2013-06-09波尔兹曼方程与弛豫时间近似
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1 玻尔兹曼方程
dt, k k dt, k k dt; t) d f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： f f f f f f f vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
f f f f f f f 推导： vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( x x, y y， ) f ( x, y， ) ( x y } f ( x, y ) x y
dt, k k dt, k k dt; t ) 右 f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t ) {v xdt v ydt v zdt x y z kx dt k y dt k z dt } f (x , y , z ; k x , k y , k z ;t ) kx k y kz
与位置 r 有关系，通常是由
温度梯度
r 变化
化学势变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
f 变化
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是： dk F e(E v B) dt
统计热力学-波尔兹曼方程
1．玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation
统计热力 学电教课
之四
系统未达平衡态，其局部可（近似）达平衡 —— 局域平衡． f(0) —— 局域平衡的麦氏分布（与平衡部分整体运 动有关）． 各局域平衡部分通过碰撞相互影响，最后趋向大
平衡：一致的f(0)．
过程是缓慢的，可近似认为
f (0) 0
统计热力 学电教课
之四
统计热力 学电教课
之四
电子电荷 – e , 质量 m , 自旋1/2 , 速度dv 内、单位体积中的电子数
2m3
f
dudvdw
h3
电流密度
J z (e)wn e
fw
2m3
dv
h3
无 外 场 、
平
费密函数
f f (0) 1 emv2 / 2 1
衡 态
J = 0 ，无电流
单位时间由正方“跑入”负方的分子数 dΓ= – fudv 携带动量（沿y方） – mvfudv
正方传给负方的总动量（沿y方） 负方传给正方的总动量（沿y方）
0
mvfududvdw
mvfududvdw
0
相减得
pxy mvfududvdw mnuv uv
稳恒态
f (0) n
t
f n m e 0
3/ 2
m 2kT
(uu0 )2 (vv0 )2 (ww0 )2
2kT
u0、v0、w0 —— 整体运动速度三分量
Boltzmann 积分微分方程
f
t
v
rf
F
vf
(f
v1
f1
f f1 )dv1d
求解困难，应简化之
玻尔兹曼方程详细推导
玻尔兹曼方程详细推导玻尔兹曼方程（SchrdingerEquation）是现代物理学中最重要的方程之一，也是量子力学的基础。
它由奥地利物理学家爱因斯坦的学生爱迪生玻尔兹曼於1925年提出，在它的框架上建立起了现代量子物理学的基础。
它的形式是：iψ/t = 〖Hˉψ〗其中，i为虚数单位，为普朗克常量，t为时间，Hˉ为玻尔兹曼算符，ψ为量子状态。
这一方程可以用来解释电子在某个原子核附近运动所形成的电子结构。
它可以用来描述量子系统在时间和空间上的运动，以及它们之间的相互作用。
由于玻尔兹曼方程是一个非常有用的方程，研究者们发展出了其他方法来解决它，如均匀库塔解法，数值积分法，波函数折射法等。
在本文中，我们将重点关注如何使用均匀库塔法来求解玻尔兹曼方程。
均匀库塔法的基本概念是：将一个区域内的电子颗粒看成一个“有限个离散状态加上无限多连续态”。
它将一个量子状态ψ分解成若干有限状态和无限连续态：ψ=Σαφ +βψ其中，α和β是离散状态和连续状态的波函数系数，φ和ψ是离散状态和连续状态的波函数。
应用库塔法来求解玻尔兹曼方程，首先要将空间离散化，即将空间分成一定的网格点，数值上使用网格的离散状态为有限状态α，而其他状态为连续状态β。
换言之，量子力学物理量的变化可以用离散化方法近似表示，这样可以使用有限状态解决更复杂的问题。
之后，我们可以将方程转化为以下简化形式：ψ/t = Hy其中，H是一个矩阵，y是一个向量，表示离散状态和连续态波函数的系数。
将这个方程的两边同时乘以矩阵H的逆矩阵M，可以得到：MH(ψ/t) = MH y由此得到了新的方程：M(ψ/t) =My这个方程可以用来求解离散状态的系数α，因为ψ/t以由y来计算。
最后，我们将用库塔数值算法求解玻尔兹曼方程，将空间分割成一定的网格点，计算出离散状态和连续态波函数的系数，由此得到最终的波函数ψ。
经过上述推导，我们已经知道了如何使用均匀库塔法来求解玻尔兹曼方程，掌握了它的原理和步骤，同时也巩固了量子力学的基本概念。
弛豫时间计算公式
弛豫时间计算公式
弛豫时间是物理学中一个重要的概念，它指的是一个系统从某种初始状态到达平衡状态所需的时间。
在核磁共振成像等领域中，弛豫时间被广泛应用。
弛豫时间可以分为纵向弛豫时间和横向弛豫时间。
纵向弛豫时间指的是磁化强度从初始状态到达平衡状态所需的时间，通常用T1表示。
横向弛豫时间指的是磁化强度在垂直于初始方向上的衰减时间，通常用T2表示。
计算纵向弛豫时间和横向弛豫时间的公式如下：
T1 = -t / ln(Mz / M0)
T2 = -t / ln(Mxy / M0)
其中，t为时间，Mz为磁化强度在z方向上的分量，M0为磁化强度在z方向上的平衡值，Mxy为磁化强度在xy平面上的分量。
在实际应用中，弛豫时间的计算还需要考虑到一些影响因素，如磁共振仪器的性能和样品的物理性质等。
因此，弛豫时间的计算常常需要结合实验数据和模型来进行。
总之，弛豫时间是一项非常重要的物理概念，在科学研究和工程领域都有广泛的应用。
- 1 -。
boltmann方程
boltmann方程Boltzmann方程是描述气体分子运动的基本方程之一。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出的。
Boltzmann方程描述了气体分子的运动状态，包括速度、位置和能量等。
这个方程在研究气体动力学、热力学和统计物理学等领域中起着重要的作用。
Boltzmann方程的形式非常复杂，它包含了大量的微观物理学参数和变量。
这个方程的基本形式是：∂f/∂t + v·∇f + F/m·∇v f = (∂f/∂t)coll其中f是分布函数，描述了气体分子在速度空间中的分布情况；v是速度向量；∇f是速度空间中的梯度；F是作用于分子的力；m是分子的质量；(∂f/∂t)coll是碰撞项，描述了分子之间的相互作用。
Boltzmann方程的解析解非常困难，因此通常采用数值方法来求解。
这些方法包括蒙特卡罗方法、分子动力学模拟和格子Boltzmann方法等。
这些方法可以用来模拟气体的流动、传热和传质等过程。
Boltzmann方程的研究对于理解气体动力学和热力学等基本物理学问题非常重要。
它可以用来研究气体的输运性质、热传导和扩散等过程。
此外，Boltzmann方程还可以用来研究非平衡态下的物理现象，如激波、涡旋和湍流等。
总之，Boltzmann方程是描述气体分子运动的基本方程之一，它在研究气体动力学、热力学和统计物理学等领域中起着重要的作用。
虽然这个方程非常复杂，但是通过数值方法可以求解，从而揭示气体的流动、传热和传质等过程。
Boltzmann方程的研究对于理解气体的输运性质、热传导和扩散等过程非常重要，同时也可以用来研究非平衡态下的物理现象。
玻尔兹曼方程的应用
玻尔兹曼方程的豫驰时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似Leabharlann 玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
玻尔兹曼方程的弛豫时间近似
气体的黏滞现象
如图设气体以宏观速度v0 沿着y方向流动。考虑平 面x=x0,实验发现流速较 快的气体将带动流速较慢 的气体。使一方气体流速 变快一方气体流速变慢， 这种现象称为黏滞现象。 有牛顿的黏滞定律可得
y 负方 正方 v0(x)
x0
x
η为黏滞系数
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
黏滞现象的微观机制
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
金属的电导率
Thank you
徐永峰玻尔兹曼方程的应用一玻尔兹曼方程的弛豫时间近似二气体的黏滞现象三金属的电导率玻尔兹曼方程的豫驰时间近似气体的黏滞现象如图设气体以宏观速度v实验发现流速较快的气体将带动流速较慢的气体
玻尔兹曼方程的简单应用
姓名：徐永峰
玻尔兹曼方程的应用
一、玻尔兹曼方程的弛豫时间近似 二、气体的黏滞现象 三、金属的电导率
驰豫时间近似和导电率公式
玻耳兹曼方程：
−
q =
K E
⋅
∇k
f
K (k )
=
b
−
a
是一个积分 ----- 微分方程
其中：
b=
∫∫ a =
K k′ K k′
f f
K (k′,
K (k ,
t)[1 − t)[1 −
f f
K (k , K (k ′,
tt))]]ΘΘ((kkKK′,,kkKK′))[[((22ddππkkKK′)′)33
EF0
=
=2k02 2m*
E = EF0 在k空间的等能面是球面
等能面内的状态数
2
V (2π
)3
⋅
4π 3
k03
=
N
电子密度
n
=
N V
=
k03 3π 2
所以导电率： σ 0
=
nq2τ (EF0 ) m*
本节内容完
3
二、 电导率公式
1. 欧姆定律 求解玻耳兹曼方程得到：
K f = f (Ex, Ey, Ez,k )
可以将分布函数f 按电场强度E的幂级数展开
f = f0 + f1 + f2 + "
第一、第二、第三项分别是电场强度的零次、一次、 二次幂 ……项
将展开式59代入玻耳兹曼方程(6-58),得:
−
q =
K E
)(
∂f0 ∂E
)
1
f1
=
qτ =
K E
⋅
∇k
E
K (k
)(
∂f0 ∂E
)
KK v(k )
玻尔兹曼方程 -回复
玻尔兹曼方程 -回复玻尔兹曼方程是统计力学中的一条重要方程，描述了粒子在气体中的运动规律和分布。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出的，被广泛应用于研究气体动力学和热力学等领域。
玻尔兹曼方程的全称是玻尔兹曼输运方程，它描述了气体中粒子的分布随时间和空间的变化。
该方程是基于分子动理论和统计力学的基础上建立的，通过对碰撞过程和粒子间相互作用的统计分析，来推导出气体的宏观性质。
玻尔兹曼方程的形式如下：∂f/∂t + v·∇f = J(f,f)其中，f是粒子的分布函数，描述了在给定时刻和位置上，粒子的数目分布情况；t是时间；v是粒子的速度；∇是空间的梯度算子；J 是碰撞项，表示粒子间的相互作用。
玻尔兹曼方程可以用来研究气体的输运性质，比如粒子的速度分布、能量传递和熵产生等。
通过求解这个方程，可以得到气体的宏观性质，比如温度、压强和扩散系数等。
玻尔兹曼方程的求解是一个非常复杂的问题。
一方面，方程中包含了多个变量，需要进行高维积分计算；另一方面，碰撞项的具体形式也很难确定，需要通过适当的近似方法来简化计算。
在实际应用中，玻尔兹曼方程通常会结合一些边界条件和守恒方程进行求解。
比如，在研究气体的传热过程时，可以将玻尔兹曼方程与能量守恒方程相结合，来研究气体的温度分布和热传导等问题。
玻尔兹曼方程的应用不仅局限于气体动力学和热力学领域，还可以用于其他领域的研究。
比如，在固体材料的热传导和电导中，也可以使用玻尔兹曼方程来描述粒子的输运行为。
玻尔兹曼方程是统计力学中的一条重要方程，用于描述气体中粒子的分布和运动规律。
通过求解这个方程，可以得到气体的宏观性质，对于研究气体动力学和热力学等问题具有重要意义。
然而，由于方程的复杂性，求解过程仍然面临许多挑战，需要通过适当的近似和数值方法来简化计算。
玻尔兹曼方程
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移作用引起的分布 函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移项= 漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移
f ∂ ɺ ɺ r r =− ∇ f −k k f ∇ t ∂漂
f − f0 ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a = −
τ
1 r = ∇ ℏ
⋅
k
E
∂e (ε + v × B ) k ℏ
玻尔兹曼方程为： 玻尔兹曼方程为：
f −f0 1 f ∂ e ε ( kE ∇ ) − ( +v× )⋅∇ f =− ∇ ⋅ T B k ℏ T ) ∂ ℏ τ(k
2 j = ∫ − ev ( k ) f ( k ) dk 3 ( 2π)
不同状态电子的分布函数不同， 不同状态电子的分布函数不同， f (k ) 是在外场下的非平衡 分布函数。 分布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂， 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。
f ∂ t ∂ f ∂ 0 ＋ ＝ t 碰 ∂ 漂
f ∂ ɺ ɺ f −k f ∇ k t = r r ∂ 漂 −∇
f ∂ b a ＝− t ∂ 碰
ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a
它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解， 它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解，因 --积分方程 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。
bolzmann方程
bolzmann方程Boltzmann方程是热力学中的一种重要方程，用于描述气体分子的运动规律和能量传递过程。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪提出的，对于研究气体动力学和统计物理学起到了重要的推动作用。
Boltzmann方程的基本形式如下：∂f/∂t + v · ∇f = Q[f]其中，f是分布函数，描述了气体分子在速度和空间上的分布情况；t是时间；v是分子速度；∇是空间导数算符；Q[f]是碰撞项，描述了分子间的相互作用。
Boltzmann方程的意义在于描述了气体分子的运动规律和能量传递过程。
它可以用来计算气体的输运性质，如粘度、热导率和扩散系数等。
通过求解Boltzmann方程，可以得到气体的分子速度分布函数，从而揭示了气体的统计性质和宏观行为。
为了求解Boltzmann方程，需要考虑碰撞项Q[f]的具体形式。
在Boltzmann方程的右侧，碰撞项Q[f]描述了分子间的相互作用，包括弹性碰撞和非弹性碰撞等。
在弹性碰撞中，分子的动能守恒，而在非弹性碰撞中，还需要考虑能量的交换。
根据具体的气体模型和相互作用势能，可以对碰撞项进行适当的近似和简化，从而得到可求解的Boltzmann方程。
求解Boltzmann方程是一项复杂的任务，通常需要借助数值方法和计算机模拟来进行。
由于Boltzmann方程的维度很高，求解过程需要考虑大量的速度状态和空间坐标，计算量非常庞大。
因此，研究者们提出了各种各样的数值方法和近似方法，如分子动力学方法、碰撞积分方法和Monte Carlo方法等，以便更好地求解Boltzmann方程并获得气体的输运性质。
除了在气体动力学和统计物理学中的应用，Boltzmann方程还在其他领域发挥着重要作用。
例如，在半导体器件中，Boltzmann方程可以用来描述电子的输运行为，从而研究器件的性能和特性。
在等离子体物理学中，Boltzmann方程可以用来揭示等离子体的动力学行为和电离过程。
2013-06-09波尔兹曼方程与弛豫时间近似..
f0 (Ek
)
exp
Ek
1 EF
kBT 1
(1)
Page 4
考虑能带结构和电子的分布函数，电导应为
Je
2e
2 3
v(k)
f
(k )dk
(2)
其中 f (k) 为k波矢空间的分布函数。
如果分布函数 f (k) 不受外电场的影响，即仍是平衡态分布f0，则有 E(k)=E(-k),即 f0(k,T)=f0(-k,T)。
如果分布函数不受外电场的影响即仍是平衡态分布f此外由速度与能带的关系知速度关于k是反对称的即vkvk因此电流相反刚好抵消则当有外场如电场磁场或温度梯度场作用时电子的平衡分布被破坏在散射比较弱的情况下类似于气体分子运动论可以由坐标r和波矢k组成的相空间中的半经典分布函数为frkt来描述电子的运动
2013.06.09
④单位时间由于碰撞离开（r,k）处单位体积的电子数为
a
1 (2π)3
f
(k ,
r,
t
)
1
f
(k ,
r,
t)
(k , k )dk '
⑤单位时间内因碰撞而进入（r,k）处单位体积的电子数
b
1 (2π)3
f
(k ',
r, t )
1
f
(k ,
Page 15
弛豫时间近似
假定没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离 了平衡值，系统必须以碰撞机制来回复平衡态的分布，此时引一
个参量——弛豫时间 来描述这个恢复过程：
b a f - f f0
06-04驰豫时间近似和导电率公式
—— dt时间里碰撞的次数 —— 单位时间内电子发生碰撞的几率
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式——金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
假设电子和周围环境达到热平衡 仅仅是通过电子与原子实碰撞实现的 —— 碰撞前后电子的速度毫无关联
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式——金属电子论
3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式——金属电子论
2q2
(k
)v
(k
)v
(
k
)(
f0 E
)
dk
(2 )3
—— 是关于的一个函数
积分的贡献主要来自
附近
—— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式——金属电子论
电子对电流的贡献
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式——金属电子论
j ( nq2 )E —— j E 对比
m
根据能量均分定理
nq2
m
—— 室温下 —— 电子的自由程 —— 实际电子的自由程在低温下可达到
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式——金属电子论
以上
导电率
0
nq2 (EF0 )
m*
—— 金属电导理论
m*
§6-4 驰豫时间近似和导电率公式——金属电子论
4 金属电子论 —— 特鲁德关于金属电子模型的假设
金属由原子实和自由电子构成，原子实不动 电子可以自由运动，忽略电子与电子 电子与原子实相互作用，电子与原子实可以发生碰撞
—— 就像硬橡皮球与固定的物体发生碰撞一样 在无外场作用下，每个电子做匀速直线运动
玻尔兹曼输运方程两项近似
玻尔兹曼输运方程两项近似
玻尔兹曼输运方程是描述气体中粒子运动的方程，它可以用来描述气体中粒子的输运行为。
在实际应用中，由于复杂的气体分子相互作用和碰撞，通常需要进行一些近似处理来简化方程的求解。
其中两项常用的近似方法包括，连续介质近似和弛豫时间近似。
首先是连续介质近似，这个近似假设气体是连续的，即认为气体中的粒子是均匀分布的，而不考虑单个分子的运动。
这个近似使得输运方程可以用连续的流体力学方程来描述，例如纳维-斯托克斯方程。
这种近似在研究大规模气体运动时非常有用，因为它简化了方程的求解过程和物理图像的理解。
其次是弛豫时间近似，这个近似假设碰撞后粒子的速度很快地重新达到热平衡状态。
这样一来，在输运方程中可以将碰撞项简化为一个弛豫时间，从而简化了方程的求解。
这种近似在研究气体中的输运性质时非常有用，因为它使得方程更易于处理，并且能够给出许多实际现象的定量预测。
总的来说，这两项近似方法在简化和解决玻尔兹曼输运方程时起着重要作用。
它们使得方程更易于处理，并且能够给出与实际观
测符合较好的结果。
然而，需要注意的是，在使用这些近似方法时，需要对问题的物理背景和实际情况有深入的理解，以便合理地应用
这些近似方法。
量子力学知识：量子力学中的玻尔兹曼方程
量子力学知识：量子力学中的玻尔兹曼方程量子力学是研究微观领域中物质的运动规律的学科，它采用数学方法解释微观世界中的物理现象。
在量子力学中，玻尔兹曼方程是研究物质运动的重要方程之一。
本文将介绍玻尔兹曼方程的定义、原理、物理意义和应用，并探讨玻尔兹曼方程在量子力学中的重要性。
一、玻尔兹曼方程的定义和原理玻尔兹曼方程是熵增定理在经典理论中的应用。
熵增定理是热力学第二定律的重要内容之一，它表明任何孤立系统的熵都不会减少，而是随着时间的推移而增加。
熵是描述系统无序程度的物理量，它反映了系统内部的混乱程度。
熵增定理是自然界中一个普遍存在的规律，无论是在经典物理学还是在量子物理学中都适用。
玻尔兹曼方程是描述系统熵增的方程，它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼于1872年发表的。
玻尔兹曼方程的形式为：∂f/∂t + v·∇f + F/m·∇v f = C[f]其中，f表示分布函数，描述了粒子在不同位置和速度下的分布状况；v是粒子的速度向量，∇是空间梯度算子，F是粒子所受到的外力，m是粒子的质量，C[f]是碰撞积分项，表示粒子之间发生的碰撞过程。
该方程的意义是描述粒子在空间和速度上的分布变化，以及碰撞过程对粒子分布的影响。
方程右边的碰撞积分项表示碰撞作用引起的粒子分布变化，它是玻尔兹曼方程描述系统熵增的关键部分。
碰撞作用可以使粒子之间互相转移动量和能量，从而改变粒子的分布状态，这就是熵增定理的体现。
二、玻尔兹曼方程的物理意义玻尔兹曼方程的物理意义在于描述了粒子在空间和速度上的分布变化，以及碰撞过程对粒子分布的影响。
玻尔兹曼方程可以用于研究气体、流体等的热力学性质，如温度、密度、压力、热传导等。
在量子力学中，玻尔兹曼方程也被广泛应用于研究各种微观粒子的动力学行为，如电子、质子、中子、光子等。
玻尔兹曼方程的另一个重要物理意义在于描述了能量转移的过程。
在热力学中，能量的转移一般分为传导、对流、辐射三种方式。
驰豫时间近似和导电率公式
] ]
01/ 22
一、弛豫时间近似
1.外场和温度梯度存在
rK∇
K r
f
+ kK∇ K f k
=b−a =
−
f
− τ
f0
⋅
r
=
1 =
∇
k
E
kK
=
−
e =
(εK
+
K v
×
K B)
∇r
f
=
∂f ∂T
∇ rT
玻尔兹曼方程为：
1 =
(∇
K k
E
⋅
∇T
)
∂f ∂T
−
e =
(εK
+
K v
×
K B
)
⋅
∇
K k
=
σ0
=
1 3
(σ
11
+ σ 22
+ σ33)
K
∫ σ 0
=
−
2q2 3
=2 m*2
(k12
+
k22
+
k32
)τ
(k )( ∂f0 ∂E
)
dk (2π )3
K dk = 4π k 2dk
E
=
=2k 2 2m*
dE = =2k dk m*
∫ 导电率
σ0
=
q2 3π 2m*
[k 3τ (k )](− ∂f0 )dE ∂E
电子的能量可以写为：
E
=
=2k 2 2m*
电子的速度分量：
K
vα
=
1 =
∂E(k ) ∂kα
=
=kα m*
chapman enskog近似 时间导数展开
chapman enskog近似时间导数展开Chapman-Enskog近似是用于描述气体流动中非平衡态的动力学方程的一种近似方法，它通过展开粒子分布函数的时间导数来获得方程的更高阶项。
在气体动力学中，粒子弛豫时间是指粒子在碰撞后恢复平衡态所需的时间。
在弛豫时间内，粒子的分布函数可以通过展开时间导数来近似。
粒子分布函数的级数展开通常用于表达非平衡态动力学方程中的高阶修正项。
为了简化计算，Chapman和Enskog提出了一种近似方法，将粒子分布函数展开到一定的阶数，并忽略高阶项。
这个展开后的方程通常被称为Chapman-Enskog方程。
Chapman-Enskog近似的基本思想是将粒子分布函数表示为平衡态分布函数的一阶修正项和弛豫时间的乘积。
通过将展开后的粒子分布函数代入Boltzmann方程，并保留一阶修正项，可以得到Chapman-Enskog方程。
Chapman-Enskog方程的一般形式可以用来描述不同类型气体的非平衡态流动，但是具体的形式取决于气体的性质以及所考虑的物理过程类型。
例如，对于稀薄气体的流动，常见的Chapman-Enskog方程是可压缩流体的Navier-Stokes方程，可以用来描述粘性流体的流动。
Chapman-Enskog近似的优点在于它是基于严格的统计物理理论，可以通过考虑分子间相互作用和碰撞过程来获得非平衡态的精确描述。
然而，这个方法也有一些限制，例如它要求粒子分布函数的涨落较小，并且弛豫时间要远远小于其他时间尺度。
Chapman-Enskog近似的应用非常广泛，涵盖了从热传导到化学反应等各种物理过程的描述。
对于稀薄气体的流动，Chapman-Enskog近似是研究粘性流体动力学的基本工具，它被广泛应用于空气动力学和流体力学等领域。
总之，Chapman-Enskog近似是一种重要的近似方法，用于描述气体流动中的非平衡态动力学方程。
它通过展开粒子分布函数的时间导数来获得方程的更高阶项，从而提供了描述非平衡态流动的精确描述。
弛豫时间
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弛豫过程所需的时间叫弛豫时间。即达到热动平衡所需的时间。热动平衡即因热量而导致的动态平衡
分类
弛豫时间有两种即t1和t2
t1为自旋一点阵或纵向驰豫时间,纵向磁化强度恢复的时间常数T1称为纵向弛豫时间(又称自旋-晶格弛豫时 间)，
t2为自旋一自旋或横向弛豫时间,横向磁化强度消失的时间常数T2称为横向弛豫时间(又称自旋-自旋弛豫时 间)。
每次碰撞之间的时间间隔平均，我们称为驰豫时间г；每次碰撞的速度增量平均，我们称为漂移速度。
作用
处在稳定外磁场中的核自旋系统受到两个作用，一是磁场力图使原子核的磁矩沿着磁场方向就位，另一是分 子的热运动力图阻碍核磁矩调整位置。最后磁矩与稳定磁场重叠并达到—个动平衡，此时沿磁场方向的磁化强度 最大，而与磁场垂直方向的磁化强度平均为零。如果原子核系统再受到—个不同方向的电磁场作用，磁化强度就 会偏离原来的平衡位置，产生与原磁场方向垂直的横向磁化强度，同时与原磁场平行的纵向磁化强度也将减小。 当这个电磁场去掉之后，核系统的不平衡状态并不能维持下去，而要向平衡状态恢复。人们把向平衡状态恢复的 过程称为弛豫过程。原子核从激化的状态回复到平衡排列状态的过程叫弛豫过程。这个过程遵循指数变化规律， 其时间常数称为弛豫时间。
分析
在经典物理中，电场中的粒子可以在电场作用下作加速运动，即
然而，自由电子在外电场作用下在晶体内运动却不能满足这个简单关系。首先，自由电子的静止质量和运动 质量不同，公式中的质量为爱因斯坦的相对质量;另外，电子在晶体内最终会与原子发生碰撞，改变运动状态。这 个碰撞会趋于降低电子从外电场获得的加速度，但电子的最终速度始终是增加。
高二物理竞赛课件：驰豫时间近似和电导率公式
f
f0
方程的解就是存在电场时定态分布函数f，f将是电场E的 函数，把f按E的幂级数展开
f f0 f1 f2
f1,f2分别代表包含电场E的一次幂、二次幂…， 代入方程得
q
E k
f0
q
E k
f1
f1
f2
q
E k
f0
f1
q
E k
f1
f2
f1
q
E k
f0
q
E
k
E
(k )(
f0 E
碰撞 b a
一般形式的玻耳兹曼方程为
f t
v f
k k
f
ba
对于定态问题，如恒定的电磁场的情况下， f 0
玻耳兹曼方程为
t
v f k k f b a
如果f与位置无关（不存在空间不均匀的情况） f 0
k k f 又 dk
ba
qE
dt
q
E
k
f
(k )
b
a
驰豫时间近似和电导率公 式
驰豫时间近似和电导率公式
q
E
k
f
(k )
b
a
碰撞项b-a包含未知的分布函数，因此，玻耳兹曼方程是
一个积分微分方程。在实际中都采用近似方法求解，一个
被
广泛引用的近似方法是假定碰撞项可以写成下列简单的形
式
b a f f0
(k )
其中f0为平衡时的费米分布函数，τ是引入的一个参量，称 为驰豫时间，它是k的函数。这个假定的一般依据是考虑到碰撞 促使系统趋向平衡态这一基本特点。
(2
dk
(2 )3
t)
t dk 以上两式之差就是 时间内
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如果分布函数
E(k)=E(-k),即 f0(k,T)=f0(-k,T)。
此外，由速度与能带的关系知速度关于k是反对称的，即V(k)=-V(-k),
因此，电流相反，刚好抵消，则
Je
2e v(k ) f 0(k )dk 0 3 2
(3)
即平衡态下，电流为0。
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当有外场（如电场、磁场或温度梯度场作用）时，电子的平衡分布
碰
f t
（4）
漂
碰撞项
漂移项
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(1)漂移项:
它包括外场作用力引起的电子波矢的漂移和速度引起的电子位
置的漂移。
如果不考虑碰撞，则 f (r , k , t ) f (r v dt, k k dt, t dt)
(5)
即t时刻(r,k)处的电子来自t-dt时刻 如果考虑碰撞，则需要加上因碰撞引起的f的变化 则有
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弛豫时间近似
假定没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离
了平衡值，系统必须以碰撞机制来回复平衡态的分布，此时引一
个参量——弛豫时间 来描述这个恢复过程：
ba f t 碰
f f0
（14）
负号表示随时间的增长，偏离平衡程度减小。
f 0 为系统平衡时的费米分布函数，是系统恢复平衡的弛豫时间，反映碰
J u KT J e E
这就是所谓的热导和电导现象。
热流通量 电流通量
K、
：称为热导系数和电导系数。
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假定电子在外场中的 非平衡分布对于电子 碰撞的几率以及碰撞 后电子的分布无任何 影响。
经过三步简化最终 认为是单电子在周 期性势场中运动。
在费米统计和能带 论的基础上重新处 理电导问题。
2 (2 )
3
[1 f (k ' )]dk'
④单位时间由于碰撞离开（r,k）处单位体积的电子数为
1 a (2π)3
f (k , r , t ) 1 f (k , r , t ) (k , k )dk '
(10)
⑤单位时间内因碰撞而进入（r,k）处单位体积的电子数
在t-dt时刻，在（ r,k ）处电子数为7个，此时，在（ r-rdt,k-kdt ）处电子 数为8个。 在t-dt t的时间内，由于外场的漂移作用，在（ r,k ）处电子数为8个。
所以漂移使（ r,k ）处电子数在dt时间内增加8-7=1个。另外在时刻t的瞬 间，（ r,k ）处因碰撞进入该区的电子数为1个，因碰撞离开此区域的电子 数为2个，所以该区域因碰撞而净增加的电子数为-1个。由此可以看出外 场的漂移和碰撞两个因素，使（ r,k ）处单位体积内在t-dt t的时间内增 加的电子数为0个，正好平衡。
被破坏，在散射比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，可以由 坐标r和波矢k组成的相空间中的半经典分布函数为f(r,k,t )来描述电
子的运动。
电子在外场下偏离平衡态时，非平衡分布函数f随空间位置r和时间t 的变化而变化，那么f(r,k,t
)将如何随时间变化呢？
在非平衡统计理论中，通过分布函数来研究输运过程的一个主要方法 就是列出粒子状态的分布函数的方程——玻尔兹曼方程，它是为考察 分布函数如何随时间变化而确定的。
f f (r , k , t ) f (r v dt, k k dt, t dt) t 碰
(
f )碰 t
(6)
将上式右边第一项展开，只保留对t一次导数项，得
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f f f f k ]dt ( ) 碰 f (r , k , t ) f (r , k , t ) [ r t r k t
当作各向同性的散射，只是一种简化的近似。
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变形奥氏体等温弛豫一定时间，快冷相变后的超低碳贝氏体组织可得 到明显细化。
在氢原子核磁共振成像的实验中，样品的弛豫时间对成像的明暗对比 和清晰度有较大影响。
在过冷液体和玻璃态物质的研究领域中弛豫也具有重要作用。
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应用
一般都是通过密度泛函理论（DFT)计算结合玻尔兹曼方程对热电材料的 电热输运性质进行理论研究。热电材料的性能由无量纲的优值系数ZT值 来表示，而ZT值又由输运系数—电导率、塞贝克系数以及热导率来决定 ，对于以上输运系数的计算需要玻尔兹曼方程来完成。
电导率
塞贝克系数
热导率
f e vk vk 0 k
2
1 1 s e T eT
v v ( )
k k k
f 0
v v
k
k k
f 0
2 f ( )vk vk 0 f 1 ke ( ) 2vk vk 0 k f 0 Tk vk vk k
外场 梯度 引起 的漂 移项
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（2）碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，电子不
断发生从K
K’态的跃迁，电子态的这种变化称为散射。
①r处单位体积中处在K~K+dK间的电子数， d n
2 (2 )
3
f (k )dk
②单位时间由状态K
③K’态空状态数为
K’的散射几率为 K,K’）只考虑自旋不变的跃迁 （
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玻尔兹曼方程
1、背景资料
玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann ），
奥地利物理学家，热力学和统计物理学 的奠基人之一。
1872年，他建立了玻尔兹曼方程，
他把分布函数f的变化率归结为连续运 动和碰撞两个因素，给出了f所遵循的 演化方程，用来描述气体从非平衡态到 平衡态过渡的过程。 1875年玻耳兹曼用它推导了输运过 程的粘滞系数、扩散系数和热传导率，
路德维希· 玻尔兹曼
故又称为输运方程。
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分布函数随时间的变化来自两个方面：
（a）漂移变化：电子在外场作用下的漂移运动引起分布函数的变化，
它是破坏平衡的因素。 （b）碰撞变化：电子碰撞而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平
衡的因素。
从而在粒子数守恒的条件下，分布函数的总变化率为
f f t t
撞对分布函数的影响。考虑到不同K态回复的差异，它应该是K的函数。 上式的解为 f f f 0 (f ) 0 e t / ，其中 (f ) 0 表示t=0时分布函数对平 衡的偏离，由此可以看出弛豫时间大致量度了恢复平衡所用的时间。
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现在的问题是什么条件下能用弛豫时间来描述玻尔兹曼方程的碰撞项？
由于碰撞项（b-a）的积分内包含着未知的分布函数，因此，玻尔兹曼方程是 一个积分——微分方程式。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面，且在各向同 性的弹性散射以及弱场的情况。
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玻尔兹曼方程中的漂移项和碰撞项示意图
(r , k , t dt)
(r r dt, k k dt)
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由以上内容可以看出：
（1）没有外场或温度梯度，系统不会离开平衡位置。 （2）有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止地 漂移。 （3）没有碰撞，系统不会从非平衡分布恢复到平衡分布。
（4）有了碰撞机制，就使漂移受到遏制，被限制在一定的程度而
达到稳定的分布。 由于玻尔兹曼方程是一个微分——积分方程，难于求出此方程的解， 因此常采用近似的方法，最常用的方法为弛豫时间近似方法。
利用费米分布，在弹性散射条件下，E=E’，则有 f 于是， 碰 ( k ' , k )[ f ( k ' ) f ( k )] t k' 假定偏离平衡态不远，f1=f-f0是个小量，则
(k ' , k ) (k , k ' )
f t
碰
(k ' , k )[ f1 (k ' ) f1 (k )] f1 (k ) (k ' , k )[1
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基于密度泛函理论进行电子结构计算，可以得到电子群速度及能带能量等 值，然后代入以上公式便可得到相应的输运系数从而进一步确定材料的热 电性能。需要说明的一点是：以上计算中，弛豫时间是无法在DFT计算中得 到的，往往根据实验值将其取做一个常数。
电子输运
在能带论的基础上，建 立其能够确定外场作用 下非平衡分布函数的玻 尔兹曼方程对于输运过 程意义重大，从而成为 研究固体电子输运性质 的理论基础，使精确地 确定许多与电子输运密 切相关的晶体性质成为 可能。
局限性
随着半导体器件进入纳米 尺度，量子效应对器件性 能的影响越来越重要，载 流子的输运进入了量子输 量子输运 运的领域，这同时体现在 空间和时间两个方面。对 纳米尺度半导体器件，玻 尔兹曼方程的适用性受到 局限，载流子输运需要建 立在量子力学理论框架上。
2013.06.09
玻耳兹曼方程与弛豫时间近似
讲解人：李健 答疑人：董旭，金烨
概述 弛豫时间近似
玻尔兹曼方程
应用
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概述
（一）输运现象
定义：如果系统中存在像温度、浓度、电势等强度量的不均匀 性，那么将导致像能量、粒子数、电荷数的流动，这就是输运 现象。 假定沿晶体的某个方向存在温度梯度、电势梯度，则输运过程 中的热流通量、电流通量与相应的梯度通过如下关系相联系：
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在能带理论的基础上，晶体中的电子是按能带分布的，处于不同
能带、不同状态的电子有着不同的速度，因此它们对电导的贡献
也不相同，所以在电子的输运过程中必须考虑其输运函ห้องสมุดไป่ตู้，并将 对输运过程的影响归结为对电子分布函数的影响。