(2)群表示理论基础
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第三节群表示的基及群的表示
一、基本概念
基(Base):群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。
基可以有各种类型,如矢量(x,y,z),波函数(p x,p y,p z)
群的表示(Representation):选定群表示的基以后,则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应,这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。
* 群的表示不是唯一的,一个群原则上有
无限多种表示。
二、群的表示(可约与不可约表示)
1、可约表示(Reducible Representation)1)定理:设一组矩阵(E,A,B,C…)构成一个群的表示。若对每个矩阵进行同样的相似变换:
E´=X-1EX
A´=X-1AX
B´=X-1BX
…………..
则(E´,A´,B´……)也是群的一个表示。
证明(封闭性):若AB = C
A´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX
= X-1(AB)X = X-1CX = C´
2)可约表示:若能找到矩阵X可把(A、B、C…)变换成(A´、B´、C´…), 而(A´、B´、C´…)
分别为划分为方块因子的矩阵。
a13
a23 a31a32
a n1a1n a2n
a n2
a3n a n3
a11a12
a21a22
a33
a nn
b13
b23
b31b32
b n1
b1n
b2n
b n2
b3n
b n3
b11b12
b21b22
b33
b nn
c13
c23 c31c32
c n1c1n c2n
c n2
c3n c n3
c11c12
c21c22
c33
c nn
相似变换
00
若每个矩阵A´,B´,C ´, … 均按同样的方式划分成方块,则可证明,每个矩阵的对应方块可以单独地相乘: A 1´B 1´=C 1´ A 2´B 2´=C 2´ A 3´B 3´=C 3´
………..
a13
a23 a31a32
a n1a1n a2n
a n2
a3n a n3
a11a12
a21a22
a33
a nn
b13
b23
b31b32
b n1
b1n
b2n
b n2
b3n
b n3
b11b12
b21b22
b33
b nn
c13
c23 c31c32
c n1c1n c2n
c n2
c3n c n3
c11c12
c21c22
c33
c nn
0 0
0 0
…………………. ………..
因此各组矩阵E1´,A1´,B1´,C1´, …
E2´,A2´,B2´,C2´, …
…………………….
本身都是一个群的表示。
因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵,所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。因此我们称(E,A,B,C, …)为可约表示。
2、不可约表示(Irreducible Representation)
若找不到矩阵X,按照上述方式约化给定表示的所有矩阵,这种表示称为不可约表示。不可约表示具有特殊的重要性。
三、广义正交定理(great orthogonality theorem)
1、向量的正交
1)向量及其标积。
向量的定义:
向量标积:
A
B
A·B = A·Bcosθ
2)向量正交
若A·B = 0,则称A与B正交。
* p维空间中的一个向量可借助于它在该空间中的p个正交轴上的投影来定义。以三维空间为例:
x
y
z
A 1
A
A 3A 2
A 1A 2
A 3
A = A 1 + A 2 + A 3A = A 1i + A 2j + A 3k
A 3 = A 3k
A 1 = A 1i A 2 = A 2j j = 0i i = 1i j j = 1k k = 1
k = 0i k = 0j O
据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法,在p 维正交空间中:
A ·
B =(A 1+A 2+…+Ap )·(B 1+B 2+…+Bp )
= A 1B 1+A 2B 2+ … +ApBp
∑==p
1
i i
i B A
因此在p 维空间中两个向量的正交可表示为:
∑==p
1
i i
i
B
A
A B = A Bcos θ = 0
推论:一个向量的长度平方可写成
A 2
= A ·Acos0 = A ·A
∑==p
1
i 2
i
A