成人高考数学PPT课件
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成考大专数学课件 不等式2
ac bd .
3 （2） 1 5 (3)当a b 1时,比较a b与a b 2的大小。
不等式的基本性质
不等式的基本性质 性质 1 性质 2 性质 3 如果 a b ，且 b c ，那么 a c ． 如果 a b ，那么 a c b c ． 如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ； 如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ．
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件；
（D）甲是乙的充分必要条件.
x 1,乙：x 2 3x 2 ，则（ 0 例、设甲：
B ）
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件；
（B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
例 1 比较
2 5 与 的大小． 3 8
2 5 16 15 1 2 5 解 0, 3 8 24 24 3 8
例2
当 a b 0 时，比较 a 2b 与 ab2 的大小．
解 a b 0, ab 0, a b 0
a 2b ab2 ab(a b) 0 故a 2b ab2 0, a 2b ab2
x x2 例：求下列不等式的解： (1) 1; 4 3
5 x 2( x 1) (2) 4 x 2 5( x 2)
(1)解：去分母，得
3x 4( x 2) 12
整理，得 x 4
x 4
2 x 得 3 x 12
5 x 2 x 2 2）解：分别整理，得 4 x 2 5 x 10
运用知识 强化练习
3 （2） 1 5 (3)当a b 1时,比较a b与a b 2的大小。
不等式的基本性质
不等式的基本性质 性质 1 性质 2 性质 3 如果 a b ，且 b c ，那么 a c ． 如果 a b ，那么 a c b c ． 如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ； 如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ．
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件；
（D）甲是乙的充分必要条件.
x 1,乙：x 2 3x 2 ，则（ 0 例、设甲：
B ）
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件；
（B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
例 1 比较
2 5 与 的大小． 3 8
2 5 16 15 1 2 5 解 0, 3 8 24 24 3 8
例2
当 a b 0 时，比较 a 2b 与 ab2 的大小．
解 a b 0, ab 0, a b 0
a 2b ab2 ab(a b) 0 故a 2b ab2 0, a 2b ab2
x x2 例：求下列不等式的解： (1) 1; 4 3
5 x 2( x 1) (2) 4 x 2 5( x 2)
(1)解：去分母，得
3x 4( x 2) 12
整理，得 x 4
x 4
2 x 得 3 x 12
5 x 2 x 2 2）解：分别整理，得 4 x 2 5 x 10
运用知识 强化练习
高升专 数学课件
2
a 2 2ab b 2
(a b)(a ab b ) a b
2 2 3
3
第一章
基础知识
，
(3)因式分解(整式乘法的逆运算) 因式分解的含义 将一个多项式转化成单项式或几个整式相乘的 形式，叫因式分解。如 a 2 b 2 (a b)( a b) 因式分解的原则: 1.从加减形式化简为乘除形式； 2.结果是否使最简形式（不能再约分）。 因式分解的方法: 主要有公式法、十字相乘法、分组分解法等。
，
当n>3时，使用分组分解法，分组后，再按 照n=2、n=3的方法继续分解。 第三步：检查因式分解是否完成，结果是否是最简 形式。 注意：并不是所有的多项式都能够在实数范围内分解。
高升专《 数学》 第一讲 （上）
第一章 基础知识
讲师：张国强
第一章 基础知识
例1-1：对下列式子迚行因式分解：
①
， ，
，
，
第一章
基础知识
，
因式分解的步骤 第一步：提取公因式，将共同的部分提取出来。 第二步：按照项数的多少使用不同的方法； 当n=2时，使用公式法为主，主要运用平方差、 立方差立方和公式； 当n=3时，使用完全平方公式与十字相乘法为主。 如果这两种方法无法使用，在求助于求根公式法， 其结果带有根号。
，
第一章
基础知识
（2）整式乘法：用乘法法则和乘法公式进行运算。 乘法法则：(a b)( m n)
a ( m n) b( m n) am an bm bn
平方差公式： (a b)( a b) a 2
b
2
( 完全平方公式： a b)
立方和（差）公式：
成考大专数学课件第讲函数的概念及表示法
3、解析法 用等式来表示两个变量之间函数关系的方法。
高教社
创设情景 兴趣导入
观察下面的三个例子，分别用什么样的形式呈现函数？
1. 某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表：
日 期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 最高气温 29 29 28 30 25 28 29 28 29 30
解： f (0) 3 0 2 2, f (1) 3 1 2 1, f (a) 3a 2
高教社
练习
1 .已知 f(x ) x x 函 , x 1 ,x [0 ,4 0 数 ] ， f(2 )求 f,(0 )f,( 3 );
2 .已知 f(x ) 2 2 函 ,x x 1 ,[0 x , 3 ] 数 ( 2 ,0 ) ， f(3 )求 f,(0 )f,( 1 ) 。
常用的函数表示方法有列表法、图像法和解析法三种.
高教社
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数． 解 （1）依照售价，分别计算出购买1-6支铅笔所需款数，
列成下面的表格，即为函数的列表法表示．
高教社
动 脑思考 探索新 知
yf(x), xD
函数 对应法则
自变量
定义域
函数两 个要素 函数值[当x=x0时，函数y=f(x)所对应的值y0=f(x0)]
值域[函数值的集合{y︱y=f(x),x∈D}]
高教社
函数值的求法：
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
表示函数的方法是： 列表法
.
这种表示法的优点是： 不需要计算，直接看出与自变. 量的值 相对应的函数值
高教社
创设情景 兴趣导入
观察下面的三个例子，分别用什么样的形式呈现函数？
1. 某城市2008年8月16日至8月25日的日最高气温统计表：
日 期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 最高气温 29 29 28 30 25 28 29 28 29 30
解： f (0) 3 0 2 2, f (1) 3 1 2 1, f (a) 3a 2
高教社
练习
1 .已知 f(x ) x x 函 , x 1 ,x [0 ,4 0 数 ] ， f(2 )求 f,(0 )f,( 3 );
2 .已知 f(x ) 2 2 函 ,x x 1 ,[0 x , 3 ] 数 ( 2 ,0 ) ， f(3 )求 f,(0 )f,( 1 ) 。
常用的函数表示方法有列表法、图像法和解析法三种.
高教社
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数． 解 （1）依照售价，分别计算出购买1-6支铅笔所需款数，
列成下面的表格，即为函数的列表法表示．
高教社
动 脑思考 探索新 知
yf(x), xD
函数 对应法则
自变量
定义域
函数两 个要素 函数值[当x=x0时，函数y=f(x)所对应的值y0=f(x0)]
值域[函数值的集合{y︱y=f(x),x∈D}]
高教社
函数值的求法：
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
表示函数的方法是： 列表法
.
这种表示法的优点是： 不需要计算，直接看出与自变. 量的值 相对应的函数值
成人高考数学—导数PPT课件
f (2) 13, f (1) 4, f (0) 5, f (2) 13, f (1) 4
比较得知， y x4 2x2 5在[2,2]上的最大值为13，最小值为4
24
例：设函数f (x) 4x3 ax 2, y f (x)在点P(0,2)处的切线方程的 斜率为12。（1）求a的值； （2）求函数f (x)在区间[3,2]的最大值和最小值。10年考题第25题13分
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
1
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
应用四：求函数的最大值与最小值：
（1）观察题目是否给出定义域 [a,b]
（2）求出定义域区间内f(x)的驻点. （3）把驻点值和区间端点值f(a),f(b)进行比较.
（4）最大的就是f(x)在定义域[a ,b ] 上的最大值
，最小的就是最小值.
21
已知f (x) x4 2x2 5,求f (x)在区间[2,2]上的最大值与最小值。
创建表格
(,3) 3 (3,1) 1 (1,)
f (x)
0
0
f (x)
增
28 减 - 4 增
由上表可得：区间(,3),(1,)为增区间 区间(3,1)为减区间，极大值为28，极小值为- 4 18
练习：求函数 f (x) 2x3 9x2 24 x 7的极值； 解：原函数定义域为（ ,)
f (x) 6x2 18 x 24 6(x 1)( x 4) 0
比较得知， y x4 2x2 5在[2,2]上的最大值为13，最小值为4
24
例：设函数f (x) 4x3 ax 2, y f (x)在点P(0,2)处的切线方程的 斜率为12。（1）求a的值； （2）求函数f (x)在区间[3,2]的最大值和最小值。10年考题第25题13分
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
1
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
应用四：求函数的最大值与最小值：
（1）观察题目是否给出定义域 [a,b]
（2）求出定义域区间内f(x)的驻点. （3）把驻点值和区间端点值f(a),f(b)进行比较.
（4）最大的就是f(x)在定义域[a ,b ] 上的最大值
，最小的就是最小值.
21
已知f (x) x4 2x2 5,求f (x)在区间[2,2]上的最大值与最小值。
创建表格
(,3) 3 (3,1) 1 (1,)
f (x)
0
0
f (x)
增
28 减 - 4 增
由上表可得：区间(,3),(1,)为增区间 区间(3,1)为减区间，极大值为28，极小值为- 4 18
练习：求函数 f (x) 2x3 9x2 24 x 7的极值； 解：原函数定义域为（ ,)
f (x) 6x2 18 x 24 6(x 1)( x 4) 0
成人高考-专升本课件-导数的应用PPT课件
在讨论函数的单调性时，一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 , 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 , 在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.
24
例1 解
讨论 y 2x 8 的单调性. x
定义域: (, 0) (0, )
y
2
8 x2
0
x1 x ln x x 1 0
lim ln x 1 1
x1 ln x 11 2
16
例11
求
lim
x
2
arctan x
1
ln x.
00
解 运用取对数法 .
lim
x
2
arctan x
1 ln x
lim exp{ 1 } ln( arctan x) 0
x
ln x 2
{ } ln( arctan x)
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0) 为 f (x) 的极小值 , x0为函数的极小点.
29
三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法
其中 , 0 表示无穷小量; 表示无穷大量; 1表示以1为极限的变量 .
2
0
取 对 数 法 1 00 0
倒数法
0
0
只需讨论 这两种极限
3
罗必达法则
设在某一极限过程中
(1) lim f (x) 0 , lim g(x) 0 ,
0
24
例1 解
讨论 y 2x 8 的单调性. x
定义域: (, 0) (0, )
y
2
8 x2
0
x1 x ln x x 1 0
lim ln x 1 1
x1 ln x 11 2
16
例11
求
lim
x
2
arctan x
1
ln x.
00
解 运用取对数法 .
lim
x
2
arctan x
1 ln x
lim exp{ 1 } ln( arctan x) 0
x
ln x 2
{ } ln( arctan x)
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0) 为 f (x) 的极小值 , x0为函数的极小点.
29
三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法
其中 , 0 表示无穷小量; 表示无穷大量; 1表示以1为极限的变量 .
2
0
取 对 数 法 1 00 0
倒数法
0
0
只需讨论 这两种极限
3
罗必达法则
设在某一极限过程中
(1) lim f (x) 0 , lim g(x) 0 ,
0
成考数学课件第一部分代数
成考数学课件第一部分代数一、代数基础1.代数的概念代数是数学的一个重要分支，研究运算规则和方程式的一种数学方法。
代数通过引入未知数、运算符号和方程式等，研究数与数之间的关系，并通过运算和推理得到未知数的值。
2.代数中的符号在代数中，我们使用符号来表示数和运算。
常见的代数符号有加法符号(+)、减法符号(-)、乘法符号(*)和除法符号(/)等。
此外，还有用于表示未知数的字母符号，例如x、y、z等。
3.代数中的表达式代数中的表达式是由数、运算符号和字母符号组成的数学式子。
常见的代数表达式包括一元一次方程式、多项式等。
代数表达式可用于计算和推理，通过运用代数运算规则，可以将复杂的问题转化为简单的计算过程。
二、一元一次方程1.方程的概念一元一次方程是代数中的基本概念之一。
方程是等式的一种特殊形式，它包含了未知数和已知数，并且通过运算符号将它们连接起来。
方程的解就是使得等式成立的未知数的值。
2.解一元一次方程的方法解一元一次方程的方法有多种，包括反运算法、消元法和代入法等。
无论使用哪种方法，核心都是将方程转化为等价的方程，最终求得未知数的值。
3.一元一次方程的应用一元一次方程常用于实际问题的求解。
例如，通过解一元一次方程可以求解线性运动的速度、温度的计算等。
掌握一元一次方程的解题方法，可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
三、一元二次方程1.方程的定义一元二次方程是代数中的重要概念之一。
它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，且a≠0。
一元二次方程的解是使得等式成立的未知数的值。
2.求解一元二次方程的方法求解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法和求根公式法等。
这些方法通过代数运算和推理，将一元二次方程转化为等价的方程，最终求得未知数的解。
3.一元二次方程的应用一元二次方程在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，通过解一元二次方程可以求解抛物线的顶点坐标、物体自由落体的时间等。
成人高考—三角函数课件
sin cos ,
2
cos sin .
2
cos sin .
2
－3π
－2π －π
2024/9/13
y
1
O
1
－2π －π
y
1
o
1
y cos x
π
y sin x， x R
π
2π
4π
3π
xR
2π
）
A、最小正周期为 的奇函数
B、最小正周期为 的偶函数
C、最小正周期为 2 的奇函数
D、最小正周期为 2 的偶函数
2024/9/13
18
探究正弦函数的单调性
y
1
-3
5
2
3
2
-2
-
2
o
2
3
2
2
5
2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[
减区间为 [
2024/9/13
最大值1,当且仅当x=_____________时取得
2
最小值-1;
2024/9/13
21
7
2
4
余弦函数的最值
y
y=cosx (xR)
-3
5
2
-2
3
2
1
-
2
o
2
3
2
2
5
2
x
3
7
2
4
-1
2
cos sin .
2
cos sin .
2
－3π
－2π －π
2024/9/13
y
1
O
1
－2π －π
y
1
o
1
y cos x
π
y sin x， x R
π
2π
4π
3π
xR
2π
）
A、最小正周期为 的奇函数
B、最小正周期为 的偶函数
C、最小正周期为 2 的奇函数
D、最小正周期为 2 的偶函数
2024/9/13
18
探究正弦函数的单调性
y
1
-3
5
2
3
2
-2
-
2
o
2
3
2
2
5
2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[
减区间为 [
2024/9/13
最大值1,当且仅当x=_____________时取得
2
最小值-1;
2024/9/13
21
7
2
4
余弦函数的最值
y
y=cosx (xR)
-3
5
2
-2
3
2
1
-
2
o
2
3
2
2
5
2
x
3
7
2
4
-1
成人高考文科数学第五章-数列PPT课件
即 S 1 2 22 23 263， ①
2S 2 22 23 263 264 ②
②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1，如何化简？
2024/1/6
36
推导公式
等比数列前n项求和公式
等差中项
在 3 与 7 之间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列． 解 因为 3，A，7 成等差数列， 所以A－3 ＝7－A，
2 A ＝3 ＋7． 解得 A＝5．
一般地，如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫
做
a + b 或a b 2A
2
a与 b 的等差中项．A＝
16
思考：
引入：等差数列的等差中项，我们有
已知： 等比数列an, a1, q, n.
求 Sn.
Sn. a1 a2 a3 a4 ... an
a1 a1q a1q2 a1q3 ... a1qn1
作 减
qSn. a1q a1q2 a1q3 ... a1qn1 a1qn 法
(1 q)Sn. a1 a1qn
a1(1 qn ) (q 1)
a与 b 的等比中项．且 G2 ab 或 G ab
33
课堂练习
三个数成等比数列 ，它们的和等于14，积等于64， 求这三个数。
解 设这三个数为 a1, a2 , a3, 得 a1 a2 a3 14
a1a2a3 64
由等比数列的中项得 a22 a1a3, 代入得 a23 64 所以 a2 4
（1） 由已知可得 a1 d , 所以
S20
na1
n(n 1)d 2
20a1
2S 2 22 23 263 264 ②
②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1，如何化简？
2024/1/6
36
推导公式
等比数列前n项求和公式
等差中项
在 3 与 7 之间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列． 解 因为 3，A，7 成等差数列， 所以A－3 ＝7－A，
2 A ＝3 ＋7． 解得 A＝5．
一般地，如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫
做
a + b 或a b 2A
2
a与 b 的等差中项．A＝
16
思考：
引入：等差数列的等差中项，我们有
已知： 等比数列an, a1, q, n.
求 Sn.
Sn. a1 a2 a3 a4 ... an
a1 a1q a1q2 a1q3 ... a1qn1
作 减
qSn. a1q a1q2 a1q3 ... a1qn1 a1qn 法
(1 q)Sn. a1 a1qn
a1(1 qn ) (q 1)
a与 b 的等比中项．且 G2 ab 或 G ab
33
课堂练习
三个数成等比数列 ，它们的和等于14，积等于64， 求这三个数。
解 设这三个数为 a1, a2 , a3, 得 a1 a2 a3 14
a1a2a3 64
由等比数列的中项得 a22 a1a3, 代入得 a23 64 所以 a2 4
（1） 由已知可得 a1 d , 所以
S20
na1
n(n 1)d 2
20a1