第4章第5节

即
xt 3 ⋅ 4 t − 2 = y 3 ⋅ 4t + 4 t ,
或
xt = 3 ⋅ 4 t − 2 ，y t = 3 ⋅ 4 t + 4 .
由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平.
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— — η 在上面的分析中， 2 因无实际意义而在Case 2中未作讨论，
5年为间隔将雌性动物分为3个年龄组[0,5],[5,10],[10,15].由统 计资料知，3个年龄组的雌性动物的生育率分别为0，4，3，存 活率分别为0.5，0.25，0，初始时刻3个年龄组的雌性动物的数 目分别为500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种群 中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析. b 解： = 15, n = 3 ； 1 = 0, a 2 = 4, a 3 = 3 ，1 = 0.5, b2 = 0.25. a L
则由上式得
3 1 1 4 1 α 1 = Aα 0 = 2 2 1 = 4 = 41 = 4α 0 .
由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平. y 一般地，若令 xt ， t 分别为该地区 t 年后的环境污染水平 与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型即为
X (0)
4 3 500 0 = 1000 L = 0.5 0 0 500 ， 0 0.25 0 .
下面分三种情况分析：
1 Case 1 α 0 = η1 = 1
由 ( ∗ ) 及特征值与特征向量的性质知，
1 αt = A α 0 = A η1 = λ η1 = 4 1 ，
t t t 1 t
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— 即 — xt t 1 =4 1 y ， t
§4.5 应 用（一） ———————————————————— — 4.5.1 经济发展与环境污染的增长模型
矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环 境保护等领域都有着广泛而重要的应用.§4.5和§4.6两节就 来介绍这方面的知识. 本节先来介绍下面的经济发展与环境污染的增长模型. [经济发展与环境污染的增长模型 经济发展与环境污染的增长模型] 经济发展与环境污染的增长模型 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题. 为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下 数学模型：
X ( k ) = LX ( k −1) ， k = 1,2, L .
于是
（2.5）
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— X (1) = LX ( 0) , — ( 2) (1) 2 (0) X = LX = L X ,
X ( 3) = LX ( 2) = L3 X ( 0) , LL, X ( k ) = LX ( k −1) = L = Lk X ( 0) .
=ax
( k −1) 1 1
+a x
( k −1) 2 2
+L+ a x
( k −1) n n
（2.1）
又t k 时刻该动物种群的第 i + 1 个年龄组中雌性动物的数目等 于 t k −1 时刻第 i 个年龄组中雌性动物的存活量，即
k xi(+1) = xi( k −1) ⋅ bi = bi xi( k −1) ，i = 1,2,L , n − 1.
α1 = Aα 0 , α 2 = Aα1 = A2α 0 , α 3 = Aα 2 = A3α 0 ,
L (∗)
由此，有
α t = Aα t −1 = L = Atα 0 .
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— t 由此可预测该地区 年后的环境污染水平和经济发展水平. —
设在时刻 t k 该动物种群的第 i 个年龄组中雌性动物的数目
为 x i(k ) ， = 1,2, L , n ， i 令
X (k )
x1( k ) (k ) x2 = k = 1,2, L ， M x (k ) ， n
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— 则X (k ) 即为时刻 t k 该动物种群中雌性动物的年龄分布向量. —
但在Case 3的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向 量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用.
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— 4.5.2莱斯利 Leslie）种群模型 莱斯利（Leslie） 4.5.2莱斯利（—
现在来介绍莱斯利种群模型. [莱斯利种群模型 莱斯利种群模型] 莱斯利种群模型 莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数 量增长之间的关系.
即
( ( − ( x1( k ) = a1 x1( k −1) + a 2 x 2k −1) + L + a n −1 x nk 11) + a n x nk −1) − (k ) x 2 = b1 x1( k −1) (k ) ( x3 = b2 x 2k −1) （2.4） LL ( ( − x nk ) = bn −1 x nk 11) −
由 ( ∗ ) 及特征值与特征向量的性质知，
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— t t t t t α = A α 0 = A (3η1 − 2η 2 ) = 3 A η1 − 2 A η 2 — 1 1 3 ⋅ 4t − 2 = 3λ ຫໍສະໝຸດ Baidutη1 − 2λ 2tη 2 = 3 ⋅ 4 t − 2 ⋅ 1t = 1 − 2 3 ⋅ 4t + 4 ,
1
§4.5 应 用（一） ———————————————————— — 设 x 0 ，y 0 分别为该地区目前的环境污染水平与经济发展 y 水平，x1 ， 1 分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发
展水平，且有如下关系：
x1 = 3x0 + y 0 y1 = 2 x0 + 2 y 0
或 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 α 0 的前 提下，t 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保 持着同步恶化趋势. 特征值与特征向量的一个性质： 若α 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，则α k 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量， ∈ N . k
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xt = y t = 4 t .
均生育的雌性幼体的数目）为 ai ，存活率（即第 i 个年龄组中 可存活到第 i + 1 个年龄组的雌性动物的数目与第 i 个年龄组中雌 性动物的总数之比）为 bi .
n
n
a i 显然，i ≥ 0 ，i = 1,2, L , n ， ≤ bi ≤ 1 ， = 1,2, L , n − 1, 0
且至少有一个 a i > 0 ， ≤ i ≤ n . 1 令
由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向 （2.6）
X ，则可计算出 t k 时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布 (k ) 向量 X ，从而对该动物种群中雌性动物的数量作出科学的预测
量
( 0)
和分析.
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— 例 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为15年，且以 —
xt = 3xt −1 + y t −1 y t = 2 xt −1 + 2 y t −1
(t = 1,2,L, k )
3
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 令 — xt αt = y t ，
则上述关系的矩阵形式为
α t = Aα t −1 , t = 1,2, L, k .
i −1 i L, L], i = 1,2, L , n, 将区间 [0, L ] 作 n 等分得n 个年龄组[ n n L
每个年龄组的长度为
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为 L （单位：年）， .
n
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— i −1 i i 个年龄组 [ L, —的生育率（即每一雌性动物平 L] 设第
5
得 A 的特征值为
征值λ 2 的线性无关的特征向量为
§4.5 应 用（一） ———————————————————— (E 对 λ 2 = 1，解齐次方程组 — − A) X = 0 得 A 的属于特
1 η2 = − 2 . η 由Th4.4知， 1 ,η 2 线性无关.
下面作进一步地讨论： 由矩阵 A 的特征多项式
| λ E − A |=
λ −3
−2
−1
λ−2
= (λ − 4)(λ − 1)
λ 1 = 4, λ 2 = 1 . 对λ 1 = 4 ，解齐次方程组 ( 4 E − A) X = 0 得 A 的属于特 征值 λ 1 的线性无关的特征向量为
1 η1 = 1 ，
显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物 的数目会发生变化. 易知，时刻 t k 该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目 等于在时段 [t k −1 , t k ] 内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数 目之和，即
( ( x1( k ) = x1( k −1) ⋅ a1 + x2k −1) ⋅ a2 + L + xnk −1) ⋅ an
X ( 0)
x1( 0) (0) x2 = M x (0) n ，
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量. 取
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 则X ( 0 ) 即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向 —
k t k = L k = 1,2, L ， n ，
∴ 无实际意义， 不讨论此种情况. Q y 0 = −2 < 0 ，
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 1 — Case 2 α 0 = η 2 = − 2
1 Case 3 α 0 = 7 Q α 0 不是矩阵 A 的特征向量， 不能如Case 1类似分析. ∴ 2 η 但由η1 ,η 2 线性无关知， 1 ,η 2 是2维实向量空间 R 的一组 α 基.于是， 0 必可由η1 ,η 2 唯一线性表出，且不难知道可表出 为 α 0 = 3η1 − 2η 2 .
令
3 1 x1 x0 α 0 = α1 = A = 2 2 y y ， ， 1， 0
则上述关系的矩阵形式为 α1 = Aα 0 . 此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济 发展水平之间的关系.
2
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 如 — x0 1 α0 = = y 1 0 ，
（2.2）
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— 联立（2.1）和（2.2）得 — ( ( x1( k ) = a1 x1( k −1) + a 2 x 2k −1) + L + a n x nk −1) （2.3） (k ) ( k −1) xi +1 = bi xi , i = 1,2, L, n − 1
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— 令莱斯利矩阵 — a1 a 2 L a n −1 a n 0 b1 0 L 0 L = 0 b2 L 0 0 L L L L L 0 0 L b 0 ， n −1
则（2.4）即为