5673高一数学下册期末教学质量检测试题

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2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则

2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。

2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷+答案解析

2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为()A. B.1 C. D.i2.若D为的边BC的中点，则()A. B. C. D.3.已知a，为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确．．．的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩，则下列说法不正确的是()A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差5.正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是()A.6cmB.8cmC.D.6.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，，则塔高AB为()A. B. C. D.7.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为A. B. C.3 D.8.如图，已知在中，，D是BC边上一点，且，将沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是()A.z的模等于13B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的共轭复数为D.若是纯虚数，则10.中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是()A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则b取值范围是D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为11.如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有()A.动点F轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高一数学下学期期末教学质量检查试题含解析试题

2021-2021学年高一数学下学期期末教学质量检查试题〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题1.的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，应选答案A。

2.某高级中学一共有学生1500人，各年级学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，那么在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为〔〕高一高二高三人数600 500 400A. 12，18，15B. 18，12，15C. 18，15，12D. 15，15，15【答案】C【解析】由分层抽样的思想方法可得在三个年级分别抽得的人数是，应选答案C。

3.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数〞，就是如今人们熟悉的“进位制〞，下列图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是〔〕A. 36B. 56C. 91D. 336 【答案】B【解析】试题分析：由题意满六进一，可得该图示为六进制数, 化为十进制数为,应选B.考点：1、阅读才能及建模才能；2、进位制的应用.4.一个人投篮时连续投两次，那么事件“至多投中一次〞的互斥事件是〔〕A. 只有一次投中B. 两次都不中C. 两次都投中D. 至少投中一次【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知“至多投中一次〞的反面是“两次都投中〞，应选答案C。

5.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间是为40秒，绿灯持续时间是为45秒，假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等街15秒才出现绿灯的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由几何概型的计算公式可得所求概率是，应选答案B。

中，，，，那么等于〔〕A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为，所以故答案选考点：平面向量的加减运算法那么．7.某程序框图如图，该程序运行后输出的值是〔〕A. 8B. 9C. 10D. 11 【答案】B【解析】由题设中提供的算法流程图可知程序执行的是求和运算：由于的周期是，所以，应选答案B。

贵州省贵阳市2023-2024学年高一下学期教学质量监测卷(三)数学含答案

贵阳2023级高一年级教学质量监测卷（三）数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i12i1i a +=-++（R a ∈，i 为虚数单位），则a 的值为（）A.1B.3- C.5D.22.设2log 3a =，0.3log 2b =，0.30.3c =，则三者的大小关系为（）A.b<c<aB.c<a<bC.a b c<< D.b a c<<3.若a ∈R ，则“2a =”是复数“24(2)i z a a =-++”为纯虚数的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：①若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ；②若,,,m n m n αββ⊂∥∥，则αβ∥；③若m n ，是两条异面直线，且,,,m m n n αβαβ∥∥∥∥，则αβ∥.其中正确结论的序号为A.①②B.①③C.②③D.③5.对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.()1,1- C.(],1-∞ D.(),1-∞6.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)cos cos c A a C -=，则cos A =（）A.12B.2C.33D.7.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A.60.08斛B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛8.已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅的最大值为（）A.13B.5- C.5- D.10+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是（）A.图象C 关于直线12x π=对称 B.图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 D.6y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数10.已知函数()241f x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递增B.函数()y f x =在[]2,0-上是单调递增C.当0x =时，函数()y f x =有最大值D.当2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值11.在给出的下列命题中，正确的是（）A.设,,,O A B C 是同一平面上的四个点，若()()1OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈R，则点,,A B C 必共线B.若向量a ，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(),c a b λμμλ∈=+R ，且表示方法是唯一的C.若45A =︒，2a =，b =，则ABC 只有一解D.已知平面向量OA ，OB ，OC 满足OA OB OA OC ⋅=⋅ ，AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，则ABC 为等边三角形12.()y f x =定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，()21f =且()()()242f x g x g x =--，则下列说法正确的是（）A.()y f x =的图象关于（1，0）对称B.()y f x =的图象关于2x =对称C.4为()y f x =的周期D.()221k f k ==∑第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()7log f x a x =+在区间()1,7上有零点，则实数a 的取值范围______．14.已知πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.15.已知ABC 的顶点都是球O 的球面上的点，2AB =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，若三棱锥O ABC -的体积为63，则球O 的表面积为___________.16.已知函数()()π2sin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，且()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是______.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量(2,1)a = ，(1,2)b = ，(3,)c λ=．（1）若c a ∥，求||c 的值；（2）若()ka b a +⊥，求k 的值．18.在△ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos 2sin b C c B b A +=，且sin sin A B ≥．（1）求角B 的值；（2）若cos sin 0C B +=，且ABC 的面积为3BC 边上的中线AM 的长．19.党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()81737W x x x=+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本）（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？20.已知函数()2sin cos 32f x x x x =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f A =且3a =，求b c +的取值范围.21.如图所示正四棱锥S -ABCD ，4SA SB SC SD ====，AB =，P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，求：（1）正四棱锥S -ABCD 的表面积；（2）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC .若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.22.对于在区间[],m n 上有意义的函数()f x ，若满足对任意的1x ，[]2,x m n ∈，有()()121f x f x -≤恒成立，则称()f x 在[],m n 上是“友好”的，否则就称()f x 在[],m n 上是“不友好”的.现有函数()31log axf x x+=.（1）当1a =时，判断函数()f x 在[]1,2上是否“友好”；（2）若函数()f x 在区间[](),112m m m +≤≤上是“友好”的，求实数a 的取值范围.贵阳2023级高一年级教学质量监测卷（三）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i12i1i a +=-++（R a ∈，i 为虚数单位），则a 的值为（）A.1B.3- C.5D.2【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简即可.【详解】因为i12i 1ia +=-++，所以()()212i 1i i 1i 2i 2i i 3a =-++-=--++-=-.故选：B2.设2log 3a =，0.3log 2b =，0.30.3c =，则三者的大小关系为（）A.b<c<aB.c<a<bC.a b c<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】本题可借助于指数函数和对数函数的单调性以及中间量比较大小.【详解】22log 3log 21a == ＞，0.30.3log log 10b ==2＜，0.300.30.31c ==0＜＜，∴a c b ＞＞.故选：A.3.若a ∈R ，则“2a =”是复数“24(2)i z a a =-++”为纯虚数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.【详解】若2a =，则4i z =为纯虚数；若24(2)i z a a =-++为纯虚数，a ∈R ，则有24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =.所以，当a ∈R 时，“2a =”是复数“24(2)i z a a =-++”为纯虚数的充要条件.故选：C4.已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：①若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ；②若,,,m n m n αββ⊂∥∥，则αβ∥；③若m n ，是两条异面直线，且,,,m m n n αβαβ∥∥∥∥，则αβ∥.其中正确结论的序号为A.①② B.①③C.②③D.③【答案】D 【解析】【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，若αβ∥，m n αβ⊂⊂，，则m 与n 平行或异面，故①错误；若m n m n αββ⊂，，∥，∥，则α与β可能平行也可能相交，故②错误；若m ，n 是两条异面直线，且m m n n αβαβ∥，∥，∥，∥，则αβ∥，故③正确.故正确的结论只有③，故选D.【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.()1,1- C.(],1-∞ D.(),1-∞【答案】D 【解析】【分析】参变分离可得12m x x<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，利用基本不等式求出1x x +的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，所以对任意的()0,x ∈+∞，2112x m x x x+<=+恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以22m <，解得1m <，即m 的取值范围为(),1-∞.故选：D6.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)cos cos c A a C -=，则cos A =（）A.12B.2C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理得到()cos sin sin B A A C B =+=，结合两角和的正弦公式即可得到答案.【详解】)cos cos c A a C -=，则)sin cos sin cos B C A A C -=，()cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以cos 3A =，故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A.60.08斛B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛【答案】C 【解析】【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为r 尺，则底面周长为2π30l r ==尺，解得15πr =尺，又高为4h =尺，所以圆锥的体积为221115900ππ410033π3πV r h ⎛⎫==⨯⨯⨯=≈ ⎪⎝⎭（立方尺）；又10061.731.62≈（斛），所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛）．故选：C ．8.已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A.13B.5-C.5-D.10+【答案】B 【解析】【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC =，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =--，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭2t t =即t =时等号成立．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是（）A.图象C 关于直线12x π=对称 B.图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数 D.6y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为33sin 31262f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故图象C 不关于直线12x π=对称，A 错；对于B 选项，因为23sin 03f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2232x πππ-<-<，所以，函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数，C 对；对于D 选项，3sin 23sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，D 错.故选：BC.10.已知函数()241f x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递增B.函数()y f x =在[]2,0-上是单调递增C.当0x =时，函数()y f x =有最大值D.当2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值【答案】BD 【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．【详解】()22241,04141,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩，作出函数()f x的图象如下：由图象可知函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递减，在[]2,0-上是单调递增，故A 错误，B 正确；由图象可知()f x 在2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值，没有最大值，故C 错误，D 正确；故选：BD ．11.在给出的下列命题中，正确的是（）A.设,,,O A B C 是同一平面上的四个点，若()()1OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈R，则点,,A B C 必共线B.若向量a ，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(),c a b λμμλ∈=+R ，且表示方法是唯一的C.若45A =︒，2a =，b =，则ABC 只有一解D.已知平面向量OA ，OB ，OC 满足OA OB OA OC ⋅=⋅ ，AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，则ABC 为等边三角形【答案】AC【解析】【分析】对A ，化简得出CA mCB =，根据向量共线定理可判断；对B ，根据平面向量基本定理可判断；对C ，利用正弦定理求出B 即可判断，对D ，首先可得OA CB ⊥，根据AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭可得OA 为BAC ∠的角平分线即可判断.【详解】对于A ，若(1)OA m OB m OC =⋅+-⋅，则()OA OC m OB OC -=- ，即CA mCB = ，则//CA CB，且有公共点C ，故,,A B C 共线，故A 正确；对于B ，根据平面向量基本定理可得若,a b共线，则不满足题意，故B 错误；对于C ，由正弦定理sin sin a bA B=sin 2B =，则sin 1B =，又0135B ︒︒<<，所以90B ︒=，则45C ︒=，故ABC 只有一解，故C 正确；对于D ，OA OB OA OC ⋅=⋅ ，()0OA OB OC ∴⋅-= ，即0OA CB ⋅= ，所以OA CB ⊥，因为AB AB 表示与AB 同向的单位向量，AC AC表示与AC同向的单位向量，则AB AC AB AC λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭ 为BAC ∠的角平分线上的向量，又AB AC AO AB ACλ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，所以OA 为BAC ∠的角平分线，所以ABC 为等腰三角形，故D 错误.故选：AC12.()y f x =定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，()21f =且()()()242f x g x g x =--，则下列说法正确的是（）A.()y f x =的图象关于（1，0）对称B.()y f x =的图象关于2x =对称C.4为()y f x =的周期D.()221k f k ==∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.【详解】因为()2y f x =+为偶函数，则()()22f x f x +=-+，可知函数()y f x =关于2x =对称，()()()242f x g x g x =--，把x 换成2x -可得()()()2422f x g x g x -=--，两式相加可得()()20f x f x +-=，()y f x =关于()1,0对称，又()f x 关于2x =轴对称，则可得()()()22f x f x f x =--=-+，()()()24f x f x f x =-+=+，可知4为()f x 的周期，所以ABC 都正确．令1x =，()()()1220f g g =-=，()()310f f ==，()()021f f =-=-，()()()()()()22151234121i f f f f f f =⎡⎤=+++++=⎣⎦∑，D 选项错误.故选:ABC ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()7log f x a x =+在区间()1,7上有零点，则实数a 的取值范围______．【答案】()1,0-【解析】【分析】依据函数零点存在定理列不等式组解之即可求得实数a 的取值范围.【详解】函数()f x 在区间()1,7上为增函数，若函数()f x 在区间()1,7上有零点，则()10f <，()70f >，即77log 10log 70a a +<⎧⎨+>⎩，解之得10a -<<故答案为：()1,0-14.已知πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】【分析】根据()ππtan tan 66βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的正切公式计算可得.【详解】因为πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()tan 3αβ+=-，所以()()()πtan tan ππ6tan tan π661tan tan 6αβαβαβααβα⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--=⎪ ⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭()321132--==+-⨯.故答案为：115.已知ABC 的顶点都是球O 的球面上的点，2AB =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，若三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为___________.【答案】36π【解析】【分析】取AB 的中点M ，则M 为ABC 外接圆的圆心，得到OM ⊥平面ABC ，结合三棱锥的体积求得OM =O 的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】因为90ACB ∠=︒，取AB 的中点M ，则M 为ABC 外接圆的圆心，所以OM ⊥平面ABC ，因为2AB =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，所以1,BC AC ==，所以1122ABCS =⨯=，又由三棱锥O ABC -的体积为3，所以1323OM ⨯=，解得OM =，所以球O的半径为3==，故球O 的表面积24336S ππ=⨯=.故答案为：36π.16.已知函数()()π2sin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，且()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是______.【答案】47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由(0)1f =，推出π6ϕ=，从而知()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由[]0,πx ∈，求得π6x ω+的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．【详解】由图知(0)1f =，所以1sin 2ϕ=，因为2π0,ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6ϕ=，即()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,πx ∈，知,πππ66π6x ωω⎡⎤⎢⎥+∈+⎣⎦，因为()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，所以π3π5ππ,622ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得47,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故答案为：47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭．四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量(2,1)a = ，(1,2)b = ，(3,)c λ=．（1）若c a ∥，求||c 的值；（2）若()ka b a +⊥，求k 的值．【答案】（1）35||2c =（2）45k =-【解析】【分析】（1）由向量平行得出λ，进而由模长公式的得出||c 的值；（2）根据向量垂直的坐标表示得出k 的值．【小问1详解】由c a ∥ 得23λ=，∴32λ=，∴35||2c == 【小问2详解】由已知(2,1)(1,2)(21,2)ka b k k k +=+=++，又()ka b a +⊥，∴(21)21(2)0k k +⨯+⨯+=，解得45k =-18.在△ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos 2sin b C c B b A +=，且sin sin A B ≥．（1）求角B 的值；（2）若cos sin 0C B +=，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长．【答案】（1）π6（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得1sin 2B =，判断角的范围，确定答案;（2）由条件可推得b a =，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案.【小问1详解】因为cos cos 2sin b C c B b A+=由正弦定理得()sin cos sin cos 2sin sin sin sin B C C B B A B C A +==+=所以1sin 2B =，π6B =或5π6又因为sin sin A B ≥，则π5π,66A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6B =故答案为：π6B =【小问2详解】由（1）知π6B =，又cos sin 0C B +=，所以12πcos ,23C C =-=，则ππ3A B C =--=，所以b a =.又2112πsin sin 223ABC S ba C a ===△，所以4a =，在ACM 中，122CM a ==，由余弦定理得2222π2cos 1648283AM AC CM AC CM =+-⋅=++=，所以AM =故答案为：19.党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()81737W x x x=+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本）（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）()2153,0628134,6x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩（2）年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．【解析】【分析】（1）根据已知条件及年利润=年销售收入-固定成本-变动成本即可求解；（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．【小问1详解】由题可知，()()63L x x W x =--，所以()221163,0653,0622818134,663737,6x x x x x x x L x x x x x x x x ⎧⎛⎫⎧--+<<-+-<< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪==⎨⎨⎛⎫⎪⎪--+≥--+-≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩；【小问2详解】当06x <<时，()()221119535222L x x x x =-+-=--+，由二次函数的性质知，对称轴为5x =，开口向下，所以当5x =时，()L x 取得最大值为()21191955222--+=；当6x ≥时，()81343416L x x x =--+≤-=，当且仅当81x x =，即9x =时，等号成立，因为19162>，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f A =且3a =，求b c +的取值范围.【答案】（Ⅰ）最小正周期为π，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（Ⅱ）(⎤⎦.【解析】【分析】（Ⅰ）化简函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（1）及()0f A =，求得3A π=，根据正弦定理得到b B =，c C =，得到sin )6sin 6b c B C B π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，结合62B ππ<<，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数()2sin cos 2sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，令222,232kx x k k Z ππππ-≤++∈≤，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（Ⅱ）由（1）可得()2sin 203f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3A π=，由正弦定理可知sin sin sin 32a b c A B C ====，所以b B =，c C =，由3A π=及ABC 为锐角三角形022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，则]sin )sin sin()b c B C B A B +=+=++13sin sin 6sin2266B B B B B ππ⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.因为62B ππ<<，可得2363B πππ<+<，所以sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(6sin 6b c B π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭.21.如图所示正四棱锥S -ABCD ，4SA SB SC SD ====，AB =，P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，求：（1）正四棱锥S -ABCD 的表面积；（2）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC .若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）8+；（2）存在，2SEEC=.【解析】【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S -ABCD 的表面积；（2）取SD 中点为Q ，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE ，由线面平行的判定可得//BQ 平面PAC ，根据等比例性质有//QE PC ，再根据线面平行的判定得//QE 平面PAC ，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性.【小问1详解】正四棱锥S -ABCD 中4SA SB SC SD ====，AB =，则侧面的高h =，所以正四棱锥S -ABCD 的表面积1482S =⨯=+.【小问2详解】在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SEEC=，理由如下：取SD 中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE .在BDQ △中有//BQ PO ，PO ⊂平面PAC ，⊄BQ 平面PAC ，所以//BQ 平面PAC ，由2SE SQ EC QP==，则//QE PC ，PC ⊂平面PAC ，QE ⊄平面PAC ，所以//QE 平面PAC ，而BQ QE Q = ，故面//BEQ 面PAC ，又BE ⊂面BEQ ，则//BE 平面PAC ，此时2SE EC=.22.对于在区间[],m n 上有意义的函数()f x ，若满足对任意的1x ，[]2,x m n ∈，有()()121f x f x -≤恒成立，则称()f x 在[],m n 上是“友好”的，否则就称()f x 在[],m n 上是“不友好”的.现有函数()31log ax f x x+=.（1）当1a =时，判断函数()f x 在[]1,2上是否“友好”；（2）若函数()f x 在区间[](),112m m m +≤≤上是“友好”的，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在[]1,2上“友好”（2）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断；（2）根据单调性求出函数的最值，即可得到3311log log 31a a m m ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，参变分离得到212(1)m a m m -≥-+，换元，利用函数的单调性求出212(1)m m m --+的最大值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】当1a =时，31()log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为11y x=+在[1,2]上单调递减，3log y x =在[1,2]上单调递增，所以()f x 在[1,2]上单调递减，所以()()3max 1log 2f x f ==，()()3min 32log 2f x f ==，所以max min 33334()()log 2log log 123f x f x -=-=<，即[]12,1,2x x ∀∈，有()()121f x f x -≤，所以当1a =时，函数()f x 在[1,2]上是“友好”的.【小问2详解】依题意可得()3311log log ax f x a x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在[,1]m m +上单调递减，则max 31()()log f x f m a m ⎛⎫==+⎪⎝⎭，min 31()(1)log 1f x f m a m ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭，则有max min 3311()()log log 11f x f x a a m m ⎛⎫⎛⎫-=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即3311log log 31a a m m ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即11031a a m m ⎛⎫<+≤+ ⎪+⎝⎭，可得1321a m m ≥-+，即212(1)m a m m -≥-+，令21t m =-，因为12m ≤≤，则13t ≤≤且12t m +=，则22141133(1)4312244m t t t t t m m t t t -===+++++⋅++，令13144y t t =++，()13t ≤≤，令()344t m t t=+()13t ≤≤，令任意的(12,t t ∈且12t t <，则()()()()121212121212333044444t t t t t t m t m t t t t t ---=+--=>，即()()12m t m t >，所以函数()344t m t t =+在(上单调递减，同理可得()344t m t t =+在)上单调递增，又()11m =，()31m =，当1t =或3t =时，344t t +取最大值1，此时min 12y =，于是当1t =或3t =时，212(1)m m m --+取最大值14-，依题意14a ≥-，又对于任意的[,1]x m m ∈+，10a x +>恒成立，即1a x >-恒成立，因为12m ≤≤，所以111213m -≤-≤-+，即max111a x m ⎛⎫ ⎪⎭=-⎝>-+，所以13a >-，此时10a m +>，综上可得a 的取值范围是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。

贵州省遵义市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学含答案

遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,62.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A. B.514C.514-D.143.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c++r r rB.a b c+-r r rC.a b c -+r r rD.a b c--4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.8-B.378C.9714-D.97145.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.56.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.87.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米B.34米C.米D.30米8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=t D.复数z 的共轭复数为23iz =-+10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，3BD =，求2a c +的最小值．18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n nf x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,6【答案】C 【解析】【分析】根据交集和补集含义即可得到答案.【详解】由题意得{}3,4A B = ，则(){}1,2,5,6U A B = ð.故选：C.2.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A.5314-B.514C.514-D.14【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理即可得到答案.【详解】根据正弦定理有sin sin a b A B =，即10sin 2A =sin 14A =.故选：D.3.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c ++r r rB.a b c+-r r rC.a b c-+r r rD.a b c--【答案】A【解析】【分析】利用图形结合向量线性运算即可.【详解】AC AD DC A a b c B BD DC =+=++++=.故选：A.4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A. B.8C.14-D.14【答案】B 【解析】【分析】首先求出cos 4α=，再利用二倍角正弦公式即可.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 4α=，则cos 4α==，则3sin 22sin cos 24ααα==⨯⨯.故选：B.5.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.5【答案】C 【解析】【分析】根据平均数计算公式直接求解即可.【详解】全班75名学生的平均成绩4035828583.47575x =⨯+⨯=.故选：C .6.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.8【答案】A 【解析】【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.【详解】||AB == ，||BC ===,||AC ===222||||AC AB BC ∴+=，所以三角形ABC 为直角三角形，1=2S ∴⨯，故选：A .7.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米 B.34米C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】根据仰角可得BC AB h ==，BD ==，在三角形BCD 利用余弦定理即可求解.【详解】设教学楼的高度为h ，在直角三角形ABC 中，因为45ACB ∠= ，所以BC AB h ==，在直角三角形ABD 中，因为30ADB ∠= ，所以tan 30ABBD= ，所以BD ==，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠，代入数值可得)22233022h h =+-⨯，解得30h =或30h =-（舍），故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减【答案】B 【解析】【分析】对A ，赋值法令0x y ==求解；对B ，赋值法结合奇函数的定义判断；对C ，令2y =求得函数的周期求解；对D ，利用单调性定义结合赋值法求解判断.【详解】对于A ，令0x y ==，可得()()()0002f f f =+-，解得()02f =，故A 错误；对于B ，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+--，又()02f =，则()()()222f x f x f x ⎡⎤--=-+=--⎣⎦，所以函数()2f x -是奇函数，故B 正确；对于C ，令2y =，得()()()()222f x f x f f x +=+-=，则()f x 是周期函数，周期为2，所以()()202402f f ==，故C 错误；对于D ，令1x x =，21y x x =-，且210x x >>，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+--，即()()()21212f x f x f x x -=--，而0x >时，()f x 与2大小不定，故D 错误.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=tD.复数z 的共轭复数为23iz =-+【答案】AB 【解析】【分析】对A ，根据复数的模的计算公式即可判断；对B ，根据复数虚部的定义即可判断；对C ，根据复数的分类可判断；对D ，根据共轭复数的定义即可判断.【详解】对于A ，z ==A 正确；对于B ，复数23i z =+的虚部为3，故B 正确；对于C ，因为()i 23i z t t +=++是实数，则30t +=，即3t =-，故C 错误；对于D ，复数23i z =+的共轭复数为23i z =-，故D 错误.故选：AB.10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B = D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A ，若A 与B 相互独立，则()()()1113412P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()111134122P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故A 对；对于B ，因为()13P A =，()14P B =，则()()131144P B P B =-=-=，因为()()()131344P A P B P AB =⨯==，所以事件A 与B 相互独立，故B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()1173412P A B P A P B ⋃=+=+=，故C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()14P AB P B ==，故D 对．故选：ABD11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】根据图象变换得到()f x 的解析式，进而可判断A ，B ，C 选项；对D ，题意转化为πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，根据正弦函数的性质求解判断.【详解】把函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，可得πsin 13y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()πsin 2π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，周期2π12πT ==，故A 正确；对于B ，令πππ2π2π2π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，即511212k x k -++≤≤，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为51,1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故B 错误；对于C ，()22ππsin 2π1sin 2π13333f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππsin 2πsin 2π233x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2π2πsin 2π233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππsin 2πsin 2π2233x x ⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故C 正确；对于D ，根据题意方程112f x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭即πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，ππππ2π333x ωω∴≤+<+，由正弦函数性质得π4π2π5π3ω<+≤，解得11763ω<≤，故D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：三角函数的定义13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．【答案】1()2sin(24f x x π=+【解析】【分析】根据函数()f x 的图象求得2,4A T π==，得到1()2sin()2f x x ϕ=+，再由(22f π=和题设条件，求得4πϕ=，即可求得函数的解析式.【详解】由函数()f x 的图象可得72,()422A T πππ==--=，所以22142T ππωπ===，即1()2sin()2f x x ϕ=+，又由()22f π=，即1sin()122πϕ⨯+=，可得2,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以4πϕ=，所以1()2sin()24f x x π=+.故答案为：1()2sin(24f x x π=+.14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．【答案】⎡-+⎣【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AB AF 所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则()()0,0,4,0A B 过H 作AF的垂线，垂足为N ，正八边形ABCDEFGH 中，边长为4，所以()821801358HAB ︒︒-⨯∠==，所以AN HN =，所以222AN HN HA AN +=⇒=，所以4AF =+，设(),P x y ，则()()4,0,,AB AP x y == ，所以4AP AB x ⋅=，因为P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），所以x 的范围为4x -≤≤+所以416x -≤≤+故答案为：⎡-+⎣.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．【答案】（1）5（2）1-或89【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，向量模的公式运算得解；（2）根据向量的坐标运算求得ma c + 和a mb +坐标，再由向量共线即可计算出m 的值.【小问1详解】因为()1,4a =- ，()2,1b =-r，所以()5858582,43,4777777a b ⎛⎫-=--⨯⨯+=- ⎪⎝⎭r r ，所以58577a b -==r r .【小问2详解】因为()2,5ma c m m +=-+r r ，()21,4a mb m m +=--+r r，又ma c + 与a mb +共线，所以()()()24521m m m m -+-+=-，所以2980m m +-=，解得1m =-或89.所以m 的值为1-或89.16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．【答案】（1）82.5；（2）15.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，结合75%分位数的意义列式计算即得.（2）求出抽取的6人中，“探月达人”人数，再利用列举法求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图知，成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的频率依次为：0.05,0.15,0.2,0.3,0.2，则成绩在80分以下的频率为0.7，成绩在90分以下频率为0.9，因此参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为(80,90)x ∈，由(80)0.020.05x -⨯=，解得82.5x =，所以参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为82.5.【小问2详解】由于0.30.20.163,62,610.30.20.10.30.20.10.30.20.1⨯=⨯=⨯=++++++，则6人中，成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生分别为3人，2人，1人，其中有3人为“探月达人”，设为a ，b ，c ，有3人不是“探月达人”，设为,,d e f ，则从6人中选择2人作为学生代表，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ，共15种，其中2人均为“探月达人”为,,ab ac bc ，共3种，所以被选中的2人均为“探月达人”的概率为31155=.17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，BD =，求2a c +的最小值．【答案】（1）π3B =（2）6+【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案；（2）根据面积法得1112a c +=，再利用乘“1”法即可得到最小值.【小问1详解】因为sin sin sin C A Ba b a c-=+-，所以由正弦定理可得c a ba b a c-=+-，即222a c b ac +-=，又因为222cos 2a c b B ac+-=，则1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABD CBD ABC S S S += 所以1π1π1πsin sin sin 262623AB BD BC BD AB BC ⨯+⨯=⨯，因为BD =，所以c BD a BD ⨯+⨯=，所以2()c a ac ⨯+=，即1112a c +=，所以22242(2)66c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当22a c ==+时，2a c +取得最小值6+.18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．【答案】（1）最小值为2-，x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈（2）6365-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则得到其最小值和此时所对应的x 的集合；（2）首先求出4sin()5αβ-=，再计算出3cos()5αβ-=，5cos 13β=-，12sin 13β=，最后化简为繁，利用两角和的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】21()14sin cos cos 1cos 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭π121cos 22sin 26x x x ⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭当ππ22π,Z 62x k k +=-+∈，即ππ,Z 3x k k =-+∈时，()f x 取得最小值2-，此时x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈.【小问2详解】πππ82sin 22sin()21221265f αβαβαβ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则4sin()5αβ-=，因为ππ2β<<，所以ππ2β-<-<-，又因为ππ2α<<，所以ππ22αβ-<-<，所以3cos()5αβ-=，因为πππ102sin 22sin 2cos 26266213f βπβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5cos 13β=-，因为ππ2β<<，所以12sin 13β==，cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---354126351351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．【答案】（1）下凸函数，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）作差()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭，化简即可证明；（2）任意取12,(0,π)x x ∈，作差()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其符号即可；（3）根据（2）中结论得sin sin sin sin sin 44A B C D A B C D ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，代入计算即可得到答案.【小问1详解】下凸函数，理由如下：任意取12,R x x ∈，因为()()()()22221212*********22424f x f x x x x x x x x x f ++-+++⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时等号成立，故2()1(R)f x x x =+∈是下凸函数.【小问2详解】任意取12,(0,π)x x ∈，不妨设12x x ≤，()()12121212sin sin sin 2222h x h x x x x x x x h ++++⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121122sincos cos sin sin cos sin cos 22222222x x x x x x x x=+--2112sin sin cos cos 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于12π0222x x <≤<，根据sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则2112sin sin ,cos cos 2222x x x x ≥≥，所以()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，即函数()h x 是上凸函数.【小问3详解】当(0,,π,),A B C D ∈，且πA B C D +++=，由（2）知()sin ,(0,π)h x x x =∈是上凸函数，所以sin sin sin sin πsin sin 4442A B C D A B C D++++++⎛⎫≤==⎪⎝⎭，故πsin sin sin sin 4sin 4sin 244A B C D A B C D +++⎛⎫+++≤== ⎪⎝⎭所以当且仅当π4A B C D ====时等号成立，即sin sin sin sin A B C D +++的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其正负即可.。

高一数学下学期期末质量监测试题含解析试题

2021-2021学年高一数学下学期期末质量监测试题〔含解析〕参考公式：回归直线方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕()2,4A --，()3,16B -，那么AB =〔〕A. 12C. 13D. 【答案】C 【解析】【分析】直接利用两点间间隔公式求解即可。

【详解】因为两点(2,4)A --，(3,16)B -，那么(313AB ===，应选C ．【点睛】此题主要考察向量的模，两点间间隔公式的应用。

()sin ,tan M θθ在第三象限，那么角θ在〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集即得答案。

【详解】由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或者y 轴负半轴上的角；由②知，θ为第二或者第四象限角．那么角θ在第四象限，应选D ．【点睛】此题主要考察三角函数在各象限的符号。

4，圆心角为45︒，那么该扇形的面积为〔〕A. 2πB. πC.43π D. 83π【答案】A 【解析】【分析】化圆心角为弧度值，再由扇形面积公式求解即可。

【详解】扇形的半径为4r =，圆心角为45︒，即4πθ=，∴该扇形的面积为214224S ππ=⨯⨯=，应选A ．【点睛】此题主要考察扇形的面积公式的应用。

()8123化成十进制数，其结果为〔〕A. 81B. 83C. 91D. 93【答案】B 【解析】【分析】利用k进制数化为十进制数的计算公式，1110110n n n n n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+，从而得解。

【详解】由题意，21(8)12318283883=⨯+⨯+⨯=，应选B ．【点睛】此题主要考察八进制数与十进制数之间的转化，纯熟掌握k 进制数与十进制数之间的转化计算公式是解题的关键。

高一数学下学期质量检测题

s=0 i=2 Do s=s+i i= i+2Loop until Print sEnd 第4题一数学下学期质量检测题参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式12211ˆˆˆni ii ni x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，．一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题的选项中，只有一项符合题目要求．1．某校有40个班，每班55人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（） A.40 B.50 C.120 D.1502．将两个数a=5，b=9交换，使a=9，b=5，下面语句正确一组是 ( ) （A ）（B ）（C ） D ）3．函数41lg )(--=x xx f 的定义域为（）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，，Ｄ．(1](4)-∞+∞，，4．有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（） A. i>12 B. i>10 C. i=14 D. i=105．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（）Ａ．90 Ｂ．110 Ｃ．250 Ｄ．2096．下图是NBA 球员甲、乙在某个赛季参加的11场比赛中得分情况茎叶统计图，则他们得分的中位数分别为（）。

A.19、13 B.13、19 C.20、13 D.18、207．某科研小组共有5个成员，其中男研究人员3人，女研究人员2名，现选举2名代表，至少有1名女研究人员当选的概率为（） A.52 B. 53 C. 107D. 以上都不对 a=b b=a t = b b = a a = t b=a a=b a = c c = b b = a 开始是否输出结束甲乙6 9 8 078 6 5 79 1 1 1 3 3 4 6 2 2 0 2 3 1 0 1 4 0 （第6题）（第5题）8. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（） A ．0.9 45 B ．0.9 35 C ．0.1 35 D ．0.1 459．直线02=--y ax 与圆922=+y x 的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定10．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0—9和字母A —F 共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制 0123456789ABCDEF十进制0 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A×B=（）A ．B0B 。

高一数学期末教学质量检查试题含解析试题

一级达标校2021-2021学年高一数学下学期期末教学质量检查试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题中给出四个选项，只有一项是哪一项符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置〕1.a ，b ，c 为实数，那么以下结论正确的是〔〕A. 假设ac ＞bc ＞0，那么a ＞bB. 假设a ＞b ＞0，那么ac ＞bcC. 假设ac 2＞bc 2，那么a ＞bD. 假设a ＞b ，那么ac 2＞bc 2 【答案】C【解析】【分析】此题可根据不等式的性质以及运用特殊值法进展代入排除即可得到正确结果．【详解】由题意，可知：对于A 中，可设5,4,3a b c =-=-=-，很明显满足0ac bc >>，但a b <，所以选项A 不正确；对于B 中，因为不知道c 的正负情况，所以不能直接得出ac bc >，所以选项B 不正确；对于C 中，因为22ac bc <，所以20c >，所以a b >，所以选项C 正确；对于D 中，假设0c，那么不能得到22ac bc >，所以选项D 不正确．应选：C ．【点睛】此题主要考察了不等式性质的应用以及特殊值法的应用，着重考察了推理才能，属于根底题．2.直线x+2y ﹣3＝0与直线2x+ay ﹣1＝0垂直，那么a 的值是〔〕A. ﹣1B. 4C. 1D. ﹣4【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的条件，列出方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线230x y +-=与直线210x ay +-=垂直，那么满足1220a ⨯+⨯=，解得1a =-，应选：A ．【点睛】此题主要考察了两直线位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．3.设等差数列{a n }的前n 项的和S n ，假设a 2+a 8＝6，那么S 9＝〔〕A. 3B. 6C. 27D. 54 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质和求和公式，即可求得9S 的值，得到答案．【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项的和n S ，由286a a +=，根据等差数列的性质，可得196a a +=，所以1999()962722a a S +⨯===，应选：C ．【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．4.直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+〔y ﹣1〕2＝4的位置关系是〔〕A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】A【解析】【分析】求得圆心到直线的间隔，然后和圆的半径比拟大小，从而断定两者位置关系，得到答案．【详解】由题意，可得圆心(0,1) 到直线的间隔为22d ==<，所以直线与圆相交．应选：A ．【点睛】此题主要考察了直线与圆的位置关系断定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的断定方法是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题．5.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的外表积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为〔〕A. 1：3B. 3：1C. 2：3D. 3：2 【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，利用圆柱侧面积公式与球的外表积公式建立关系式，算出球的半径R r =，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比．【详解】设圆柱的底面半径为r ，轴截面正方形边长a ，那么2a r =，可得圆柱的侧面积2124S ra r ππ==，再设与圆柱外表积相等的球半径为R ，那么球的外表积22244S R r ππ==，解得R r =，因此圆柱的体积为2312V r a r ππ=⨯=，球的体积为3324433V R r ππ==，因此圆柱的体积与球的体积之比为1232V V =．应选：D ．【点睛】此题主要考察了圆柱的侧面积和体积公式，以及球的外表积和体积公式的应用，其中解答中熟记公式，合理计算半径之间的关系是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．6.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，假设a ＝3，b，A ＝4π，那么B ＝〔〕 A. 6π B. 6π或者56π C. 3π D. 3π或者23π 【答案】A【解析】【分析】由利用正弦定理可求sin B 的值，利用大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】由题意知3,24a b A π===，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin b A B a ⋅=＝223＝12，又因为b a <，可得B 为锐角，所以6B π=．应选：A ．【点睛】此题主要考察了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．7.在?九章算术?中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，假设四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，那么异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为〔〕A. 22 55 3【答案】B【解析】【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解．【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角，连接ED ，那么CDE ∆为直角三角形，不妨设2AB a =，那么5,3DE a EC a ==，所以5sin 3DE ECD EC ∠==, 应选：B ．【点睛】此题主要考察了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．8.假设点〔m ，n 〕在反比例函数y ＝1x 的图象上，其中m ＜0，那么m+3n 的最大值等于〔〕 3B. 2C. ﹣3D. ﹣2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得出1mn =，再根据0m <可得0n <，将3m n +添上两个负号运用根本不等式，即可求解．【详解】由题意，可得1mn =，因为0m <，所以0n <，所以3[()(3)]2()(3)2323m n m n m n mn +=--+-≤--⋅--- 当且仅当3m n =，即33,m n =-=时，等号成立，应选：C ．【点睛】此题主要考察了根本不等式的应用，其中解答中熟记根本不等式的使用条件，合理运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．9.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①D 1C∥平面A 1ABB 1 ②A 1D 1与平面BCD 1相交③AD⊥平面D 1DB ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1正确的结论个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】在①中，由11//D C A B ，得到1//D C 平面11A ABB ；在②中，由11//A D BC ，得到11A D ⊂平面1BCD ；在③中，由45ADB ∠=，得到AD 与平面1D DB 相交但不垂直；在④中，由BC ⊥平面11A ABB ，得到平面1BCD ⊥平面11A ABB ，即可求解．【详解】由正方体1111ABCD A B C D -中，可得：在①中，因为11//D C A B ，1D C ⊄平面11A ABB ，1A B ⊂平面11A ABB ，∴1//D C 平面11A ABB ，故①正确；在②中，∵11//A D BC ，BC ⊂平面1BCD ，11A D 平面11BCD D =，∴11A D ⊂平面1BCD ，故②错误；在③中，∵45ADB ∠=，∴AD 与平面1D DB 相交但不垂直，故③错误；在④中，∵BC ⊥平面11A ABB ，BC ⊂平面1BCD ，∴平面1BCD ⊥平面11A ABB ，故④正确．应选：B ．【点睛】此题主要考察了命题真假的判断，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．的方程为x 2+y 2＝2〔x+|y|〕，直线x ＝my+4与曲线C 有两个交点，那么m 的取值范围是〔〕A. m ＞1或者m ＜﹣1B. m ＞7或者m ＜﹣7C. m ＞7或者m ＜﹣1D. m ＞1或者m ＜﹣7【答案】A【解析】【分析】先画出曲线C 的图象，再求出直线与C 相切时的m ，最后结合图象可得m 的取值范围，得到答案．【详解】如下图，曲线C 的图象是两个圆的一局部，由图可知：当直线4x my =+与曲线C 相切时，只有一个交点，此时1m =±，结合图象可得1m 或者1m <-．应选：A ．【点睛】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中纯熟应有直线与圆的位置关系，合理结合图象求解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与运算才能，属于中档试题．11.在数列{a n }中，a n ＝31﹣3n ，设b n ＝a n a n+1a n+2〔n∈N *〕．T n 是数列{b n }的前n 项和，当T n 获得最大值时n 的值是〔〕A. 11B. 10C. 9D. 8 【答案】B【解析】【分析】由得到等差数列{}n a 的公差0d <，且数列{}n a 的前10项大于0，自第11项起小于0，由12n n n n b a a a ++=，得出从1b 到8b 的值都大于零，9n =时，90,10b n <=时，100b >，且109b b >，而当11n ≥时，0n b <，由此可得答案．【详解】由313n a n =-，得1280a =>，等差数列{}n a 的公差30d =-<，由3130n a n =->，得313n <，那么数列{}n a 的前10项大于0，自第11项起小于0．由12,()n n n n b a a a n N *++=∈，可得从1b 到8b 的值都大于零，当9n =时，90,10b n <=时，100b >，且109b b >，当11n ≥时，0n b <，所以n T 获得最大值时n 的值是10.应选：B ．【点睛】此题主要考察了数列递推式，以及数列的和的最值的断定，其中解答的关键是明确数列{}n b 的项的特点，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．12.过点P 〔0，2〕作直线x+my ﹣4＝0的垂线，垂足为Q ，那么Q 到直线x+2y ﹣14＝0的间隔最小值为〔〕A. 0B. 2 【答案】C【解析】【分析】由直线40x my +-=过定点(4,0)M ，得到,P Q 的中点(2,1)N ，由PQ 垂直直线40x my +-=，得到点Q 在以点(2,1)N 为圆心，以5PN =为半径的圆，求得圆的方程，由此求出Q 到直线2140x y +-=的间隔最小值，得到答案．【详解】由题意，过点(0,2)P 作直线40x my +-=的垂线，垂足为Q ，直线40x my +-=过定点(4,0)M ，由中点公式可得，,P Q 的中点(2,1)N ，由PQ 垂直直线40x my +-=，所以点点Q 在以点(2,1)N 为圆心，以22(20)(12)5PN =-+-=为半径的圆，其圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=，那么圆心(2,1)N 到直线2140x y +-=的间隔为|2214|255d +-== 所以点Q 到直线2140x y +-=的间隔最小值；2555-=，应选：C ．【点睛】此题主要考察了圆的HY 方程，直线与圆的位置关系的应用，同时涉及到点到直线的间隔公式的应用，着重考察了推理与计算才能，以及分析问题和解答问题的才能，试题综合性强，属于中档试题．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填写上在答题卡的相应位置.〕13.不等式x 〔2x ﹣1〕＜0的解集是_____．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案．【详解】由不等式(21)0x x -<对应方程的实数根为0和12，所以该不等式的解集是1{|0}2x x <<．故答案为：1{|0}2x x <<．【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＝7，S 6＝63，那么a n ＝_____ 【答案】12n - 【解析】【分析】利用等比数列的前n 项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式．【详解】由题意，631,2q S S ==,不合题意舍去；当1,q ≠等比数列{}n a 的前n 项和为36,7,63n S S S ==，即()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得11,2a q ==，所以12n na ，故答案为：12n -．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式的求法，考察等比数列的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．15.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假设b·cosC=c·cosB，且cosA ＝23，那么cosB 的值是_____．【答案】6【解析】【分析】利用余弦定理表示出cos B 与cos C ，代入等式中，整理得到c b =，再利用余弦定理表示出cos A ，将c b =及cos A 的值代入用b 表示出a ，将表示出的a 与c 代入cos B 中计算，即可求出值．【详解】由题意，由余弦定理得222222cos ,cos 22a c b a b c B C ac ab +-+-==，代入cos cos b C c B =，得22222222a b c a c b a a +-+-=，整理得c b =，所以22222222cos 223b c a b a A bc b +--===，即222634b a b -=，=，即a =，那么2222222cos 26b b b a c b B ac +-+-===，【点睛】此题考察理解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，假如式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．16.三棱锥P ﹣ABC 的底面ABC 是等腰三角形，AC ＝BC ＝2，AB ＝PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，那么该三棱锥的外接球外表积为_____．【答案】20π 【解析】【分析】求出PAB ∆的外接圆半径2r ，ABC ∆的外接圆半径1r ，求出外接球的半径r ，即可求出该三棱锥的外接球的外表积．【详解】由题意，设PAB ∆的外心为2O ，ABC ∆的外心为1O ，那么PAB ∆的外接圆半径2132260r ==，在ABC ∆中，因为2,AC BC AB ===，由余弦定理可得2221cos 22AC BC AB C AC BC +-==-⋅，所以sin C =，所以ABC ∆的外接圆半径12sin AB r C ===，在等边PAB ∆中，由AB =3PD =，所以22321O D PD r =-=-=，设球心为O ，球的半径为r ，那么12321,2OO O P =-==，又由1OO ⊥面ABC ，2OO ⊥面PAB ，那么222215r =+=，所以该三棱锥的外接球的外表积为2420r ππ=．故答案为：20π．【点睛】此题主要考察了三棱锥的外接球的外表积的求解，其中解答中纯熟应用空间几何体的构造特征，确定球的半径是解答的关键，着重考察了空间想象才能，以及推理与运算才能，属于中档试题．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤〕17.〔1〕假设关于x 的不等式2x ＞m 〔x 2+6〕的解集为{x|x ＜﹣3或者x ＞﹣2}，求不等式5mx 2+x+3＞0的解集．〔2〕假设2kx ＜x 2+4对于一切的x ＞0恒成立，求k 的取值范围．【答案】〔1〕3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；〔2〕2k < 【解析】【分析】〔1〕原不等式等价于2260mx x m -+<根据不等式的解集由根与系数的关系可得关于m 的方程，解出m 的值，进而求得2530mx x ++>的解集；〔2〕由224kx x <+对于一切的0x >恒成立，可得42k x x<+，求出4x x +的最小值即可得到k 的取值范围．【详解】〔1〕原不等式等价于2260mx x m -+<，所以2260mx x m -+<的解集为{|32}x x x <->-或那么23(2)m =-+-，25m =-，所以2530mx x ++>等价于2230x x -++>，即2230x x --<，所以312x -<<，所以不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭〔2〕因为0x >，由224kx x <+，得42k x x <+，44x x +≥= 当且仅当2x =时取等号. 242k k ∴<∴<【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题和根本不等式，考察了方程思想和转化思想，属根底题．18.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2+c 2﹣b 2＝mac ，其中m∈R ．〔1〕假设m ＝1，a ＝1，c 的面积；〔2〕假设m ＝2，A ＝2B ，a b ．【答案】〔1〕34；〔2 【解析】【分析】〔1〕当1m =时，由余弦定理可求1cos 2B =，利用同角三角函数根本关系式可求sin B 的值，根据三角形的面积公式即可求解．〔2〕当m =由余弦定理可求cos B =，利用同角三角函数根本关系式可求sin B 的值，根据二倍角的正弦函数公式可求sin A 的值，利用正弦定理可求b 的值．【详解】〔1〕当1m =时，222a cb ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，0B π<<,sin B ∴=,1sin 2ABCS ac B ∴=112=⨯34=．〔2〕当2m =时，222cos 2224a cb mac m B ac ac +-∴====， 0B π<<sin 4B ∴=,2A B =61015sin 2sin cos 2444A B B ∴===，由正弦定理得：sin sin a b A B =,sin 4sin a b B A ∴=⨯== 【点睛】此题主要考察了余弦定理，同角三角函数根本关系式，三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于中档题．n为数列{a n }的前n 项和，a 2＝3，S n ＝2S n ﹣1+n 〔n≥2〕〔1〕求出a 1，a 3的值，并证明：数列{a n +1}为等比数列；〔2〕设b n ＝log 2〔a 3n +1〕，数列{11n n b b +}的前n 项和为T n ，求证：1≤18T n ＜2．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕可令2,3n n ==求得13,a a 的值；再由数列的递推式，作差可得112(1)n n a a ++=+，可得数列{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列；〔2〕由〔1〕求得()23log 13n n b a n =+=，()11111133191n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，再由数列的裂项相消求和，可得n T ，再由不等式的性质即可得证．【详解】〔1〕当2n =时，2122S S =+，即12122a a a +=+，∴1221a a =-=，当3n =时，3223S S =+，即123122()3a a a a a ++=++， ∴31237a a a =++=，∵12(2)n n S S n n -=+≥，∴121n n S S n +=++，()()11212n n n n S S S n S n +-∴-=++-+，∴121n n a a +=+ ()1121n n a a +∴+=+(2)n ≥，∴112(2)1n n a n a ++=≥+，又∵112a +=，214a +=，∴21121a a +=+，∴112()1n n a n N a *++=∈+， ∴数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.〔2〕由〔1〕可知12nn a +=，所以3312n n a +=，所以()23log 13n n b a n =+=，()11111133191n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪⋅++⎝⎭， 111111192231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11191n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，n N *∈,所以111121n ≤-<+,所以11189n T ≤<,即1182n T ≤<．【点睛】此题主要考察了数列的递推式的运用，考察等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考察数列的裂项相消求和，化简运算才能，属于中档题．20.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD ；〔2〕假设PA ＝PD ＝AB ＝22AD ，且四棱锥的侧面积为6+23，求四校锥P ﹣ABCD 的体积．【答案】〔1〕见解析；〔2〕83【解析】【分析】〔1〕只需证明AB ⊥平面PAD ，，即可得平面平面PAB ⊥平面PAD ；〔2〕设AB PA PD x ===，那么2AD x =，由四棱锥P ABCD -的侧面积，获得2x =，在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．可得PE ⊥平面ABCD 且222PE x ==,即可求四棱锥P ABCD -的体积．【详解】〔1〕由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥，由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ，又AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .〔2〕设AB PA PD x ===，那么2AD x =，所以222PA PD AD +=，从而PAB ∆，PCD ∆也为等腰直角三角形，PBC ∆为正三角形，于是四棱锥P ABCD -的侧面积22133(2)6232S x x =⨯+=+2x =，在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ，由〔1〕知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD 且222PE x ==，故四棱锥P ABCD -的体积1182222333P ABCD V AB AD PE -=⋅⋅=⨯⨯⨯=．【点睛】此题考察了面面垂直的断定与证明，以及四棱锥的体积的求解问题，意在考察学生的空间想象才能和逻辑推理才能，解答中熟记线面位置关系的断定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系断定的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题．21.足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进展射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或者传出的球占为己有，或者破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运发动的正确判断和选择．现有甲、乙两队进展足球友谊赛，A 、B 两名运发动是甲队队员，C 是乙队队员，B 在A 的正西方向，A 和B 相距20m ，C 在A 的正北方向，A 和C 相距143m ．现A 沿北偏西60°方向程度传球，球速为103m/s ，同时B 沿北偏西30°方向以10m/s 的速度前往接球，C 同时也以10m/s 的速度前去截球．假设球与B 、C 都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．〔1〕假设C 沿南偏西60°方向前去截球，试判断B 能否接到球？请说明理由．〔2〕假设C 改变〔1〕的方向前去截球，试判断C 能否球成功？请说明理由．【答案】〔1〕能接到；〔2〕不能接到【解析】【分析】〔1〕在ABD ∆中由条件可得，20DB AB ==，进一步可得ACE ∆为等边三角形，然后计算C 运动到点E 所需时间是即可判断；〔2〕建立平面直角坐标系，作CF AD ⊥于F ，求出直线AD 的方程，然后计算C 到直线AD 的间隔即可判断．【详解】〔1〕如下图，在ABD ∆中，120ABD ∠=，30BAD ∠=，30ADB ∴∠=, 20DB AB ∴==,203DA ∴=，由题意可知，假如C 不运动，经过2s ，B 可以接到球，在AD 上取点E ，使得60ACE ︒∠=,60CAD ∠=,∴ACE ∆为等边三角形，143CA =,143AE ∴=，队员C 运动到点E 要14310s ，此时球运动了1431034214310⨯=>. 所以B 能接到球．〔2〕建立如下图的平面直角坐标系，作CF AD ⊥于F ，所以直线AD 的方程为：30x y =，C 经过2s ，运动了20m ．点C 到直线AD 的间隔 1433212013CF ==>+，所以以C 为圆心，半径长为20的圆与直线AD 相离．故C 改变〔1〕的方向前去截球，C 不能截到球．【点睛】此题主要考察了三角形的实际应用，以及点到直线的间隔的应用，考察了推理与运算才能，属中档题．22.动点P 与两个定点O 〔0，0〕，A 〔3，0〕的间隔的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．〔1〕求曲线C 的轨迹方程〔2〕过点〔﹣1，0〕作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为〔4，0〕，求△ABM 面积的最大值．【答案】〔1〕()2244x y -+=；〔2〕2【解析】【分析】〔1〕设点(),P x y ，运用两点的间隔公式，化简整理可得所求轨迹方程；〔2〕由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，求得M 到直线的间隔，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．【详解】〔1〕设点(),P x y ，2PO PA =,即2PO PA =， ()222243x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦，即()2244x y -+=， ∴曲线C 的方程为()2244x y -+=．〔2〕由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，由〔1〕可知，点M 是圆()2244x y -+=的圆心，点M 到直线l 的间隔为251kd k =+2d <2521k k <+，即24021k ≤<，又AB==所以1•2ABMS AB d∆===，令21t k=+，所以25121t≤<，211125t<≤，那么ABMS∆====所以2ABMS∆==≤，当12325t=，即2523t=，此时2242321k=<，符合题意，即23k=±时取等号，所以ABM∆面积的最大值为2.【点睛】此题主要考察了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的间隔公式的运用，考察推理与运算才能，试题综合性强，属于中档题．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

广东省东莞市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检查数学试题(解析版)

2023—2024学年度第二学期教学质量检查高一数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知向量()()()2,1,1,a b λλ=−=∈R ，若a //b ，则λ=（） A. 2 B.12C. -2D. 12−【答案】D 【解析】【分析】由向量平行的充要条件列出方程即可求解.【详解】因为向量()()()2,1,1,a b λλ=−=∈R ，且a//b，所以()2110λ−−×=，解得12λ=−. 故选：D.2. 为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一､高二､高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一､高二､高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（）A. 90B. 100C. 120D. 160【答案】C 【解析】【分析】根据分层抽样的抽取比例相同运算求解.【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的30%，抽取的样本中高三年级的学生有36人，所以样本容量为3612030%=．故选：C.3. 棱长为a 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（）A.23π4a B. 23πa C. 26πa D. 212πa【答案】B 【解析】【分析】先根据正方体结构特征求出球的半径，再结合球的表面积公式即可求解.【详解】球的直径即为正方体的体对角线，设球的半径为R ，则R =，所以球的表面积为324π3πR a =. 故选：B.4. 若()2i 1i z +⋅=−，则z z ⋅=（） A.25B. 2C.825D.85【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件可得z ，再由z z z ⋅=代入计算，即可得到结果.【详解】由()2i 1i z +⋅=−可得1i 1i2i2iz −−===++，所以225z z z ⋅==. 故选：A5. 已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若//,m n αα⊂，则//m nB. 若,m n αβ⊂⊂，且m n ⊥，则αβ⊥C. 若//αβ，n ⊂α，则//n βD. 若,m αβα⊥⊂，则m β⊥ 【答案】C 【解析】【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A ：若//,m n αα⊂，则m 与n 可能平行或异面，故A 错误；对于B ：若,m n αβ⊂⊂，且m n ⊥时，平面α与β可能平行，也可能相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，n ⊂α，则n β⊄，所以//n β，故C 正确；对于D ：若,m αβα⊥⊂，设n αβ= ，而m 可能平行n ，也可能相交，则m 可能平行β，也可能和β相交，故D 错误．故选：C ．6. 已知向量,OA a OB b == ，且3a b a b ==⋅=，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则MN =（）A. B. 6C. D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件可得AB 是SMN 的中位线，再由向量模长的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则AB 是SMN 的中位线，所以()()222MN AB OB OA b a ==−=−，又3a b a b ==⋅=，则()()2222442MN b a b a b a =−=−⋅+()4923948=−×+=，则MN =.故选:A7. 已知三棱锥,P ABC PA −⊥平面,,2ABC AB BC PA AB BC ⊥==，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为（）A.15B.C.D.【解析】【分析】通过平移直线PB 与AC ，将求异面直线所成转化为求EFG ∠，然后求出三角形GEF 的三条边长，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，令2BC =分别取AB BC PC AC ，，，的中点E F G H ，，，，并连接EF FG GH EH EG ，，，，,所以112122GH PA GH PA EH BC EH BC ==== 且，且，1122EF AC EFAC GF PB GF PB == 且，且, 所以异面直线PB 与AC 所成角等于EFG ∠，因为三棱锥,P ABC PA −⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC 所以,,PA AB PA AC ⊥⊥,因为三棱锥,P ABC PA −⊥平面,,2ABC AB BC PA AB BC ⊥==，所以24,PA AB BC PB AC =====所以EFGF =又因为三棱锥,P ABC PA −⊥平面ABC ，GH PA ∥ 所以GH ABC ⊥平面，又EH ABC ⊂平面所以GH EH ⊥，所以GE =所以在三角形GEF 中，222cos 2EF FG EGEFGEF FG+−∠==⋅，即异面直线PB 与AC8. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M =“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是（） A. 第一次朝上面的数字是偶数 B. 第一次朝上面的数字是1 C. 两次朝上面的数字之和是8 D. 两次朝上面的数字之和是7【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有6636×=个基本事件数，则()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6M =，()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18个基本事件，则()181362P M ==，设事件E 为第一次朝上面的数字是偶数，则事件M 与事件E 是对立事件，故A 错误；设事件F 为第一次朝上面的数字是1，则F M ⊆，故B 错误；设事件N 为两次朝上面的数字之和是8，则()()()()(){}2,6,3,5,4,4,5,3,6,2N =共5个基本事件，则()536P N =，且()(){}3,5,5,3MN =，则()213618P MN ==， ()()()P MN P M P N ≠⋅，所以C 错误；设事件Q 两次朝上面的数字之和是7，则()()()()()(){}1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1Q =，则()61366P Q ==，且()()(){}1,6,3,4,5,2MQ =，则()313612P MQ ==，因为()()()P MQ P M P Q =⋅，所以事件M 与事件Q 相互独立. 故选：D二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 已知某地一周每天的最高温度（单位：C ）分别为：31272628273027､､､､､､，则下列关于这组数据的结论中正确的是（） A. 众数是27 B. 极差是4 C. 中位数是28 D. 平均数是28【解析】【分析】根据众数、极差、中位数、平均数的定义求出对应的值后即可判断.【详解】对于A ，这组数据中27出现了3次，出现次数最多，所以众数为27，故A 正确；对于B ，这组数据中最大值是31，最小值是26，极差为31265−=，故B 错误；对于C ，这组数据从小到大排列为26272727283031､､､､､､，中间的数是27，所以中位数是27，故C 错误；对于D ，这组数据的平均数是()131272628273027287++++++=，故D 正确. 故选：AD.10. 已知O 的半径为2,ABC 为其内接三角形，则下列结论中正确的是（） A. 若π3A =，则2OB OC ⋅=− B. 若π3A =，则ABC周长的最大值为 C. 若1AO AB ⋅=，则AB =D. 若1AO AB ⋅=，则ABC 面积的最大值为【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，求出BOC ∠，利用向量数量积公式求出答案；B 选项，由正弦定理得a =，由余弦定理得到()2123b c bc +−=，由基本不等式求出最值；C 选项，根据1AO AB ⋅=，求出3OA OB ⋅=，故AB = ；D 选项，由C 选项可知，AB =，3OA OB ⋅= ，故3cos 4AOB ∠=，2AOB C ∠=∠，所以cosC =sinC =，由余弦定理得到8ab ≤+，求出面积最大值.【详解】A 选项，π3A =，故2π3BOC ∠=，则1cos 2222OB OC OB OC BOC⋅=⋅∠=××−=−，A 正确；B 选项，由正弦定理得24sin aR A==，故π4sin 3a =，由余弦定理得22121cos 22b c A bc +−==，故2212b c bc +−=，即()()2231234b c b c bc ++−≤，解得b c +≤，当且仅当b c ==时，等号成立，故ABC 周长的最大值为b c a ++B 正确；C 选项，若1AO AB ⋅=，则()241OA OB OA OA OB OA OA OB −⋅−=−⋅+=−⋅+= ，故3OA OB ⋅=，AB OB OA =−= ，C 正确；D 选项，由C 选项可知，3AB OB =⋅=，cos 4cos 3OA OB OA OB AOB AOB ⋅=⋅∠=∠= ，故3cos 4AOB ∠=，因为2AOB C ∠=∠，所以23cos 22cos 14C C ∠=−=，解得27cos 8C =，因为C 为锐角，故cos C =sin C =由余弦定理得222cos 2a b C ab+−=，故222a b +=+，由基本不等式得222a b ab +≥22ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，故22ab ≤，解得8ab ≤+，所以ABC 面积的最大值为(11sin 822ab C ≤×++，D 错误. 故选：ABC【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.11. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点,E F 分别为11AB,A D 的中点，平面α经过点,,C E F ，且与11C D 交于点G ，则下列结论正确的是（）A. 11A C 平面αB. 平面α⊥平面1BB FC. 11:3C G GD =D. 二面角1E FG B −−【答案】BCD 【解析】【分析】借助11A C AC ，而AC 与平面α相交，从而可判断A ；利用面面垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，可判断B ；做出相应的平行线，找到G 在11C D 位置即可判断C ；利用C 选项的结论，作出二面角的平面角，即可求解.【详解】对于A ，因为正方体1111ABCD A B C D −中，11A C AC ，且AC ∩平面ECF C =，所以11A C 与平面α不平行，故A 错误；对于B ，如图，取AD 中点H ，连接BH ，FH ，BH ，易知平面ABCD ⊥平面1BHFB ，又在平面ABCD 中，()()221111··02222BH EC BA AH EB BC BA BC BA BC BA BC ⋅=++=+−+=−+=，所以BH EC ⊥，又平面ABCD ∩平面1BHFB BH =，所以EC ⊥平面1BHFB ，又EC α⊂，所以平面α⊥平面1BB F ，故B 正确；对于C ，如图,取11C D 中点M ，取11A B 中点N ，连接EN ，1C N ，1A M ，再取1MD 中点G ，连接FG ，易知正方体1111ABCD A B C D −中，1CE C N , 在正方形1111D C B A 中，11A M C N , 三角形11A D M 中，1A M FG ,由平行的传递性可得，FG EC ∥,所以平面α与11C D 交于点G ，而点G 是线段11C D 上靠近1D 的四等分点，所以11:3C G GD =，故C 正确；对于D ，如图，延长FG ，11A B 相交于点K ，取11A B 中点N ，连接EN ，过点E ，作EP KG ⊥，垂足为P ,连接NP ，易知EN ⊥平面1111D C B A ,又KG ⊂平面1111D C B A ，所以EN KG ⊥又EN EP E ∩=,所以KG ⊥平面ENP ，又NP ⊂平面ENP ，所以KG NP ⊥, 所以EPN ∠是二面角1E FG B −−的平面角，如图，将底面单独画出，在三角形KGQ 中，1111KA A FKA AQ QG =+，所以114KA =，在所以KG=所以1111311122428222NKGS NK QG KG NP NP=⋅=×+×==⋅=××,解得NP=，所以1tan33ENEPNNP∠===，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 假设()()11,23P A P B==，且A与B相互独立，则()P AB=__________.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件概率计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为()()11,23P A P B==，则()12133P B=−=，且A与B相互独立，则A与B相互独立，所以()()121()233P AB P A P B=⋅=×=.故答案为：1313. 已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为__________.【答案】1937【解析】【分析】将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为S，设圆台上、下底面圆O、圆O、截面圆O的半径分别为1r 、2r 、r ，设圆锥1SO 、圆锥2SO 、圆锥SO 的体积分别为1V 、2V 、V ，由圆台上、下底面圆和截面圆的半径之比，可得到体积1V 、2V 、V 之间的关系，进而可得经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比.【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为1O 、2O ，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为S ，设经过母线中点且与底面平行的平面所成截面圆的圆心为O ，设圆1O 、圆2O 、圆O 的半径分别为1r 、2r 、r ，则12r =，24r =，则1232r r r +=，设圆锥1SO 、圆锥2SO 、圆锥SO 的体积分别为1V 、2V 、V ，因为122142r r ==，则1218V V =， 123r r =，则1827V V =，所以，218V V =，1278V V =，11211919837378V V V V V V −==−.故答案为：1937. 14. 已知圆O 的半径为1，点A 是圆O 上的动点，122024B B B 为圆O 内接正2024边形，则122024OA OB OB OB ++++= __________，222122024AB AB AB +++= __________.【答案】 ①. 1 ②. 4048 【解析】【分析】根据1OA = ，1220240+++=OB OB OB 可得第一空答案；由1220240+++= OB OB OB 、()()221,2,,2024i i AB OB OAi =−=可得第二空答案.【详解】圆O 内有1012对对顶角相等的全等三角形，在每一对三角形中，如，12OB B △与10131014 OB B 中，设12B B 、10131014B B 中点分别为M 、N ，则M 、N 、O 一条直线上，且OM ON =，则122+= OB OB OM ，101310142+= OB OB ON ，可得0+= OM ON ，所以()()12101310140OB OB OB OB +++=，同理，()()34101510160OB OB OBOB +++=， …()()10111012202320240OB OB OB OB +++=所以1220240+++= OB OB OB ，所以1220241OA OB OB OB OA ++++==； ()()()222222122024122024AB AB AB OB OA OB OA OB OA +++=−+−++−()222212202412202420242?OA OB OB OB OB OB OB OA ++++−+++2024202404048=+−=.故答案为：①1；②4048.【点睛】思路大家：在第二空中，主要是1220240+++= OB OB OB 和()()221,2,,2024i i AB OB OAi =−=可得第二空答案. 四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15. 已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C的对边，且cos sin a C A =. （1）求角C ；在（2）若2,1b c ==，求ABC 的面积. 【答案】（1）π6C =（2【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，整理可得tan C =，求出π6C =；（2）由余弦定理求出a =. 【小问1详解】由正弦定理得sin cos sin A C A C =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，故cos C C =，即tan C =因为()0,πC ∈，所以π6C =；【小问2详解】由余弦定理得222cos 2a b c C ab+−=，即2414a a +−=，解得a =故111sin 2222ABC S ab C ==×=16. 某快捷超市计划通过停车收费推动快速购物进而提升顾客流量，在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了100个停车时间的数据（单位：min ），按(0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分成5组，其频率分布直方图如下.（1）如果该超市计划奖励35%的快速购物顾客不收取其停车费，那么应该允许免费停车多长时间？（2）记0t t s =+，其中t 为样本平均数，s 为样本标准差.如果该超市计划对停车时长超过0t 的客户征收更高的停车费，求0t （精确到个位）.（注：假设频率分布直方图中每组数据在组内均匀分布，参考数据：5.9≈）【答案】（1）40分钟（2）74 【解析】【分析】（1）根据题意，求出a ，利用百分位数的概念求出第35百分位数得解；（2）根据频率分布直方图求出t ，s 得解. 【小问1详解】根据频率分布直方图中小长方形的面积和等于1，则()0.0050.01750.00750.0075201a ++++×=，解得0.0125a =，设第35百分位数为x ，则()0.00520200.012535%x ×+−×=，解得40x =，所以可以允许车辆免费停车40分钟不收费. 【小问2详解】车辆平均停车时间为0.00520100.012520300.017520500.007520700.0075209050t =××+××+××+××+××=， ()()()()()22222210500.130500.2550500.3570500.1590500.15560s =−×+−×+−×+−×+−×=，24s ∴=≈，所以0502474t t s =+≈+=.17. 某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. （1）若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率；（2）若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 【答案】（1）25（2）1625【解析】【分析】（1）根据题意利用列举法结合古典概型概率公式求解即可；（2）设在第i 次抽奖时中奖为事件(1,2)i A i =，则由（1）可知23(),()(1,2)55i i P A P A i ===，设两次抽奖至少有一次中奖为事件B ，则121212B A A A A A A = ,然后利用互斥事件和独立事件概率公式求解即可.【小问1详解】设2个白球为,A B ，3个红球为,,a b c ，则不放回地依次摸出两个球的情况有：,,,,,,,,,,,,,,AB BA Aa aA Ab bA Ac cA Ba aB Bb bB Bc cB ,,,,,ab ba ac ca bc cb ,共有20种情况，其中摸出的2个球颜色相同的有：,,,,,,,AB BA ab ba ac ca bc cb ，共8种情况，所以某顾客有一次抽奖机会，其中奖的概率为82205=；【小问2详解】设在第i 次抽奖时中奖为事件(1,2)i A i =，由于每次抽奖的情况相同，由（1）可知23(),()(1,2)55i i P A P A i ===，设两次抽奖至少有一次中奖为事件B ，则121212B A A A A A A = ,其中121212,,A A A A A A 为互斥事件，则121212()()()()P B P A A P A A P A A =++，因为每次抽奖之间相互独立，所以1212224()()()5525P A A P A P A ==×=, 1212326()()()5525P A A P A P A ==×=，1212236()()()5525P A A P A P A ==×=，的的所以12121246616()()()()25252525P B P A A P A A P A A =++=++=，即若某顾客有两次抽奖机会，则至少有一次中奖的概率为1625. 18. 如图1，ABC 是边长为3的等边三角形，点,D E 分别在线段,AC AB 上，且1,2AE AD ==，沿DE将ADE 翻折到PDE △的位置，使得PB ，如图2.（1）求证：平面PDE ⊥平面BCDE ；（2）在线段PB 上是否存在点M ，使得//EM 平面PCD ，若存在，求出PMMB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12PM MB = 【解析】【分析】（1DE PE ⊥，BE PE ⊥，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可得证；（2）E 作//EF CD ，交BC 于F ，过点F 作//FM PC ，交PB 于M ，证明平面//PCD 平面MEF ，得存在点M ，利用平行线分线段成比例，求出PMMB的值. 【小问1详解】在PDE △中，1PE=，2PD =，60EPD °∠=，由余弦定理得2222cos 603DE PE PD PE PD °=+−⋅=，所以222PE DE PD +=，所以DE PE ⊥，在PBE △中，1PE=，2BE =，PB =222PE BE PB +=，所以BE PE ⊥，又因为BE DE E ∩=，,BE DE ⊂平面BCDE ，所以PE ⊥平面BCDE ，又PE ⊂平面PDE ，所以平面PDE ⊥平面BCDE . 【小问2详解】在平面BCDE 中，过点E 作//EF CD ，交BC 于F ，在平面PBC 中，过点F 作//FM PC ，交PB 于M ，连接ME ，如图所示，因为//EF CD ，CD ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，所以//EF 平面PCD ，同理可得//MF 平面PCD ，又因为EF MF F ∩=，,EF MF ⊂平面MEF ，所以平面//PCD 平面MEF ，ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PCD ，即M 为所求的点，在ABC 中，//EF CD ，即//EF AC ，如图所示，所以12CFAE FB EB ==，在PBC 中，//FM PC ，所以12PM CF MBFB ==，即此时12PM MB =. 19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对()()1212,,z z z z C ∈看作一个向量，记()12,a z z =，称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于()()12341234,,,,az z b z z z z z z λ=∈C､､､､，我们有如下运算法则：①()1324,a b z z z z ±±±；②()12,a z z λλλ= ；③1324a b z z z z ⋅=+；④a =.（1）设()()1,2i ,1i,2i a b =−=+ ，求a b ⋅ 和a b + ；（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，判断其是否正确并说明理由；（3）设()22i,2α=+ ，集合(){}122112Ω,,2,,,Ωpp z z z z z z β===+∈∈C∣.求αβ− 的最小值；并证明当αβ−取最小值时，对于任意的()()Ω,0γαββγ∈−⋅−=.【答案】（1）15i a b ⋅=−− ；a b +=（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）代入公式①③即可求解；（2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解；（3）设满足条件的()i,2i m n m n β=+++，表示出()1i,1i a β−+−−，即可得到αβ−，根据完全平方数的性质计算可得最小值.根据所给条件求出()1i,3i β=++ ，再证明对任意的γ∈Ω，根据定义证明()()0αββγ−⋅−=即可. 【小问1详解】由()()1,2i ,1i,2i a b =−=+，得()2i,2i a b +=++ ，()()211i 2i 2i 1i 4i+2i 15i a b ⋅=×−−−=−−=−−；a b +=【小问2详解】设()12,a z z =，()34,b z z = ，()56,c z z = ，1z 、2z 、3z 、4z 、5z 、6z C ∈， ()3546,b c z z z z +=++ ，324a b z z z z ⋅=+ ，1526ac z z z z ⋅=⋅+， ()135246a b c z z z z z z ⋅+=+++，因5335z z z z +=+，6446z z z z +=+，所以()()()135246a b c z z z z z z ⋅+=+++，13241526z z z z z z z z a b a c =+++=⋅+⋅，故正确；【小问3详解】不妨令()i,2i m n m n β=+++，则()()22i,i a m n m n β−=−−−−−，则αβ−==当1m =，1n =时取得αβ−最小值2，此时()1i,1i a β−+−−，()1i,3i β=++为设满足条件的，()44,2z z γ+ ， 4C z ∈，则()1i,1i a β−+−−，()441i ,1i z z βγ−=+−+−， ()()()()()()()()()2244441i 1i 1i 1i 1i1i i 11i 0z z z z αββγ−⋅−=+−−+−−−−=−−++−++=【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题.。

高一数学下学期期末考试教学质量监测试题含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹高一数学下学期期末考试教学质量监测试题〔含解析〕一、选择题〔一共12小题〕.1．〔5分〕直线y＝﹣x+1的倾斜角为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°2．〔5分〕一个三棱锥的直观图如图〔粗线局部〕所示，那么该三棱锥的三视图是〔〕A．B．C．D．3．〔5分〕在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a3＝0，那么a6的值是〔〕A．﹣12 B．﹣6 C．12 D．64．〔5分〕点P〔2，4〕与点Q关于直线l：y＝﹣x+1对称，那么点Q的坐标为〔〕A．〔﹣1，﹣2〕B．〔﹣1，﹣3〕C．〔2，0〕D．〔﹣3，﹣1〕5．〔5分〕圆柱的轴截面是边长为2的正方形，那么圆柱的外表积为〔〕A．6πB．7πC．8πD．9π6．〔5分〕等比数列{a n}的各项均为正数，且a3a6＝e2，那么lna1+lna2+……+lna8＝〔〕A．8 B．10 C．12 D．147．〔5分〕直线x+y﹣3＝0被圆x2+y2﹣2y＝3截得的弦MN的长为〔〕A．2 B．3 C．2D．28．〔5分〕设m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，以下结论正确的选项是〔〕A．假设m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n B．假设m⊥α，n⊥β，α⊥β，那么m⊥nC．假设m⊥α，n⊂β，α⊥β，那么m∥n D．假设m∥α，n∥β，m⊥n，那么α⊥β9．〔5分〕对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，假设x满足不等式2x2﹣13x+15＜0，那么[x]的取值范围是〔〕A．〔，5〕B．{2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} 10．〔5分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，那么角B的大小为〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，假设截面圆半径为，那么球O的体积为〔〕A．16πB．C．D．12．〔5分〕圆C：x2+〔y﹣4〕2＝1和两点A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕〔a＞0〕，假设圆C上存在点M，满足MA⊥MB，那么a的取值范围是〔〕A．〔3，4〕B．[3，4] C．[3，5] D．[4，5]二、填空题〔一共4小题〕.13．〔5分〕假设x＞0，那么函数f〔x〕＝4x+的最小值是．14．〔5分〕△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A〔0，2〕，B〔4，0〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么AB边上的中线CM所在的直线方程为．15．〔5分〕等差数列{a n}中，a1＝9，a6＝a2﹣8，那么{a n}的前n项和S n的最大值为．16．〔5分〕如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度，设计测量方案为先在地面选定间隔为180米的C，D两点，然后在C处测得∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，在D处测得∠BDC＝45°，那么此建筑物AB的高度为米．三、解答题〔一共6小题〕.17．〔10分〕两直线l1：ax+3y+4＝0和l2：x+〔a﹣2〕y+a2﹣5＝0．〔1〕假设l1⊥l2，务实数a的值；〔2〕假设l1∥l2，务实数a的值．18．〔12分〕不等式x2﹣mx+4＜0的解集为{x|n＜x＜﹣1}，〔1〕求m，n的值；〔2〕求不等式≥0的解集．19．〔12分〕数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝n2+2n，n∈N*．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．20．〔12分〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝2c sin B．〔1〕求角C的大小；〔2〕假设c＝，且a+b＝3，求△ABC的面积．21．〔12分〕如图，圆柱内有一个三棱锥A﹣BCD，AD为圆柱的一条母线，DF为下底面圆O的直径，O1为圆柱上底面圆的圆心．〔1〕假设点B为下底面圆弧上与D，F不重合的点，求证：BF⊥AB．〔2〕假设BC也为下底面圆O的直径，且与DF不重合，求证：O1F∥面ABC．22．〔12分〕O为坐标原点，圆C的方程为：〔x﹣1〕2+y2＝1，直线l过点M〔0，3〕．〔1〕假设直线l与圆C有且只有一个公一共点，求直线l的方程；〔2〕假设直线l与圆C交于不同的两点A，B，试问：直线OA与OB的斜率之和是否为定值，假设是，求出该定值：假设不是，说明理由．参考答案一、选择题〔一共12小题〕.1．〔5分〕直线y＝﹣x+1的倾斜角为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．解：因为直线y＝﹣x+1的斜率为k＝﹣，所以直线的倾斜角为α，tanα＝﹣，所以α＝120°．应选：C．2．〔5分〕一个三棱锥的直观图如图〔粗线局部〕所示，那么该三棱锥的三视图是〔〕A．B．C．D．【分析】根据三视图的特点：长对正，齐，宽相等进展分析，依此画出该几何体的三视图即可．解：根据三视图的画法，可得三视图如下，应选：B．3．〔5分〕在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a3＝0，那么a6的值是〔〕A．﹣12 B．﹣6 C．12 D．6【分析】由列式求得等差数列的公差，再由通项公式求得a6的值．解：在等差数列{a n}中，由a1＝﹣8，a7＝0，得d＝，应选：C．4．〔5分〕点P〔2，4〕与点Q关于直线l：y＝﹣x+1对称，那么点Q的坐标为〔〕A．〔﹣1，﹣2〕B．〔﹣1，﹣3〕C．〔2，0〕D．〔﹣3，﹣1〕【分析】设出Q点坐标，根据直线PQ与直线l互相垂直，以及线段PQ中点在直线l上，列出方程组，解出x，y即可．解：设Q〔x，y〕，那么直线PQ⊥l，且线段PQ的中点在l上，即﹣，解得，应选：D．5．〔5分〕圆柱的轴截面是边长为2的正方形，那么圆柱的外表积为〔〕A．6πB．7πC．8πD．9π【分析】根据题意，可得h＝2r＝2，然后代入圆柱的外表积公式即可得答案．解：设圆柱的底面半径为r，高为h，由题可知，h＝2r＝2，应选：A．6．〔5分〕等比数列{a n}的各项均为正数，且a3a6＝e2，那么lna1+lna2+……+lna8＝〔〕A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由结合等比数列的性质可得a1a2…a8的值，再由对数的运算性质即可求得lna1+lna2+……+lna8的值．解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a3a6＝e2，由等比数列的性质可得：a6a8＝a2a7＝a4a5＝a3a6＝e2，应选：A．7．〔5分〕直线x+y﹣3＝0被圆x2+y2﹣2y＝3截得的弦MN的长为〔〕A．2 B．3 C．2D．2【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心以及半径，求出圆心到直线的间隔，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2y＝3，即x4+〔y﹣1〕2＝5，其圆心为〔0，1〕，半径r＝2；圆心到直线x+y﹣3＝0的间隔d＝＝，故MN＝2；应选：D．8．〔5分〕设m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，以下结论正确的选项是〔〕A．假设m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n B．假设m⊥α，n⊥β，α⊥β，那么m⊥nC．假设m⊥α，n⊂β，α⊥β，那么m∥n D．假设m∥α，n∥β，m⊥n，那么α⊥β【分析】对于A，m与n平行或者异面；对于B，由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n；对于C，m与n 相交、平行或者异面；对于D，α与β相交或者平行．解：由m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，知：对于A，假设m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m与n平行或者异面，故A错误；对于C，假设m⊥α，n⊂β，α⊥β，那么m与n相交、平行或者异面，故C错误；应选：B．9．〔5分〕对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，假设x满足不等式2x2﹣13x+15＜0，那么[x]的取值范围是〔〕A．〔，5〕B．{2，3，4，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}【分析】求出不等式2x2﹣13x+15＜0的解集，再根据题意求出[x]的取值范围．解：不等式2x2﹣13x+15＜0可化为〔x﹣5〕〔2x﹣3〕＜0，解得＜x＜5；所以[x]的取值范围是{1，2，3，4}．应选：C．10．〔5分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，那么角B的大小为〔〕A．B．C．D．【分析】由结合余弦定理对进展化简，然后再结合余弦定理即可求解．解：∵＝2b×＝，整理可得，，因为B为三角形的内角，故B＝．应选：D．11．〔5分〕球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，假设截面圆半径为，那么球O的体积为〔〕A．16πB．C．D．【分析】由题意可得球心到截面的间隔，由勾股定理求出球的半径，进而求出体积．解：画出过球心的大圆，如下列图，那么由题意可得O为球心，D为截面圆的圆心，且BD为截面圆的半径r＝，OB为球的半径R，由题意DC＝•2R＝，那么OD＝，在△ODB中：R2＝〔〕2+〔〕2，解得R＝2，应选：D．12．〔5分〕圆C：x2+〔y﹣4〕2＝1和两点A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕〔a＞0〕，假设圆C上存在点M，满足MA⊥MB，那么a的取值范围是〔〕A．〔3，4〕B．[3，4] C．[3，5] D．[4，5]【分析】求出过两点A〔﹣a，0〕与B〔a，0〕〔a＞0〕的圆的方程，与圆C的方程联立，结合y的范围求解a的范围．解：由题意，过两点A〔﹣a，0〕与B〔a，0〕〔a＞0〕的圆的方程为x2+y2＝a2，与圆C：x2+〔y﹣4〕2＝1联立，可得a2＝8y﹣15，∴7≤a2≤25，又a＞0，∴a的取值范围是[3，5]．应选：C．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13．〔5分〕假设x＞0，那么函数f〔x〕＝4x+的最小值是16．【分析】根据根本不等式的性质求出函数的最小值即可．解：∵x＞0，∴f〔x〕＝4x+≥2＝2×8＝16，故答案为：16．14．〔5分〕△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A〔0，2〕，B〔4，0〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣3y﹣1＝0．【分析】由中点坐标公式求得AB的中点M的坐标，结合B的坐标写出AC边上的中线所在直线的两点式，化为一般式得答案．解：∵A〔0，2〕，B〔4，0〕，∴AB的中点M的坐标为〔8，1〕，又C〔﹣1，﹣1〕，整理为一般式为2x﹣3y﹣1＝4．故答案为：2x﹣3y﹣1＝0．15．〔5分〕等差数列{a n}中，a1＝9，a6＝a2﹣8，那么{a n}的前n项和S n的最大值为25．【分析】根据题意，等差数列{a n}的公差，进而可得数列的通项公式，分析可得当1≤n≤5时，a n＞0，当n≥6时，a n＜0，据此可得当n＝5时，S n获得最大值，由等差数列前n项和公式计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，假设a6＝a2﹣8，那么d＝＝﹣2，那么有当1≤n≤5时，a n＞0，当n≥2时，a n＜0，故答案为：2516．〔5分〕如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度，设计测量方案为先在地面选定间隔为180米的C，D两点，然后在C处测得∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，在D处测得∠BDC＝45°，那么此建筑物AB的高度为30米．【分析】根据题意，利用正弦定理求得BC的长，再由直角三角形的边角关系求出AB的大小．解：△BCD中，CD＝180，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，所以∠CBD＝180°﹣75°﹣45°＝60°，解得BC＝＝60；所以AB＝BC＝30，故答案为：30．三、解答题：本大题一一共6题，一共70分解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17．〔10分〕两直线l1：ax+3y+4＝0和l2：x+〔a﹣2〕y+a2﹣5＝0．〔1〕假设l1⊥l2，务实数a的值；〔2〕假设l1∥l2，务实数a的值．【分析】〔1〕由两直线A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0垂直，可得A1A2+B1B2＝0，由此列式求解a值；〔2〕由两直线A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0平行，可得，由此列式求解a值．解：〔1〕假设l1⊥l2，那么a×1+3×〔a﹣8〕＝0，解得a＝，故所务实数a的值是；解得a＝7，故所务实数a的值是3．18．〔12分〕不等式x2﹣mx+4＜0的解集为{x|n＜x＜﹣1}，〔1〕求m，n的值；〔2〕求不等式≥0的解集．【分析】〔1〕根据不等式与对应方程的关系，列出方程组求得m、n的值；〔2〕把m、n代入不等式求解解即可．解：〔1〕不等式x2﹣mx+4＜0的解集为{x|n＜x＜﹣1}，所以﹣1，n是方程x2﹣mx+4＝0的两根，解得，或者〔舍去〕；即为，解得：；所以不等式的解集为．19．〔12分〕数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝n2+2n，n∈N*．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】〔1〕利用条件通过a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1，求解数列{a n}的通项公式a n．〔2〕化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．解：〔1〕∵，n∈N*…①…〔1分〕当n＝6时，a1＝S1＝3，…〔2分〕②﹣①得a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+3，〔n≥2〕…〔4分〕所以数列{a n}的通项公式a n＝2n+1．n∈N*…〔5分〕T n＝b1+b2+…+b n所以数列{b n}的前n项和＝…〔3分〕＝…〔11分〕20．〔12分〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝2c sin B．〔1〕求角C的大小；〔2〕假设c＝，且a+b＝3，求△ABC的面积．【分析】〔1〕根据正弦定理得到，进而可求得sin C，即可解出C；〔2〕由余弦定理可得ab＝1，结合三角形面积公式代入计算即可解：〔1〕因为，所以由正弦定理得，又因为C是锐角，故C＝60°；所以5＝〔a+b〕2﹣3ab＝9﹣8ab所以ab＝1那么．21．〔12分〕如图，圆柱内有一个三棱锥A﹣BCD，AD为圆柱的一条母线，DF为下底面圆O的直径，O1为圆柱上底面圆的圆心．〔1〕假设点B为下底面圆弧上与D，F不重合的点，求证：BF⊥AB．〔2〕假设BC也为下底面圆O的直径，且与DF不重合，求证：O1F∥面ABC．【分析】〔1〕要证明BF⊥AB，先证明BF⊥平面ADB，由线面垂直的断定定理，可证明AD⊥BF和BD⊥BF；〔2〕由题意可判断出四边形AOFO1为平行四边形，即AO∥O1F，由线面平行的断定定理证明即可．【解答】〔1〕证明：∵AD为圆柱的母线，∴AD⊥底面圆O，又∵BF⊂底面圆O，∴AD⊥BF；∵AD∩BD＝D，AD，BD⊂面ADB，∴BF⊥面ADB，〔2〕证明：连接AO，AO1，OO1又∵AO1＝OF，∴四边形AOFO1为平行四边形，∴O1F∥平面ABC．22．〔12分〕O为坐标原点，圆C的方程为：〔x﹣1〕2+y2＝1，直线l过点M〔0，3〕．〔1〕假设直线l与圆C有且只有一个公一共点，求直线l的方程；〔2〕假设直线l与圆C交于不同的两点A，B，试问：直线OA与OB的斜率之和是否为定值，假设是，求出该定值：假设不是，说明理由．【分析】〔1〕当直线的斜率不存在时，l的方程为x＝0，符合题意．当直线l斜率存在时，设l的方程为y＝kx+3，由圆心到直线的间隔等于半径列式求得k，那么直线方程可求；〔2〕由〔1〕知直线l斜率存在，设l的方程为y＝kx+3，联立直线方程与圆的方程，利用斜率公式与根与系数的关系即可求得直线OA与OB的斜率之和为定值．解：〔1〕①当直线l斜率不存在时，l的方程为x＝0，符合题意．②当直线l斜率存在时，设l的方程为y＝kx+3，∵直线与圆有一个公一共点，∴，∴l的方程为y＝，即5x+3y﹣9＝0．〔2〕直线OA与OB的斜率之和为定值．设A〔x1，y1〕，B〔x3，y2〕，消去y得〔k2+1〕x2+〔6k﹣2〕x+9＝0．那么＝∴直线OA与OB的斜率之和为定值．。

2023年高一下学期期末数学试卷(附答案)

高一下学期数学期末试卷(试卷总分:100分,考试时间:100分钟)考生注意：请将正确答案填写在答题卷上规定的位置，在本试卷上作答一律无效！一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

1.下列命题为真命题的是（）.A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C.垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行 2．已知数列{}n a 的通项公式是n a=1(2)2n n +，则220是这个数列的（）. A ．第20项 B ．第19项 C ．第21项 D ．第22项3.右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（）. A. 300 B.450 C. 600 D. 9004.右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（）. A. 300 B.450 C. 600 D. 905. 在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于( ).A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或1506.已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出的结果是（）. A. 3 B. 9 C.27 D.81 7．直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5C.a=-2,b=5;D.a=-2,b=-58.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）.A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1) 9. 在△ABC 中，已知ab c b a 2222+=+，则C=( ).A .300 B. 1500 C. 450 D. 135A BD A ’ B ’ D ’C ’ C图1乙甲751873624795436853432110.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 那么十六进制下的 1AF 转化为十进制为（）. A. 431 B.321 C.248 D. 250 11. 等差数列{}n a 中，73,10,d a =-=，则1a 等于（）. A ．-39 B ．28 C ．39 D ．3212．圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）.A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).13.直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（）. A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定14.已知等差数列{}n a 中，22a =，46a =，则前4项的和4S 等于（）. A.12 B.10 C.8 D.1415.当输入a 的值为2，b 的值为3-时，右边程序运行的结果是( )..2A - .1B - .1C .2D16．10名工人某天生产同一个零件的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>17．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）.A ．9991 B ．10001C ．1000999D ．2118.如图是某赛甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）. A ．62 B. 63 C ．64 D ．65二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

高一数学下学期期末教学质量检测试题含解析试题

2021~2021学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试题考前须知:1.本试题一共4页,满分是150分,时间是120分钟：2.答卷前，考生需要准确填写上自已的姓名、准考证号,并认真核查条形码上的姓名、准考证号；3.选择题必须使需要用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0,5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、明晰。

4.在考试完毕之后，监考员将试题卷、答题卡、草稿纸等一并收回。

第I卷(选择题，一共60分)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每小剧给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的1.x，y是两个变量，以下四个散点图中，x，y虽负相关趋势的是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】由图可知C选项里面的散点图描绘了y随着x的增加而减小的变化趋势，应选：C2.以下表达中，不能称为算法的是〔〕 A. 植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤B. 按顺序进展以下运算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100C. 从到旅游，先坐火车，再坐飞机抵达D. 3x ＞x +1 【答案】D 【解析】【分析】利用算法的定义来分析判断各选项的正确与否，即可求解，得到答案. 【详解】由算法的定义可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步骤：可得A 、B 、C 为算法，D 没有明确的规那么和步骤，所以不是算法，应选D.【点睛】此题主要考察了算法的概念，其中解答的关键是理解算法的概念，由概念作出正确的判断，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.3.式子cos cossinsin3636ππππ-的值是〔〕A. 12-B. 0C. 1D. 【答案】B 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式，得到原式cos()cos 362πππ=+=，即可求解，得到答案. 【详解】由两角和的余弦公式，可得cos cossinsincos()cos 03636362πππππππ-=+==，应选B.【点睛】此题主要考察了两角和的余弦公式的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.ABCD 中，假如，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是〔〕 A. 矩形 B. 正方形C. 菱形D. 直角梯形【答案】C 【解析】试题分析：因为，所以AC BD ⊥，即四边形ABCD 的对角线互相垂直，排除选项AD ；又因为AB DC =，所以四边形ABCD 对边平行且相等，即四边形ABCD 为平行四边形，但不能确定邻边垂直，所以只能确定为菱形．考点：1．向量相等的定义；2．向量的垂直；5.函数1tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是〔〕A. {|2,}2x x k k Z ππ≠+∈ B. {|4,}2x x k k Z ππ≠+∈C. {|,}28k x x k Z ππ≠+∈ D. {|,}8x x k k Z ππ≠+∈【答案】A 【解析】【分析】利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域．【详解】令x+〔k ∈Z 〕，解得：x〔k ∈Z 〕，故函数的定义域为{x|x ，k ∈Z}应选：A ．【点睛】此题考察的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．cm ，圆心角为2弧度，那么该扇形的面积为〔〕A. 24cmB. 26cmC. 28cmD. 216cm【答案】A 【解析】【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设此扇形半径为r ，扇形弧长为l=2r 那么2r +2r ＝8，r=2， ∴扇形的面积为12l r=224r cm = 应选：A【点睛】此题考察了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于根底题．7.α是第二象限角，且3sin 5α=，那么tan 2α的值为 A.45B. 247-C. 83-D. 237-【答案】B 【解析】试题分析：因为α是第二象限角，且3sin 5α=，所以2332tan 242tan tan 2741tan 716αααα-=-⇒===--．考点：两角和的正切公式．8.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( )A. 至少有一个是红球，至少有一个是绿球B. 恰有一个红球，恰有两个绿球C. 至少有一个红球，都是红球D. 至少有一个红球，都是绿球【答案】B 【解析】【分析】列举事件所包含的根本领件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【详解】根本领件为：一个红球一个绿球；两个红球，两个绿球.选项A ：这个事件既不互斥也不对立；选项B ，是互斥事件，但是不是对立事件；选项C ，既不互斥又不对立；选项D ，是互斥事件也是对立事件. 故答案为：B.【点睛】此题考察互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联络与区别．同时要可以准确列举某一事件所包含的根本领件．属简单题9.在区间[–1，1]上任取两个数x 和y ，那么x 2+y 2≥1的概率为〔〕A. 14π-B. 128π-C. 18π-D. 124π-【答案】A 【解析】由题意知，所有的根本领件构成的平面区域为11(,)|11x x y y ⎧⎫-≤≤⎧⎨⎨⎬-≤≤⎩⎩⎭，其面积为224=．设“在区间[-1,1]上任选两个数x y 和，那么221x y +≥〞为事件A ，那么事件A 包含的根本领件构成的平面区域为2211(,)|111x x y y x y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪⎪-≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，其面积为224ππ-=-．由几何概型概率公式可得所求概率为4()144P A ππ-==-．选A ．10.右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重〔单位：kg 〕.记甲组数据的众数与中位数分别为11,x y ，乙组数据的众数与中位数分别为22,x y ，那么〔〕A. 1212,x x y y >>B. 1212,x x y y ><C. 1212,x x y y <>D. 1212,x x y y <<【答案】D 【解析】甲组数据的众数为x 1＝64，乙组数据的众数为x 2＝66，那么x 1<x 2；甲组数据的中位数为y 1＝64+662＝65，乙组数据的中位数为y 2＝66+672＝66.5，那么y 1<y 2.11.假设程序框图如下图，那么该程序运行后输出k 的值是〔〕A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A 【解析】试题分析：第一次循环运算：3516,1n k =⨯+=；第二次：168,22n k ===；第三次：84,32n k ===；第四次：42,42n k ===；第五次：21,52n k ===，这时符合条件输出5k =，应选A.考点：算法初步.12.函数f 〔x 〕＝Asin 〔ωx +φ〕+B 〔A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜〕的局部图象如下图，那么f〔x 〕的解析式为〔〕A. f 〔x 〕＝sin 〔x 6π+〕﹣1 B. f 〔x 〕＝2sin 〔x 6π+〕﹣1C. f 〔x 〕＝2sin 〔x 3π+〕﹣1 D. f 〔x 〕＝2sin 〔2x 3π+〕+1 【答案】D 【解析】【分析】由列式求得,A B 的值，再由周期求得w 的值，利用五点作图的第二个点求得ϕ的值，即可得到答案.【详解】由题意，根据三角函数的图象，可得31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解得2,1A B ==，又由7212122T πππ=-=，解得T π=，那么22w T π==，又由五点作图的第二个点可得：2122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，所以函数的解析式为()2sin(2)13f x x π=++，应选D.【点睛】此题主要考察了由sin()y A wx B ϕ=++的局部图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的五点作图法，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.第二卷〔非选择题，90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.向量a =〔1，2〕，b =〔x ，4〕，且a ∥b ，那么||=a b -_____．【解析】【分析】根据//a b 求得2x =，从而可得(2,4)b =，再求得a b -的坐标，利用向量模的公式，即可求解.【详解】由题意，向量//a b ，那么420x -=，解得2x =，所以(2,4)b =，那么(1,2)a b -=--，所以(1)a b -=-=【点睛】此题主要考察了向量平行关系的应用，以及向量的减法和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的平行关系，以及向量的坐标运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.14.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进展某项研究，那么应从高三年级学生中抽取_____人．【答案】300．【解析】【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【详解】由题意，高三学生占的比例为150051200900150012=++，所以应从高三年级学生中抽取的人数为572030012⨯=. 【点睛】此题主要考察了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.15.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，消费中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，那么抽到优质品的概率为__________．【答案】【解析】【分析】根据对立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品〞与“抽到合格品或者次品〞是对立事件，所以在该产品中任抽一件，那么抽到优质品的概率为P 10.250.030.72=--=. 故答案为0.72【点睛】此题主要考察对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于根底题型.16.将函数f 〔x 〕＝cos 〔2x 12+π〕的图象向左平移8π个单位长度后，得到函数g 〔x 〕的图象，那么以下结论中正确的选项是_____．〔填所有正确结论的序号〕 ①g 〔x 〕的最小正周期为4π； ②g 〔x 〕在区间[0，3π]上单调递减； ③g 〔x 〕图象的一条对称轴为x 12=π； ④g 〔x 〕图象的一个对称中心为〔712π，0〕．【答案】②④．【解析】【分析】利用函数sin()y A wx ϕ=+的图象的变换规律求得()g x 的解析式，再利用三角函数的周期性、单调性、图象的对称性，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，将函数()cos(2)12f x x π=+的图象向左平移8π个单位长度后，得到()cos[2()]cos(2)8123g x x x πππ=++=+的图象，那么函数()g x 的最小正周期为22ππ=，所以①错误的；当[0,]3x π∈时，2[,]33x πππ+∈，故()cos(2)3g x x π=+在区间[0,]3π单调递减，所以②正确；当12x π=时，()0g x =，那么12x π=不是函数的对称轴，所以③错误；当712x π=时，()0g x =，那么7(,0)12π是函数的对称中心，所以④正确；所以结论正确的有②④.【点睛】此题主要考察了三角函数sin()y A wx ϕ=+的图象变换，以及三角函数的图象与性质的断定，其中解答熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，准确断定是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤17.角α的终边经过点(,P m ，且1cos 3α=-．〔1〕求m 的值；〔2)sin()ππαα-++的值．【答案】〔1〕1m =-；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由1cos 3α=-利用任意角的三角函数的定义，列等式可求得实数m 的值；〔2〕由〔1〕可得tan α=-，根据同角三角函数的关系，可得结果.【详解】〔1〕由三角函数的定义可知1cos 3α=-= 1m ∴=± 1cos 03α=-<0m ∴< 1m ∴=-〔2〕由〔1〕知(1,P -可得tan α=-∴1-+＝【点睛】此题主要考察诱导公式的应用以及三角函数的定义，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限〞的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便进步做题速度.18.向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，设m =3-a 2b ，n =2k +a b ．〔Ⅰ〕假设m ⊥n ，务实数k 的值；〔Ⅱ〕当k ＝0时，求m 与n 的夹角θ的大小．【答案】〔Ⅰ〕43〔Ⅱ〕6π【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用m ⊥n ，结合向量的数量积的运算公式，得到关于k 的方程，即可求解；〔Ⅱ〕当0k =时，利用向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式，即可求解.【详解】〔Ⅰ〕由题意，向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，所以1232⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭a b 3，24a =，29=b ，又由m =3-a 2b ，n =2k +a b ．假设m ⊥n ，可得⋅=m n 62+a 〔3k ﹣4〕⋅-a b 2k 2=b 24﹣3〔3k ﹣4〕﹣18k ＝0，解得k 43=．〔Ⅱ〕当k ＝0时，m =3-a 2b ，n =2a ，那么⋅=m n 62-a 4⋅=a b 36．因为2(32)=-=m a b 63，=n 4，由向量的夹角公式，可得cosθ32⋅==m n m n ，又因为0≤θ≤π，∴6πθ=，所以m 与n 的夹角θ的大小为6π．【点睛】此题主要考察了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.19.为选派一名学生参加全理论活动技能竟赛，A 、B 两位同学在的学习基地现场进展加工直径为20mm 的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如下图〔单位：mm 〕A 、B 两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；根据测试得到的有关数据，试解答以下问题：〔Ⅰ〕计算s 2B ，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；〔Ⅱ〕考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较适宜？请说明你的理由．【答案】〔Ⅰ〕，B 的成绩好些〔Ⅱ〕派A 去参赛较适宜【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用方差的公式，求得S 2A ＞S 2B ，从而在平均数一样的情况下，B 的波动较小，由此得到B 的成绩好一些；〔Ⅱ〕从图中折线趋势可知尽管A 的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A 的潜力大，从而派A 去参赛较适宜.【详解】〔Ⅰ〕由题意，根据表中的数据，利用方差的计算公式，可得S 2B 22221[5(2020)3(19.920)1(120)1(20.220)]0.00810=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ∴S 2A ＞S 2B ，∴在平均数一样的情况下，B 的波动较小， ∴B 的成绩好些．〔Ⅱ〕从图中折线趋势可知：尽管A 的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A 的潜力大， ∴派A 去参赛较适宜．【点睛】此题主要考察了方差的求法及其应用，同时考察了折线图、方差的性质等根底知识.20.某超为理解端午节期间粽子的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购置量〔单位：g〕进展了问卷调查，得到如下图的频率分布直方图．〔Ⅰ〕求频率分布直方图中a的值；〔Ⅱ〕求这1000名消费者的棕子购置量在600g～1400g的人数；〔Ⅲ〕求这1000名消费者的人均粽子购置量〔频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表〕．【答案】〔Ⅰ〕a＝0.001 〔Ⅱ〕620 〔Ⅲ〕1208g【解析】【分析】〔Ⅰ〕由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解a得值；g g的频率，由此能求出这1000名消费者的粽子购置〔Ⅱ〕先求出粽子购置量在6001400g g的人数；量在6001400〔Ⅲ〕由频率分布直方图能求出1000名消费者的人均购置粽子购置量【详解】〔Ⅰ〕由频率分布直方图的性质，可得〔0.0002+0.00055+a〕×400＝1，解得a＝．〔Ⅱ〕∵粽子购置量在600g～1400g的频率为：〔〕×400＝，∴这1000名消费者的棕子购置量在600g ～1400g 的人数为：×1000＝620．〔Ⅲ〕由频率分布直方图得这1000名消费者的人均粽子购置量为：〔400×0.0002+800×0.00055+1200×0.001+1600×0.0005+2000×〕×400＝1208g ．【点睛】此题主要考察了频率、频数、以及频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答此类问题的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.21.函数()2sin cos f x wx wx wx =〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔Ⅰ〕求ω的值和f 〔x 〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕假设关于x 的方程f 〔x 〕﹣m ＝0在区间[0，2π]上有两个实数解，务实数m 的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕1w =，函数的增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈．〔Ⅱ〕312m ≤< 【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，即可求得结论；〔Ⅱ〕由题意，函数()f x 的图象和直线y m =在区间[0,]2π上有两个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的图象特征，即可求解m 的取值范围.【详解】〔Ⅰ〕由题意，函数()21cos 2sin cos 22wx f x wx wx wx wx -=+=1sin(2)62wx π=-+所以函数()f x 的最小正周期为22w，∴1w =，即 ()1sin(2)62f x x π=-+．令222262k x k πππππ-≤-≤+，求得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，可得函数的增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈．〔Ⅱ〕在区间[0,]2π上，那么52[,]666x πππ-∈-，那么1sin(2)[,1]62x π-∈-，即()3[0,]2f x ∈，关于x 的方程()0f x m -=在区间[0,]2π上有两个实数解，那么()f x 的图象和直线y m =在区间[0,]2π上有两个不同的交点，那么312m ≤<．【点睛】此题主要考察了三角恒等变换，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及把关于x 的方程()0f x m -=在区间[0,]2π上有两个实数解，转化为两个函数图象的交点个数是解答的关键，着重考察了转化思想，以及推理与运算才能，属于中档试题.22.某食品药品监视管理局开展2021年春季校园餐饮平安检查，对本的8所中学食堂进展了原料采购加工HY 和卫生HY 的检查和评分，其评分情况如下表所示：〔1〕x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；〔准确到0.1〕〔2〕现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，假设两个中学食堂的原料采购加工HY 和卫生HY 的评分均超过80分，那么组成“比照标兵食堂〞，求该组被评为“比照标兵食堂〞的概率.参考公式：1221ˆni i i nii x y nx y bx nx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-；参考数据：8154112i ii x y==∑，82156168i i x ==∑.【答案】〔1〕0.356.1y x =+；〔2〕514【解析】【分析】〔1〕由题意计算x 、y ，求出回归系数，写出线性回归方程；〔2〕用列举法写出根本领件数，计算所求的概率值．【详解】〔1〕由题意得：83x =，81y =，8182221854112883810.3561688838ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 81ˆˆ0.38356.1ay bx =-=-⨯=. 故所求的线性回归方程为：0.3561ˆ.yx =+. 〔2〕从8个中学食堂中任选两个，一共有一共28种结果：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，()1,8，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()2,8，()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()3,8，()4,5，()4,6，()4,7，()4,8，()5,6，()5,7，()5,8，()6,7，()6,8，()7,8.其中原料采购加工HY 的评分和卫生HY 的评分均超过80分的有10种结果：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，所以该组被评为“比照标兵食堂〞的概率为1052814=. 【点睛】此题考察了线性回归方程的求解，考察了利用列举法求古典概型的概率问题，是根底题．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学下学期期末教学质量测试试题

2021-2021学年高一数学下学期期末教学质量测试试题一、选择题1．假设a b >，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．33a b >B ．22a b >C ．2a ab <D ．11a b< 2．在ABC △中，5BC =，4AC =，60C =︒，那么ABC △的面积为〔〕A ．5 B． C ．10 D．3．在等差数列{}n a 中，假设45a =，那么数列{}n a 的前7和7S =〔〕A ．15B ．20C ．35D ．454．平面α，β，γ和直线l ，以下命题中错误的选项是〔〕A ．假设αβ⊥，βγ，那么αγ⊥B ．假设αβ⊥，那么存在l α⊂，使得l βC ．假设a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，那么l γ⊥D ．假设αβ⊥，l α，那么l β⊥5．假设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，那么20S =〔〕A ．80B ．120C ．150D ．1806．假设实数x ，y 满足1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩那么2z x y =-的最小值是〔〕A ．3B ．－3C ．1D ．－57．在ABC △中，点P 满足3BP PC =，那么AC =〔〕A ．3122AP AB - B ．4133AP AB -C ．3144AP AB + D ．2133AP AB +8．某几何体的三视图如下图，那么其外表积为〔〕A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π9．在ABC △中，0AB AC ⋅=，点P 为BC 的中点，且PA PB =，那么向量BA 在向量BC 上的投影为〔〕A ．34BC -B ．34BC C ．14BC -D ．14BC 10．在?九章算术?中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马〞.如图，四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA AB AD ==，E 为棱PA 的中点，那么直线CE 与平面PAD 所成角的正弦值为〔〕A ．23B ．53C ．32D ．2211．在边长为4的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC AED △，CFD △，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，C ，B 三点重合于A '，那么三棱锥A EFD '-的外接球外表积为〔〕A ．3πB ．6πC ．12πD ．24π12．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，假设AB mAM =，()0,0AN nAD m n =>>，那么m n的最大值为〔〕A ．22B ．1C ．22D ．2二、填空题13．向量()1,2a =-，(),1b x =，假设a b ⊥，那么实数x =______.14．假设关于x 的不等式2230ax x -+>的解集为{}31x x -<<，那么实数a =______.15．如图，轮船A 和轮船B 同时分开海港匀速直线航行，其中轮船A 的航行速度是v n mile/h ，轮船B 的航行速度比轮船A 快10 n mile/h.航行1h 后，测得两船之间的间隔为()20v + n mile ，假如两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，那么v 的取值范围是_______.16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*233n n S a n N=-∈，假设()()4193n a n λ->-对一切*n N ∈恒成立，那么实数λ的取值范围是______.三、解答题17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，5134a a a =+，416S =.〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，1AA ⊥平面ABCD ，3AD BD ==，32AB =E 是1CD 的中点.〔1〕证明：1AD 平面BDE ；〔2〕假设14AA =，求三棱锥1D BDE -的体积.19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .假设()2253a b bc -=，5sin 8sin C B =，BAC ∠的平分线交BC 于D .〔1〕求BAC ∠；〔2〕假设5AC =，求AD .20．函数()()()224f x x a x a R =-++∈. 〔1〕解关于x 的不等式()42f x a ≤-；〔2〕假设对任意的[]0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，务实数a 的取值范围.高中2021级第一学年末教学质量测试数学试题参考答案一、选择题1~5 ABCDC6~10 DBCDA 11~12 DB二、填空题13．214．－115．()10,30 16．5,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17．解：〔1〕设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题意得11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列{}n a 的通项公式()121n a n =+-21n =-.〔2〕由〔1〕得()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111...23352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111221n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ 21n n =+ 18．解：〔1〕证明：连接AC 交BD 于点O ，连接EO .∵底面ABCD 是平行四边形，∴点O 为AC 的中点.∵点E 是棱1CD 的中点，∴EO 为1ACD △的中位线，∴1EO AD .∵EO ⊂平面BDE ，1AD ⊄平面BDE ，∴1AD 平面BDE .〔2〕∵E 是棱1CD 的中点，A B A∴点E 到平面BCD 的间隔等于点1D 到平面BCD 的间隔的一半，∴点E 到平面BCD 的间隔 1114222d DD ==⨯=， ∴三棱锥1D BDE -的体积111133D BCDE BCD BCD BCD V V V S DD S d --=-=⨯-⨯△△， ()113BCD S DD d =-△ ()113342332=⨯⨯⨯⨯-= 即三棱锥1D BDE -的体积为3.19．解：〔1〕∵5sin 8sin C B =，由正弦定理得58c b =，即85c b =. 代入()2253a b bc -=，整理可得75a b =， ∴22222287155cos 82225b b b bc a BAC bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，结合0BAC π<∠<，可得3BAC π∠=.〔2〕因为5AC b ==，于是由〔1〕得7a =，8c =. 根据余弦定理得2225781cos 2577C +-==⨯⨯，进而可得sin 7C ==，又6DAC π∠=，∴1113sin sin sin 66272714ADC C C πππ⎛⎫⎛⎫∠=--=+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC AD ADC C=∠，即513147=解得AD =20．解：〔1〕∵()42f x a ≤-，∴()2220x a x a -++≤，即()()20x a x --≤；当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；当2a =时，不等式解集为{}2x x =；当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.综上所述，当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；当2a =时，不等式解集为{}2x x =；当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.〔2〕∵对任意的[]0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，∴()2250x a x a -+++≥恒成立，即()125a x x x -≤-+恒成立.当1x =时，不等式为04≤恒成立；当(]1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--， ∵14x <≤，∴013x <-≤， ∴4141x x -+≥-，当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=〞. ∴4a ≤.当[)0,1x ∈时，2254411111x x a x x x x x -+⎛⎫≥=-+=--+ ⎪---⎝⎭. ∵01x ≤<，∴011x <-≤.令1t x =-，那么(]0,1t ∈， ∵函数4y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(]0,1上单调递增，∴当11t x =-=，即0x =时，函数4y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭取到最大值－5， ∴5a ≥-.综上所述，a 的取值范围是[]5,4-.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学下学期期末教学质量检查试题含解析试题

2021-2021学年高一数学下学期期末教学质量检查试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题1.的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，应选答案A。

高一数学下学期期末教学水平监测试题含解析试题

A.10
B.10
C.10
D.10
【答案】B
【解析】分析：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求，从而可求得x的值即塔高.
详解：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，
在中，，，，，
由正弦定理可得，
可以求得，
所以塔AB的高为米，应选B.
考点：1．等差中项；2．等差数列的前项的和．
11.如图，菱形的边长为为中点，假设为菱形内任意一点〔含边界〕，那么的最大值为A. B. C. D.Fra bibliotek【答案】D
【解析】试题分析：由向量的几何意义可知，因为点为菱形内任意一点，所以可设，那么，又点满足，所以由线性规划知识可知，当时，获得最大值，应选D．
那么，很明显
n⩾2时, ，
两式作差可得：，
那么an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
那么an−kn=(2−k)n+2，
那么数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得： .
实数的取值范围为 .
此题选择B选项.
点睛：“新定义〞主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法那么、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解才能有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考察的还是根底数学知识，所以说“新题〞不一定是“难题〞，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
16.函数的定义域为 ,假设对于、、分别为某个三角形的边长，那么称为“三角形函数〞。给出以下四个函数：

高一下期期末教学水平监测数学试题及答案(2)

高一数学试题第1页（共14页）高一下期期末教学水平监测数学试题（2）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．设,,a b c R ∈，且a b c ，则下列各不等式中恒成立的是 A ．bc ac > B ．bc C ．22b a > D ．a c b c2．已知各项均为正数的等比数列n b ，若3716b b ⋅=，则5b 的值为A ．-4B ．4C ． 4D ．0 3．已知(sin15,sin 75)a =，(cos30,sin 30)b =，则a b ⋅= A ．2 B．2- C ．12 D ．12-4．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin sinC A且ABC S ∆=，则△ABC高一数学试题第2页（共14页）A ．一定是等腰非等边三角形B ．一定是等边三角形C ．一定是直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．在ABC Δ中，D 是BC 上一点，且13BDBC ，则AD = A ．13AB AC + B ．13AB AC -C ．2133AB AC +D ．1233AB AC +6．若4sin cos 3αα+=，且(0,)4πα∈，则sin cos αα-的值是A ．23-B ．32-C ．32D ．23±7．右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．182 B ．16C ．1112 D ．2238．已知0,0x y >>，且2x y xy += ，则42x y +的最小值为 A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b Ac C ，2CB，则CB 在CA 方向上的投影为A ．1B ．2C ．3D ．4 10．下面结论中，正确结论的是A ．存在两个不等实数,αβ，使得等式sin()sin sin αβαβ+=+高一数学试题第3页（共14页）B ．4sin sin y x x=+(0< x < π)的最小值为4 C ．若n S 是等比数列na 的前n 项的和，则232,,n n n n n S S S S S成等比数列D ．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b c +>，则ABC ∆一定是锐角三角形11．关于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是A ．]4,3(B ．]5,4(C ．[)(]4,33,4-- D ．]5,4()2,3[ --12．已知数列}{n a 的前n 项和为21nS n n ，令()1cos2n n n b a π+=，记数列}{n b 的前n 项为n T ，则2019TA ．2020B ．2019C ．2018D ．2017第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项:1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

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高一数学下册期末教学质量检测试题注意:本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.题号前注明示范性高中做的，普通中学不做；注明普通中学做的，示范性高中不做，没有注明的，所有学生都做.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题只有一个正确结论，把正确结论前的代号填在下面表格中相应题号下面的空格内，用答题卡的学校，不填下表直接涂卡，每小题5分，共60分）1. 下列各式中，值为23的是 A ．2sin 215o －1 B ．2sin15o cos15o C ．cos 215o －sin 215o D ．cos210o 2． )4,(x P 为α终边上一点，53cos -=α，则=αtan A ． 43-B ．34-C ． 43± D ． 34±3．函数 y =sinx ·sin （x ＋2π）是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为的奇函数 C ．周期为2π的偶函数 D ．周期为的偶函数 4．(普通中学做)要想得到函数y =2sinx 的图像，只需将y =2sin(x －4π)的图像按向量a 平移.这里向量a= A ．（－4π，0） B ．（4π，0） C ．（8π，0） D ．（－8π，0） (示范性高中做)要想得到函数y =2sinx 的图像，只需将y =2cos(x －4π)的图像按向量a 平移.这里向量a= A ．（－4π，0） B ．（4π，0）C ．（8π，0） D ．（－8π，0） 5．已知点A （3，1），B （0，0），C （3,0），设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有，其中λ等于A ． 2B ．21C ．－3D ． 31- 6．下列命题中，真命题是A. 若 |→a |=|→b | ，则→a =→b 或 →a =－→b (排版注意：这里带箭头的向量保持原样) B. 若→a =→b ，→b =→c ，则→a =→c C. 若→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a ∥→c D. 若，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点7. 设A （a ，1），B （2，b ），C （4，5）为坐标平面上的三点，O 为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a 、b 满足的关系为A ．4a －5b=3B ．5a －4b=3C ．4a+5b=14D ． 5a+4b=14 8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么3+a b 等于A ．B ．C ．D ． 49．已知a =（sin θ，），b =（1，），其中θ∈（π，），则有A ．a ∥bB ． ⊥a bC ．a 与b 的夹角为45oD ．|a |=|b | 10. 在△AOB 中（O 为坐标原点），=（2cos α,2sin α），=（5cos β,5sin β），若·=－5，则S △AOB 的值等于A ．B ．C ．D ．11. 如图，是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋2的图像的一部分，它的振幅、周期、初相各是A ．A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6π B ．A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43π C ．A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43πD ．A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6π12．已知函数f (x)=,则f (2006)＋f (2007) ＋f (2008) ＋f (2009)=A. 0B. 1C.D. 1＋第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或蓝圆珠笔直接答在试题卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分；共20分．将答案填在题中横线上．) 13.化简：=--+CD AC BD AB ____________；14. (普通中学做) 已知a =（1，2），b =（-2，1）,则与2a －b 同向的单位向量是 ;（示范性高中做）已知a =（1，2），b =（-2，1）,则与2a －b 垂直的单位向量是； 15. 函数f(x)=ax 3+b tanx+2,若f(5)=7,则f(－5)= ； 16．下面有四个命题：（1）→0·→0=→0； (排版注意：这里带箭头的向量保持原样) （2）（→a ·→b ）·→c =→a ·（→b ·→c ）；（3）0,00a b a b ⋅===则或；（4）|→a ·→b |.≤→a ·→b其中不正确命题的序号是_____________________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤.)17．（本小题满分10分）已知tan(α+4π)=2, α∈(0, 2π). . （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin(2α－3π)的值.18．（本小题满分12分）平面内给定三个向量a =（3，2），b =（－1，2），c =（4，1），（Ⅰ）求满足a =m b +n c 的实数m 、n ；（Ⅱ）若(a +k c )⊥（2b －a )，求实数k.19. （本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =++,R ∈x .求： (I) 函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；(II) )(x f 在]2,0[π上的最值；（Ⅲ）该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到()sin y x x =∈R 的图像？20．(本小题满分12分) (普通中学做) 在ABC ∆中，cosB ＝－, cosC ＝(I) 求 sinC 的值;（II ）设BC ＝5，求ABC ∆的面积. （示范性高中做）在ABC ∆中，=2,cosC ＋cosA=sinB（I ）求证ABC ∆为等腰三角形；（II ）求·.的值.21. ( 本小题满分12分) .如图所示，有两条相交成60角的直路y y x x '',，交点是O ，甲、乙分别在Ox 、Oy 上，起初甲离O 点3 km ，乙离O 点1 km ，后来两人同时用每小时4 km 的速度，甲沿x x '的方向，乙沿y y '的方向步行．求：（Ⅰ）起初，两人的距离是多少？（Ⅱ）用包含ｔ的式子表示ｔ小时后两人的距离．（Ⅲ）什么时候两人的距离最短？22 ( 本小题满分12分) (普通中学只做(Ⅰ)（Ⅱ），示范性高中全做) 已知向量a =（x －1，－1），b =（x －m ，y ），(m ∈R)，且a ·b =0. (Ⅰ)将y 表示为x 的函数y=f(x)；的两个内角，求（Ⅱ）若tanA、tanB是方程f(x)＋4=0的两个实根，A、B是锐角ABC证：m≥5；（Ⅲ）对任意实数α,恒有f(2＋cosα)≤0，求证：m≥3.邯郸市08-09第二学年度高一数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分；共20分．13.； 14. 普（，）；示范（，）或（，）15. －3 16. （1），（2），（3），（4）三、解答题17．（10分）解：（Ⅰ）ααπαtan 11tan 4tan -+=⎪⎭⎫⎝⎛+， …… 2分由24tan =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，可得2tan 11tan =-+αα．解得31tan =α．………… 4分（Ⅱ）由31tan =α，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，可得10103cos ,1010sin ==αα………… 6分因此53cos sin 22sin ==ααα，54sin 212cos 2=-=αα ……………… 8分10343235421533sin 2cos 3cos 2sin 32sin -=⨯-⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παπαπα．………10分 18.（12分）解: (Ⅰ)由题意得()n m m n n m +-=+2,4 ……………… 2分由n m +=得⎩⎨⎧=+=-2234n m m n 解得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m ……………… 6分 (Ⅱ)由题意得()()02=-∙+k 即2220ab a kbc kac -+-=()()()()234942421220k k ⨯-+-++-+-+= 解得 1811-=k ……………… 12分19.（12分）解：（Ⅰ）()262sin 222sin 32cos +⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=πx x x x f ……………… 2分 ππ==22T . 由于Z ∈+≤-≤-k k x k ,226222πππππ得，Z ∈+≤≤-k k x k ,36ππππ故函数的单调递增区间为Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k ,3,6ππππ ……………… 4分（Ⅱ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，,65626πππ≤-≤-x ∴262sin 21≤⎪⎭⎫⎝⎛-≤-πx ∴()41≤≤x f∴()1min =x f ，()4max =x f ……………… 8分（Ⅲ）向下平移2个单位，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，向左平移6π个单位． ……………… 12分 20．（12分）（普通中学做）解（I ）∵4cos ,052C C π=<<∴53541cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ……………… 2分（II ）∵5cos ,132B B ππ=-<< ∴1312sin =B ……………… 4分 ()653353135541312sin cos cos sin sin sin =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=+=+=CB C B C B A ……………… 8分由正弦定理，11656533535sin sin 5=⨯==A C AB ………………10分 ∴11150131********sin 21=⨯⨯⨯=∙∙=∆B BC AB S ABC ……………… 12分（示范性高中做）解：（Ⅰ）证明：已知化为()B AC sin cos cos ∙+=∙+∙，… 2分则()()0sin cos sin cos =-+-BC B A AB B C ．、是不共线的，∴0sin cos =-B C ，0sin cos =-B A , ……… 4分 ∴B A C sin cos cos ==, ∴A C cos cos =,又()π,0,∈C A ,∴C A =,∴△ABC 为等腰三角形. ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知C A =，且都为锐角，那么π=+B A 2， ∵πππ<<⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==B A A A B 0,2sin 2sin cos sin , ……………… 8分 ∴2π=+B A (舍去)，A B +=2π,∴30=A ,∴120=B ,与的夹角为60， ……………… 10分2==,∴260cos =∙=∙BC AB ．…………… 12分 21.（12分）解：（Ⅰ）设甲、乙两人最初的位置是A 、B,则7211321360cos 22=⨯⨯⨯-+=∙-+= ……………… 4分)(7km =（Ⅱ）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ,t 4=t 4=当430≤≤t()()()() 60cos 41432414322t t t t +--++-= ………… 6分当43>t()()()() 120cos 41342413422t t t t +--++-= ………… 8分724482+-=t t724482+-=t t ………… 10分441482+⎪⎭⎫⎝⎛-=t∴当41=t 小时时，即在第15分钟末，PQ 最短，最短距离是2km ．…………… 12分 22.(12分)(Ⅰ)解：∵()()()R m y m x x ∈-=--=,,1,1,又∵0=∙b a ，∴()()01=---y m x x ．∴()()R m m x m x y ∈++-=12 ……………… 4（2）分 (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知()()m x m x x f ++-=12, 则方程()04=+x f ,即为()0412=+++-m x m x 依题意得()()⎪⎩⎪⎨⎧>+=∙>+=+≥+-+=∆．04tan tan ,01tan tan ,04412m B A m B A m m ………………8（4）分又∵B A ，为锐角三角形的两内角,故.2ππ<+<B A ∴()031tan tan 1tan tan tan <--+=∙-+=+m m B A B A B A , ………… 10（6）分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--.03104,01,01522m m m m m m 解得5≥m ……………12（8）分(Ⅲ)证明:∵()()()(),112m x x m x m x x f --=++-=对任意α有1cos 1≤≤-α,即31≤≤x ,恒有(),0≤x f 即()()．01≤--m x x ……………… 10分 ∴x m ≥,但3max =x .∴3≥m ……………… 12分。

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