2019年高考理科数学考前30天--填空题专训(三)含答案
2019年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(三)含解析
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ． 3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<数()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A BC D 【答案】A【解析】πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =后，得到的图象关于y 轴对称，所以关于y 轴对称，即，2ϕπ<，6ϕπ∴=-，选A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A B C 1 D 1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1c a ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r ，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，；④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线 其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①()F x=，x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k当x ∈R恒成立，令，，当时，()0G x '=；当0x <<时，()'0G x <；当x>()'0G x >；当x =时，()Gx '取到极小值，极小值是0∴函数()f x 和()h x C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年(苏教版理科数学)高考三轮考前专项押题练：填空题押题练F组(含答案)
填空题押题练F 组1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x ＞1}，则集合A∩∁U B ＝________.解析 ∁U B ＝{x|x≤1}，A ＝{x|0＜x ＜2}，故A∩∁U B ＝{x|0＜x≤1}． 答案 {x|0＜x≤1}2．复数(1＋2i)2的共轭复数是________．解析 (1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ，其共轭复数为－3－4i. 答案 －3－4i3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.解析 利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n }的公比为q(q ＞0)，则a 3·a 9＝2a 25⇒a 23·q 6＝2(a 3q 2)2⇒q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝22. 答案224．设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥3，x －y≥－12x －y≤3，，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．解析 不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(2,1)时取得最小值7. 答案 75．下列结论错误的是________．①②③“若am 2＜bm 2，则a ＜b”的逆 ④若p ∨q 为假 解析 根据四种答案 ③6．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.解析 x ＝110(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2)＝3，再根据方差公式 s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x )2代入数据，s 2＝110[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2]计算得方差为125.答案1257．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N(x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案 38．锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为53，则C ＝________，sin A ＝________.解析 由三角形面积公式可以求出sin C ，得到锐角∠C 的值，借助余弦定理求出c 边，最后利用正弦定理求sin A ．由S △ABC ＝12absin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C 为锐角三角形的内角，所以C ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝21，即c ＝21.再在△ABC 中，由余弦定理得sin A ＝asin C c＝4×3221＝277.答案212779．已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．解析 “在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c”的基本事件总数为23＝8，事件“以a ，b ，c 为边不能构成三角形”分别为(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，所以P ＝1－38＝58.答案5810．下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.解析 当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25. 答案 2511．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.解析 双曲线的方程为x 22－y22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，所以根据余弦定理得cos ∠ F 1PF 2＝22＋22－142×22×42＝34. 答案3412．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－，x≤0，－＋1，x ＞0，f(x)＝x 的根从小到大构成数列{a n }，则a 2 012＝________.解析 利用函数图象得数列通项公式，再求第 2 012项．作出函数f(x)的图象如图，由图象可知方程f(x)＝x 的根依次是0,1,2,3，…，所以a n＝n －1，故a 2 012＝2 012－1＝2 011. 答案 2 01113．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)＋xf′(x)＞0成立，若a ＝40.2f(40.2)，b ＝(log 43)f(log 43)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 由f(x)＋xf′(x)＞0得(xf(x))′＞0，令g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g(40.2)，b ＝g(log 43)，c ＝g ⎝⎛⎭⎪⎫log 4116＝g(－2)＝g(2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a ＞b. 答案 c ＞a ＞b14．如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝xe 1＋ye 2，则将有序实数对(x ，y)叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．(1)若OP →＝3e 1＋2e 2，则|OP →|＝________；(2)在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________． 解析 由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－12.(1)|OP →|＝1＋2e 22＝ 9＋4－6＝7；(2)设圆O 上任意一点Q(x ，y)，则OQ →＝xe 1＋ye 2，|OQ →|＝1，即x 2＋2xy×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2－1＝0.答案 (1)7 (2)x 2－xy ＋y 2－1＝0。
2019届全国新高三考前模拟密卷(三)数学(理)试题
2019届全国新高三考前模拟密卷（三）数学(理工农医类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．2.已知全集集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，故选C.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．3.已知是空间不同的三条直线，则下列四个命题正确的是( )①②③④A. ①④B. ②④C. ①③D. ①③④【答案】A【解析】根据平行的传递性，可知，所以①正确；对于④因为正确，显然不正确，③错误，故选A.4.若等比数列的首项为，且，则公比等于( )A. -3B. 3C. 2D. -2【答案】B【解析】∵，∴，即，故选B.5.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，，继续循环；结束输出.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.6.若点在直线上，则( )A. 0B.C.D.【答案】D【解析】点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，则故选D7.已知变量满足，则的最大值是( )A. B. 2 C. -2 D. -8【答案】A【解析】作出可行域如图：作直线，平移经过点A时，有最大值，由解得，所以，故选A.8. 下列命题正确的个数是( )①命题“”的否定是“”；②函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：因为命题“”的否定为“”，因此①正确；因为所以，即，因此②正确；因为在上恒成立在上恒成立，，因此③不正确；因为钝角不包含而由得向量夹角包含因此“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“且与不反向”，故④不正确.考点：命题的否定，不等式恒成立，向量数量积9.若在上是减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵在上是减函数，∴恒成立，即，，故，故选C.10.若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，向左移得：，因为关于点对称，所以，因为，所以，故，因为，所以，故选D.11.已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为( )A. 2B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知直线斜率显然存在．，可设直线方程为，与双曲线联立消去可得．由根系数的关系与的中点为知，又，可得离心率．故本题答案选．12.若存在，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，令，（），则，，故在内单调递增，当时，，当时，，根据单调性可得，∴，解得或，故选C.点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用；由题意得，，令，利用二次求导及导数性质能求出实数的取值范围.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数为__________．【答案】240【解析】根据组合的可知，的系数为，故填240.14.直线与圆相交于两点，若弦的中点为，则直线的方程为__________．【答案】【解析】由圆的方程可得，圆心为，所以，故直线的斜率为，所以直线方程为，即，故填.15.在中，角所对的边分别为，若，，且，则的面积是__________．【答案】【解析】由余弦定理可得：①，由可得：②，由①②可得：，.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.16.已知为的外心，其外接圆半径为1，且.若，则的最大值为__________．【答案】【解析】以O为原点建立平面直角坐标系，如图∵∴设则∵∴，解得∵ B在圆上，代入即，解得或（舍去）故最大值为，故填.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.设数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由与的关系，可得出为常数，数列为等比数列，可求出通项；（2）根据的特点，采用错位相减法求数列的前n项和即可.试题解析：(1)由①,②（）①-②得，∴，又当时，，即，(符合题意)∴是首项为1，公比为3 的等比数列，∴．(2)由(Ⅰ1)得: ∴，③，④③-④得：，∴．点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．18.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在区域返券60元；停在区域返券30元；停在区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元），求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）40【解析】设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.则. ………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ………………7分………………10分所以，随机变量的分布列为：..................12分 其数学期望. (13)分19.在四棱锥中，底面为平行四边形，，点在底面内的射影在线段上，且，，为的中点，在线段上，且.(1)当时，证明:平面平面；(2)当平面与平面所成二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）接，作交于点，则四边形为平行四边形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中，，分别是，的中点，结合中位线及平行的传递性可得，故可得平面，由线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得：，由棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，，在中，，，，由余弦定理得．所以，从而有.在中，，分别是，的中点，则，，因为，所以.由平面，平面，得，又，，得平面，又平面，所以平面平面.（Ⅱ）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，. 平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，得令，得.由题意可得，，解得，所以四棱锥的体积.20.已知点在圆上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：由可知，N为中点，用相关点法可以求出N点的轨迹方程。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)
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A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组
x
2
y
0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（ ）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（ ）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求 此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。
{2,4}B。
{2,4,6}C。
{2,6}D。
{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。
42种B。
48种C。
54种D。
60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。
32π/3B。
64π/3C。
32πD。
64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。
2x+y-3=0B。
2x-y+3=0C。
x-2y-3=0D。
x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。
(整理版)2019高考卷III理科数学真题(含答案)
(整理版)2019高考卷III理科数学真题(含答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则|z1|的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. √23. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3+a7=22，则数列的公差为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的值为（）A. 2B. 0C. 2D. 45. 若直线y=kx+b与圆(x1)²+y²=1相切，则k的取值范围是（）A. [√2，√2]B. (√2，√2)C. [1，1]D. (1，1)6. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，cosB=3/5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/37. 若函数f(x)=x²2x+3在区间[1，2]上的最小值为m，最大值为M，则Mm的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 设平面直角坐标系xOy中，点A(2，3)，点B在直线y=2x上，若|AB|=√10，则点B的坐标为（）A. (1，2)B. (2，4)C. (1，2)D. (1，2)9. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则数列的前n项和为（）A. n²B. n²+1C. n²+nD. 2n²+2n10. 若函数f(x)=x³3x在区间（1，2）上的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 在平行四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，∠ABC=120°，则平行四边形ABCD的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 1212. 已知函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且f(0)=4，则函数f(x)的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，则a4的值为______。
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)(附答案)
2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．[2019·新乡二模]已知集合{}2,3,4A =，集合{},2B m m =+，若{}2A B =，则m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．[2019·湘赣联考]设复数()iia z a a -=∈+R 在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围 是（ ） A ．1a <-B ．0a <C ．0a >D ．1a >3．[2019·南通期末]已知向量(),2a =m ，()1,1a =+n ，若∥m n ，则实数a 的值为（ ） A ．23-B ．2或1-C ．2-或1D ．2-4．[2019·毛坦厂中学]某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（ ）A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元5．[2019·广东模拟]若3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．12-B ．13-C ．13D ．126．[2019·临川一中]函数()12sin 12xxf x x ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．[2019·南昌一模]如图所示算法框图，当输入的x 为1时，输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．[2019·宜宾二诊]已知ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =30B =︒，则AB 边上的中线的长为（ ） AB ．34C ．32D ．349．[2019·江西九校联考]如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．28+ B．28+ C．16+D．16+10．[2019·汕尾质检]已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．20π3B ．15π2C ．6πD ．5π11．[2019·临川一中]如图所示，1A ，2A 是椭圆22:194x y C +=的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与1A ，2A 重合，点N 满足11NA MA ⊥，22NA MA ⊥，则1212MA A NA A S S =△△（ ）A ．32B ．23C ．94D ．4912．[2019·江西九校联考]设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的 个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ）（1）34a = （2）190是数列{}n a 中的项 （3）1056S = （4）当7n =时，21n a n+取最小值 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·深圳期末]已知不等式组20202x y x y x -≥-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．14．[2019·南京二模]若函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的图象经过点π,26⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则4πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值为______． 15．[2019·赣州期末]若曲线ln y x x =在1x =处的切线l 与直线:10l ax y '-+=垂直，则切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为_______．16．[2019·南通期末]在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,A a ，()3,4B a +，若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ，使得ABC △的面积为5，则实数a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·江南十校]已知数列{}n a 与{}n b 满足：()1232n n a a a a b n ++++=∈*N ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()1nn n n a c n b b +=∈*N ，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明1n T <．18．（12分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图：（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；（2）令ln z x =，由散点图判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆy bz a =+哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程．（ˆb结果保留一位小数） （3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L 最大？（年销售额365L =⋅入住率⋅收费标准x ）参考数据：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-，200x =，621325000ii x ==∑， 5.1z ≈，6112.7i i i y z =≈∑，621158.1i i z =≈∑，3148.4e ≈，19．（12分）[2019·凉山二诊]设矩形ABCD 中，4AD =，AB =F 、E 分别是BC 、CD 的中点，如图1．现沿AE 将AED △折起，使点D 至点M 的位置，且ME MF ⊥，如图2．图1 图2（1）证明：AF ⊥平面MEF ； （2）求二面角M AE F --的大小．20．（12分）[2019·临沂质检]已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，O 为坐标原点，OFP △的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为3π． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 交C 于A ，B 两点，M 是AB 的中点，若12AB =，求点M 到y 轴的距离的最小值，并求此时l 的方程．21．（12分）[2019·石家庄质检]已知函数()e sin x f x a x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）当1a =时，证明：对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥；（2）若函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·新疆一模]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>． （1）将圆C 的参数方程化为极坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点，求OAB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·咸阳模拟]已知函数()()2f x x m x =--∈R ，且()20f x +≤的解集为[]1,1-． （1）求实数m 的值；（2）设a ，b ，c +∈R ，且222a b c m ++=，求23a b c ++的最大值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】A 【解析】因为{}2AB =，所以2m =或22m +=．当2m =时，{}2,4AB =，不符合题意，当22m +=时，0m =．故选A ． 2．【答案】A【解析】()()()()22222212i i i 12i i i i 111a a a a a az a a a a a a -----====-++-+++， z 对应的点在第一象限，222210101122001a a a a a a a ⎧->⎪⎧->⎪+∴⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪->⎪+⎩，故本题选A ．3．【答案】C【解析】根据题意，向量(),2a =m ，()1,1a =+n ， 若∥m n ，则有()12a a +=，解可得2a =-或1，故选C ． 4．【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为127508500015%=元，故选D ． 5．【答案】B【解析】因为3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=所以21cos22cos 13αα=-=-，故选B ．6．【答案】A【解析】因为()()()122112sin sin sin 122112x x x x x x f x x x x f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=⋅-=-⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，C ；因为2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ，故选A ．【解析】当1x =时，1x >不成立，则1112y x =+=+=， 011i =+=，20y <成立，2x =，1x >成立，24y x ==，112i =+=，20y <成立， 4x =，1x >成立，28y x ==，213i =+=，20y <成立，8x =，1x >成立，216y x ==，314i =+=，20y <成立16x =，1x >成立，232y x ==，415i =+=，20y <不成立，输出5i =， 故选C ． 8．【答案】C【解析】∵3b =，c =30B =︒，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得29272a a =+-⨯⨯， 整理可得29180a a -+=，∴解得6a =或3． 如图：CD 为AB边上的中线，则12BD c = ∴在BCD △中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得222626CD =+-⨯⎝⎭，或222323CD =+-⨯⎝⎭， ∴解得AB 边上的中线32CD =C ．9．【答案】A【解析】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在ADC △中，AC =CD AC ⊥，∴6AD =，114S AC DC =⋅=⨯⨯=在ABD △中，AB =BD =，由余弦定理得，222cos 2AD AB BD DAB AD AB +-∠===⋅，∴sin DAB ∠=，∴11sin 61222ABD S AD AB DAB =⋅∠=⨯⨯=△， 又ABC S △与BDC S △均为边长为4的正方形面积的一半，即为8， ∴三棱锥A BCD -的表面积为122828+⨯++，故选A ． 10．【答案】A 【解析】如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体A BCD -的球心，由2AB AC DB DC BC =====，得正方形OEGF，则OG = ∴四面体A BCD -的外接球的半径R === ∴球O的表面积为220π4π3⨯=．故选A ． 11．【答案】C【解析】由题意以及选项的值可知：1212MA A NA A S S △△是常数，所以可取M 为椭圆的左顶点，由椭圆的对称性可知，N 在x 的正半轴上，如图：则()10,2A ，2A 是()0,2-，()3,0M -，由射影定理可得21OM ON OA ⋅=，可得43ON =， 则12121212139214423MA A NA A A A OM S OM S ON A A ON ⨯⋅====⨯⋅△△，故选C ． 12．【答案】C【解析】当1n =时，[)0,1x ∈，[]0x =，[]0x x =，[]{}0x x ⎡⎤∈⎣⎦，故11a =． 当2n =时，[)0,2x ∈，[]{}0,1x ∈，[][)0,2x x ∈，[]{}0,1x x ⎡⎤∈⎣⎦，故22a =． 当3n =时，[)0,3x ∈，[]{}0,1,2x ∈，[][)[)[)0,11,24,6x x ∈，故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤∈⎣⎦，共有4个数，即34a =，故（1）结论正确．以此类推，当2n ≥，[)0,x n ∈时，[]{}0,1,,1x n ∈-，[][)[)[)()())20,11,24,1,61x x n n n ⎡∈--⎣，故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为()22112312n n n -++++++-=，即()2222n n n a n -+=≥， 当1n =时上式也符合，所以222n n n a -+=；令190n a =，得()1378n n -=，没有整数解，故（2）错误． ()()1211221212n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以111111112223341222n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 故1011522126S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以（3）判断正确．21221112222n a n n n +=+->=，222n n =，244n =， 当6n =时，21166n a n +=+；当7n =时，21167n a n +=+， 故当7n =时取得最小值，故（4）正确． 综上所述，正确的有三个，故选C ．二、填空题．13．【答案】25π4【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知1232tan 14122MON -∠==+⨯，故3sin 5MON ∠=， 又3MN =，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠，即52R =，故所求外接圆的面积为2525ππ24⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．14．【答案【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以2ππω=，2ω∴=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+． 因为函数的图象经过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin π13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πϕ<<，π6ϕ∴=．所以()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 42πππ6f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．【答案】1【解析】由题可得ln 1y x '=+，故切线l 的斜率为1， 又切点坐标为()1,0，所以切线l 的方程为1y x =-，因为切线l 与直线l '垂直，所以11a ⋅=-，所以直线l '的方程为1y x =-+，易得切线l 与直线l '的 交点坐标为()1,0，因为切线l 与y 轴的交点坐标为()0,1-，直线l '与y 轴的交点坐标为()0,1，所以切线l 、直线l '与y 轴围成的三角形的面积为12112⨯⨯=．16．【答案】55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭44a a +-设ABC △的高为h ，则∵ABC △的面积为5，∴115522S AB h h ==⨯=，即2h =， 直线AB 的方程为43y a x -=，即4330x y a -+=， 若圆229x y +=上有且仅有四个不同的点C ， 则圆心O 到直线4330x y a -+=的距离35a d ==，则应该满足321d R h <-=-=，即315a <，得35a <，得5533a -<<，故答案为55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =，21n n b =-；（2）见解析．【解析】（1）由1232n n a a a a b +++⋅⋅⋅+=……①2n ≥时，123112n n a a a a b --+++⋅⋅⋅+=……②①-②可得：()()133222248n n n a b b a b b -=-⇒=-=⨯=，12a =，0n a >，设{}n a 公比为q ，2182a q q ∴=⇒=，()1222n n n a n -∴=⨯=∈*N ， ()()123121222222222112n n n n n n b b n +-∴=+++⋅⋅⋅+==-⇒=-∈-*N ．（2）证明：由已知：()()11121121212121n n n n n n n n n a c b b +++===-⋅----，121223111111111121212*********n n n n n T c c c ++∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=--------， 当n ∈*N 时，121n +>，11021n +∴>-，111121n +∴-<-，即1n T <．18．【答案】（1）见解析；（2）0.5ln 3ˆy x =-+；（3）最大值约为27083元．【解析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2．则()2426C 620C 155P ξ====，()112426C 81C 15C P ξ⋅===，()2226C C 1215P ξ===， ξ∴的分布列（2）由散点图可知ˆˆˆybz a =+更适合于此模型． 其中6162216 1.070.52.046ˆi ii ii z yzybzz ==--==≈--∑∑，ˆ3ˆˆay bz =-=， 所求的回归方程为0.5ln 3ˆyx =-+． （3）()3653650.5ln 3ln 10952L x x x x x -=-+=+， 365365ln 365322L x =--+⨯'，令50ln 5e 148.4L x x =⇒=⇒=≈'， ∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额最大，最大值约为27083元．19．【答案】（1）见解析；（2）π3． 【解析】（1）证明：由题设知：AM ME ⊥， 又ME MF ⊥，AMMF M =，AM ，MF ⊂面AMF ，ME ∴⊥面AMF ，AF ⊂面AMF ，AF ME ∴⊥，在矩形ABCD 中，4AD =，AB =E 、F为中点， 224218AE ∴=+=，22226EF =+=，228212AF =+=，222AEEF AF ∴=+，AF EF ∴⊥，又ME ，EF ⊂面MEF，AF ∴⊥面MEF ，（2）AF ⊂面ABCE ，由（1）知面MFE⊥面AFE ，且90AFE∠=︒， ∴以F 为原点，FE 为x 轴，FA 为y 轴建立如图的空间直角坐标系，在MFE Rt △中，过M 作MN EF ⊥于N ，ME =EF =，2MF =，MN ∴==cos 2FN MF MFE =∠==（也可用2MF FN FE =⋅） ()A ∴、)E、()0,0,0F 、M⎝⎭， 面AFE 的一个法向量为()0,0,1=n ，设面AME 的一个法向量为(),,x y z =m ，EM ⎛=⎝⎭、()6,AE =-，由00EM AE ⎧⎪⎨=⎪⋅⋅=⎩m m，即00+=-=⎧⎪，令1x =，则y =，z = ⎛∴= ⎝⎭m，1cos ,2∴==m n ，π,3=m n ， ∴二面角M AE F --为π3． 20．【答案】（1）24y x =；（2）最小值为5，直线方程为10x -=． 【解析】（1）因为OFP △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFP △的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径， 圆周长为3π，所以圆的半径为32r =， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上2p OF =， 所以3422p p +=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =． （2）①当l 的斜率不存在时，所以点M 到y 轴的距离为9，此时，直线l 的方程为9x =，②当l 的斜率存在且0k ≠时，设l 的方程为y kx b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,M x y ， 由24y x y kx b==+⎧⎨⎩，化简得()222220k x kb x b +-+=， 所以16160Δkb =-+>，由韦达定理可得12242kbx x k -+=，2122b x x k =， 所以12AB ==， 即42911k kb k -=+，又因为2120222222191911151211x x kb k x k k k k k +-===+=++-≥=++， 当且仅当2113k+=时取等号，此时解得k =， 代入12kb =-中，得k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以直线l的方程为y-y =，即直线方程为10x ±-=． 21．【答案】（1）见证明；（2）()0,1a ∈．【解析】（1）当1a =时，()e sin x f x x =-，于是()e cos x f x x '=-． 又因为当()0,x ∈+∞时，e 1x >且cos 1x ≤． 故当()0,x ∈+∞时，e cos 0x x ->，即()0f x '>．所以函数()e sin x f x x =-为()0,+∞上的增函数，于是()()01f x f ≥=． 因此对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥．（2）方法一：由题意()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π0f a ⎛⎫=⋅> ⎪'，所以，存在唯一实数00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，所以00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点；②1a ≥当时，()e cos e cos 0x x f x a x x ≥-'=->在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值；③当0a ≤时，()e cos 0x f x a x =-<'在2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值，综上所述，使()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1．方法二：由题意，函数()f x 在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．即e cos x x a =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 设()cos e xx g x =，2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数． 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点．下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．事实上，当()0,1a ∈时，()e cos x f x a x '=-为0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，π2e π0f a ⎛⎫=⋅> ⎪'，所以，存在唯一实数0,πx ⎛⎫∈ ⎪，使得()00f x '=成立．于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当02π,x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为02π,x ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，即00,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点．综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值．22．【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2．【解析】（1）圆C 的参数方程为()22cos 2sin x y θθθ⎧+⎨⎩==为参数， ∴圆C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， ∴圆C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．（2）射线l 的极坐标方程为θα=，()0ρ>，射线l 与圆C 交于点()B O 不同于点， 4cos OB α∴=，π2α≠， 点A的直角坐标为(，2OA ∴==，()1sin 602OAB S OA OB α=⨯⨯⨯︒-△()124cos sin 602αα=⨯⨯⨯︒-14cos sin 2ααα⎫=-⎪⎪⎝⎭22sin cos ααα=-)1cos2sin2αα=+-()2sin 602α=︒-+()2sin 260α=--︒+∴当26090α-︒=-︒，即15α=-︒时，OAB △面积取最大值2S =．23．【答案】（1）1m =；（2【解析】（1）依题意得()2f x x m +=-，()20f x +≤，即x m ≤， 可得1m =．（2）依题意得2221a b c ++=（0a b c >，，）由柯西不等式得，23a b c ++当且仅当23b ca ==，即a =，b =c = ∴23a b c ++。
2019年高考理科数学-全国卷Ⅲ试题及解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A ，则=⋂B A （ ） A. }1,0,1{- B. B.{0,1} C. C.}1,1{- D. D.}2,1,0{ 答案： A 解答：}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=⋂B A .2.若i i z 2)1(=+，则=z （ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 答案： D解答：i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.5.0 B.6.0 C.7.0 D.8.0 答案： C解答：7.0100608090=+-4.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A.12 B.16 C.20 D.24 答案： A解答：由题意可知含3x 的项为33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，所以系数为12.5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C 解答：设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，4211134a q a q a =+， 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=，即可解得11a =，则2314a a q ==.6. 已知曲线x x ae y xln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ） A.e a =,1-=b B.e a =,1=b C.1-=e a ,1=b D.1-=e a ,1-=b 答案： D解析：令x x ae x f x ln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x，21)1(=+='ae f ，得11-==e ea .b ae f +==2)1(，可得1-=b .故选D.7.函数3222x xxy-=+在[6,6]-的图像大致为（）A.B.C.D.答案：B解析：∵32()22x xxy f x-==+，∴332()2()()2222x x x xx xf x f x----==-=-++，∴()f x为奇函数，排除选项C.又∵334442424(4)8222f-⨯⨯=≈=+，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线C：22142x y-=的右焦点为F，点P为C的一条渐近线的点，O为坐标原点.若||||PO PF=则PFO∆的面积为（）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程2242x y-=可得一条渐近线方程为2y x=；在PFO∆中||||PO PF=过点P做PH垂直OF因为tan POF=2∠得到PO=所以12S PFO∆==故选A11.若()f x是定义域为R的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（）A.233231(log)(2)(2) 4f f f-->>B.2332 31(log)(2)(2) 4f f f-->>C.233231 (2)(2)(log)4 f f f-->>D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案： C 解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221log 4--<<<<；所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>；故选C.12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ○3()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. ○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4 答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错； ∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故○3对. 二.填空题13.已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r，若2c a =r r ，则cos ,a c =r r.答案：23解析：∵()22222459c a a b b ==+-⋅=r r r r r ，∴3c =r，∵()2222a c a a a b ⋅=⋅=-⋅=r r r r r r ，∴22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯⋅r rr r r r . 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = . 答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，∴()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d ++⨯====++.15.设1F 、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.16.学生到工厂劳动实践，利用3 D 打印技术制作模型。
2019年高考(理科)数学总复习综合试题(三)含答案及解析
绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（三）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R2．已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|1＋2i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为( )A ． 5B ．2 5C ．13D ．2134．已知向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )，则AB →与AC →共线的条件是( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝0C ．mn ＋1＝0D ．mn －1＝05．若sin α＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝0，则cos 2α的值为( )此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．－35B ．35C ．－45D ．456．按如图所示的程序框图，若输入a ＝81，则输出的i ＝( )A ．14B ．17C ．19D ．217．在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点，则落在曲线C 下方(曲线C 为正态分布N (1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附：正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997．A ．4 985B ．8 185C ．9 970D ．24 5558．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)：面ABCD 为矩形，棱EF ∥AB .若此几何体中，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为( )A ．8 3B ．8＋8 3C ．62＋2 3D ．8＋62＋2 39．已知直线3x －y －3＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，与x 轴交于F 点，OF →＝λOA →＋μOB →，则λ－μ＝( )A ．12B ．－12C ．13D ．－1310．已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为( )A ．13B ．55C ．12D ．2311．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝3×2n －1，则S 2 017＝( ) A ．22 018－1 B ．22 018＋1 C ．22 017－1D ．22 017＋112．已知函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，给出以下四个命题： ①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )；②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |． 其中所有真命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值为________． 14．(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 2的系数为__________．15．某班共46人，从A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后(没人弃权)：若A 得25票，B 得票数占第二位，C 、D 得票同样多，得票最少的E 只得4票，那么B 得票的票数为__________．16．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4y ≤x ＋2x ≤3，点A ，B 是圆 x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB的最大值为________．三、解答题：17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．(1)求角C 的大小； (2)若△ABC 的面积为22sin A sin B ，求c 的值．18．(12分)如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ⊥BC ，AF ⊥AC ，AF 平行且等于2CE ，G 是线段BF 上的一点，AB ＝AF ＝BC ＝2．(1)当GB ＝GF 时，求证：EG ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BF -A 的余弦值．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(50.5＜Z＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X的分布列．附：210≈14.5若Z～N(μ，δ2)，则P(μ－δ＜Z＜μ＋δ)＝0.682 6，P(μ－2δ＜Z＜μ＋2δ)＝0.954 4．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的周长为12，AB ， AC 边的中点分别为F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ． (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|．(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（三）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R解析：∵集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， 观察备选答案中的4个选项，只有{1,2}⊆A .故选A ． 答案：A2．已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|1＋2i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z －i ＝|1＋2i|得z ＝5＋i.复数z 在复平面上对应点(5，1)在第一象限．故选A ．答案：A3．已知双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为( )A ． 5B ．2 5C ．13D ．213解析：双曲线x 29－y 24＝1，则其焦距为29＋4＝213.故选D ．答案：D4．已知向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )，则AB →与AC →共线的条件是( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝0C ．mn ＋1＝0D ．mn －1＝0解析：由AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )共线， 得a ＋m b ＝λ(n a ＋b )，即mn －1＝0，故选D ． 答案：D5．若sin α＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝0，则cos 2α的值为( ) A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：由sin α＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝0，则sin α＋3cos α＝0， 可得：tan α＝sin αcos α＝－3，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－91＋9＝－45.故选C ．答案：C6．按如图所示的程序框图，若输入a ＝81，则输出的i ＝( )A ．14B ．17C ．19D ．21解析：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S ＝1＋2＋3＋…＋i 的值，当S ＞81时，输出i ＋1的值．由于S ＝1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2，当i ＝12时，S ＝12×132＝78＜81，当i ＝13时，S ＝13×142＝91＞81，满足退出循环的条件，故输出i 的值为13＋1＝14.故选A ．答案：A7．在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点，则落在曲线C 下方(曲线C 为正态分布N (1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附：正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997．A ．4 985B ．8 185C ．9 970D ．24 555解析：由题意P (0＜X ＜3)＝0.683＋12(0.954－0.683)＝0.818 5，∴落在曲线C 下方的点的个数的估计值为30 000×0.818 5＝24 555，故选D ．答案：D8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)：面ABCD 为矩形，棱EF ∥AB .若此几何体中，AB ＝4，EF ＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为( )A ．8 3B ．8＋8 3C ．62＋2 3D ．8＋62＋2 3解析：过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连接PF ，过F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接OQ ．∵△ADE 和△BCF 都是边长为2的等边三角形，∴OP ＝12(AB －EF )＝1，PF ＝3，OQ＝12BC ＝1，∴OF ＝PF 2－OP 2＝2，FQ ＝OF 2＋OQ 2＝3，∴S 梯形EFBA ＝S 梯形EFCD ＝12×(2＋4)×3＝33，又S △BCF ＝S △ADE ＝34×22＝3，S 矩形ABCD ＝4×2＝8，∴几何体的表面积S ＝33×2＋3×2＋8＝8＋8 3.故选B ．答案：B9．已知直线3x －y －3＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，与x 轴交于F 点，OF →＝λOA →＋μOB →，则λ－μ＝( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13解析：直线3x －y －3＝0过抛物线的焦点F (1,0)， 把直线方程代入抛物线的方程y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，或⎩⎨⎧x＝13y ＝－233，不妨设A (3,23)、B ⎝⎛⎭⎫13，－233．∵OF →＝λOA →＋μOB →，∴(1,0)＝(3λ，23λ)＋⎝⎛⎭⎫13μ，－233μ＝⎝⎛⎭⎫3λ＋13μ，23λ－233μ．∴3λ＋13μ＝1,23λ－233μ＝0，∴λ＝14，μ＝34，则λ－μ＝－12.故选B ．答案：B10．已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为( )A ．13B ．55C ．12D ．23解析：由三视图还原原几何体如图：几何体是三棱锥A -BCD ，满足面ACD ⊥面BCD ，且AD ⊥CD ，BC ⊥CD .最短棱为CD ，最长棱为AB .在平面BCD 内，过B 作BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BEDC 为正方形，可得AE ＝22，在Rt △AEB 中，求得AB ＝12＋(22)2＝3，∴cos ∠A BE ＝BE AB ＝13．即最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为13.故选A ．答案：A11．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝3×2n －1，则S 2 017＝( )A ．22 018－1B ．22 018＋1C ．22 017－1D ．22 017＋1解析：由a 1＝1和a n ＋1＝3×2n －1－a n ，可知数列{a n }唯一确定，并且a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，猜测a n ＝2n －1，经验证a n ＝2n－1是满足题意的唯一解．∴S 2 017＝22 017－12－1＝22 017－1.故选C ．答案：C12．已知函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，给出以下四个命题： ①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )；②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |． 其中所有真命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②③④解析：对于①，∵f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，且其定义域为(－1,1)，∴f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－[ln (1＋x )－ln (1－x )]＝－f (x )，即①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )，故①是真命题；对于②，∵x ∈(－1,1)，由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0，可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增，即∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，故②是真命题；对于③，∵f ′(x )＝21－x2在(0,1)单调递增，∴∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2，故③是真命题；对于④，设g (x )＝f (x )－2x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝f ′(x )－2≥0，所以g (x )在(0,1)单调递增，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞g (0)，即f (x )＞2x ；由奇函数性质可知，∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |，故④是真命题．故选D ．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值为________． 解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， 则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9． 答案：914．(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 2的系数为__________． 解析：∵(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 2项为C 0313(2x )0·C 2412(－x )2＋C 1312(2x )1·C 1413(－x )1＋C 2312(2x )2·C 0414(－x )0， ∴所求系数为C 03·C 24＋C 13·2·C 14(－1)＋C 23·22·C 0414＝6－24＋12＝－6． 答案：－615．某班共46人，从A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后(没人弃权)：若A 得25票，B 得票数占第二位，C 、D 得票同样多，得票最少的E 只得4票，那么B 得票的票数为__________．解析：∵A 得25票，E 只得4票，∴B ，C ，D 共得46－25－4＝17(票)，∵C 、D 得票同样多，要大于4票，∴若C ，D 是5票，则B 是7票，若C ，D 是6票，则B 是5票，不满足条件． 若C ，D 是7票，则B 是3票，不满足条件． 若C ，D 是8票，则B 是1票，不满足条件． 故满足条件的B 是7票． 答案：716．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4y ≤x ＋2x ≤3，点A ，B 是圆 x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB的最大值为________．解析：由已知可得点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4y ≤x ＋2x ≤3表示的平面如图所示(包含边界)运动，易知点P 位于圆x 2＋y 2＝2外时，∠APB 最大时，当P A ，PB 所在直线与圆相切，且点P 位于离圆心最近的H 处；此时，圆心到直线x ＋y －4＝0的距离为|OH |＝22，所以在Rt △OAP 中|OP |＝2|OA |，所以∠OP A ＝π6，同理∠OPB ＝π6，此时∠APB ＝π3．答案：π3三、解答题：17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．(1)求角C 的大小； (2)若△ABC 的面积为22sin A sin B ，求c 的值． 解：(1)由cos 2C ＝2cos 2C －1， 则2cos 2C －1＋22cos C ＋2＝0， ∴(2cos C ＋1)2＝0，cos C ＝－22， 由0＜C ＜π，则C ＝3π4，∴∠C 为3π4；(2)由△ABC 的面积为12ab sin C ＝22sin A sin B ，则12ab ×22＝22sin A sin B ， 整理得：a sin A ×b sin B＝2由正弦定理可知：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，(R 为外接圆半径)，则4R 2＝2，解得R ＝22，c ＝2R sin C ＝2×22×22＝1， ∴c 的值为1．18．(12分)如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ⊥BC ，AF ⊥AC ，AF 平行且等于2CE ，G 是线段BF 上的一点，AB ＝AF ＝BC ＝2．(1)当GB ＝GF 时，求证：EG ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BF -A 的余弦值．(1)证明：取AB 的中点D ，连接GD ，CD ， ∵G 是FB 的中点，D 是AB 的中点， ∴GD 綊12AF ，又CE 綊12AF ，∴GD 綊CE ，∴四边形CEGD 是平行四边形，∴EG ∥CD ，又CD ⊂平面ABC ，GE ⊄平面ABC ， ∴EG ∥平面ABC ．(2)解：∵AF ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABC ，平面ACEF ∩平面ABC ＝AC ，AF ⊂平面ACEF ，∴AF ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴AF ⊥BC ，又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面ABF ，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则B (0,0,0)，E (2,0,1)，F (0,2,2)， ∴BE →＝(2,0,1)，BF →＝(0,2,2)，设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0n ·BF →＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝02y ＋2z ＝0，令x ＝1得n ＝(1,2，－2)， 又BC ⊥平面ABF ，∴m ＝(1,0,0)是平面ABF 的一个法向量，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×3＝13，∵二面角E -BF -A 为锐二面角， ∴二面角E -BF -A 的余弦值为13．19．(12分) 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N (μ，210)，μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P (50.5＜Z ＜94)．(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； ②每次赠送的随机话费和对应概率如下：求X 的分布列．附：210≈14.5若Z ～N (μ，δ2)，则P (μ－δ＜Z ＜μ＋δ)＝0.682 6，P (μ－2δ＜Z ＜μ＋2δ)＝0.954 4． 解：(1)E (Z )＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，∴μ＝65，δ＝210≈14.5，∴P (50.5＜Z ＜79.5)＝0.682 6，P (36＜Z ＜94)＝0.954 4， ∴P (79.5＜Z ＜94)＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9，∴P (50.5＜Z ＜94)＝P (50.5＜Z ＜79.5)＋P (79.5＜Z ＜94)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5． (2)P (Z ＜μ)＝P (Z ≥μ)＝12，X 的可能取值为{10,20,30,40}，P (X ＝10)＝12×23＝13，P (X ＝20)＝12×13＋12×23×23＝718，P (X ＝30)＝12×23×13＋12×13×23＝29，P (X ＝40)＝12×13×13＝118．∴X 的分布列为：F 1(－1,0)和F 2(1,0)，点M 为BC 边的中点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为曲线T ，直线MF 1与曲线T 另一个交点为N ，线段MF 2中点为E ，记S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ，求S 的最大值．解：(1)由题意，|MF 1|＋|MF 2|＝6－2＝4＞2＝|F 1F 2|，∴M 的轨迹是以F 1(－1,0)和F 2(1,0)为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点)，a ＝2，c ＝1， ∴b ＝3，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由题意，设直线MN 的方程为x ＝my －1， 代入椭圆方程，整理可得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 则y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴S ＝S △NF 1O ＋S △MF 1E ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2|＝6 m 2＋1(3m 2＋4)2，令t ＝3m 2＋4≥4，则S ＝6 t －13t 2， ∴t ＝4，S 的最大值为32．21．(12分)已知函数f (x )＝ln (ax ＋b )＋e x －1(a ≠0)．(1)当a ＝－1，b ＝1时，判断函数f (x )的零点个数； (2)若f (x )≤e x －1＋x ＋1，求ab 的最大值．解：(1)当a ＝－1，b ＝1时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1，定义域为{x |x ＜1}，当x ≤0时，f (x )＝ln (－x ＋1)＋e x －1＞0，所以函数f (x )在(－∞，0]内无零点；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝1x －1＋e x －1，因为1x －1＜－1，e x －1＜1，所以f ′(x )＝1x －1＋e x －1＜0，说明函数f (x )在(0,1)上单调递减，又f (0)＝e －1＞0，当x ＝1－1e 时，f (x )＝e －1e －1＜e 0－1＝0，所以函数f (x )在(0,1)内有且只有一个零点； 综上，函数f (x )的零点个数是1；(2)若ln (ax ＋b )＋e x －1≤e x －1＋x ＋1，即ln(ax ＋b )≤x ＋1，设g (x )＝ln (ax ＋b )－x －1，若a ＜0，则当x →－∞时，显然g (x )＞0，故不符合题意，所以a ＞0． g ′(x )＝aax ＋b －1＝－ax ＋a －b ax ＋b(ax ＋b ＞0)，当－b a ＜x ＜1－ba 时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫－b a ，1－b a 上单调递增； 当x ＞1－ba 时，g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1－b a ，＋∞上单调递减； 从而g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba－2， 由题意可知g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1－b a ＝ln a ＋ba －2≤0，所以b ≤2a －a ln a ， 此时ab ≤2a 2－a 2ln a ，令h (a )＝2a 2－a 2ln a ，h ′(a )＝3a －2a ln a ，可知h (a )在⎝⎛⎭⎫0，e 32上单调增，在⎝⎛⎭⎫e 32，＋∞上单调减，所以h (a )max ＝12e 3，故ab 的最大值为12e 3．以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C ．(1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝12y 1，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2cos θy 1＝2sin θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)； ∴x 24＋y 2＝1． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＋2y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1， 所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2， 于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0．化为极坐标方程得：4ρcos θ－2ρsin θ－3＝0，即 ρ＝34cos θ－2sin θ． [选修4－5：不等式选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|． (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小． 解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ＜03，0≤x ≤32x －3，x ＞3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜03－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤33≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x －3≥x ＋5， 解之得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8，所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3，由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )，且m≥3，n≥3，所以m－2＞0,2－n＜0，即(m－2)(2－n)＜0，所以2(m＋n)＜mn＋4．。
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(三)
17．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 7 ， S9 99 ．
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）若 bn
an 2n
(n
N ) ，求数列
bn 的前 n 项和 Tn ．
a1 2d 7
【解析】（1）由题意得：
m1
已知函数 f (x)
ln(mx) 1(m 1)有两个零点 x1 ， x2( x1 x2) ．
x2
（ 1）求实数 m 的取值范围； （ 2）证明： 1 1 1 ．
x1 x2 m
【解析】（1） f ( x) m 1 ln(mx) 1(m 1)， x2
∴ f ( x)
m 1 x 2m
x2 2x
2x2 ，
得
2
4 x0
2
4(2 x0
4)＞0
2＜ x0＜ 2 ，
AB
1 x0 2 x1 x2
4
1 x0 2 16 4 x02 4
4 x02 4 x02 ，
设 T 0,3 到 AB 的距离 d x02 4 ，
S△ ABT
1 AB d 1
2
2
4 x02 2 4 x02
1 2
1 2
(
x0
2
4) x02
4 (8
2
x02
①－②得：
1 2 Tn
31 2 2( 22
1 23
1 24
1 2n 1 2n ) 2n 1
5 2
2n 2n
5
1
，
2n 5
故 Tn 5
2n ．
18．（本小题满分 12 分）
2019年高考理科数学考前30天--填空题专训(一)
2019年高考理科数学考前30天--填空题专训（一）题组一填空题：本大题共4小题，每小题5分．1．等比数列各项均为正数，，则__________． 【答案】20【解析】由，得，所以．2．已知实数、满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】可行域如图所示，当动直线过点时，有最大值，又由得，故的最大值为4．故填4． {}n a 384718a a a a +=1210a a a ++⋯+=384718a a a a +=479a a=1210a a a ++⋯+=555101210110473)))2log 320a a a a a a a ⋯=====x y 2035000x y x y x y -⎧⎪-+⎪⎨>⎪⎪>⎩≤≥2z x y =+20x y z +-=A 2350y xx y =⎧⎨-+=⎩()1,2A3．两个不共线向量、的夹角为，、分别为线段、的中点，点在直线上，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】因为、、三点共线，所以，所以，，，表示原点与直线动点的距离的平方，它的最小值为，填．4．若函数对定义域内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”．给出下列命题： ①是自倒函数；OA u u u r OB uuu rq M N OA OB C MN (),OA OB OC x y x y =+∈R u u u r u u u r u u u r 22x y +18C M N ()1122t t OC OM ON OA t t OB -=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2t x =12t y -=12x y +=22x y +102x y +-=218=⎝⎭18()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()ππsin ,22f x x x ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭②自倒函数可以是奇函数； ③自倒函数的值域可以是；④若，都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．则以上命题正确的是________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②【解析】为上的单调函数，否则方程不止一个实数解．对于①，在是单调增函数，且其值域为，对于任意的，则，故在有唯一解，①正确；对于②，取，，的值域为，因为在和都是单调减函数，故对于，有唯一解，，为“自倒函数”，②正确；对于③，如果的值域为，取，无解，③不正确；④取，，其中，它们都是“自倒函数”，但是，这是常数函数，它不是“自倒函数”．题组二1．在中，若，则 ．()f x ()f x R ()y f x =()y g x =()()y f x g x =⋅()f x D ()()11f x f x =()sin f x x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1⎤⎦1t ⎤∈⎦11t ⎤∈⎦()1f x t =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2x x =()1f x x=()(),00,x ∈-∞+∞U ()f x ()(),00,-∞+∞U ()1f x x=(),0-∞()0,+∞()(),00,t ∈-∞+∞U ()f x t =2x x =()1f x x=()(),00,x ∈-∞+∞U ()f x R ()10f x =()201f x ⨯=()f x x =()1g x x=()(),00,x ∈-∞+∞U ()()()1F x f x g x =⋅=ABC △sin :sin :sin 3:4:6A B C =cos B =【解析】由正弦定理得，∴可设，，，∴．【答案】2．若，则 ．【解析】∵，∴，， ∴，，∴． 【答案】5933．若的展开式中的系数为20，则 ．【解析】∵的展开式中的系数为，∴． 【答案】4．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则 ．【解析】由题可知四面体的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示，设，，，，∴，∴::3:4:6a b c =3a k =4b k =()60c k k =>2229361629cos 23636k k k B k k +-==⨯⨯2936()()2332log log log log 2x y ==x y +=()()2332log log log log 2x y ==3log 4x =2log 9y =4381x ==92512y ==81512593x y +=+=()()512x a x ++3x a =()()512x a x ++3x 23554C 8C 20a +=14a =-14-ABCD 9πO AB CD a ==AC AD BC BD ====a =ABCD AF x =BF y =CF z ===24π9π⨯=⎝⎭2x y ==a =【答案】。
2019届高三理科数学测试卷(三)附答案
第1页（共8页） 第2页（共8页）2019届高三理科数学测试卷（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|3A x x =≤，集合(){|lg B x y a x ==-，且}x ∈N ，若集合{}0,1,2A B =，则实数a的取值范围是（ ） A ．[]2,4B ．[)2,4C ．(]2,3D ．[]2,32．已知i 是虚数单位，复数z 是z 的共轭复数，复数1i3i 1iz -=+-，则下面说法正确的是（ ）A ．z 在复平面内对应的点落在第四象限B ．22i z =+C ．2+z z的虚部为1 D ．22zz =+ 3．已知双曲线()22106x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A ．14222=-y x B ．18422=-y x C ．1822=-y x D ．18222=-y x 4．据统计一次性饮酒4．8两诱发脑血管病的概率为0．04，一次性饮酒7．2两诱发脑血管病的概率为0．16．已知某公司职员一次性饮酒4．8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2．4两不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．87B ．65 C ．43 D ．2120 5．某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A ．552 B ．25 C ．38 D ．23 6．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1502n n n a S S n -+=≥，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为n S n 5=B ．数列{}n a 的通项公式为()151n a n n =+，115a =C ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列D ．数列{}n a 是递增数列7．古代著名数学典籍《九章算术》在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物．算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36．”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为（ ）A ．32B ．29C ．27D ．218．若(),M x y 为⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≥+-0202302y x y x y x 区域内任意一点，则()22216z x y λλλ=++-的最大值为（ ）A ．2B ．28λ-C ．262+λD ．242--λ此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第3页（共8页） 第4页（共8页）9．已知实数a ，b ，c ，a a2log 2-=，121log 2b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2312c c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>10．将函数()22cos ()16g x x π=+-的图象，向右平移4π个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()f x ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间75,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-D ．3x π=是函数()f x 的一条对称轴 11．已知函数()2e 3,0241,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有4个不同的实数解，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),4223e,-∞--+∞B ．()e 3,422--C ．()(),422422,-∞-++∞D ．()3e,422-+12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且FB AF 3=，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，l AA ⊥1于点1A ，且四边形CF AA 1的面积为36，过()1,0K -的直线'l 交抛物线于M ，N 两点，且(]()1,2KM KN λλ=∈，点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，则点G 的横坐标0x 的取值范围为（ ） A ．133,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．93,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,72⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2AD =，则向量BD 在向量AC 上的投影为 ．14．二项式()742111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为 ．15．已知数列{}n a 满足31=a ，且对任意的m ，*n ∈N ，都有n mmn a a a =+，若数列{}n b 满足()23log 1n n b a =+，则数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 的取值范围是 ．16．已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC △沿对角线AC 折起，使平面⊥ABC 平面ACD ，得到如图所示的三棱锥ACD B -，若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且CM BN =，设x BN =，则三棱锥AMC N -的体积取得最大值时，三棱锥ADC N -的内切球的半径为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22sin 12sin 32A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求B 的大小；（2）若B C A 2sin sin sin =，求ca的值．第5页（共8页） 第6页（共8页）18．（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，四边形CA C A 11为菱形，111160B A A C A A ∠=∠=︒，4AC =，2AB =，平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，Q 在线段AC 上移动，P 为棱1AA 的中点．（1）若Q 为线段AC 的中点，H 为BQ 中点，延长AH 交BC 于D ，求证：AD ∥平面PQ B 1； （2）若二面角11C PQ B --的平面角的余弦值为1313，求点P 到平面1BQB 的距离．19．（12分）2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”．评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记X 表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为22，已知过y 轴上一点()0,M m 作一条直线l ：()0y kx m m =+≠，交椭圆于A ，B 两点，且1ABF △的周长最大值为8． （1）求椭圆方程；（2）以点N 为圆心，半径为ON 的圆的方程为()222x y m m ++=．过AB 的中点C 作圆的切线CE ，E 为切点，连接NC ，证明：当NC NE取最大值时，点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）．第7页（共8页） 第8页（共8页）21．（12分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x =． （1）若曲线()()y f x g x =-在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001'''f x g x g x f x +<-成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y tx （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且90AOB ∠=︒． （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M ，N 两点，证明：22C M C N ⋅（2C 为圆心）为定值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}2|30B x x x =-<，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．答案 第1页（共6页） 答案 第2页（共6页）高三理科数学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A 二、填空题． 13．【答案】2-14．【答案】22- 15．【答案】12,2115⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．【答案】3622-三、解答题．17．【答案】（1）3B π=或56B π=；（2）1=ca ．【解析】（1）∵22sin 12sin 3cos22A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22sin 12sin 3cos 202A C B B +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即02cos 3cos sin 2=+B B B ，∴02cos 32sin =+B B ，∴sin 203B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()23B k k π+=π∈Z ，又()0,B ∈π，∴3B π=或56B π=． （2）∵B C A 2sin sin sin =，∴2b ac =，又由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=，∴()2212cos a c ac B +=+，当3B π=时，则0222=-+ac c a ，∴c a =，∴1=ca ， 当56B π=时，则()22310a c ac ++-=，∴()23110a ac c⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，()2314230∆=--=-<，此方程无解．综上所述，当且仅当3B π=时，可得1=ca ． 18．【答案】（1）见解析；（2）26． 【解析】（1）证明：如图，取1BB 中点E ，连接AE ，EH ， ∵H 为BQ 中点，∴1EH B Q ∥，在平行四边形B B AA 11中，P ，E 分别为1AA ，1BB 的中点，∴1AE PB ∥， 又E AE EH = ，111B Q B PB = ，∴平面EHA ∥平面QP B 1． ∵⊂AD 平面EHA ，∴AD ∥平面PQ B 1．（2）连接1PC ，1AC ，∵四边形CA C A 11为菱形，∴4111===C A AC AA ， 又1160C A A ∠=︒，∴11AC A △为正三角形． ∵P 为1AA 的中点，∴11AA PC ⊥，∵平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，平面 11A ACC 平面111AA A ABB =，⊂1PC 平面11A ACC ， ∴⊥1PC 平面11A ABB ，在平面11A ABB 内过点P 作1AA PR ⊥交1BB 于点R ， 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则答案 第3页（共6页） 答案 第4页（共6页）()0,0,0P ，()10,2,0A ，()0,2,0A -，()10,0,23C ，()0,4,23C -，设()0,2,23AQ AC λλ==-，[]0,1λ∈，∴()()0,21,23Q λλ-+，∴()()0,21,23PQ λλ=-+， ∵211==AB B A ，1160B A A ∠=︒，∴()13,1,0B ，∴()13,1,0PB =，设平面1PQB 的法向量为(),,x y z =m ，则100PQ PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得()2123030y z x y λλ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，令1=x ，则3y =-，1z λλ+=-，∴平面1PQB 的一个法向量为11,3,λλ+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m ，设平面C C AA 11的法向量为()1,0,0=n ，二面角11C PQ B --的平面角为θ，则2113cos 13113θλλ⋅==+⎛⎫++- ⎪⎝⎭m nm n， ∴21=λ或41-=λ（舍），∴AC AQ 21=，∴()0,3,3Q -．又()3,3,0B-，∴()3,0,3QB =-，∴336QB =+=，连接BP ，设点P 到平面1BQB 的距离为h ，则h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯6421313342131，∴26=h ，即点P 到平面1BQB 的距离为26． 19．【答案】（1）121140；（2）见解析，()0.75E X =．【解析】（1）设i A 表示所抽取3个中有i 所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低于9分记为事件A ，则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为41164=， 由题知X 的可能取值为0，1，2，3．()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3313464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴()27911230.75646464E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）12422=+y x ；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得11122148AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++==， ∴2=a ∵22=a c ，∴2=c ，∴2=b ， ∴所求椭圆方程为12422=+y x ． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立⎩⎨⎧=++=4222y x m kx y 得()222214240k x kmx m +++-=，由0>∆得2422+<k m ，且124221+-=+k km x x ，∴122221my y k +=+， ∴222,2121kmm C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．∵以点N 为圆心，ON 为半径的圆的方程为()222x y m m ++=，∴()0,N m -，∴2222222121km m NC m k k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得()()22422241321m k k NC k ++=+， ∵NE m =，∴()()()2422222224138312121k k NC k NEkk+++==+++．令()2833t k t =+≥，∴41122+=+t k ，∴()222161611112NC t t NE t t=+=++++， 令()13y t t t =+≥，则011'2>-=t y ， ∴tt y 1+=在[)3,+∞上单调递增，∴3101≥+t t ，当且仅当3=t 时等号成立，答案 第5页（共6页） 答案 第6页（共6页）此时NC NE取得最大值，且0=k ，∴22422=+<k m ，∴22<<-m 且0≠m ，∴点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）． 21．【答案】（1）2-=a ；（2）[)1,+∞；（3）()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭． 【解析】（1）()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，'ay x x=-， 由题意得322=-a，解得2-=a ， （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+，对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，令21x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，则问题等价于()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞上为增函数，()'2a F x x x=+-，则问题转化为()'0F x ≥在()0,+∞上恒成立，即22x x a -≥在()0,+∞上恒成立， 所以()2max21a x x ≥-=，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．（3）不等式()()()()00001'''f x g x g x f x +<-等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数()1ln am x x a x x +=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <， ()()()()22221111'1x ax a x a x a a m x x x x x --+--++=--==，因为0>x ，所以01>+x ，令()'0m x =，得a x +=1．①当11≤+a ，即0≤a 时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2-<a ； ②当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，()m x 在a x +=1处取得最小值． 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<，即()11ln 1a a a ++<+，可得()11ln 1a a a++<+ 令1+=a t ，则1e t <≤，不等式()11ln 1a a a ++<+可化为t t t ln 11<-+， 因为1e t <≤，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立． ③当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0eam a +=-+<， 解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭． 22．【答案】（1）2=b ；（2）见解析．【解析】（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，()2224x y ++=， ∵90AOB ∠=︒，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，∴2=b ． （2）证明：曲线1C 的普通方程为()20x ay a =>，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty tx 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 04212>+=∆a a 恒成立，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则821=t t ， ∴228C M C N =， ∴22C M C N 为定值8．23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）由()9f x ≤可得2419x x -++≤，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x ，解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式()9f x ≤的解集为[]2,4-．（2）易知()0,3B =，由题意可得2412x x x a -++<+在()0,3上恒成立，⇒241x x a -<+-在()0,3上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在()0,3上恒成立， 3->⇒x a 且5a x >-+在()0,3上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5a a 5≥⇒a ．。
2019年高考数学理科全程天天训练(3)函数的概念及其表示(含答案)
误区警示：分段函数的值域为每一段的值域的并集．
11．(1)－1(2) ≤a＜1或a≥2.
解析：(1)a＝1时，f(x)＝ ，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于－1，在 为减函数，在 为增函数，当x＝ 时，f(x)取得最小值为－1；
A．9B．8个C．5个D．4个
3．(2019·广东三校联考)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－ ) B．[－ ，＋∞)
C．[－ ， ]D．(－∞， ]
4．(2019·新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()
11．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
12．对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
天天练
一、选择题
1．集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f：A→B的个数是()
A．2 B．4 C．5 D．7
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有()
②y＝2x－(sinx＋cosx)；y′＝2－(cosx－sinx)＝2＋ sin ＞0，函数单调递增，满足条件．
③y＝ex＋1为增函数，满足条件．
2019年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷(理科)含答案解析
2019年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于（）A．B．C．D．4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．95．双曲线﹣2y2=1的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，则正实数a的值为（）A．B． C．D．6．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34137．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．16πB．4πC．8πD．2π8．已知ω＞0，函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]9．在△ABC中， +=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为 ．14．若变量x ，y 满足约束条件且z=5y ﹣x 的最大值为a ，最小值为b ，则a ﹣b 的值是 ．15．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ． 16．设数列{a n }，（n ≥1，n ∈N ）满足a 1=2，a 2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n ）=2，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则[++…+]= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数f （x ）=sin2x ﹣cos 2（x +）．（1）若x ∈（0，π），求f （x ）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=0，b=1，求△ABC 面积的最大值．18．某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N是BC1的中点（1）求证：MN∥平面A1B1C1；（2）求点C1到平面BMC的距离；（3）求二面角B﹣C1M﹣A1的平面角的余弦值大小．20．设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（Ⅰ）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+b+4c=m，求++的最大值．2019年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数，得出其共轭复数．【解答】解：==，∴复数的共轭复数是+．故选：A．2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3=3，S9﹣S6=27，可得，解得a1=．故选：D．4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】计算循环中n与i的值，当n=1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得n=5，i=1执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=2，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=3，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=4，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=5，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=6，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．故选：A．5．双曲线﹣2y2=1的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，则正实数a的值为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据圆方程，得到圆心坐标C（0，﹣a），圆与双曲线的渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，列出方程求出a的值即可．【解答】解：圆x2+（y+a）2=1∴圆心坐标C（0，﹣a），圆的半径为：1．∵双曲线的渐近线为x±2y=0，双曲线的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，∴C到渐近线的距离为，解得a=故选：C．6．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．7．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．16πB．4πC．8πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，AC⊥BC，D是AB的中点，PD⊥平面ABC，且AC=、BC=1，PD=1，∴AB==2，AD=BD=CD=1，∴几何体的外接球的球心是D，则球的半径r=1，即几何体的外接球表面积S=4πr2=4π，故选：B．8．已知ω＞0，函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数y=cosx的单调递增区间，结合函数在（，π）上单调递增，得出关于ω的不等式（组），从而求出ω的取值范围．【解答】解：∵函数y=cosx的单调递增区间是[﹣π+2kπ，2kπ]，k∈Z；∴﹣π+2kπ≤ωx+＜ωπ+≤2kπ，k∈Z；解得： +≤x≤﹣（k∈Z），∵函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，∴（，π）⊆[+，﹣]（k∈Z），解得4k﹣≤ω≤2k﹣；又∵4k﹣﹣（2k﹣）≤0，且4k﹣＞0，∴k=1，∴ω∈[，]．故选：D．9．在△ABC中， +=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】易得M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，进而得•（+）=，由数量积的定义可得答案．【解答】解：：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为，所以，，所以•（+）=．故选D．10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】二次函数的性质．【分析】由f（x）的值域为[0，+∞），可得对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）的值域为[0，+∞），即f（x）≥0恒成立，∴，∴c=．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴=1+=1+=1+≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．即的最小值为2故选：C．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）【考点】正弦定理；椭圆的简单性质．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【考点】函数的图象．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为7．【考点】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：展开式的通项是=令解得r=6故展开式的常数项为=7故答案为714．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是24．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x易得最大值和最小值，作差可得答案．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=﹣8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，∴a﹣b=16﹣（﹣8）=24故答案为：2415．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．16．设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=2019．【考点】等差数列的通项公式．【分析】构造b n=a n+1﹣a n，可判数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a n=n （n+1），裂项相消法可得答案．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，=2n，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=，解得a n=n（n+1），故++…+=2019（++…+）=2019（1﹣+﹣+…+﹣）=2019﹣，∴[++…+]=2019，故答案为：2019．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+）．（1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到递增区间．（2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面积公式即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，==，由，可解得：．又因为x∈（0，π），所以f（x）的单调递增区间是和．（Ⅱ）由，可得，由题意知B为锐角，所以，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：，即，且当a=c时等号成立，因此，所以△ABC面积的最大值为．18．某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）a=0.015；…s12＞s22．…（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…所以．…（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N是BC1的中点（1）求证：MN∥平面A1B1C1；（2）求点C1到平面BMC的距离；（3）求二面角B﹣C1M﹣A1的平面角的余弦值大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由直三棱柱的几何特征，取B 1C 1中点D ，连接ND 、A 1D ，易得四边形A 1MND 为平行四边形，然后由线面平行的判定定理得到MN ∥平面A 1B 1C 1；（2）可证BC ⊥平面A 1MC 1，在平面ACC 1A 1中，过C 1作C 1H ⊥CM ，又BC ⊥C 1H ，所以C 1H 为点C 1到平面BMC 的距离，在等腰三角形CMC 1中，可求C 1H 的长．（3）在平面ACC 1A 1上作CE ⊥C 1M 交C 1M 于点E ，A 1C 1于点F ，则CE 为BE 在平面ACC 1A 1上的射影，可得BEF 为二面角B ﹣C 1M ﹣A 的平面角，在等腰三角形CMC 1中，可求∠BEC ，即可求得∠BEF ，从而可求二面角B ﹣C 1M ﹣A 1的平面角的余弦值． 【解答】（1）证明：如图所示，取B 1C 1中点D ，连接ND 、A 1D ，则DN ∥BB 1∥AA 1又DN=BB 1=AA 1=A 1M ，∴四边形A 1MND 为平行四边形．∴MN ∥A 1D又 MN ⊄平面A 1B 1C 1，AD 1⊂平面A 1B 1C 1 ∴MN ∥平面A 1B 1C 1；（2）解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，C 1C ⊥BC ∵∠ACB=90°，∴BC ⊥平面A 1MC 1，在平面ACC 1A 1中，过C 1作C 1H ⊥CM ，又BC ⊥C 1H ，所以C 1H 为点C 1到平面BMC 的距离在等腰三角形CMC 1中，C 1C=2，CM=C 1M=∴C 1H=．（3）解：在平面ACC 1A 1上作CE ⊥C 1M 交C 1M 于点E ，A 1C 1于点F ，则CE 为BE 在平面ACC 1A 1上的射影，∴BE ⊥C 1M ，∴∠BEF 为二面角B ﹣C 1M ﹣A 的平面角，在等腰三角形CMC 1中，CE=C 1H=，∴tan ∠BEC=∴∠BEC=arctan ，∴∠BEF=π﹣arctan，∴cos ∠BEF=即二面角B ﹣C 1M ﹣A 1的平面角的余弦值为20．设抛物线C 的方程为x 2=4y ，M 为直线l ：y=﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（Ⅱ）设切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l上的点为M（x0，y0），可得x1，x2是方程x2﹣2x0x+4y0=0的两实根，从而k MA•k MB==y0，由此可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，①令△=（4k）2﹣4×4=0，解得k=±1，代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（﹣2，1）．因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的标准方程为x2+（y ﹣1）2=4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=﹣1相切．…（Ⅱ）设切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l上的点为M（x0，y0），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为y﹣y1=k（x﹣x1），因为，k=，从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为y﹣y1=（x﹣x1），又切线过点M（x0，y0），所以得y0=x0﹣，即．同理可得过点B（x2，y2）的切线方程为，…因为k MA=，k MB=，且x1，x2是方程x2﹣2x0x+4y0=0的两实根，所以所以k MA•k MB==y0，当y0=﹣1，即m=1时，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，…当y0≠﹣1，即m≠1时，MA与MB不垂直．综上所述，当m=1时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l上不存在满足条件的点M．…21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）当a=1时，求出函数f（x）的解析式和导函数，利用f′（x）＞0，函数单调递增，f′（x）＜0，函数单调递减；（2）当a＞0时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f′（x0）=0，求得a的值，构造辅助函数g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），求导，求出函数的g（x）的极大值，由g（x）≤g（0）=0，即可证明f（x0）≤1．【解答】解：（1）当a=1时，f′（x）=e x﹣，∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增，且f′（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）证明：当a＞0时，f′（x）=e x﹣，∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增．又f′（2﹣1）=e﹣＞﹣，当b满足﹣1＜b＜且b＜0时，f′（b）＜0，故f′（x）存在唯一零点，设零点为x1，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣1，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，∴当x=x1时，f（x）取得最小值，由条件可得x1=x0，f（x）的最小值为f（x0）．由于f′（x0）=e﹣=0，∴a=e x0•（x0+1）2，f（x0）=e x0﹣=e x0﹣e x0•x0•（x0+1）=e x0（﹣x02﹣x0+1），设g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），则g′（x）=e x（﹣x2﹣3x）=﹣x（x+3）e x，令g′（x）＞0，得﹣1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，故g（x）在（﹣1，0）单调递增，（0，+∞）单调递减，g（x）≤g（0）=0，故f（x0）=g（x0）≤1．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O切线．（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．【解答】（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是⊙O切线．（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+b+4c=m，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（Ⅰ）由条件化简得f（x+2）=m﹣|x|，由绝对值不等式的解法求出不等式的解集，由解集为[﹣1，1]求出m的值；（Ⅱ）由（I）得a+b+4c=1，利用柯西不等式求出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=m﹣|x﹣2|得，f（x+2）=m﹣|x|，由f（x+2）≥0得，|x|≤m，解得﹣m≤x≤m，∵f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，∴m=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a，b，c为正数，且a+b+4c=m=1，∴由柯西不等式可得，≤[][]=（a+b+4c）=，当且仅当时取等号，则，∴的最大值是．2019年8月1日。
2019年高考全国卷Ⅲ理科数学与答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学考前须知：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的XX、XX号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的XX号、XX、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A{x|1，0，1，2}，2B{x|x≤1}，那么A∩B＝A．{－1，0，1}B．{0，1}C．{－1，1}D．{0，1，2}2．假设z(1i)2i，那么zA．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i3．?西游记??三国演义??水浒传?和?红楼梦?是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过?西游记?和?红楼梦?的学生共有90位，阅读过?红楼梦?的学生有80位，阅读过?西游记?且阅读过?红楼梦?的学生共有60位，那么该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．24(12x)(1x)的展开式中3x的系数为A．12B．16C．20D．245．各项为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a53a34a1，那么a3 A．16B．8C．4D．2x6．曲线yaexlnx在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，那么A．ae，b1B．ae，b1理科数学试题第1页〔共4页〕C．-1ae，b1D．-1 ae，b17．函数32xy在[6,6]的图象大致为xx228．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，那么A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行右边的程序框图，如果输入的为0.01，那么输出s的值为A．21 4 2B．21 5 2C．21 6 2D．21 7 210．双曲线C：22xy421的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．假设|PO||PF|，那么△PFO的面积为A．324B．322C．22D．3211．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+)单调递减，那么A．C．32123f(log)f(2)f(2)B．3432123f(2)f(2)f(log)D．3423132f(log)f(2)f(2)3423132f(2)f(2)f(log)3412．设函数()sin()(0)fxx，f(x)在[0，2]有且仅有5个零点，以下四个结论：5①f(x)在(0，2)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0，2)有且仅有2个极小值点③f(x)在(0，)单调递增10④在取值X围是1229[，)510理科数学试题第2页〔共4页〕其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
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1．设S是数列{a}的前n项和，a>0，且S=a a(
6n n
【解析】当n=1时，S=a=a(a+3)，解得a=3；
61
()
6
第一象限，∴m=PF
2019年高考理科数学考前30天--填空题专训（三）题组
一
n n n n 1
+3)，则数列{a}的通项公式为________．
n
【答案】a=3n
n
1
1111
当n≥2时，a=S-S
n n 1
n n n-1
(a
n-1
+3)⎤⎦，
整理得(a+a
n n-1)(a
n
-a
n-1
-3)=0．
因为a>0，所以a-a
n n n-1-3=0，即a-a
n n-1
=3，
所以{a}是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a=3+3(n-1)=3n，即a=3n．n n n
2．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表；
x y 165
58
160
52
175
62
155
43
170
根据上表可得回归直线方程为y=0.92x-96.8，则表格中空白处的值为________．【答案】60
【解析】根据回归直线经过样本中心(x,y)可得，表格中空白处的值为60．
3．已知点A是抛物线y=1
4
x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线
上且满足PF=m P A，则m的最小值为________．
【答案】2 2
【解析】如图所示，A(0,-1)，F(0,1)，过P作准线的垂线，垂足是H，由对称性，不妨令P在
PH
==sin∠P AH，
P A P A
∴问题等价于求∠P AH的最小值，
x2+1
而tan∠P AH==4
所以m=sin∠P AH≥
2
min
=．
令m(x)=e x--ln(-x+a)，则m(x)在其定义域上是增函数，且x→-∞时，m(x)<0，a>0，∴e x--ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解可化为：e0--ln(a)>0，
=x2+ln(-x+a)，即e x-
-2a=
1
y+1111111
=x+≥2x⋅=1，当且仅当x=
x x4x4x4x
2
，即：m
22
⇒x=2时等号成立，
4．若函数f(x)=x2+ln(x+a)(a>0)与g(x)=x2+e x-1(x<0)的图象上存在关于y轴对称的
2
点，则关于x的方程x2+2a ln x-2ax=0解的个数是________．
【答案】1
【解析】若函数f(x)=x2+ln(x+a)(a>0)与g(x)=x2+e x-1(x<0)图象上存在关于y轴对称
2
的点，则等价为g(x)=f(-x)，在x<0时，方程有解，
即x2+e x-
11
-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解，
22
1
2
11
22
即ln(a)<
1
，故0<a<e．
2
令h(x)=x2+2a ln x-2ax，h'(x)=2x+2a2(x2-ax+a)，
x x
a = 8 ，由余弦定理可得： 64 =
b 2
+ c 2
+ bc = (b + c )2
- bc ，又因为 △ABC 面积 4 3 = bc sin A
= ⨯ bc ， bc = 16 ， b + c = 4 5 ． b tan B + b tan A = -2c tan B ，∴ 由正弦定理 cos A = - ， A =
a 2 - 4a < 0 ， ∴ h ' (x ) > 0 ， h (x ) 单 调 递 增 ， x → 0 时 ， h (x ) → -∞ ， x →+∞ 时 ，
h (x ) → +∞ ．∴ h (x ) = 0 有一个解．
题组二
13． ( x + 1)(x - 1)5展开式中含 x 3 项的系数为
．（用数字表示）
【答案】 0
【 解 析 】 ( x - 1)5 展开式中 含 x 3 项的系 数 为 C 3 = 10 ， 含 x 2 项的 系数为 -C 3 = -10 ， 所 以 5 5
( x + 1)(x - 1)5展开式中含 x 3 项的系数为 10-10=0．
14．已知 a = (1,λ ) ，b = (2,1) ，若向量 2a + b 与 c = (8,6) 共线，则 a 在 b 方向上的投影为
．
3 5
【答案】
5
【解析】 由题知 λ = 1 ，所以投影为
3 5
5
．
15．在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，b tan B + b tan A = -2c tan B ，且 a = 8 ，
△ABC 的面积为 4 3 ，则 b + c 的值为
．
【答案】 4 5
【解析】
1 2π ，
2 3
1
2
1 3
2 2
16 ． 如 图 所 示 ， 点 F 是 抛 物 线 y 2 = 8x 的 焦 点 ， 点 A ， B 分 别 在 抛 物 线 y 2 = 8x 及 圆
( x - 2)2 + y 2 = 16 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则 △FAB 的周长的取值范围
是 ．
4)
B
【答案】（8,12）
【解析】易知圆(x-2)2+y2=16的圆心为（2，0），正好是抛物线y2=8x的焦点，圆(x-2)2+y2=16与抛物线y2=8x在第一象限交于点C(2，，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为点D，则AF=AD，则AF+AB=AD+AB=BD，当点B位于圆(x-2)2+y2=16与x轴的交点（6，0）时，B D取最大值8，由于点B在实线上运动，因此当点B与点C重合时，BD取最小值4，此时A与B重合，由于F、A、构成三角形，因此4<BD<8，所以8<BF+BD<12．。