1.1.1正弦定理公式及练习题
(完整)1.1.1正弦定理(用)
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2
k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA
sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
课时作业10：1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC 等于( )A ．3－3B ．2C ．2D ．3＋32．已知△ABC 的三个内角之比为A B C ＝321，那么对应的三边之比a b c 等于( )A ．321B ．321C ．321D ．2313．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15 B ．59C ．53 D ．14．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、B ．若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12 B ．π6C ．π4 D ．π35．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是()A ．x >2B ．x <2C ．2<x <22D ．2<x <23二、填空题7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边的长为__________．8．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，则边a ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255，求边BC 的长．10．在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝6，判断三角形解的情况．11．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ．(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ． (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．参考答案1．【答案】A 【解析】由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，即BC sin45°＝3sin75°， ∴BC ＝3×sin45°sin75°＝3×226＋24＝3－ 3. 2．【答案】D 【解析】∵⎩⎨⎧ A B C ＝321A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴ab c ＝sin A sin B sin C ＝13212＝23 1. 3．【答案】B【解析】由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴313＝5sin B ，即sin B ＝59，选B ． 4．【答案】D【解析】由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝32， ∴A ＝π3. 5．【答案】B【解析】∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．6．【答案】C【解析】由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2. 7．【答案】23cm【解析】∵BC sin A＝2R ， ∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．8．【答案】1【解析】由正弦定理，得a sin A ＝c sin C，∴a ＝c sin A sin C ＝2×1222＝1. 9．解：由cos C ＝255，得sin C ＝1－cos 2C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理，得BC ＝AC sin A sin B ＝10×3101022＝3 2. 10．解：解法一：由题意知：c sin A ＝4·sin60°＝23， ∵23>6，∴c sin A >a ，∴此题无解．解法二：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝4·326＝2>1，∴此题无解． 11．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝223， 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin C sin A＝5. 12．解：(1)由cos A ＝23，得sin A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝53cos C ＋23sin C ， ∴tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝306，cos C ＝66， ∴sin B ＝5cos C ＝306. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝2×30653＝ 3.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×2×3×306＝52.。
§1.1.1正弦定理(2)
第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数 （1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定 （2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二） 利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
1.1.1正弦定理2012.4.26
(正确解法 正确解法)解：根据正弦定理， 正确解法
b ⋅ sin A 25 ⋅ sin 133 sin B = = ≈ 0.8311 a 22
0
∵00<B<1800且a<b 而A=1330 ∴这样的三角形不存在！ 这样的三角形不存在！
练习:P4 2
正弦定理的另一种证法
证二:如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
0
∴B≈640
错！
∵00<B<1800且a<b ∴B≈640或B≈1160 (1)当B≈640时，… (2)当B≈1160时，… 特别注意！
20 3 变例一：在△ABC中，已知a=20cm，b= 3
cm，A=600，解三角形（角度精确到10,边长精 确到1cm）. 解：根据正弦定理，
3 20 ⋅ sin 60 0 b ⋅ sin A 1 3 sin B = = = 20 2 a
例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm， ABC中 已知a=20cm，b=28cm， a=20cm 解三角形（角度精确到1 A=400，解三角形（角度精确到10,边长精确到 1cm） 1cm）.
C b A a c B
解：根据正弦定理，
b ⋅ sin A 28 ⋅ sin 40 sin B = = ≈ 0.8999 a 20
π
a C
a = sin A c
B
b = sin B c
c A
b
二、提出问题： 提出问题： 三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子准 确量化的表示？ 确量化的表示？ 探究一： 探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究 △ 中 结合三角函数， 边角关系？ 边角关系？
A
a b = sin A = sin B c c a b ⇒ = = c sinC=1 sin A sin B a b c ⇒ = = sin A sin B sin C
1.1.1正弦定理
C/
1 1 1 另证2: S absin C = bc sin A = ac sin B ∆ABC = 2 2 2
A
c
B
b
ha
1 证明： S∆ABC = aha ∵ 2
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
D
b c = , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
a c 同理可得 = , sin A sin C
a b c 即： = = sin A sin B sinC
若三角形是钝角三角形 且角 如图2, 若三角形是钝角三角形,且角 是钝角如图 钝角三角形 且角C是 过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B =
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角 大角对大边，
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 一般地，把三角形的三个角A 和它们的对边a 叫做三角形的元 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形 的过程叫解三角形
a
B
N
一解
已知A、a、b；求B
(1)A < 90°时 d = asin A
d < a < b时
第1章1.1正弦定理
第章解三角形正弦定理级基础巩固一、选择题．在△中，已知边长＝，∠＝°，∠＝°，则边长等于( )．．解析：由正弦定理得°)＝°)，解之得＝.答案：．在△中，∠＝°，＝，＝，则∠等于( )．°．°或°．以上答案都不对．°解析：因为＝)＝＝，所以∠＝°或°.但当∠＝°时，不符合题意，所以∠＝°.答案：．若)＝)＝)，则△为( )．等边三角形．有一个内角为°的直角三角形．等腰直角三角形．有一个内角为°的等腰三角形解析：由)＝)＝)，故＝，＝，所以＝＝°.答案：．在△中，若∠＝°，∠＝°，则∶∶＝( )．∶∶．∶∶．∶∶．∶∶解析：由正弦定理得∶∶＝∶∶＝∶∶.答案：．在△中，若 > ，则与的大小关系为( )．>．<．、的大小关系不能确定．≥解析：＞⇔＞⇔＞⇔＞(大角对大边)．答案：二、填空题．已知△中，＝，∠＝°，∠＝°，则△的面积为．解析：由正弦定理得)＝，解得＝，所以△＝··＝×××＝.答案：．在△中，角，，所对的边分别为，，.已知＝，＝，＝，则＝．解析：由正弦定理)＝).把＝，＝，＝代入，解得＝.因为>，所以>，结合题意可知＝或.答案：或．在△中，＋＝，＝°，＝°，则＝，＝．。
正弦定理1.1.1(二)
1.1.1正弦定理(二)学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题(重点)；2.能根据条件，判断三角形解的个数(难点)；3.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题(难点).知识点1对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin A a，①若b sin Aa＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若b sin Aa＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若b sin Aa＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角①a＝b sin A；②a≥b一解b sin A＜a＜b 两解a＜b sin A 无解A 为 钝角 或直 角a ＞b 一解a ≤b 无解【预习评价】1.已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时需舍去一解，有时又不能舍.那么我们怎么把握舍不舍的问题？提示 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可求得sin B ＝b sin Aa .在由sin B 求B 时，如果a ＞b ，则有A ＞B ，所以B 为锐角，此时B的值唯一；如果a ＜b ，则有A ＜B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个. 2.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？提示 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.知识点2 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ＝12ab sin__C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.(4)S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫其中p ＝a ＋b ＋c 2. 【预习评价】1.在△ABC 中，若B ＝30°，a ＝2，c ＝4，则△ABC 的面积为________.2.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________.题型一 三角形解的个数的判断【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.规律方法 判断三角形解的情况：先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况.【训练1】 根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a ＝3，b ＝2，A ＝120°； (2)a ＝60，b ＝48，B ＝60°； (3)a ＝7，b ＝5，A ＝80°； (4)a ＝14，b ＝16，A ＝45°.题型二 判断三角形形状问题【例2】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.规律方法 判断三角形形状的常用方法有：(1)化边为角.将题目中的条件，利用正弦定理化边为角⎝ ⎛⎭⎪⎫若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2)，进而确定三角形的形状.【训练2】在△ABC中，已知3b＝23a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形方向1 三角函数式的化简、证明及求值【例3－1】如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值.规律方法在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧.方向2 与三角形面积有关的问题【例3－2】在△ABC中，∠A＝60°，c＝3 7a.(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．方向3 求范围或最值【例3－3】在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2b sin A，求cos A＋sin C的取值范围.规律方法 三角函数、三角恒等变换与解三角形的综合问题是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理，能够对边角关系进行互相转化.课堂达标1.△ABC 满足下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中有两个解的是( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.③④2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.32 C.1 D. 33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2BD ．B ＝2A4.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________.5.在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.课堂小结1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.3.结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用.基础过关1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定3.在△ABC 中，a cos B ＝bcos A，则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝________.6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cos C＝5 5，(1)求角B的大小；(2)若c＝4，求△ABC的面积.7.在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sin C.能力提升8.已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且A，B为△ABC 的两内角，a，b为角A，B的对边，则此三角形为()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形9.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()A.2B.2或4C.1或2D.510.在△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).11.在△ABC中，C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________.12.在△ABC中，已知c＝10，cos Acos B＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半径.创新突破13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2b－3c，cosC)，n＝(3a，cos A)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)求2cos2B＋sin(A－2B)的最小值.。
正弦定理练习题
正弦定理练习题正弦定理练习题正弦定理是解决三角形问题中常用的重要定理之一。
它描述了三角形中边长和角度之间的关系，能够帮助我们求解未知的边长或角度。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对正弦定理的理解和应用。
练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
如果我们知道边长a和角度B，如何求解边长b呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和角度B已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：b = a*sinB/sinA练习题二：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
如果我们知道边长a和b，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a和b已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(A+B) = sin(180°-C)由此可得：C = 180° - (A+B)练习题三：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
如果我们知道边长a、b和角度A，如何求解角度C呢？解答：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由已知条件可知，边长a、b和角度A已知，因此可以得到：a/sinA = b/sinB通过交叉相乘，我们可以得到：a*sinB = b*sinA通过移项，我们可以得到：sinC = sin(180°-A-B) = sin(A+B)由此可得：C = A + B通过以上的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形问题中的重要性。
它不仅可以帮助我们求解未知的边长或角度，还能够帮助我们理解三角形的性质和关系。
1.1.1正弦定理(一)
第一章解三角形1．1.1正弦定理（一）一．知识归纳1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝________，0°<A<90°，0°<B<90°；(2)a2＋b2＝________(勾股定理)；(3)sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝__________，sin B＝________，cos B ＝________，tan B＝________；(4)asin A＝________，bsin B＝________，csin C＝________.3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．二．典例分析知识点一已知两角和一边解三角形例1在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.三．当堂检测1.在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1 B．2 C.3－1 D. 34.在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，b＝2，c＝1，B＝45°，则a＝( )A.6±22B.6－22C.6＋24D.6＋22第一章 解三角形1．1.1正弦定理（一）一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A 2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．a ＝7，b ＝8，A ＝98°D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° 二、填空题 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________. 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________. 7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________. 8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________． 三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求ab的取值范围．答案详解第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)知识梳理1．元素 解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b c a c ba(4)c c c3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 例1 解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°， 所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52；c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．例2 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°， C ＝30°，c ＝2 3.例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32，所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°， 也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22，所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解． 当堂检测 1. 6－22. π33 B [由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.] 4 C课时作业1．D [由正弦定理知D 正确．]2．B [因为a >b ，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一 根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin Bsin A＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二 如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°， 而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]5．120° [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.] 6．75°解析 由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ， 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.8．2<x <2 2解析 因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2.即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解． 10．解 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知： a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求的范围是(2，3)．。
第一部分 第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边 所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
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π π 3．若把本例中 C＝3改为 A＝4，其他条件不变，求 C，B，b.
π 解：∵ 6sin4＜2＜ 6， ∴本题有两解． a c csin A 3 ∵sin A＝sin C，∴sin C＝ a ＝ 2 .
且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状． [思路点拨] 首先利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin 2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的 形状．
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[精解详析]
a b c 法一：设sin A＝sin B＝sin C＝k， (2 分)
则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C ∵sin2A＝sin2B＋sin2C. ∴(ksin A)2＝(ksin B)2＋(ksin C)2. ∴a2＝b2＋c2. ∴A＝90° ，B＋C＝90° .
6．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
a b 解：由正弦定理，设sin A＝sin B＝k，则 a＝ksin A，b＝ksin B， ∴由 acos A＝bcos B，得：sin Acos A＝sin Bcos B. 即 sin 2A＝sin 2B. ∵2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B 或 2A－π＝2π－2B. π 即 A＝B 或 A＋B＝2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
A为钝角或直角
图形
关系 ①a＝bsin A bsin A＜a 式 解的 ②a≥b 一解 ＜b 两解
a＜bsin A
a＞b
a≤b
个数
人教版数学必修五(文)学案：1.1.1正弦定理习题课
1．1．1 正弦定理习题课【学习目标】会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。
【自主学习与检测】1.在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，解此三角形。
2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a ＝( ) A.6±22 B.6－22 C.6＋24 D.6＋22【典型例题】例1.在△ABC 中，,cos cos abB A =则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形变式（1）已知在△ABC 中，,sin sin sin ,sin sin 222C B A C c B b +==试判断三角形的形状。
变式（2）在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形例2.在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，求△ABC 的面积。
并总结三角形的面积公式。
【目标检测】1*.已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3 2.在△ABC 中，a ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝45°，求a 。
3.在锐角△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝1，S △ABC ＝3，求AB →²AC →的值【总结提升】（1）正弦定理灵活运用,sin :sin :sin ::C B A c b a =;::sin :sin :sin c b a C B A =（2）已知三角形两边及一边对角解三角形解的个数问题； （3）三角形的面积公式==C ab s sin 21B ac sin 21A bc sin 21=的运用。
正弦定理练习题
1.1.1正弦定理A 组（满分50分）一．选择题（每小题6分）1．已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别是c b a ,,，下列等式中总能成立的是( )A ．B b A a sin sin = B ．A cC b sin sin =C ．B bc C ab sin sin =D ．A c C a sin sin =2. 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B ∠为( ) A.3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2 3．已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,对边分别是c b a ,,，若26+==c a ，且︒=∠75A ，则=b ( )A ．2 B. 26- C ．324- D ．324+4．在ABC ∆中B b A a cos cos =,则ABC ∆是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形二．填空题（每小题6分）5．在ABC ∆中，6=AC ，2=BC ，︒=∠60B ，则C ∠＝________.6. 在ABC ∆中，12=+b a ，︒=60A ，︒=45B ，则=a _______，=b ______．7.三角形的两边分别为3 cm 和5 cm,它们所夹角的余弦为方程06752=--x x 的根,则这个三角形的面积是_________.三．解答题8. (8分)在ABC ∆中，︒=45A ，5:4:=C B ，最大边长为10，求角C B ,，ABC ∆外接圆半径R 及面积S .1.1.1正弦定理制作人：岳双珊 审核人：于绪迎 时间：2012年4月（第十周）B 组（满分50分）一．选择题（每小题6分）1．在ABC ∆中，已知︒===150,16,18A b a ，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定2．在ABC ∆中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 为( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6二．填空题（每小题6分）3. ABC ∆三内角C B A ∠∠∠,,满足C B A 222sin sin sin +=且C B A sin sin 2sin 2=，则ABC ∆为 三角形.4． 在ABC ∆中，︒===45,2,B b x a ，若三角形有两解，则x 的取值范围_____________．三．解答题5．（10分）在锐角ABC ∆中，B A 2=，c b a ,,所对角分别为C B A ,,，求b a 的取值范围．6.（12分） 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且272cos 2sin 42=-+A C B . (1)求A 的大小；(2)若3,3=+=c b a ，求b 和c 的值.。
1.1.1 正弦定理
a b c 1.正弦定理 sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一. 2.应用正弦定理可以解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及任意一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.
【拓展提升】用正弦定理进行边角互化的两种方法
（1）边化角 a c b 根据sin A= ，sin B= ，sin C= 化边为角(其中 2R 2R 2R R为△ABC外接圆的半径).
（2）角化边
根据a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C化角为边(其中R
为△ABC外接圆的半径).
O a b B c A` A
一、正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， a b c . 即 sin A sin B sin C 注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ）
(2)在△ABC中，等式asinA=bsinB总能成立.（
）
(3)在△ABC中，已知a=30，b=23，A=130°，则此三角形
பைடு நூலகம்
有唯一解.（
）
提示：(1)错误.正弦定理对于任意三角形都适用. (2)错误.由正弦定理得asinB=bsinA. (3)正确.由A=130°>90°，a=30>b=23.根据大边对大角 知，三角形有唯一解. 答案：(1)× (2)× (3)√
） C. 无解 D. 不确定
B. 两解
解答：b＞c,一解
3.（2012·福建高考）在△ABC中，已知∠BAC=60°，
人教版高中数学必修五 1.1.1 正弦定理
AC 等于( )
A．4 3
B．2 3
C. 3
3 D. 2
【解析】由正弦定理可知，sAinCB＝sBinCA，
所以 AC＝BCsisniAnB＝3
2× 3
2 2 ＝2
3.故选 B.
2
【答案】B
3．在△ABC 中，sinA＝sinC，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
课堂小结： 1．对正弦定理的理解 (1)三角形中各边的长和它所对角的正弦的比值为三角
形外接圆的直径 2R.即sianA＝sibnB＝sincC＝2R.
(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ②sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. 由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转 化．这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能．
c＝assiinnAC＝2 s3ins3in03°0°＝2 3. ∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°， c＝2 3.
变式训练 2：在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，
则 B 等于( )
A．45°或 135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
【解析】由sianA＝sibnB，
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角和它们的_对___边__叫做三角形 的元素．已知三角形的几个元素求_其__他__元__素___的过程叫做解
三角形．
典例探究 类型一 已知两角及一边解三角形 例 1：在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，求
A，b，c.
解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一 正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ， 则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二 已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？ 解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个． 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边． 跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 B解析 由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 C解析 易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 π3或2π3解析 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32， 又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 A解析 根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 D解析 由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点 用正弦定理解三角形 题点 正弦定理解三角形综合 答案 D解析 如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 (1,2)解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立． 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立． 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ， 同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析 因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。
1.1.1 正弦定理(A3)
鸡西市第十九中学学案
2015 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
问题 我们应用正弦定理解三角形时， 已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的 解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？
1.1.1 正弦定理(二) 学习 目标 重点 难点
1．熟记正弦定理的有关变形公式． 2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问 题．3．能根据条件，判断三角形解的个数．
探究 1 关系式
在△ABC 中，已知 a，b 和 A，若 A 为直角，讨论三角形解的情况．(请完成下表) a≤b a＞b
1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应注意运用大边对大角的 理论判断解的情况．2．判断三角形形状时，不要在等式两边轻易地除以含有边角的 因式，造成漏解． a b c 正弦定理： ＝ ＝ ＝2R 的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝ ； ；
1
，
小结 正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便，需要进行边角转化时，首先要考虑通过正 弦定理来实现． 训练 1 在△ABC 中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则 sin A∶sin B∶sin C 等于 ( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
小结 已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角， 最后由正弦定理求第三边； (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两 边． 训练 3 在△ABC 中，a＝5，B＝45° ，C＝105° ，解三角形．
正弦定理知识点
1．1．1正弦定理课上讲解：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R其中R 为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形： ①π=++C B A②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+ ③C ab S abc sin 21=∆题型一：已知两角和一边（唯一确定）例1. 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.变式练习1：1.已知ΔABC ，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:A.3B.2C.3D.2 2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A.8B.4C.43-3D.83-8 3.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sin x 的性质决定） 例2.在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆变式练习1：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆变式练习2：0135,ABC a A b B ∆===中，求变式练习3： 在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ，，则角A 的值是 A.15 B.75 C.105 D.75或15变式练习4：在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则A= 。
题型三：外接圆问题 例3. 试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径变式练习1：在△ABC 中，kCcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A 2R B RC 4RD R 2(R 为△ABC 外接圆半径)变式练习2：在ABC ∆中，5,40,20===c B A oo ，则R 2为 （ ）A 、3310 B 、10 C 、25 D 、210变式练习3：在ABC ∆中，=+A Rb B R a cos 2cos 2 （ ） A 、B A sin sin + B 、)sin(B A +C 、)sin(B A -D 、)cos(B A -变式练习4：设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．题型四：比例问题 例4.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．变式练习1：已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
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一、引入
我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。
二、新授
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C
c B b A a 2sin sin sin ===（注：为△ABC 外接圆半径） 2、正弦定理常见变形：
（1）边化角公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=
（2）角化边公式：R a A 2sin =，R b B 2sin =，R
c C 2sin = （3）C B A c b a sin :sin :sin ::=
（4）R C
B A c b a
C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===，， （6）B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin ===
3、三角形中的隐含条件：
（1）在△ABC 中，c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边)
（2）在△ABC 中，B A b a B A B A B A B A >⇔><⇔>>⇔>；；cos cos sin sin
（3）在△ABC 中，,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+⇒=++，π
2
cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法
题型一：解三角形
例1：（1）在△ABC 中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形；
（2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。
变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形：
（1）；，，︒===602010A b a
（2）；，，︒===606510C c b
（3）；，，︒===4532A b a
例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ）
A.有两解︒===30,16,8A b a
B. 有一解︒===60,20,18B c b
C. 无解︒===90,2,15A b a
D. 有一解︒===150,25,30A b a
题型二：判断三角形的形状
例3：若c
C b B a A cos cos sin ==,则△ABC 为（ ） A.等边三角形
B.等腰三角形
C.有一个内角为30°的直角三角形
D. 有一个内角为30°的等腰三角形
变式训练：
在△ABC 中，若C B A C B A 222sin sin sin ,cos sin 2sin +==且,试判断△ABC 的形状。
题型三：范围与最值问题
例4：设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且A b a sin 2=
（1） 求B 得大小；
（2） 求C A sin cos +的取值范围。
题型四：正弦定理与三角恒等变换
例5：设函数.,cos 2
3sin 21)(R x x x x f ∈+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和值域；
（2）设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若,2
3,23)(b a A f ==
且 求C 得值。