相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)

解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法

——直接法、间接法—网搜罗类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明

1．(虹口区模拟)如图，在△ABC中，△C＝90°，AD是△CAB的平分线，BE△AE，垂足为点E，求证：BE2＝DE·AE.

证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠C＝90°，AE⊥BE，∴∠ADC＋∠CAD ＝∠BDE＋∠DBE.∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE，∴∠BAD＝∠DBE，

∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴BE

DE＝AE

BE，∴BE2＝DE·AE.

2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且△BAC＝

△BDC＝△DAE.求证：AB

AC＝AE AD.

证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠BDC，∠BF A＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BF A＝180°－∠BDC－∠CFD，

即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴AB

AC＝AE AD.

证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝

∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴AB

AC＝AE AD.

3．如图，在△ABCD 中，AM △BC ，AN △CD ，M ，N 分别为垂足．求证：AM AB ＝MN

AC

.

证明：在▱ABCD 中，∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，又∵∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt △AMB ∽Rt △AND ，∴

AM AN ＝AB AD ＝AB

BC

.又∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ，∴AN ⊥AB .∴∠BAM ＋∠MAN ＝∠BAM ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠MAN ，∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MN

AC

.

类型二：利用等线段代换证明

4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，△ADB ＝△ACB .求证：

AB

AE ＝AC AD

.

证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AC ＝AE AB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC

AD .

5．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F .求证：DE 2＝BE ·CE .

证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC ，∴AE CE ＝BE

AE

，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .

6．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE △AC 且交AC 于F ，过F 作FG △AB ，交AE 于G .求证：AG 2＝AF ·CF .

证明：∵BE ⊥AC ，∴∠AFB ＝∠BFC ＝90°，∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABF ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAF ＝∠CBF ，∴△ABF ∽△BCF ，∴

BF CF ＝AF

BF

，∴BF 2＝AF ·CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠BCE ＝90°.又∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE ，∴AE ＝BE .∵GF ∥AB ，∴AG AE ＝BF

BE ，∴AG

＝BF ，∴AG 2＝AF ·CF .

◆类型三 找中间比利用等积式代换

7．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE △BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q .求证：PD ·EQ ＝PE ·DQ .

证明：∵AE ∥DC ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ ＝CD AE .∵AE ∥BD ，∴△BDP ∽△AEP ，∴

PD

PE ＝BD AE .∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQ

EQ

，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .

8．△如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .

证明：∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB ＝∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC

BC .∵E 为BC

的中点，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ＝∠DAC ，∴∠FDC ＝∠F AD .又∵∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴CF DF ＝CD AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DF

CF

，∴AC ·CF ＝BC ·DF .

9．△如图，在△ABC 中，△BAC ＝90°，AD △BC 于D ，点E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 于F .求证：AB AC ＝DF

AF

.

证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠CDA ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，∴△ABD ∽△CAD ，∴AB AC ＝BD

AD .在Rt △ADC 中，∵

点E 为AC 的中点，∴DE ＝CE ，∴∠C ＝∠EDC ，∴∠BAD ＝∠EDC .又∵∠EDC ＝∠FDB ，∴∠FDB ＝∠BAD ，即∠FDB ＝∠F AD .又∵∠F ＝∠F ，∴△DFB ∽△AFD ，∴DF AF ＝BD AD .∴

AB AC ＝DF AF

.