高中数学椭圆中的焦点弦问题
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆的焦点弦长公式二级结论
椭圆的焦点弦长公式二级结论椭圆是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
s=(圆周率)ab(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或s=(圆周率)ab/4(其中a,b分别就是椭圆的长轴,长轴的长).椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(l)的准确排序必须使用分数或无穷级数的议和。
例如l = /2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆距心率的定义为椭圆上的的边某焦点的距离和该点至该焦点对应的准线的距离之比，设立椭圆上点p至某焦点距离为pf，至对应准线距离为pl，则e=pf/pl椭圆的准线方程x=a^2/ce=c/a(e1,因为2a2c)椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/c)的`距离,数值=b^2/c椭圆汪半径公式：|pf1|=a+ex0 |pf2|=a-ex0椭圆过右焦点的.半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点a,b之间的距离，数值=2b^2/a点与椭圆边线关系：点m(x0，y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^21点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^21直线与椭圆边线关系y=kx+m ①x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1切线△=0相离△0无交点平行△0 可以利用弦长公式：a(x1,y1) b(x2,y2)|ab|=d = (1+k^2)|x1-x2| = (1+k^2)(x1-x2)^2 = (1+1/k^2)|y1-y2| =(1+1/k^2)(y1-y2)^2椭圆通径(定义：圆锥曲线(除铅直)中，过焦点并旋转轴轴的弦)公式：2b^2/a。
椭圆焦点弦结论
椭圆焦点弦结论
椭圆焦点弦结论：第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2
第五类是1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
第六类是当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
第七类是如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2。
第八类是如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
【高中数学】秒杀秘诀MS18焦点弦性质定理
MF1 BF1
1
;
1 2
MF1 AF1
MF1 BF1
2
MF1
1 AF1
1 BF1
2
c cos
a
ccos b2
a
ccos b2
2
2c2 b2
2
2a2 b2
9.已知椭圆γ：
=1 的右焦点为 F，左顶点为 R，点 A（2，1），B（﹣2，1），O 为坐标原点．
（1）若 P 是椭圆γ上任意一点，
4a2 b2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
1 1
e2 e2
2.证明同椭圆一致，略。
3.证明：
AF
xA
p , BF 2
xB
p 2
AF AP
cos ；
BF BP
cos
；即
PA
AF cos
；PB
BF cos
；
8.已知方向向量为 e (1, 3) 的直线 l 过点 A(0, 2 C 的中心 O 和椭圆的右准线上的点 B 满足：OBe
a2
b 2c c2cos2
，故 | DF | | AB |
b2c 2ab2
c 2a
e 2
2.证明：当直线 AB 与双曲线交于一支时，证明过程同椭圆一致；当直线 AB 与双曲线交于两支时，
| BF
|
b2 ccos
a
，|
AF
|
b2 ccos
a
,|
AB |
2ab2 c2cos2 a2
, | CF
|
b2ccos c2cos2 a2
（Ⅲ）是否存在实数 t，使得|AF2|+|BF2|=t|AF2|•|BF2|恒成立？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由．
椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值-概述说明以及解释
椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分应该总结并介绍该文的主题和背景。
以下是概述部分的一个可能内容：在数学几何学中，椭圆是一个引人注目的图形。
它有一些独特的性质，其中之一是焦点和弦的关系。
本文将重点研究椭圆焦点弦所分的两段焦半径倒数和的定值。
第一部分将提供一个概述和结构的介绍。
接下来，我们将进入正文部分，讨论椭圆的基本概念和性质。
然后，我们将逐步探究椭圆焦点弦的性质。
其中包括如何通过梯形法则计算焦点弦所分的焦半径倒数和，并证明这个和是一个定值。
结论部分将对前面的讨论进行总结，并强调椭圆焦点弦的重要性。
我们将强调此定值可以应用于实际问题中的几何、物理和工程等领域。
最后，我们将提供对进一步研究的建议，以进一步探索椭圆焦点弦的应用和相关性质。
通过这篇文章，我们希望读者能够加深对椭圆焦点弦性质的理解，并认识到它在数学和实际应用中的重要性。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开头部分，主要是对整篇文章的概述和背景进行介绍。
在概述部分，可以简单说明文章所要探讨的问题和目标。
例如，本文主要讨论椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值。
在文章结构部分，可以简要介绍文章的组织结构和各个部分的内容安排。
正文部分是文章的核心部分，展开论述和分析问题。
在本文的正文部分，第一个要点可以是对椭圆的基本性质和定义进行介绍，包括椭圆的焦点、焦半径和弦的相关概念。
然后，可以详细论述椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值的推导和证明过程。
第二个要点可以是对该定值的应用和意义进行讨论，例如在几何问题中的应用或者其他领域中的实际应用。
结论部分是文章的结尾部分，对整篇文章的内容进行总结和归纳。
在本文的结论部分，可以简要概括椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值，并强调其重要性和实际应用价值。
同时，也可以提出一些可能的研究方向和问题，以期引起读者的思考和进一步研究。
一道椭圆焦点弦问题的7种解法
得 (+
,
即k2(4c2a2-b4)=b4，⑤
(
− )，
+
=
(
+ ),
+
−
− ) (+ + )＝ + ，
得− = ，④
22＝32 ，即 − , − = Βιβλιοθήκη − , ,由①④得： =
−
，
+
−
由③⑤得 ＝ − ，
=
2
2 2
2
，代入②得：a =(25c -a )m ,
+
··
得5b2=6am.②
−
=
(4a2- 5b2)( + ) =
4a2=5b2=5(a2-c2)
a2=5c2
.
=
①
.
引例
已知椭圆C：
+
= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
− = ,
③
− ( + ) + =0
④
−
把①②代入④，得：· + -3c·+ +a2=0,
即c2(k2c2-b2)-6c2a2k2+a2(b2+a2k2)=0,
即k2(c4-6c2a2+a4)=-b4
椭圆的焦点弦长公式推导
设焦点弦端点为A，B，A，B横坐标分别为x1，x2，A，B到与焦点对应的准线的距离分别为d1，d2，焦点弦过焦点F，则离心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]若F为右焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2)=2a-e(x1+x2)若F为左焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c=e(x1+x2)-2a扩展资料：平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
由锥体与平面相交的平面曲线。
椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。
圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。
即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。
椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a²+yy0/b²=1。
椭圆焦点弦的最小值
椭圆焦点弦的最小值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在文章的概述部分，需要对所研究的问题进行简要介绍。
针对椭圆焦点弦的最小值这一问题，概述应包括以下内容：椭圆是一种经典的几何形状，在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将重点研究椭圆的焦点弦的最小值问题，即在给定椭圆的情况下，如何确定一条弦使得该弦的长度达到最小值。
为了解决这个问题，我们将首先介绍椭圆的定义与性质。
椭圆的特点在于其形状呈现出长轴和短轴的差异，这使得焦点与焦距的概念对椭圆的研究至关重要。
因此，我们将在接下来的部分详细探讨焦点与焦距的关系。
接着，我们将引入对弦的定义与性质的讨论，明确弦在椭圆中的几何特征。
根据对弦的理解，我们将探索如何找到椭圆焦点弦的最小值的求解方法。
通过分析弦的长度与各个参数的关系，我们可以确定最小弦的具体条件和求解过程。
最后，在结论部分，我们将总结本文的主要研究内容，并给出一些重要的结论。
这些结论将进一步丰富对椭圆焦点弦最小值问题的理解，并为相关领域的研究提供有益的参考。
通过对椭圆焦点弦最小值问题的深入探讨，本文旨在为读者提供了解椭圆几何性质和求解相关问题的基础知识。
同时，本文也为椭圆焦点弦最小值问题的研究提供了新的思路和方法，为相关领域的研究者提供了有价值的参考。
1.2 文章结构在本文中，我们将通过以下几个部分来讨论椭圆焦点弦的最小值问题。
首先，我们会在引言部分中给出本文的概述，简要介绍椭圆焦点弦的最小值问题以及我们的研究目的。
接下来，在正文部分的第2.1节，我们会详细介绍椭圆的定义与性质。
我们将探讨椭圆的几何特征，如长轴、短轴、焦点等，并介绍椭圆的数学表示形式。
在第2.2节，我们将讨论焦点与焦距的关系。
我们将介绍焦点和焦距的概念，并探讨它们之间的重要性和联系。
第2.3节将专注于弦的定义与性质。
我们将定义弦，并讨论弦的长度、位置以及与椭圆焦点的关系。
最后，在第2.4节，我们将详细介绍椭圆焦点弦的最小值求解方法。
椭圆焦点弦公式推导
椭圆焦点弦公式推导
对于焦点△f1pf2，设∠f1pf2=θ，pf1=m，pf2=n；则m+n=2a，由余弦定理：（f1f2）^2=m^2+n^2-2mncosθ ，即4c^2=（m+n）^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn（1+cosθ），所以mn=2b^2/（1+cosθ）。
在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类
似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形；
在椭圆的顶焦点三角形中存有许多与椭圆焦点三角形二者相似的几何特征，蕴涵着椭
圆很多几何性质，在全国各地的中考演示试卷及低考试题中，都曾发生如在“顶上焦点三
角形”为载体的问题；本文对椭圆的顶焦点三角形的性质予以概括与剖析。
焦点弦公式推导过程
焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。
- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。
- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。
- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。
- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。
- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。
- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。
2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
椭圆焦点弦的定理证明及应用
椭圆焦点弦的定理证明及应用椭圆焦点弦定理是应用数学中的一种定理，这个定理规定在一个椭圆中，由任意两个焦点投射出的射线之间的弦距离等于从第一个焦点出发的射线与从第二个焦点出发的射线的对比例。
它是一个关于椭圆的重要定理。
一、定理的证明1. 假设图形上有一个椭圆，它的焦点为F1，F2，距离焦点F1长度为a，距离焦点F2长度为b。
2. 用P表示在椭圆上的任意一点，称这点到F1的距离为x，称它到F2的距离为y。
3. 则有：a/b=x/(y+b)b/a=y/(x+a)联立上面式子得x/(y+b)=y/(x+a)即xy=ax+by+ab（*）4. 当椭圆上的点P，P1，P2在y轴上的坐标分别为y1，y2，y3的时候，由（*）可得ay1+by1+ab=ay2+by2+ab=ay3+by3+ab又由x1=a-y2x2=a-y1x3=a-y3可得ax1+by1+ab=ax2+by2+ab=ax3x+by3+ab即x1y1=x2y2=x3y3由此得证：对于任意两点P1，P2，在椭圆上，距离F1的长度比距离F2的长度的比例等于距离P2的长度和距离P1的长度的比例。
即椭圆福焦点弦定理得证。
二、椭圆焦点弦定理的应用1. 椭圆焦点弦定理可以实现经济分析：由于在椭圆图中，到达椭圆的给定点的距离对比是两个廊的长度的对比，所以椭圆焦点弦定理可以用来研究经济分析中两个变量间的关系，例如生产成本与产品价格之间的关系。
2. 椭圆焦点弦定理可以用来研究月亮的运行轨迹：由于月球运动的轨道是一个椭圆，所以它的焦点可以用椭圆焦点弦定理来研究，从而了解月球运行轨迹的特点。
3. 椭圆焦点弦定理可以用来研究太阳能系统：椭圆焦点弦定理可以用于设计太阳能系统，例如太阳能集热器的安装及放射器的优化，由椭圆焦点弦定理可以精准的确定各个部位放射器的位置，以充分的利用太阳的能量。
4. 椭圆焦点弦定理可以用来研究动态平衡：常见的二轮平衡车或三轮平衡车的几何结构是一个椭圆，那么椭圆焦点弦定理可以应用于理解动态平衡车的原理及动态模型，可以有效的实现准确的控制，保证车辆稳定运行。
椭圆焦点弦的八大结论
椭圆焦点弦的八大结论
1.点P 处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角。
2. PT 平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点。
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是。
6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是。
7.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点，则MF⊥NF。
8.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF ⊥NF。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。
上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。
分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--by a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。
解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。
例3、已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即AB = 1 k 2x 1 x 2或者 AB= 1+( k 1)2y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab2AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 .a2 c 2 cos 2下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 .解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 .22题：设椭圆方程为 x2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB .22椭圆方程 x2 y 2 1可化为b 2x 2a 2y 2 a 2b 2⋯⋯①， a2b 2直线 l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得：(b 2m 2a 2)y 2 2mcb 2 y b 2c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 22mcb 2y b 4∴y1y 2b 2m 22mcb 22 ,y 1y 2 a b 4b 2m 2aAB = 1+( k 1)2y 1y 21 m2(2 2 bm 2mcb 2 )2 2)a4b 42 2 2b m a1 m 24a 2b 4(1 m 2)2 2 2 2(b m a )∴ AB2ab 22 2 2 b m a1m1)若直线 l 的倾斜角为，且不为 90o ,则1 tan ，则有：ABb 2m 2a 2b a 2 1 m 2b m a2ab 22 1 2 b 2 atan1tan 2由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB2ab 22 2 2 a c cos②.2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB2 2ab 22 2 2 b m a1 m 2,得通径长为 2b 2，同样满足②式 .并且由a解法二 ：根据余弦定理解决22题：设椭圆方程为 x 2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .AB2ab 21 m2 =2a(b 2m 2a 2) 2a 32ab 22 2 21 m =2 2 2b m a b m a2a2a 2(a 22 b 22) 2a2a(a 22 b 2) 2b 2b m a a,当且仅当 m 0 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为2b 22b，故可知通径是最短的焦点弦， a综上，焦点弦长公式为 AB2ab 22 2 2 a c cos22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 a 2 b21，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .解：如右图所示，连结 F 1 A, F 1B ，设 F 2A=x, F 倾斜角为 ，则由椭圆定义可得AF 1F 2 中，由余弦定理得cos( )(2c)2x 2(2a x)2，化简可得4cxBF 1F 2 中，由余弦定理同理可得b 2a ccosABb 2b 2ya ccos a ccos2ab 2222a c cos解法三：利用焦半径公式解决 解：由解法一知x 1x 2=my 1 c my 2 c m(y 1 y 2 ) 2c22 2m 2cb 2 2 2 2bm a 2c22a 22c2 .由椭圆b 2m 2a 2的第二定义可得焦半径公式，那么 F 2A a ex 1, F 2B aex 2，则弦长2 F 1A =2a x中 结 得AB③2 abkc为a2果带入③将此b 1 k 22 2 2 a 2b 2(1 k 2)2 2 2 b 2 a 2k 2b2 a 2k2 A'B'b 2m2 A'B' =b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 2后面分析同解法解法四 ：利用仿射性解决22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .b 1 k 2a 2b 2(1 k 2) 2ab 2(1 k 2)，由 k tan ，带入得AB = b 1 k 2AB =b 2 a 2k 22ab 2m 2 2ab 2 故AB =a ex 1 a ex 2 2a e(x 1 x 2)2 2 2b m ax' x解：利用仿射性， 可做如下变换 a ，则原椭圆变为 (x')2 (y')2 y' ya 2，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆 . 假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为 bak .椭圆中弦长 AB = 1 k 2x 1 x 2 ，经过 变换后变为 A'B' 1 (a k)2 x 1x 2 ，带入，得变换前后弦长关系为AB =(akc )2 b 1 (a bk )2bA'B' =2 a 22ab 2a 2 c 2 cos 22ab 2(1 m 2)勾股定理求得弦长为而我们知道圆的弦长可以用垂径 定理求得 .如图所示，假设直线y a k(x c) ，圆心到直线的距 b离为 d，根据半径1 (a bk)2a4上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为： 记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明 22 例 1已知椭圆 x y25 21 AB2ab 2，2 2 2，a c cos1，过椭圆焦点且斜率为 3 的直线交椭圆于 A, B 两点，求 AB . 分析：如果直接用弦长公式解决， 因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解解：由题， a 5,b 2 21,c 24， = , 带入 AB 3 2ab 2 222a c cos 得 AB =10. 例 2已知点 P(1, 3) 在椭圆 C ：x2 2 a 22y2 1(a> b> 0)上，过椭圆 C 的右焦点 F 2 (1,0)的直线 l与b 椭圆 C 交于 M,N 两点 . 1)求椭圆的标准方程； 2)若AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，且MN PAB ，W AB MN 2,试判断 W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由 . 分析：因为 l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单 9 2 2 2 21 ，又 a b c 4b2 1 解：(1)由题知 c 1，将点 P 带入得 12 a 2 ，解得 a 2 4,b 23 ，故椭 22 圆方程为 x y1. 43 2)假设 A(m,n) ，则 AB 2 m 2 n 2，设倾斜角为 ，则 cos m m 2 n 2 ，根据过焦点的弦长公式则 MN 2ab 22 a 22 c cos 12 2 m 22 mn3m 212(m 2 4n 2 ，故 W n 2) AB MN m 2 =4( 4 2 n )=4. 3 例3如图，已知椭圆 1的左右焦点为 F 1,F 2， 过 F 2 的直线 l 1 交椭圆于 A,C 两点，过 F 1 的直线 l 2交椭圆于 B,D 两点， l 1,l 2交于点 P ( P 在x 轴下方)，且 F 1PF 2 43 ，求四边形 ABCD 的 面积的最大值 . 分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成F 1PF 23的点 P 在圆 内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值2解：假设 l 1 的倾斜角为,则 l 2的倾斜角为 3+，由椭圆的焦点弦长公式得： AC12 4 cosBD 12 S=1 2ACBD12 12 cos ( )4 2cos4 cos 2() 4设 f( (4 cos )(4 cos ( 7(72 cos2 )( 1 12sin 2 )4))49 7 ( sin2 44+cos 21)+ sin4 8设 sin2 cos2t(t2, 2 ) ，则sin4 t 21,带入得 f(t)49 7t+1(t 2 4481)即f(t)1t 28 7t 97 48f (t)min 99 14 2,此时 t 2，即 sin2 cos22 ，得到 综上，四边形 ABCD 的最大值为 288 2 S=99 14 2 = 8 ，得到l 2的倾斜角为 8 ,刚好两直线关于 y 轴对称，如 右图所示 .5.14 .此时。
专题02 椭圆的焦点弦,中点弦,弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(原卷版)
专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A B 、两点，则弦AB 的长为（ ） A ．45B ．65C ．85D ．1352．经过椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）A ．2a bB ．22a bC ．2b aD ．22b a3．已知F 是椭圆221259x y +=的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为（ ） A ．6B ．15C ．20D ．124．设1F ，2F 是椭圆221164x y +=的左右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则22AF BF +的最大值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．105．已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=6．已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B两点．若AB 的中点坐标为，则G 的方程为（ ）A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=7．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点(),0F c 的弦中最短弦长是（ ）A ．22b aB ．22a bC ．22c aD ．22c b8．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 二、多选题9．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为F 1，F 2，O 为坐标原点，直线y x =过F 2交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为8，则（ ）A B ．椭圆方程为2214x y +=C ．弦长85AB =D ．OABS=10．已知椭圆22221x y a b +=的焦距为6，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，弦AB 的中点为(2,1)M ，则直线l 的方程为（ ）A ．78220x y +-=B ．7860x y --=C ．3271030x y --=D ．327710x y +-=11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A,B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是（ ）. A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x +y -3=0；C ．若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为1433⎛⎫⎪⎝⎭，D ．若直线方程为y =x +2，则AB =12．已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述正确的是（ ） A ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值三、填空题13．直线2y kx =-交抛物线28y x =于A ，B 两点．若AB 的中点横坐标为2，则弦长AB 为______14．已知椭圆22154x y +=的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 作x 轴的垂线与椭圆相交于A ，B 两点，则2ABF 的面积为________．15．椭圆22142x y +=的右焦点为F ，M ，N 为y 轴上的两个动点，若0MF NF →→⋅=，则MNF面积的最小值为______．16．已知12F F 、是椭圆22196x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，当1214PF PF +的值最小时，12PF F △的面积为_______．四、解答题17．已知椭圆的短轴长为()1,0-和()1,0. （1）求这个椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆交于P ､Q 两点，且PQ 中点为()1,1，求直线l 的方程.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.19．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，离心率为12，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -（1）求椭圆的方程（2）斜率为12-的直线l 与椭圆交于A ，B两点，当AB =时，求直线l 的方程20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()2,0，直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A ，B . （1）求椭圆C 的方程；（2）求OAB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =l 过点()0,M b -和(,0)N a ，且坐标原点O 到直线l . （1）求||MN 的长；（2）过点(3,0)E 的直线m 与椭圆C 交于A 、B 两点，当AOB 面积大时，求22||||OA OB +的值．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ，2，上顶点()0,1B ，1ABF （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.。
2022届高考数学圆锥曲线重难点专题02 椭圆的焦点弦中点弦弦长问题(解析版)
，当且仅当 ，即 时取“=”.
又 ，所以 .
所以 ，由勾股定理可知： ，所以 .
四、解答题
17．已知椭圆的短轴长为 ，焦点坐标分别是 和 .
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）直线 与椭圆交于 ､ 两点，且 中点为 ，求直线 的方程.
【解析】∵焦点坐标分别是 和 ，
（2）求 面积的最大值，并求此时直线 的方程.
【解析】（1）由题意得 ，解得 ，∴ ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由 得， .
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
又点 到直线 的距离为 .
所以 的面积为 ，
当且仅当 即 时， 的面积有最大值为1，
此时直线 的方程为 .
21．已知椭圆C: 的离心率 ，直线l过点 和 ，且坐标原点O到直线l的距离为 .
A． B． C． D．
【解析】将 或 代入椭圆的标准方程得 ， ，
解得 ，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是 .故选：D.
3．已知F是椭圆 的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（）
A．6B．15C．20D．12
【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
（2）若 ，过 的直线l交椭圆C于M､N两点，且直线l倾斜角为 ，求 的面积.
【解析】（1）由题设， ，则 ，故 ，
∴椭圆C的标准方程为 .
（2）由题设易知：直线l为 ，联立椭圆并整理得： ，
∴ ， ，则 ，
到 的距离为 ，∴
19．椭圆 经过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为 的直线l与椭圆交于A，B两点，当 时，求直线 的方程
椭圆焦点弦平方的倒数和
椭圆焦点弦平方的倒数和
首先，我们来了解一下什么是椭圆焦点弦。
椭圆是一个平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
焦点弦则是椭圆上连接两个焦点的线段。
椭圆焦点弦平方的倒数和，即为椭圆上每条焦点弦的平方的倒数的总和。
现在让我们来推导一下椭圆焦点弦平方的倒数和。
假设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为常数2a。
那么根据椭圆的性质，我们可以得到以下公式：
PF1 + PF2 = 2a.
现在我们来考虑焦点弦的平方的倒数。
对于椭圆上的一条焦点弦AB，我们可以将其长度表示为c，那么焦点弦AB的平方的倒数为1/c^2。
对于任意一点P在椭圆上，它到焦点弦AB的距离为d，那么根据几何关系，我们可以得到：
d = (c^2 PF1^2 PF2^2) / (2PF1PF2)。
因此焦点弦AB的平方的倒数可以表示为：
1/c^2 = 2PF1PF2 / (c^2 PF1^2 PF2^2)。
现在我们将所有的焦点弦的平方的倒数求和，即为椭圆焦点弦平方的倒数和。
这个和可以表示为：
Σ(1/c^2) = Σ(2PF1PF2 / (c^2 PF1^2 PF2^2))。
这个和是一个非常有趣的数学问题，它涉及到椭圆的几何性质和数学推导。
对于不同的椭圆，这个和的数值可能会有所不同，因此它也是一个很好的数学问题来进行探讨和研究。
希望通过这篇文章，读者可以对椭圆焦点弦平方的倒数和有一个初步的了解，同时也对数学推导和几何性质有所启发。
焦点弦公式
焦点弦公式焦点弦公式是描述椭圆、双曲线和抛物线的几何性质的基本公式之一。
它用于计算公式中焦点和弦之间的关系，可以帮助我们更好地理解曲线的形态和特性。
椭圆的焦点弦公式对于一个椭圆而言，焦点弦公式可以表示为：PF1 + PF2 = 2a在这个公式中，PF1和PF2分别表示焦点F1和F2到弦的距离之和，2a是椭圆的长轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。
焦点弦公式告诉我们，椭圆上每一点到焦点的距离之和恒定为2a，其中a是长轴的一半。
双曲线的焦点弦公式对于一个双曲线而言，焦点弦公式可以表示为：PF1 - PF2 = \\pm 2a在这个公式中，PF1和PF2分别表示焦点F1和F2到弦的距离之差，±2a取决于双曲线的类型和方向。
双曲线是一种开放的曲线，它的形状类似于两支打开的弧线。
焦点弦公式告诉我们，双曲线上每一点到焦点的距离之差的绝对值恒定为2a，其中a是双曲线的距离焦点的常量。
抛物线的焦点弦公式对于一个抛物线而言，焦点弦公式可以表示为：PF = 2a在这个公式中，PF表示焦点F到弦的距离，2a是抛物线的焦半径。
抛物线是一种特殊的曲线，它的形状类似于开口朝上或朝下的碗。
焦点弦公式告诉我们，抛物线上每一点到焦点的距离恒定为2a，其中a是焦半径的一半。
理解焦点弦公式的重要性焦点弦公式在几何学中起着重要的作用，它不仅帮助我们理解曲线的形态和特性，还可以用于解决与曲线相关的各种问题。
例如，通过焦点弦公式，我们可以计算椭圆的长轴和焦点之间的关系，双曲线的焦点距离等。
另外，焦点弦公式在其他学科中也有广泛的应用，如天文学中描述行星和彗星的运动轨迹，工程领域中描述声波的传播路径等等。
总结焦点弦公式是描述椭圆、双曲线和抛物线的几何性质的基本公式之一。
它用于计算曲线上焦点和弦之间的关系，帮助我们理解曲线的形态和特性。
无论是从几何学的角度还是从其他学科的应用角度，焦点弦公式都具有重要的意义。
我们可以通过掌握焦点弦公式，更好地理解曲线的几何性质，解决相关问题，并将其应用于其他学科中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
恳请诸位老师多提宝贵意见!
18
知识回顾 Knowledge Review
19
椭圆E交于A、B两点，若 F1 A + F1B =3 6，求 AB .
解：联立方程组
y-2 kx 消去y 3x2 y2 6
y (3 k 2 )x2 4kx 2 0 B
F2
法一：
x1
x2
4k 3 k2
,
x1x2
2 3 k2
A ox
F1A F1B x12 (y1 2)2 x22 (y2 2)2
Hale Waihona Puke = n2-4mp>0
方程组有两解
=0
方程组有一解
<0
方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
相交 相切 相离 4
回例顾题旧精知讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A(
的斜率为 k．
x1
,
y1
)
B(x2 , y2 )两点，直线
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
1
1 k2
（y1
y2）2
4 y1y2
c B(8 c, 3 3 c) 55
0
A
F1
F2
ox
B
1
SAF1B
2c 2
x1
x2
1 2c (b 3 3 c) 40
2
5
3… ②
由 ① ② 得a 10,b 5 3
法二：AB 10 c d 2bc
8
b2 c2
1
5
SAF1B
2
AB
d
8
c
2bc 40 3 … ③
b2 c2
17
9
例题精讲
变式2已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若倾斜角为 的直线L过椭圆
4
的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B.
（1）求VF1 AB的周长；2求VF1 AB的面积.
y
分析：（1） CF1AB 4a
（2）
B F2
法一：以AB作为底
A ox
F1
法二：以F1F2作为底，将三角形分成两个
10
例题精讲
B F2
AB 4a ( F1A F1B ) 4 63 6 6
A ox
F1
15
巩固练习
已知椭圆E：x a
2 2
+
y2 b2
=1,若直线L过右焦点F ，与上顶点A,且与 2
椭圆E交于B，F1AF2 =60.(1)求椭圆的离心率.(2)已知
SAF1B 40 3, 求a,b的值.
y
解：（1）Q F1AB 60
A
AF1F2为等边三角形，即a 2c e c 1
a2
F1
F2
ox
B
（2）LAB : y 3(x c) Q a 2c …①
b2 a2 c2 3c2设 x2 y2 1 4c2 3c2
16
巩固练习
y
y 3(x c)
x2 4c2
x1
y2 3c2
0, x2
1
5 8
消去y 5x2 8cx
优点：不用计 算出两根，计 算量小！
7
例题精讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A(
的斜率为 k．
x1
,
y1
)
B(x2 , y2 )两点，直线
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
1
1 k2
（y1
y2）2 4 y1y2
适用于任意二次曲线
8
例题精讲
变式1 已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上 焦点，且与椭圆E交于A、B两点，AB = 6，求 直线的斜率k.
18 9
中点坐标为M(1,-1),求直线L的方程.
11
拓展巩固
已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若直线L过椭圆 的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B. 求VF1 AB的最大面积.
12
归纳小结:
椭圆中的弦
韦达定理法（通法） 点差法（中点弦问题）
思想方法
13
巩固练习
已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上焦点F2，且与
F1
x12 (kx1 4)2 x22 (kx2 )2
(k 2 1)x12 8kx1 16 (k 2 1)x22
无法解出，怎么办？
14
巩固练习
法二：联立方程组
y-2 kx
消去y
(3 k 2 )x2 4kx 2 0
3x2 y2 6
y
4k
2
x1 x2 3 k 2 , x1x2 3 k 2
适用于任意二次曲线
5
回例顾题旧精知讲
椭圆的定义：
到两定点的距离之和为常数2a(大于两定点的距离2c) 的点的轨迹叫做椭圆
6
例题精讲
例1已知椭圆E：3x2 y2 6与直线L:y= x-2交于 A、B两点，求 AB .
分析： 法一：算出AB两点的坐标，再用两点间的距离公
式求 AB
法二：带 AB 的弦长公式
变式3已知椭圆E: x2 + y2 =1(a b 0)的右焦点为F（3,0）， a2 b2
过点F的直线交椭圆于A,B两点，若AB的中点坐标为 M(1,-1),求椭圆E的方程.
分析：
法一：韦达定理法
法二：点差法 优点：计算量小！
改：已知椭圆E: x2 + y2 =1,直线L与椭圆交于A,B两点，若AB的
1
A(3分)
B(3分)
C(2分)
D(1分)
Watch
bus
box
2
回顾旧知
问题：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
3
回顾旧知
如何判断直线和椭圆的位置关系？ 代数法
直线l : Ax By C
0与椭圆E：x a
2 2
y2 b2
1
Ax+By+C=0 由方程组： x 2 y2
a2 b2 1
mx2+nx+p=0（m≠ 0）