国防高等数学 第五章 定积分及其应用
高等数学(上册)-第5章第6讲(定积分的几何应用)[22页]
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5
二、 平面图形的面积
1. 直角坐标系中的平面图形的面积
在平面直角坐标系中求由曲线y f (x)，y g(x)和直线x a，x b围成图
形的面积A，其中函数f (x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f (x) g(x)，如图所示.
在区间[a,b] 上任取代表区间[x, x dx]，在区间两个端点处做垂直于x 轴的
A 1 r2 ( )d.
2
β
O
α
ρ 10
本讲内容
01 微元法 02 平面图形的面积 03 体积 04 平面曲线的弧长
11
三、 体积
1.旋转体的体积.
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 y 周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴.
如圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体. 设一旋转体由连续曲线 y f (x)，直线x a， O a
直线，由于 dx 非常小，这样介于两条直线之间的图形可以近似看成矩形，因
此面积微元可表示为
[ f (x) g(x)]dx,
于是，所求面积A为
b
A a [ f (x) g(x)]dx.
若f (x) g(x)，则有
A
b
[ f (x) g(x)]dx.
a
综合以上两种情况，由曲线 y f (x)，y g(x)
y x 1(y)
d
c O
x 2(y) x
7
二、 平面图形的面积 例 1 求由两抛物线y x2与x y2 所围成图形的面积A .
解
解方程组
y x
x2，得到两抛物线的交点为(0，0)，(1，1)， y 2，
y
两抛物线围成的图形如图所示.
则所求面积 A 为
A
高等数学第五章定积分及其应用
⾼等数学第五章定积分及其应⽤第五章定积分及其应⽤第⼀节定积分概念1、内容分布图⽰★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2★内容⼩结★课堂练习★习题5-1 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1利⽤定积分的定义计算积分01dx x 2?.讲解注意：例2的近似值．⽤矩形法和梯形法计算积分-102dx ex讲解注意：第⼆节定积分的性质1、内容分布图⽰★性质1-4★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3★性质7★例4★函数的平均值★例5★内容⼩结★课堂练习★习题5-2★返回2、讲解注意：例1⽐较积分值dx e x ?-2和dx x ?-2的⼤⼩.讲解注意：例2估计积分dx xπ+03sin 31的值.讲解注意：例3估计积分dx xxππ/2/4sin 的值.讲解注意：例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f tt x x x ?++∞→2)(3sin lim .讲解注意：例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.讲解注意：第三节微积分基本公式1、内容分布图⽰★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1-2★例3★例4★例5★例6★例7-8 ★例9★例10★例11★例12★例13★例14★内容⼩结★课堂练习★习题5-3★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?x tdt dxd 02cos 求[].讲解注意：例2dt e dxdx t ?321求[].讲解注意：例3.)()((3);)()((2);)((1).,)(00sin cos )(?-===x x x x t f dt t x f x F dt t xf x F dt e x F x f 试求以下各函数的导数是连续函数设讲解注意：例4求.1cos 02x dte x t x ?-→讲解注意：设)(x f 在),(+∞-∞内连续0)(>x f .证明函数且,??=xxdtt f dtt t x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.f 例5讲解注意：例6],1[)ln 21()(1上的最⼤值与最⼩在求函数e dt t t x I x ?+=.值讲解注意：例7求.dx x ?12讲解注意：例8求.1dxx ?--12讲解注意：例9设求??≤<≤≤=215102)(x x x x f ?2讲解注意：例10.|12|10-dx x 计算讲解注意：.cos 1/3/22?--ππdx x 计算例11讲解注意：例12求.},max{222?-dx x x讲解注意：例13计算由曲线x y sin =在,0π之间及x .轴所围成的图形的⾯积x =x =A讲解注意：例14?,./5.,362了多少距离问从开始刹车到停车刹车汽车以等加速度到某处需要减速停车速度⾏驶汽车以每⼩时s m a km -=汽车驶过设讲解注意：第四节换元法积分法和分部积分法1、内容分布图⽰★定积分换元积分法★例1★例2★例3★例4★定积分的分部积分法★内容⼩结★课堂练习★习题5-4★返回★例5★例6★例7★例16★例17★例182、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1计算.sin cos /25?πxdx x讲解注意：例2?a0dx 计算.0a >)(-2x 2a讲解注意：例3计算.sin sin 053?π-dx x x讲解注意：例4计算定积分dx x x ++412.2?讲解注意：例5当)(x f 在],[a a -上连续,,,)(x f 为偶函数当当有(1)(2)则 ??-=aaadx x f dx x f 0)(2)()(x f 为奇函数有?-=aa dx x f 0)(.;讲解注意：例6.--+dx e x x x 计算讲解注意：例7计算.11cos 21122?--++dx x xx x讲解注意：例8若)(x f 在]1,0[上连续证明,(1)?=00)(cos )(sin dx x f dx x f ;(2)πππ=)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,由此计算?π+02cos 1sin dx x x x ./2π/2π讲解注意：例9计算.arcsin 0?xdx 1/2讲解注意：例10计算.2cos 10+x xdx/4π讲解注意：例11计算.sin 0?xdx /2π2x讲解注意：例12.1dx e x 计算1/2讲解注意：例13.1)1ln(102++dx x x 求定积分讲解注意：例14-22ln e e dx x x求.讲解注意：例15.,612ln 2x e dt xt 求已知?=-π讲解注意：例16).(,)(13)()(1022x f dx x f x x x f x f 求满⾜⽅程已知? --=讲解注意：例17证明定积分公式xdx I n n n 0--?-??--?-=n n n n n n n n n n ,3254231,22143231π为正偶数.为⼤于1的正奇数./2π/2π??讲解注意：例18?π05.2cos dx x 求讲解注意：第五节定积分的⼏何应⽤1、内容分布图⽰★平⾯图形的⾯积A ★例1 ★例2 ★平⾯图形的⾯积B ★例3 ★例4 ★平⾯图形的⾯积C ★例5 ★平⾯图形的⾯积D★例6 ★例7 ★例8 旋转体★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9 ★例 10 ★例 11 ★平⾏截⾯⾯积为已知的⽴体的体积★例 12 ★例 13 ★内容⼩结★课堂练习★习题5-5 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1]1,1[]1,0[2之间的⾯积.和轴上⽅在下⽅与分别求曲线-∈∈=x x x x y讲解注意：例2],1[ln 之间的⾯积.轴上⽅在下⽅与求e x x y =讲解注意：例3.1,1,03所围图形⾯积与直线求=-===x x y x y讲解注意：例44,0,042所围图形⾯积.和直线求由曲线===-=x x y x y讲解注意：例5.2所围成平⾯图形的⾯积与求由抛物线x y x y ==讲解注意：例642,2,所围成图形的⾯积.求由三条直线=-=+=y x y x x y422围成图形的⾯积与求+-==x y x y讲解注意：例8.0cos sin 之间所围图与在和求由曲线π====x x x y x y 形的⾯积讲解注意：例9r 圆锥体的直线、h x =及x 轴围直线连接坐标原点O 及点),(r h P 成⼀个直⾓三⾓形.x 轴旋转构成⼀个底半径为计算圆锥体的体积.h ,将它绕⾼为,的讲解注意：例10.12222y x V V y x by a x 和积轴旋转所得的旋转体体轴和分别绕求椭圆=+讲解注意：例112,22轴旋转⽽成的旋转体的体积.轴和所围成的图形分别绕求由曲线y x x y x y -==讲解注意：例12⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼计算这平⾯截圆柱体所得⽴体的体积.并与底⾯交成,,⾓讲解注意：例13.的正劈锥体的体积的圆为底、求以半径为h R ⾼位平⾏且等于底圆直径的线段为顶、讲解注意：第六节积分在经济分析中的应⽤1、内容分布图⽰★由边际函数求原经济函数★需求函数★例1★总成本函数★例2★总收⼊函数★例3★利润函数★例4由边际函数求最优问题★例5★例6其它经济应⽤★例7⼴告策略★消费者剩余★例8★国民收⼊分配★例9★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1),80,(80,4) (,==-='q pp qp格的函数关系.时即该商品的最⼤需求量为且边际需求的函数已知对某商品的需求量是价格求需求量与价讲解注意：例2, 90,2)(0.2 ==ceqCq 求总成本函数.固定成本的函数若⼀企业⽣产某产品的边际成本是产量讲解注意：例310,40),/(2100)(个单位时单位时的总收⼊及平均收⼊求⽣产单位元单位时的边际收⼊为已知⽣产某产品-='q q R q 并求再增加⽣产所增加的总收⼊.讲解注意：例45,10,413)(,225)(0==-='-='q c q q C q q R 时的⽑利和纯利.求当固定成本为边际成本已知某产品的边际收⼊讲解注意：例5吨产品时的边际成本为某企业⽣产q )/30501)(吨元q q C +='(?,900试求产量为多少时平均成本最低元且固定成本为讲解注意：例6q q q C q q R ,1(3)?(2);54(1)),/(/44)(),/(9)(+='-='求总成本函数和利润函数.万元已知固定成本为当产量为多少时利润最⼤万台时利润的变化量万台增加到试求当产量由其中产量万台万元成本函数为万台万元假设某产品的边际收⼊函数为以万台为单位.边际讲解注意：例70.02,10%,,100000,130000)(,.10%,1000000t e t 则决如果新增销售额产⽣的利润超过⼴告投资的美元的⼴告活动对于超过按惯例⾏⼀次类似的总成本为以⽉为单位下式的增长曲线⼴告宣传期间⽉销售额的变化率近似服从如根据公司以往的经验平均利润是销售额的美元某出⼝公司每⽉销售额是美元的⼴告活动.试问该公司按惯例是否应该做此⼴告.1000000公司现在需要决定是否举定做⼴告讲解注意：8例.2,318)(-=CS q q D 并已知需求量为如果需求曲线为个单位试求消费者剩余,表⽰某国某年国民收⼊在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由讲解注意：第七节⼴义积分1、内容分布图⽰★⽆穷限的⼴义积分★⽆穷限的⼴义积分⼏何解释★例1★例2★例3★例4★例5★例6★⽆界函数的⼴义积分例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容⼩结★课堂练习★习题5-7★返回★2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?∞+-0.dx e x 计算⽆穷积分讲解注意：例2.sin 0的收敛性判断⽆穷积分∞+xdx讲解注意：例312?∞+∞-+x dx计算⼴义积分讲解注意：例4计算⼴义积分.1sin 12∞+dx x x 2/π讲解注意：例5计算⼴义积分∞+-pt dt e 且0>p 时收敛p 是常数,(). t 0讲解注意：例6证明⼴义积分∞+11dxx p当1>p 时收敛当1≤p 时发散.,讲解注意：例7计算⼴义积分).0(022>-?a x a dxa讲解注意：例8证明⼴义积分11dx x q当1""讲解注意：例9计算⼴义积分.ln 21x dx讲解注意：例10计算⼴义积分.30dx1=x 瑕点)1(2/3-x .讲解注意：例11计算⼴义积分?∞+03+x x dx1().讲解注意：例12.)1(arcsin 10-dx x x x计算⼴义积分讲解注意：例13.11105?∞+++x x x dx 计算⼴义积分讲解注意：。
高等数学第05章 定积分及其应用习题详解
0
x 1 sin tdt 0dt 1 ， 2
b a
f ( x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 y f ( x) ， 直 线
x a, x b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 x a, b时，f ( x) 0, 则 b f ( x)dx 在几何 a
上表示由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， 1 xdx ( A1 ) A1 0 .
n
2
i
i 1
n
2
1 1 1 1 1 n(n 1)(2n 1) = (1 )(2 ) 3 n 6 6 n n 1 1 2 当 0时 （即 n 时 ） ，由定积分的定义得： x d x = ． 0 3
= 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
4 3
1 1
(4 x 4 2 x 3 5) dx 的值.
上任取一点 i 作乘积 f ( i ) xi 的和式：
n
f ( i ) xi c ( xi xi1 ) c(b a) ,
i 1 i 1
n
n
记 max{xi } , 则
1i n
b a
cdx lim f ( i ) xi lim c(b a) c(b a) .
x
0
(t 1)dt ，求 y 的极小值
解： 当 y x 1 0 ，得驻点 x 1 ， y '' 1 0. x 1 为极小值点， 极小值 y (1)
( x 1)dx - 2
高等数学 第五章 定积分的概念及其性质
() a,( ) b, a (t) b,t [, ]
则有定积分换元公式：
b a f (x)dx
例1：计算定积分
(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
(2)
1 x2 dx
0
定积分的计算
解：(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
4
cos(2
x
)d
(2
x
)
20
4
4
令 t 2x ，则当 x 时，t
解：(2)、 y 1 x2
y2 x2 1( y 0)
如图
y
1S
o
1x
（2）
定积分的概念及性质 4、定积分的计算法则
法则1 常数因子可以提到积分号外.即
法则2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即
法则3 (积分区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间
上均可积，则有
定积分的概念及性质
4
4
4
则当 x 0时，t ，有：
原式 1 2
4
4
cos
tdt
4
1 sin t 4 2 4
2 2
(2) 1 1 x2 dx 0
令 x sin t ，则当 x 1 时，t
2
则当 x 0时，t 0 ，有：
原式 2 1 sin2 td sin t 0
2
cos2
tdt
例2
求
1
0 (
x3
x
1)dx
．
解
1
(
x
3
x
1)dx
同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用
t1 t1 t0 , t2 t2 t1,L , tn tn tn1.
相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为
s1, s2 ,L , sn .
2
在时间间隔 ti1, ti 上任取一个时刻 i (ti1 i ti ), 以 i 时刻的速度 v( i ) 来代替 ti1, ti 上各个时刻的速度 得到部分路程 si 的近似值 即
(x)dx
7
推论
2
|
b
a
f
(x)dx| ab|
f
(x) | dx
(ab)
这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以
ab|
f
(x) | dx
b
a
f
(x)dx
ab|
f
(x) | dx
b
b
即 | a
f (x)dx | a
f (x)dx.
求近似路程
我们把时间间隔 T1,T2 分成 n 个小的时间间隔 ti 在每个小的时间间隔 ti 内 物体
运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔 ti 内某点 i 的速度 v( i ) 物体在时间
间隔 ti 内 运动的路程近似为 si v( i )ti . 把物体在每一小的时间间隔 ti 内 运动的路
程加起来作为物体在时间间隔 T1,T2 内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔 T1,T2 内任意插入若干个分点
Ti t0 t1 t2 L tn1 tn T2 ,
T1,T2 分成 n 个小段
各小段时间的长依次为
t0 ,t1 ,t1,t2 ,L tn1,tn ,
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.5 定积分在几何上的应用
面积： =
)(
由上、下两条曲线 = ()， =
()（() ≥ ()），以及直线 =
， = （ < ）所围成的平面图形
（如图所示）
面积微元： = [() − ()]
面积： = )( [ − ()]
第五章 定积分
第五节 定积分在几何上的应用
一、定积分的微元法
什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量是与区间[, ]上的某分布()有关的一个整体量 ;
2) 对区间[, ]具有可加性 ,即可通过“大化小, 常代变, 近似和,
取极限”表示为
= lim ( )
→0
8
= 1 + 2 = + =
5 3 15
（2）当该图形绕轴旋转所得的旋转的体积 ，可以看作由曲线 = − + 2及直
线 = 0 , = 1, = 0所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转的体积大 与由曲
线 = 和直线 = 0 , = 1, = 0所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转的
3
3
3
0
=න
0
选为积分变量, ∈ [0,1], = ( − 2 )
1
=න ( −
0
2 )
2 3 3 1
=
2 −
ቤ
3
3 0
1
= .
3
例3
求由抛物线 2 = 2与直线 = − 4所围成的平面图形面积。
解 两曲线的交点
2 = 2
ቊ
=−4
⇒ (2, −2), (8,4).
-1
O x x+dx 1
高等数学第五章定积分总结
高等数学第五章定积分总结定积分作为微积分的重要概念，是无穷积分的一种形式，并在多个领域中有着广泛的应用。
本章主要介绍了定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法和应用。
首先，本章介绍了定积分的概念和定义。
定积分是一个数值，表示在给定的区间上，函数曲线与x轴之间的面积。
定积分可以分为两个部分：积分号和被积函数。
积分号表示积分的区间，被积函数表示要求积分的函数。
定积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行，具体方法和结论有不少。
其次，本章介绍了定积分的性质。
定积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质。
线性性质表示定积分可以进行加减运算，并且可以乘以一个常数。
区间可加性是指定积分的区间可以分为多个子区间，进行分段积分。
保号性表示如果被积函数在一些区间上恒大于等于0，那么该区间上的定积分也大于等于0。
这些性质为定积分的计算和应用提供了更多的方便性。
然后，本章介绍了定积分的计算方法。
定积分的计算可以通过不定积分和定积分的关系来进行。
通过求解原函数，并利用牛顿-莱布尼茨公式，可以简化计算过程。
本章还介绍了定积分的几何意义，即定积分表示函数曲线与x轴围成的面积，也可以表示其中一种物理量在一定时间或一定空间内的累积变化量。
最后，本章介绍了定积分的应用。
定积分在几何学、物理学、经济学等多个领域中有着广泛的应用。
例如，通过定积分可以计算曲线的弧长、曲线围成的面积、质心的坐标等几何问题；通过定积分可以计算物体的质量、重心、转动惯量等物理问题；通过定积分可以计算收益、成本、利润等经济问题。
这些应用都是建立在定积分的几何意义和计算方法的基础之上，对于深入理解和运用定积分具有重要意义。
总之，定积分是微积分中的重要概念，不仅具有丰富的理论性质，还有着广泛的应用价值。
通过学习定积分的定义、性质、计算方法和应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的知识，为解决实际问题提供更有效的数学工具。
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
高等数学第五章定积分及其应用
5.1.1 定积分的概念
5.1.1两个实际问题
矩形面积 a h 梯形面积 h (a b)
2
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
y f (x) ( f (x) 0)
及 x 轴，以及两直线 x a , x b
所围成 , 求其面积 A .
第三页，共113页。
h a
x
第六页，共113页。
定积分的演
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间
示
2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(ξi)代
y
替
4、作和：S∆=
f (1)x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
n
f (i )xi (xi xi xi1) i 1
高等数学第五章定积分及其应用
第一页，共113页。
定积分的演 示
背景来源——面积的计算
！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积
我们可以用大大小小的矩形将图形不 断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩 形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“ 典型图形”（必要时可旋转）
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
y
为高的小矩形, 并以此小
i [xi1 , xi ]
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 Ai , 得
o a x1 xi1 xi b x
i
Ai f (i )xi (xi xi xi1 ,) i 1, 2,, n )
第四页，共113页。
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3) 求和.
n
n
A Ai f (i )xi
《定积分及其应用》课件
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THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
高等数学教案-定积分及其应用
第 5 章 定积分及其应用
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 5 章 第 1 节 定积分的概念与性质 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 定积分的定义与性质
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课 黑板多媒体结合 用定积分的定义求定积分
参考教材 同济七版《高等数学》
作业布置 课后习题
a
a
x
[a,b] 上的函数, 称为积分上限函数, 记作 ( x) f (t)dt , x [a,b] . a
x
2.定理：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则积分上限函数 ( x) f (t)dt 在区间[a,b] 上可导，且 a
(x) ( x f (t)dt) f (x), x [a,b] . a
性质 6（定积分中值定理）设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则在区间[a,b] 上至少存在一点 ，使得
五．例题讲解
例 1.计算定积分 1 1 x2 dx ． 0
b f (x)dx f ( )(b a) ． a
2
例 2.用定义求定积分 1 x2dx ． 0
例 3.不计算定积分的值，比较下列定积分的大小．
大纲要求 1、理解定积分的概念。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理.
教 学 基本内容
一．定积分的概念 1．两个实际问题 引例 1 曲边梯形的面积问题
设函数 y f (x) 在区间[a,b] 上非负连续，由曲线 y f (x) ，直线 x a , x b 以及 x 轴所围成图形称为曲 边梯形，求曲边梯形的面积 A .
b
f (x)dx ,
c
a a
b c
其中 c 是任意的常数， a 是小于 c 的任意数， b 是大于 c 的任意数．此广义积分 f (x)dx 只有当上述等式中
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
5-5第五章 定积分及其应用(2017-09-04 12_32_22)
每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a,b] 上定义了一个函数，
记
(x)
x
a
f
(t)dt.
积分上限函数
定理１ 如果 f (x) 在[a,b] 上连续，则积分上限的函
x
数 (x) a f (t)dt 在[a,b] 上具有导数，且它的导数是
(x) d
x
f (t)dt f (x)
故当
p 1
时，广义积分
1
0
1 xp
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ收敛于
1
1
p
.
故当 p 1 时，广义积分
1 1
0 xp
dx
发散.
例6
计算广义积分
3 dx
0
2. (x 1) 3
x 1瑕点
解:
3 dx
0
2. (x 1) 3
(
1 0
3 dx
1
)
(x
2
1) 3
1 dx
0
2
(x 1) 3
lim 0
1 0
dx
2
(x 1) 3
b
b
f (x)dx lim f (t)dt
a
xa x
定理2 函数 f (x) 在区间[a, b)连续、无界，则
b
x
f (x)dx lim f (t)dt
a
xb a
定理3 函数 f (x) 在区间[a,c)和(c,b]连续、无界，则
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
du dx
du
dx
(3u2 1) cos x (3sin2 x 1) cos x
《定积分及其应用》课件
性质
1 线性性质
定积分的线性性质使得我们能够对函数的和、差、乘以常数进行积分。
2 区间可加性
在一个区间上的积分等于在多个子区间上的积分之和。
3 保号性质
当函数在一个区间上不改变符号时，其定积分保持正负性质。
计算方法
换元法
通过变量代换，将原本复杂的积分转化为简单 的积分。
分部积分法
将原本难以求解的函数积分转换成两个易于求 解的函数之积分。
定积分的应用
通过物理、经济学相关实例展示定积分在实际中 的应用价值。
总结与回顾
在本课件中，我们深入学习了定积分的定义、性质、计算方法以及应用。希 望这些知识能够帮助你更好地理解和应用定积分，在解决实际问题中发挥重 要作用。
《定积分及其应用》PPT 课件
欢迎大家来到本次关于《定积分及其应用》的PPT课件，本课件将带领你深 入探索定积分的世界，揭示其定义、性质、计算方法以及广泛的应用。让我 们开始这个精彩的学习之旅吧！
定义
定积分代表曲线和x轴之间的面积，可以看作是无穷多个微小的面积的累加。
区别。
应用
几何意义
定积分可以计算曲线和x轴之间的面积，可以应用于计算图形的面积、弧长、体积等。
物理应用
定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量等问题的求解。
经济学应用
定积分可以应用于经济学中的边际效应、总收益、总成本等的分析和计算。
综合实例展示
曲线的定积分
通过实际例子展示如何计算曲线和x轴之间的定 积分。
高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质
第5章 定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。
但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。
现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。
怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。
简言之，就图5.3图5.1图5.2是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。
我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ： （1）分割 用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ，把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ，则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。
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第五节 定积分的应用
图5－19
图5－20
第五节 定积分的应用
三 旋转体的体积
一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋 转体,该直线称为旋转体的旋转轴。例如,圆柱、圆锥和球体可以 依次看成由矩形、直角三角形和半圆绕相应的旋转轴旋转一周而 成的旋转体。
现在求由连续曲线y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的曲边 梯形,绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图5－21所示。类似 地,可以得到由连续曲线x=φ(y)及直线y=c,y=d,y轴所围成的曲边 梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图5－22所示。
定理5－3 若函数f(x)在［a,b］上具有有限个第一类间断点,则f(x) 在［a,b］上可积。
第一节 定积分的概念与性质
四 定积分的几何意义
第一节 定积分的概念与性质
图5－3
图5－4
图5－5
第一节 定积分的概念与性质
五 定积分的性质
第一节 定积分的概念与性质
性质4表明无论点c是区间［a,b］的内分点还是外分点,这 一性质均成立。这个性质只用几何图形加以说明。若c是内分 点,由图5－6可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形 AacC的面积加曲边梯形CcbB的面积；若c是外分点,由图5－7 可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积减 去曲边梯形BbcC的面积。
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第五章 定积分及其应用
第五节 定积分的应用
图5－21
图5－22
第五节 定积分的应用
事实上,公式(5－7)中的被积表达式πf(x)2dx就是过积 分区间a,b上任一点x处所作垂直于x轴的旋转体的一横截 面面积,这就是说,若已知旋转体的一横截面(垂直于x轴)面 积的表达式,即可写出旋转体体积的定积分表达式。
第五节 定积分的应用
第一节 定积分的概念与性质
图5－1
图5－2
第一节 定积分的概念与性质
为方便起见,我们也用A1,A2,A3,…,An表示相应小曲边梯 形的面积。在每个小区间［xI－1,xi］上任取一点ξi,并以f(ξi)为 高、［xi－1,xi］为底作一小矩形,则有Ai≈f(ξi)(xi－xi－1)。由于 函数f(x)在区间a,b上连续,当分割非常细时,在每个小区间上 f(x)的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似代替相应 小曲边梯形的面积,
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
第四节 广 义 积 分
一 无限区间上的广义积分
第四节 广 义 积 分
为了简便起见,我们一般仿照
表达形式,将广义积分形式地写为 该式中只要将积分上限理解为极限 过程即可。
图5－12中介于曲线y=f(x)、 直线x=a以及x轴之间的一块向右 无限延伸的阴影区域的面积。
(1)由分割写出微元。根据具体问题选取一个积分变量,如选 x为积分变量,并确定它的变化区间［a,b］,任取［a,b］的一个 子区间［x,x+dx］(称为区间微元),求出对应于这个区间微元上 部分量ΔU的近似值,
ΔU≈dU=f(x)dx
第五节 定积分的应用
二 平面图形的面积
设函数y=f(x)在区间a,b上连续,求由连续曲线 y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的平面图形面积 A(a<b),如图5－13和图5－14所示。
第一节 定积分的概念与性质
三 可积条件
对于定积分有这样一个重要的问题：函数f(x)在［a,b］上满足什么 条件时,f(x)在［a,b］上一定可积？这个问题我们不做深入讨论,只给出 以下几个定理。
定理5－1 (必要条件) 若函数f(x)在［a,b］上可积,则f(x)在［a,b］ 上有界。
定理5－2 (充分条件) 若函数f(x)在［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］ 上可积。
Ai≈f(ξi)(xi－xi－1)(i=1,2,…,n).
第一节 定积分的概念与性质
求曲边梯形面积的这种方法概括起来就是“分割、 近似、求和、取极限”的过程。由于曲边梯形的面积是 一个客观存在的常量,所以上述极限值与对区间a,b的分 割方法以及点ξi的取法无关。
第一节 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一 换元积分法
定理5－6 若函数f(x)在区间［a,b］上连续,又函数x=φ(t)满足下
(1)φ(α)=a,φ(β)=b,且a≤φ(t)≤b,(α≤t≤β) (2)φ(t)在［α,β 上述公式称为定积分换元公式.在应用换元公式x=φ(t)时要特别注 意：用变换把原来的积分变量x换为新变量t时,原积分限也要相应换成 新变量t的积分限,也就是说,换元的同时也要换限。换元时原上限对应新 上限,原下限对应新下限。
第一节 定积分的概念与性质
图5－6
图5－7
第一节 定积分的概念与性质
这个性质的几何意义是由曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成 的曲边梯形的面积等于区间［a,b］ 上某个矩形的面积,其中矩形的底是 区间［a,b］,高为区间［a,b］内某 一点ξ处的函数值f(ξ)（如图5－8所 示）。
第一节 定积分的概念与性质
第二节
微积分基本定理
第三节
定积分的换元积分法与分部积分法
第四节
广义积分
第五节 定积分的应用
第一节 定积分的概念与性质
一 定积分问题举例
例5－1 求曲边梯形的面积。 曲边梯形：设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续。由 曲线y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成的平面图形称为曲 边梯形,其中曲线弧称为曲边。如图5-1所示。 由于曲边梯形的高度f(x)在区间a,b上是变动的,故不能 利用矩形面积公式直接计算.为了计算曲边梯形的面积,我们 采用如下做法。如图5-2所示。
图5－12
第四节 广 义 积 分
第四节 广 义 积 分
二 无界函数的广义积分
第四节 广 义 积 分
第五节 定积分的应用
一 定积分的微元法
定积分的应用问题中,一般总可按“分割、近似求和、取极 限”三个步骤来进行,最终把所求的量表示为定积分的形式。在 应用学科中广泛采用的方法是将所求量U（总量）表示为定积 分的方法,即微元法,
同理可知,若曲线x=φ(y),x=φ(y)在区间c,d上连续,如果 选择y为积分变量,则由曲线x=φ(y),x=φ(y)与直线x=c,x=d 所围成的平面图形(如图5－17所示)的面积。
第五节 定积分的应用
图5－16
图5－17
第五节 定积分的应用
例5－24 计算由抛物线 y=x2及x=y2所围成的平面图 形的面积。
第五节 定积分的应用
图5－13
图5－14
第五节 定积分的应用
例5－23 求由曲线 y=x3与直线x=－1,x=2及x 轴所围成的平面图形的面积( 如图5－15所示)。
图5－15
第五节 定积分的应用
下面讨论由连续曲线y=f(x)、y=g(x)和直线x=a,x=b 所围成的平面图形的面积的求法(a<b),如图5－16所示。
图5－8
第二节 微积分基本定理
一 变上限定积分
第二节 微积分基本定理
第二节 微积分基本定理
二
第二节 微积分基本定理
这个公式进一步揭 示了定积分与被积函数 的原函数或不定积分之 间的联系。其几何意义 表示图5－9中阴影部分 所示的面积。
图5－9
第二节 微积分基本定理
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
二 定积分的概念
定义5－1 设f(x)在［a,b］上有界,在［a,b］中任意插入n－1
a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b 把区间［a,b］分割成n
［x0,x1］,［x1,x2］,…, ［xn－1,xn］ Δx1=x1－x0,Δx2=x2－x1,…,Δxn=xn－xn－1
第一节 定积分的概念与性质
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
定理5－7 奇函数在关于原点对称的区间上定积分为零(如图5－10所 示)；偶函数在关于原点对称的区间上定积分为其一半区间上的 两倍(如图5－11所示)。
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
图5－10
图5－11
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
二 分部积分法
例5－26 求由曲线 y=x2,y=2－x2所围成的图形 分别绕x轴和y轴旋转而成的 旋转体的体积。画出草图(如 图5－23所示)。
图5－23
第五节 定积分的应用
如图5－24所示,该 旋转体可视为由上半椭 圆，轴所围成的图形绕 x轴旋转而成的立体。
图5－24
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解 作出图形，如图5－ 18所示。求出曲线y=x2和曲 线x=y2的交点坐标为 (0,0),(1,1)
图5－18
第五节 定积分的应用
例5－25 求由抛物线4y2=x与直线所围成的面积。 解 作出图形,如图5－19所示。 若选y为积分变量,则所求面积不需要分块,计算也将变 得简单,如图5－20所示。