指数对数运算经典基础题目题目

指数与对数运算

指数运算

教学目标：

1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；

3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。

教学难点：化简、求值的技巧

知识梳理

指数幂

1、根式：如果x n ＝a,，则x 叫做__________其中n>1, 且n ∈N*. 式子n a 叫做______,这

里n 叫做______,a 叫做_______.

2、根式性质：①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个_____, 负数的n 次方根是一个______.

这时n 次方根用符号n a 表示; ②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为_____数,

分别用____________表示. ③当n 为奇数时 (n a)n =____; ④当n 为偶数时， n a n =_______________.⑤负数没有____次方根; 零的任何次方根都是零.

3、分数指数幂的意义：a m n =________; a -m n =_______ (a>0,m,n ∈N*,且n>1).

4、有理数指数幂运算性质：a r a s =______; (a r )s =_______;

(ab)r =___________;(a>0,b>0,r,s ∈Q).

5、无理数指数幂:a α (a>0,α是无理数) 是一个确定的实数.适合有理数指数幂运算性质。

例1：计算或化简 (1) 3(-6)3+ 4(5-4)4+3(5-4)3; (2) ()[]2

1

75.0343031

01.016222364++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----; 解：(1) 3(-6)3+ 4(5-4)4+3(5-4)3

=6446-=-

（2） ()[]21

75.034303101.016222364

++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----- =1

3434134(110(2))()42----+++

-=3780- 例2计算已知（1）,321

21

=+-a a 求221,--++a a a a 的值

(2)若32121

=+-x x ，求2

3222323-+-+--x x x x 的值. 解：（1）2111222()

a a x x --+=-+=7 2221247()a a a

a --+=-=+ （2）331112222()(1)18x x

x x x x ---+=+-+= 由（1）的解答可知2247x x -+= 所以232223

23

-+-+--x x x x =18314723

-=-

对数运算

目标

（一） 教学知识点

1． 对数的概念；

2．对数式与指数式的互化．

3．能够进行对数式与指数式的互化

4灵活运用对数的运算性质及换底公式进行运算

（二） 能力训练要求

1．理解对数的概念；；３．培养学生数学应用意识．

（三）德育渗透目标

1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题；

３．了解对数在生产、生活实际中的应用．

教学重点

对数的定义理解以及对数的运算性质的理解及应用．．

教学难点

对数概念的理解、对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．

知识梳理

对数

1、对数概念：如果a b ＝N,(a>0,a ≠1),那么b 叫做________________记作____，其中a 叫做

对数的________,b 叫做对数的________.以10为底的对数叫___________,记作________以无理数e 为底的对数叫____________,记作____________.

2、对数性质：①零和负数没有对数；②log a 1=________;③log a a=_______;④a log a N =______.

3、对数运算性质：如果a>0,a ≠1,M>0,N>0，那么①log a (MN)=__________;log a M N

=____________;③log a M n

=______________.

4、对数换底公式：log a b=_____________(a>0,a ≠1;c>0,c ≠1;b>0)

例1（1）21log 8

（2）271log 81

解：（1）21log 8

=32log 32-=- （2）342714log log 381

33-==- 例 2（1）2525411(log 5log )(log 2log )52+⨯+235111(2)log log log 2589

解：（1）2525411(log 5log )(log 2log )52+⨯+=42525411(log 25log )(log 4log )5

2+⨯+

=425log 5log 2=

lg 5lg 212lg 22lg 54= （2） 235111log log log 2589=2351112lg53lg 22lg3log log log 122589lg 2lg3lg5---==- 例 3（1） 2lg 20lg5(lg 2)+ (2) 22lg 4lg 258lg2lg5++

解：（1） 2lg 20lg5(lg 2)+=2(1lg 2)(1lg 2)1(lg 2)++-=

（2）22

22lg 4lg 258lg2lg5=((8lg2lg52lg 2)2lg5)++++ =24

4(lg 2lg5)=+ 例49935 (1)log 5,log 7log 9

a b ==求 2242(2)log 3,log 7log 56a b ==求

解：5656(1)log 81log log 71a =-=-

（2）5656565656115log 98log (492)2log 7log 22log 2233

a a a a -+=⨯=+=+=+

= 例5、若a, b , c 是不为1的正数，a x =b y =c z 且 1x +1y +1z

=0. 求证: abc=1. 解：令x y z a b c t ===，则log ,log ,log a b c x t y t z t ===