用二分法求方程的根
二分法求方程的根
二分法求方程的根二分法是求解函数零点的一种简单而又有效的方法。
它适用于xx、xx、xx等情况下，能够快速找出函数的根，对于计算机程序中的解析和数学问题研究都有很大帮助。
接下来，我们就来介绍一下利用二分法求方程的根。
求解方程的根，首先需要通过一些数学手段，将问题转化为一个函数问题。
假设我们需要求解函数$f(x)=0$的根，其中$x$为实数，我们可以将其转化为$f(x)>0$和$f(x)<0$两种情况的判断。
这样的话，就可以寻找一个区间$[a,b]$，在这个区间内，$f(x)>0$的$x$和$f(x)<0$的$x$广泛地分布在$a$和$b$这两个点的两侧，此时我们就可以运用二分法，在这个区间$[a,b]$内寻找函数$f(x)=0$的根。
在使用二分法之前，要定义好区间$[a,b]$，并进行初始化。
通常情况下，我们可以采用等距离的方式将区间分成$n$份，其中$n$为我们估计的一个比较小的值，但要保证区间内$f(x)>0$和$f(x)<0$的值分别在区间的两侧。
然后在处理过程中，每进行一次迭代，区间长度就会缩短一半，这样可以不断逼近根。
接下来就可以按照下述步骤进行计算：1. 首先，选定区间$[a,b]$，将区间分为$n$份（$n$为自己估计的一个小数），如果$f(a)>0$且$f(b)<0$，则继续下一步骤，否则退出。
2. 对于区间$[a,b]$，将其一分为二，这里我们选定中间点为$c=\dfrac{a+b}{2}$，并对区间左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行讨论。
3. 判断$f(c)>0$还是$f(c)<0$，如果是$f(c)>0$，则根位于左半部分$[a,c]$；如果是$f(c)<0$，则根位于右半部分$[c,b]$。
4. 再次对左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行二分，不断缩短区间长度，逼近根。
5. 重复执行步骤3和4，直到区间长度小于一定的精度，或者达到迭代的最大次数。
二分法求解3次方程
二分法求解3次方程二分法求解3次方程是一种常见的数学解题方法，它通过将方程式转化为自变量的一元函数，并通过不断逼近根的方法求得方程的根。
本文将会详细地介绍使用二分法求解3次方程的步骤。
1.将3次方程式转化为一元函数式对于3次方程，我们可以将其转化为通常的一元函数y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
例如，对于3次方程x^3 + 2x^2 - 3 = 0，我们可以将其转化为函数y=f(x) = x^3 + 2x^2 - 3。
这里的y就是方程在当前x值下的解。
2.通过二分法确定自变量的解对于3次方程，我们可以对自变量进行二分法处理。
简单来说，二分法就是将自变量的解分成两部分，分别处理每个部分，直到求得可接受的精度为止。
详细来说，二分法如下：(1)确定自变量的上下界。
通过给定的初始值或观察曲线，确定自变量的上下界，将其分别用x1和x2表示，保证方程在(x1,x2)内存在根的解。
(2)将自变量中点的值带入函数中得到y值，判断其与0的大小关系。
如果y值大于0，则根存在于(x1,x2)的左半边，反之则在右半边。
(3)根据上一步的判断，重新确定自变量的上下界。
如果y值大于0，则新的上界是中点x的值，否则，新的下界是中点x的值。
(4)对于新的上下界，重新求出中点x，并带入函数中得到y值，然后重复步骤(2)和步骤(3)，直到满足给定的精度为止。
3.计算方程的解通过不断进行二分法处理，我们可以求得3次方程的解。
此时，在获得可接受的精度范围内，我们可以将x的值代入原方程中，计算出相应的y值，即为方程的根。
综上所述，二分法求解3次方程需要将方程式转化成一元函数式，然后通过逐渐逼近自变量的解来计算方程的根。
这种方法简单、易于实践，是解决多项式方程式的一种有效方法。
力学中的计算方法(方程求根)
ˆK x
Fixed-Point Iteration ( x K 1 x K ) 2 xK x K 2 x K 1 x K 2
y=x
x0 , x1 g( x0 ), x2 g( x1 ), ˆ 0 , x3 g( x2 ), x ˆ 1 , x4 g( x3 ), x ... ...
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 ) y
x* x0
f ( xk ) x k 1 x k f ( x 线性 /* linear */ k)
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x
x0
只要 f C1，每一步迭代都有 xk x * ， f ’( xk ) 0， 而且 lim k 则 x*就是 f 的根。
1 | x k 1 x k | | x * xk | 1 L
L | x1 x0 | | x * xk | 1 L
k
( k = 1, 2, … )
且存在极限
lim
k
x * x k 1 g x * x * xk
Fixed-Point Iteration
1 | x k 1 x k | ? ④ | x * xk | 1 L | x k 1 x k | | x * x k | | x * x k 1 | | x * x k | L | x * x k | | x k 1 x k | 来 Lk 可用 | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk | 1 L 控制收敛精度
Bisection Method
When to stop?
数值计算方法方程求根
数值计算⽅法⽅程求根数值计算⽅法实验报告实验内容：⽅程求根实验室：专业班级：学号：姓名：2.⽤MATBAB软件，⽤⼆分法求⽅程f（x）=x^3+4*x^2-10=0在区间[1,2]内根的近似值，为使误差不超过10^-5时所需要的⼆分次数。
function bisection_time(tolerance)a=1;b=2;k=0;while(abs(b-a)>tolerance)c=(a+b)/2;fa=a^3+4*a^2-10;fb=b^3+4*b^2-10;fc=c^3+4*c^2-10;if((fa==0)|(fc==0))disp(k);elseif(fa*fc<0)b=c;k=k+1;elseif(fc*fb<0)a=c;k=k+1;elseif(fb==0)disp(k);endendsoluntion=(a+b)/2;disp(soluntion);disp(k);运⾏结果1.36523176.取x0=1.5，⽤⽜顿迭代法求f（x）=x^3+4*x^2-10=0的跟的近似值function new(tolerance)x0=1.5;k=0;a=x0^3+4*x0^2-10;b=3*x0^2+8*x0;x1=x0-a/b;while(abs(x0-x1)>tolerance)x0=x1;k=k+1;a=x0^3+4*x0^2-10;b=3*x0^2+8*x0;x1=x0-a/b;enddisp(x1);disp(k);运⾏结果1.3652338.弦割法求⽅程f（x）=x^3-3*x^2-x+9=0在区间[-2，-1]内的⼀个实根近似值Xk，使|f(x) |<=10^-5. function xuange(k)x0=-2;x1=-1;t=0;a=x1^3-3*x1^2-x1+9;b=x0^3-3*x0^2-x0+9;x2=x1-a*(x1-x0)/(a-b);while(abs(x1-x0)>k)x0=x1;x1=x2;a=x1^3-3*x1^2-x1+9;b=x0^3-3*x0^2-x0+9;x2=x1-a*(x1-x0)/(a-b);t=t+1;enddisp(x1);disp(t)运⾏结果-1.52510269.⽤艾特肯算法求⽅程f （x ）=x^3+4*x^2+10=0在区间[1,2]内的根的近似值（取X0=1.5，g （x ）=410x ，精确到|Xk+1-Xk|<=10^-5，并与第2,3,6题的相应结果进⾏⽐较。
二分法求方程的根
【例5.21】二分法求方程的根。
求方程x3+4x2+x+1=0在[-5，5]之间的近似根，误差为10-4。
若函数有实根，则函数的曲线应和x轴有交点，在根附近的左右区间内，函数的值的符号应当相反。
利用这一原理，逐步缩小区间的范围，保持在区间的两个端点处函数值的符号相反，就可以逐步逼近函数的根。
设f (x)在[a, b]上连续，且f (a) f (b)<0, 找使f (x)=0的点。
如图5-7-2所示。
图5-7-2 二分法示意图二分法的步骤如下：①取区间[a, b]中点x=(a+b)/2。
②若f (x)=0, 即(a+b)/2为方程的根。
③否则，若f (x)与f (a)同号，则变区间为[x，b]；异号，则变区间为[a，x]。
④重复①~③各步，直到取到近似根为止。
#include "stdio.h"#include "math.h"main(){ float a,b,x;float fa,fb,fx;a=-5;b=5;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;do{ x=(a+b)/2;fx=x*x*x+4*x*x+x+1;if(fa*fx<0){ b=x;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;}else{ a=x;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;}}while(fabs(fa-fb)>1e-4);printf("x=%f\n",(a+b)/2);printf("f(%f)=%f",(a+b)/2,fa);}运行结果：x=-3.806303f(-3.806303)=-0.000059经过多次迭代，当x= -3.806 303时，f(x)的结果为-0.000 059已经接近0，误差小于10- 4数量级。
读者可进行简单的改写，输出每一次的迭代结果。
MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告实验报告一、引言计算方法是数学的一门重要应用学科，它研究如何用计算机来解决数学问题。
其中，迭代法、牛顿法和二分法是计算方法中常用的数值计算方法。
本实验通过使用MATLAB软件，对这三种方法进行实验研究，比较它们的收敛速度、计算精度等指标，以及它们在不同类型的问题中的适用性。
二、实验方法1.迭代法迭代法是通过不断逼近解的过程来求得方程的根。
在本实验中，我们选择一个一元方程f(x)=0来测试迭代法的效果。
首先，我们对给定的初始近似解x0进行计算，得到新的近似解x1，然后再以x1为初始近似解进行计算，得到新的近似解x2，以此类推。
直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对复杂方程的迭代计算来评估迭代法的性能。
2.牛顿法牛顿法通过使用函数的一阶导数来逼近方程的根。
具体而言，对于给定的初始近似解x0，通过将f(x)在x0处展开成泰勒级数，并保留其中一阶导数的项，得到一个近似线性方程。
然后，通过求解这个近似线性方程的解x1，再以x1为初始近似解进行计算，得到新的近似解x2，以此类推，直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对不同类型的方程进行牛顿法的求解，评估它的性能。
3.二分法二分法是通过将给定区间不断二分并判断根是否在区间内来求方程的根。
具体而言，对于给定的初始区间[a,b]，首先计算区间[a,b]的中点c，并判断f(c)与0的大小关系。
如果f(c)大于0，说明解在区间[a,c]内，将新的区间定义为[a,c]，再进行下一轮的计算。
如果f(c)小于0，说明解在区间[c,b]内，将新的区间定义为[c,b]，再进行下一轮的计算。
直到新的区间的长度小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对复杂方程的二分计算来评估二分法的性能。
三、实验结果通过对一系列测试函数的计算，我们得到了迭代法、牛顿法和二分法的计算结果，并进行了比较。
二分法误差限的计算公式_理论说明
二分法误差限的计算公式理论说明1. 引言1.1 概述引言部分是文章的开篇，旨在介绍本文将要探讨的主题和内容。
本篇文章的主题是关于二分法误差限的计算公式以及理论说明。
二分法是一种常用的数值计算方法，在诸多领域都有广泛应用，如求根问题、函数优化等。
误差限作为衡量计算结果精度的重要指标，对于确保数值解的可靠性具有重要意义。
1.2 文章结构本文主要分为5个部分：引言、二分法误差限的计算公式理论说明、示例与应用场景、计算公式实现及优化技巧以及结论和展望。
首先，在引言部分将对本文研究主题进行概述并介绍文章整体结构。
接下来，将详细介绍二分法和误差限的定义与意义，并给出相应的计算公式。
然后通过示例与应用场景部分，将二分法误差限在数值解求根问题中进行具体应用，并探讨迭代收敛条件。
随后，在计算公式实现及优化技巧部分将详细阐述如何实现这些计算公式，并提出常见误差源及解决方法，以及程序性能优化技巧。
最后，在结论和展望部分，对本文所述内容进行总结和归纳，并提出未来研究方向的建议和展望。
1.3 目的本文旨在通过理论说明二分法误差限的计算公式，深入探讨其背后的数值计算原理，并将其应用于实际问题中。
通过实例与应用场景的阐述，帮助读者更好地理解误差限在数值计算中的重要性与作用。
此外，在计算公式实现及优化技巧部分，介绍如何将这些公式转化为可编程代码，并提供优化技巧以提高程序效率。
最终，通过对本篇文章的阅读，读者可获得对二分法误差限计算公式背后理论基础的深刻理解，并能够灵活运用于自身感兴趣或需要数值求解、迭代优化等问题领域中。
2. 二分法误差限的计算公式理论说明2.1 二分法介绍二分法是一种常用的数值计算方法，用于求解非线性方程的根。
该方法通过反复缩小方程根所在区间来逐步逼近方程的精确解。
它基于连续函数中零点存在定理，即如果一个连续函数在区间[a, b]的端点f(a)和f(b)异号，则在该区间内至少存在一个根。
2.2 误差限的定义与意义误差限是指使用某种数值计算方法得到的近似解与真实解之间的最大偏差范围。
用现代数学方法解释二分法悖论
一、概述二分法是一种常见的数值计算方法，在许多数学问题中都有广泛的应用。
然而，二分法却有一个令人困惑的现象，即当使用二分法寻找函数的根时，有时算法会收敛到一个错误的解。
这种现象被称为二分法悖论，在数值计算领域引起了广泛的讨论和研究。
在本文中，我们将使用现代数学方法解释二分法悖论，并探讨其背后的数学原理。
二、二分法的基本原理在介绍二分法悖论之前，首先需要了解二分法的基本原理。
二分法是一种求解方程根的经典算法，其基本思想是将定义域分割成两部分，然后确定目标值所在的那一部分，再对该部分继续进行分割，直到找到目标值或者满足一定的精度要求为止。
在数值计算中，二分法通常被用来求解函数的零点，即找到函数的根所对应的横坐标。
三、二分法的应用三、一、在实际工程问题中，二分法被广泛应用于求解非线性方程、求解最优化问题和求解微分方程等。
在计算机图形学中，我们常常需要对曲线和曲面进行求交，而二分法可以高效地求解曲线和曲面的交点。
在金融学中，二分法也常被用来计算期权的定价和风险价值。
在生物医学工程领域，二分法则可以用来估计人体组织的材料特性和生物学参数。
四、二分法悖论的实例四、一、尽管二分法在许多应用中表现出色，但在一些情况下却会出现令人困惑的现象。
考虑函数f(x)=x^3-2x-5，在区间[1,2]上使用二分法寻找根时，算法会不断迭代，最终发现无法找到根。
这种情况违反了二分法应该能够找到函数根的基本原则，称为二分法悖论。
五、现代数学方法解释二分法悖论现代数学方法能够对二分法悖论进行深入的解释和分析。
在实际应用中，二分法常常需要与计算机浮点数进行交互，而浮点数的表示精度有限，在对浮点数进行运算时会引入误差。
这些误差可能导致二分法在收敛过程中出现偏离期望的结果。
函数本身的性质，如导数的变化率和函数的凹凸性，也会影响二分法的收敛行为。
六、避免二分法悖论的方法六、一、尽管二分法悖论令人困扰，但通过一些方法和技巧，我们可以在实际应用中避免或减少这种现象的发生。
二分法,牛顿法,梯形法原理及流程图
故有
b a
f
( x)
=
i
n =1
si
= h[
1( 2
f
(a) +
f
(b))
+
n -1 i =1
f
(a +ih )]
梯形法的迭代公式为 :
y (0) n1
yn h * f ( xn , yn )
② 取 a, b 的中点 x1
a
b
计算
f ( x1)
2
③ 若 f ( x1) 0 则 x1 是 f (x) 0 的根，停止计算，
运行后输出结果 x* x1
若 f (a) f ( x1) 0 则在 (a, x1) 内 f (x) 0 至少有一个根。取 a1 a,b1 x1 ；
若 f (a) f ( x1) 0 ，则取 a1 x1, b1 b ；
y (k 1) n1
yn
h 2 f ( xn , yn )
f
( xn
1,
y(k) n1
( k 0,1,2, ).
流程图如下：
.
精品文档 .
.
精品文档
开始
输入 x0 ， ， N
1=>k
k+1=>k x1=>x0
f ' (x0 ) =0?
Y
N
x0
f (x0 ) =>x1 f ' ( x0 )
∣x1-xo ∣ < ?
N
N
K=N ?
Y
输出迭代失败标志
二分法求方程的根
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
步骤2. 取a,
b的中点
x1
a
2
b
,
计算
f
x1
步骤3. 若f x1 0,则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若f a f x1 0,则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1; 若f a f x1 0, 则取a1=x1, b1=b;
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
for k=1: max1+1 a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2; yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1; [k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx] if yx==0 a=x; b=x; elseif yb*yx>0 b=x;yb=yx; else a=x; ya=yx; end if b-a< abtol , return, end end k=max1; x; wuca; yx=fun(x);
步骤2.取a, b的中点
x1
ab, 2
计算
f
x1
步骤3. 若 f x1 0, 则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若 f a f x1 0, 则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1;
数值计算课后规范标准答案2
习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。
由34311*1022222n n n n n n b a b a x x -----≤===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3.632。
指出：（1）注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。
（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。
1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。
解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。
函数单调区间列表分析如下：因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根； 因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。
所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
数值分析——二分法及迭代法
, 从而可得一系列有根区间:
a, b a1 , b1 a2 , b2 an , bn
其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，因此，
an bn b a an , bn 的长度为bn an n ,且 x an , bn , xn , 2 2 bn an b a x x xn x 0, lim n xn x n1 , lim n n 2 2
x6 1.3242 x , 并且 x x6 0.005
三.二分法算法框图
y
什么时候停止？
f ( x)
a
o
x0 x
a1 a2
2
x*
x1
b2
b b1
x
lim x x n n
xk 1 xk ε
开始
输入数据a , b,
二 分 法 的 算 法 框 图
以上方法称为二分法.它计算简单且收敛.
内 例2:求方程 f ( x ) x x 1 0 在区间 1,1.5
3
的实根，要求误差不超过0.005. 解: 首先按公式估计所要的二分次数
ln(1.5 1) ln 0.01 n 5.644 ln 2
可见只需要二分6次便能达到所要求的精度。 计算结果见书13页的表2-2.
非线性方程包括高次方程和超越方程。
方程 f ( x) 0 的解
x
通常叫做方程的根，
又称为函数 f ( x ) 的零点。 方程求根大致可以包括下列三个问题：
1.根的存在性; 2.根的隔离; 3.根的精确化.
如何根的精确化 ?
已知根的近似值后, 设法将它逐步精确, 直到满足精
高中数学例析二分法的应用学法指导 试题
卜人入州八九几市潮王学校高中数学例析二分法的应用二分法在求函数的零点，求方程的近似解、求函数图象的交点的横坐标等方面有广泛的应用，本文列举几例，供同学们参考。
一、确定函数的零点个数例1二次函数c bx axy 2++=中0ac <，那么函数的零点个数是〔〕 A.1 B.2 C.0D.无法确定 分析：可以利用函数图象或者方程的判别式。
解法1：由0ac <，得0ac 4b2>-=∆。
∴方程0c bx ax 2=++有两个不相等的实根。
∴函数c bx ax y 2++=有两个零点，选B 。
解法2：∵0)0(f ·a ac <=，∴⎩⎨⎧<>,0)0(f ,0a 或者⎩⎨⎧><.0)0(f ,0a 不管哪种情况，二次函数图象与x 轴都有两个交点，所以函数有两个零点，选B 。
评注：解答形如c bx ax y 2++=的零点判断问题时，注意对a 的讨论。
二、用二分法求方程的近似解例2借助计算器用二分法求方程03x x ln =-+在区间)3,2(内的根〔准确到0.1〕。
解：令3x x ln )x (f -+=，即求函数)x (f 在)3,2(内的零点。
∵03ln )3(f ,012ln )2(f >=<-=，∴可取)3,2(作为初始区间。
用二分法列表如下：∴所求方程的根为〔准确到0.1〕。
评注：用二分法求方程的近似解，应先求出相应函数的零点的近似值，再求出近似解，这是求方程根的近似值的常用方法。
应注意利用二分法求方程的近似解时，取不同的初始区间，其计算就有简繁之分，一般地，可用特殊值代入计算并结合估算寻找一个使计算最简单的初始区间，其实，利用1.003.0|1875.221875.2|<≈-可以判断准确度。
三、用二分法求两函数图象交点的横坐标例3借助计算器或者计算机，用二分法求函数17)x (g ,12)x (f x x -=+=的图象交点的横坐标〔准确到0.1〕。
第六章二分法
下一页
例2，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。
因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根
用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：
ka
bk
00
1
xk
f(xk)符号
0.5000
－
1 0.5000 －
0.7500
－
2 0.7500 －
0.8750
＋
3 － 0.8750
0.8125
＋
4 － 0.8125
0.7812
＋
5 － 0.7812
0.7656
－
6 0.7656 －
0.7734
＋
7 － 0.7734
0.7695
－
8 0.7695 －
0.7714
－
9 0.7714 －
0.7724
－
10 0.7724 －
0.7729
＋
取x10=0.7729，误差为| x* -x10|<=1/211 。
用二分法求方程 f(x)=0在区间[a,b]内近似根的程序框图 如图2 a,b表示各有根区间的左右两端点; k为二分次数, 为
允许误差;当 a b 时,终止运算
返回
开始
输入 a,b,e
Y1=f(a),y2=f(b)
Y1*y2>0 K=1
X=(a+b)/2,y=f(x)
A=x,y1=y
Y1*y
返回
y
a o 图3
b
x
返回
取[a,b]区间二等分的中点x0 =(a+b)/2,
若f(x0)=0,则x0是f(x)=0的实根
二次方程的根与系数的关系
抛物线与焦点： 利用二次方程 的根与系数关 系求抛物线的
焦点坐标
自由落体运动：通过二次方程求解时间、速度和距离等物理量 抛物线运动：利用二次方程研究抛物线的轨迹和性质 弹簧振荡：通过二次方程描述弹簧振荡的周期、振幅和相位等物理量 交流电：利用二次方程分析交流电的电压、电流和功率等物理量
物理学：解决物理问题，如振 动、波动等
推导：通过二次方 程的解的公式，可 以推导出根与系数 的关系。
推导过程：将二次 方程的解的公式代 入，可以得到根与 系数的关系式。
结论：二次方程的 根与系数之间存在 一定的关系，可以 通过公式和推导得 出。
二次方程的根与系数的关系最初由古希腊数学家发现，用于解决几何问题。
中世纪欧洲数学家进一步研究，推广了二次方程的解法，并探讨了根与系 数的关系。
根的分布：实数范围内，一个正根和一个负根或两个同号的根
特殊情况：当判别式小于0时，方程无实数根，此时根为复数
根与系数的关系：根的和等于二次项系数除以一次项系数的相反数，根的积等于常数项 除以二次项系数
二次方程的系数 决定了根的性质， 包括根的正负、 是否相等以及根
的数量。
当系数a（二次 项系数）大于0 时，二次方程有 两个不相等的实 根；当a等于0时， 有两个相等的实 根；当a小于0时，
经济学：分析经济数据，预测 经济趋势
统计学：用于统计分析，研究 数据之间的关系
计算机科学：用于算法设计， 解决计算问题
二次方程的根与系数在几何学中的应用：可以用来研究二次曲线的性 质和几何形状。
二次方程的根与系数在三角函数中的应用：可以用来求解三角函数 方程，研究三角函数的周期性和振幅。
二次方程的根与系数在复数中的应用：可以用来研究复数的运算和性 质，以及复数在电气工程和量子力学等领域的应用。
3 求根 - 二分法 牛顿法 割线法
求根
经过简单推导，得到如下关系
Pin=1000.00元, Nin=40年, Pout=5000.00元, Nout=20年， 求r 代入上式，问题即转为求解如下方程
3
求根
求解如下方程
找到一个或者多个x，使得f(x)=0成立！
最最没有技术含量的方法： 穷举法！
4
求根
所谓求根 找到一个或者多个x，使得f(x)=0成立！ 求根方法 二分法、牛顿法、割线法
function f = myfun_rootfindingfunction(x)
f = 1000.*( (1+x./12).^480 -1 ) - 5000.*(1- (1+x/12).^(-240) );
end
40
求根—割线法
例子 求根
我们用
看成对
的一个估计 41
求根—割线法
割线法和牛顿法比较 1. 割线法比牛顿法需要更多的迭代次数 2. 割线法不要计算f’(x)，而牛顿法需要计
代入上式，问题即转为求解如下方程
将方程写成函数形式：
39
求根—割线法
割线法编程 function root= myfun_rootfinding_secant(x0, x1, e)
f0 = myfun_rootfindingfunction(x0);
f1 = myfun_rootfindingfunction(x1);
对分法：反复对分区间[a,b]，保留f(x)改变符 合的那一半区间。 对分法可以确保收敛于一个根。
7
二分法求根
二分法算法：
1. 计算c=(a+b)/2 2. 若b-c≤ε，则接受c为根，程序终止 3.若b-c>ε，比较f(c), f(a), f(b)的符号
最新数值计算课后答案2
习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。
分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。
由34311*1022222n n n n n n b a b a x x -----≤===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3.632。
指出：（1）注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。
（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。
1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。
解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。
因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根；因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。
所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。
2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
数值分析2-方程求根二分法迭代法
即使用|φ'(x0)|>1来判断（但需选择靠近x0上的合适初值） 例:用迭代法求方程 f(x) = x(x+1)2 -1=0 在x=0.4附近的根。
x=φ(x)= φ'(x)= -
(1 | '( x ) |)
1 2
可令正数
,则有
| '( x) | | '( x ) | | '( x) '( x ) | (再利用绝对值性质)
1 1 | '( x) || '( x ) | (1 | '( x ) |) (1 | '( x ) |) 1 2 2
| '( x ) | 1,
1 (1 '( x )) 0. 2
| '( x ) | 1
(先证明第2个条件：构造某区间,有
)
lim '( x) 0 . ( x) 为一阶导数连续，即 x 0
再利用函数极限知识:对任意给定正数 ，总存在
当
x [ x , x ] 时,有 | '( x) || '( x) '( x ) |
xk＋1 - x ＝φ '( ξ k )( xk - x )
*
*
*
，∴
xk＋1 - x* ＝φ '( ξ k) xk - x*
ξ k )＝x ， ∴ 又∵ klim( →∞
xk＋1 - x* * lim ＝ φ '( x ) k→∞ x - x* k
0
| '( x) | 1，则对任意初值x [a, b] ， (6) 若 x [a, b] 时， 迭代公式发散.
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A
C
E
D
BБайду номын сангаас
思考2：从上节课已经知道函数f(x)=lnx+2x-6 在区间（2，3）内有零点，那么如何找到 这个零点呢？
(a，b) 中点c (2 , 3) 2.5 (2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 (2.5,2.625) 2.5625 (2.5,2.5625) 2.53125 (2.53125,2.5625) 2.546875 (2.53125,2.546875) 2.5390625 (2.53125,2.5390625) 2.53515625
概括利用二分法求函数 f ( x )零点的近似值的步骤 1．确定区间[a，b]，验证 f (a ) f (b) 0 ，给定精确度
2．求区间(a，b)的中点c
3．计算f(c) (1)若f(c)=0，则c 就是函数的零点 (2)若 f (a ) f (b) 0 ，则令b=0（此零点 x0 ( a , c ) ） (3)若 f (c ) f (b) 0 ，则令a=0（此时零点 x0 ( c , b )） 4．判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点近似值
f(a) 负 负 负 负 负 负 负 负
f(c ) -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001
f(b) 正 正 正 正 正 正 正 正
| 2.5390625 －2.53125|=0.0078125<0．01 精确度已达到0．01
结论 1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值． 2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如0．01时，可 以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤， 而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误 差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值． 3.本题中，如在精确度为0．01的要求下，我们可以将区间 (2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2， 3)内的零点近似值． 4.若再将近似值保留两为小数，那么2．53，2．54都可以作 为在精确度为0．01的要求下的函数在(2，3)内的零点的近似 值．一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的 近似值，即2．53125
a(或b)；否则重复步骤2-4．
求方程 2 x 3 x 7 的近似解(精确到0．1)
解 令f ( x ) 2 x 3 x 7, 零点为x0 , 精确度为 易知：f(1)<0，f(2)>0 取x=1.5，计算f(1.5)≈0.33>0 x0 (1,1.5) 取x=1.25，计算f(1.25)≈-0.87<0 x0 (1.25, • 1.5) 取x=1.375，计算f(1．375)≈-0.28<0 x0 (1.375, • 1.5) 取x=1.4375，计算f(1.4375)≈0.02>0 x0 (1.375, • 1.4375) 此时 | 1.4375 1.375 | 0.0625 0.1 ∴ 原方程的近似解取为1.4375
象这种运用缩小零点所在范围的方法在数学和计算机科学上被 称为二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且 f (a ) f (b) 0 的函数 y f ( x ) 通过不断地把函数 f ( x )的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法． 二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地一分为二， 使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点．
用二分法求方程的近似解
第一课时
思考1:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路，如何迅速查出故障 所在？
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半