高中数学(人教版必修5)配套练习：1.1 正弦定理和余弦定理第2课时

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高中数学人教版必修5课时练习：第一章解三角形1-1 正弦定理和余弦定理

C．3
10 10
D．
5 5
[答案] C
[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos4π
＝2＋9－2× 2×3× 22＝5.∴AC＝ 5. 由正弦定理，得sAinCB＝sBinCA，
∴sinA＝BCAsCinB＝3×522＝3
10 10 .
5．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ 3ac，则角 B
2，
∴S△ABC＝12acsinB＝
3＋1 4.
2．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C．若 acosA＝bsinB，则 sinAcosA
＋cos2B＝( )
A．－21
B．12
C．－1
D． 1
[答案] D
[解析] ∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，
二、填空题
5．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为________．
[答案]
π 6
[解析] sinB＋cosB＝ 2sinB＋π4＝ 2，
∴sin(B＋4π)＝1，∵0<B<π，
∴π4<B＋π4<54π，∴B＝π4，
∴sinAcosA＋cos2B＝1.
3．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 asinBcosC＋csinBcosA＝12b，
且 a>b，则∠B＝( )
A．6π
B．π3
C．23π
D．56π

人教版高中数学必修五课时作业23：第2课时正弦定理和余弦定理

第2课时正弦定理和余弦定理一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形答案 B解析设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形． 2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12 答案 A解析由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0.由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝154.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23答案 A解析由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ，∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C )＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4，∴ab ＝43. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin A sin B的值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6答案 C解析由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3. 7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2答案 B解析设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3. 设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924. 8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于() A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45 ＝3×225＝31010.二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则csin C ＝ .答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值．考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变换的综合解由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4，且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos π3＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.∴c＝2 3.。

【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.1第2课时余弦定理(含答案)

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理A 级基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1，选A.答案：A2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是() A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab ，化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2.故△ABC 是直角三角形．答案：B3．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°；③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，所以A 为钝角，正确； ②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误．答案：A4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD ＝－1010，故选C.答案：C5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．答案：C二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________．解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以cos A ＝－12，A ＝120°. 答案：120°7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可．由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c . 又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14. 答案：－148．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3. 答案：40 3三、解答题9．在△ABC 中，已知sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，求B 的度数．解：因为sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，所以C ＝2π3. (2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，所以AB ＝10.B 级能力提升1．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：因为sin 2 A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c，所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．答案：B2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，所以sin C ＝22. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3.答案：33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0.所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16，在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD，可得：BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。

高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)

典型例题例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明作AD⊥BC，垂足为D，则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.

人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课

1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。

正弦定理和余弦定理》(第2课时)

1.1.2 正弦定理利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a【变式练习】1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：⑴5=a ，4=b ，120=A ，求B⑵5=a ，4=b ，90=A ，求B⑶5=a ，3310=b ，60=A ，求B ⑷20=a ，28=b ，40=A ，求B⑸60=a ，50=b ，38=A ，求B⑹4=a ，3310=b ，60=A ，求B(⑴120=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示 ⑵ 90=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示⑶∵1sin =B ,即90=B ,∴仅有一解. 图示⑷即例2，先让学生判断，然后回忆对照。

再次理解本题有两解。

⑸即例3，先让学生判断，然后回忆对照。

再次理解本题仅有一解。

⑹由⑶改编，∵60sin 4b a <=，由图知，本题无解)2．已知A,B,C 是ABC ∆的三个内角，求证：cos cos a b C c B =+3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，求sin sin sin a b cA B C++++的值（*）4. 在ABC ∆中，求证tan2tan 2A Ba b A Ba b --=++作业：1. 在ABC ∆中,已知210=c ,︒=∠45A ,在a 分别为20, ,3320,和5的情况下,求相应的角C.2．在ABC ∆中，b=2a, B=A 60+︒,求A3.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若()C a c b +︒=-60cos 2，求角A ．(*)4..课本11页B 组 1。

教育最新K12【高中数学必修五学习】配套练习：1.1正弦定理和余弦定理第2课时

第一章 1.1 第2课时一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3 B ．π6 C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ． 4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A ．14B ．34C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a＝34.6．(2013·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A ．1010B ．105C ．31010D ．55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4， ∴AC 2＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ， ∴sin A ＝BC sin B AC ＝3×225＝31010.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)[答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°.8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5，长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13. 三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求B ．[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19. ∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322 B ．332 C ．32 D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ．2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝aB ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 二、填空题5．在△ABC 中，已知sin A BC ＝，则cos ABC ＝________.[答案][解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a bc ＝sin ABC ＝，令a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k (k >0)，由余弦定理，得cos A ＝25k 2＋36k 2－16k 22×5k ×6k ＝34，同理可得cos B ＝916，cos C ＝18，故cos ABC ＝3491618＝6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC→＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC → ＝AB →·BC →＋BD →·BC→ ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83. 三、解答题7．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边C ． [解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6. 当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．[解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ，即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17. ∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.9．(2013·山东理，17)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9. 由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223， ∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.。

人教课标版高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》练习课参考学案

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝b＝，解此三角形．二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝② A ＝6π，a＝，b＝； ③ A ＝6π，a ＝50，b＝思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（）.A. 13B. 23C. 43D. 53 2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。

高中数学(人教版必修五)教师用书第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2(二) Word版含答案

．余弦定理(二)学习目标.熟练掌握余弦定理及其变形形式.会用余弦定理解三角形.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形思考在△中，若＝°，＝，＝，可以先用正弦定理＝求出＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？答案能．在余弦定理＝＋－中，已知三个量＝，＝，，代入后得到关于的一元二次方程，解此方程即可．梳理已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为，具体判断方法如下：设在△中，已知，及的值．由正弦定理＝，可求得＝.()当为钝角时，则必为锐角，三角形的解唯一；()当为直角且>时，三角形的解唯一；()当为锐角时，如图，以点为圆心，以为半径作圆，三角形解的个数取决于与和的大小关系：①当<时，无解；②当＝时，一解；③当<<时，则圆与射线有两个交点，此时为锐角或钝角，此时的值有两个．④当≥时，一解．()如果>，则有>，所以为锐角，此时的值唯一．知识点二判断三角形的形状思考三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？答案不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为，可用＋－来判断的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．思考△中，＝.则，一定相等吗？答案∵，∈(，π)，∴∈(π)，∴＝或＝π－，即＝或＋＝.梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三证明三角形中的恒等式思考前面我们用正弦定理化简过＝，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案由余弦定理得＝，去分母得＋－＝＋－，化简得＝.梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例已知在△中，＝，＝，＝°，求.解由余弦定理＝＋－，得＝＋－××°，整理得－＋＝，解得＝或＝.引申探究例条件不变，用正弦定理求.解由正弦定理，得＝＝＝＝，∴＝＝，∴＝±＝±＝±.∴＝＝(＋)＝＋＝·±·，∴＝或＝.当＝时，＝·＝；当＝时，＝·＝.反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．跟踪训练在△中，角、、所对的边分别为、、，若＝，＝，＝，则等于()．．－。

新人教A版高中数学【必修5】第一章 1.1.1正弦定理(二)课时作业练习含答案解析

1.1.1 正弦定理(二) 课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ；(3)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .2．三角形面积公式：S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12casin B.一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C.∴0<c≤403.4．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析由a ＝2bcos C 得，sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B －C)＝0，∴B ＝C.5．在△ABC 中，已知(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于() A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 ∵(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎨⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72kb ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2C.12 D ．4答案 A解析设三角形外接圆半径为R ，则由πR2＝π，得R ＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12absin C ＝43，∴b ＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________. 答案 2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －ccos Bb －ccos A ＝sin B sin A .证明因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，所以左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A ＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A ＝右边．所以等式成立，即a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A .12．在△ABC 中，已知a2tan B ＝b2tan A ，试判断△ABC 的形状．解设三角形外接圆半径为R ，则a2tan B ＝b2tan A⇔a2sin B cos B ＝b2sin A cos A⇔4R2sin2 Asin B cos B ＝4R2sin2 Bsin A cos A⇔sin Acos A ＝sin Bcos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为() A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案 C解析设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12，∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.解 cos B ＝2cos2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．。

人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)

1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

人教版高中数学必修五学案习题课正弦定理和余弦定理

习题课正弦定理和余弦定理学习目标 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识；3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.1.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B.－23 C.14D.－14解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， ∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－9k 212k 2＝13，故选A.答案 A2.已知△ABC 的面积S ＝a 2－(b 2＋c 2)，则cos A 等于( ) A.－4 B.1717C.±1717D.－1717解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，面积S ＝12bc sin A ＝a 2－(b 2＋c 2)，∴12bc sin A ＝－2bc cos A ，∴sin A ＝－4cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得cos A ＝－1717.故选D. 答案 D3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3解析由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，即sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C 得2sin 3π4＝2sin C ，即sin C ＝12，得C ＝π6，故选B.答案 B4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析由c 2＝(a －b )2＋6，可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，所以：a 2＋b 2－2ab ＋6＝a 2＋b 2－ab ，所以ab ＝6；所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 332类型一利用正弦、余弦定理证明边角恒等式【例1】在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ，即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ，∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C ，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立.规律方法 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.【训练1】在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b . 证明由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ， ∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2，整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ，故等式成立.类型二利用正弦、余弦定理解三角形【例2】在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值. 解由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23，∴由余弦定理得3a 2＝2b 2，再由余弦定理得cos B ＝66，又0°<B <180°，故sin B ＝306.规律方法 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.【训练2】在锐角△ABC 中，b 2－a 2－c 2ac ＝cos （A ＋C ）sin A cos A .(1)求角A ；(2)若a ＝2，求bc 的取值范围.解 (1)由余弦定理可得：a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ⇒－2ac cos B ac ＝cos （π－B ）sin A cos A ，∴sin 2A ＝1且0°<A <90°⇒A ＝45°， (2)⎩⎪⎨⎪⎧B ＋C ＝135°，0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°⇒45°＜C ＜90°，又b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，bc ＝2sin(135°－C )·2sin C ＝2sin(2C －45°)＋2，45°＜2C －45°＜135°⇒22＜sin(2C －45°)≤1，∴bc ∈(22，2＋2].方向1 与三角恒等变换的综合【例3－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则C ＝( ) A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6解析根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B方向2 在复杂图形中的应用【例3－2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长.解在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 方向3 与向量的综合应用【例3－3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影.解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去).故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.规律方法求解正、余弦定理综合应用问题的注意点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理. (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角函数公式列式化简的习惯.1.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.。

新高中人教B版数学必修五课时作业：1.1.2余弦定理(2)(含答案)

余弦定理(二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、余弦定理.2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形a b c(1)sin A＝sin B＝sin C＝ ______.(2)a＝ ________， b＝ ________，c＝ ________.(3)sin A ＝ ______， sin B ＝ ______， sin C＝ ____________________________________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ ________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ________________.(2)cos A ＝ ________________.(3)在△ ABC 中， c2＝ a2＋ b2? C 为 ________； c2>a2＋ b2? C 为 ________； c2<a2＋ b2? C 为 ________．3．在△ ABC 中，边 a、b、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C，则有：(1)A ＋B ＋ C＝ ____，A＋B＝ __________. 2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A ＋ B＝ ________， cos A＋B＝ __________.22一、选择题1．已知 a、b、 c 为△ ABC 的三边长，若知足(a＋ b－ c)(a＋ b＋ c)＝ ab，则∠ C 的大小为()A． 60°B．90°C． 120 °D．150°2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C，则△ ABC 的形状必定是 ()A．等腰直角三角形 B ．直角三角形C．等腰三角形 D ．等边三角形3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为() A． 30°B．60°C． 90°D． 120 °4．△ ABC 的三边分别为a， b，c 且知足 b2＝ ac,2b＝ a＋ c，则此三角形是 ()A．等腰三角形 B ．直角三角形C．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．在△ ABC中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a，b，c，若C＝ 120 °，c＝2a，则 () A． a>bB． a<bC． a＝ bD． a 与b 的大小关系不可以确立6．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．由增添的长度确立二、填空题7．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程x2－ 5x＋2＝ 0 的两个根， C＝ 60°，则边 c＝________. 8．设2a＋ 1， a,2a－ 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是________．ABC的周长是________．9．已知△ABC的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是 ________．三、解答题22－a－ b.11．在△ ABC 中，求证： 2 ＝sin Cc3→ →12.在△ ABC 中， a， b，c 分别是角 A ，B ， C 的对边的长， cos B=,且 AB ·BC＝－ 21.5(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ()πB ． 0<C<πA． 0<C≤2 6π ππ πC.6<C< 2D.6<C≤314．△ ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .4 11(1)求tan A＋tan C的值；→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：应用已知条件一般解法定理一边和两角( 如 a， B ，C)两边和夹角( 如 a， b， C)正弦由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在有解定理时只有一解 .余弦由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再定理由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理三边余弦由余弦定理求出角 A 、B ；再利用 A ＋ B＋ C＝180°，求出角(a，b， c)定理 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角 B；由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求出角 C；再利两边和此中一边的对c.可有两解、一解或无解 .余弦用正弦定理或余弦定理求角如 (a， b， A)定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．1．1.2 余弦定理 (二 )答案知识梳理ab c 1． (1)2R(2)2Rsin A 2Rsin B2Rsin C (3) 2R 2R2R2 2(2)b 2＋ c 2－ a 2 (4)a ∶ b ∶ c 2.(1)b ＋ c －2bccos A 2bc(3)直角钝角锐角 π CC C3.(1) π－(2)sin C － cos C － tan C (3)cossin2 222作业设计1． C [ ∵ (a ＋ b －c)(a ＋ b ＋c)＝ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ 1， 2ab 2∴ cos C ＝－ 1，∴∠ C ＝120°.] 22． C [ ∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋ B) ，∴ sin Acos B － cos Asin B ＝ 0，即 sin(A －B) ＝ 0，∴ A ＝B.]3.B [∵ a ∶ b ∶c ＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 3∶5∶ 7，不如设 a ＝ 3， b ＝ 5， c ＝ 7， C 为最大内角，2 2 － 72 1则 cos C ＝ 3 ＋ 5 ＝－ .2×3×5 2∴ C ＝ 120°.∴最小外角为60°.]4．D[ ∵ 2b ＝a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，即 (a － c)2＝0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋c ＝ 2a.∴ b ＝a ，即 a ＝ b ＝ c.]5．A[ 在△ ABC 中，由余弦定理得，c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos 120 °＝ a 2＋ b 2＋ ab.∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab.∴ a 2－ b 2＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴ a>b.]6．A [ 设直角三角形三边长为 222a ，b ，c ，且 a ＋b ＝ c ，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝a2＋ b2＋ 2x2＋ 2(a＋ b)x － c2－ 2cx －x2＝2(a＋ b－ c)x ＋ x2>0，∴ c＋x 所对的最大角变成锐角．]7. 19分析由题意： a＋ b＝ 5， ab＝ 2.由余弦定理得：c2＝ a2＋b2－ 2abcos C＝ a2＋ b2－ ab＝ (a＋ b)2－ 3ab＝ 52－ 3×2＝19，∴c＝ 19.8． 2<a<8分析∵ 2a－ 1>0，∴ a>1，最大边为2a＋ 1.2222∵三角形为钝角三角形，∴ a ＋ (2a－ 1) <(2a＋ 1) ，∴a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析S△ABC＝1AB·AC·sin A ＝1A B·AC·sin 60 ＝°23，22∴AB·AC ＝8， BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB·AC·cos A＝AB 2＋ AC2－AB·AC ＝(AB ＋ AC) 2－3AB·AC ，∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋ 3AB·AC ＝49，∴AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S△ABC＝1bcsin A ＝3c＝3，24∴ c＝ 4，由余弦定理：a2＝ b2＋ c2－2bccos A＝ 12＋42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a＝13.a13239∴ 2R＝sin A＝3＝3，2∴ R＝39外接圆2＝13π3.∴ S＝πR 3.sin Acos B － cos Asin B ＝sin A sin B11．证明右侧＝sin C sin C·cos B－sin C·cos A a2＋ c2－ b2b2＋ c2－ a2a2＋ c2－ b2b2＋ c2－ a2a2－ b2＝a·2ac －b·2bc＝2c2－2c2＝c2 ＝左侧．c c因此a2－b2－.2＝sin Cc12.解→ → → →＝ 21.（ 1）∵ AB ·BC ＝－ 21， BA ·BC → → → → BA ·BC ＝ |BA | |BC ·| cos · B ＝ accos B ＝21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝ 3，∴ sin B ＝ 4.5 5 1 1 4∴ S △ ABC ＝ acsin B ＝ ×35× ＝ 14.2 2 5(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 54 ＝ 2∴ sin C ＝ 4 × 2.b 2 5 ∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角．∴ C ＝ 45°.13．A[方法一 (应用正弦定理 )∵ sin AB C ＝ sin BC A ，∴ sin 1 C ＝ sin 2 A1∴ sin C ＝ 2sin A ，∵ 0<sin A ≤1，1∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴0<C ≤6.方法二(应用数形联合 )如下图，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点 C 向圆B 作切线，设切点为 A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴π，C ＝ 6π∴ 0<C ≤ .]63，得 sin B ＝1－32＝ 714．解 (1)由 cos B ＝444.由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C.11 cos A cos C sin Ccos A ＋ cos Csin A 于是 tan A ＋ tan C ＝ sin A ＋ sin C ＝sin Asin C ＝＝ sin B ＝ 1 ＝ 4 7 2 7 .sin B sin B→ → 3 3(2)由 BA ·BC ＝得 ca ·cos B ＝，2 2由 cos B ＝ 34，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2.由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝ a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝ 9，∴ a ＋ c ＝ 3.＋sin 2 B。

人教版数学高二B版必修5同步训练1.1.1正弦定理

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，下列等式恒成立的是（） A.a+sinA=b+sinB B.bsinC=csinA C.absinC=bcsinB D.asinC=csinA 解析：根据正弦定理可知有CcA a sin sin =，asinC=csinA. 答案：D2.在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=4∶1∶1，则 a ∶b ∶c 等于（） A.3∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1 解析：根据正弦定理有CcB b A a sin sin sin ==，a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC.由已知得A=120°, B=30°,C=30°，a ∶b ∶c=sin120°∶sin30°∶sin30°=3∶1∶1.答案：D3.在△ABC 中,已知a=3,b=4,c=5，则sinA=____________，sinB=____________，sinC=____________，A a sin =_____________，B b sin =____________，C csin =___________.由此可以看出A a sin ___________B b sin ___________Ccsin (两横线上填符号“=”或“≠”）.解析：由已知条件可以判断，这个三角形是以∠C 为直角的直角三角形，可知，sinA=ca，sinB=cb，从而这两个三角函数值可求出，继而后几个空也不难填出.答案：53 54 1 51 51 51= =4.在△ABC 中，已知a=2，A=45°,则CB A cb a sin sin sin ++++=______________.解析：∵R A a 2sin ==2，∴22sin sin sin ==++++R CB A cb a .答案：210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.不解三角形，下列判断中正确的是（） A.a=7,b=14,A=30°,有两解 B.a=30,b=25,A=150°,有一解 C.a=6,b=9,A=45°,有两解 D.b=9,c=10,B=60°,无解解析：在A 中，a=bsinA ，故有一解；在B 中，A ＞90°,a ＞b ，故有一解；在C 中，a ＜bsinA ，无解；在D 中，c ＞b ＞csinB ，有两解. 答案：B2.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a=3,则∠A 等于（）A.30°或150°B.30°或60°C.60°或120°D.60°或150° 解析：根据正弦定理得R Aa2sin =，sinA=R a 2=12，0°＜A ＜180°,∴A=30°或150°. 答案：A3.在△ABC 中，已知A=30°，C=105°，则2a ∶b=___________. 解析：由题意知，B=180°-30°-105°=45°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ===2R ，∴245sin 30sin 2sin sin 22=︒︒==B A b a . 答案：24.在△ABC 中，已知CB A cb a sin sin sin -+-+=2，则其外接圆的直径为___________.解析：根据正弦定理有C c B b A a sin sin sin ===CB A cb a sin sin sin -+-+=2R （其中R 是其外接圆的半径），故由已知得2R=2. 答案：25.在△ABC 中，已知cosA=54，cosB=135,则a ∶b ∶c=___________. 解析：由已知及同角三角函数间的关系得sinA=53,sinB=1312，sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=6563，由正弦定理得a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC=13∶20∶21.答案：13∶20∶216.已知△ABC 中，22tan tan ba B A =,试判断这个三角形的形状. 解：∵22tan tan b a B A =,∴B A BB A A22sin sin cos sin cos sin =,得sin2B=sin2A. 于是2B=2A 或2B=π-2A ，即A=B 或A+B=2π. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC 中，已知sin 2A=sin 2B+sin 2C ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理及已知条件得a 2=b 2+c 2，从而可知该三角形是直角三角形. 答案：B2.在△ABC 中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA ∶sinB ∶sinC 等于（） A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6解析：由已知设b+c=4k(k ＞0)，则c+a=5k,a+b=6k ，由此解得a=k 27，b=k 25,c=k 23，由正弦定理得sinA ∶sinB ∶sinC=a ∶b ∶c=7∶5∶3.答案：B3.在△ABC 中，a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是（） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解解析：∵ bsin A≈70.7＜a,且b ＞a ， ∴有两解，选B. 答案：B4.在△ABC 中，a,b,c 分别是A 、B 、C 的对边长.若A=105°，B=45°，b=22,则c=___________. 解析：由题可知C=180°-105°-45°=30°，由正弦定理得C Bbc C c B b sin sin ,sin sin ===2. 答案：25.在△ABC 中，已知a=3,b=4,C=60°，则△ABC 的面积为__________.解析：先找出b 边上的高h=asinC=3sin60°，S △ABC =12absinC=12×3×4sin60°=33. 答案：336.在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求边c.解：∵,sin sin BbA a =，∴sinA=23sin =b B a . 又∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴A=60°或120°.当A=60°时，C=75°，c=22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=B Cb ; 当A=120°时，C=15°，c=22645sin 75sin 2sin sin -=︒︒=BCb . 7.在△ABC 中，已知sinA=53，cosB=135,求sinC 的值. 解：∵cosB=135＞0,0＜B ＜π, ∴B 是锐角，sinB=1312.∵sinA=53＜1312,∴A ＜B,A 是锐角，cosA=54.又sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC=6563131********=⨯+⨯.8.已知三个城市的中心位置A 、B 、C 刚好分别位于一个锐角三角形的三个顶点处，并且另一城市的中心位置O 到这三个城市A 、B 、C 的距离相等（假定这四个城市的中心位置位于同一平面上），且△BOC 、△COA 、△AOB 的面积的关系为S △BOC +S △AOB =2S △COA ，试判断tanAtanC 是否为定值，说明理由.解：∵O 到这三个城市A,B,C 的距离相等 ∴O 是锐角△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A,∠AOB=2∠C,∠AOC=2∠B. 设其外接圆的半径为R ，则有S △BOC =A R 2sin 212,S △COA =B R 2sin 212， S △AOB =C R 2sin 212.由已知S △BOC +S △AOB =2S △COA ，sin2A+sin2C=2sin2B ， 2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB.又sin(A+C)=sin B≠0，∴cos(A-C)=2cosB=-2cos(A+C)， ∴cosAcosC+sinAsinC=-2cosAcosC+2sinAsinC, ∴tanAtanC=3,即tanAtanC 为定值3.9.(2006高考湖南卷，理16)如右图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明sinα+cos2β=0;(2)若AC=3DC,求β的值. (1)证明：如下图，∵α=2π-(π-2β)=2β-2π, ∴sin α=sin (2β-2π)=-cos 2β. 即sin α+cos 2β=0．（2）解：在△ADC 中，由正弦定理得βαβπαsin 3sin )sin(sin DCDC AC DC =⇒-=. ∴sin β=3sin α 由(1)得sin α=-cos 2β，∴sin β=3-cos 2β=3-(1-2sin 2β), 即32sin 2β-sin β3-=0.解得sin β=23或sin β=33-． ∵0＜β＜2π,∴sin β=23⇒β=3π.10.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km(千米)/h （小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，如右图，经过420 s （秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取2=1.4，3=1.7）.解：如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°, ∴∠ACB=30°,AB=180 km/h×420 s=21 000（m ）. ∴在△ABC 中,ACBABA BC ∠=sin sin . ∴BC=2121000·sin15°=10 500(26-) ∵CD ⊥AD,∴CD=BCsin ∠CBD=BC×sin45°=10 500(26-)×22=10 500(13-)=10 500(1.7-1)=7 350.山顶的海拔高度=10 000-7 350=2 650（米）。

人教版数学高二B版必修5课时作业1.1.1正弦定理

课时作业(一)正弦定理A组(限时：10分钟)1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，B＝60°，那么A＝()A．45°B．135°C．45°或135°D．60°解析：由正弦定理可得sin A＝22，但a<b，所以A<B，故A只能是锐角45°.答案：A2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．4 3 B．2 3C. 3D.3 2解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin60°＝ACsin45°，解得AC＝2 3.答案：B3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝()A．－12 B.12C．－1 D．1解析：∵根据正弦定理asin A＝bsin B＝2R，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴a cos A＝b sin B可化为sin A cos A＝sin2B.∴sin A cos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案：D4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°B．a＝30，b＝25，∠A＝150°C．a＝7，b＝8，∠A＝98°D．a＝14，b＝16，∠A＝45°解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠A是钝角，∴只有一解；C 中∠A是钝角且a<b，∴无解；D中b sin A<a<b，∴有两解．答案：D5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．解：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，代入acos A＝bcos B＝ccos C中，得2R sin A cos A＝2R sin Bcos B＝2R sin Ccos C，即sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，∴tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C.因此△ABC为等边三角形．B组(限时：30分钟)1．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于() A．3－3 B. 2C．2 D．3＋ 3解析：在△ABC中，由正弦定理，得BCsin A＝ABsin C，∴BC＝3sin75°·sin45°.又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝6＋2 4，∴BC＝36＋24×22＝3－ 3.答案：A2．在△ABC中，已知a＝3，B＝60°，cos A＝223，则b＝()A.968 B.928C.932 D.92解析：∵0<A<π，cos A＝223，∴sin A＝13，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝3×3213＝932.故选C.答案：C3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π3 B.π4C.π6 D.π12解析：∵2a sin B＝3b，∴2sin A sin B＝3sin B.∵sin B≠0，∴sin A＝3 2.∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.故选A.答案：A4．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3解析：∵满足条件的三角形有两解，∴a sin B <b <a ，即x sin45°<2<x ，解得2<x <2 2. 答案：C5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A.15 B.59 C.53 D ．1解析：根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b a sin A ＝53×13＝59，故选B. 答案：B6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2，故选A. 答案：A7．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，则2sin A －sin Bsin C的值为________．解析：2sin A －sin B sin C ＝2a －b c ＝2－35＝－15. 答案：－158．在△ABC 中，A ＝30°，B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝____________. 解析：∵A ＝30°，B ＝120°，∴C ＝30°，由a sin A ＝b sin B 可得a ＝b sin A sin B ＝12×sin30°sin120°＝43，c ＝a ＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 39．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.解析：∵A ＋C ＝2B ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，由b sin B ＝asin A 可得：sin A＝a sin B b ＝1×sin60°3＝12.答案：1210．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255，求BC 的长．解：由cos C ＝255，得sin C ＝1－cos 2C ＝55.sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010.由正弦定理，得BC ＝AC sin Asin B ＝10×3101022＝3 2.11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，p ＝(cos C ，sin C )，q ＝(1，3)，且p ∥q .(1)求角C 的大小；(2)若sin B ＝cos2B ，且c ＝3，求a ，b 的值．解：(1)∵p ∥q ，∴cos C 1＝sin C3.∴tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin B ＝cos2B ＝1－2sin 2B ，∴2sin 2B ＋sin B －1＝0.∴sin B ＝12或sin B ＝－1.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴sin B ＝12. ∴B ＝π6.∴A ＝π2.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝3sin π6sin π3＝3，a ＝c sin Asin C ＝2 3.12．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B＝1－cos2B＝22 3.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝53 9.所以c＝a sin Csin A＝5.。

人教版高中数学必修五课时作业16：1.1.1 正弦定理(二)

1.1.1 正弦定理(二)基础过关1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ，又∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin B ≠0，∴sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3.答案 D2.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定解析由正弦定理得6sin 60°＝4sin B .∴sin B ＝2＞1，∴角B 不存在.答案 C3.在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵A ，B ∈(0°，180°)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.答案 D4.已知c ＝50，b ＝72，C ＝135°，则三角形解的个数为________.解析 ∵c ＜b ，∴C ＜B ，∴B ＋C ＞180°，故三角形无解.答案 05.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝________.解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55，(1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积.解 (1)∵cos C ＝55，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin C ＝255，tan C ＝2.又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3＋21－3×2＝1，且0＜B ＜π，∴B ＝π4. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 得sin A ＝31010， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6.7.在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C. 证明 ∵左边＝sin 2A －sin 2B sin 2C ＝1－cos 2A 2－1－cos 2B 2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝cos[（B ＋A ）＋（B －A ）]－cos[（B ＋A ）－（B －A ）]2sin 2C＝－2sin （B ＋A ）·sin （B －A ）2sin 2C＝2sin C sin （A －B ）2sin 2C＝sin （A －B ）sin C＝右边， ∴原等式成立.能力提升8.已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且A ，B 为△ABC 的两内角，a ，b 为角A ，B 的对边，则此三角形为( )A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形解析设x 1，x 2是方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根，则x 1＋x 2＝b cos A ，x 1·x 2＝a cosB.由条件知a cos B ＝b cos A .由a ∶b ＝sin A ∶sin B 得sin A cos B ＝sin B cos A ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形.答案 C9.在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 为角A 的平分线，AC ＝3，AB ＝6，则AD 等于( )A.2B.2或4C.1或2D.5解析设AD ＝x ，如图，∠DAC ＝∠DAB ＝60°.∵AC ＝3，AB ＝6，且S △ABC ＝S △ACD ＋S △ABD ，∴12×3×6×32＝12×3x ×32＋12×6x ×32，解得x ＝2.答案 A10.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为________(用B 表示).解析在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝332，化简得AC ＝23sin B ，AB sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝332，化简得AB ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以三角形的周长为BC ＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3. 答案 6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3 11.在△ABC 中，C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析在△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝AB cos ∠MAC，所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案 6312.在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径.解由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，且A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝π2，由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 13.(选做题)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(2b －3c ，cos C )，n ＝(3a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求2cos 2B ＋sin(A －2B )的最小值.解 (1)由m ∥n ，得(2b －3c )cos A －3a cos C ＝0.由正弦定理得，2sin B cos A －3sin C cos A －3sin A cos C ＝0，即2sin B cos A －3sin(A ＋C )＝0，∴2sin B cos A －3sin B ＝0.∵A ，B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴cos A ＝32，∴A ＝π6.(2)∵A ＝π6，∴2cos 2B ＋sin(A －2B )＝1＋cos 2B ＋sin π6·cos 2B －cos π6sin 2B＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＋1. ∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6，∴2B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，11π6， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，32， ∴2cos 2B ＋sin(A －2B )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－3，52， ∴2cos 2B ＋sin(A －2B )的最小值为1－ 3.。

新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。