用二分法求方程的根

概括利用二分法求函数 f ( x )零点的近似值的步骤 1．确定区间[a，b]，验证 f (a ) f (b) 0 ，给定精确度
2．求区间(a，b)的中点c
3．计算f(c) (1)若f(c)=0，则c 就是函数的零点 (2)若 f (a ) f (b) 0 ，则令b=0（此零点 x0 ( a , c ) ） (3)若 f (c ) f (b) 0 ，则令a=0（此时零点 x0 ( c , b )） 4．判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点近似值
a(或b)；否则重复步骤2-4．
求方程 2 x 3 x 7 的近似解(精确到0．1)
解 令f ( x ) 2 x 3 x 7, 零点为x0 , 精确度为 易知：f(1)<0，f(2)>0 取x=1.5，计算f(1.5)≈0.33>0 x0 (1,1.5) 取x=1.25，计算f(1.25)≈-0.87<0 x0 (1.25, • 1.5) 取x=1.375，计算f(1．375)≈-0.28<0 x0 (1.375, • 1.5) 取x=1.4375，计算f(1.4375)≈0.02>0 x0 (1.375, • 1.4375) 此时 | 1.4375 1.375 | 0.0625 0.1 ∴ 原方程的近似解取为1.4375
f(a) 负 负 负 负 负 负 负 负
f(c ) -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001
f(b) 正 正 正 正 正 正 正 正
| 2.5390625 －2.53125|=0.0078125<0．01 精确度已达到0．01
结论 1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值． 2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如0．01时，可 以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤， 而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误 差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值． 3.本题中，如在精确度为0．01的要求下，我们可以将区间 (2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2， 3)内的零点近似值． 4.若再将近似值保留两为小数，那么2．53，2．54都可以作 为在精确度为0．01的要求下的函数在(2，3)内的零点的近似 值．一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的 近似值，即2．53125
象这种运用缩小零点所在范围的方法在数学和计算机科学上被 称为二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且 f (a ) f (b) 0 的函数 Байду номын сангаас f ( x ) 通过不断地把函数 f ( x )的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法． 二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地一分为二， 使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点．
A
C
E
D
B
思考2：从上节课已经知道函数f(x)=lnx+2x-6 在区间（2，3）内有零点，那么如何找到 这个零点呢？
(a，b) 中点c (2 , 3) 2.5 (2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 (2.5,2.625) 2.5625 (2.5,2.5625) 2.53125 (2.53125,2.5625) 2.546875 (2.53125,2.546875) 2.5390625 (2.53125,2.5390625) 2.53515625
用二分法求方程的近似解
第一课时
思考1:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路，如何迅速查出故障 所在？
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半