多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。
简记为（X1,X2,…,X n）。
二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。
对（X,Y）研究的问题：1．（X,Y）视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3．X与Y的相互关系；4．（X,Y）函数的分布。
§二维随机变量的分布一．离散型随机变量1．联合分布律定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,…——称式为(X,Y)的联合分布律。
(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：性质：(1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) ji ij p ,=12．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1= p{Y=y i }j=1,2, (30)S =1我们称p i.和分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。
二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij 同理可得=i∑p ij例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X中取一值。
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
f X ( x) fY ( y), x, y R,
10:42:20
即 1 , 2 , 1 , 2 ; ), 且已知X与Y
2 2
相互独立， 由于 f ( x , y )，f X ( x )，fY ( y )都是连续函数，
故对于所有的 x , y , f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )成立, 特别地，取 x 1 , y 2 , 则 f ( 1 , 2 ) f X ( 1 ) fY ( 2 ),
求X与 Y的边缘分布函数，并判断X与Y是否相互 独立？
x
y
10:42:20
2
(1 e x )(1 e y ), x 0, y 0, F ( x, y) 解 其它. 0, 1 e x , x 0, F X ( x ) F ( x , ) 其它. 0, 同理 y 1 e , y 0, FY ( y ) F ( , y ) 其它. 0,
则X , Y独立的充分必要条件是 随机向量 ( X ,Y ) 有联合密度 f ( x , y )，且 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在平面上几乎处处成立 .
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上 除去面积为0的集合外，处处成立.
10:42:20
9
下面考察二维正态随机变量的两个分量的 独立性. 由第二节的讨论可知，
10
f ( x, y)
1 2σ1σ 2 1 ρ
2
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 ; ),
2 2
1 ( x μ1 ) 2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 ) 2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
多维随机变量及其分布的概念
多维随机变量及其分布对于多维随机变量应理解其概念及其性质，在多位随机变量中，二维随机变量是基础，很多结论都是可以从二维随机变量推广到多维的。
对于二维随机变量，不仅要理解联合分布的概念与性质，还要理解二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布和二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度、和条件密度。
一、多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数 [1]多维随机变量的及其分布的概念：如果N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的每个分量都是随机变量，则，称之为N 维随机变量，并称函数121122(,){,,}n n n F x x x P X x X x X x ⋅⋅⋅=≤≤⋅⋅⋅≤是N 维随机变量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的联合分布函数。
称函数(){}(,,,,i i ii F x P X x F x =≤=+∞+∞⋅⋅⋅+∞+∞为N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅关于i X 的边缘分布，或为12(,)n F x x x ⋅⋅⋅的边缘分布函数。
[2]二维随机变量的联合分布函数的概念和性质a) 二维随机变量的联合分布函数的概念：二维随机变量的联合分布函数定义如下：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤b) 二维随机变量的联合分布函数的性质：① 对于任意x,y, 0(,)1F x y ≤≤② (,)F x y 为关于x 或y 均为单调非降、右连续的函数。
③ (,)(,)(,)F F y F x -∞+∞=-∞=-∞=④ (,)1F +∞+∞=⑤ 发生在矩形区域上的概率：(,)(,P a X b c Y d F a<≤<≤=[3]二维随机变量的边缘分布的概念二维随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘分布函数分别定义为： ①(){}{,}(,)x F x P X x P X x Y F x =≤=≤<+∞=+∞ ②(){}{,}(,)y F y P Y y P X Y y F Y =≤=<+∞≤=+∞二、二维离散型随机变量[1]二维离散型随机变量的联合概率分布的概念：二维离散型随机变量(,)X Y 是只能去有限个或可列个值，其相应的概率表示为：(,)i i ij P X x Y y p === (,1,2,3i j =⋅⋅⋅并称为联合概率分布或联合分布律： [2] 二维离散型随机变量的联合概率分布的性质：（a,d ）①(,)0i i ij P Xx Y y p ===≥ (,1,2,3i j =⋅⋅⋅②1ijijp=∑∑③(,)i j ij x x y yF x y p ≤≤=∑∑[3]二维离散型随机变量的边缘分布：二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘概率分布（或边缘分布律）分别定义为：{}{,}i i ij i jjjp P X x P X x Y y p ∙======∑∑ {}{,}j i ij i jiip P Y y P X x Y y p ∙======∑∑ 依据边缘分布函数的定义：(){}{}i i x i i x xx xF x P X x p X x p ∙≤≤=≤===∑∑(){}{}j j y ijy yy yF x P Y y p Y y p∙≤≤=≤===∑∑[4]二维离散型随机变量的条件分布① 定义：设{}0j j p P Y y ∙==>，在事件“j Y y =”发生的条件下，事件“i X x =”发生的条件概率为：{,}{}()i j iji j j jP X x Y y p P X x Y y P Y y p ∙=======(,1,2,3)i j =⋅⋅⋅称为在“j Y y =”条件下，X 的条件分布律。
第三章 多维随机变量及其分布
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
第3章多维随机变量及其分布
f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x1 12
)2
2
(
x1 )(y 12
2
)
(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中，1、2为实数，1>0,2>0, | |<1，则称(X, Y) 服从参数1,2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为
元函数f(Dx1,x2,x.1.,...x. nx)n使 :得a对1 任x意的bn1元,...立a方n 体x bn
有
PX1...X n D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn) 为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
A6
1
(2)F (1,1) 16e(2x3y)dxdy (1 e2 )(1 e3) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。
解 P{(X ,Y ) D} 6e(2x3y)dxdy
D
3 22x3
dx 6e(2x3y)dy
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0
0)
... ... ... ... ... ...
第三章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中，需要考虑的指标不⽌⼀个。
例如，考查某地区学龄前⼉童发育情况，对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查，需要同时观察他们的⾝⾼和体重，这样，⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。
⼜如，考察礼花升空后的爆炸点，此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。
在这⼀章中，我们将引⼊多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。
1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布，并把它们推⼴到n维随机变量。
1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间，X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X，Y)的性质不仅与X及Y有关，⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。
随机变量X常称为⼀维随机变量。
2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似，我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。
定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量，x，y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数，记作F(x,y)，即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标，则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率（见图3-1）。
⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰（见图3-2）分布函数F (x，y)具有以下的基本性质。
(1) 0≤F (x，y)≤1.对于任意固定的x和y，有(2) F (x，y)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y，当x2 ≥x1时,；对任意固定的x，当y2 ≥y1时，。
多维随机变量及其分布,随机变量相互独立性,条件概率
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
考研概率统计--多维随机变量及其分布笔记
若G为矩形，服从均匀；推：X服从均匀，Y服从均匀，X，Y独立立
2）二二维正态分布（the special one）
1.定义；
Note：1.淡化公式，强调性质
2.规律律：e的-x2，e的-y2，e的-xy
2.性质：
（1）联合可以推边缘；边缘不不能推联合
（2）（aX+bY，cX+dY）服从二二维正态分布（利利用用卷积公式证明）（只要求 5个参数即可）（联合的线性仍然正态）
（3）aX+bY服从正态（只要求2个参数）（二二维推一一维线性依然是正态的）
（4）X和Y相互独立立互推p=0（独立立性仅有数字特征决定）
四 二二维随机变量量函数的分布
1.二二维离散型：已知联合概率分布律律，求Z=g（X，Y）
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点：一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 ห้องสมุดไป่ตู้二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
2.二二维随机变量量的联合分布函数
1）X，Y取积；
2）在离散型上的体现（1.出现0，一一定不不独立立；2.行行行或列列成比比例例）
三 二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
方方法：枚举，合并（相同量量合并）
Note：当然还有二二维
概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
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F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2
p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
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例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第三章多维随机变量及其分布
P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
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第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
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第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.1 边际分布函数
第29页
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则 X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
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多维随机变量及其分布
x−
µ1 )( y− σ1σ 2
µ2
)
+
(
y−µ2 σ 22
)2
− ∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞
则称( X ,Y ) 服从参数为µ1,σ12,µ2,σ22,ρ 的 正态分布, 记作( X ,Y ) ~ N(µ1,σ12;µ2,σ22;ρ )
其中σ1,σ2>0, -1< ρ < 1 .
一 . 离散型随机变量的条件分布律
设 ( X ,Y ) 是离散型随机变量，其分布律为
( ) 例 设二维随机变量 (X， Y )~ N µ1， µ2， σ12， σ 22， ρ
试求 X 及Y 的边缘密度函数．
解：(X， Y )的联合密度函数为
f (x, y) =
1
2πσ1σ 2 1− ρ 2
( ) ⋅
exp−
2
1 1−
ρ
2
(x
− µ1 )2
σ
2 1
−
2ρ(x
− µ1)(y
σ1σ 2
5.3 条件分布
• 条件分布律 • 条件分布函数 • 条件概率密度
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的概率
P(A | B) = P(AB) P(B) 推广到随机变量
设有两个随机变量 X, Y ， 在给定 Y 取 某个值的条件下，求 X 的概率分布.
这个分布就是条件分布.
F(x, y) = P(X ≤ x,Y ≤ y)
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.
多维随机变量及其分布
多维随机变量的期望和方差
总结词
期望和方差是多维随机变量的重要统计量，用于描述随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是随机变量所有可能取值的加权平均，反映了随机变量的中心趋势。方差则是描 述随机变量取值分散程度的量，即离散程度。在多维随机变量中，期望值是一个向量，
方差是一个矩阵。
多维随机变量的协方差和相关系数
定义
连续型随机变量是在一定范围内 可以取任何值的随机变量，通常 用X表示。
例子
人的身高、体重、时间等。
概率分布
连续型随机变量的概率分布可以 用概率密度函数（PDF）表示， 即f(x)表示随机变量取某个值的概 率密度。
随机变量的期望和方差
期望
期望是随机变量取值的平均值，用E(X)表示。对于离散型随机变量，E(X)=∑xp(x)； 对于连续型随机变量，E(X)=∫xf(x)dx。
复杂度并提高模型的泛化能力。
Part
07
总结与展望
总结多维随机变量及其分布的主要内容
定义与性质
多维随机变量是多个随机变量的组合，具有多维度的特性 。其定义基于概率空间，每个维度都有独立的概率分布。
联合概率分布
多维随机变量的联合概率分布描述了所有维度同时发生的 概率。通过联合概率分布，可以计算各种联合事件的概率 。
总结词
独立性是多维随机变量的一个重要性质，表示多个随机变量之间没有相互依赖关系。
详细描述
在多维随机变量中，如果多个随机变量之间相互独立，那么一个随机变量的取值不会影响到另一个随 机变量的取值。独立性的判断对于概率论和统计学中的许多问题至关重要，如联合概率分布、条件概 率和贝叶斯推断等。
Part
06
边缘概率分布
多维随机变量及其分布,随机变量的相互独立性,条件概率
2 0.020 0.008 0.004 0.032
3 0.010 0.002 0.001 0.013
P{Y j}
0.900 0.080 0.020 1.000
P{Y 0 X 1} P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{ X 1} 0.045
P{Y 1 X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 ,
d y. pX (x)
请同学们思考
为什么不能用条件概率的定义来直接定义条
件分布函数 FX Y ( x y)? 答 条件分布是指在一个随机变量取某个确定值
的条件下,另一个随机变量的分布, 即 FX Y ( x y) P{ X x Y y} . 由于P{Y y}可能为零(连续型时一定为零).故直接 用条件概率来定义时, 会出现分母为零. 因此,在条件分布中,作为条件的随机变量的取值是 确定的数.
现在如果限制Y 取值从1.5米到1.6米, 在这个限制下求X 的 分布.
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量,对于固定
的 j, 若 P{Y y j } 0, 则称
P{ X
xi Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij , p j
为在Y y j条件下随机变量 X 的条件分布律. 对于固定的 i, 若 P{ X xi } 0, 则称
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：
若对任意的 x, y, 有
p(x, y) pX (x) pY ( y)
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度， pX (x), pY ( y)分别是X的
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2F(x, y) f (x, y).
xy
h
14
由性质4, 在f(x,y)的连续点处有
P{x X x Δ x, y Y y Δ y}
lim
Δ x0
Δ xΔ y
Δ y0
lim 1 [F(x Δ x, y Δ y) - F(x Δ x, y) Δx0 Δ xΔ y
Δ y0
- F(x,
y Δ y) F(x,
h
13
按定义, 概率密度f(x,y)具有以下性质: 1.f(x,y)0.
2. f(x,y)dxdy1. --
3.设G是xOy平面上的区域, 点(X,Y)落在G内的 概率为
P {X ( ,Y ) G } f(x ,y )d x d y .( 1 .3 )
G
4. 若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有
y1 x1
x2
x
h
6
分布函数F(x,y)具有的基本性质: 1.F(x,y)是变量x和y的不减函数, 即对于任意固定
的, 当x2>x1时F(x2,y)F(x1,y); 对于任意固定的x, 当 y2>y1时F(x,y2)F(x,y1).
2. 0F(x,y)1, 且 对于任意固定的y, F(-,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-)=0,
h
16
例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
2e-(2xy), x0,y0,
f(x,y) 0,
其.它
(1)求分布函数F(x,y); (2)求概率P{YX}.
解 (1)
yx
F(x,y)
f (x, y)dxdy
- -
y 0
x2e-(2xy)dxdy,
0
x0, y0
0,
其它 .
h
17
即 (2) 将F 有 ((x X,,yY) )看 0 (1 作,-e 是-2x平)1 (面-e上-y)随,x机点0 其 ,y的.坐0它 , 标, 即有
y)]
2F(x, y) xy
f
(x,
y).
h
15
这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续, 则当Dx,Dy 很小时
P{x<Xx+Dx, y<Yy+Dy}f(x,y)DxDy, 即(X,Y)落在小长方形(x,x+Dx](y,y+Dy]内的概率近 似等于f(x,y)DxDy. 在几何上x=f(x,y)表示空间的一个曲面, 由性质2知, 介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3, P{(X,Y)G}的值等于以G为底, 以曲面z=f(x,y)为顶 面的柱体体积.
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随机变
量X和Y的联合分布函数. y
(x,y)
O
x
h
5
易知, 随机点(X,Y)落在矩形域[x1<Xx2, y1<Yy2]的 概率为
P{x1<Xx2, y1<Yy2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-
F(x1,y2).
(1.1)
y
y2
h
3
一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它 们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维随机向量或二维 随机变量.
X(e)
e S
Y(e)
h
4
定义 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 二 元函数:
记 成
F ( x ,y ) P { ( X x ) ( Y y ) } P { X x ,Y y }
的随机变量. 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为 (xi,yj), i,j=1,2,...,记P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则由
概率的定义有
pij 0,
pij 1.
i1 j1
h
8
称P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,为二维离散型随机变 量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律. 也可用表格表示X和Y的联合分布律:
解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知 {X=i,Y=j}的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i的正 整数, 且
P {Xi,Yj}P {Xi}P { Yj|Xi}1 41 i, i1 ,2,3 ,4 ,ji.
h
10
P {Xi,Yj}P {Xi}P {Yj|Xi}11, 4i
i1,2,3,4,ji.第三章 多ຫໍສະໝຸດ 随机 变量及其分布h1
§1 二维随机变量
h
2
在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时 用两个或两个以上的随机变量来描. 例如, 为了研 究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的 儿童进行抽查, 对于每个儿童都能观察到他的身高 H和体重W. 在这里, 样本空间S={e}={某地区的全 部学龄前儿童, 而H(e), 和W(e)是定义在S上的两个 随机变量. 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐 标和纵坐标来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同 一个样本空间的两个随机变量.
h
12
与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X,Y)的分 布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)使对于任 意x,y有
yx
F (x,y) f(u ,v)dudv, - -
则称(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x,y)称 为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随机变量 X和Y的联合概率密度.
于是(X,Y)的分布律为
Y X 1 2 3 4
1
2
3
4
1/4
1/8
1/12
1/16
0
1/8
1/12
1/16
0
0
1/12
1/16
0
0
0
1/16
h
11
将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机变量 X和Y的联合分布函数为
F (x ,y ) p i,j x i xyj y
(1 .2 )
其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.
F(-,-)=0, F(+, +)=1. 3.F(x,y)关于x和关于y都右连续. 4.任给(x1,y1),(x2,y2), x1<x2, y1<y2,
F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0
h
7
如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的 值 是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y)是离散型
X
Y
x1
x2
...
xi
...
y1
p11
p21
...
pi1
...
y2
p12
p22
...
pi2
...
...
...
...
...
...
yj
p1j
p2j
...
pij
...
...
...
...
...
...
...
h
9
例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取 一个值, 另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整 数值. 试求(X,Y)的分布律.