椭圆的简单几何性质第一课时教学设计(第16组 )

椭圆的简单几何性质（第一课时）

一、教材分析

1、教材的地位和作用

《椭圆的简单几何性质》是北师大版选修2-1的内容。本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。先引导学生观察椭圆（几何直观），了解应该关注椭圆的哪些方面的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的哪些几何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法。这样由形到数，由数到形，通过对曲线的范围、対称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，为后续研究其它曲线性质作铺垫。

2．教学重、难点

重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：用曲线方程研究曲线几何性质

3．学情分析

学生已学习了圆的相关性质，并掌握了椭圆的基本定义及其标准方程，亲历体验、发现和探究的意识，具备一定的图形分析能力和逻辑推理能力。

二．教学目标

1．知识与技能：

（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑

关系及利用数形结合解决实际问题。

2．过程与方法：

（1）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；

（2）运用数形结合思想解决实际问题的能力。

3．培养学科核心素养

通过学生对椭圆几何性质的探究过程，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养。

三．教法与学法分析

1. 教学方法：

（1）类比分析法；（2）辨析与研讨法；（3）启发式引导法；（4）反馈式评价法.

2. 学法指导

自主探究法、观察发现法、归纳总结法。

四．教学过程分析

创设情景

第一“环节”：导入新课，明确研究方向：（类比与辨析）

设置问题1：

根据所学的知识，如何画椭圆的大致图形？（描点，体验关键点；对称性）设置问题2：

请同学们回忆圆C ：x 2+y 2=a 2(a >0)的几何性质。借鉴圆的几何性质，想一想椭圆122

22=+b

y a x （a >b>0）会有哪些几何性质？ 利用多媒体打出一个焦点在轴x 轴上的椭圆，引导学生从直观上观察椭圆，想一想我们应该关注椭圆哪些方面的性质，如何研究？引导学生回顾圆借助方程研究几何性质的方法类比研究椭圆的几何性质。

问题探究的方向引导：

（1）椭圆的标准方程有什么样的结构特征？

（2）根据观察出的结构特征能否指出椭圆具有的几何性质？

自主探究、辨析研讨

（1）类比联想、数学直观；（范围、对称性）

（2）经历体验、感性认识；（手动折叠、生活经验）

（3）问题提出、逻辑证明；（代数证明对称性、范围）

第二“环节”：导出性质，明晰证明方法：（定性分析和定量分析）

引导学生根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，为了有序地讨论性质，可以先引导学生分析得出以下结论：

x=0或y=0时方程的解曲线与对称轴的交点（椭圆的顶点）

方程中变量x 、y 的取值范围曲线的范围

方程形式上的对称性曲线的对称性（图形观察与分析，代数逻辑推理证明） a,b,c 相对的大小变化曲线的几何形状变化趋势（椭圆的离心率） 具体分析如下

1、对称性的探究 根据方程加以证明：椭圆2

222: 1 (0)x y C a b a b

+=>>具有的对称性。 归纳结论：椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>关于x 轴, y 轴和原点对称，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。

设计意图

（1）大胆假设，小心求证；方程形式上的对称性曲线的对称性（图形观察与分析，代数逻辑推理证明）

（2）利用椭圆的对称性可以简化作图过程；

（3）利用对称性可以简化问题的解决；

2、顶点的探究

问题1：探求椭圆2

222: 1 (0)x y C a b a b +=>>与对称轴的交点个数。根据方程如何求出这些交点坐标？

顶点定义：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

顶点坐标：1(,0)A a -,2(,0)A a ,1(0,)B b ,2(0,)B b -

结合图形指出：线段12A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

讨论：在椭圆标准方程的推导过程中，令a 2-c 2=b 2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？

多媒体展示：连结顶点2B 和焦点2F ，构造22Rt B OF ∆,在22Rt B OF ∆中，即222a c b =+ 设计意图：

（1）顶点是确定椭圆图形的关键点，易于确定椭圆的大致图形；

（2）关注,,a b c 三个几何量与所构造的三角形，至此回应了在椭圆标准方程的推导过程中，令222a c b -=能使方程简单整齐的几何特征量；

3、范围的探究

问1：根据顶点的探究，研究x 、y 的范围

问2：根据方程2

222: 1 (0)x y C a b a b

+=>>探求x 、y 的取值范围。 引导：椭圆标准方程2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>有什么特点？ （1）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1。

（2）方程中2x 和2y 的系数不相等。

设计意图：

（1）确定椭圆方程中x 、y 的范围；

（2）椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内；

4、归纳、类推

归纳焦点在x 轴上的椭圆的简单几何性质，运用同样的方法，探索焦点在y 轴上的椭圆，说说它又会有怎样的几何性质？

应用举例：