对面积的曲面积分教案设计
G第一型曲面积分PPT教案
交线为
设S1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy
(x, y)
x2
y2
1 2
a2
, 则
I S1 (x2 y2) d S
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13
I S1 (x2 y2) d S
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2
d
1 2
2a
a r2
r dr
Dxy a y x
S
dS z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
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9
思考: 若 S 是球面 出的上下两部分, 则
dS
S
z
(
0
)
dS
S
z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
G第一型曲面积分
1
第1节 第一型曲面积分
(或：对面积的曲面积分)
本节内容： 一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
第22章
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2
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“分割---大化小, 近似代替---常代变, 求近似和, 取极限”
的方法, 可得
n
M
பைடு நூலகம்
o
对面积的曲面积分教案设计
在 平面的投影区域
例3求 ，
解：把曲面 分为 和 ， ： ,
曲面 在 平面的投影
课程总结分析
首先通过求光滑曲面的质量，引入对面积的曲面积分的概念，介绍了“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想，然后阐述对面积曲面积分的存在条件和性质，最后介绍了对面积曲面积分的计算方法。
本章思考题
1.对面积曲面积分存在的条件是什么？
对面积的曲面积分教案设计
课题
对面积的曲面积分
课时
1课时
教学目的和要求
教学目的：
使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求：
1.了解对面积的曲面积分的概念；
2.理解对面积的曲面积分的性质；
3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；
重点难点
对面积的曲面积分的计算
教学方法
讲授（板书）
教学内容
一、概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分 ，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？
2.对面积的曲面积分除了求曲面的质量，还有什么应用？
主要参考资料
1.同济大学数学系编著.高等数学（第六版.下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
2.曹圣山，生汉芳，王新心..大学教材全解.高等数学[M].延吉：延边大学出版社，2012.
备注
如果是闭曲面，积分号写成
2.存在条件： 在光滑曲面 上连续。
3.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质
对面积的曲面积分
Σ 在 xOy 面上的投影区域
2 2 2
-0.5 -1 -1 -0.5 ≤ a − h .
2
面积元素 dS =
1 + z + z dxdy =
2 x 2 y
a a2 − x2 − y2
1
dxdy ，
极坐标 dS P 217 1 a a ∫∫ z ====D a2 − x2 − y2 ⋅ a2 − x2 − y2 dxdy = ⋯ = 2πa ln h . 公式( 2 ) ∫∫ Σ xy 9
6 ∫∫ (1 + x )d xd y .
D xy
14
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS =
Σ
∫∫
D yz
f ( x ( y , z ), y , z ) 1 + x 2 + x z2 dydz . y
(2)若Σ : y = y ( x , z ), Σ 在 xoz 面上的投影区域为 D xz ,
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS =
Σ
Σ 1 :x =0
Σ 2 : y =0
Σ 3 :z = 0
Σ 4 : z = 1− x − y
= 0+0+ 0+
Σ 4 : z = 1− x − y
xyzd ∫∫ xyzdS
= ∫∫ xy(1 − x − y) 1 + (−1)2 + (−1)2 dxdy
=
Dxy
D xy :0≤ y ≤1− x , 0≤ x ≤1.
∫∫
3 xy(1 − x − y )dxdy
1− x
= 3 ∫ xdx ∫
0
1
0
3 . y(1 − x − y )dy = 120
对面积的曲面积分
f ( k ,k , z ( k ,k ))
(光滑)
1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
( k ,k , k )
的方法, 可得
M
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
2 : z 1 x2 y2 1 1 , 2 在 xoy 内的投影区域
D: x y 1 故 ( x 2 y 2 )dS
2 2
1
o x
y
1
2 2 2 ( x y )dxdy ( x y ) 1 z z dxdy 2 2 2 x 2 y D 2
d xd y
z
o x
1
Dx y
y
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思考与练习
P219 题1；3；4(1) ;
D11_4对面积曲面积分
2 4 2 2 2 I ( x y z ) d S ( x y z ) d S 3 3 ( xd S yd S zd S ) 利用质心公式: x d S 4 xd S 4 x d S x d S
f ( x, y, z) dS 存在, 且有 f ( x , y , z ( x, y ) ) Dxy
注: 向另外两个坐标面投影有类似的公式.
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《高等数学》电子教案
第十一章 曲线积分与曲面积分
例1. 计算 在第一挂限部分.
例5. 计算 之间的圆柱面
其中 是介于平面
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
z
H
z
1
2 2
dz
则这一小带的质量为 所以 I
H
R z
2 R d z
0
H 2 arctan R R2 z 2
目 录 上一页
2 R d z
o x
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y
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结 束
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第十一章 曲线积分与曲面积分
例6. 设 : x y z a
2
2
2
2
z
o x
2 2
1
计算 I f ( x, y, z ) d S .
Dx y
2
y
解: 锥面 z x y 交线为
2
2 与上半球面 z
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第四节对面积的曲面积分11-421页PPT
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
一对面积的曲面积分的概念与性质省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面面积)， 设(xi, hi, zi )是
Si上任意取定一点， 作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, ···, n)，并作
n
和 f(xi, hi, zi )Si．
M f (x, y, z)dS S
另首先，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上
投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上含有连续偏导数，则光滑曲 面S质量M也可用元素法来求：
S上任意点(x, y, z)处面积元素为
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y
)dxdy
，
质量元素为 dM
(x, y, z)dS (x, y, z)dS (x, y, z)dS ．
S1 S2
S1
S2
z 对面积曲面积分性质：
由对面积曲面积分定义 可知，它含有与对弧长曲线积 类似性质，这里不再赘述．
S1
S2
O x
y
第5页
二、对面积曲面积分计算
前面已指出，面密度为连续函数f(x, y, z)光滑曲面S质量 M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积曲面积分:
z
(xi, hi, zi )
i 1
S
Si
O x
y
第2页
一、对面积曲面积分概念与性质
设f(x, y, z)为非均匀曲面形金属构件S面密度，则以下定 义曲面积分过程能够看成是求曲面形金属构件质量过程。
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
高等数学 第四节 对面积的曲面积分
第十一章 第四节
8
轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
第十一章 第四节
15
例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
第十一章 第四节
16
例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
第十一章 第四节
9
例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
第十一章 第四节
10
具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
第十一章 第四节
6
若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
对面积的曲面积分
第四节 对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面上有界，将曲面任意分成n 小块 s ( S i也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , is i ，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲i 1面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记nf(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S •【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此，S i 0 .2•性质f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;1 2②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积S ，即f (x, y, z)dS S .3.对面积的曲面积分的计算在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在Dxy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSD yzD xy 上具有连续偏导数，被积函数f (x, y,z)在 上连续，则f (x,y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1dxdy①关于曲面具有可加性，若12，且1与2没有公共的内点，则设曲面 由z z x, y 给出,x y,z , y,z dydz ,:y y z,xf(x,y,z)dS f x, yz,x ,zD xz4•对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z处的面密度是x, y,z①曲面的质量x, y, zdS.②曲面的质心x,y,z 2 dzdx .x,y,z dS, x,y,z dS③曲面的转动惯量I x x,y,z dS Iyx, y,zI z x,y,z dS, I o z x, y, z dSdS,x, y,zdS.4.3 典型例题与方法基本题型I :计算对面积的曲面积分1 填空题:x2y2z24，则Q(X2y2)dS由积分区域的对称性知乙x2dS y2dS? z2dS而积分在上进行,乙（x2故应填12832 选择题(A) xdS (C) zdS乙（X2y2)dS - (x23z24,y2)dSa2(z 0),代入上式得,z2)dS .22128在第一卦限中的部分，则有（）4 xdS ；( B) ydS 4 xdS ；1 14 xdS ；( D) xyzdS 4 xyzdS解因为曲面是上半球面， 关于yoz 面对称且被积函数f i (x, y,z) x ,f 2(x, y, z) xyz 都是变量X 的奇函数，于是 xdS xyzdS ° .类似地， 关于xoz面对称且f 3(x, y,z) y 是变量y 的奇函数，于是 yds 0 .而 xdS 0, xyzdS 0 ,1 1故应选(C ).事实上，由对称性，zdS 4zdS ,zdS xdS, (0正确.1 1 1【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧： (1) 利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有 奇偶性，两者缺一不可.(2)利用积分曲面 的方程化简被积函数.例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds ，其中 是平面2x 2y z 2 0被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分D : 0 x 1,0 y22dSJ 1~x ~ dxdy ^ 2dxdy ,解法2x 2y,z x2,Z y 2.在xoy 平面上的投影是三角形，记为(2x 2y z)ds2g 1 z x 2 z y 2 dxdy6dxdy 3.D解法(2x 2y z)ds 2dS22 3 .【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里, 形，最后用到了三角形的面积公式 .例 4 计算 | (x2y 2)dS ,因为积分曲面是一个三角为立体.x 2 y2z 1的边界.【分析】］根据积分曲面 的方程, 分转化为投影区域上的二重积分进行计算.确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积1为锥面zx 2 y 2 , 0 z 1，在 1 上,图4-12为z 1上x 2y 21部分，在 2上，dS dxdy ,2 2i, 2在xOy 面的投影区域为D ：x y 1，所以图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域•基本题型II :对面积的曲面积分的应用(x 21y 2)dS + (x y 2)dS2 (x 2 2 y )、. 2dxdy (xD2y )dxdy(.2 1) (x 2y 2)dxdy (1D3d八2).例5计算 z 2dS ，其中 为 x 2 y 24介于z 0,z 6之间的部分•【分析】积分曲面 如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有z 2dS = 4 z 2dS ， 1故可利用对称性解之•解 设1 : x 4 y 2,其在yoz 面的投影域为D yz :dS . 1 x y 2x z2dydzdydzz dS = 4 z ? dS =4Ddy 288 .1例6求物质曲面S: z (x2 y2)(0 z 1)的质量，其面密度z((x, y,z) S).2解S在xoy平面上的投影区域D : x2 y2(、‘2)2.解以球心为原点，铅锤直径为Z 轴建立直角坐标系，则球面方程为x 2y 2z 2R 2， 且任意点M (x,y, z)处的密度为x 2y 2.设球壳的质心坐标为(x,y,z)，由对称性知，x y 0 .z dS于是球壳的质量为2 R43 R4R12 3 3，于是半球壳的质心坐标为-2R 3 324.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面，在点(X, y, z)处它的面密度u(x,y, z)，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 x 轴转动惯量。
9.4 对面积的曲面积分
n
λ → 0 时, 这和的极限 lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )ΔSi 总存在,那么 λ →0
称此极限值为 f ( x, y, z ) 在曲面 Σ 上对面积的曲面积分
i =1
（或第一类曲面积分）, 记为 ∫∫ f ( x , y , z )dS ,即
Σ
2009年7月27日星期一
2 故 1 + z x + z 2 是曲面法线与 z 轴夹角的余弦 y
的倒数.
2009年7月27日星期一
12
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2. Σ : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( z ≥ 0 ), Σ1为Σ 在第 一卦限中的部分, 则有( C ).
( A) ( B) (C ) ( D)
∫∫Σ xdS = 4∫∫Σ ∫∫Σ zdS = 4∫∫Σ
则
∫∫ f ( x, y, z )dS
Σ
= ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x′ + x′ dydz. y z
2 2 Dyz
2009年7月27日星期一
6
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1 例 1 计算曲面积分 ∫∫ dS ,其中 z Σ
Σ 是 单 位 球 面 x2 + y 2 + z 2 = 1 被 平面 z = h （ 0 < h < 1 ）所截得的 顶部（如右图）.
Σ1 Σ2 Σ3
在 Σ 4 上, z = 1 − x − y ,
1 + z x 2 ( x, y ) + z y 2 ( x, y ) = 1 + (−1) 2 + (−1) 2 = 3 ,
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对面积的曲面积分教案
设计
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
对面积的曲面积分教案设计
课
题
对面积的曲面积分
课
时
1课时
教
学
目
的
和
要
求
教学目的：
使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。
基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。
将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求：
1.了解对面积的曲面积分的概念；
2.理解对面积的曲面积分的性质；
3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；
重
点
难
点
对面积的曲面积分的计算
教
学
方
法
讲授（板书）
教
学
内
容
一、概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分()
,
L
x y ds
ρ
⎰，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？
例 1 若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数()
,,
x y z
ρ，求它的质量。
解：“分割”：用网格线分割曲面∑为
12
,,,
n
S S S
∆∆∆,
“近似”：(),,i i i i S
ρξηζ∈∆;
“求和”：(),
1
,
n
i i i i
i
S
ρξηζ
=
∆
∑;
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质
可分为分片光滑的曲面
()
=⎰⎰
f x y z dS
,,
2
21y z x x dydz ++=0,0,0,x z x ≥≥221y y dxdz ++1x z z =++003dx xy =⎰⎰
例3 求2z dS ∑⎰⎰
xy
D ⎰⎰222xy
D a a x =-⎰⎰。