高考含绝对值不等式的解法
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高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式
解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.
1、当0>a 时，
a x f a a x f <<-⇔<)()(
a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)(
2、当0=a
a x f <)(，无解
⇔>a x f )(使0)(≠x f 的解集
3、当0 a x f <)(，无解 ⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ⎩ ⎨⎧<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>>< 解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解： b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ A ．)2,0( B.)4,2()0,2(Y - C ．)0,4(- D.)2,0()2,4(Y -- 解： 311311<+<⇔<+ 20<<⇔x 或24-<<-x ，故选D 类型三：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下 解法：把)(x g 看成一个大于零的常数a 进行求解，即： )()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<， )()()()(x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -< 例3 （2007年广东高考卷）设函数312)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 解： 53125)(≤++-⇔≤x x x f 2122212+-≤-≤-⇔+-≤-⇔x x x x x ⎩⎨⎧+-≤--≥-⇔2 12212x x x x 111 1≤≤-⇔⎩⎨⎧≤-≥⇔x x x ，故填：[]1,1-. 类型四：形如)()(x g x f <型不等式 解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即： 22 )()()()(x g x f x g x f <⇔< 0)]()()][()([0)]([)]([22<-+⇔<-⇔x g x f x g x f x g x f 例4 （2009年山东高考理科卷）不等式0212<---x x 的解集为 解： 2120212-<-⇔<---x x x x 0)2()12(212222 2<---⇔-<-⇔x x x x 0)]2()12)][(2()12[(<----+-⇔x x x x 11<<-⇔x 所以原不等式的解集为{}11<<-x x 类型五：形如)()(),()(x f x f x f x f ><型不等式 解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即： )()(x f x f <，无解 0)()()(<⇔>x f x f x f 例5 （2004年海南卷）解关于x 的不等式 a x x a x x +-->+--1111 解： 011 1111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔1 1011 （1） 当0=a 时，原不等式等价于： 101 1<⇔<-x x （2） 当0>a 时，原不等式等价于： 111011<<-⇔<-<-x a x a （3） 当0 01<-x 或a x 11->- 1<⇔x 或a x 11- > 综上所述 （1） 当0=a 时，原不等式的解集为： {}1 （2） 当0>a 时，原不等式的解集为： ⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3） 当0 ⎭⎬⎫⎩