其中k ≥2)． (1)若k ＝4，求f (x )＋g (x )<9的解集；(2)∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，求实数k 的值． 解(1)若k ＝4，则f (x )＋g (x )<9，即|x －3|＋|x －4|<9， 即⎩⎨⎧x <3，3－x ＋4－x <9或⎩⎨⎧3≤x ≤4，x －3＋4－x <9或⎩⎨⎧x >4，x －3＋x －4<9，解得－1<x <3或3≤x ≤4或4<x <8， ∴原不等式的解集为{x |－1<x <8}． (2)∵k ≥2，且x ∈[1,2]， ∴x －3<0，x －k ≤0，∴f (x )＝|x －3|＝3－x ，g (x )＝|x －k |＝k －x ， 则∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立， 即∀x ∈[1,2]，x ＋3≥2k 恒成立， ∴4≥2k ，即k ≤2， 又k ≥2，∴k ＝2.思维升华 求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值． 跟踪训练2已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求a 的取值范围． 解(1)由题意得|x ＋1|>|2x －1|， 所以|x ＋1|2>|2x －1|2，整理可得x 2－2x <0，解得0<x <2， 故原不等式的解集为{x |0<x <2}． (2)由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立， 设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，由g (x )的单调性可知，当x ＝12时，g (x )取得最大值，且最大值为1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 教师备选(2020·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，令7－2x ≥4，解得x ≤32；当3<x <4时，1≥4，无解；当x ≥4时，令2x －7≥4，解得x ≥112. 因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32或x ≥112. (2)将题目转化为f (x )≥4恒成立，即f (x )min ≥4.因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，所以(a －1)2≥4，即|a －1|≥2.解得a ≥3或a ≤－1. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2022·白山联考)已知函数f (x )＝|x －2|－a |x ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<x 的解集；(2)当a ＝2时，若关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，求实数m 的取值范围． 解(1)由已知不等式|x －2|－|x ＋1|<x ，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x ≥2时，不等式为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x ≥2；当－1<x <2时，不等式为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x <2； 当x ≤－1时，不等式为2－x <x －x －1，解得x >3，此时无解．综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)由题意，函数f (x )＝|x －2|－2|x ＋1|，可得f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋4，x ≤－1，－3x ，－1<x <2，－x －4，x ≥2，f (x )的图象如图．f (－3)＝1，f (－2)＝2，f (－1)＝3，f (0)＝0，因为关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m ＋1<2，所以0≤m <1，故m 的取值范围为[0,1)．课时精练1．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．解(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1.(2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎨⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ 1<a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ a >2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a >2， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .(1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎨⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不符合题意；当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意．综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1,0)．3．已知函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －3|(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求不等式f (x )＋1>0的解集；(2)已知a >0，若f (x )＋3a >2对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解(1)因为a ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <12，3x －4，12≤x ≤3，x ＋2，x >3，所以不等式f (x )＋1>0等价于 ⎩⎨⎧ x <12，－x －2＋1>0或⎩⎨⎧ 12≤x ≤3，3x －4＋1>0或⎩⎨⎧x >3，x ＋2＋1>0，解得x <－1或x >1.所以不等式f (x )＋1>0的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)因为a >0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －a －3，x <－a 2，3x ＋a －3，－a 2≤x ≤3，x ＋a ＋3，x >3.根据函数的单调性可知函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－3， 因为f (x )＋3a >2恒成立，所以－a 2－3＋3a >2，解得a >2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．4．(2022·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x <2；(2)若存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1，解不等式f (x )＋x <2化为|2x ＋2|＋1＋x <2，即|2x ＋2|<1－x ，∴x －1<2x ＋2<1－x (x <1)，解得－3<x <－13，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－13. (2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|， 得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，等价于b ≤g (x )max ，由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1，∴b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得上式成立， 而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝139， ∴b ≤139， 即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，139. 5．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数x (x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎨⎧ x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12. 综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3， 当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0时取等号， 因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 所以|a －2|＋|a ＋1|≥6，解得a ≤－52或a ≥72， 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法类型一：形如)()(,)(R aa x f a x f 型不等式解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当0a 时，ax f a a x f )()(a x f ax f )()(或ax f )(2、当0aa x f )(，无解ax f )(使0)(x f 的解集3、当0a时，a x f )(，无解ax f )(使)(x f y成立的x 的解集.例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22xx的解集为（）A.)2,1(B.)1,1(C.)1,2(D.)2,2(解：因为22x x，所以222x x.即20222xxx x ，解得：21xR x ，所以)2,1(x，故选A.类型二：形如)0()(a b b x f a 型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：bx f a ab b x f a)()0()(或a x fb )(需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：bx f aabb x f a)()0()(例2 （2004年高考全国卷）不等式311x 的解集为（）A ．)2,0( B.)4,2()0,2(C ．)0,4( D.)2,0()2,4(解：311311x x 或11,3x 20x或24x，故选D类型三：形如)()(x g x f ，)()(x g x f 型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即：)()()()()(x g x f x g x g x f ，)()()()(x g x f x g x f 或)()(x g x f 例3 （2007年广东高考卷）设函数312)(xx x f ，若5)(x f ，则x的取值范围是解：53125)(x x x f 2122212xx x x x 212212xx x x 1111xxx ，故填：1,1.类型四：形如)()(x g x f 型不等式。
高中数学：绝对值不等式的常见解法
高中数学：绝对值不等式的常见解法
解不等式
解法1：利用绝对值的定义
原不等式等价于（I）或（II）
解（I）得
解（II）得
所以原不等式的解集为。
解法2：利用平方法
原不等式可化为两边平方得解得，所以原不等式的解集为。
解法3：利用绝对值的性质
原不等式等价于
即
解<1>得，或
解<2>得
所以原不等式的解集为。
解法4：零点分区间讨论
原不等式等价于
即等价于
或
或
解<1>得，解<2>得，<3>的解集是，所以原不等式的解集为。
解法5：图象法
原不等式等价于。
在直角坐标系中分别画及的图象。
由图可知，原不等式的解集为。
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高考知识点绝对值不等式
第1节绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A.(－∞，4)B.(－∞，1)C.(1，4)D.(1，5)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案 A3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________.解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a . 故原不等式得证.考点一 绝对值不等式的解法【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的解析式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或1<x <3，或x >5. 【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4， f (x )≥g (x )⇔x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔x 2＋x －4≤0， 解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0， 则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎨⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1.故a 的取值范围是[－1，1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解. 【训练1】 已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集；(2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围.解 (1)不等式f (x )＋x 2－4>0，即|x －2|>4－x 2. 当x >2时，不等式可化为x 2＋x －6>0，解得x >2； 当x <2时，不等式可化为x 2－x －2>0，解得x <－1. 所以原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}. (2)依题意，|x －2|<3m －|x ＋7|解集非空， ∴3m >|x －2|＋|x ＋7|在x ∈R 上有解， 又|x －2|＋|x ＋7|≥|(x －2)－(x ＋7)|＝9， 所以3m >9，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞). 考点二 绝对值不等式性质的应用【例2－1】 设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由.(1)证明设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x >1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12. 因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |<12，|b |<12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.【例2－2】 对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值；(2)(一题多解)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 解 (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， 即|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，所以M ≤2.因此m ＝2.(2)不等式|x －1|＋|x －2|≤m ，即|x －1|＋|x －2|≤2.法一 由于|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和； 而数轴上12和52对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x －1|＋|x －2|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52. 法二 ①当x <1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2， 解得x ≥12，即12≤x <1.②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2， 即1≤x ≤2.③当x >2时，不等式为(x －1)＋(x －2)≤2， 解得x ≤52，即2<x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52.规律方法 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.【训练2】 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围.解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6， 则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 考点三 绝对值不等式的综合应用【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.①当x ≤－1时，f (x )＝－3≥1无解； ②当－1<x <2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 有解，又|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54.当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 规律方法 1.第(1)问分段讨论，求得符合题意的x 取值范围，最后取并集. 2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决. (2)本题分离参数m ，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程.【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).基础巩固题组 (建议用时：50分钟)1.(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集； (2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，求a 的值.解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.2.已知函数f (x )＝|ax －2|.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，求m 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3.当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <13.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13. (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2| ≥|ax －2－ax －2|＝4， 所以f (x )＋f (－x )的最小值为4， 又f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，所以1m >4.则m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞).4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知A (x ，1)，B (1，2)，C (5，2)三点. (1)若L (A ，B )>L (A ，C )，求x 的取值范围；(2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值. 解 (1)由定义得|x －1|＋1>|x －5|＋1， 则|x －1|>|x －5|，两边平方得8x >24，解得x >3. 故x 的取值范围为(3，＋∞).(2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立， 因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4， 所以t ≥4，t min ＝4. 故t 的最小值为4.5.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增；∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2，由于m >0，n >0，则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号. ∴1m ＋1n 的最小值为2 2.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，所以－7＜|x －1|＜3，解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}.7.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－x .(1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若存在实数x ，使不等式m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )成立，求实数m 的最小值. 解 (1)原不等式f (x )>g (x )化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1.当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1.当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )>g (x )的解集为{x |－3<x <1或x >3}.(2)由m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )可得m ≥|x －2|＋|x ＋1|，由题意知m ≥(|x －2|＋|x ＋1|)min ，∵|x －2|＋|x ＋1|≥|x －2－(x ＋1)|＝3，∴m ≥3，故实数m 的最小值是3.8.(2018·郑州模拟)已知不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞).(1)求实数m 的值；(2)若不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)由|x －m |<|x |，得|x －m |2<|x |2，即2mx >m 2，又不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)，则1是方程2mx ＝m 2的解，解得m ＝2(m ＝0舍去).(2)∵m ＝2，∴不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a －5<|x ＋1|－|x －2|<a ＋2对x ∈(0，＋∞)恒成立.设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧2x －1，0<x <2，3，x ≥2，当0<x <2时，f (x )在(0，2)上是增函数，则－1<f (x )<3，当x ≥2时，f (x )＝3.因此函数f (x )的值域为(－1，3].从而原不等式等价于⎩⎨⎧a －5≤－1，a ＋2>3，解得1<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(1，4].。
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
含绝对值的不等式的解法
含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x x x x >++。
（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。
例3、解不等式123x x ->-。
二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
例4 解不等式125x x -++<。
(“零点分段法”)三、几何法：即转化为几何知识求解。
含绝对值不等式
典型例题
例３、解不等法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．
典型例题
xa 例４、已知不等式 x 3 的解集为Ａ． 2 （１）若Ａ＝ 求实数a 的取值范围；
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
f ( x ) g( x ) f 2 ( x ) g 2 ( x )
3、零点分段法：如 ax b cx d k
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
二、含绝对值不等式的解法： 1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
【思维点拨】 １、需分别证明充分性和心要性； ２、通过分类讨论利用结论：
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
典型例题
例２、解不等式：
1 x 2x 2
2
【思维点拨】 本题有多种解法： （１）定义法； （２）等价转化法； （３）函数图象法. 注意： f ( x) g( x) g( x) f ( x) g( x);
高中数学第六章《不等式》 第 5 课
含绝对值不等式
问题:
a>b是a2>b2的什么条件？ 答案：既非充分又非必要条件.
知识梳理:
一、含绝对值不等式的证明：
含绝对值的不等式的解法
法二：体现了构造函数的思想， 正确画出函数图像，求出函数零点， 比较直观。
x
法三：几何法，比较简单，但只适 用于 的系数相同，数据较简单的 情况。
谢谢大家
法二：构造函数的思想；
含一个绝对值的解法 法一：左右平方去绝对值； 法二：零点分类讨论； 法三：构造函数的思想； 法四：绝对值的几何意义。
法三：绝对值的几何意义：
小结：
法一：体现了分类讨论的思想， 每个绝对值等于零的根把实数轴 分成若干个小区间，在这些小区间 上解去掉绝对值的不等式组，最后 求并集，这一方法具有普遍性；
复习：含一个绝对值的解法 法一：左右平方去绝对值； 法二：零点分类讨论； 法三：构造函数的思想； 法四：绝对值的几何意义。
含一个绝对值的解法 法一：左右平方去绝对值； 法二：零点分类讨论； 法三：构造函数的思想； 法四：绝对值的几何意义。
法一：零点分类讨论；
பைடு நூலகம்
法一：零点分类讨论；
含一个绝对值的解法 法一：左右平方去绝对值； 法二：零点分类讨论； 法三：构造函数的思想； 法四：绝对值的几何意义。
含绝对值的不等式解法
含绝对值的不等式解法
一、定义
绝对值不等式是一种广义不等式，它由一个带有绝对值符号的线性表达式组成，其中
左右两边都有一个绝对值函数，比较两边绝对值之间的大小，可以把它归类到不等式中。
绝对值不等式可以简化计算结果，使计算更简单、更清晰，是一个非常有用的工具。
二、解法
正解法是一种解决含绝对值不等式的最常用的方法，它的解法可以分为以下几步：
A、将整个不等式中的绝对值符号变成两个端口，并把它们的表示值记录下来，即
|x|=a。
B、将绝对值不等式变形，对其中的变量进行简化处理，例如：x+2～x-2，可以简写成：x～-2。
C、把原绝对值不等式分成两个不等式，一个为x>-2，另一个为x<2，将这两个不等
式分别求解，比较两个解集，得出整个问题的解集。
2、交叉解法
三、小结
从前面的介绍，我们可以知道，含绝对值的不等式的解法有两种：正解法和交叉解法，它们都是一种比较常用的方法。
这两种方法都是非常有效的，但是正解法更加直接，它可
以把原先复杂的绝对值不等式简化，使问题变得更清晰可控。
高考数学绝对值不等式的解法
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[预习导引]
1.含有绝对值的不等式的解法(同解性) (1)|x|＜a⇔__无－____解a__＜___，x_＜_a_≤a_， 0. a＞0， (2)|x|＞a⇔__xx__＞≠____a0__或___，x_＜_a_＝－__0a， ，a＞0， _x_∈__R__，a＜0.
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3.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 有三种不同的解法： 解法一可以利用绝对值不等式的_几__何__意__义___. 解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“_零__点__”
为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝 对值中的多项式的_符__号__，进而去掉_绝__对__值__符__号__. 解法三可以通过__构__造__函__数__，利用_函__数__的__图__象___， 得到不等式的解集.
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跟踪演练1 解不等式3≤|x－2|＜4.
解
法一
原不等式等价于||xx－ －22||≥ ＜34.，
① ②
由①得 x－2≤－3 或 x－2≥3，
∴x≤－1 或 x≥5.
由②得－4＜x－2＜4，
∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1 或 5≤x＜6}.
法二 3≤|x－2|＜4⇔3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－
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由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
由 x2－12＜－2x，得－2－2
6＜x＜－2＋2
ห้องสมุดไป่ตู้
6 .
结合 x＞0，知 x＞2＋2 6或 0＜x＜－2＋2 6是原不等式的解.
含绝对值的不等式及其解法
含绝对值的不等式及其解法一．知识要点：1.绝对值不等式的类型及解法（1）b x f a R b a b x f a <<⇔∈<<+)(,()(或a x f b -<<-)(（2）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或 （3）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<（4）[][]0)()()()()()()()(22<-⋅+⇔<⇔<x g x f x g x f x g x f x g x f（5）含多个绝对值符号的不等式——采用零点分段法来求解。
2．绝对值的几何意义：（1）x ——表示数轴上的动点x 到原点的距离.（2）b x a x -+-——表示数轴上的动点x 到两定点a 与b 的距离之和,且b x a x -+-b a -≥（3）b x a x ---——表示数轴上的动点x 到两定点a 与b 的距离之差,且≤--b a b x a x ---≤b a -3．绝对值的性质（1）b a ab ⋅=，（2）)0(≠=b b a b a ，（3）b a b a b a +≤+≤-当且仅当o ab ≥时右“=”成立，0≤ab 左“=”成立。
（4）b a b a b a +≤-≤-当且仅当0≤ab 时右“=”成立， o ab ≥左“=”成立。
练习题：1. 不等式243<-x 的整数解的个数为( )A . 0B . 1C . 2D .大于22. 若两实数y x ,满足0<xy ,那么总有( ) A y x y x -<+ B y x y x ->+ C y x y x -<-D x y y x -<+3. 已知0,<+>b a b a ,那么( )A . b a >B . b a 11>C . b a <D . ba 11< 4. 不等式13-<-x x 的解是( )A . 52<<xB . 36≥xC . 2>xD . 32≤<x5. 已知,b c a <-且,0≠abc 则( )A . c b a +<B . b c a ->C . c b a +<D . c b a ->6. 不等式652>-x x 的解集为( ). A 1{-<x x 或}6>x B . }32{<<x x C . ∅ D . 1{-<x x 或32<<x 或}6>x7. 若1lg lg ≤-b a ,那么( )A . b a 100≤<B . a b 100≤<C . b a 100≤<或a b 100≤<D .b a b 1010≤≤ 8. 函数22--=x x y 的定义域是( )A . ]2,2[-B . ),2[]2,(+∞--∞C . ),1[]1,(+∞--∞D . ),2[+∞9. 使不等式a x x <-+-34有解的条件是( )A . 1>aB . 1101<<aC . 101<aD . 1010<<a 10. )(13)(R x x x f ∈+=,当b x <-1有),,(4)(+∈<-R b a a x f 则b a ,满足( ) A . 3a b ≤ B . 3b a ≤ C . 3a b > D . 3b a ≥ 11. 不等式b a b a +≤+取等号的条件是 , b a b a +≤-取等号的条件 .12. 不等式x x ->+512的解集是13. 如果不等式21<x 和31>x 同时成立,则x 的取值范围是 14. 不等式xx x x ->-11的解是 13.函数xx x y -+=0)21(的定义域是 14.不等式331≤-<x 的解集是 15.解下列不等式:(1)xx 1<(2)321>++-x x16.解不等式:x x +<-1log 2log 4141。
第24讲 含绝对值不等式的解法(解析版)-高考数学二轮复习
第24讲 含绝对值不等式的解法一、知识与方法1 绝对值不等式绝对值符号内含有末知数的不等式叫作绝对值不等式. 2 绝对值的定义和几何意义(1) 定义:若 x ∈R , 则 (0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）几何意义, ||x 指数轴上坐标为 x 的点到原点的距离. 3 绝对值的运算性质 (1) ||||||a b a b ⋅=. (2)||(0)||a ab b b =≠. (3) ||||||||||||(a b a b a b -++ 当且仅当 0ab 时, 左边取“ "=, 当且仅当ab . 0 时,右边取“=").(4) ||||||||||||(a b a b a b --+ 当且仅当 0ab 时, 右边取“ "=, 当且仅当ab 0 时,左边取“ "= ).(5) ()*123123n n a a a a a a a a n ++++++++∈N(6) 若 0a >, 则 ||;||x a a x a x a x a <⇔-<<>⇔> 或 x a <-. 4 含绝对值不等式的解法解含绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号.（1）讨论法. 含两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用“按零点分区间讨论”的方 法来脱去绝对值符号求解,也可以用图像法求解. 讨论法适合解 ||||x a x b c -+- 和||||x a x b c -+- 类型的不等式.(2) 等价变形法. 一般有 |()|()()()();|()|()f x g x g x f x g x f x g x <⇔-<<>⇔()()f x g x > 或 ()()(()0)f x g x g x <->. 当然,对于上述两类不等式还可用平方法 求解.二、典型例题【例1】解下列不等式或不等式组： (1)2314xx -; (2) 2551x x -+< (3) |3||21|12x x x +--<+; (4) 032;32x x x x x >⎧⎪--⎨>⎪++⎩(5) 232x x -> 【分析】解含绝对值的不等式,其关键是去掉绝对值符号,常有如下一些解法:(1) 对绝对值符号内代数式的正负号进行讨论,含多个绝对值符号则运用分段讨论法; (2) 两边平方法(应注意不等式两边的正负性); (3) 等价变形法,参见本讲知识概要第 4 点中的(2)； (4) 数形结合法,形象直观.【解析】 (1) ()22224222294,3311171604440xx x x x x x x x ⎧-⎪⎛⎫⇔⇔⇔-+⎨ ⎪--⎝⎭-≠⎪⎩201x ⇔ 或 21611x x ⇔- 或 4x - 或 4x ,∴ 原不等式的解集为 {|4x x - 或 11x - 或 4}x . (2)【解法一】原不等式等价于 22551551,x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<-⎪⎩，①②解不等式 (1) 得解集为 {|14}x x <<,解不等式(2)的解集为 {|2x x < 或 3}x >.而原不等式的解集是不等式(1)和不等式(2)的解集的交集. 【解法二】原不等式的解集为 {|12x x << 或 34}x <<. (平方去绝对值) 原不等式可化为 ()()2256540x x xx -+-+<,即 (2)(3)(4)(1)0x x x x ----<, 利用数轴标根法易得原不等式的解集 为 {|12x x <<或 34}x <<.(3) 当 3x - 时, 不等式化为 (3)(12)12xx x -+--<+, 得 10,3x x <∴-; 当 132x -< 时, 不等式化为 (3)(12)12x x x +--<+, 得 2,35x <-∴-< 25x <- 当 12x >时,不等式化为 (3)(21)12x x x +--<+, 得 2,2x x >∴>.∴ 原不等式的解集为 2|5x x ⎧<-⎨⎩或 }2x >. (4) 0,02,|{]32323232x x x x x x x x x x >⎧<⎪⇔----⎨>>⎪++++⎩或23232x x x x x >⎧⎪⇔--⎨>⎪++⎩02,2(3)(2)(2)(3)(3)(2)(2)(3)x x x x x x x x x x ⎧<>⎧⇔⎨⎨-+>-+-+>-+⎩⎩或 222202,2,0226666x x x x x x x x x x x x ⎧<>⎧⇔<<<⎨⎨-++>--+-++>+-⎩⎩或或 0x ⇔<<故原不等式的解集为 {|0x x <<.（5）【解法一】（分段讨论法） I 当 2x 30- 即 3x或 3x - 时, 232x x -> ，即 2230x x -->, 解得3x > 或 1.3x x <-∴> 或 3x -.II 当 230x -<,即x <<时, 232x x -+>, 即 2230x x +-<.解得31,1x x -<<<<.综合 I'和II. 得原不等式的解集为 {|1x x < 或 3}x >. 【解法二】(两边平方法) 当 x 0 时,原不等式可化为 ()22234x x ->,即 42210909x x x -+>⇒> 或 213x x <⇒<- 或 3x > 或 11x -<<. ∴3x > 或 01x <.当 0x < 时,显然能满足不等式.∴ 原不等式的解集为 {|1x x < 或 3}x >. 【解法三】（利用绝对值性质） 223232x x x x ->⇔-> 或 2323x x x -<-⇔> 或 1x <- 或 31x -<<.∴ 原不等式的解集为 {|1x x < 或 3}x >. 【解法四】(数形结合法）令 2123,2y x y x =-=, 分别在直角坐标平面中画出它们的图像如图 35- 所示. 解方程 232x x -=, 可得 121,3x x =±=± (负值舍 去). 又满足 12y y > 的 x 的取值范围即为原不等式的 解集． ∴ 原不等式的解集为 {|1x x < 或 3}x >, 【例2】已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+--. (1) 当 1a = 时,求不等式 ()0f x < 的解集; (2) 若 (,1)x ∈-∞ 时, ()0f x <, 求 a 的取值范围. 【分析】对于(1),利用零点分段法,分类讨论去绝对值,解不等式组,最后求各组解集的并集;对于 (2), 观察函数解析式得 ()0f a =,根据题意得 1a , 再根据 x 的范围, 去绝对值,得到函数()f x 为二次函数, 从而得 a 的取值范围.【解析】(1）当 1a = 时, ()|1||2|(1)f x x x x x =-+--.当 1x < 时, 2()2(1)0f x x =--<; 当 1x 时, ()0f x . ∴ 不等式 ()0f x < 的解集为 (,1)-∞.(2)()0, 1.f a a =∴ 当 1,(,1)a x ∈-∞ 时,()()(2)()2()(1)f x a x x x x a a x x =-+--=-- 0<, a ∴ 的取值范围是 [1,).+∞【例3】(1) 若关于 x 的不等式 |||1||2|a x x ++- 存在实数解, 则实数 a 的取值范围是(2) 已知关于 x 的不等式 |||||1|x a x x -<++ 的解集为 R , 则实数 a 的取值范围是（3）若不等式 22log 12xx a x -+ 在 1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立,则实数 a 的取值范围为 【分析】本例不仅是题型的拓展,也是解题方法的拓展. 第(1)问, 可用数形结 合法. 第 (2)问,可用绝对值不等式 (||||)||||||a b a b a b -±+, 也可利用绝对值的 几何意义,若转化为函数问题求最值,则方法新颖又简捷. 第(3)问, 从表层看是含绝对值 不等式的解为 1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭, 求参数 a 的取值,从解不等式角度难以入手,所以应当換一种 思维角度看问题, 即构造函数图像,通过数形结合, 难度顿时降低. 【解析】 (1)【解法一】 |||1||2|a x x ++- 存在实数解, 即 min ||(|1||2|)a x x ++-, 根 据绝对值不等式得 |1||2||(1)(2)|3x x x x ++-+--=,当且仅当 12x - 时取等号, 则有 ||3a , 解得 (,3][3,)a ∈-∞-⋃+∞. 【解法二】利用绝对值得几何意义, |1||2|x x ++- 表示数轴上点 x 到 1,2- 的 距离之和, 从数轴上可看出 min (|1||2|)x x ++- 3=, 则有 ||3a , 解得 (,3][3a ∈-∞-⋃，)+∞ 【解法三】令函数 ()|1||2|f x x x =++-, 则21(2)()3(12),12(1)x x f x x x x -⎧⎪=-<⎨⎪-<-⎩则min [()]3,f x =有||3a ≥得(,3][3,)a ∈-∞-⋃+∞（2）函数 ()|||1|f x x x =++ 和 ()||g x x a =- 的图像如图 36- 所示,要使函数 ()g x 的图像与函数 ()f x 的图像没有公共点且 ()g x 的图像在 ()f x 图像的下方,则 a 的取值范围是 10a -<<. (3)由不等式 22log 12xx a x --+ 在 1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立. 可构造函数22log 1,112()2=1,1 2.xx x x f x x x x⎪<<⎧-⎪⎪⎨<-=+⎪⎩如图37-所示,作出函数()f x 的图像,易得 ()f x 在 1,22⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为 1,a∴ 的取值范围是 1a .三、易错警示【例】对于不大于54的所有正实数 a , 如果满足不等式 ||x a b -< 的一切实数 x 也满足 不等式 212x a -<, 求实数 b 的取值范围. 【错解】 由题设, 得 2211{|},|22A x a b x a b B x a x a ⎧⎫=-<<+=-<<+⎨⎬⎩⎭. ∵ 满足不等式 ||x a b -< 的一切实数 x 也满足不等式 212x a -<, 则 221,21,2a b a A B a b a ⎧--⎪⎪⊆⇒⎨⎪++⎪⎩得221.21+.2b a a b a a ⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩由于 504a <, 得 222113313,2241624a a a a a ⎛⎫-++=--+∴-++⎪⎝⎭. 又22111113,224444a a a b⎛⎫-+=-+∴ ⎪⎝⎭ 于是实数 b 的取值范围是 13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】上述解法中,对 b 的取值苊围的求法出现了问题,对于当 504a< 时, 212b a a -++ 恒成立, 不能由23131624a a -++得到 33164b , 而应是 b2min13216a a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【正确的解法】如下： 由“当 504a< 时, 212b a a -++ 恒成立”. 得 2min13216b a a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭. 由“当504a< 时, 212b a a -+ 恒成立”,得 2min 1124b a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 由 ||x a b -<, 得3,160,1,4b b b ⎧⎪⎪>∴⎨⎪⎪⎩即30.16b< 于是实数 b 的取值范围是 30,16⎛⎤⎥⎝⎦. 四、难题攻略【例1】（1）在实数范围内, 不等式 |21||21|6x x -++ 的解集为(2) 已知 a ∈R ,若关于 x 的方程 21||04x x a a ++-+= 有实根, 则 a 的取值 范围是(3) 已知适合不等式 24|3|5x x a x -++- 的 x 的最大值为 3 , 则实数 a 的值为 【分析】第(1)问有多种解法比如:分类讨论法;利用不等式的几何意义;函数 图像法; 运用绝对值不等式的性质, “ ||||||||||a b a b a b -++ ”等. 第(2)问,初看是 方程问题但实质是与绝对值不等式紧密相连,解法也有很多种,可对方程中含绝对值的常 数项部分通过分类讨论去掉绝对值,在一元二次方程的实根存在时探究参数 a 的取值范 围,也可直接运用方程有实根的判别式转化为解 a 的绝对值不等式, 还可参变分离求解, 最后一种方法最为简捷. 第(3)问,把含绝对值的不等式分类转化为不含绝对值的不等式 组解之. 【解析】(1)【解法一】（分类讨论法） 所给不等式的零点为 11,22-I 111,,31222322(21)(21)6462x x x x x x x x ⎧⎧⎧-⎪⎪⎪--⎪⎪⎪⇔⇔--⎨⎨⎨⎪⎪⎪---+--⎪⎪⎪⎩⎩⎩II 1111,11222222(21)(21)62 6 x x x x x ⎧⎧-<<-<<⎪⎪⇔⇔-<<⎨⎨⎪⎪--++⎩⎩恒成立III 111,,,132.22322(21)(21)6462x x x x x x x x ⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪-++⎪⎪⎪⎩⎩⎩综上所述, 原不等式的解集为 31111333,,,,22222222⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤--⋃-⋃=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦, 即 33|22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解法二】(几何意义） 原不等式可化为 11322x x -++, 即 x 轴上点到定 点 1,02⎛⎫⎪⎝⎭ 和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离之和不超过 3 .点 3,02⎛⎫-⎪⎝⎭ 到定点 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离之和为 3 , 同理点 3,02⎛⎫⎪⎝⎭ 到两定点的 距离 之和也为 3. 若 动点 (,0)x 在 1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 和 1,02⎛⎫⎪⎝⎭之间时, 12x -+ 1132x +=<∴3322x -, 即原不等式的解集为 33|22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.【解法三】(函数图像法）将原不等式变形为 |21||21|60x x -++-.构造函数 146,211()|21||21|6422146,2x x f x x x x x x ⎧⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-++-=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数 ()f x 的图像如图 38- 所示. 函数的零点是 33,22-, 从图像可知， 当 3322x -时, ()0f x . ∴ 原不等式的解集为 33|22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【解法四】(利用不等式的性质）||||||||||)a b a b a b -++ ∴|(21)(21)||21||21|6x x x x -++-++即 |4|6x . ∴3322x -, 即原不等式的解集为 33|22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.（2）【解法一】(分类讨论法） 当 0a = 时,方程为 2104x x ++=,有实根 12x =-; 当 14a = 时,方程为 2104x x ++=, 有实根 12x =-; 当 0a < 时,方程为 21204x x a ++-=, 此时21202x a ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭, 方程无解; 当104a <<时,方程为 2104x x ++=, 有实根 12x =-; 当 14a > 时,方程为 21204x x a +-+=, 此时 11422804a a ⎛⎫∆=--+=-< ⎪⎝⎭, 方程无解.因此, a 的取值范围是 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解法二】(判别式法) 114||04a a ⎛⎫∆=--+ ⎪⎝⎭,得 11||44a a -+.即 0,|11,44a a a <--, 或 10,4,1144a a a ⎧<⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 或 1,41144a a a ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩, 解得 104a < 或14a =, 即 104a. 因此,实数 a 的取值范围是 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解法三】(参变分离法）方程化为 ()21||4a a x x -+=-+ ， 则 2211110||4244a a x x x ⎛⎫-+=--=-++ ⎪⎝⎭, 因此, 实数 a 的取值范围是 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (3) ∵3,|3|3x x x ∴-=-, 若 240x x a -+<, 则原不等式化为 2320x x a -++. 此不等式的解集不可能是 集合 {|3}x x 的子集, ∴240x x a -+< 不成立,于是 240x x a -+, 则原不等式化为 2520x x a -+-,∵3x , 令 2252(3)()(3)3x x a x x m x m x m -+-=--=-++.比较系数,得 2,8m a =∴=, 此时原不等式的解集为 {|23}x x .【例2】已知函数 ()log a f x x =, 其中 {}2|2012a a a a ∈<-.(1) 判断函数 ()f x 的增减性;（2) 若命题 :||1||P f f <- 为真命题,求实数 x 的取值范围.【分析】本例中对数函数 ()log a f x x = 的底数为参数 a , 应根据 a 的取值来判 㸫函数的单调性. 第(2)问实质是解含绝对值符号的对数不等式,函数的单调性以及分类 讨论的思想方法的应用是解题的两大环节.【解析】(1) ∵{}22|2012,12200a a a a a a ∈<-∴-+<, 即 210a <<.∴ 函数 ()log a f x x = 是增函数.(2) ||1||f f <-, 即 log log 1a a +<. (1) 必有 0x > 且210a <<.I 当 104x << 时, log log 0a a <<. 不等式(1)可化为 log a --log 1a <∴log (2)1a x -<, 故 1log (2)1,2a x x a >-∴>, 故此时 1124x a <<.II 当 114x < 时, log 0log (2a a x <. 不等式(1)可化为 log a -log 1,log 21a a <∴<, 这显然成立, 故此时114x <.III 当 1x 时, 0log log a a x <, 不等式(1)可化为 log log a a 1,log (2)1a x <∴<, 故 2a x <, 此时 12a x <. 综上所述,可知使命题 P 为真命题的 x 的取值范围是 1|22a x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 五、强化训练1. 若不等式 21|21||2|22x x a a -++++ 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是【解析】令()|2-1||2|f x x x =++，则i 当-2x <时，()-21--2-3-15;f x x x x =+=>ii 当122x -时，()-212-3f x x x x =+++=+;则当20x -时， 13()50,2f x x<；当时515() 3.2,()5,222f x x f x <-即当时 Iii 当15,()2123122x f x x x x >=-++=+>当 综合i 、ii 、iii 、可知,5()2f x ,所以要使不等式恒成立，只需 21512,1.222a a a ++-解得2. 已知函数 ()|||2|f x x a x =++-.(1) 当 3a =- 时,求不等式 ()3f x 的解集;(2) 若 ()|4|f x x - 的解集包含 [1,2], 求 a 的取值范围.【解析】⑴当a = -3 时，()252232531x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-+≤<⎩<-≥， ， ，当2x ≤时，由()3253 1.f x x x ≥-+≥≤得，解得当23,()3<< x f x ≥时无解；当3x ≥ 时，由()32534f x x x ≥-≥≥得，解得,()3f x ∴≥的解集为{|1}{|4}{|14}x x x x x x x ≤⋃≥=≤≥或(2)()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇒---≥+当:[1,2]|4||2|||4(2)||22x x x x a x x x a a x a ∈---≥+⇒---≥+⇒--≤≤-时，由条件得2122,30.a a a --≤-≥≤≤且即故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].3. 已知函数 2()4,()|1|f x x ax g x x =-++=++ |1|x -(1) 当 1a = 时,求不等式 ()()f x g x 的解集;（2）若不等式 ()()f x g x 的解集包含 [1,1]-, 求 a 的取值范围.【解析】(1)当 a = l 时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤ .① 当x<-1时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220,11;x x x ---从而当x>-1时，①式化为240,x x +-从而11712x -+< 117()()|1).2f x g x x x ⎧-+⎪∴-⎨⎪⎩的解集为 (2)当[]1,1,() 2.x g x ∈-=时时，g(x)=2.()()f x g x ∴的解集包含［-1，1］,等价于当[]1,1,() 2.x f x ∈-时又()f x 在［-1，1］的最小值必为(-1)(1)f f 与之一(1)2(1)2,11f f a ∴--且得a ∴的取值范围为[]1,1-。
含绝对值的不等式的解法
1.解含绝对值的不等式的基本解法与思想：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
2. 绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离。
3. a x >与a x <型的不等式的解法：（1）当0>a 时，>x 的解集是{}a x a x x -<>或,； a x <的解集是{}a x a x <<-； （2）当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈，不等式a x <的解集是∅。
4. cb ax >+与c b ax <+型的不等式的解法：把 b ax+ 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
（1）当0>c 时，①不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, ②不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-； （2）当0<c 时，①c b ax >+的解集是{}R x x ∈，②c bx a <+的解集是∅。
5. 分类讨论法（零点分段法）：即通过合理分类去绝对值后再求解，这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。
例1解不等式125x x -++<。
分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。
2-和1把实数集合分成三个区间，即：2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值。
解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩， 解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩， 解得：12≤≤-x当1>x 时，得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得：21<<x 综上所述，原不等式的解集为{}23<<-x x 。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
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高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当0>a 时，a x f a a x f <<-⇔<)()(a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)(2、当0=aa x f <)(，无解⇔>a x f )(使0)(≠x f 的解集3、当0<a 时，a x f <)(，无解⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集.例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（）A.)2,1(-B.)1,1(-C.)1,2(-D.)2,2(-解：因为22<-x x ，所以222<-<-x x .即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-020222x x x x ， 解得：⎩⎨⎧<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()( 或a x f b -<<-)(需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+<x 的解集为（ ）A ．)2,0( B.)4,2()0,2(Y -C ．)0,4(- D.)2,0()2,4(Y --解：311311<+<⇔<+<x x 或11,3-<+<-x20<<⇔x 或24-<<-x ，故选D类型三：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即：)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<，)()()()(x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<例3 （2007年广东高考卷）设函数312)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是解：53125)(≤++-⇔≤x x x f2122212+-≤-≤-⇔+-≤-⇔x x x x x⎩⎨⎧+-≤--≥-⇔212212x x x x 1111≤≤-⇔⎩⎨⎧≤-≥⇔x x x ，故填：[]1,1-. 类型四：形如)()(x g x f <型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：22)()()()(x g x f x g x f <⇔<0)]()()][()([0)]([)]([22<-+⇔<-⇔x g x f x g x f x g x f 例4 （2009年山东高考理科卷）不等式0212<---x x 的解集为解：2120212-<-⇔<---x x x x0)2()12(2122222<---⇔-<-⇔x x x x0)]2()12)][(2()12[(<----+-⇔x x x x 11<<-⇔x 所以原不等式的解集为{}11<<-x x 类型五：形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：)()(x f x f <，无解0)()()(<⇔>x f x f x f例5 （2004年海南卷）解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 （1） 当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x （2） 当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x ax a（3） 当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或ax 11->- 1<⇔x 或ax 11-> 综上所述（1） 当0=a 时，原不等式的解集为： {}1<x x（2） 当0>a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3） 当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或 类型六：形如使c n x m x c n x m x ≥-+-≥---,恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≥⇔---≥max ；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ；例6 （2010高考安徽卷）不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)+∞-∞-,41,Y B.(][)+∞-∞-,52,YC.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,Y解：设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A类型七：形如,)()(a x g x f <-()为常数a a x g x f >-)()()()()(x h x g x f <-，)()()(x h x g x f >-,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7 （2009年高考福建理科卷）解不等式112+<-x x分析：找出零点：21,0==x x 确定分段区间：21,210,0≥<≤<x x x解：（1）当0<x 时，原不等式可化为：112+-<+-x x解得：0>x因为 0<x ，所以 x 不存在（2）当210<≤x 时，原不等式可化为： 112+<+-x x解得：0>x又因为21<≤x x ， 所以21<<x x （3）当21≥x 时，原不等式可化为： 112+<-x x ，解得：2<x又21≥x ， 所以221<≤x 综上所述，原不等式的解集为：{}20<<x x2、特别地，对于形如,)()(a x g x f <+()为常数a a x g x f >+)()()()()(x h x g x f <+，)()()(x h x g x f >+型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：⇔<+)()()(x h x g x f⎪⎩⎪⎨⎧<-<+)()()()()()(x h x g x f x h x g x f )()()(x h x g x f >+⇔)()()(x h x g x f >+或)()()(x h x g x f >-例8 （2009年辽宁高考理科卷）设函数a x x x f -+-=1)(（1）若1-=a ，解不等式3)(≥x f（2）如果,2)(,≥∈∀x f R x 求a 的范围解：（1） 当时，1-=a11)(++-=x x x f由3)(≥x f 得：311)(≥++-=x x x f即：()()311≥++-x x 或 ()()311≥+--x x解得：32≥x ，即：23-≤x 或 23≥x 故不等式3)(≥x f 的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2323x x x 或 （2）由2)(≥x f 得：21≥-+-a x x即：()()21≥-+-a x x 或 ()()21≥---a x x即：()212≥+-a x 或 21≥-a因为2)(,≥∈∀x f R x 恒成立， 所以21≥-a 成立，解得：1-≤a 或 3≥a故a 的取值范围为：(][)+∞-∞-,31,Y绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.。