1.1.1正弦定理公式及练习题

一、引入

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。

二、新授

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C

c B b A a 2sin sin sin ===（注：为△ABC 外接圆半径） 2、正弦定理常见变形：

（1）边化角公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=

（2）角化边公式：R a A 2sin =，R b B 2sin =，R

c C 2sin = （3）C B A c b a sin :sin :sin ::=

（4）R C

B A c b a

C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===，， （6）B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin ===

3、三角形中的隐含条件：

（1）在△ABC 中，c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边)

（2）在△ABC 中，B A b a B A B A B A B A >⇔><⇔>>⇔>；；cos cos sin sin

（3）在△ABC 中，,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+⇒=++，π

2

cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法

题型一：解三角形

例1：（1）在△ABC 中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形；

（2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。

变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形：

（1）；，，︒===602010A b a

（2）；，，︒===606510C c b

（3）；，，︒===4532A b a

例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ）

A.有两解︒===30,16,8A b a

B. 有一解︒===60,20,18B c b

C. 无解︒===90,2,15A b a

D. 有一解︒===150,25,30A b a

题型二：判断三角形的形状

例3：若c

C b B a A cos cos sin ==,则△ABC 为（ ） A.等边三角形

B.等腰三角形

C.有一个内角为30°的直角三角形

D. 有一个内角为30°的等腰三角形

变式训练：

在△ABC 中，若C B A C B A 222sin sin sin ,cos sin 2sin +==且,试判断△ABC 的形状。

题型三：范围与最值问题

例4：设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且A b a sin 2=

（1） 求B 得大小；

（2） 求C A sin cos +的取值范围。

题型四：正弦定理与三角恒等变换

例5：设函数.,cos 2

3sin 21)(R x x x x f ∈+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和值域；

（2）设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若,2

3,23)(b a A f ==

且 求C 得值。