国防高等数学 第五章 定积分及其应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)由分割写出微元。根据具体问题选取一个积分变量,如选 x为积分变量,并确定它的变化区间［a,b］,任取［a,b］的一个 子区间［x,x+dx］(称为区间微元),求出对应于这个区间微元上 部分量ΔU的近似值,
ΔU≈dU=f(x)dx
第五节 定积分的应用
二 平面图形的面积
设函数y=f(x)在区间a,b上连续,求由连续曲线 y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的平面图形面积 A(a<b),如图5－13和图5－14所示。
图5－12
第四节 广 义 积 分
第四节 广 义 积 分
二 无界函数的广义积分
第四节 广 义 积 分
第五节 定积分的应用
一 定积分的微元法
定积分的应用问题中,一般总可按“分割、近似求和、取极 限”三个步骤来进行,最终把所求的量表示为定积分的形式。在 应用学科中广泛采用的方法是将所求量U（总量）表示为定积 分的方法,即微元法,
第一节 定积分的概念与性质
第二节
微积分基本定理
第三节
定积分的换元积分法与分部积分法
第四节
广义积分
第五节 定积分的应用
第一节 定积分的概念与性质
一 定积分问题举例
例5－1 求曲边梯形的面积。 曲边梯形：设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续。由 曲线y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成的平面图形称为曲 边梯形,其中曲线弧称为曲边。如图5-1所示。 由于曲边梯形的高度f(x)在区间a,b上是变动的,故不能 利用矩形面积公式直接计算.为了计算曲边梯形的面积,我们 采用如下做法。如图5-2所示。
Ai≈f(ξi)(xi－xi－1)(i=1,2,…,n).
第一节 定积分的概念与性质
求曲边梯形面积的这种方法概括起来就是“分割、 近似、求和、取极限”的过程。由于曲边梯形的面积是 一个客观存在的常量,所以上述极限值与对区间a,b的分 割方法以及点ξi的取法无关。
第一节 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
定理5－3 若函数f(x)在［a,b］上具有有限个第一类间断点,则f(x) 在［a,b］上可积。
第一节 定积分的概念与性质
四 定积分的几何意义
第一节 定积分的概念与性质
图5－3
图5－4
图5－5
第一节 定积分的概念与性质
五 定积分的性质
第一节 定积分的概念与性质
性质4表明无论点c是区间［a,b］的内分点还是外分点,这 一性质均成立。这个性质只用几何图形加以说明。若c是内分 点,由图5－6可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形 AacC的面积加曲边梯形CcbB的面积；若c是外分点,由图5－7 可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积减 去曲边梯形BbcC的面积。
第一节 定积分的概念与性质
三 可积条件
对于定积分有这样一个重要的问题：函数f(x)在［a,b］上满足什么 条件时,f(x)在［a,b］上一定可积？这个问题我们不做深入讨论,只给出 以下几个定理。
定理5－1 (必要条件) 若函数f(x)在［a,b］上可积,则f(x)在［a,b］ 上有界。
定理5－2 (充分条件) 若函数f(x)在［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］ 上可积。
第一节 定积分的概念与性质
图5－6
图5－7
第一节 定积分的概念与性质
这个性质的几何意义是由曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成 的曲边梯形的面积等于区间［a,b］ 上某个矩形的面积,其中矩形的底是 区间［a,b］,高为区间［a,b］内某 一点ξ处的函数值f(ξ)（如图5－8所 示）。
同理可知,若曲线x=φ(y),x=φ(y)在区间c,d上连续,如果 选择y为积分变量,则由曲线x=φ(y),x=φ(y)与直线x=c,x=d 所围成的平面图形(如图5－17所示)的面积。
第五节 定积分的应用
图5－16
图5－17
第五节 定积分的应用
例5－24 计算由抛物线 y=x2及x=y2所围成的平面图 形的面积。
第五节 定积分的应用
图5－13
图5－14
第五节 定积分的应用
例5－23 求由曲线 y=x3与直线x=－1,x=2及x 轴所围成的平面图形的面积( 如图5－15所示)。
图5－15
第五节 定积分的应用
下面讨论由连续曲线y=f(x)、y=g(x)和直线x=a,x=b 所围成的平面图形的面积的求法(a<b),如图5－16所示。
第五节 定积分的应用
图5－19
图5－20
第五节 定积分的应用
三 旋转体的体积
一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋 转体,该直线称为旋转体的旋转轴。例如,圆柱、圆锥和球体可以 依次看成由矩形、直角三角形和半圆绕相应的旋转轴旋转一周而 成的旋转体。
现在求由连续曲线y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的曲边 梯形,绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图5－21所示。类似 地,可以得到由连续曲线x=φ(y)及直线y=c,y=d,y轴所围成的曲边 梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图5－22所示。
图5－8
第二节 微积分基本定理
一 变上限定积分
第二节 微积分基本定理
第二节 微积分基本定理
二
第二节 微积分基本定理
这个公式进一步揭 示了定积分与被积函数 的原函数或不定积分之 间的联系。其几何意义 表示图5－9中阴影部分 所示的面积。
图5－9
第二节 微积分基本定理
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
例5－26 求由曲线 y=x2,y=2－x2所围成的图形 分别绕x轴和y轴旋转而成的 旋转体的体积。画出草图(如 图5－23所示)。
图5－23
第五节 定积分的应用
百度文库
如图5－24所示,该 旋转体可视为由上半椭 圆，轴所围成的图形绕 x轴旋转而成的立体。
图5－24
LOGO
PPT模板下载：www.1ppt.com/moban/ 节日PPT模板：www.1ppt.com/jieri/ PPT背景图片：www.1ppt.com/beijing/ 优秀PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ Word教程： www.1ppt.com/word/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ PPT课件下载：www.1ppt.com/kejian/ 范文下载：www.1ppt.com/fanwen/
二 定积分的概念
定义5－1 设f(x)在［a,b］上有界,在［a,b］中任意插入n－1
a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b 把区间［a,b］分割成n
［x0,x1］,［x1,x2］,…, ［xn－1,xn］ Δx1=x1－x0,Δx2=x2－x1,…,Δxn=xn－xn－1
第一节 定积分的概念与性质
行业PPT模板：www.1ppt.com/hangye/ PPT素材下载：www.1ppt.com/sucai/ PPT图表下载：www.1ppt.com/tubiao/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ Excel教程：www.1ppt.com/excel/
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分的概念与性质
图5－1
图5－2
第一节 定积分的概念与性质
为方便起见,我们也用A1,A2,A3,…,An表示相应小曲边梯 形的面积。在每个小区间［xI－1,xi］上任取一点ξi,并以f(ξi)为 高、［xi－1,xi］为底作一小矩形,则有Ai≈f(ξi)(xi－xi－1)。由于 函数f(x)在区间a,b上连续,当分割非常细时,在每个小区间上 f(x)的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似代替相应 小曲边梯形的面积,
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
定理5－7 奇函数在关于原点对称的区间上定积分为零(如图5－10所 示)；偶函数在关于原点对称的区间上定积分为其一半区间上的 两倍(如图5－11所示)。
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
图5－10
图5－11
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
二 分部积分法
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
第四节 广 义 积 分
一 无限区间上的广义积分
第四节 广 义 积 分
为了简便起见,我们一般仿照
表达形式,将广义积分形式地写为 该式中只要将积分上限理解为极限 过程即可。
图5－12中介于曲线y=f(x)、 直线x=a以及x轴之间的一块向右 无限延伸的阴影区域的面积。
行业PPT模板：www.1ppt.com/hangye/ PPT素材下载：www.1ppt.com/sucai/ PPT图表下载：www.1ppt.com/tubiao/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ Excel教程：www.1ppt.com/excel/
Thank You!
一 换元积分法
定理5－6 若函数f(x)在区间［a,b］上连续,又函数x=φ(t)满足下
(1)φ(α)=a,φ(β)=b,且a≤φ(t)≤b,(α≤t≤β) (2)φ(t)在［α,β 上述公式称为定积分换元公式.在应用换元公式x=φ(t)时要特别注 意：用变换把原来的积分变量x换为新变量t时,原积分限也要相应换成 新变量t的积分限,也就是说,换元的同时也要换限。换元时原上限对应新 上限,原下限对应新下限。
解 作出图形，如图5－ 18所示。求出曲线y=x2和曲 线x=y2的交点坐标为 (0,0),(1,1)
图5－18
第五节 定积分的应用
例5－25 求由抛物线4y2=x与直线所围成的面积。 解 作出图形,如图5－19所示。 若选y为积分变量,则所求面积不需要分块,计算也将变 得简单,如图5－20所示。
高等数学
LOGO
PPT模板下载：www.1ppt.com/moban/ 节日PPT模板：www.1ppt.com/jieri/ PPT背景图片：www.1ppt.com/beijing/ 优秀PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ Word教程： www.1ppt.com/word/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ PPT课件下载：www.1ppt.com/kejian/ 范文下载：www.1ppt.com/fanwen/
第五节 定积分的应用
图5－21
图5－22
第五节 定积分的应用
事实上,公式(5－7)中的被积表达式πf(x)2dx就是过积 分区间a,b上任一点x处所作垂直于x轴的旋转体的一横截 面面积,这就是说,若已知旋转体的一横截面(垂直于x轴)面 积的表达式,即可写出旋转体体积的定积分表达式。
第五节 定积分的应用
ΔU≈dU=f(x)dx
第五节 定积分的应用
二 平面图形的面积
设函数y=f(x)在区间a,b上连续,求由连续曲线 y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的平面图形面积 A(a<b),如图5－13和图5－14所示。
图5－12
第四节 广 义 积 分
第四节 广 义 积 分
二 无界函数的广义积分
第四节 广 义 积 分
第五节 定积分的应用
一 定积分的微元法
定积分的应用问题中,一般总可按“分割、近似求和、取极 限”三个步骤来进行,最终把所求的量表示为定积分的形式。在 应用学科中广泛采用的方法是将所求量U（总量）表示为定积 分的方法,即微元法,
第一节 定积分的概念与性质
第二节
微积分基本定理
第三节
定积分的换元积分法与分部积分法
第四节
广义积分
第五节 定积分的应用
第一节 定积分的概念与性质
一 定积分问题举例
例5－1 求曲边梯形的面积。 曲边梯形：设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续。由 曲线y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成的平面图形称为曲 边梯形,其中曲线弧称为曲边。如图5-1所示。 由于曲边梯形的高度f(x)在区间a,b上是变动的,故不能 利用矩形面积公式直接计算.为了计算曲边梯形的面积,我们 采用如下做法。如图5-2所示。
Ai≈f(ξi)(xi－xi－1)(i=1,2,…,n).
第一节 定积分的概念与性质
求曲边梯形面积的这种方法概括起来就是“分割、 近似、求和、取极限”的过程。由于曲边梯形的面积是 一个客观存在的常量,所以上述极限值与对区间a,b的分 割方法以及点ξi的取法无关。
第一节 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
定理5－3 若函数f(x)在［a,b］上具有有限个第一类间断点,则f(x) 在［a,b］上可积。
第一节 定积分的概念与性质
四 定积分的几何意义
第一节 定积分的概念与性质
图5－3
图5－4
图5－5
第一节 定积分的概念与性质
五 定积分的性质
第一节 定积分的概念与性质
性质4表明无论点c是区间［a,b］的内分点还是外分点,这 一性质均成立。这个性质只用几何图形加以说明。若c是内分 点,由图5－6可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形 AacC的面积加曲边梯形CcbB的面积；若c是外分点,由图5－7 可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积减 去曲边梯形BbcC的面积。
第一节 定积分的概念与性质
三 可积条件
对于定积分有这样一个重要的问题：函数f(x)在［a,b］上满足什么 条件时,f(x)在［a,b］上一定可积？这个问题我们不做深入讨论,只给出 以下几个定理。
定理5－1 (必要条件) 若函数f(x)在［a,b］上可积,则f(x)在［a,b］ 上有界。
定理5－2 (充分条件) 若函数f(x)在［a,b］上连续,则f(x)在［a,b］ 上可积。
第一节 定积分的概念与性质
图5－6
图5－7
第一节 定积分的概念与性质
这个性质的几何意义是由曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成 的曲边梯形的面积等于区间［a,b］ 上某个矩形的面积,其中矩形的底是 区间［a,b］,高为区间［a,b］内某 一点ξ处的函数值f(ξ)（如图5－8所 示）。
同理可知,若曲线x=φ(y),x=φ(y)在区间c,d上连续,如果 选择y为积分变量,则由曲线x=φ(y),x=φ(y)与直线x=c,x=d 所围成的平面图形(如图5－17所示)的面积。
第五节 定积分的应用
图5－16
图5－17
第五节 定积分的应用
例5－24 计算由抛物线 y=x2及x=y2所围成的平面图 形的面积。
第五节 定积分的应用
图5－13
图5－14
第五节 定积分的应用
例5－23 求由曲线 y=x3与直线x=－1,x=2及x 轴所围成的平面图形的面积( 如图5－15所示)。
图5－15
第五节 定积分的应用
下面讨论由连续曲线y=f(x)、y=g(x)和直线x=a,x=b 所围成的平面图形的面积的求法(a<b),如图5－16所示。
第五节 定积分的应用
图5－19
图5－20
第五节 定积分的应用
三 旋转体的体积
一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋 转体,该直线称为旋转体的旋转轴。例如,圆柱、圆锥和球体可以 依次看成由矩形、直角三角形和半圆绕相应的旋转轴旋转一周而 成的旋转体。
现在求由连续曲线y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的曲边 梯形,绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图5－21所示。类似 地,可以得到由连续曲线x=φ(y)及直线y=c,y=d,y轴所围成的曲边 梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图5－22所示。
图5－8
第二节 微积分基本定理
一 变上限定积分
第二节 微积分基本定理
第二节 微积分基本定理
二
第二节 微积分基本定理
这个公式进一步揭 示了定积分与被积函数 的原函数或不定积分之 间的联系。其几何意义 表示图5－9中阴影部分 所示的面积。
图5－9
第二节 微积分基本定理
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
例5－26 求由曲线 y=x2,y=2－x2所围成的图形 分别绕x轴和y轴旋转而成的 旋转体的体积。画出草图(如 图5－23所示)。
图5－23
第五节 定积分的应用
百度文库
如图5－24所示,该 旋转体可视为由上半椭 圆，轴所围成的图形绕 x轴旋转而成的立体。
图5－24
LOGO
PPT模板下载：www.1ppt.com/moban/ 节日PPT模板：www.1ppt.com/jieri/ PPT背景图片：www.1ppt.com/beijing/ 优秀PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ Word教程： www.1ppt.com/word/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ PPT课件下载：www.1ppt.com/kejian/ 范文下载：www.1ppt.com/fanwen/
二 定积分的概念
定义5－1 设f(x)在［a,b］上有界,在［a,b］中任意插入n－1
a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b 把区间［a,b］分割成n
［x0,x1］,［x1,x2］,…, ［xn－1,xn］ Δx1=x1－x0,Δx2=x2－x1,…,Δxn=xn－xn－1
第一节 定积分的概念与性质
行业PPT模板：www.1ppt.com/hangye/ PPT素材下载：www.1ppt.com/sucai/ PPT图表下载：www.1ppt.com/tubiao/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ Excel教程：www.1ppt.com/excel/
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分的概念与性质
图5－1
图5－2
第一节 定积分的概念与性质
为方便起见,我们也用A1,A2,A3,…,An表示相应小曲边梯 形的面积。在每个小区间［xI－1,xi］上任取一点ξi,并以f(ξi)为 高、［xi－1,xi］为底作一小矩形,则有Ai≈f(ξi)(xi－xi－1)。由于 函数f(x)在区间a,b上连续,当分割非常细时,在每个小区间上 f(x)的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似代替相应 小曲边梯形的面积,
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
定理5－7 奇函数在关于原点对称的区间上定积分为零(如图5－10所 示)；偶函数在关于原点对称的区间上定积分为其一半区间上的 两倍(如图5－11所示)。
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
图5－10
图5－11
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
二 分部积分法
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
第四节 广 义 积 分
一 无限区间上的广义积分
第四节 广 义 积 分
为了简便起见,我们一般仿照
表达形式,将广义积分形式地写为 该式中只要将积分上限理解为极限 过程即可。
图5－12中介于曲线y=f(x)、 直线x=a以及x轴之间的一块向右 无限延伸的阴影区域的面积。
行业PPT模板：www.1ppt.com/hangye/ PPT素材下载：www.1ppt.com/sucai/ PPT图表下载：www.1ppt.com/tubiao/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ Excel教程：www.1ppt.com/excel/
Thank You!
一 换元积分法
定理5－6 若函数f(x)在区间［a,b］上连续,又函数x=φ(t)满足下
(1)φ(α)=a,φ(β)=b,且a≤φ(t)≤b,(α≤t≤β) (2)φ(t)在［α,β 上述公式称为定积分换元公式.在应用换元公式x=φ(t)时要特别注 意：用变换把原来的积分变量x换为新变量t时,原积分限也要相应换成 新变量t的积分限,也就是说,换元的同时也要换限。换元时原上限对应新 上限,原下限对应新下限。
解 作出图形，如图5－ 18所示。求出曲线y=x2和曲 线x=y2的交点坐标为 (0,0),(1,1)
图5－18
第五节 定积分的应用
例5－25 求由抛物线4y2=x与直线所围成的面积。 解 作出图形,如图5－19所示。 若选y为积分变量,则所求面积不需要分块,计算也将变 得简单,如图5－20所示。
高等数学
LOGO
PPT模板下载：www.1ppt.com/moban/ 节日PPT模板：www.1ppt.com/jieri/ PPT背景图片：www.1ppt.com/beijing/ 优秀PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ Word教程： www.1ppt.com/word/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ PPT课件下载：www.1ppt.com/kejian/ 范文下载：www.1ppt.com/fanwen/
第五节 定积分的应用
图5－21
图5－22
第五节 定积分的应用
事实上,公式(5－7)中的被积表达式πf(x)2dx就是过积 分区间a,b上任一点x处所作垂直于x轴的旋转体的一横截 面面积,这就是说,若已知旋转体的一横截面(垂直于x轴)面 积的表达式,即可写出旋转体体积的定积分表达式。
第五节 定积分的应用