高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题
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第11章 曲线积分与曲面积分
一．曲线积分
1.对弧长的曲线积分 （第一类）
典型例题：
(1)圆周10{
cos x sin ≤≤==t t a t
a y
1222
22220
2
22
2)sin'(cos'()sin cos ()(x +=++=+
⎰⎰
n n n
L
a dt t a t a t a t ds a y
ππ
）
（2）线段:把线段表示出来 ds y x ⎰
+L ）
（ L 是（1，0）到（0,1）的直线段 原式=
2
1)11
=+-+⎰dx x x x （ 直线为：y=1-x
(3)圆弧的整个边界（分段）
ds L
y ⎰+2
2x e
2)4
2(11)sin'()cos'(12
20
40
2
2
a
2
2-+
=++++⎰
⎰⎰
+a e dx e
dt t a t a e
dx e
a a
y x a
x
π
π
（4）参数方程 （公式）
（5）利用折线围成的封闭图形 （坐标分段）ds yz ⎰Γ
2
x
A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2)
AB: 0=⎰
AB
BC:0=⎰
BC
CD:90102y 130
23
2==++=⎰⎰
y dy CD
9=++=∴
⎰
⎰
⎰⎰Γ
CD
BC
AB
2.对坐标的曲线积分 （第二类）
dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x L
)(')](),([)(')](),([{),(),(P ψψΦ+ΦψΦ=+⎰⎰β
α
典型例题
（1）圆周
10{cos x sin ≤≤==t t
a t
a y
dx xy ⎰
L
圆周
)0(y x 222
>=+-a a a ）（及x 轴在一象限 逆时针{
{0
2acost a x asint
y 1:,)10(x x y L L t ==+==≤≤：
320
2
1
2
0)'cos (sin )cos 1(a a dx dt t a a t a t a
L L L
π
-
=+++=+=⎰⎰⎰
⎰
（2）直线： 写出函数关系
222x y :dx y -x =⎰
L L
，从（0,0）到（2,4）
原式=15
56
-dx x -x 2
04
2=⎰
）（ （3）圆弧
，⎰
+L
xdy ydx L: x=rcost,y=rsint 上对应t 从0到
2
π
的一段弧 （4）参数方程 （公式） （5）利用折线围成的封闭图形
⎰Γ
+ydz dy -dx ，A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) ABCA 封闭图形
=
2
112321]')1()'1([)]1(1[1
10
01
=++
-=+-+--+--=++⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
dx dz z z z dx z CA
BC
AB
二．格林公式
1.⎰⎰⎰
+=∂∂∂∂L D
Q P P
Q dy dx dx dy y
-x ）（
2.面积 ⎰=L
A ydx -xdy 21
3.曲线积分;
x
y dy pdx ∂∂=∂∂⇔
+⎰
Q P Q L
与路径无关 同上），（，dy y x dx )y x (Q P + 4.
dy dx du y x u dy dx Q P Q P L
+=⇔+⎰使）
，（存在与路径无关 dy y x Q dx y x p y x y
y x
x ⎰⎰
+=
),(),(),(u 0
典型例题
(1)的正向）（1:)3(22
22=+++-⎰
b y a x L dy
e x dx e y L
y
x
解：ab 2dx dy 23x
1y p π==∴=∂∂=∂∂⎰⎰⎰
D
L
Q
，
(2)验
证
整
个xoy
面
内
存在u （x ，y ）使
du=），（并求）（）（y x u dy ye 12y x 8x 8y x 3y
2
3
2
2
++++dx xy
解：
存在，∴+=∂∂=∂∂x y 16x 3x
y p 2Q c e y y x y x c dy ye y x x dx y y
y +-++=++++=⎰⎰)1(124)128(0y)U(x 2230
23x
，