(完整word版)一次函数与反比例函数综合题中考专题
中考数学一次函数与反比例函数综合
一次函数与反比例函数综合基础题1. (2022怀化)如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝a －1x (a ＞1)的图象于A ，B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11第1题图2. (2022内江)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (2，3)，与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限交于点Q (m ，n ).若一次函数y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是________．第2题图3. (2022随州)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限交于点C ，若AB ＝BC ，则k 的值为___________________________________．第3题图4. (2022济宁改编)如图，直线AB 与反比例函数y ＝8x (x ＞0)交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，交线段OA 于点C ，若点C 是OA 的中点，则△ABD 的面积是________．第4题图5. (2022无锡改编)一次函数y ＝mx ＋n 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于点A ，B ，其中点A ，B 的坐标为A (－1m，－2m )，B (m ，1)，则△OAB 的面积是________．6. (2022江西)如图，点A (m ，4)在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，点B 在y 轴上，OB ＝2，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且OD ＝1. (1)点B 的坐标为________，点D 的坐标为________，点C 的坐标为________(用含m 的式子表示)； (2)求k 的值和直线AC 的表达式．第6题图7. (2022自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝nx的图象相交于A (－1，2)，B (m ，－1)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)过点 B 作直线 l ∥y 轴，过点 A 作 AD ⊥l 于点 D ，点 C 是直线l 上一动点，若 DC ＝2DA ，求点 C 的坐标．第7题图拔高题8. (2022南充)如图，直线AB 与双曲线交于A (1，6)，B (m ，－2)两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C ，连接AC .(1)求直线AB 与双曲线的解析式； (2)求△ABC 的面积．第8题图9.(万唯原创)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝12 x 的图象与反比例函数y ＝kx的图象交于A(a，－2)，B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)若P是第一象限内反比例函数图象上一点(不与点B重合)，当△ABP是以点B为直角顶点的直角三角形时，求直线AP的函数表达式．第9题图。
初中中考复习之一次函数和反比例函数的综合(精编含答案)
中考复习之一次函数和反比例函数的综合一、选择题1.已知直线y=ax （a≠0）与双曲线()ky=k 0x≠的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是【 】 A ．（﹣2，6）B ．（﹣6，﹣2）C ．（﹣2，﹣6）D ．（6，2）2.如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是【 】A ．（1，2）B ．（－2，1）C ．（－1，－2）D ．（－2，－1）3.如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、 B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是【 】A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1 4. 在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线1y=x的交点的个数为【 】 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不能确定 5.若反比例函数ky x=与一次函数y x 2=+的图像没有．．交点，则k 的值可以是【 】 A. -2 B. -1C. 1D. 26.若双曲线ky=x与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k 的值为【 】 A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．27.在同一坐标系中，直线y ＝x ＋1与双曲线y ＝ 1x 的交点个数为【 】A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 8.已知反比例函数by x=（b 为常数），当x 0>时，y 随x 的增大而增大，则一次函数y x b =+的图像不经过第几象限【 】A.一B. 二C. 三D. 四9.直线1y x 12=--与反比例函数k y x =的图象（x<0）交于点A ，与x 轴相交于点B ，过点B 作x 轴垂线交双曲线于点C ，若AB=AC ，则k 的值为【 】 A.－2 B.－4 C.－6 D.－810.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y ax=在同一坐标系中的图象可能是【 】 A.B ．C ．D ．11.如图，一次函数y 1=x+1的图象与反比例函数2y 2x=的图象交于A 、B 两点，过点作AC⊥x 轴于点C ，过点B 作BD⊥x 轴于点D ，连接AO 、BO ，下列说法正确的是【 】A ．点A 和点B 关于原点对称 B ．当x ＜1时，y 1＞y 2C ．AOC BOD S S ∆∆= D ．当x ＞0时，y 1、y 2都随x 的增大而增大 12. 一次函数1y kx b(k 0)=+≠与反比例函数2my (m 0)x=≠，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【 】A 、－2＜x ＜0或x ＞1B 、x ＜－2或0＜x ＜1C 、x ＞1D 、－2＜x ＜1 13.在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x 的图象与反比例函数4-2ky=x的图象没有交点，则实数k 的取值范围在数轴上表示为【 】。
2024年九年级中考数学一次函数与反比例函数综合练习
一次函数与反比例函数综合练习模块一图象结合方法总结2.一次函数图象的增减性：b<0 b>0 b<0 b=0的增大而增大y随x的增大而增小3.两个函数的大小关系与自变量的取值范围：相交于 A(1,3)、B(-3,-1), 分别过 A、B两点作x轴的垂线l₂，l₁，如图，一次函数y=x+2 与反比例函数y=3x则l₁、l₂、y轴将直线和双曲线分成四段：x<−3,−3<x<0,0<x<1、x>1.①当. x<−3时，双曲线在直线上方，则3x>x+2;②当−3<x<0时，双曲线在直线下方，则3x<x+2;③当( 0<x<1时，双曲线在直线上方，则3x>x+2;④当x>1时，双曲线在直线下方，则3x<x+2.反之，若3x >x+2,则x< -3或0<x<1; 若3x<x+2,则-3<x<0或x>1.【方法】口诀：“y轴左右分两区，交点两旁再划分；数形结合来分析，取等取0要当心. ”巩固练习①一个反比例函数与一个一次函数在同一坐标平面内的图像如图所示，如果其中的反比例函数解析式为y=kx,那么该一次函数可能的解析式是 ( ).A.y=kx+kB. y=kx-kC.y=−kx+kD.y=−kx−k❷一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx在同一直角坐标系中的大致图象如图所示，则下列判断正确的是 ( ).A. k>0, b>0B. k>0, b<0C. k<0, b>0D. k<0, b<0(m≠0)的图象可能是 ( ).3 在同一平面直角坐标系中，函数. y=mx−m(m≠0)与y=mx在同一坐标系中的大致图象是 ( ).❹若ab>0, 则一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx与一次函数y=k(x−1)在同一坐标系中的图象可能是 ( ).5反比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，其中点A 的横坐标为6如图，正比例函数y₁=k₁x的图象与反比例函数y2=k2x2，当y₁<y₂时,x的取值范围是 ( ).A. x<-2或x>2B. x<-2或0<x<2C.-2<x<0或0<x<2D.-2<x<0或x>2的图象与一次函数y₂=kx+b的图象交于 A、B两点.若. y₁如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=2x<y₂,,则x的取值范围是( ).A.1<x<2B.x<1或x>2C.x<0或1<x<2D.0<x<1或. x>2模块二求解析式方法总结1.待定系数法的定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.2.待定系数法的步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将xy的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程(组)，得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式.巩固练习(k≠0)的图象交于点 C，过点 C作CB⊥x轴于点 1如图，直线y=-x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kxB, AO=3BO, 则反比例函数的解析式为 ( ).A.y=4x B.y=−4xC.y=2xD.y=−2x2如图，已知一次函数. y₁=x+m(m为常数)的图象与反比例函数y2=kx(k为常数, k≠0)的图象相交于点A (1,3).(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点 B 的坐标.(2)观察图象，写出使函数值y₁≥y₂的自变量x的取值范围.❸如图，一次函数. y=kx+5(k 为常数,且k≠0)的图象与反比例函数y=−8x的图象交于A(−2,b), B两点.(1)求一次函数的表达式.(2)若将直线AB向下平移，m(m⟩0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.4 已知y=y₁−y₂,y₁与x成反比例，y₂与(x−2)成正比例，并且当x=3时, y=5,当x=1时, y=−1.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)当x=12时, 求y的值.5 如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线. y=x−2相交于横坐标为3 的点A.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果点 B 在直线. y=x−2上，点 C在反比例函数图象上，BC//x轴, BC=4,, 且 BC 在点 A上方，求点 B 的坐标.A.(1)y=2x ; (2)(5,3) B.(1)y=2x; (2)(5,4)2C.(1)y=3x ; (2)( 5,3) D.(1)y=3x; (2)(5,4)6如图, 直线y=-x+b与双曲线y=kx (k<0),y=mx(m⟩0)分别相交于点A、B、C、D, 已知点A的坐标为(-1,4),且AB:CD=5:2, 则m= .7 如图，在平面直角坐标系中，直线y=13x与双曲线y=kx(k≠0)交于点 A, 过点 C(0,2) 作 AO的平行线交双曲线于点B，连接AB并延长与y轴交于点 D(0，4)，则k的值为 .8.直线y=−12x−1与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点 C，若. AB=AC,则 k 的值为 ( ).A.-2B.-4C.-6D.-89 如图，一次函数. y=x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点 A 和点B(−2,n),与x轴交于点C(−1,0),连接OA.(1)求一次函数和反比例函数的解析式.(2) 若点 P在坐标轴上, 且满足 PA = OA, 求点 P的坐标.10如图，在以点 O 为原点的平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B, 点 C在直线AB上, 且OC=12AB,反比例函数y=kx的图象经过点 C，则所有可能的k值为 .模块三面积问题方法总结1.过反比例函数y=kx(k≠0),图象上一点，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点组成一个矩形，矩形的面积. S =|x|⋅|y|=|xy|=|k|.2.做一个坐标轴的垂线，连接垂足、原点所围成三角形的面积为|k2|.(k≠0)交于A、B两点, 与x、y轴的交点分别为 C、D,那么S OAB=3.如图，直线AB与反比例函数y=kxS OCD−S OBD−S OAC,此方法是绝大部分学生选用的方法.但是，从效率来讲，就比较低.如图，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则根据k的几何意义可得，S OBF=S OAE,而S OBF+S ABFE=S OAB+S OAE,所以S ABFE=S OAB,此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错.(k≠0)交于A、B两点，与x、y轴的交点分别为 C、D, 那么4.如下左图，直线AB与反比例函数y=kxS OAB=S OCA+S OCB=S ODB+S ODA,此两种方法是绝大部分学生选用的方法.常规方法，费时、费力、而且还易计算出错.如下右图，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长 BO 交双曲线于点 E, 连接AE、则OB=OE,S OAB=S OAE,因此可以将△OAE的面积转化为梯形的面积.巩固练习1 如图，正比例函数. y=x与反比例函数y=4x的图象交于A、B两点，过点A作. AC⊥x轴于点 C,则△BOC 的面积是 ( ).A.4B.3C.2D.12 如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=nx相交于A(-1,a)、B两点, BC⊥x轴,垂足为C, △AOC 的面积是1.(1)求m、n的值.(2) 求直线AC 的解析式.(3)点 P 在双曲线上, 且△POC的面积等于△ABC面积的14,求点 P的坐标.3如图，点 A 在双曲线y=3x 上,点 B 在双曲线y=6x上, 且AB‖x轴, 则△OAB的面积等于 .4 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx 的图象交于点 A(4,n)和点B(n+13,3),与y轴交于点 C.(1)求反比例函数和一次函数的表达式.(2) 若在x轴上有一点D, 其横坐标是1, 连接AD、CD, 求△ACD的面积.5如图，已知四边形OABC 是平行四边形，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点C，且与AB交于点 D, 连接OD, CD, 若. BD=3AD,△OCD的面积是 10,则k的值为 ( ).A.-10B.5C.83D.1636 如图, 直线y=x+m与双曲线y=3x相交于A, B两点, BC//x轴, AC//y轴, 则△ABC面积△ABC的最小值为 .7 如图,直线y=x-1 与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，与x轴交于点 C，已知点 A 的坐标为(-1,m).(1)求反比例函数的解析式.(2)若点 P(n,-1) 是反比例函数图象上一点, 过点P作PE⊥x轴于点E, 延长EP 交直线AB于点 F, 求△CEF的面积.8 如图，已知直线y=x+k和双曲线y=k+1x(k为正整数)交于 A,B两点.(1)当k=1时,求A、B 两点的坐标.(2)当k=2时,求△AOB的面积.(3)当k=1时, △OAB的面积记为S₁,当k=2时, △OAB的面积记为S2,⋯,依此类推，当k=n时, △OAB的面积记为Sₙ,若S1+S2+⋯+S n=1332,求n的值.模块四综合模块巩固练习1直线y=ax(a⟩0)与双曲线y=3x 交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则4x|y2−3x2y|=¯.A.√2B.-2C.-3D.√32.如图所示，直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点 C，与反比例函数y2=mx(x⟩0)的图象交于点 P,作PB⊥x轴于点B, 且. AC=BC.(1)求点 P 的坐标和反比例函数 y₂的解析式.(2)请直接写出. y₁>y₂时，x的取值范围.(3)反比例函数 y₂图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形?如果存在，求出点 D的坐标；如果不存在，说明理由.3 如图,点A(m,m+1),B(m+3,m−1)都在反比例函数y=kx的图象上.(1)求m, k的值.(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线M N的函数表达式.4 如图，反比例函数y=kx 的图象与一次函数y=14x的图象交于点 A、B，点B的横坐标是 4. 点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方.(1) 若点P的坐标是(1,4), 直接写出k的值和△PAB的面积.(2) 设直线PA、PB与x轴分别交于点 M、N, 求证: △PMN是等腰三角形.(3)设点Q是反比例函数图象上位于 P、B 之间的动点(与点 P、B不重合 ),连接 AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ 的大小，并说明理由.5 如图, 矩形ABOD的两边OB, OD 都在坐标轴的正半轴上,( OD=3,另两边与反比例函数y=kx(k≠0)图象分别相交于点 E，F，且DE=2.. 过点 E作. EH⊥x轴于点 H,过点 F作FG⊥EH于点 G.回答下面的问题：(1)该反比例函数的解析式是什么.(2)当四边形AEGF 为正方形时，点 F的坐标是多少.(3)小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE>EG时, 矩形AEGF 与矩形DOHE 能否全等?能否相似?” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等?直接写出结论即可；这两个矩形能否相似?若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由.。
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象上与反比例函数2my x=的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点()4,1A ，点B 的横坐标为2-．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点D 是y 轴上一点，且9ABD S =△，求点D 坐标．2．一次函数y kx b =+与反比例函数my x=，交于点()2,A n 和点()4,2B --，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接BC ，求ABC 的面积．(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x 的取值范围．3．如图，一次函数3y x的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()1,m A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C(1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P 为反比例函数ky x=图象上一点2OBP OAC S S =△△，求点P 的坐标.4．如图，一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于(,2)A m ，(1,6)B 两点．(1)求反比例函数和一次函数的函数表达式； (2)根据图象直接写出满足当kax b x+>时，x 的取值范围．5．如图，已知直线4y x =-+与反比例函数ky x=的图象相交于点(2)A a -，，并且与x 轴相交于点B ．(1)求a 的值；求反比例函数的表达式； (2)求AOB 的面积； (3)求不等式40kx x-+-<的解集（直接写出答案）．6．如图，一次函数11y k x b =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数22k y x=的图像分别交于C 、D 两点，点C 的坐标为()2,4，点B 的坐标为()0,2．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)已知()4,2D --，求COD △的面积； (3)直接写出21k k x b x+<时，x 的取值范围．7．如图，已知反比例函数11k y x=的图象与直线22y k x b =+相交于()1,3A -，(3,)B n 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)直接写出当12y y >时，对应的x 的取值范围．8．如图，已知反比例函数()0ky k x=≠与正比例函数2y x =的图像交于()1A m ，，()12B --，两点．(1)求该反比例函数的表达式；(2)已知点C 在x 轴的正半轴上，且ABC 的面积为3，求点C 的坐标．9．如图，已知正比例函数143y x =的图象与反比例函数2ky x=的图象相交于点()3,A n 和点B(1)求n 和k 的值；(2)以AO 为边作菱形AOCD ，使点C 在x 轴正半轴上，点D 在第一象限，线段CD 交反比例函数第一象限的图象于点E ，连接AE 、OE ，求AOE △的面积；(3)在（2）的条件下，点P 是反比例函数图象上的点，若2=△△COP AOE S S ，求点P 的坐标10．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知(3,1)A ，点B 的坐标为(,2)m -．(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y 轴上是否存在一点P （不与点O 重合），使得PDC CDO ∽△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．11．如图1，反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象交于A B ，两点，已知()2,3B ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)一次函数y x b =+的图象与x 轴交于点C ，点D （未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若3OCDS=，求点D 的坐标：(3)若点M 是坐标轴上一点，点N 是平面内一点，是否存在点M N ，，使得四边形ABMN 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，直线32y x =与双曲线(0)k y k x=≠交于A ，B 两点，点A 的坐标为(,3)m -，点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连结BC 并延长交x 轴于点D ，且2BC CD =．(1)求k 的值，并直接写出点B 的坐标；(2)点G 是y 轴上的动点，连结GB ，GC ，求GB GC +的最小值和点G 坐标；(3)P 是坐标轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ABPQ 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于()41A -，和()4B m ，两点．（1k ，2k 和b 为常数）(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)将一次函数1y k x b =+向下平移m 个单位后与反比例函数2k y x=的图像有且只有一个公共点，求m 的值；(3)P 为y 轴上一点，若PAB 的面积为3，求P 点的坐标．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数1(0)ky k x=>的图像与正比例函数2(0)y mx m =>的图像交于点A 、点C ，与正比例函数3(0)y nx n =>的图像交于点B 、点D ，设点A 、D 的横坐标分别为s ，t (0s t <<)．(1)如图1，若点A 坐标为()2,4．△求m ，k 的值；△若点D 的横坐标为4，连接AD ，求AOD △的面积．(2)如图2，依次连接AB ，BC 和CD ，DA 若四边形ABCD 为矩形，求mn 的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),2A a -，B 两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点C 是反比例函数第一象限图象上一点，且ABC 的面积是AOB 面积的一半，求点C 的横坐标；(3)将AOB 在平面内沿某个方向平移得到(DEF △其中点A 、O 、B 的对应点分别是D 、E 、F ），若D 、F 同时在反比例函数ky x=的图象上，求点E 的坐标．参考答案： 1．(1)24y x = 1112y x =-；(2)()0,2D 或()0,4-．2．(1)2y x =+ 8y x =(2)12(3)2x >或40x -<<3．(1)4y x =(2)点()2,2P 或()2,2--4．(1)6y x = 28y x =-+(2)0x <或13x <<5．(1)6a = 12y x =-(2)12(3)20x ＜＜-或6x ＞6．(1)12y x =+ 28y x =(2)6(3)02x <<或<4x -7．(1)13y x =- 22y x =-+；(2)4；(3)10x -<<或3x >．8．(1)2y x=(2)302⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．(1)4n = 12k =(2)10(3)3,82⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,82⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)反比例函数解析式为3y x =，一次函数的解析式为213y x =- (2)存在，点P 的坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11．(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：61y y x x==+， (2)()1,6D --或()1,6D(3)存在，其坐标分别为()()125,00,5M M ，12．(1)623k B =，，(2)217 50,2G (3)存在，点P 的坐标为1302⎛⎫ ⎪⎝⎭， 或1303⎛⎫ ⎪⎝⎭，13．(1)一次函数解析式为5y x =+，反比例函数解析式为4y x=- (2)1或9(3)()03，或()07，14．(1)△2m = 8k ；△6ODA S= (2)1mn =15．(1)6y x= (2)C 点的横坐标为1132-+或3212-+ (3)点E 的坐标为()2,4-。
中考一次函数与反比例函数[含答案]
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反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . (1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第4题图5. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC . (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2 2xx=，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b kk b b+=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8 x；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC 与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx=，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx=；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上，∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6；(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)，∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1，设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f cc c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +，∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD . 9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去），∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2，∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724；(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|，∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|，∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-，∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)，∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。
中考数学专题训练《一次函数与反比例函数》含答案解析
函数、一次函数与反比例函数一、选择题1．在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=3．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6 D．64．点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）A．（2，3 B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）5．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限6．已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）7．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞08．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P 应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．10．已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．12．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．13．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω C．不小于14ΩD．不大于14Ω14．如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C． D．15．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．16．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234v0.01 2.98.0315.1A．v=2m﹣2 B．v=m2﹣1 C．v=3m﹣3 D．v=m+1二、解答题17．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．19．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），点B（﹣2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积．20．暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与x的函数关系式；（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求tan∠OCD的值；（3）求证：∠AOB=135°．22．宜昌市政府为了方便群众，促进地方经济发展，促进宜昌周边旅游资源的良性循环，特向宜昌城区137万人口推出了“一卡通”周边游便民服务卡，即城区常住居民只需花上100元，办理一张旅游卡，一年内持卡人可到周边二十个景点游玩，凭卡不需购买门票．假设下图表示活动推出后的市民办卡情况．（1）根据图象求出办卡人数y（万人）与时间x（天）的函数关系式；（2）按此进度发展，请你预测办卡第80天时总共办卡人数．23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．24．如图，直线l1：y=3x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．函数、一次函数与反比例函数参考答案与试题解析一、选择题1．在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件．【专题】11 ：计算题．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．【解答】解：根据题意得：3x﹣1≠0，解得：x≠．故选C．【点评】当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．2．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．【分析】分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．【解答】解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3，故A选项错误；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3，故B选项错误；C、函数式为整式，x是任意实数，故C选项错误；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6 D．6【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．【专题】11 ：计算题；41 ：待定系数法．【分析】因为函数经过一定点，所以将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（﹣2，﹣3），∴﹣3=，得k=6．故选D．【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k的值，比较简单．4．点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）A．（2，3 B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】2B ：探究型．【分析】根据点M （﹣2，3）在曲线y=上求出k的值，再根据k=xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点M （﹣2，3）在曲线y=上，∴k=（﹣2）×3=﹣6，∴A、中2×3=6≠﹣6，故本选项错误；B、中（﹣2）×（﹣3）=6≠﹣6，故本选项错误；C、中3×（﹣2）=﹣6=k，故本选项正确；D、中3×2=6≠﹣6，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即k=xy．5．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限【考点】G4：反比例函数的性质；G7：待定系数法求反比例函数解析式．【专题】41 ：待定系数法．【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．【解答】解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限．6．已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n） D．（﹣m，n）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】将（m，n）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．【解答】解：∵点P（m，n）在某反比例函数的图象上，∴反比例函数的比例系数k=mn，所有选项中只有B所给点的横纵坐标的积等于mn．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．7．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．b＜0 D．b＞0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【专题】16 ：压轴题．【分析】k＞0时，y随x的增大而增大．【解答】解：若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则k＞0．故选B．【点评】一次函数y=kx+b的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数k，b 的关系如下：①k＞0时，y随x的增大而增大．这时，若b＞0，则直线经过一、二、三象限；若b＜0，则直线经过一、三、四象限；若b=0，直线经过一、三象限和原点（此为正比例函数的图象）；②k＜0时，y随x的增大而减小．这时，若b＞0，则直线经过一、二、四象限；若b＜0，则直线经过二、三、四象限；若b=0，直线经过二、四象限和原点（此为正比例函数的图象）．8．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P 应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】根据a、b的取值，判断出一次函数所过的象限，再根据k的取值，判断出正比例函数所过的象限，二者所过的公共象限即为点P所在象限．【解答】解：∵函数y=ax+b（a＜0，b＜0）的图象经过第二、三、四象限，y=kx（k＞0）的图象过原点、第一、三象限，∴点P应该位于第三象限．故选C．【点评】本题利用了一次函数和正比例函数的图象性质求解．（1）正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过原点的一条直线：k＜0，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，k＞0，正比例函数的图象过原点、第一、三象限；（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．故选C．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．10．已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象．【专题】31 ：数形结合．【分析】由图知，函数y=kx+b图象过点（0，1），即k＞0，b=1，再根据一次函数的特点解答即可．【解答】解：∵由函数y=kx+b的图象可知，k＞0，b=1，∴y=2kx+b=2kx+1，2k＞0，∴2k＞k，可见一次函数y=2kx+b图象与x轴的夹角，大于y=kx+b图象与x轴的夹角．∴函数y=2kx+1的图象过第一、二、三象限且与x轴的夹角大．故选C．【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．12．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A．B．C．D．【考点】FH：一次函数的应用；F3：一次函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据实际情况即可解答．【解答】解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．故选B．【点评】解答一次函数的应用题时，必须考虑自变量的取值范围要使实际问题有意义．13．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω C．不小于14ΩD．不大于14Ω【考点】GA：反比例函数的应用．【专题】16 ：压轴题；29 ：跨学科．【分析】先由图象过点（8，6），求出U的值．再由蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，求出用电器的可变电阻的取值范围．【解答】解：由物理知识可知：I=，其中过点（8，6），故U=48，当I≤10时，由R≥4.8．故选A．【点评】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．14．如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C． D．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】31 ：数形结合；33 ：函数思想．【分析】根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质可知．当y2＞y1＞0时，在第一象限内，反比例函数y1在正比例函数y2的下方，从而求出x的取值范围．【解答】解：根据图象可知当y2＞y1＞0时，x＞2．故选D．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．15．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】E6：函数的图象．【专题】16 ：压轴题．【分析】随着时间的增大，路程也越来越远．经过起步，加速，匀速以及减速后停车，结合选项可得出答案．【解答】解：随着时间的增多，路程越来越远．过程为起步、加速、匀速、减速之后停车．函数图象的形态为：缓，陡，缓，停．故选D．【点评】应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．16．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234v0.01 2.98.0315.1A．v=2m﹣2 B．v=m2﹣1 C．v=3m﹣3 D．v=m+1【考点】E8：函数的表示方法．【专题】16 ：压轴题；27 ：图表型．【分析】一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式．【解答】解：当m=4时，A、v=2m﹣2=6；B、v=m2﹣1=15；C、v=3m﹣3=9；D、v=m+1=5．故选：B．【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x 叫自变量；解题关键是分别把数据代入下列函数，通过比较找到最符合的函数关系式．二、解答题17．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；LH：梯形．【分析】（1）直接把点P（6，2）代入解析式求解即可；（2）分别根据函数解析式求出点D，C的坐标，从而得到梯形的上底，下底和高，求出梯形的面积．【解答】解：（1）k=12，m=﹣4．（2分）（2）把x=2代入y=，得y=6．∴D（2，6）．把x=2代入y=x﹣4，得y=﹣2．∴A（2，﹣2）．∴DA=6﹣（﹣2）=8．把x=3代入y=，得y=4．∴C（3，4）．把x=3代入y=x﹣4，得y=﹣1，∴B（3，﹣1）．∴BC=4﹣（﹣1）=5．（6分）∴．（7分）【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．18．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】31 ：数形结合；41 ：待定系数法；46 ：几何变换．【分析】（1）根据已知条件求出c点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；（2）根据已知条件求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x轴于点E．tan∠ABO=．∴CE=3．（1分）∴点C的坐标为C（﹣2，3）．（2分）设反比例函数的解析式为y=，（m≠0）将点C的坐标代入，得3=．（3分）∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣．（5分）（2）∵OB=4，∴B（4，0）．（6分）∵tan∠ABO=，∴OA=2，∴A（0，2）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A、B的坐标分别代入，得．（8分）解得．（9分）∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（10分）．【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．19．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），点B（﹣2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．（1）求一次函数解析式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOC的面积．【考点】GB：反比例函数综合题．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）首先由反比例函数的解析式分别求得m、n的值，再进一步根据点A、B的坐标求得一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，令x=0，即可求得点C的坐标；（3）根据点A、C的坐标即可求得OC=1，OC边上的高是点A的横坐标，进一步求得三角形的面积．【解答】解：（1）由题意，把A（m，2），B（﹣2，n）代入中，得，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）将A、B代入y=kx+b中得：，∴，∴一次函数解析式为：y=x+1；（2）由（1）可知：当x=0时，y=1，∴C（0，1）；=×1×1=．（3）S△AOC【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，重点是由交点坐标求得函数的解析式，题目较难，同学们要重点掌握．20．暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（1）已知油箱内余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数，求y与x的函数关系式；（2）当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警．如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】先设函数式为：y=kx+b，然后利用两对数值可求出函数的解析式，把x=400代入函数解析式可得到y，有y的值就能确定是否能回到家．【解答】解：（1）设y=kx+b，当x=0时，y=45，当x=150时，y=30，∴，解得，（5分）∴y=x+45；（6分）（2）当x=400时，y=×400+45=5＞3，∴他们能在汽车报警前回到家．（9分）【点评】解题思路：本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求一次函数的解析式，再通过其解析式计算说明问题．由一次函数的解析式的求法，找到两点列方程组即可解决．21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求tan∠OCD的值；（3）求证：∠AOB=135°．【考点】FI：一次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点坐标分别代入一次函数y=kx+b，即可求出k，b的值，从而求出其解析式；（2）由于C（﹣，0），D（0，）．故Rt△OCD中，OD=，OC=，所以tan ∠OCD=；（3）取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45度，由于OE=，BE=，OB=，即OB2=OE2+BE2，故△EOB是等腰直角三角形，所以∠BOE=45度．∠AOB=135度．【解答】（1）解：由，解得，所以y=x+；（2）解：C（﹣，0），D（0，）．在Rt△OCD中，OD=，OC=，∴tan∠OCD=；（3）证明：取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE=45度．由勾股定理可得，OE=，BE==，OB=，∵OB2=OE2+BE2，∴△EOB是等腰直角三角形．∴∠BOE=45度．∴∠AOB=135度．【点评】此题较复杂，解答此题的关键是延长AO，过B作BE⊥AE于E，构造出直角三角形，利用勾股定理即锐角三角函数的定义求解．22．宜昌市政府为了方便群众，促进地方经济发展，促进宜昌周边旅游资源的良性循环，特向宜昌城区137万人口推出了“一卡通”周边游便民服务卡，即城区常住居民只需花上100元，办理一张旅游卡，一年内持卡人可到周边二十个景点游玩，凭卡不需购买门票．假设下图表示活动推出后的市民办卡情况．（1）根据图象求出办卡人数y（万人）与时间x（天）的函数关系式；（2）按此进度发展，请你预测办卡第80天时总共办卡人数．【考点】FH：一次函数的应用．【专题】21 ：阅读型；27 ：图表型．【分析】（1）用待定系数法求函数关系式；（2）令x=80即可求得办卡总人数；【解答】解：（1）设直线解析式为y=kx +b ，，解得k=0.1，b=0，y=0.1x ．（2）当x=80时，y=8万．所以预测办卡第80天时总共办卡人数为8万人．【点评】能够根据题意建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的y 的值．23．如图，一次函数y=kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积．【考点】FI ：一次函数综合题；GB ：反比例函数综合题．【专题】16 ：压轴题；41 ：待定系数法．【分析】（1）首先把A 的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m ，再把B （1，n ）代入反比例函数关系式中可以求出n 的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积不能直接求出，要求出一次函数与x 轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S △AOB =S △AOC +S △BOC ．【解答】解：（1）∵点A （﹣2，1）在反比例函数的图象上，∴m=（﹣2）×1=﹣2．∴反比例函数的表达式为．∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，得解得．∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．∴S△AOB【点评】此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．24．如图，直线l1：y=3x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．【考点】FF：两条直线相交或平行问题；F8：一次函数图象上点的坐标特征；FE：一次函数与二元一次方程（组）．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）直接把P点坐标代入y=3x+1即求出b的值；（2）根据两直线相交的问题求解；（3）先把P（1，4）代入y=mx+n得m+n=4，而当x=1时，y=nx+m=m+n=4，根据一次函数图象上点的坐标特征即可判断直线l3经过点P．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y=3x+1得b=3+1=4；（2）方程组的解为；（3）直线l3经过点P，理由如下：把P（1，4）代入直线l2：y=mx+n得m+n=4，当x=1时，y=nx+m=m+n=4，所以直线l3经过点P．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．。
中考数学函数之一次函数和反比例函数综合问题压轴题专题.docx
《中考压轴题全揭秘》三年经典中考压轴题 函数之一次函数和反比例函数综合问题1.（ 2014 年福建泉州 14 分）如图，直线 y= ﹣x+3 与 x ，y 轴分别交于点 A ，B ，与反比例函数的图象交于点 P （ 2，1）．（ 1）求该反比例函数的关系式；（ 2）设 PC ⊥y 轴于点 C ，点 A 关于 y 轴的对称点为 A ′；①求△ A ′BC 的周长和 sin ∠ BA ′C 的值；1 ②对大于1 的常数m ，求x 轴上的点M 的坐标，使得sin ∠BMC =．m2.（2014 年黑龙江牡丹江与 x 轴、 y 轴分别交于点10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ，B ，直线 CD C ， D ， AB 与 CD 相交于点 E ，线段 OA ，OC 的长是一元二次方程 x 2﹣18x+72=0 的两根 （ O A ＞ OC ）， BE=5， tan ∠ ABO= 3．4（ 1）求点 A ，C 的坐标；（ 2）若反比例函数 y= k的图象经过点 E ，求 k 的值；x（ 3）若点 P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点 C ， E ， P ， Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点 Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2014 年江苏淮安 12 分）如图，点 A （ 1，6）和点 M （ m ， n ）都在反比例函数 yk （x ＞ 0）的图象上，x（ 1） k 的值为 ；（ 2）当 m=3，求直线 AM 的解析式；（ 3）当 m ＞1 时，过点 M 作 MP ⊥x 轴，垂足为 P ，过点 A 作 AB ⊥ y 轴，垂足为 B ，试判断直线 BP 与直线 AM 的位置关系，并说明理由．4.（2014 年山东枣庄 10 分）如图，一次函数 y=ax+b 与反比例函数 yk 的图象交于 A 、B 两点，点 A 坐标为（ m ，x2），点 B 坐标为（﹣ 4，n ），OA 与 x 轴正半轴夹角的正切值为1，直线 AB 交 y 轴于点 C ，过 C 作 y 轴的垂线，3交反比例函数图象于点 D ，连接 OD 、BD ．（ 1）求一次函数与反比例函数的解析式；（ 2）求四边形 OCBD 的面积． 5. （ 2014 年四川巴中10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数 y k 1（x ＞ 0）的图象经过线段 OC 的中点 A ，交 DC 于点 E ，交 BC 于点 F ．设直线EF 的x解析式为yk 2 xb ．（ 1）求反比例函数和直线EF 的解析式；（ 2）求△ OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k 2x bk 1> 0 的解集．x6. （2013 年湖南湘西8 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y2 的图x象有一个交点 A （ m ， 2）．（ 1）求 m 的值；（ 2）求正比例函数 y=kx 的解析式；（ 3）试判断点 B （ 2， 3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．7. （ 2013 年四川巴中 10 分）如图，在平面直角坐标系m xOy 中，一次函数 y=kx+b （ k ≠0）的图象与反比例函数 yx的图象交于一、三象限内的 A 、B 两点，直线 AB 与 x 轴交于点 C ，点 B 的坐标为（﹣ 6，n ），线段 OA=5， E 为 x轴正半轴上一点，且 tan ∠AOE=43（ 1）求反比例函数的解析式；（ 2）求△ AOB 的面积．8. （ 2012 四川巴中 10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1 k 1x 1 的图象与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，与反比例函数y 2k 2 的图象分别交于点 M ， N ，已知△ AOB 的面积为 1，点 M 的纵坐标为 2，x（ 1）求一次函数和反比例函数的解析式；（ 2）直接写出 y1y 2 时 x 的取值范围。
一次函数和反比例函数综合练习含答案
《一次函数和反比例函数》中考题1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B （2，n ），连结BO ，若4=AOB S △。
(1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积.【思路分析】（1)先由A （﹣2，0)，得OA=2,点B （2，n ），S △AOB =4，得OA•n=4，n=4，则点B 的坐标是（2，4），把点B （2，4)代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=;再把A （﹣2，0)、B （2，4）代入直线AB 的解析式为y=kx+b 可得直线AB 的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB 的解析式y=x+2得y=2,即OC=2,可得S △OCB =OC×2=×2×2=2．【解】（1)由A (－2，0）,得OA =2.∵点B （2，n ）在第一象限内，4=AOB S △。
∴21OA ×n=4,∴n=4。
∴点B 的坐标为（2,4）………………（2分）设反比例函数的解析式为y=x8（a ≠0） 将点B 的坐标代入，得4=2a ，∴a=8。
∴反比例函数的解析式为y=x 8………………（4分） 设直线AB 的解析式为y=kx+b(k ≠0）将点A 、B 的坐标分别代入,得⎩⎨⎧=+=+-.42,02b k b k解得⎩⎨⎧==.2,1b k ∴直线AB 的解析式为y=x+2. ………………（6分）（2）在y=x+2中，；令x =0，得y=2。
∴点C 的坐标是（0，2）,∴OC =2。
∴2222121=⨯⨯=⨯=B OCB x OC S △.………………(10分） 2、如图11,在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2,2），反比例函数xk y =（x ＞0，k ≠0）的图像经过线段BC 的中点D 。
(完整版)初三复习：一次函数与反比例函数综合题
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一次函数与反比例函数综合题
中考考点•对应精练
【知识考点】 （1）能根据已知条件利用待定系数法求一次函数 与反比例函数的表达式； （2）会根据一次函数表达式求其图像交点坐标； （3）能确定题目中三角形及有关图形的面积； （4）能根据图形直接写出大于或小于时，自变量 的取值范围；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A、B的坐标分别代入，得
．（8分）
解得
．（9分）
∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（10分）．
结束
一次函数与反比例函数综合题
例题：如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P
，
且与反比例函数 的图象相交于点A(-2,1)和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取
值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
Q
一次函数与反比例函数综合题
一次函数与反比例函数综合题
练习1：如图，一次函数y=kx+b与反比例函数
的图象交于 A(m,6)，B(3,n)两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出
的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
C
D
一次函数与反比例函数综合题
解：(1)分别将A(m,6)，B(3,n)代入
，得6m=6，3n=6，
∴m=1，n=2，
∴点A的坐标为(1,6)，点B的坐标为(3,2)，
将A(1,6)，B(3,2)代入y=kx+b，得
，
解得k=-2，b=8，
∴一次函数的解析式为y＝－2x＋8；
反比例函数与一次函数综合 中考数学专项训练(含解析)
反比例函数与一次函数综合一、单选题．．．．．反比例函数()10y mx=的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A 、B 两点，其中)，当12y y >时，的取值范围是()．1x <B 12x <<．2x >D ．01x <<或2>A ．18-B ．4．如图，双曲线my x=与直线的纵坐标为1-．根据图象信息可得关于A ．1x =C ．11x =-，21x =6．如图，一次函数2y x =-+与反比例函数(),1B n -，不等式2kx x-+>的解集为（A ．1x <-或0x <<C ．13x -<<7．直线2y x =+与双曲线A ．78．如图，已知一次函数A ．33二、填空题9．考察函数4y x=-10．如图，已知一次函数11．如图，直线2y x =与双曲线单位后，直线与双曲线交于点12．已知直线y x =与反比例函数C 为反比例函数图象第一象限上任意一点，连接点C 的坐标为．13．如图，直线3y x =-+与坐标轴分别相交于x14．如图，曲线l 是由函数y 到的，过点()42,42A -，B 面积是46，则k 的值为15．如图，一次函数y 点，则不等式1kx b x+-16．如图，点A 在双曲线y 0b >）上，A 与B 关于x 轴对称，直线有以下结论：①(),3A b b ②当三、解答题(1)请求出一次函数和反比例函数解析式：(2)连接OC，OD，求出(1)求反比例函数的关系式与(2)根据图象直接写出不等式(3)若动点P在x轴上，求PA(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接点C的坐标．参考答案：3．A【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点4,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出OA ，根据点角形的性质得到OC OA =程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的令23y x =-中0x =，代入∴()0,3B -，∴3OB =，令23y x =-中0y =，得：由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，联立两函数解析式：41y x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得：41x y =⎧⎨=-⎩即4x ≥，当0y =时，1042x =+，解得，8x =-，∴()80C -，，则D的坐标为2,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线2y x=向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点∴B的坐标为23,22a a⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭．将0y =代入直线3y x =-+得解得3x =，②当2b =时，点A 的坐标为：∴23243k =⨯=，故②正确；③∵()3,Ab b ，A 与B 关于()3,B b b -∵28y x =+，∴令0x =，则8y =；令∴()()4,0,0,8A B -DOC AOB AOD BOC S S S S =-- 18．(1)反比例函数解析式为【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求∠=∠=∠=ABO BOE AEO90。
2022年中考数学复习：反比例函数与一次函数综合题
2022年中考数学复习:反比例函数与一次函数综合题1．如图1，一次函数312y x =-+的图象与反比例函数(0)k y k x=>的图象相交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与x 轴和y 轴分别交于E ，F 两点．(1)当9k =时，求A ，B 两点的坐标；(2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使PAB ∆是以点B 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AO 并延长交反比例函数(0)k y k x =>图象的另一支于点C ，连接BC 交y 轴于点G ．若2BG CG=，求反比例函数的表达式．2．如图，一次函数142y x =-+交反比例函数(0)k y x x =>于A ，B 两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，AOC △的面积为3．(1)求反比例函数的解析式；(2)D 为y 轴上一个动点，当DA DB +有最小值时，求点D 的坐标．3．如图，点()1,A m 和点B 是反比例函数()1k y k x x=>0,>0图象上的两点，一次函数()220y ax a =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点C ，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，连接,OA OB ．已知OAC ∆与OBD ∆的面积满足:2:3OAC OBD S S ∆∆=．(1)求OAC ∆的面积和k 的值；(2)求直线AC 的表达式；(3)过点B 的直线MN 分别交x 轴和y 轴于,M N 两点，2NB MB =，若点P 为MON ∠的平分线上一点，且满足2OP OM ON =，请求出点P 的坐标．4．直线y x b =+与双曲线(0)m y x x=<交于点(1,5)A --，并分别与x 轴、y 轴交于点C 、B ．(1)直接写出b = ，m = ．(2)根据图象直接写出不等式m x b x+<的解集为 ． (3)连接OA ，求∠OAB 的正弦值5．如图，直线y 1＝14x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x（x ＞0）的图象交于点P ，过点P 作PB ∠x 轴于点B ，且AC ＝B C ．求点P 的坐标和反比例函数y 2的表达式．6．如图，平面直角坐标系中，直线1y ＝kx +b 分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与双曲线2=m y x分别交于点C ，D （点C 在第一象限，点D 在第三象限），作CE ⊥x 轴于点E ，OA ＝4，OE ＝OB ＝2．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出使1y ＞2y 的x 取值范围；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △CEP ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在直角坐标系中，直线1y x =-与反比例函数k y =的图象交于A 、B 两点，(1)求反比例函数的表达式；(2)根据图象求13k x x-<的解集； (3)将直线13y x =-向上平移后与y 轴交于点C ，与双曲线在第二象限内的部分交于点D ，如果∠ABD 的面积为36，求平移后的直线表达式．8．如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x=的图象交于A （1，6），B （3，m ）两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求∠AOB 的面积．例函数()0ky x x=>的图象上，已知OA =5，OB =6．(1)求反比例函数的解析式；(2)过点A 作AP 垂直OA ，交反比例函数的图象于点P ，交x 轴于点C ．∠求直线AC 的解析式；∠求点P 的坐标．10．如图，在正方形ABCD 中，B 点的坐标为（2，﹣1），经过点A ，D 的一次函数y ＝mx +n 的图象与反比例函数y k x=的图象交于点D （2，a ），E （﹣5，﹣2）．(1)求一次函数及反比例函数的解析式；(2)判断点C 是否在反比例函数y k x =的图象上，并说明理由； (3)当mx +n k x≤时，请直接写出x 的取值范围．11．如图，矩形AOBC 在平面直角坐标系xOy 中，且．OB ＝4，OA ＝3．F 是BC 边上点E．(1)当点F运动到边BC的中点时，直接写出k的值；(2)在（1）的条件下，求直线EF的解析式；(3)若将∠CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求G的坐标．12．如图，直线y32x=与双曲线ykx=（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．(1)求k的值并直接写出点B的坐标；(2)点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；(3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知∠BOD的面积与∠AOB的面积之比为1：4．(1)求一次函数y＝kx+b的表达式；(2)求点P的坐标及∠CPD外接圆半径的长．14．如图，已知反比例函数kyx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点．(1)求这两个函数的解析式；(2)求∠MON的面积；(3)请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由；(4)根据图象，若ax+b＜kx时，直接写出x取值范围．15．如图，直线y 1＝ax +1与y 轴交于点C ，与双曲线y 2＝k x交于A 、B 两点，AD ∠y 轴于点D ，AD ＝CD ＝2．(1)点C 坐标为 ．(2)确定直线和双曲线的表达式．(3)直接写出关于x 的不等式ax +1＜k x的解集．16．如图，直线14y x =-+，234y x b =+都与双曲线k y x=交于点A （1，m ），这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点．(1)求双曲线y 与x 之间的函数关系式；(2)直接写出当0x >时，不等式34k x b x+>的解集； (3)若点P 在x 轴上，连接AP 把∠ABC 的面积分成1：6两部分，求此时点P 的坐标．17．已知点(),2A a ma +、(),2B b mb +是反比例函数k y x =图象上的两个点，且0a >，0b <，0m >．(1)求证：2a b m+=-； (2)若222222OA OB a b +=+，求m 的值；(3)若3OAB OCD S S =△△，求km 的值．18．如图，已知直线l ：y ax b =+与反比例函数4y x=-的图象交于()4,1A -、(),4B m -，且直线l 与y 轴交于点C ．(1)求直线l 的解析式；(2)若不等式4ax b x+>-成立，则x 的取值范围是______； (3)若直线()0x n n =<与y 轴平行，且与双曲线交于点D ，与直线l 交于点H ，连接19．如图，平面直角坐标系中，一次函数1(0)y ax b a =++的图象l 1与反比例函数2(0)k y k x=≠的图像交于点A (1，2)和B (－2，m )．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)请直接写出12y y <时，x 的取值范围；(3)过点B 作BE ∠x 轴，AD ∠BE 于点D ，过点D 的直线2222:(0)l y k x b k =+≠与l 1、x 轴不能围成三角形，求k 2值．20．如图，直线5y x =+与反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图像相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,m -．(1)求m 的值和反比例函数关系式；(2)请直接写出点B 的坐标是___________；(3)若点M 是该反比例函数图像上一点，点(),P x y 是直线5y x =+在第二象限部分上点，分别过点M 、P 作x 轴的垂线，垂足为点N 和Q ．若OMN OPQ S S <时，请直接写出。
《一次函数和反比比例函数》中考题含答案
《一次函数和反比比例函数》综合题1、（2015•四川攀枝花）如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．解答：解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=﹣；作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，∴，解得k1=﹣，b=﹣，∴y1=﹣x﹣；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×+×2×3=；（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．2、（2015•四川遂宁）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．解答：解：（1）把A（1，4）代入y=得：m=4，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）把B（4，n）代入y=得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得，∴，∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+，当y=0时，x=，∴P（，0）．3、（2015•山东德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．解答：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，∴DA=DB，∴四边形AEBD是菱形；（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA=3，OC=2，∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，∴点E坐标为：（，1），设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E（，1）代入得：k=，∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．点评：本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．4、（2015•山东泰安）一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．解答：解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=得，m=﹣1×4=﹣4，所以反比例函数的解析式为y=﹣；把B（2，n）代入y=﹣得，2n=﹣4，解得n=﹣2，所以B点坐标为（2，﹣2），把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，，解得，所以一次函数的解析式为y=﹣2x+2；（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），∴C点坐标为（0，﹣2）．设直线AC的解析式为y=px+q，∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），∴，解，∴直线AC的解析式为y=﹣6x﹣2，当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=﹣，∴E点坐标为（﹣，0），∵直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），∴DE=1﹣（﹣）=，∴△AED的面积S=××4=．5、（2015•东营）如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．（1）求证：D是BP的中点；（2）求四边形ODPC的面积．解答： （1）证明：∵点P 在函数y=上，∴设P 点坐标为（，m ）．∵点D 在函数y=上，BP ∥x 轴，∴设点D 坐标为（，m ），由题意，得BD=，BP==2BD ，∴D 是BP 的中点．（2）解：S 四边形OAPB =•m=6，设C 点坐标为（x ，），D 点坐标为（，y ），S △OBD =•y •=，S △OAC =•x •=， S 四边形OCPD =S 四边形PBOA ﹣S △OBD ﹣S △OAC =6﹣﹣=3．6、（2015年浙江舟）如图，直线2y x =与反比例函数()0,>0k y k x x =≠ 的图象交于点A （1，a ），B 是反比例函数图象上一点，直线OB 与x 轴的夹角为α，1tan 2α=. （1）求k 的值；（2）求点B 的坐标；（3）设点P （m ，0），使△PAB 的面积为2，求m 的值.【答案】解：（1）∵直线2y x =与反比例函数()0,>0k y k x x=≠ 的图象交于点A （1，a ）， ∴21a k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22a k =⎧⎨=⎩. ∴2k =.（2）如答图1，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵点B 在反比例函数2y x=的图象上， ∴可设点B 的坐标为2,b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2,OC b BC b == . ∵1tan 2α=，即12BC OC =，∴212b b =，解得1b =±. 又∵>0b ，∴1b =. ∴点B 的坐标为()2, 1.（3）如答图2，设所在直线AB 与x 轴交于点D ，∵A （1，2），B ()2, 1，∴()3,3,0AB y x D =-+ .∵P （m ，0），2PAB S ∆=，且PAB PAD PBD S S S ∆∆∆=-， ∴()()113231222m m ⋅-⋅-⋅-⋅=， 得7m =. 7、（2015•宜昌）如图，已知点A （4，0），B （0，4），把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD 在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G 为边FD 的中点．（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（4，0），B（0，4），∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4；（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，∴EF=2，DF=4，∵点D与点A重合，∴D（4，0），∴F（2，2），∴G（3，），∵反比例函数y=经过点G，∴k=3，∴反比例函数的解析式为：y=；（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：∵点F在直线AB上，∴设F（t，﹣t+4），又∵ED=2，∴D（t+2，﹣t+2），∵点G为边FD的中点．∴G（t+1，﹣t+3），若过点G的反比例函数的图象也经过点F，设解析式为y=，则，整理得：（﹣t+3）（t+1）=（﹣t+4）t，解得：t=，∴m=，∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=．8、（2015•江苏镇江）如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点．（1）求反比例函数表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．①当a=4时，求△ABC′的面积；②当a的值为3时，△AMC与△AMC′的面积相等．解答：解：（1）把M（﹣3，m）代入y=x+1，则m=﹣2．将（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，则反比例函数解析式是：y=；（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5．∵点Q为OP的中点，∴Q（2，0），∴C（2，3），则D（4，3），∴CD=2，∴S△ABC=AB•CD=×3.5×2=3.5，则S△ABC′=3.5；②∵△AMC与△AMC′的面积相等，∴=，解得a=3．9、（2015•甘肃天水）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．（2）点E在线段CD上，S△ABE=10，求点E的坐标．解答：解：（1）由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=10，解得：x=3，则E（3，0）．10、（2015·湖北省咸宁市）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，得，解得，∴y=﹣x﹣3．综上所述，新函数的解析式为y=；（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=1+3=4．∵点C（1，4）在双曲线y=上，∴k=1×4=4，y=．∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴P（，m+3），∴PD=﹣m，∴△PAD的面积为S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵a=﹣＜0，∴当m=﹣时，S有最大值，为，又∵﹣3＜﹣＜1，∴△PAD的面积的最大值为；②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形．。
中考数学专练——反比例函数与一次函数的综合
2023年数学专练——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x m=+的图象交于点B和点(14)A k-+，，一次函数的图象与x轴交于点C .（1）求出两个函数的表达式.（2）求AOB的面积.（3）直接写出kx mx+≥的解集.2．已知：如图，函数kyx=与28y x=-+的图象交于点A(1，a)、B(b，2)．（1）求函数kyx=的解析式以及点A、B的坐标;（2）观察图象，直接写出不等式k28xx≥-+的解集；（3）若点P是x轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，直接写出出点P的坐标．3．如图，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣kx＞0中x的取值范围.4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m=-+的图象与反比例函数(0)ky xx=>的图象交于A、B两点，已知()2,4A，(),2B n .（1）求反比例函数的表达式；（2）当 0x > 时，求不等式kx m x>-+ 的解集. 5．已知图中的曲线是函数 5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x 图象在第一象限的交点为 A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.6．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝ 的图象在第一象限交于点A （4，2），与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6，（1）求函数y ＝ 和y ＝kx+b 的解析式.（2）已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝ 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.7．如图，直线 y kx b =+ y kx b =+ 与反比例函数 12y x=相交于 A(2)m -， 、 B(n 3)，．（1）连接 OA 、 OB ，求 AOB 的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12kx b x>+ 的解集． 8．如图，一次函数 1y kx b =+ 的图象与反比例函数 2my x=的图象交于点A （-3， 8m + ），B （ n ，-6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 AOB 的面积；（3）直接写出 12y y > 时，x 的取值范围.9．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点.已知反比例函数 ky x=（ 0k > ）的图象经过点A （2，m ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数 ky x=的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y 的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 与反比例函数 ()0my m x=≠ 的图像交于点 ()3,1A ，且过点 ()1,3B -- ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出当 mkx b x+>时， x 的取值范围． 11．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点.（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≤ 2k x+b 的解. 12．如图所示，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点(c ，p)和(n ，q)是反比例函数y ＝mx图象上任意两点，且满足c ＝n+1时，求 q p pq - 的值.（3）若点M(x 1，y 1)和N(x 2，y 2)在直线AB(不与A 、B 重合)上，过M 、N 两点分别作y 轴的平行线交双曲线于E 、F ，已知x 1＜-3，0＜x 2＜1，当x 1x 2＝-3时，判断四边形NFEM 的形状.并说明理由.13．如图，反比例函数 8y x=-与一次函数 2y x =-+ 的图象交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积． （3）当x 为何值时 8y x=-的函数值大于 2y x =-+ 的函数值，直接写出x 的取值范围14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2与函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求k ，m 的值；（2）直接写出关于x 的不等式2x +2＞kx的解集； （3）若Q 在x 轴上，△ABQ 的面积是6，求Q 点坐标．15．如图，一次函数 1y kx =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象交于点 A 、 B ，点 A 在第一象限，过点 A 作 AC x ⊥ 轴于点 C ， AD y ⊥ 轴于点 D ，点 B 的纵坐标为－2，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ，连接 DB 、 DE .已知 4ADFS= ， 3AC OF = .（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 DBE 的面积；（3）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围.16．如图，已知直线 5l y x =-+：（1）当反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围 （2）若反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 11(,)A x y 、 22(,)B x y ，当 213x x -= 时，求k 的值并根据图象写出此时关的不等式 5kx x-+< 的解集17．如图，过直线 12y kx =+上一点 P 作 PD x ⊥ 轴于点D ，线段 PD 交函数 (0)my x x=> 的图像于点C ，点C 为线段 PD 的中点，点C 关于直线 y x = 的对称点 C ' 的坐标为 (13)，．（1）求k 、m 的值；（2）求直线 12y kx =+与函数 (0)my x x=> 图像的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+> 的解集． 18．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A(3，1)，B(﹣1，n)两点.（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足k 1x+b≥2k x的x 的取值范围； （3）连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求△ABC 的面积.19．如图，双曲线 ()0ky k x=> 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D.设点B 的坐标为（m ，n ）.（1）直接写出点E 的坐标，并求出点D 的坐标；（用含m ，n 的代数式表示） （2）若梯形ODBC 的面积为，求双曲线的函数解析式.20．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （3，23）．（1）求反比例函数的表达式和m 的值；（2）将矩形OABC 的进行折叠，使点O 于点D 重合，折痕分别与x 轴、y 轴正半轴交于点F ，G ，求折痕FG 所在直线的函数关系式．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点 (14)A k -+， 代入 ky x= ， 得 4k k -+= 解得 2k =∴ 反比例函数表达式为 2y x=， (12)A ， 将点 (12)A ， 代入 y x m =+ 得 21m =+1m ∴=∴ 一次函数的表达式为 1y x =+（2）解：由一次函数 1y x =+ 的图象与 x 轴交于点 C .令 0y = ，解得 1x =- ，则 (10)C -， 则 1OC =联立 21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1121x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2212x y =⎧⎨=⎩ ()21B ∴--，()113=121222AOBA B SOC y y ∴=⋅⋅-⨯⨯--= （3）解：一次函数 1y x =+ 与反比例函数 2y x=交于点 (12)A ， ， ()21B --， 根据函数图象可得 kx m x+≥的解集为： 1x ≥ 或 20x -≤< 【解析】【分析】（1）将A （1，-k+4）代入y=kx中可得k 的值，进而可得反比例函数的解析式；将A （1，2）代入y=x+m 中求出m ，进而可得一次函数的解析式；（2）易得C （-1，0），则OC=1，联立反比例函数与一次函数的解析式求出x 、y ，可得B （-2，-1），接下来根据三角形的面积公式进行计算；（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.2．【答案】（1）解：将A （1，a ），B （b ，2）代入y ＝﹣2x+8中得：a=6，b=3∴A （1，6），B （3，2）， 把A （1，6）代入y ＝kx中，可得k ＝6 ∴反比例函数解析式为y ＝6x，A 、B 两点坐标分别为A （1，6）、B （3，2）； （2）解：由图象得：不等式6x＜﹣2x+8的解集为1＜x ＜3或x ＜0； （3）（52，0） 【解析】【解答】解：（3）如图，作点A 关于x 轴的对称点A′（1，-6），连结A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求，此时AP+BP 的值最小．设直线A′B 的解析式为y ＝mx+n ， ∵B （3，2），A′（1，-6），∴326m n m n +=⎧⎨+=-⎩ ，解得 410m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线A′B 的解析式为y ＝4x-10， 当y ＝0时，y ＝52， ∴点P 的坐标为（52，0）．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式求解a 、b ，再将点A 坐标代入反比例函数表达式求解k 即可；（2）结合图像，函数值大的图像在上方的原则直接写出答案即可；（3）利用“将军饮马”的方法，先作对称轴，再求解即可。
一次函数与反比例函数综合题
一次函数与反比例函数综合题11、如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B•两点，且与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，•若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标;（2）求直线AB的解析式．（3）反比例函数的解析式2、如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=-8x的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2．求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．3、已知一次函数y kx b =+的图象过点A （3，0）且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则这个一次函数的解析式为 。
4、已知k>0，则函数y=kx ，xky -=的图像大致是下图中的5、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ）。
6、如图，一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点，（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围7、已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋3n 和反比例函数y ＝25m nx+的图象都经过点(1，－2)．求：(1)一次函数和反比例函数的解析式； (2)两个函数图象的另一个交点的坐标．8、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A （-2，1），B （•1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．9、在同一坐标中，函数y=k/x 与y=kx+k （k ≠0）可能的大致图象是（ ）x x 10xx y =没有交点，那么k 的取值范围是：A 、1k >B 、1k <C 、1k ->D 、1k -<11、已知直线mx y =与双曲线xky =的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则m =_____；k =____；它们的另一个交点坐标是______．12、已知反比例函数y =xa(a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数y =-a x +a 的图象不经过．．．（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限13、在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于 ． 14、如图3，函数y x =与4y x=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC垂直于y 轴，垂足为C ，则ABC △15、在同一平面直角坐标系中，反比例函数8y x=-与一次函数2y x =-+交于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（ ）A ．2B ．6C ．10D ．816、如图，反比例函数xy 2=的图像与一次函数b kx y +=的图像交点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y 轴的交点为C 。
一次函数与反比例函数综合题中考专题
一次函数与反比例函数综合题中考专题1、在图中，点D位于双曲线上，AD垂直于x轴，垂足为A。
点C位于AD上，CB平行于x轴并与曲线相交于点B。
直线AB与y轴相交于点F。
已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（2，2）。
1）求该双曲线的解析式；2）求△OFA的面积。
1）由于点D位于双曲线上，且AD垂直于x轴，垂足为A，因此双曲线的中心点为O（0，0）。
又因为AC：AD=1：3，所以点A的坐标为（0，6）。
设双曲线的方程为y=a/x，由于点B位于双曲线上，且CB平行于x轴，因此点B的坐标为（2，2a/2）。
由于直线AB与y轴相交于点F，因此直线AB的方程为x=2/F。
将点A和B代入直线AB的方程，得到F=3.因此，直线AB的方程为x=2/3.将点A和B的坐标代入双曲线的方程，得到2a=18，因此双曲线的方程为y=9/x。
2）由于△OFA为直角三角形，因此△OFA的面积为（1/2）×OF×OA=（1/2）×3×6=9.2、在图中，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC。
1）求k的值；2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由。
1）由于点D位于双曲线上，因此6k=1，解得k=1/6.2）由于点C位于双曲线第三象限上，且过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC，因此点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，1/6）。
设直线CD的方程为y=ax+b，由于点C的坐标为（x，0），点D的坐标为（0，y），因此直线CD的方程为y=-x/6+2.3）因为直线AB的斜率为-1/6，直线CD的斜率为-1/6，所以AB与CD平行。
又因为点B在直线CD的上方，点A在直线CD的下方，所以AB与CD相交。
3、在图中，已知反比例函数y=k/x的图像经过第二象限内的点A（-1，m），AB⊥x轴于点B，x=k的图像上另一点C（n，1/2）。
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》检测题真题(含答案)
一次函数与反比例函数的综合运用（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及k的值；（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k=2；（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，∴点C的坐标是（1，0），由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．m（m≠0）（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=x的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D由A（n，6），C（﹣2，0）可得，OD=n，AD=6，CO=2∵tan∠ACO=2∴=2，即=2∴n=1∴A（1，6）将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6∴反比例函数的解析式为将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y=kx+b，可得解得∴一次函数的解析式为y=2x+4（2）由可得，解得x1=1，x2=﹣3∵当x=﹣3时，y=﹣2∴点B坐标为（﹣3，﹣2）（2016·四川泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵点B在反比例函数y=的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y=中，得：kx+b=，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△B O C=bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．4．（2016·四川南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．（2016·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，∴点C的坐标为（2，）．∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，∴，解得：．∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵m=1，∴点A的坐标为（4，4），∴OB=4，AB=4．在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，∴OA==4，cos∠OAB===．（3））∵m=1，∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：．∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．（2016·重庆市A卷·10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B 的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．解：（1）∵点A 的坐标是（﹣1，a ），在直线y =﹣2x +2上， ∴a =﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A 的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y =， ∴m =﹣4．（2）解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y =﹣2x +2另一个交点B 的坐标为（2，﹣2）．（2016·山东省东营市·9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x m 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4,OE ＝2． (1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标.(l )∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6. ∵CE ⊥x 轴,∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC 中，∵tan ∠ABO ＝12，∴CE BE ＝12．即CE 6＝12，解得CE ＝3. 结合图象可知C 点的坐标为（一2，3），将C （―2，3）代入反比例函数解析式可得3＝m－2.解得m ＝－6．反比例函数解析式为y ＝－6x ．(2)解：方法一：∵点D 是y ＝－6x 的图象上的点，且DF ⊥y 轴， ∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∴S △BAF ＝4S △DFO ＝4×3＝12.∴12AF •OB ＝12.∴12×AF ×4＝12. ∴AF ＝6.∴EF ＝AF －OA ＝6－2＝4. ∴点D 的纵坐标为－4.把y ＝－4代入y ＝－6x ，得 －4＝－6x .∴x ＝32. ∴D （32，一4）．方法二：设点D 的坐标为（a ，b ）.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴12AF •OB ＝4×12OF •FD .∴(AO ＋OF ) OB ＝4OF •FD . ∴[2＋（－b ）]×4＝－4ab .∴8－4b ＝－4ab .又∵点D 在反比例函数图象上，∴b ＝－6a .∴ab ＝－6.∴8－4b ＝24.解得：b ＝－4. 把b ＝－4代ab ＝－6中，解得：a ＝32. ∴D （32，一4）．（2016·四川宜宾）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =（x ＞0）的图象交于A （2，﹣1），B （，n ）两点，直线y =2与y 轴交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积．解：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m =﹣2，∴反比例解析式为y =﹣，把B （，n ）代入反比例解析式得：n =﹣4，即B （，﹣4），把A 与B 坐标代入y =kx +b 中得：，解得：k =2，b =﹣5，则一次函数解析式为y =2x ﹣5； （2）∵A （2，﹣1），B （，﹣4），直线AB 解析式为y =2x ﹣5，∴AB ==，原点（0，0）到直线y =2x ﹣5的距离d ==，则S △A B C =AB •d =．（2015呼和浩特，23，7分）7分)如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为(8，y ) ，AB ⊥x 轴于点B , sin ∠OAB = 45 ，反比例函数y = kx 的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D. （1）求反比例函数解析式;（2）若函数y = 3x 与y = kx 的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比. 解：（1） ∵A (8，y ) 又∵AB ⊥x 轴于点B∴点B 横坐标为8，∴∠ ABO =90° 又∵点B 在x 轴上 ∴OB =8.在Rt △ABO 中， ∵sin ∠OAB = 45 =OAOB∴OA =8×54 =10 ∴.∴A (8，6)又∵C 点为OA 的中点，O 点为坐标原点∴C (4，3)又∵C (4，3)在函数y = kx 上 ∴3=4k，即k =12 ∴反比例函数解析式为y =x12.（2）法一：将四边形切成两个三角形，算△OCB 的面积和△BCD 的面积，再求和 先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6） 又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24 ∵S 四边形OCDB = S △OBC +S △BCD =12+12·DB ·4 又∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8 ∴D (8，32)，即BD =32 ∴S 四边形OCDB =12+3=15 ∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .法二：算出△ABO 的面积，再减去△ACD 的面积 先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6） 又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24 又 ∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8∴D (8，32)，即AD =AB －BD =6－32=29 ∴S △ACD = 12·AD·|8－4|=12×29×4=9 又∵S △ABO = 12·OB·AB = 12×8×6 =24 ∴S 四边形OCDB = S △ABO －S △ACD =24－9=15∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .（2015•四川广安，第20题6分）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数y =（k ≠0）的图象在第一象限交于点C ，如果点B 的坐标为（0，2），OA =OB ，B 是线段AC 的中点．（1）求点A 的坐标及一次函数解析式．（2）求点C 的坐标及反比例函数的解析式．解：（1）∵OA =OB ，点B 的坐标为（0，2），∴点A （﹣2，0），点A 、B 在一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上，∴，解得k =1，b =2，∴一次函数的解析式为y =x +2．（2）∵B 是线段AC 的中点，∴点C 的坐标为（2，4），又∵点C 在反比例函数y =（k ≠0）的图象上，∴k =8；∴反比例函数的解析式为y =．（2015•四川泸州,第23题8分）如图，一次函数(0)y kx b k =+<的图象经过点C (3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.（1）求该一次函数的解析式；（2）若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求m的值。
中考题型四反比例函数及一次函数综合题
标准合用题型四反比率函数与一次函数综合题针对演练m1.如图，一次函数 y＝kx＋1( k≠0)与反比率函数 y＝x( m≠0)的图象有公共点 A(1，2)，直线 l ⊥x 轴于点 N(3，0)，与一次函数和反比率函数的图象分别订交于点B，C，连接 AC.(1)求 k 和 m的值；(2)求点 B 的坐标；(3)求△ ABC的面积．第 1题图k2.正比率函数 y＝2x 的图象与反比率函数 y＝x( k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点P，△ OAP的面积为 1.(1)求反比率函数的剖析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比率函数图象上，那么在x 轴上可否存在一点M，使得MA＋MB最小？假设存在，央求出点M的坐标；假设不存在，请说明原由．第2题图3. 如图，反比率函数y 2的图象与一次函数 y＝kx＋b 的图象交于x点 A、B，点 A、B 的横坐标分别为 1、－2，一次函数图象与y轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.(1)求一次函数的剖析式；(2) 关于反比率函数y2，当 y＜－1时，写出 x 的取值范围；x(3)在第三象限的反比率函数图象上可否存在一点 P，使得 S△ODP＝2S△OCA？假设存在，央求出点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．第 3题图4.(2021 巴中 10 分 ) ，如图，一次函数y＝kx＋b( k、b为常数，n k≠0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比率函数y＝x( n为常数且n≠0) 的图象在第二象限交于点C. CD⊥x 轴，垂足为 D.假设 OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比率函数的剖析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；n(3)直接写出不等式： kx＋b≤x的解集．第4题图5.如图，点 A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数 y＝kx＋b 的图象和m反比率函数 y＝x的图象的两个交点．(1)求反比率函数和一次函数的剖析式；(2) 依照图象写出使一次函数的值小于反比率函数的值的x 的取值范围；(3)假设 C是 x 轴上一动点，设 t ＝CB－CA，求 t 的最大值，并求出此时点 C的坐标．第5题图16.如图，直线 y1＝4x＋1与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，与反比m例函数 y2＝x( x>0)的图象交于点 P，过点 P作 PB⊥x 轴于点 B，且 AC ＝B C.(1)求点 P 的坐标和反比率函数 y2的剖析式；(2)请直接写出 y1>y2时， x 的取值范围；(3)反比率函数 y2图象上可否存在点 D，使四边形 BCPD为菱形？若是存在，求出点 D的坐标；若是不存在，说明原由．第6题图7.如图，直线 y＝x＋b 与 x 轴交于点C(4，0)，与 y 轴交于点 B，并m与双曲线 y＝x( x＜0)交于点 A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的剖析式；(2)连接 OA，求∠ OAB的正弦值；(3) 假设点D在x轴的正半轴上，可否存在以点D、C、B 构成的三角形△OAB相似？假设存在求出D点的坐标，假设不存在，请说明原由．第7题图38.(2021 金华 8 分) 如图，直线y＝3x－ 3与x，y轴分别交于点A，kB，与反比率函数 y＝x( k＞0)图象交于点 C，D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比率函数图象于点E.(1)求点 A 的坐标；(2)假设 AE＝AC.①求 k 的值；②试判断点 E 与点 D可否关于原点 O成中心对称？并说明原由．第 8题图k9.如图，双曲线 y＝x经过点 D(6，1)，点 C是双曲线第三象限上的动点，过点 C作 CA⊥x 轴，过点 D作 DB⊥y 轴，垂足分别为 A，B，连接 AB，BC.(1)求 k 的值；(2)假设△ BCD的面积为12，求直线 CD的剖析式；(3)判断 AB与 CD的地址关系，并说明原由．第 9题图k10.如图，点 B 为双曲线 y＝x( x＞0)上一点，直线 AB平行于 y 轴，k交直线 y＝x 于点 A，交 x 轴于点 D，双曲线 y＝x与直线 y＝x 交于点22C，假设 OB－AB＝4.(1)求 k 的值；(2)点 B 的横坐标为4时，求△ ABC的面积；(3)双曲线上可否存在点 P，使△ APC∽△ AOD？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明原由．第 10题图【答案】1．解： (1) ∵点A(1 ，2) 是一次函数y＝kx＋1与反比率函数y m＝x的公共点，m∴ k＋1＝2，1＝2，∴ k＝1，m＝2；(2) ∵直线l⊥x轴于点N(3 ，0) ，且与一次函数的图象交于点B，∴点 B的横坐标为3，将 x＝3代入 y＝x＋1，得 y＝3＋1＝4，∴点 B的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点 A 作 AD⊥直线 l ，垂足为点 D，由题意得，点 C的横坐标为3，∵点 C在反比率函数图象上，222∴ y＝x＝3，∴ C点坐标为(3，3)，210∴BC＝BN－CN＝4－3＝3，又∵ AD＝3－1＝2，111010∴ S ABC＝2BC·AD＝2×3×2＝ 3 .△第1题解图2．解： (1) 设 A 点的坐标为 ( x ，y ) ，那么 OP ＝x ，PA ＝y ，∵△ OAP 的面积为 1，1∴ 2xy ＝1，∴ xy ＝2，即 k ＝2，∴反比率函数的剖析式为 y2；x(2) 存在，如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A ′，连接 A ′B ，交 x 轴于点 M ，此时 MA ＋MB 最小，∵点 B 的横坐标为 2，2∴点 B 的纵坐标为 y ＝2＝1，即点 B 的坐标为〔 2,1 〕.又∵两个函数图象在第一象限交于A 点，∴ 2x 2， x解得 x 1＝ 1，x 2＝－ 1( 舍去 ) ．∴ y ＝2，∴点 A 的坐标为 (1 ，2) ，∴点 A 关于 x 轴的对称点 A ′(1 ，－ 2) ，设直线 A ′B 的剖析式为 y ＝kx ＋b ，代入 A ′(1 ，－2) ，B (2 ，1)得，k b 2 k 32k b, 解得b，15∴直线 A ′B 的剖析式为 y ＝3x －5，5令 y ＝0，得 x ＝3，5∴直线 y ＝3x －5 与 x 轴的交点为 ( 3，0) ，5即点 M 的坐标为 ( 3，0) ．第 2题解图23．解： (1) ∵反比率函数 y ＝ x 图象上的点 A 、B 的横坐标分别为 1、－ 2，∴点 A 的坐标为 (1 ，2) ，点 B 的坐标为 ( －2，－ 1) ，∵点 A (1 ，2) 、B ( －2，－ 1) 在一次函数 y ＝kx ＋b 的图象上，k b 2k1∴b1 , 解得 ， 2k b1∴一次函数的剖析式为 y ＝x ＋1；(2) 由图象知，关于反比率函数y2 ，当 y ＜－ 1 时， x 的取值x范围是－ 2＜x ＜0；(3) 存在．关于 y ＝x ＋1，当 y ＝0 时， x ＝－ 1，当 x ＝0 时， y ＝1，∴点 D 的坐标为 ( －1，0) ，点 C 的坐标为 (0 ，1) ，设点 P ( m ，n ) ，∵ S △ODP ＝2S △OCA ，11∴ 2×1× ( －n ) ＝2×2×1× 1，∴ n ＝－ 2，∵点 P ( m ，－ 2) 在反比率函数 象上，2∴－ 2＝ m ，∴ m ＝－ 1，∴点 P 的坐 ( －1，－ 2) ．4．解： (1) ∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6，∴ OA ＝3，OD ＝2.∴ A (3 ，0) ，B (0 ，6) ，D ( －2，0) ．将点 A (3 ，0) 和 B (0 ，6) 代入 y ＝kx ＋b 得，3k b0 k 2 ， b6,解得6 b∴一次函数的剖析式y ＝－ 2x ＋6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (3分)将 x ＝－ 2 代入 y ＝－ 2x ＋6，得 y ＝－ 2×( －2) ＋6＝10，∴点 C 的坐 ( －2，10)．n将点 C ( －2，10) 代入 y ＝x ，得10＝n ，解得 n ＝－ 20，2∴反比率函数的剖析式 y20 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (5 分)xy2x 6(2) 将两个函数剖析式 成方程 ，得20 ,yx解得 x 1＝－ 2，x 2＝ 5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7分)将 x ＝5 代入 y20 4,x∴两函数 象的另一个交点坐 是(5 ，－ 4) ； ⋯⋯⋯⋯⋯ (8分)(3) －2≤x ＜0 或 x ≥5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (10分)n【解法提示】不等式kx ＋ b ≤x 的解集，即是直 位于双曲 下方的局部所 的自 量x 的取 范 ，也就是－ 2≤x ＜0 或 x ≥5.5．解： (1) ∵点 A ( －2，n ) ，B (1 ，－2) 是一次函数 y ＝kx ＋b 的m象和反比率函数y ＝x 的 象的两个交点，∴ m ＝－ 2，∴反比率函数剖析式y2，x∴ n ＝1，∴点 A ( －2，1) ，将点 A ( －2，1) ，B (1 ，－ 2) 代入 y ＝kx ＋b ，得2k b 1 k 1 k b, 解得b ， 21∴一次函数的剖析式 y ＝－ x －1；(2)结合图象知：当－ 2＜x＜0 或x＞1 时，一次函数的值小于反比率函数的值；(3)如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A′，连接 BA′延长交 x 轴于点 C，那么点 C即为所求，∵A(－2，1)，∴A′(－2，－1)，设直线 A′B 的剖析式为 y＝mx＋n，12m n m 1 3，2m, 解得n n531 5∴y＝－3x－3，令 y＝0，得 x＝－5，那么 C点坐标为(－5，0)，∴ t 的最大值为 A′B＝〔－2－1〕2＋〔－1＋2〕2＝10.第 5题解图16．解： (1) ∵一次函数y1＝4x＋1 的图象与x轴交于点A，与y 轴交于点 C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵ AC＝ BC， CO⊥AB，∴O为 AB的中点，即 OA＝OB＝4，且 BP＝2OC＝2，∴点 P的坐标为(4，2)，m将点 P(4，2)代入 y2＝x，得 m＝8，8∴反比率函数的剖析式为y2＝；x(2) x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的局部，所对应的自变量x 的取值范围是 x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接 DC与 PB交于点 E，∵四边形BCPD为菱形，∴ CE＝DE＝4，∴ CD＝8，∴ D点的坐标为(8，1)，将 D(8，1)代入反比率函数y8，D点坐标满足函数关系式，x即反比率函数图象上存在点D，使四边形 BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第 6题解图7．解： (1) ∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4 ，0) ，∴把点 C(4，0)代入 y＝x＋ b，得 b＝－4，∴直线的剖析式为y＝x－4，∵直线也过 A 点，∴把点 A(－1，n)代入 y＝x－4，得 n＝－5，∴A(－1，－5)，m将 A(－1，－5)代入 y＝x( x＜0)，得 m＝5，∴双曲线的剖析式为y 5 ；x(2)如解图，过点 O作 OM⊥AC于点 M，∵点 B是直线 y＝x－4与 y 轴的交点，∴令 x＝0，得 y＝－4，∴点 B(0，－4)，∴ OC＝OB＝4，∴△ OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠ OCB＝45°，OM OM∴在△ OMB中，sin45°＝＝，∴ OM＝22，OB4∵ AO＝12＋52＝26，∴在△ AOM中，sin∠OAB ＝OM 22 2 13＝＝13；OA26第 7 解(3) 存在．如解 ， 点 A 作 AN ⊥y 于点 N ， AN ＝1，BN ＝1，∴ AB ＝ 12＋ 12＝ 2，∵ OB ＝OC ＝4，∴ BC ＝ 42＋ 42＝4 2，又∵∠ OBC ＝∠ OCB ＝45°， ∴∠ OBA ＝∠ BCD ＝135°，∴△ OBA ∽△ BCD 或△ OBA ∽△ DCB ，OB BA OB BA∴＝或＝，BC CD DC BC4242即4 2＝CD或 DC＝4 2，∴ CD ＝ 2 或 CD ＝16，∵点 C (4 ，0) ，∴点 D 的坐 是 (6 ，0) 或(20 ，0) ．38．解： (1) 当 y ＝0 ，得 0＝ 3 x － 3，解得 x ＝3.∴点 A 的坐 (3 ，0) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分)(2)①如解，点 C作 CF⊥x 于点 F.AE＝AC＝t ,点E的坐是(3，t).OB3在 Rt△AOB中， tan ∠OAB＝＝，OA 3∴∠ OAB＝30°.在 Rt△ACF中，∠CAF＝30°，13∴CF＝2t ，AF＝AC·cos30°＝2 t ，3 1∴点 C的坐是(3＋2 t ，2t )．k∵点 C、E 在 y＝x的象上，3 1∴(3 ＋2t ) ×2t＝3t，解得 t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴ k＝3t ＝6 3；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)②点 E与点 D关于原点 O成中心称，原由以下：由①知，点 E 的坐(3，2 3)，3点 D的坐是( x，3 x－3) ，3∴ x(3 x－3) ＝6 3，解得x1＝6( 舍去 ) ，x2＝－ 3，∴点 D的坐是(－3，－2 3)，∴点 E与点 D关于原点 O成中心称．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8 分)第 8题解图k9．解： (1) ∵双曲线y＝x经过点D(6 ，1) ，k∴6＝1，解得k＝6；(2)设点 C到 BD的距离为 h，∵点 D的坐标为(6，1)，DB⊥y 轴，∴BD＝6，1∴S△BCD＝2×6×h＝12，解得 h＝4，∵点 C是双曲线第三象限上的动点，点 D的纵坐标为1，∴点 C的纵坐标为1－4＝－3，6∴x＝－ 3，解得x＝－ 2，∴点 C的坐标为(－2，－3)，设直线 CD的剖析式为 y＝kx＋b，那么2k b31 k，6k b, 解得2 1 b 21∴直线 CD的剖析式为 y＝2x－2；(3)AB∥CD.原由以下：∵ CA⊥ x 轴， DB⊥y 轴，点 D的坐标为(6，1)，6设点 C的坐标为( c，c)，∴点 A、B 的坐标分别为 A( c，0)，B(0，1)，设直线 AB的剖析式为 y＝mx＋n，那么mc n 0,解得m1c ，n1n11∴直线 AB的剖析式为 y＝－c x ＋1，设直线 CD的剖析式为 y＝ex＋f ，那么61ec ef,解得 c ，c6e f 1 c 6fc1c6∴直线 CD的剖析式为 y＝－x ＋，c c∵ AB、CD的剖析式中 k 都等于1 c ，∴AB与 CD的地址关系是 AB∥CD.10．解： (1) 设D点坐标为 ( a， 0) ，k ∵ AB∥y 轴，点 A 在直线 y＝x 上， B 为双曲线 y＝x( x＞0)上一点，k∴ A点坐标为( a，a)，B 点坐标为( a，a)，k k∴AB＝a－a， BD＝a，222k 22在 Rt△OBD中，OB＝BD＋OD＝( a) ＋a，2 2∵OB－AB＝4，∴( ) 2＋a2－( a－k) 2＝4，a a∴k＝2；(2)如解图，过点 C作 CM⊥AB于点 M，ky x联立 2,y xx2x2解得或〔舍去〕，y2y2∴C点坐标为( 2，2)，∵点 B的横坐标为4，1∴A点坐标为(4，4)，B点坐标为(4，2)，17∴AB＝4－2＝2，CM＝4－2，1∴S△ABC＝2CM·AB17＝2×(4 －2) ×27 2＝7－4；第 10 题解图(3)不存在，原由以下：假设△APC∽△AOD，∵△ AOD为等腰直角三角形，∴△ APC为等腰直角三角形，∠ ACP＝90°，1∴CM＝2AP，2设 P点坐标为( a，a)，那么 A 点坐标为( a，a)，2∴AP＝| a－a|，∵ C点坐标为(2，2) ，∴CM＝| a－2|，21∴| a－ 2| ＝2| a－a | ，∴ ( a － 21 (a2 2)22) ＝4× a 2 ，即 ( a － 2 1 (a 2) 2 (a 2)22) ＝4×a 2，222∴ 4a －( a ＋ 2) ＝0，解得 a ＝ 2或 a ＝－ 3 ( 舍去 ) ，∴P 点坐标为 ( 2， 2) ，那么此时点 C 与点 P 重合，所以不能够构成三角形，故不存在．。
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一次函数与反比例函数综合题专题
1、如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，
点C的坐标为（2，2）．
（1）求该双曲线的解析式；
（2）求△OFA的面积．
2、如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是
双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D
作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
x y A O P B C D 3、如图，已知反比例函数x
k y =的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．若直线y =ax +b 经过点A ，并且经过反比例函数x k y =
的图象上另一点C （n ，一2）．
⑴求直线y =ax +b 的解析式；
⑵设直线y =ax +b 与x 轴交于点M ，求AM 的长．
4、如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m y x
=（x>0）的图象交于点P ，P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27，12
OC CA =. （1）求点D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的表达式；
（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ，
BC⊥OB，过点A的双曲线y= k x
的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）填空：双曲线的另一支在第________
象限，k的取值范围是___________
（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？
（3）若
1
2
OD
OC
，S△OAC=2，求双曲线的解析式．
6、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
7、如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．
x y F E C
B A O （1）求经过点
C 的反比例函数的解析式；
（2）设P 是（1）中所求函数图象上一点，以P 、O 、A 顶点的三角形的面积与△COD 的面积相等．求点P 的坐标．
8、已知：在矩形AOBC 中，4OB =，
3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与
B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x
=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，
C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请
说明理由．
9、一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y (千
米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲
乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)。