根与系数的关系.1根与系数的关系

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一元二次方程根与系数的关系及应用题

一元二次方程根与系数的关系及应用题一、根与系数的关系(韦达定理)；1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12cx x a=3、定理特征：和与积的形式特点。

4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。

5、解一元二次方程的又一种方法：观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。

若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2cx a= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。

如: （1）2543215432210x x ++= （2）()219981997199910x x -⨯-=例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是；例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求：（1）11αβ+；（2）()()33++βα的值；（3）22αβ+；（4）αβ-.例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足1-11=+βα，求m 的值.例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.变式练习：1.设1x ，2x是方程220x -+=的两根,求1211x x +的值.2.下列方程中，两根均为正数的有个。

第二章一元二次方程根与系数的关系及应用

一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。

难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。

知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。

即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。

2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下：（1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；（4）解方程。

（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。

若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。

知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。

（1）求21x x +的值；（2）求21x x ⋅的值；（3）求2111x x +的值（4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。

关于根与系数关系的题及答案

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

一元二次方程的根与系数关系

知识创造未来一元二次方程的根与系数关系一元二次方程是数学中经常接触的基础知识，它的形式为ax²+bx+c=0，a、b、c代表三个系数，x代表未知数。

其中a不为0，因为当a为0时，方程就变成了一元一次方程。

对于一元二次方程，我们可以通过求解它的根来得出x的值。

那么，一元二次方程的根与系数关系是什么呢？首先，我们可以利用求根公式得出一元二次方程的两个根：x1=(-b+√(b²-4ac))/2a和x2=(-b-√(b²-4ac))/2a。

在这个公式中，我们可以看到a、b、c三个系数的重要性。

其次，我们来探讨一下一元二次方程的根与系数的关系。

当a>0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。

而当a<0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。

最后，我们来总结一下一元二次方程的根与系数的关系。

在一元二次方程中，若a>0，则与b²-4ac的大小有关，若b²-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，则方程无实根，有两个共轭虚根。

而当a<0时，情况与a>0时类似，只是有些细节上的差异。

掌握这些规律，可以更好地求解一元二次方程，提高数学学习的效率。

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数学中根与系数的关系

数学中根与系数的关系稿子一：嗨呀，亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊数学里超有趣的根与系数的关系！你知道吗，这就像是数学世界里的小秘密。

比如说一元二次方程ax² + bx + c = 0 ，它的两个根 x₁和 x₂，它们和系数之间有着神奇的联系。

那系数 a、b、c 就像是方程的“家长”，而根 x₁和 x₂就是“孩子”。

这“家长”和“孩子”之间的关系可紧密啦！韦达定理告诉我们，x₁ + x₂就等于 b/a ，x₁ × x₂呢，就等于c/a 。

是不是感觉有点神奇？想象一下，我们通过知道“家长”的情况，就能猜出“孩子”之间的某种规律。

比如说，如果系数 a 是正数，b 是负数，那大概能猜到两个根相加是个正数，是不是很有意思？而且哦，在解题的时候，根与系数的关系可帮了大忙啦！有时候我们不需要费劲地去求出根具体是多少，通过它们和系数的关系就能得到很多有用的信息。

比如说，要判断两个根的正负，或者计算两根之和、两根之积的范围，都能靠这个关系轻松搞定。

怎么样，是不是觉得根与系数的关系不再那么枯燥，反而有点可爱啦？稿子二：嘿，朋友们！咱们来唠唠数学里那个神奇的根与系数的关系。

这玩意儿啊，就像是数学给咱们设的一个小魔法。

咱就拿一元二次方程来说，一旦有了它，根和系数就像一对默契的小伙伴。

你看啊，当方程ax² + bx + c = 0 摆在那，它的根 x₁和 x₂可没闲着。

它们和系数 a、b、c 之间有着特殊的约定。

比如说，x₁ + x₂就等于 b/a ，这就好像是它们之间的秘密暗号。

而 x₁ × x₂等于 c/a ，是不是很奇妙？有时候，咱们做题遇到难题，感觉走投无路的时候，想起这个根与系数的关系，就像找到了一把神奇的钥匙。

比如说，题目告诉你方程的一个根，让你求另一个根，这时候根与系数的关系就能大显身手啦。

还有哦，如果让你判断根的大小、正负啥的，只要看看系数的情况，心里就大概有底了。

根与系数的关系

对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。

例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。

四、运用判别式及根与系数的关系解题。

例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。

例：已知、是方程的两个实数根，求的值。

七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。

例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。

3、已知关于的方程的两根为，且，则。

4、已知是方程的两个根，那么：；；。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。

7、已知是的一根，则另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。

1元二次方程根与系数的关系

1元二次方程根与系数的关系1元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c是实数且a≠0。

这个方程的根可以通过求解方程的判别式来得到。

判别式D=b²-4ac可以判断方程的根的情况。

根据判别式的值，可以分为以下三种情况：1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根。

此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√D)/(2a)得到。

其中，“±”表示两个不同的解。

2. 当D=0时，方程有两个相等的实根。

此时，方程的根可以通过求解公式x=-b/(2a)得到。

3. 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√(-D))/(2a)得到。

其中，“±”表示两个不同的解，而√(-D)表示虚数单位i乘以根号下的-D。

接下来，我们将具体讨论根与系数之间的关系。

我们来看当a=1时的情况。

也就是1x²+bx+c=0。

根据判别式D=b²-4ac，我们可以得到此时的判别式为D=b²-4c。

1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根。

此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√D)/(2a)得到。

2. 当D=0时，方程有两个相等的实根。

此时，方程的根可以通过求解公式x=-b/(2a)得到。

3. 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√(-D))/(2a)得到。

接下来我们来看根与系数的具体关系。

首先考虑D>0的情况。

根据判别式D=b²-4c，我们可以得到b²>4c。

也就是说，系数b的平方大于4倍系数c。

当b²=4c时，判别式D=0，方程有两个相等的实根。

当b²<4c时，判别式D<0，方程没有实根。

然后考虑D=0的情况。

根据判别式D=b²-4c，我们可以得到b²=4c。

专题一、根与系数的关系

专题一、根与系数的关系知识提炼：21、一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，用来判断一元二次方程的实根个数。

当$\Delta>0$ 时，方程有两个实数根；当 $\Delta=0$ 时，方程有一个实数根；当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根。

2、一元二次方程的求根公式为 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

一元二次方程的根有以下基本结论：（1）若有无理根，则必成对出现；（2）若 $a+b+c=0$，则有一个根为1；（3）若 $a-b+c=0$，则有一个根为-1.3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的两个根为$x_1$ 和 $x_2$，那么：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}$。

经典考题赏析：例1（天津中考）关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-mx+(m-2)=0$ 的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根；B、有两个相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定。

例2（山东中考）若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$ 的常数项为0，则$m$ 的值为（）A、1；B、2；C、1或2；D、无法确定。

例3（河南中考）已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-2x+1-3m=0$ 的两个实数根，且 $x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)>0$，那么实数 $m$ 的取值范围是？例4（全国联赛）已知 $t$ 是实数，若 $a,b$ 是关于一元二次方程 $x^2-2x+t-1=0$ 的两个非负实根，则 $\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$ 的最小值是多少？例5（北京市）已知关于 $x$ 的一元二次方程$x^2+2x+2k-4=0$ 有两个不相等的实数根。

一元二次方程根与系数关系

一元二次方程根与系数关系一元二次方程是数学中最基础的方程类型之一，它涉及系数之间的关系，可以用来求解函数的最大值或最小值，也可以解决物理问题。

许多有关二次函数的研究都涉及它的根，而它的根和它的系数之间存在着一定的关系。

一元二次方程形式如下：ax^2+bx+c=0它的根可以从其解析解中得出：x1 = (-b + sqrt(b^2-4ac))/2ax2 = (-b - sqrt(b^2-4ac))/2a从上面可以看出，一元二次方程的根和系数之间的关系主要有以下几点：1、如果给定的a≠0，那么一元二次方程必定有解。

2、当b2-4ac大于0时，方程有两个不等的实数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a；当b2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根，它们都等于-b/a；当b2-4ac小于0时，方程有两个不相等的虚数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a。

3、解的值取决于方程中的参数值，改变参数值，解也会发生变化。

4、当当实数a、b、c中有两个或以上具有相同的参数，解的值也会有一定的改变。

5、关于一元二次方程的系数a、b、c，当a=0时，方程转换为一元一次方程，有一个实数解；当b=0时，方程转换为二次项系数为零的椭圆方程，有两个不等实数解；当c=0时，方程转换为两项系数为零的椭圆方程，有一个实数解；当a=b=c=0时，方程为任何值都满足，这种情况称为无穷多解。

6、一元二次函数的性质也可以由系数的关系得出，如当a>0时，函数是凸函数，x轴的极值点在x1处；当a<0时，函数是凹函数，x 轴的极值点在x2处。

以上就是关于一元二次方程系数的可能的关系。

系数与解之间存在着一定的关系，可以帮助我们更好地解决问题，也为我们提供了新的视角来理解问题。

这也使得数学更加丰富有趣，扩大我们对数学的认识。

初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式

初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式一、介绍在初中数学的学习中，根与系数的关系和完全平方公式是一个重要且基础的内容。

掌握了这两个概念和方法，可以帮助学生更好地解决代数题目，提高解题效率和准确率。

本文将分别介绍根与系数的关系和完全平方公式的相关知识，并共享解题方法，帮助学生更好地理解和运用这两个重要的数学概念。

二、根与系数的关系1. 什么是根与系数？在代数中，一个一元二次方程可以用一般形式表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。

方程的根指的是能够使方程成立的未知数的值，不同的根可以使方程等式成立。

而系数则是指在方程中与未知数相关的常数。

2. 根与系数的关系根与系数之间存在着重要的关系，这一关系可以通过韦达定理来描述。

设一元二次方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下结论：（1）根的和与系数的关系x₁+x₂=-b/a根的和等于一次项系数b的相反数除以二次项系数a的负数。

（2）根的积与系数的关系x₁x₂=c/a根的积等于常数项c除以二次项系数a。

通过根与系数的关系，我们可以利用方程的系数来求解方程的根，或者根据已知的根来推导方程的系数，从而更好地理解方程的性质和特点。

三、完全平方公式1. 什么是完全平方公式？在代数运算中，完全平方公式是指一个代数式能够被一个一元二次不等式平方并展开成二次式的方法。

对于一元二次不等式(a+b)²，根据完全平方公式展开后得到a²+2ab+b²。

2. 完全平方公式的应用完全平方公式在代数运算中有着广泛的应用，尤其是在解决代数方程或不等式的过程中。

通过完全平方公式，我们可以将一个一元二次不等式进行因式分解，从而更好地理解并解决数学问题。

四、解题方法1. 根与系数的关系的解题方法（1）已知方程的系数求根当已知一元二次方程的系数时，我们可以通过根与系数的关系来求解方程的根。

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系一、课堂目标理解根与系数关系，会用根系关系求参数的值或快速求解含参方程二、知识讲解1. 根与系数的关系（韦达定理）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．一元二次方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数、、决定根的值，而且反应了根与系数间的关系．那么一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？探究1从因式分解法可知，方程（、为已知数）的两根为和，将方程化为一般式后，你能说一说两个根和系数之间的关系吗？探究2探究1是二次项系数为1时，根和系数的关系，现在扩展到一般式（）中，探究根和系数的关系．当，即方程有实数根，由可知，，．因此，方程的两个根，和系数，，有如下关系：，．韦达定理：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．例题1.若关于的一元二次方程的两根为，，则．练习2.方程的解为、，则；．3.已知，是方程的两个实数根，则．2. 根与系数关系的应用．不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；．已知方程的一个根，求方程的另一个根；．与根的判别式相结合，解决一些综合题．【总结】几个重要变形：①；②；③；④．例题4.已知方程的一个根是，则它的另一个根是．5.关于的方程有两个不相等的实数根，，且有，则的值是（）．A.B.C.或D.练习6.已知关于的一元二次方程的一根为，求的值以及方程的另一根．7.一元二次方程的两根为和，则的值是（）．A.B.C.D.8.设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，若，则的值为．例题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9.已知、是方程的两个实数根．则：．．．．．．．．（9）．练习（1）（2）10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．求的取值范围；若，求的值．11.己知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是．（1）（2）12.已知方程的两根是，．不解方程，求：．．13.已知一元二次方程（其中为大于的常数）的两个实根为，，求的值．例题14.已知，且，，那么．练习15.已知、是方程的两个根，那么．16.已知，是不相等的实数，且，，求的值．三、出门测17.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是．18.方程的所有实数根之和是．19.已知关于的方程的两根为和，则，．一元二次方程的根与系数的关系题集【A】20.已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则．21.如果，是方程的两个根，那么；．22.若关于的方程的一个根是．则另一根；．23.若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式．24.已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根．25.已知关于的方程的两个根为、，若，则．26.求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，．27.若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则．（1）（2）（3）（4）28.已知、是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示）．．．．29.已知一元二次方程的两个根为、，则，，，．30.已知，是方程的两个根，那么，．31.已知、是方程的两根，求的值．32.已知，，求的值．33.若，且及，则，.34.设，是方程的两个实数根（），求的值．（1）（2）35.已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求实数的取值范围．若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．（1）（2）36.已知关于的一元二次方程．求证：方程总有实数根．设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值．（1）（2）37.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．求的取值范围．若，求的值．一元二次方程的根与系数的关系题集【B】38.已知一元二次方程的两根为、，则（）．A.B.C.D.39.一元二次方程的两根为和，则的值是（）．A.B.C.（1）（2）40.已知：关于的方程．若方程总有两个实数根，求的取值范围．若两实数根、满足，求的值．41.若关于的二次方程的两实根互为倒数，则．42.若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（）．A.B.C.D.43.已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是．44.已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是，若，则的值．（1）（2）（3）（4）（5）（6）45.已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：．．．．．．46.已知实数，且满足，，则的值为（）．A.C.D.（1）（2）47.已知关于的一元二次方程有两个实数根，．求实数的取值范围．是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由．48.已知，是方程的两个根，求的值为．49.设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是．。

根与系数关系及根的判别式

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。

时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则acx x a b x x =⋅-=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0一、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是（）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系（）A. M =B.M >C.M <D.大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（） A.012=+xB.0122=++x xC.0322=++x xD.0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（） A.57 B.57- C.75 D.75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13D 、17. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（）.8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（） A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（）A.0232=--x xB.02322=--x xC.0232=-+x xD.02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.下列方程中，没有实数根的是（）A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) A.6 B.-6 C.4 D.-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0 ( )A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15.两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为( )A.6B.－6C.4D.－416.已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是( ) A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（） A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是。

一元二次方程组的根与系数的关系

一元二次方程组的根与系数的关系稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊一元二次方程组的根与系数的关系，这可有趣啦！你知道吗，当我们面对一个一元二次方程的时候，比如说ax² + bx + c = 0 ，这里面的 a、b、c 可都有着大作用呢！根与系数之间有着神奇的联系。

假设方程的两个根是 x₁和 x₂，那么它们的和 x₁ + x₂就等于 b/a ，而它们的积 x₁ · x₂则等于c/a 。

是不是感觉有点神奇？想象一下，就好像这几个数字之间在悄悄地传递着秘密信号。

比如说，给你一个方程x² 5x + 6 = 0 ，那两个根是 2 和3 。

算一下，2 + 3 正好等于 5 ，也就是 (5)/1 ；2×3 呢，正好是6 ，也就是 6/1 。

掌握了这个关系，解起方程来可就多了一条捷径呢！有时候，就算方程的根不好直接求出来，通过这个关系也能大概知道根的一些情况。

怎么样，是不是觉得一元二次方程组的根与系数的关系很有意思呀？稿子二亲爱的小伙伴，咱们来唠唠一元二次方程组的根与系数的关系哈。

你看哈，这一元二次方程就像是一个藏着宝藏的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的小钥匙。

比如说一个方程像这样：2x² + 3x 5 = 0 。

这里面的系数 2 、3 、5 ，和它的根有着特别的关联呢。

两个根假设是 x₁和 x₂，那它们相加，也就是 x₁ + x₂，结果就是 3/2 哟，是不是有点意外？这其实就是 b/a 啦。

再看看它们相乘，x₁ · x₂等于 5/2 ，也就是 c/a 。

这就好像是数学世界里的小魔法，是不是很神奇？咱举个实际的例子，假如有个方程x² + 2x 3 = 0 ，很快就能算出根是 1 和 3 。

然后你验证一下，1 + (3) 正好是 2 ，1×(3) 就是 3 。

这种关系在解题的时候可好用啦，能让咱们更快更准地找到答案。

所以呀，别小看这一元二次方程组的根与系数的关系，它能帮咱们在数学的海洋里畅游得更欢快呢！。

1元二次方程根与系数的关系公式

1元二次方程根与系数的关系公式一元二次方程啊，这可是中学数学里的一个重要知识点。

咱先来说说一元二次方程一般式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），如果这个方程有两个根$x_1$和$x_2$，那么就有一个神奇的关系，叫根与系数的关系公式，也叫韦达定理。

韦达定理说的是，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$。

可别小看这两个公式，用处大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂。

”我笑了笑，给他举了个例子。

假设我们有个一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，那我们先通过因式分解，得到$(x - 2)(x - 3) = 0$，所以方程的两个根就是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。

那按照韦达定理，$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，而$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$，是不是对上啦？再看$x_1 \times x_2 = 2×3 = 6$，$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$，也没错吧！这个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”韦达定理在解决很多数学问题时都能派上用场。

比如说，已知方程的一个根，求另一个根；或者根据两根的关系，确定方程中的系数等等。

再比如，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 8，两根之积是 15，那我们就能很快写出这个方程$x^2 - 8x + 15 = 0$。

而且啊，韦达定理还能和函数图像结合起来。

一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点，对应的就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。

通过韦达定理，我们能知道两根的和与积，进而对函数的性质有更深入的理解。

在做题的时候，要是能熟练运用韦达定理，那解题速度就能大大提高。

根与系数的关系

一元二次方程根与系数对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

根与系数的关系定理及其应用

根与系数的关系定理及其应用资料编号:202209031408一元二次方程根与系数的关系定理我们已经学习了公式法求解一元二次方程,知道了一元二次方程的实数根是由它的三个系数确定的,因此,我们有理由相信,一元二次方程的根与系数一定存在某种确定的数量关系.这就是下面要讲的根与系数的关系定理.对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当满足ac b 42-=∆≥0时,方程有两个实数根,求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 设aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=,则有: ab a b a ac b b ac b b x x -=-=----+-=+222442221, ()()a c a ac a acb b ac b b x x ==----+-=⋅22222144444. 上面两根之和与两根之积的结果,即为一元二次方程根与系数的关系.特别地,当1=a 时,有c x x b x x =⋅-=+2121,,于是,有下面的结论:对于一元二次方程02=++q px x ,当q p 42-≥0时,方程的两个实数根满足:q x x p x x =⋅-=+2121,.实际上,对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,化二次项系数为1可得:02=++ac x a b x . 当ac b 42-≥0,按照上面的结论,可知ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 需要特别说明的是,根与系数的关系定理与一元二次方程有无实数根没有关系,当0<∆时该定理依然成立.限于初中学生的认知水平,初中阶段只研究方程有实数根时根与系数的关系.根与系数的关系定理的应用应用一不解方程,求两根之和与两根之积初中阶段,二次项系数为1的一元二次方程,当方程有实数根时,根据根与系数的关系定理,两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.当方程二次项系数不等于1时,先在方程的两边同时除以二次项系数,化二次项系数为1,再使用根与系数的关系定理.例1. 设21,x x 分别为下列方程的两根实数根,不解方程,求21x x +与21x x 的值.（1）0262=--x x ;（2）01422=-+x x .解:（1）由根与系数的关系定理可得:()2,662121-==--=+x x x x ;（2）01422=-+x x02122=-+x x 由根与系数的关系定理可得:21,22221-=-=+x x x x . 应用二不解方程,求代数式的值一些代数式的求值问题,与两根之和、两根之积有关.这些代数式,多为对称代数式,需要先对代数式进行变形,使之出现两根之和与两根之积的身影,然后再根据根与系数的关系定理获得两根之和与两根之积的值,代入求值.当然,变形是关键.常见的对称代数式及其变形如下:（1）()2122122212x x x x x x -+=+; （2）21212111x x x x x x +=+; （3）()212122121222121122x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+; （4）()()()2212121m x x m x x m x m x ++-=--（m 为常数）;（5）()2121221221x x x x x x x x +=+; （6）()()212212214x x x x x x -+=-; （7）()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-.由上面对称代数式的变形可知,根与系数的关系定理是整体思想的一种很好的体现.例2. 已知21,x x 是一元二次方程0132=--x x 的两根,不解方程求下列各式的值:（1）21x x +; （2）21x x ;（3）2221x x +; （4）2111x x +. 解:（1）由根与系数的关系定理可得:()3321=--=+x x ;（2）由根与系数的关系定理可得:121-=x x ;（3）()()1112322212212221=-⨯-=-+=+x x x x x x ; （4）31311212121-=-=+=+x x x x x x . 例3. 若21,x x 是方程0232=--x x 的两根,求下列各式的值:（1）()()1121--x x ; （2）21x x -.解:（1）由根与系数的关系定理可得:2,32121-==+x x x x∴()()()4132111212121-=+--=++-=--x x x x x x ;（2）()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-()172432=-⨯-=.应用三已知方程的一个根求方程的另一根和参数的值已知含参一元二次方程的一个根,求方程的另一个根及参数的值,一般的做法是:把已知根代入方程,求出参数的值,在把参数的值回代方程,得到具体的一元二次方程,求解可得方程的另一个根.显然,这种方法计算量大,不是解决问题的最好方法.根据根与系数的关系定理,很容易求出方程的另一个根,再由两根去求参数的值.整个过程计算量较小且不易出错.例4. 已知关于x 的方程0202=-+mx x 的一个根是4-,求它的另一个根和m 的值.解:设方程的另一个根为2x ,由根与系数的关系定理可得:204,422-=--=+-x m x解之得:1,52-==m x∴该方程的另一个根为5,m 的值为1-.例5. 已知关于x 的方程03422=+-q x x 的一个根是21-,求它的另一个根和q 的值.解:原方程可化为:02322=+-q x x 设方程的另一个根为2x ,由根与系数的关系定理可得:2212=+-x ,()q x 23212=- 解之得:32,212-=+=q x ∴该方程的另一个根为21+,q 的值为32-. 应用四构造新的一元二次方程以21,x x 为两个实数根的一元二次方程为:()021212=++-x x x x x x .实际上,设以21,x x 为两个实数根构造的一元二次方程为02=++q px x ,由根与系数的关系定理可得:()2121,x x q x x p =+-=. 所以,构造的方程为()021212=++-x x x x x x .例6. 以2-和3为两根的一元二次方程是【】（A ）062=-+x x （B ）062=--x x（C ）0162=-+x x （D ）0162=+-x x解:以2-和3为两根的一元二次方程为:()()032322=⨯-++--x x ,即:062=--x x .∴选择答案【 B 】.例7. 阅读材料:材料1 若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ,则ab x x -=+21, ac x x =21. 材料2 已知实数n m ,满足01,0122=--=--n n m m ,且n m ≠,求nm m n +的值. 解:由题意可知:n m ,是方程012=--x x 的两根不相等的实数根∴1,1-==+mn n m ∴()31212222-=-+=-+=+=+mn mn n m mn n m n m m n . 根据上述材料解决下列问题:（1）一元二次方程01322=-+x x 的两根为21,x x ,则=+21x x _________,=21x x _________;（2）已知实数n m ,满足0122,012222=--=--n n m m ,且n m ≠,求22mn n m +的值;（3）已知实数q p ,满足132,2322+=+=q q p p ,且q p 2≠,求224q p +的值.解:（1）21,23--; （2）由题意可知:n m ,是方程01222=--x x 的两根不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:21,1-==+mn n m ∴22mn n m +()21121-=⨯-=+=n m mn ; （3）设q t 2=,则t q 21= ∵1322+=q q∴232+=t t由题意可知:t p ,是方程0232=--x x 的两根不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:22,32-===+=+pq pt q p t p∴()pq q p q p 2224222⋅-+=+ ()132232=-⨯-= 应用五求参数的取值范围一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正实数根的条件是:⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ;有两个负实数根的条件是:⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ;有两个相异实数根的条件是:⎩⎨⎧<>∆0021x x . 例8. 已知方程()00122≠=-+-m m mx mx 有一个正根,一个负根,求m 的值取值范围.解:由题意可得:()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>---=∆010142212m m x x m m m解之得:1<m.0<∴m的值取值范围是1<m.0<。