正弦稳态响应的一般求解方法
正弦稳态电路分析和功率计算
2
Y = 0.1 + j0.2S
0.025F 0.1S
0.02F
十、利用相量图求解电路
例 如图所示电路，uS 2US cost ，求输出电压 uO(t) 对 uS(t) 的相位关系。
C
解：（一）解析法
+
+
1
uS
R uO
–
–
（二）相量图法
U O②
I jC
+ US
U C
R
+ UO
–
–
I ①
③ U C
直流电阻电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
R11Im1 R12Im2 R1mImm uS11
R
21I
m1
R
22I
m2
R 2mImm
uS22
R m1Im1 R m2Im2 R mm Imm uSmm
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
ZZ1211IImm11
Z12I m 2 Z 22I m 2
Z1m I mm Z 2 m I mm
U S11 U S22
Zm1Im1 Zm2Im2 Zmm Imm U Smm
例 uS = 6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1 , i2 。
i1 1k
+2000–i1 i2
uS
(3)
Z
U I
U I
u i
= R + jX = |Z| Z
Z R2 X2
Z
arctg
X R
ZU I
Z = u – i
(4) 阻抗的性质
3.2微分方程的经典求解方法讲解
时间常数 T：使e的指数部分等于–1的时间值。因此有，
1 aT 1 及 T a
1.0 Im [s]平面 Re
e at
0.368
m=-a
0
t
T
2T
图3.3 指数项 e –at 的图形及极点 在 S 平面中的位置
22
时间常数定义
时间常数定义
从几何上看，Ae-at曲线在 t=0 处的切线与时间轴的相交点的值等于 时间常数 T 在一个时间常数所对应的时间区间内，指数函数 e-at 的值将从 1 下降至 0.368 例： T 的图解测定 A 1, a 1
2
Aet
• n 越大，则系统暂态衰减越快
问题： 1) 当 =0 时，暂态响应将是如何的？当 >0 或 <0 时呢？
2) 分别当 >0 和 <0 时，暂态相应有什么区别？
20
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
当 >0 时，系统暂态随时间衰减，响应曲线 c(t) 将趋向于稳态值，这
第二节 微分方程的经典求法
稳态响应
正弦输入
多项式输入
稳态响应：正弦输入
输入量 r 假设为：
待解的微分方程具有如下形式
Av Dv c Av 1Dv 1c A0 D0c A1D 1c Aw D wc r
cos t 1 (e 2
j t
r B cos( t )
（过阻尼）
Aet
只有当 是负数时，系统才是 稳定的；如果 是正数，则系 统不稳定，这是我们要避免的 情况。
（欠阻尼）
Aet
17
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
《电路基础》第22讲 正弦稳态电路的计算
已知：U=115V , U1=55.4V ,
U2=80V , R1=32 , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
解一： I U1 / R1 55.4 / 32
U
I
(R1 R2 )2 (L)2
U2
I
R22 (L)2
115
55.4
(32 R2 )2 (314L)2 32
80
55.4
i2 0.182 2 cos(314t 20) A
i3 0.57 2 cos(314 t 70) A
14
例4. 已知：IS 490o A , Z1 Z 2 j30Ω
Z3 30Ω , Z 45Ω 求：I.
Z2 I
解： 法一：电源变换
IS
Z1 Z3 Z
Z1
//
Z3
30( j30) 30 j30
∑i (t) = 0 ∀t ∑I= 0
∑u (t) = 0 ∀t ∑U= 0
3. 基本元件VCR（VAR）的相量形式
UR RIR
UR RIR
UL jL IL
U L LIL
UC
1
jC
IC
j
1
C
IC
UC
1
C
IC
∑Im = 0 ∑Um = 0
u i
u
i
2
u
i
2
7
3. 感抗、容抗、电抗、复阻抗、感纳、容纳、电纳、复导纳
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1 I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
U _
Z1
Z2
jL
4.4正弦稳态响应
4.4
正弦稳态响应
一、正弦稳态的功率
i + u –
I
•
无源 网络
•
U
•
+ –
无源 网络
=U Ψu U
•
u = 2Ucosωt √ ω
I = I Ψi
•
U =Z ϕ Z= • I i= 2Icos( ωt– ϕ) √ ° • U 0° I –ϕ • ϕ 0° I = ° = U =U Z ϕ
• I1 ϕ • I ϕ1
=11×0.866 －6.04×0.415 =7.02 A × ×
IC = 101.57 µF C= ωU
4.4
正弦稳态响应
7、最大功率传输
NS
ZL
+ –
Zin .
ZL
UOC
ZL= Z* in
4.4
正弦稳态响应
最大功率传输定理 工作于正弦稳态的单口网络， 工作于正弦稳态的单口网络，在负 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 * 轭复数（ 轭复数（即 Z L = Z o ）时，负载可以获得 最大平均功率
• •
•
•
4.4
正弦稳态响应
谐振电路呈现电阻性 电源供给电路的能量全部被电阻所消耗， 电源不与电路进行能量互换，能量的互换只发 生在电感线圈和电容器之间。
I
• U
•
R jωL ω ∩∩ ∩ ∩∩ ∩ • • + U – + UL– + R
UL
电 源 P1=UI1cosϕ1 ϕ cosϕ1 =0.5 ϕ 1.21×103=220×11× cosϕ1 × × × ϕ
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的分析1.复数法分析：a. 复数电压和电流表示：将正弦波电流和电压表示为复数形式，即I = Im * exp(jωt)，V = Vm * exp(jωt)，其中Im和Vm为幅值，ω为角频率，j为虚数单位。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立复数表达式。
c.找到电路中的频域参数，如电阻、电感和电容等，并使用复数法计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，这会决定电路中的功率因数。
2.相量法分析：a.相量表示：将电路中的电流和电压表示为相量形式，即以幅值和相位角表示，例如I=Im∠θ，V=Vm∠θ。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立相量表达式。
c.对电路中的频域参数应用相量法，计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，以确定电路中的功率因数。
无论是复数法还是相量法，分析正弦稳态电路的关键是计算电路中的电流和电压的幅值和相位。
在计算过程中，需要使用复数代数、欧姆定律、基尔霍夫定律以及频域的电路参数等相关知识。
在实际应用中，正弦稳态电路的分析主要包括以下几个方面：1.交流电路中的电阻：电阻对交流电流的影响与直流电路相同，即按欧姆定律计算。
复数法计算时，电流和电压与频率无关，可以直接使用欧姆定律计算。
2.交流电路中的电感：电感器对交流电流的响应取决于电流的频率。
复数法计算电感电压和电流时，需要将频率变量引入到电感的阻抗中。
3.交流电路中的电容：电容器对交流电压的响应取决于电压的频率。
复数法计算电容电压和电流时，需要将频率变量引入到电容的阻抗中。
4.交流电路中的复数阻抗：电路中的电感、电容和电阻组成复数阻抗。
复数阻抗可以用来计算电路中的电流和电压。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以建立复数电流和电压之间的关系。
5.交流电路中的功率因数：功率因数是电路中有功功率与视在功率之比。
在分析正弦稳态电路时，可以计算电路中电源电压和电流的相位差，从而确定功率因数。
总结起来，正弦稳态电路的分析步骤包括选择复数法或相量法、建立复数或相量表达式、计算电流和电压的幅值和相位、计算功率因数等。
第九章-正弦稳态电路的分析
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
电路原理 正弦稳态电路的计算
j10Ω I
A
A
I1
I2 C1
B
5Ω j5Ω V
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压 解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算
(2) 利用相量图分析求解
15
j10Ω I
A
I1
A I2 C1
B
5Ω j5Ω V
已知：I1= 10A、 UAB =100V，
求：A、V 的读数
解法1: 用相量计算
•
US 1
+
•
U s1 -
j
X
L
I2
I3
R
•
US
2
- I1 I2 I3 0
- j2I1 5I3 100
j5I2 5I3 j100
R
•
I3
②
3.6.2图(b)
•
I2 +
•
U s2 -
8
(2)回路电流法
•
I
1
jX C
jX L
+
•
•
U s1
Ia
-
•
Ib
R
•
I3
R - j X C
Ia
RIb
IC2 UC1
IR2 UR1 1
U2C 2 I1 C 1
U2 R2
I1 R1
•
I1
R1
C1
•
IC2
U + +
•
U1
•
-
3
R2
C2
•
+ •
U2
-
I R2
-
3.6.4例5图(a)
•
正弦稳态电路的分析
第九章正弦稳态电路的分析本章内容1．阻抗和导纳的概念2．阻抗的串并联及电路的相量图3．正弦稳态电路的分析4．瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率、复功率及最大输出功率5．串联和并联谐振本章重点：正弦量的向量正表示; 正弦电路中的阻抗和导纳;正弦电路的分析串联谐振的谐振条件及特征; 并联谐振的谐振条件及特征本章重点：正弦电路参数的分析及最大功率输出的分析§9-1 阻抗和导纳阻抗和导纳是正弦电流电路分析的重要内容一、阻抗在无源的线性网络中，端口的电压相量与电流相量的比值定义为该一端口的阻抗（复阻抗），用Z表示。
式中：•U=U∠ϕu•I=I∠ϕI阻抗的模：Z= U/I，阻抗角：ϕZ= ϕu-ϕi 阻抗的代数式： Z=R+jX式中：R—电阻 X—电抗1．若网络N 0内只含单一元件，则单一元件的复阻抗（1）电阻的复阻抗：Z R =R（2）电感的复阻抗：Z L =ωj L=jX L X L =ωL —感抗 （3）电容的复阻抗：Z C =cj ω1=c jω1-=jX C X C =cω1-—容抗 2．若网络N 0内为RLC 串联，则阻抗为（1）阻抗：Z=•U /•I = R+ωj L+cj ω1=R+j(ωL-Cω1)=R+jx=Z ϕ∠Z可见：阻抗Z 的实部为电阻R （R=Z cos ϕZ ），阻抗Z 的虚部为电抗X （X= R=Z sin ϕZ ），三者构成阻抗三角形 （2） 阻抗的模：Z =22)(C L X X R -+=22X R +=U/I （3）阻抗角：ϕZ =arctanR X X C L -=RX=ϕu -ϕi X 〉0 ωL>C ω1电路呈电感性 X<0 ωL<Cω1电路呈电容性X=0 电路呈电阻性一、 导纳：复阻抗的倒数定义为复导纳（电流相量与对应端口的电流相量的比值），用Y 表示 Y=Z 1=••UI =)(u i U Iϕϕ-∠=Y Y ϕ∠导纳的模： Y =U I导纳角： Y ϕ=u i ϕϕ- 导纳的代数式： Y=G+JB式中：G —电导 B —电纳1．若网络N 0内只含单一元件，则单一元件的复阻抗 （1） 电阻的复导纳：Y R =G=1/R （2） 电感的复导纳：Y L =Lj ω1=L jω1- =jB L B L =Lω1-—感纳 （3）电容的复导纳：Z C ==ωj C =jB C B C =ωC —容纳2．若网络N 0内为RLC 并联，则导纳为(1)导纳Y=••UI基尔霍夫电流定律的相量形式：∑•I =0•I =•I R +•I L +•I C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)1(1L C j R ωω•U =G+j(B C +B L )•UY=R 1+L j ω1+ωj C=R1+)1(L C j ωω-=G+jB可见：导纳Y 的实部为电导G （G=Y cos ϕY ），导纳Y 的虚部为电纳B （B= Y sin ϕY ），三者构成导纳三角形 （2）导纳的模：Y =22)(L C B B G -+=22B G +=I/U （3）阻抗角：ϕY =arctanG B B L C -=GB=ϕi -ϕu B 〉0 ωC>L ω1电路呈电容性 B<0 ωC<Lω1电路呈电感性B=0 电路呈电阻性二、阻抗和导纳相互转换（自学）§9-2 阻抗（导纳）串联和并联阻抗的串并联与电阻的串并联的计算规则相同，只是要把电阻换成阻抗。
第5章 正弦稳态电路分析-2
| Z | R2 X 2
Z
arctg
X R
R | Z | cosZ X | Z | sin Z
|Z| X
Z
R 阻抗三角形
Z UI R jX | Z | Z
当X>0时，Z>0，端口电压超前电流，网络呈感性， 电抗元件可等效为一个电感；
当X<0时，Z<0，端口电流超前电压，网络呈容性， 电抗元件可等效为一个电容；
iS(t) 15 2 cos 2t A, R 1, L 2H,C 0.5F
解 相量模型如图(b)。等效导纳：
Y
YR
YL
YC
1
j1 4
j1 1
j0.75
1.2536.9S
求相量电压：
U
I Y
150 1.2536.912 36.9VFra bibliotek电流相量
IR GU 12 36.9A IL j0.25 U 3 126.9A IC j1U 1253.1A
注意：阻抗和导纳一般为复数，但与Ú、Í有本质不同。 Ú 、Í是代表正弦量的复数，称为相量，字母上必须打点；Z、 Y 只是一般复数，不代表正弦量，因此字母上不打点。
一般情况： Z UI R jX | Z | Z
阻抗是复数，实部R称为电阻分量，虚部
X称为电抗分量，Z= u -i 称为阻抗角，
阻抗的模|Z|= U / I
正弦稳态电路分析方法
相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律与电阻电路中同一 定律的形式完全相同，其差别仅在于电压电流用相应的相量 替换，电阻和电导用阻抗和导纳替换。
因此，分析电阻电路的各种方法和由此推得的网络定理 、性质、公式完全可以用到正弦稳态电路的分析中来。如： 等效变换，各种一般分析法和网络定理等。
正弦稳态响应
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
t
uC (t) [uC(0) UCmcosu] eRC UCm cos(t u ) (t 0)
暂态响应
正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。
245 6.0880.54
0.329 35.5 V
由此得到电容电压的瞬时值表达式
uCp (t) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电 容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电
压相量
U Cm
230
[0.5( j)2 0.5(j) 1]
230 1 j1
2 105 V
根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
uC (t) 2 cos(2t 105 )V
uCp (t) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm e j3t )
代入微分方程中
Re[(j3 2＋1)UCmej3t ] Re(2ej45ej3t )
正弦稳态电路的分析
一、阻抗 1. 一端口的阻抗 不含独立电源N0 ，当它在正弦电源激励下处于稳 不含独立电源N 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量， 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量，即 u = 2U cos(ωt +ϕ ) U = U∠ϕ →ɺ
u u
9-1 阻抗与导纳
0
i = 2I cos(ωt +ϕi ) I = I∠ϕi →ɺ 则它的端电压相量与端电流相量的比 阻抗Z 值定义为该一端口N 值定义为该一端口N0的(复)阻抗Z，即
ɺ 解: 选择 U'作为参考相量
ɺ IR
ɺ U'
α =45°
ɺ IC
∵ωL = 200×0.25 = 50Ω= R ∴IR = IL 由几何关系得: 由几何关系得:
ɺ IL
ɺ US ɺ UC
ɺ ɺ ɺ IC = I R + I L ɺ ɺ ɺ US = U′ +UC
UC =US =100V, U′ =100 2V U′ ∴IR = IL = = 2 2A , IC = 2IR = 4A , R IC 1 UC ∴ = ,C= = 2×10−4 F = 200µF ωC IC ωUC
def
R jX
|Z|——阻抗 的模； ϕ Z ——阻抗角； 阻抗Z的模 阻抗角； 阻抗 的模； 阻抗角 R——等效电阻；X——等效电抗。 等效电阻； 等效电抗。 等效电阻 等效电抗 为实数， 称为感性阻抗， (R为实数，X>0称为感性阻抗，X<0称 为实数 X>0称为感性阻抗 X<0称
ɺ U U Z === = ∠(ϕu −ϕi ) =| Z | ∠ϕZ = R + jX ɺ I I
第九章 正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的分析
u i 0 u i
u滞后于 i 度或i趋前于 u 度
6.2.2 相位差
u i 0 ，表示 u 与 i 同相； u u i 180o ,表示 与 i 反相； u u i 90o ，表示 与 i 正交。
f (t) Fm cos(t )
若表示电路中的电流信号，在选定参考方 向下，可表示为
i(t) Im cos(t i )
6.2 正弦信号
f (t) Fm cos(t )
Fm 是正弦信号的振幅或最大值
(t ) 是瞬时相位
是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间，相位 变化弧度
两种分析法的简单比较
2.用相量法
列写电路电压相量方程
•
•
•
U S U R U C
解这个代数方程，用复数运算求出
再写出与
•
UC
相对应的瞬时值
uC (t)
•
U。C
，
即求出电路的稳态响应。
6.2 正弦信号
6.2.1正弦信号的三个特征量 按正弦或余弦规律变化的周期电压、电 流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。 以余弦信号为例，正弦信号的一般表达 式为
周期电流 i流过电阻R在一个周期T内所 作功为
w
T
p(t)dt
T Ri2 (t)dt
0
0
6.2.3 有效值
• 直流电流 I流过 R 在 T 内所作功为
• 两者相等 即
I 2RT T i2Rdt 0
w T RI 2dt RI 2T 0 I 1 T i2dt T0
或
A | A |
第9章正弦稳态电路的频率响应
第9章 正弦稳态电路的频率响应9.1 网络函数【网络函数（传递函数）】 网络函数又称为传递函数。
图9-1-1所示正弦稳态下的线性时不变电路，只有一个激励()E j ω 和一个响应()R j ω ，称为单输入――单输出网络，网络函数()H j ω定义为def()()()Rj H j E j ωωω= 由于激励()Ej ω 和响应()R j ω 均可以是端口电压或电流，且可以位于不同端口，也可以位于同一个端口，因此，网络函数有6种类型。
网络函数取决于电路的结构，参数和激励的角频率。
图9-1-1 单输入――单输出网络【频率响应】 正弦稳态电路的响应随激励角频率的变化规律，称为电路的频率响应。
网络函数()H j ω能反映线性时不变电路的频率响应，通常将()H j ω写成极坐标形式，即()()()H j H j j ωωϕω=∠【幅频特性】 ()H j ω表征响应的幅值随激励角频率的变化规律，称为幅频响应，亦称幅频特性。
【相频特性】 ()j ϕω表征响应的相角随激励角频率的变化规律，称为相频响应，亦称相频特性。
【例9-1-1】 试确定图9-1-2所示电路的电流增益()()()o s Ij H j I j ωωω= 。
sI0.5Fo图9-1-2 例9-1-1 图解 由分流关系可得42(1)12420.5s sj I I j I j jωωωω+==++- 因此()(1)arctan 22osI H j j I ωωω==+=9.2 谐振电路的频率响应【谐振】 至少包含一个电感和一个电容元件的无源一端口网络，当其端口等效阻抗（或导纳）呈现纯电阻性时，称电路发出了谐振，或电路工作在揩振状态。
【谐振电路】 谐振电路对信号频率具有选择性，广泛应用于通信系统中。
最简单的揩振电路为RLC 串联谐振电路和RLC 并联揩振电路。
9.2.1 RLC 串联揩振电路【RLC 串联谐振角频率】 图9-2-1所示为RLC 串联电路。
正弦电路三要素法求解
正弦电路三要素法求解正弦电路是交流电路的一种重要形式，其特点是电流和电压的大小和方向都随时间变化。
在正弦电路中，可以使用三要素法来求解相关的参数，包括初始值、稳态值、时间常数、阻尼系数和相位差。
1.初始值初始值是指在时间t=0时的电路参数值。
在正弦电路中，初始值通常表示为I0（电流的初始值）和U0（电压的初始值）。
这些初始值可以根据电路的元件参数和连接方式进行计算。
2.稳态值稳态值是指在时间t趋于无穷大时的电路参数值。
在正弦电路中，稳态值表示为I∞（电流的稳态值）和U∞（电压的稳态值）。
当电路达到稳态时，所有动态元件的变量都将停止变化，此时的电流和电压值即为稳态值。
3.时间常数时间常数是描述电路动态特性的一个参数，它决定了电路达到稳态值所需的时间。
在正弦电路中，时间常数可以通过元件参数计算得出，它表示为R/L（电阻与电感的比值）。
时间常数越小，电路达到稳态所需的时间就越短。
4.阻尼系数阻尼系数是指在正弦电路中，用来描述电流或电压幅值衰减快慢程度的参数。
阻尼系数越大，幅值的衰减速度就越快。
在正弦电路中，阻尼系数可以通过元件参数计算得出，它表示为1/（R^2*C），其中C是电容器的电容量。
5.相位差相位差是指在正弦电路中，两个同频率的正弦量之间的相位差。
相位差可以通过计算两个同频率正弦量之间的相位角差来得到。
相位差的大小和方向可以影响正弦电路的性能和输出。
通过使用三要素法，我们可以求解正弦电路的相关参数，包括初始值、稳态值、时间常数、阻尼系数和相位差。
这些参数对于理解和分析正弦电路的性能具有重要的意义。
由网络函数可求正弦稳态响应
g
1 时，U 2
RC
g
U1
g
0时，Ug 2 10o；
U1
1 45o； 2
即U2 0.707 U1
此频率称为低通滤波电路的截止频率，用c表示0-- c 的频 率范围称为通频带
例、某线性电路正弦输入电压 Us (t)作用下的正弦稳态输出电压Uo (t)的相
.
量
.
U o ( j)
Us
22
j3
(s)
H (s)U s (s)
(s
1)( s
1 2)(s
3)
0.5 s 1
s
1 2
0.5 s3
Uof (t) [0.5et e2t 0.5e3t ] (t)V
注意理解：网络函数与冲击响应的关系
❖ end
。求输入电压 e3t (t)V
为时, 电路的零状态响应。
解：电路频率响应
.
H
(
j )
Uo
( j)
.Usຫໍສະໝຸດ 122 j3
1
2 ( j)2
j3
所以 输入
1 H (s)
s 2 3s 2
U s (t) e3t (t)V 象函数
1 U s (s) s 3
则零状态 Uof (t) 输出电压的象函数
U of
例14-5：如图，试定性分析以电压u2为输出时 该电路的频率响应。
解：以u2为电路变量的网络函数：
1
H（S）
UU（（2 SS）） 1
S
RC 1
RC
其极点
1
p
如图
1 RC
+
_ U1
R j
2
+
电子科大《电路分析》第10章 正弦稳态分析
解： 2f 100 rad / s
u1 (t ) 50 cos(100t 30)V u2 (t ) 100 cos(100t 150)V
今后我们所见到的正弦波无非以三种形式来描述：
u2 (t ) 100 cos(100t 150)V I1m 560 A 2. I m I m I cos I sin I1m 6 j 7 A 3. I m m m
§10-4 三种基本电路元件伏安关系的相量形式
电阻:
U m RI m ,
U RI
U RI ,
u i
同相 正交
正交
电感:
U m jLI m ,
U jLI
U LI ,
u i 90
I jCU
电容:
I m jCU m ,
12 90,13 210, 23 120
13 150
规定相位差
二、正弦电压电流的相量表示
由欧拉公式有:
e
j
cos j sin
e
j (t )
cos(t ) j sin( t )
U e j 令U m m
§10-3 基尔霍夫定律的相量形式
虽然相量法将微分方程在正弦激励下的特解化成了
复数方程的求解，但对高阶电路，微分方程的建立仍是
一件很困难的工作。
对正弦激励下的电路，能否象直流激励下的电阻电 路那样，用观察法直接写出复数方程，回答是肯定的. 只要引入KCL, KVL和元件VCL的相量形式及相量模 型，就可以将电阻电路的所有分析方法推广到正弦稳态 电路。
一、简单推导
i1 i2 i3 0
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C
duC dt
1 R uC
I Sm
cos(t
i )
t0
(10 7)
CU Cmsin(t
u
)
1 R
U
Cm
c
os(t
u
)
ISm cos(t
i
)
求解得到
UCm
ISm
2C 2 (1/ R)2
(10 8)
u i arctan(CR) (10 9)
微分方程的完全解为
t
uC (t) Ke RC UCm cos( t u )
代入微分方程
C
d dt
[Re(U Cm e jt
)]
1 R
Re(U Cm e jt
)
Re(ISm e jt
)
取实部与微分运算的次序交换
Re[(jCU Cm e jt
)]
1 R
Re(U Cm e jt )
Re(ISm e jt )
Re[(jC＋1
R
)U
Cm
e
jt
]
Re(ISm
e
jt
)
由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相
等，由此得到一个复系数的代数方程
(jCΒιβλιοθήκη 1 R)UCm
ISm
(10 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
U Cm
ISm
jC 1/ R
U Cm u
电容电压的振幅和初相分别为
U Cm
I Sm
2C 2 (1/ R)2
u i arc tan(CR)
这与式(10－8)和(10－9)完全相同。计算出电容电压的 振幅和初相，就能够写出稳态响应
§10－2 正弦稳态响应 一、正弦电流激励的RC电路分析
我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到
稳定状态，在t=0时刻断开开关，正弦电流iS(t)=ISmcos(
t+ψi)作用于RC电路，求电容电压uC(t)的响应。
图 10-9
首先建立t>0电路的微分方程如下:
C
duC dt
1 R
uC
uCp (t) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm e j3t )
代入微分方程中
Re[(j3 2＋1)UCmej3t ] Re(2ej45ej3t )
可以得到复系数代数方程
(j6 1)U Cm 245
(j6 1)U Cm 245
求解此代数方程得到电容电压相量
U Cm
245 (1 j6)
对方程先求导，再取实部
LC Re[(j)2UCme jt )] RC Re[(j)UCme jt )] Re(UCme jt )
Re(USme jt )
得到复系数代数方程为
LC ( j )2U Cm RC( j )U Cm U Cm U Sm
代入R=1, L=1H, C=0.5F得到
[0.5( j)2 0.5( j) 1]U Cm 230 V
图 10-10
二、 用相量法求微分方程的特解
求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的特
解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系数
微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算工
具。现将这种相量法介绍如下：
iS (t) ISm cos(t i ) Re(ISm e jt ) uCp (t) U Cm cos(t u ) Re(U Cm e jt )
图 10-11
解：以电容电压为变量列出电路的微分方程
LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS
将方程中的uS(t)=2cos(2t+30)V和uC(t)用相量表示
LC
d2 dt 2
[Re(UCme jt
)]
RC
d dt
[Re(U Cm e
jt
)]
Re(U Cm e
jt
)
Re(USmejt )
245 6.0880.54
0.329 35.5 V
由此得到电容电压的瞬时值表达式
uCp (t) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电 容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
I Sm
cos(t
i )
t0
对应齐次微分方程的通解uCh(t)为
(10 7)
uCh (t)
Ke st
Ke
t RC
微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率
的正弦时间函数，即
uCp (t) U Cm cos(t u )
uCp (t) U Cm cos(t u )
为了确定UCm和ψu，可以将上式代入微分方程中
例10-4 图10-9所示电路中，已知R=1, C=2F, iS(t)=2cos(3t+45)A, 试用相量法求解电容电压uC(t) 的特解。
图 10-9
解：写出电路的微分方程
2 duC dt
uC
2 cos(3t
45 )
2 duC dt
uC
2 cos(3t
45 )
将正弦电流用相量表示
iS (t) 2 cos(3t 45 ) Re(2e j45 e j3t )
uCp (t) U Cm cos(t u )
从以上叙述可知，用相量表示正弦电压电流后，可将 微分方程转换为复系数代数方程，求解此方程得到特解的 相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式。
我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于 由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先写出n阶常 系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流， 将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到 电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式。
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电
压相量
U Cm
230
[0.5( j)2 0.5(j) 1]
230 1 j1
2 105 V
根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
可以求得
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
t
uC (t) [uC(0) UCmcosu] eRC UCm cos(t u ) (t 0)
暂态响应
正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。