高中数学(人教版必修5)配套练习：1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时

第一章 1.1 第2课时

一、选择题

1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°

[答案] C

[解析] cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12，

∴B ＝60°.

2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则边c 等于( ) A ． 3 B ． 2 C ．3 D ．4 [答案] A

[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×1

2

＝3，

∴c ＝ 3.

3．在△ABC 中，若a

[解析] ∵c 2

∵a

4．(2013·天津理，6)在△ABC 中，∠ABC ＝π

4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )

A ．

1010

B ．105

C ．310

10

D ．

55

[答案] C

[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π

4

＝2＋9－2×2×3×

2

2

＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BC

sin A ，

∴sin A ＝BC sin B

AC ＝3×

225

＝31010.

5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )

A ．π

6

B ．π

3

C ．π6或5π6

D ．π3或2π3

[答案] D

[解析] 依题意得，a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝3

2，

∴sin B ＝

32，∴B ＝π3或B ＝2π

3

，选D ． 6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A ．518

B ．34

C ．

32

D ．78

[答案] D

[解析] 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)， 由余弦定理得

cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，

故选D ． 二、填空题

7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角

[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝

16＋25－36

2×4×5＝1

8

>0，因此0°<α<90°.故填锐角．

8．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ＝________. [答案]

53

14

[解析] ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49， ∴c ＝7.

故由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝5314.

三、解答题

9．在△ABC 中，已知sin C ＝1

2，a ＝23，b ＝2，求边C ．

[解析] ∵sin C ＝12，且0

6.

当C ＝π6时，cos C ＝3

2

，

此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32

，

此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.

10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ． (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值． [解析] (1)根据正弦定理 2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C 可化为

2cos A sin B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝1

2，

∵0°

7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 把b ＋c ＝4代入得bc ＝3.

一、选择题

1．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60°

D ．120°

[解析] ∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 2

2AB ·BC

＝(3－1)2＋(3＋1)2－(6)22(3－1)(3＋1)

＝1

2，∴B ＝60°.

2．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →

等于( ) A ．－32

B ．－23

C ．23

D ．32

[答案] D

[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →

|＝3，|AC →|＝2，cos＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14

.

故AB →·AC →

＝3×2×14＝32

.

3．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322

B ．33

2

C ．32

D ．3 3 [答案] B

[解析] 如图，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，且AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4.∵cos A ＝32＋42－(13)22×3×4

＝12，

∴sin A ＝

32

. 故BD ＝AB ·sin A ＝3×

32＝332

. 4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( )

A ．π

6

B ．π3

C ．π2

D ．2π3