圆的切线问题及答案

圆的切线问题及答案

1. 如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 的中点，点O 是线段AE 上的一个动点（不与A 、E 重合），以O 为圆心，OB 为半径的圆与边AD 相交于点M ，过点M 作⊙O 的切线交DC 于点N 。 （1）求证：MN=AM+CN ；

（2）延长MA 交⊙O 于点F ，连接EN ，若AF=4，AO:BO=3:5，求EN.

2. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，直线CD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线上于点D ，且∠CAB=2∠BCD．（1）如图1，求证：AB=AC

（2）如图,2，连接CM ，求证：∠CAB=∠MCD （3）若BC=53，BD:CD=

5:1，求△ACD 的周长．

3. 如图，⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形； （2）求证：HK ＝HG ；

（3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．

N M E B A D O N F M E

B A D O

图1

M N D A O C B M N

D A O C

B 图2

A

B

C

D

E

F

P

O 4. 如图，⊙O 的半径r 为25，AD 是⊙O 的切线，切点为点D ，割线AC 与⊙O 相交于点B 、C ，弦DE ⊥AC ，垂足为点F ，连接CE 、OE. （1）求证：∠ A=∠ OED； （2）若4

3

tan =

∠A ，求DE 的长； （3）在（2）的条件下，若3

1

tan =∠BCE ，求△ADF 的面积.

5. 己知：如图:△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 干点F ，交⊙O 于点D ，DF ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD. （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P 是线段AF 的中点 （3）若⊙O 的半径为5，AF=15

2

，求tan ∠ABF 的值.

6. 如图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，

使得ED =EA .

（1）求证：ED 是⊙O 的切线.

（2）当OA =3，AE =4时，求BC 的长度.

7. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．

8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．

（1）求证：∠AEC=90°；

（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；

（3）若DC=2，求DH的长．

9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．

(1)求证：OD∥BE；

(2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．

E

O

B

10. 如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：E是AC的中点；

（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．

答案

1. （1）连接OM 、BM 、BN ，过点B 作BP ⊥MN 与点P ∵在⊙O 中，MN 与⊙O 相切 ∴OM ⊥MN ∴∠OMN=90° ∴∠OMB+∠BMP=90°

又∵正方形ABCD ∴∠ABC=∠A=∠C=90°，AB=BC ∴ ∠AMB+∠ABM=90°

又∵在⊙O 中，BO=MO ∴∠OBM=∠OMB ∴∠AMB=∠PMB 又∵AB ⊥AD ，BP ⊥MN ∴AB=BP=BC ，∠A=∠BPN=∠C=90° 又∵BM=BM ∴Rt △ABM ≌Rt △PBM ∴AM=PM 又∵BN=BN ∴Rt △BPN ≌Rt △BCN ∴PN=CN ∴MN=MP+NP=AM+CN

（2）过点N 作NQ ⊥AB 于点Q

∵在⊙O 中，OA ⊥FM ∴FA=AM=4

∵AO:BO=3:5 ∴AO:MO=3:5 ∴设AO=3x ，BO=MO=5x ，则AB=8x

∴在Rt △OAM 中，AO 2+AM 2=MO 2 ∴（3x ）2+42=（5x ）2

x=1 ∴AB=CD=BC=AD=8 ∴MD=AD-AM=4

设CN=a ∴DN=CD-CN=8-a ∴MN=AM+CN=4+a

∴在Rt △MND 中，MD 2

+ND 2

=MN 2

∴（4）2

+（8-a ）2

=（4+a ）2

a=

38 ∴CN=3

8 又∵NQ ⊥AB ∴∠NQB=∠B=∠C=90°∴矩形BCNQ ∴QN=BC=8，QB=CN=3

8

∴EQ=EB-BQ=4-

38=3

4

∴在Rt △EQN 中 EN=22QN EQ +=3374

2. （1）、连接AN 。

∵AC 为⊙O 的直径∴∠B NA=CNA=90° ∵CD 是⊙O 的切线∴∠ACD=90°

∵∠CAB=2∠BCD.∴∠BCD=∠CAN=∠BAN. ∴∠ACN =∠ABN ∴AB=AC,

(2) ∵AC 为⊙O 的直径∴∠AMC=BMC=90°∵ ∠ACN =∠ABN ∴∠BCD =∠BCM ∵∠CAB=2∠BCD ∴∠CAB=∠MCD

(3) 连接AN∵∠BCD =∠BCM ∴BM:BC=BD:CD=5:1∴sin∠BC M=

5

5

. BM:CM=1:2 ∵BC=53，∴ CD=12 ∴AC=9,AD=15 ∴△ACD 的周长为36

3. 解：（1）∵AC ＝BC ，AB 不是直径，

∴OD ⊥AB ，∠PCO ＝90° ∵PE ∥OD ，∴∠P ＝90°，

∵PE 是切线，∴∠PEO ＝90°， ∴四边形OCPE 是矩形．

（2）∵OG ＝OD ，∴∠OGD ＝∠ODG ． ∵PE ∥OD ，∴∠K ＝∠ODG ．

∵∠OGD ＝∠HGK ，∴∠K ＝∠HGK ， ∴HK ＝HG ．

（3）∵EF ＝2，OF ＝1，∴EO ＝DO ＝3．

∵PE ∥OD ，∴∠KEO ＝∠DOE ，∠K ＝∠ODG ． ∴△OFD ∽△EFK ，∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1， ∴KE ＝6．

4. （1）证明：连接OD

∵AD 是⊙O 的切线 ∴OD⊥AD ∴∠ADO=90°∴∠ADF+∠ODE =90° 又∵∠ADF+∠A =90° ∴∠ODE =∠A ∵OD=OE ∴∠ODE =∠OED ∴∠A=∠OED （2）解：过点O 作O G⊥DE 于点G ，则DE=2DG 在Rt△ ODG 中，43tan tan =

∠=∠A ODE ∴

4

3

=DG OG M N D A O C

B