(2)群表示理论基础
群表示的理论基础和分子对称性
4.群表示的理论基础和分子对称性教学目标与学习指导1．本章第1节讨论分子对称性。
要求掌握五种对称元素和对称操作的乘积的概念。
2．本章第2节介绍群的基本知识。
要求对群的基本知识有一般的了解。
3．本章第3节讨论分子点群。
要求掌握分子点群的确定。
4．本章第4节讨论分子对称操作的矩阵表示。
要求掌握五种对称操作的矩阵表示法。
5．本章第5节讨论群表示的基及群的表示。
要求对群表示的一般性质有所了解。
要求掌握不可约表示和可约表示的概念以及可约表示的约化，了解特征标表。
4-1分子对称性4-2群的基本知识4-3分子对称操作群4-4分子对称操作的矩阵表示（选修）4-5群表示的基及群的表示（选修）RPbPbR的键合性质Y u Chen,Michael Hartmann,Michael Diedenhofen,and Gernot Frenking*Angew.Chem.Int.Ed.2001,40,No.11，2052群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的数学。
但把它的基本理论与物质结构的具体对称性相结合之后，群论就成为研究物质微粒运动规律的一种有力工具。
在有关基本粒子、核结构、原子结构、分子结构以及晶体结构等问题的理论研究和计算中经常用到群论方法。
由于自然学科彼此间的交叉、渗透，在近代化学领域内，研究化学键理论和分子动力学，应用各种波谱技术等方面，群论已成为重要的工具。
4-1分子对称性对称性是物体所具有的,实施对称操作之前后不可分辨的性质。
通过研究分子的对称性，一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有关性质；另一方面，也可借助于分子对称性，使求解薛定谔方程的过程大为简化。
原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性，是电子运动状态及分子结构特点的内在反映。
4-1-1对称操作与对称元素4-1-2对称操作的乘积4-1-1对称操作与对称元素对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。
也就是，当一个操作作用于一个分子上，所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。
数学中的群论与表示论
数学中的群论与表示论数学是一门极其复杂的学科，其中涉及到各种各样的理论与定理。
群论与表示论是其中的两个重要的分支，广泛应用于各个领域。
本文将介绍这两个分支的基本概念和应用。
一、群论群论是一种研究变换性质的数学理论，研究的东西是所有在一定条件下的变化，这些变化之间具有某种相似的结构和规律。
群论不仅仅是一个抽象的概念，还深刻地影响到了其他学科，如物理、化学和计算机科学等领域。
群论的基本概念就是群。
群是一个集合，其中包含了一系列元素，而群论研究的就是这些元素之间的相互关系。
在群中，有一个二元运算，通常是乘法或加法运算，来定义元素之间的组合。
这个二元运算需要满足以下四个条件才能构成一个群：1. 封闭性：群中的任意两个元素进行操作后得到的结果还是群中的元素；2. 结合律：群中的元素进行操作的顺序不影响最终结果；3. 存在恒等元素：群中存在一个元素，与其进行操作不影响任何元素，这个元素就是恒等元素；4. 存在逆元素：群中的任意一个元素都有一个逆元素，它们的乘积（或和）等于恒等元素。
通过上述定义，我们可以得到一些简单的群，比如整数加法构成的群Z, 或者是非零实数乘法构成的群R*等等。
群论的应用非常广泛，不仅仅是数学领域，还涉及到了其他各个方面。
例如，在物理学中，群论被广泛地应用于研究对称性和宇称等问题。
在计算机科学中，群论可以用于解决密码学中的一些问题。
二、表示论表示论是与群论有密切关系的一个分支学科，它研究的是群的作用。
如果存在一个给定的群，我们可以将其作用于一些向量空间上，从而获得这个向量空间的一个表示。
表示论的目标是研究这些表示的性质和分类。
在表示论中，我们关注的是群G的一组表示，通常是一个线性变换T，可以写成T(g)，其中g是群G的元素。
这个线性变换通常是在一个向量空间V上进行的，我们可以将T(g)写成一个矩阵，表示矩阵的形式就是这个表示在数学上的表述。
一个重要的问题是，如何确定这些表示的性质和分类。
群表示理论
(4) 广义正交定理（关键定理，Great Orthogonality Theorem）：
对于群G的每个操作R，G和Gn是具有矩阵 D (R ) 和 Dv (R )
（维数分别为n和nn)的两个不可约表示，那么矩阵元素具有下列方程所表述的
一. 群的表示
1.群的各种表示
群的表示的定义：任意一组集合,如果它的乘法关系与群的相同,那么这组集合就是群 的一个表示。群的表示就是群的一个同构或同态的群 。
群的矩阵表示：通常总是选择一组矩阵(矩阵群)作为群的表示(这样,就将群的对称性 变换化为矩阵运算,便于解析),称为群的矩阵表示。
基的选择：可以是坐标、向量,也可以是一组线性独立的函数 。 因为基的选择是随意的,因而产生的表示也有无数多；但是对一个特定群,不等价不可 约表示是固定的有限个。
1
k (E ) 2 g 1(C i ) 1 (第1列和第1行)
1
ab
c
d
（2）不可约表示的数目r等于类的数目k
(3)各行必须满足 (4)各列必须满足
k
gi (C i )n (C i )* g n
i 1
k
n 1
n
(C i)nຫໍສະໝຸດ (Cj )*(
g
gi )ij
1 2a 3b 0
2
Oˆ R
A1
f
2
A1Oˆ R
f2
A1D
f
(R
)
f
2
A1D
f
(R
)
A
g2
g
n
f
n
5.2SU(2)群及其表示
f
1 2 1 − 2
(ξ ,η ) = ξ ，由于 SU (2) 群的群元也是 2 × 2 矩阵，因此 D 2 与
1
u
之间可以通过相似变换联系，即设 M 为相似变换矩阵，则
D = MuM ，
1 2
−1
即
D M = Mu ，
1 2
⎛i 0 ⎞ 可取 M = ⎜ ⎜0 − i⎟ ⎟ ，因此可以适当选择基函数使得群元本身就是二维表示。 ⎝ ⎠
j −m
( x + y)
j +m
n
=∑
n! x r y n −γ ， γ =0 γ ! ( n − γ ) !
n
和 ( b * ξ + aη )
j −m
展开有
n
( −bη + a * ξ )
( b * ξ + aη )
将它们代入得
Pu f
j
= ∑ ( −1)
n=0
j −m
( j − m )! a * ξ j − m−n bη n ， ( ) ( ) n !( j − m − n ) !
令
r ⎛ ξ ⎞ ur ⎛ ξ ' ⎞ v =⎜ ⎟, v' = ⎜ ⎟, ⎝η ⎠ ⎝η ' ⎠
则有
fαn ' (ξ ,η ) = Pu fαn (ξ ,η )
或写成
r r r r n fαn ' ( v ) = Pu fαn ( v ) = fαn ( u −1v ) = ∑ f βn ( v ) Dβα (u ) ，
1 ⎛ a − b⎞ D 2 (a, b ) = ⎜ ⎜b * a *⎟ ⎟， ⎝ ⎠
(11 → m' = m = 1/ 2,12 → m' = 1/ 2m = −1/ 2 ， 21 → m' = −1/ 2m = 1/ 2,22 → m' = m = −1/ 2 ）
第1部分第3章 特征标理论(2)
hi ( χi / χE ) ------------------------ (7) ---------------------- (1) --------------------- (8) --------------------- (4) [ 提问: I I = ? ] [ 提问: I I = I ] *
(5) 以 D3 群为例, 利用类和定理求不可约表示特征标 13 1, 求一维不可约表示特征标 χE = χ1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因为 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表验证 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( χi / χE ) hj ( χj / χE ) = ∑k Cijk hk ( χk / χE ) ---- (2) 得 2 • χ3 • 2 • χ3 = 2 • 1 • χ1 + 0 • 3 • χ2 + 1 • 2 • χ3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, χE = χ1 = 1 ) 4 χ3 2 = 2 + 2 χ3 2 χ3 2 - χ3 - 1 = 0 χ3 = - 1/2 或 + 1 [ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ] [ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ] *
(3) 类和定理的证明 1, 证明(1)式 第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 习题: 证明 Ci X = X Ci, 即
9
R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
X 为群元空间中一切矢量
[ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ] 第二步: 证明, 若群元空间中矢量 A 和一切群元矢量 R 对易 R-1 A R = A R为任一群元, 若(4)式左边A中含有某类的任一元 则(4)式右边A中必含有该类所有的元 又∵ ∴ (4)式左右两边A相同 A含完正的类 * ------------------------ (4) 则A 必由若干类和矢量 ( 完整的类 ) 构成 证: ∵ ∴
第二章_群表示理论
第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。
线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。
【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。
空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。
矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。
群表示论基础——群在集合上的作用
群表⽰论基础——群在集合上的作⽤设Ω是⼀个集合,那么群G到对称群S(Ω)的每个同态ϕ:G→S(Ω)叫做群G在集合Ω上的⼀个置换表⽰.特别的如果ϕ是单的,那么称ϕ是忠实表⽰.注意群G中任意元素g在ϕ下的像ϕ(g)是Ω中的⼀个置换,因此我们可以将群G中的每个元素视作置换,即ga:=ϕ(g)a,∀a∈Ω形象的看就是群作⽤在集合上.如果我们在Ω中定义关系a∼b⇔∃g∈G使得ga=b,不难验证这是⼀个等价关系,那么Ω可被分解成⼀些等价类的⽆交并,如果我们记[a]={ga:g∈G}为等价类,那么Ω=⋃a[a]其中每个等价类称为G−轨道,元素a的轨道也记作Orb a:=[a]也记作O a.特别的如果Ω只有⼀条轨道,那么称G在Ω上的作⽤是传递的(也称为可迁的).那么显然G在每条轨道上的作⽤是传递的.我们来看具体的群作⽤的例⼦:例1.设G是群,取Ω=G,考虑映射ϕ:G→S(G),定义ϕ(g)a=ga,∀a,g∈G,那么ϕ是⼀个同态,这是因为∀g,h,a∈G有ϕ(gh)a=gha=ϕ(g)ϕ(h)a因此ϕ是群G在集合G上的⼀个置换表⽰,并且Kerϕ={1}我们也把这个表⽰称为群G的左正则表⽰,且显然这个表⽰是忠实的.类似的可以定义右正则表⽰.利⽤此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.只需对例1中的左正则表⽰⽤同态基本定理G=G/Kerϕ≃Imϕ≤S(G),这就说明群G同构于某个置换群.例2.设H≤G,取Ω:={aH:a∈G}即为全体左陪集构成的集合,考虑映射πH:G→S(Ω),定义πH(g)(aH)=gaH,不难验证这也是⼀个同态,称为G对于⼦群H的左诱导表⽰.如果g∈KerπH,那么∀a∈G有πH(g)(aH)=gaH=aH⇒g∈aHa−1,注意a的任意性可知KerπH=⋂a∈G aHa−1即为H的全体共轭⼦群之交.类似的也可以定义右诱导表⽰.例3.设A⊂G是群G的任意⼦集,取Ω:={aAa−1:a∈G}即为A的共轭⼦集的全体.考虑映射ρA:G→S(Ω),定义ρA(g)aAa−1=gaAa−1g−1,这也是⼀个同态,称为群G对于⼦集A的共轭表⽰.类似的可求出其同态核KerρA=⋂a∈G aN G(A)a−1即为A的正规化⼦N G(A)的全体共轭⼦群之交.设a∈Ω,我们考虑集合Stab(a):=G a:={g∈G:ga=a},即为保持元素a不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群G的⼦群,即Stab(a)≤G,称作元素a的稳定⼦群.我们有如下的:轨道-稳定⼦定理设有限群G作⽤在集合Ω上,那么∀a∈Ω有|G|=|Orb(a)|⋅|Stab(a)|↔|Orb(a)|=[G:Stab(a)]证明设G=∪n i=1g i Stab(a),注意到∀g,h∈G,那么g Stab(a)=h Stab(a)⇔h−1g∈Stab(a)⇔h−1ga=a⇔ga=ha这说明在同⼀陪集中的元素作⽤在a上的结果是相同的,且不同陪集的元素作⽤结果不同.这便说明了|Orb(a)|=[G:Stab(a)]特别的如果G在Ω上的作⽤是可迁的,那么|G|=|Ω|⋅|Stab(a)|,∀a∈Ω⽽若G 是⽆限群,轨道长度有限时,我们通常⽤后⾯的表达形式|Orb(a )|=[G :Stab(a )].特别的如果a ,b 位于同⼀轨道中,即存在g ∈G 使得b =ga ,那么我们看他们的稳定⼦群有什么关系.任取h ∈Stab(b ),则hb =b ⇒hga =ga ⇒g −1hg ∈Stab(a ),即Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,类似可得Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,这说明Stab(b )=g Stab(a )g −1即同⼀轨道中元素的稳定⼦群是共轭的.例4.正n (n ≥3)边形的对称群.我们把平⾯中能够使得图形Γ与⾃⾝重合的正交变换(旋转和镜⾯反射)称作称作图形Γ的对称,显然全体这种对称构成⼀个群,称为图形Γ的对称群,记作S (Γ),特别的正n 边形的对称群,记作D n .我们来考虑它的结构:显然D n 可看做是对n 个顶点的置换,我们可以视作群D n 作⽤在顶点击Ω={1,2,⋯,n }上,显然这个作⽤是传递的,⽤绕中⼼旋转2πn 的置换σ=(12⋯n )依次作⽤即可.再者对于某个顶点1,保持1不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持1不动的反射τ={(2,n )(3,n −1)⋯n 2,n 2+2,n ≡0(mod根据轨道-稳定⼦定理|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n .注意到\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)恰为2n 个不同的置换,因此D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}并且运算满⾜\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau 且\sigma\tau=\tau\sigma^{-1},据此可以得到更⼀般的\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z进⼀步的我们可以求出D_n 的中⼼C(D_n).显然\sigma^i\tau\notin C(D_n),⽽若\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1),注意到D_n 的结构,仅需保证其与\tau 可换即可,即\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i 因此C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.与稳定⼦群类似,\forall g\in G ,我们定义元素g 作⽤下的不动点的概念N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\},即\Omega 中在置换g 作⽤下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside 引理:设有限群G 作⽤在集合\Omega 上,那么\Omega 中轨道的条数m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|直观来讲就是G 在\Omega 的作⽤时,平均有t 个不动点.下⾯给出他的证明:按照定义显然有\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|,另⼀⽅⾯注意到位于同⼀轨道中两元素的稳定⼦群是共轭的,因⽽具有相同的基数,从⽽\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|因此定理成⽴.这是组合数学中⼀个重要的计数定理，但是在实际应⽤时N(g)并不好直接计算,所以有更进⼀步的的Polya 定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.类似的我们可以定义群G 作⽤下的不动点:\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}即群G 每个元素都保持不动的\Omega 中的元素. 在后⾯的Sylow 定理中会涉及整个群作⽤下不动点的应⽤.()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
group theory 2
■ 等价表示: 设群G在线性空间V上的两个表示B和A通过一个 相似变换相联系, 即对于任意gα∈G, 有B(gα)=SA(gα)S-1, 其 中S是V上的一个非奇异矩阵, 则称这两个表示为等价表示. ■ 可约表示: 设A是群G在表示空间V上的一个表示, 如果V 存在一个G的不变真子空间W,即对任意 w∈W和任意gα∈G, 有A(gα) w ∈W. 则称表示A是可约的. ■ 完全可约表示: 设群G的表示A的表示空间V可以分解为子 空间W1和W2的直和, 即V=W1⊕W2, 且W1和W2都是G的不 变真子空间, 即对于任意w1∈W1, w2∈W2和任意gα∈G,有 A(gα) w1 ∈W1, A(gα) w2 ∈W2 则称表示A是完全可约的.
v = ∑ xi ei = ∑ e' j ( S 1 ) ji xi = ∑ x' j e' j
i i, j j
x' = ( S 1 ) x
则V中任一线性变换A在上述两组基下的矩阵由下式联系
Ae' j = ∑ Ae j S ji = ∑ Aij ei S ji
i i, j i i, j
= ∑ A'ij e'i =∑ A'ij e j S ji = ∑ A' ji ei Sij
i i
满足
x + y = ∑ ( xi + yi )g i
i
, ax = ∑ (axi ) g i
i
则所有元素 x ≡ ∑ xi g i 的集合构成一个线性空间, 称为群空间. i 记作VG. 群元称为群空间的自然基底.
■ 群代数定义: 设x,y是群空间VG 中的任意两个向量, 即
x = ∑ xi g i , y = ∑ yi g i ∈ VG
第二章 群表示理论
群的封闭线性空间：只有当函数空间（线性空 间）在算符群中所有算符的作用下都不变时， 算符群才能给出群的表示。
11
问题：群的表示有多少种？ 设矩阵群D是G的表示， Dg 对应于群元g的矩 阵。有一个非奇异矩阵S，有 D g S 1D g S 。对 于所有 g G ， g 构成一个矩阵群，也是G的一 D 个表示。
定理1. 如果有限群G有一个非单位矩阵表示， 则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。 （对任一g∈G,有表示矩阵D(g),可找到一个矩 阵S，使 D g S 1D g S ，并且 D g D g 1 。）
13
D 证明：群G的一个矩阵表示， : A1 , A2 ,, Ai ,, Ag ， H A A ,H 对应于各个群元的表示矩阵。定义 G 是厄米阵（ H H ）。对于任一g∈G，一定存在 D g S 1D g S 成为D的等价表示。 非奇异矩阵S，使
对于厄米阵H ，存在一个幺正阵V使其对角化，即
V 1 HV H，H是对角化的。 V是H的特征矩阵排列构成的。 H A A V AVV AV
1 1
H
kk
A kj A
j
jk
Akj
j
2
,（k任意）
14
则H kk 0。若等于0，则A阵是奇异的，而群表示 H 矩阵是非奇异的。因此， kk 均是大于0的实数。
T 矩阵群 M A M g | g G ， A M A , M A ~ G ；
选取不同基矢组， TA有不同的矩阵群。
群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方矩阵，如果 G 与M同态 ，则称M是G的一个n维表示。
群论基础-第2章 群表示论(3)
( U, V ) = R UR* VR
*
二, 表示矢量
12
由公式(8)的表示矩阵元的正交性定理知
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r f ------------- (8) 定义群元空间中的一组正交归一化矢量 { ( V ( i, , ) }
由群元作基矢, 按下述表式定义加, 数乘和内积, 得一矢量
空间, 为群元空间. 群元空间的维数为群的阶 h.
(1) 加: R + S
(2) 数乘: R ( 可为复数 )
(3) 内积: ( R, S ) = RS 由此可得群元空间中任意二矢量的内积为
( U, V ) = ( S S US , R R VR ) = R S ( S, R ) US* VR )
-K
-K
-K
-K )
V (312) 3-1/2 ( 0
0
L -L
L
-L )
V (321) 3-1/2 ( 0
0
L -L
-L
L)
V (322) 3-1/2 ( 1 -1
K
K
-K
-K ) *
(十一) 表示矢量的完全性关系
15
一, 表示矢量的完全性定理
i r ( ni / h ) Dr i* ( R )Dr i ( S ) = RS ----------- (11) 二, 定理含义的说明
第一部分 群论基础
第二章 群表示论 (3)
(八) 不可约表示基矢的正交性定理
2
一, 定理的内容: 若有群 G 的两个不等价, 不可约的幺正表示
其表示矩阵 维数 基函数
Di ,
ni , i( r )
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
数学中的群表示和代数表示理论
数学中的群表示和代数表示理论在数学中，表示理论是一个重要的研究领域。
它涉及到许多不同的数学对象，如群、李群、 Lie 代数等等。
其中，群表示和代数表示理论是其中最为重要的两个分支。
群表示理论是研究群在线性变换空间上的表示的理论。
群表示可以用来描述群在不同对象上的对称性，比如在几何或物理学中描述对称性操作、化学中的对称性等。
群表示的关键是研究群元素作用于向量空间上的线性变换。
给定一个群$G$ 和一个域$k$，我们可以找到一个向量空间 $V$ 和群 $G$ 的一个表示 $\rho$，满足 $\rho(g)$ 对于任意 $g\in G$ 都是 $V$ 中的线性变换。
群表示是$G$ 的一个表示矩阵的集合，每个矩阵对应于群 $G$ 中的一个元素 $g$。
代数表示理论是研究代数对象在线性变换空间上的表示的理论。
代数表示和群表示的区别是，代数表示通常涉及到无限维向量空间，而群表示涉及到有限维向量空间。
代数表示理论主要研究 Lie 代数在向量空间上的表示。
Lie 代数是一种特殊的代数结构，它的元素是向量空间上的线性变换，满足某些限制条件。
代数表示能够描述 Lie 代数在不同向量空间上的对称性，这对于研究几何、物理学、量子场论等领域非常重要。
群表示和代数表示的理论基础是一个叫做Schur引理的定理。
Schur定理告诉我们，对于有限群和有限维表示，每个不等于恒等变换的群元 $g$ 在该表示下的矩阵都是不可约矩阵。
简单来说就是，不可约表示是群表示的最简单的形式之一。
这个定理对于代数表示也同样适用。
在表示理论中，不可约表示是非常重要的。
一个表示是可约的就表示它可以写成几个不可约表示的直和形式。
不可约表示是表示矩阵不可同时具有两个以上不变子空间的表示，这个定义等价于表示矩阵在某个极小不变子空间上的限制表示不可约。
通俗地说，正如素数是整数的最基本构造块，不可约表示是表示的最基本构造块。
可以发现，表示理论不仅在数学上非常重要，而且在物理和工程学科中也占有重要地位。
群论基础-第2章 群表示论(2)
(8)
3’() = 2-1/2 1() + 2-1/2 2() [= 2-1/2 (cos2 +sin2) = 2-1/2 ]
[ 答案: 1, 将原空间划分成一个一维和一个二维的不变子空间;
2, 其表示矩阵呈准对角形式 ]
*
(2) 新老基矢 (基函数) 之间的关系
15
( 1’, 2’, 3’ ) = ( 1, 2, 3 ) S
[ 提问: 上述D3 群的表示是否为 (准) 对角形式? 为什么? ]
[ 答案: 不是, 要所有群元的表示矩阵同样对角化 ]
[ 提问: 将上述函数空间三个基函数作如下重组, 结果将如何?]
例如: 1’() = 2-1 1() - 2-1 2() + 2-1/2 3()
2’() = -2-1 1() + 2-1 2() + 2-1/2 3()
则 PS PR ( r ) = ( r ) [ D ( S ) D ( R ) ]
又 PSR ( r ) = ( r ) D ( SR )
即 有对应关系:
PS PR
=
PSR
D ( S ) D ( R ) = D ( SR )
则 D(R)与PR同构, D(R) 可作为PR 的表示, 亦为R的表示. *
由(2)式知 Alm” = i j Uli + Aij’ Ujm
[ 提问: 为什么? ]
[ 答案: 1, U+ = U* ; 2, Aij’ = ( e i , A e j ) ]
即
A” = U-1A’ U
(5)
[ 提问: 为什么 U+ = U-1 ? ]
[ 答案: U为幺正矩阵 ]
配位化学讲义 第三章(2) 群表示理论基础
第三节群表示的基及群的表示一、基本概念1、基：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。
基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（p x，p y，p z）2、群的表示：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。
* 群的表示不是唯一的。
二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。
若对每个矩阵进行同样的相似变换：E´=X-1EXA´=X-1AXB´=X-1BX…………..则（E´，A´，B´……）也是群的一个表示。
证明（封闭性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX = X-1(AB)X = X-1CX = C´若每个矩阵A´，B´，C´, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘：A1´B1´=C1´A2´B2´=C2´A3´B3´=C3´………..因此各组矩阵E1´，A1´，B1´，C1´, …E2´，A2´，B2´，C2´, ……………………….本身都是一个群的表示。
因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。
因此我们称（E，A，B，C,…）为可约表示。
2、不可约表示若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。
不可约表示具有特殊的重要性。
三、广义正交定理1、向量的正交1）向量及其标积。
向量的定义：向量标积：AθBA·B = A·Bcosθ2）向量正交若A·B = 0，则称A与B正交。
第五讲：分子的对称性与群论基础 群表示与不可约表示
则可以得到C3V点群6个对称操作的矩阵表示如下 （2） ：
1 0 0 E 0 1 0 0 0 1
1 0 0 σV 0 1 0 0 0 1
C2 3 C3C3
σ V σ V C 3
σ V C2 σV 3
可分解为两个子方阵：
1 2 Ca 3 3 2 3 2 1 2
Cb 3 1
b C 矩阵的直和 ：C 3 Ca 3 3
10
群表示和不可约表示
2. 可约与不可约表示
2)、可约和不可约表示
由矩阵的乘法规则可知：方块化的矩阵的乘法为方块对方块的乘法。 每组小方块矩阵服从同样的乘法次序。一组子方块矩阵也构成群的一 个表示。” C3V点群的三维表示 ：
13
群表示和不可约表示
3. 不可约表示特征标表
群的重要性质被概括在各种表格中，其中最频繁使用的是不可约 表示的特征标表（已列于教材的后面）。
14
群表示和不可约表示
3. 不可约表示特征标表
C3V
E 1 1
C3 1 1
1 2 3 2 3 2 1 2
1 2 3 2
C32 1 1
3 2 1 2
V (XZ)
1 -1
V’
1 -1
1 2 3 2 3 2 1 2
V”
1 -1
1 3 2 2 3 1 2 2
1/ 2 3 2 0 C3 3 2 1 / 2 0 0 0 1
3 2 0 1 / 2 0 0 1
1 / 2 3 2 0 2 C3 3 2 1 / 2 0 0 0 1
群论课程教学大纲
群论课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；所属专业：理论物理课程性质：专业基础课学分：3（二）课程简介、目标与任务；课程简介：群论作为一种数学工具，已广泛应用于粒子物理、核物理、固体物理等物理分支。
群论课程主要介绍群的基本知识、有限期的基本表示理论、点群、李群和李代数的基本知识。
通过本课程的学习，使学生掌握群论的基本概念、基本性质和基本方法，理解对称性及其在物理学中的应用，为学生继续深造和从事科学研究工作打下必要的数学基础。
本课程是为本科高年级学生所开设的课程，总教学时数为54学时，3学分，开课学期为本科生第七学期。
目标与任务：让大学四年级理论物理专业的研究生掌握《群论》这一门数学工具的基础知识，为研究生阶段的课程(如《量子场论》、《高等量子力学》、《李群和李代数》等)打下坚实的数学基础。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程：线性代数、微积分后续相关课程：李群和李代数关系：《群论》课的基础主要为《线性代数》和《微积分》，《线性代数》的线性空间理论和矩阵理论为《群论》线性表示理论的基础，《微积分》为《群论》中微积分相关内容的基础知识。
《群论》课为后续课程《李群和李代数》的基础，《李群和李代数》是《群论》课的关于连续群的进一步深入，两者之间在内容上为承上启下的关系。
（四）教材与主要参考书。
教材：自编讲义主要参考书：1. 段一士教授《群论》讲义2. 韩其志、孙洪洲，《群论》，北京师范大学出版社，1987年3. 马中骐，《物理学中的群论》3. 约什，《物理学中的群论基础》［M］4. 怀邦，《典型群及其在物理中的应用》［M］5. 徐婉棠、喀兴林，《群论及其在固体物理学中的应用》6. W. Joshim, 《Elements of Group Theory for Physics》7. Hamermesh, 《Group Theory and its Application to Physical problems》二、课程内容与安排第一章群的基本知识1.1 群的定义1.2 子群和陪集1.3 共轭元素和类1.4 不变子群和商群1.5 同态和同构1.6 直积群1.7 变换群（一）教学方法：讲授学时分配：12学时（二）内容及基本要求主要内容：本章主要介绍群的基本知识，包括群的定义和举例，群的重排定理，一个群的子群与陪集、不变子群与商群的基本概念，以及相应的拉格朗日定理和商群相关定理，然后介绍两个群之间的关系，即同态关系和同构关系，以及相应的定理，最后介绍由两个群来构造一个比较大的群的基本方法，即直积群。
第1部分第3章 特征标理论(2)
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
群论第四章2
3、可约表示就类似假分数，可进一步约化，不可约是最简分数
4.5 群表示的重要定理
1、广义正交定理
i R mn R j R m'n '
R
h li lj
i j mm ' mn '
1
1、 i R mn 第i个不可约表示中，与操作R对应的矩阵第m行
和第n列的元素表为 i R mn 2、每逢包括虚数或复数时，等式左边的一个因子必须取复 共轭（用＊表示），包括复数时必须用1式
0 1
则其定义为：一个分子的全部对称操作形成一个群，若 将这些对称操作用变换矩阵表示，这些变换矩阵也形成
一个群，通常把这样的矩阵群叫作相应点群的表示
4.2 表示的基
点群的对称操作得有其作用的对象，代表变换的矩阵 得有其变换的对象。通常我们将选作群对称操作的作用
对象的基矢，称为形成该群的这一表示的基（basis），
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 001
v
100 010 00 1 100 010 00 1
v'
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 3 3 0 2 2 1 2
3、若方便起见，略去复共轭的部分，则可将1式写成：
R R R 0
i mn j mn R
i≠j 3
2
R R R 0
i mn i m 'n ' R
若m≠m’或n ≠n’；或同时m≠m’或n ≠n’
i R mn Ri R mn h
2
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第三节群表示的基及群的表示一、基本概念基（Base）：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。
基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（p x，p y，p z）群的表示（Representation）：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。
* 群的表示不是唯一的，一个群原则上有无限多种表示。
二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示（Reducible Representation）1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。
若对每个矩阵进行同样的相似变换：E´=X-1EXA´=X-1AXB´=X-1BX…………..则（E´，A´，B´……）也是群的一个表示。
证明（封闭性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX= X-1(AB)X = X-1CX = C´2）可约表示：若能找到矩阵X可把(A、B、C…)变换成(A´、B´、C´…), 而(A´、B´、C´…)分别为划分为方块因子的矩阵。
a13a23 a31a32a n1a1n a2na n2a3n a n3a11a12a21a22a33a nnb13b23b31b32b n1b1nb2nb n2b3nb n3b11b12b21b22b33b nnc13c23 c31c32c n1c1n c2nc n2c3n c n3c11c12c21c22c33c nn相似变换00若每个矩阵A´，B´，C ´, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘： A 1´B 1´=C 1´ A 2´B 2´=C 2´ A 3´B 3´=C 3´………..a13a23 a31a32a n1a1n a2na n2a3n a n3a11a12a21a22a33a nnb13b23b31b32b n1b1nb2nb n2b3nb n3b11b12b21b22b33b nnc13c23 c31c32c n1c1n c2nc n2c3n c n3c11c12c21c22c33c nn0 00 0…………………. ………..因此各组矩阵E1´，A1´，B1´，C1´, …E2´，A2´，B2´，C2´, ……………………….本身都是一个群的表示。
因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。
因此我们称（E，A，B，C, …）为可约表示。
2、不可约表示（Irreducible Representation）若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。
不可约表示具有特殊的重要性。
三、广义正交定理（great orthogonality theorem）1、向量的正交1）向量及其标积。
向量的定义：向量标积：ABA·B = A·Bcosθ2）向量正交若A·B = 0，则称A与B正交。
* p维空间中的一个向量可借助于它在该空间中的p个正交轴上的投影来定义。
以三维空间为例：xyzA 1AA 3A 2A 1A 2A 3A = A 1 + A 2 + A 3A = A 1i + A 2j + A 3kA 3 = A 3kA 1 = A 1i A 2 = A 2j j = 0i i = 1i j j = 1k k = 1k = 0i k = 0j O据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法，在p 维正交空间中：A ·B =(A 1+A 2+…+Ap )·(B 1+B 2+…+Bp )= A 1B 1+A 2B 2+ … +ApBp∑==p1i ii B A因此在p 维空间中两个向量的正交可表示为：∑==p1i iiBAA B = A Bcos θ = 0推论：一个向量的长度平方可写成A 2= A ·Acos0 = A ·A∑==p1i 2iA2、广义正交定理（great orthogonality theorem有关构成群的不可约表示矩阵元的基本定理）1）广义正交定理：h ~ 群的阶；l i ~ 该群第i个不可约表示的维数，也是该表示中矩阵的阶；R ~ 群中的某个操作；Γi(R)mn ~ 在第i个不可约表示中，与操作R 对应的矩阵中第m 行和第n 列的元素。
最后，每逢包括虚数和复数时，等式左端的一个因子取复共轭。
nn'mm'ij Rj i *n'm'j mn i δδδl l h ](R)][Γ(R)[Γ∑=δ0（s ≠t ） = 1（s=t ）stG.......a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33x11x12 x21x22y11y12y21y22z11z12z21z22R1R2R3ΓiΓj向量1的分量：a11, b11, c11, ……向量2的分量：a22, b22, c22, ……向量3的分量：x11, y11, z11, ……向量4的分量：x21, y21, z21, ……在一组不可约表示矩阵中，若将任意一组来自每个矩阵的对应矩阵元，看作是h 维空间中的某一向量的分量，则所有这些向量都相互正交，且这些向量长度的平方为(h/l i )。
∑=Ri *mn i mn i l h ](R)][Γ(R)[Γ2）广义正交定理的特殊形式广义正交定理可以简化为三个较简单的情况:A 、若i ≠j ，则∑=R*n'm'j mn i 0](R)][Γ(R)[Γ表明，选自不同不可约表示的向量是正交的。
B 、若i=j ，且m ≠m´，或n ≠n´，或同时m ≠m´，n ≠n´∑=R*n'm'i mni](R)][Γ(R)[Γ表明，选自同一不可约表示的不同向量也是正交的。
C 、若i=j ，m=m´，n=n´，则∑=Ri *mni mn i l h](R)][Γ(R)[Γ表明，任意一个这种向量的长度平方等于h/l i 。
四、可约表示的约化及表示的直积1、不等价不可约表示1）等价表示（equivalent representation）：在点群的表示中，如果有两个表示，它们关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A和B 是共轭的，即存在一个方阵X，使X-1AX = B 成立，则这两个表示是等价的。
Ga11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R1R2R3x11x13 x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33x12 x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32共轭共轭共轭.......等价Γ1Γ2* 一个表示中各矩阵的迹称为该表示的特征标（character）。
R 1R 2R 3.......x11x12x21x22y11y12y21z11z12z21χ2iχ3i矩阵群特征标点群y22z22χ1i两个等价表示关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A 和B 的特征标相同。
Ga11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3x11x13x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33x12x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32χ1χ2χ3等价........Γ1Γ22）不等价不可约表示：如果两个不可约表示，它们每个对称操作的两个特征标不完全相等时，则这两个不可约表示是不等价不可约表示。
Ga11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3χ1iχ2iχ3ix11x13x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33χ2jχ1jχ3jx12x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32.......不等价Γ1Γ2χ1i χ2iχ3i χ2jχ1jχ3j......至少有一对不相等2、群表示的几条重要性质1）群的不等价不可约表示的数目，等于群中类的数目。
2）群的不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶。
∑=++=i22212i h ...l l l3）每个群均有一个特征标均为1的一维不可约表示，叫“完全对称表示”。
4) 任一不可约表示的特征标的平方和等于群的阶。
∑=R2ih (R)][χG.......a11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3χ1χ2χ3Γ15）以两个不等价不可约表示的特征标作为分量的向量是正交的。
∑≠=Rji j)(i 0(R)(R)χχG.......a11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33x11x12x21x22y11y12y21y22z11z12z21z22R 1R 2R 3χ2jχ1jχ1iχ2iχ3iΓiΓjχ3j6）在一个给定表示中，所有属于同一类操作矩阵的特征标相等。
R1R2R3 Ga11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13 b21b22b23 b31b32b33χ1χ2c11c13c31c33d11d31χ3c12c32d21 c21c22c23Γ13、不可约表示特征标的求法。
例：C3V群{E，C3，C32，σv, σv´, σv´´}, 分为三类{E，2C3，3σv}由性质1）：有三个不等价不可约表示。