材料力学18305
材料力学公式大全
材料力学公式大全材料力学是研究材料在外力作用下的变形、破坏和稳定性等力学性能的学科。
在工程实践中，材料力学公式是工程师们进行材料设计、分析和计算的重要工具。
本文将为大家介绍一些常用的材料力学公式，希望能对大家有所帮助。
1. 应力和应变。
在材料力学中，应力和应变是最基本的概念。
应力是单位面积上的内力，通常用σ表示，其公式为：σ = F/A。
其中，F为受力，A为受力面积。
应变是材料单位长度的变形量，通常用ε表示，其公式为：ε = ΔL/L。
其中，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2. 弹性模量。
弹性模量是材料在弹性阶段的应力和应变关系的比例系数，通常用E表示，其公式为：E = σ/ε。
3. 餐极限。
屈服极限是材料在受力作用下开始发生塑性变形的应力值，通常用σy表示。
4. 断裂韧性。
断裂韧性是材料在破坏前所能吸收的能量，通常用K表示，其公式为：K = σ√πc。
其中，σ为应力，c为裂纹长度。
5. 疲劳强度。
疲劳强度是材料在交变应力作用下能够承受的最大应力值，通常用σf表示。
6. 塑性体积变形。
塑性体积变形是材料在塑性变形过程中体积的变化，通常用ΔV表示，其公式为：ΔV = V(ε1-ε2+ε3)。
其中，V为原始体积，ε1、ε2、ε3分别为三个主应变。
7. 岛壳理论。
岛壳理论是用于计算薄壁结构的强度和稳定性的理论，通常用T表示，其公式为：T = P/A。
其中，P为受力，A为受力面积。
8. 塑性流动理论。
塑性流动理论是用于描述金属材料在塑性变形过程中的流动规律的理论，通常用ε表示，其公式为：ε = ln(ε0/εf)。
其中，ε0为初始应变，εf为终止应变。
以上就是一些常用的材料力学公式，希望对大家有所帮助。
在工程实践中，我们可以根据具体情况选择合适的公式进行分析和计算，以保证工程设计的安全可靠性。
材料力学是一个复杂而又有趣的领域，希望大家能够在学习和工作中不断深入研究，提升自己的专业能力。
可打印总结材料力学公式总结
基本受力与变拉压形力学简外图力受外力（合力）的作用线力沿杆的轴线。
特征截轴力面法显示内力内力内轴力的作用线力沿杆轴线。
正拉力为正，负压力为负。
号规定平衡方程求内力扭转弯曲外力偶的作用面垂直于轴线。
外力作用在通过梁轴线由功率，转速算外力偶矩的对称面内。
剪力扭矩弯矩扭矩的方向用右手螺旋弯矩向上挤压为正。
定则确定，大拇指方向志向截面外，四指的方向就是扭矩正方向；反之为负。
+—使微段沿顺时针方向转动的剪力为正公式应用条件拉（压）杆外力（合力）作用线沿杆轴线圆轴扭转圆轴，应力不超过材料的比例极限梁弯曲平面弯曲，应力不超过材料的比例极限应力分布材料的失效形式塑性材料和脆性材料在拉伸，扭转实验中失效现象：塑性材料脆性材料拉伸试件表面出现与轴线约成断裂面与轴线垂直45°的滑移线扭转先屈服，出现滑移线。
滑移线出现在试件的横向和纵向，最终沿横截面剪断。
变形很小时便断裂，断裂面和轴线约成45°强度计算准则拉（压）杆圆轴扭转梁弯曲拉压许用应力不相等的材料位移拉（压）杆圆轴扭转梁弯曲EA---- 拉压刚度两个端面相对扭转角挠曲轴 ----弯曲后梁的轴线。
挠度 W---- 横截面形心在垂直于梁轴方向上的位移。
转角θ ---- 横截面相对于变形前转过的角度。
---- 扭转刚度C，D---- 由边界条件和连续条件确定。
EI---- 弯曲刚度刚度计算准则拉（压）杆圆轴扭转梁弯曲——---- 梁的许用转角---- 单位长度许用扭转角---- 梁的许用挠度应力状态和强度理论斜截面上的正应力和切应力：。
材料力学公式汇总
材料力学常用公式1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力, ,30.主平面方位的计算公式31.面最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得。
材料力学公式
变形形式 轴向拉压 圆轴扭转 平面弯曲 拉弯组合 弯扭组合 拉扭组合 拉弯扭组合
横截面上 应力计算 公式
T ⋅ρ τ= Ip
σ=
M ⋅y Iz FS ⋅ S z bI z
M ⋅ y FN σ= ＋ Iz A
σ=
FN A
Ip =
πD (1 − α
4
4
)
τ=
σ= τ=
≤ [θ ]
θ A = −θ B = −
C
B
θ A = −θ B = −
应力状态分析
பைடு நூலகம்
广义胡克定律
相当应力
σ x + σ y σ x −σ y σ α = 2 + 2 cos 2α − τ xy sin 2α 斜截面上的应力 τ = σ x − σ y sin 2α + τ cos 2α xy α 2
32
d α= D
Iz =
πD 4 (1 − α 4 )
M ⋅y Iz T ⋅ρ Ip
64 bh 3 Iz = (矩形 ) 12
(环形 )
FN A T ⋅ρ τ= Ip
σ=
σ= τ=
M ⋅ y FN + Iz A T ⋅ρ Ip
中性轴为对称轴：
σ max =
τ max =
σ max ≤ [σ ] W p =
[ [ [
] ] ]
σ r ≤ [σ ]
σ r1 = σ 1 σ = σ − µ (σ + σ ) 1 2 3 r2 σ r3 = σ1 − σ 3 σ = 1 (σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ − σ )2 1 2 2 3 3 1 r4 2
材料力学
3103 m
为拉伸变形。
变形后点B的位置可以用“切线法”确定B：B 即为B点的位移。
由已知的几何简图，即可求出B点的位移
BB
L cos45
4.24103 mm
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解：取节点B为隔离体如图b所示，未知力均假设为拉力。 由静力平衡方程，求得杆AB的轴力FN1和杆BC的轴力FN2分别为 FN1= FN2=Fcos45°=336kN （拉力）
求出杆AB和BC的变形量都为
BB1
L1
FN1 L EA
336103 N 3m 200109 Pa 1680106 m2
AA
由拉压胡克定律： E
则： l FNl F l EA EA
其中 EA为杆件的抗拉（抗压）刚度
若杆件横截面沿轴线连续变化，轴力 也沿轴线连续变化下，取出长为dx的微段， 得微段的变形量为：
d(l) FN (x)dx EA(x)
Байду номын сангаас
l
l
FN (x)dx EA( x)
例 两根相同的钢杆铰接，作用载荷为F=475kN如图a所示，钢杆的横截面面积 A=1680mm2，长度L=3m。若E=200G Pa，试求节点B的位移。
第六节 轴向拉伸或压缩时的变形与应变
纵向线应变： l1 l l
ll
横向线应变：´ b1 b b
bb
泊松比：横向线应变与纵向线应变之比，是一个无量纲的量。
´ 或 ´
等直杆的变形量与其所受力之间的关系：
杆件横截面上的正应力为： FN F
材料力学公式最全总汇
外力偶矩计算公式（P功率，n转速）弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横截面面积A，拉应力为正）轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）纵向线应变和横向线应变泊松比胡克定律受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式轴向拉压杆的强度计算公式许用应力，脆性材料，塑性材料延伸率截面收缩率剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r ）圆截面周边各点处最大切应力计算公式扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或等直圆轴强度条件塑性材料；脆性材料扭转圆轴的刚度条件? 或受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,平面应力状态下斜截面应力的一般公式,平面应力状态的三个主应力,,主平面方位的计算公式面内最大切应力受扭圆轴表面某点的三个主应力，，三向应力状态最大与最小正应力,三向应力状态最大切应力广义胡克定律四种强度理论的相当应力一种常见的应力状态的强度条件，组合图形的形心坐标计算公式，任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）纯弯曲梁的正应力计算公式横力弯曲最大正应力计算公式矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，，几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处弯曲正应力强度条件几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，梁的挠曲线近似微分方程梁的转角方程梁的挠曲线方程?轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式偏心拉伸（压缩）弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式剪切实用计算的强度条件挤压实用计算的强度条件等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.5压杆的长细比或柔度计算公式，细长压杆临界应力的欧拉公式欧拉公式的适用范围压杆稳定性计算的安全系数法压杆稳定性计算的折减系数法关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析2 内力和内力图6 强度计算7 刚度校核8 压杆稳定性校核10 动荷载9 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件1、拉压 []σσ≤=maxmax AN2、剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、圆轴扭转 []ττ≤=W tTmax 4、平面弯曲 ①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I Mz tmax c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max5、斜弯曲 []σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t zmax t σσ≤+=y I M A N z[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z 2n2w 2n 2w r34W M M②第四强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M二、变形及刚度条件 １、拉压 ∑⎰===∆LEAxx N EAL N EANLL d )(ii ２、扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m /ο） ３、弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)( (2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI ML B =θ EI PL B 22=θ EIqL B 63=θEIML f B 22=EI PL f B 33= EI qL f B 84=EI ML B 3=θ,EI ML A 6=θ EIPL A B 162==θθ EI qL A B 243==θθEI ML f c 162=EI PL f c 483= EIqL f c 3844= (4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==i i i EI L M 22∑=()⎰EI dxx M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆ii P U()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i PAB MAB A BqL LLLL三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= yx xy σστα--=22tg 0 ３、二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-= 注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450４、三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥ 最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x E μσσε-=)(1x y y E μσσε-= )(y x z E σσμε+-= Gxy xy τγ= （2）、表达形式之二（用应变表示应力） )(12y x x E μεεμσ+-= )(12x y yEμεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ= 6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x E σσμσε+-=1()z y x ,, Gxy xy τγ= ()zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s s n σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=xyyx yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22y x αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xy（2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE=②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr ③短粗受压杆 s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式 i Lμλ= p 2p σπλE= ba s s σλ-=3、惯性半径公式AI i z =（圆截面 4di z =，矩形截面12min b i =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击） st20d ∆=g v K （水平冲击） 六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D Dd =α ⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh 123hb323maxd y I W zz π==()43132απ-D 62bh 62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。
大学课程材料力学公式(全)
第一章 绪论和基本概念应力（全应力）：2P 正应力：σ 切应力：τ 222τσ+=P线应变：l l dx du //x ∆==ε 切应变：角度的改变量α只受单向应力或纯剪的单元体：胡克：εσ⋅=E 剪切胡克：r G ⋅=τ ()E G =+ν12 第二章 杆件的内力分析 轴力N F ：拉力为正扭矩T ：右手螺旋，矢量方向与截面外法线方向一致为正 剪力S F ：顺时针方向转动为正外力偶矩：()m N N P ·/9549m = ()m N N P ·/7024m = （K N /马力） 第三章 截面图形的几何性质 静矩：⎰=Ax ydA S 若C 为形心[质心]：A S XC/y =组合截面图形形心坐标计算：∑∑===ni i ni cii C A y A y 11/惯性矩：⎰=Ax dA y I 2惯性积：⎰=Axy xydA I 包括主轴在内的任意一对正角坐标0=xy I对O 点的极惯性矩：()y x AAP I I dA y x dA I +=+==⎰⎰222ρ 实心圆：32/224d I I I P y x π=== 圆环：()64/-12244απD I I I P y x === D d /=α平行四边/三角形：12/3bh I x =平行移轴公式：A b I I xc x ⋅+= A ab I I xcyc xy ⋅+= 转轴公式（逆转α）：()()αα2s i n 2/2c o s2/1xy y x y x x I I I I I I --++=()()αα2sin 2/2cos 2/1xy y x y x y I I I I I I +--+= ()αα2cos 2sin 11xy y x y x I I I I +-= 求主轴：000=y x I ()y x xy I I I --=/22tan 0α()[]2//2a r c t a n 0y x xy I I I --=α主惯性矩：()22min max 00x 4212xy y xy x y I I II I I I I I +-±+==第四章 杆件的应力与强度计算斜面上的正应力：ασσα2cos = 切应力：2/2sin αστα=许用应力：脆性材料[]b b n /σσ= 塑性材料：[]s s n /σσ=或[]s n /5.0σσ= 拉压杆强度条件：[]σσ≤=A F N /max max 校核强度：[]()[]%5%100/max ≤⨯-σσσ 剪切强度条件：[]ττ≤=s A F /s 挤压强度条件：[]bs bs bs A F σσ≤=/bs圆轴扭转切应力：p I T /ρτρ⋅= []ττ≤=⋅=p p W T I R T //m a x 梁的弯曲：中性层曲率：()z EI M //1=ρ 等直梁在弯曲时的正应力：z I M /y =σz z W M I M //y m a x m a x ==σ矩形截面梁的弯曲切应力：()()z s z z s I y h F bI S F 2/4//22*-==τ在中性轴处：()A F bh F s s 2/32/3max ==τ 最大切应力均在中性轴上工字型截面梁：腹板：()d I S F z z s /*=τ 翼缘：()δτz z s I S F /*1=圆形截面：A F s 3/4max =τ 薄壁环形截面：A F s /2max =τ切应力强度条件：[][]ττ≤=d I S F z z s /*max max max 理想设计：[][]c t c t σσσσ//max max = 许用拉应力：[]t σ 许用压应力：[]c σ 两垂直平面内弯曲组合截面梁：z N M N I y M A F //max max +=+=σσσ偏心压缩（拉伸）：截面上任意点：22max /-/-/-z F y F M N i y Fy i z Fz A F =+=σσσ2y y Ai I = 0=σ时中性轴截距：F y y y i a /2-=第五章 杆件的变形与刚度计算轴向拉（压）杆的变形：l l /∆=ε b b /'∆=ε νεε-=' ∑===∆ni ii i Ni N A E lF EA l F l 1圆轴扭转变形：()P GI Tl /=ϕ [在弹性范围之内]刚度条件：()[]rad GI l T P '/max 'max ϕϕ≤= ()[]m GI l T P /'/180max 'max ︒≤⋅⋅=ϕπϕ梁的弯曲变形：挠度：w ()x M ''=E I w θEI EIw =' ()⎰⎰++=D Cx dxdy x M EIw支承处：0=w 悬梁臂：0=w ，0=θ 连接处：21w w =，21θθ= 梁的刚度条件：[]l w l w //max ≤ []w w ≤max []θθ≤m a x第六章 应力状态分析 任意斜截面上的应力：()()ατασσσσσα2sin 2/2cos 2/xy y x y x--++=()ατασστα2cos 2/2sin xy y x +-=αασσσσ-+=︒+y x 90 ααττ-=︒+90应力圆：22min max 22xy yx y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+= y x xy σστα--=22tan 0三向应力状态：()2/31max σστ-=应力应变关系：()E /90︒+-=ααανσσε ()E /9090ααανσσε-=︒+︒+ G /αβαβτγ=第七章 强度理论及其应用 强度理论：断裂失效：11r σσ=()3212r σσνσσ+-=屈服失效：313r σσσ-= ()()()[]2/2132322214r σσσσσσσ-+-+-=轴向拉压弯扭组合变形：[]στσσ≤+=223r 4[]στσσ≤+=224r 3仅圆轴弯扭：[]σσ≤+=Z W T M /223r []σσ≤+=Z W T M /5.70224r ，Z P W W 2=薄壁圆筒强度：横截面上的正应力：()24/'σσ==t PD 纵截面上的正应力：()12/''σσ==t PD 03=σ第八章 压杆稳定临界应力：欧拉公式：()()222222cr /λπμπμπσEi l E A l EI A F cr ==== A I i /= 利用欧拉公式前提条件：P P E σπλλ/2=≥不满足时用经验公式：λσb a -=cr211cr λσb a -=压杆的稳定性计算：安全因素法：st cr cr n F F n ≥==σσ//折剪因素法：[][]st cr st n A F //σσσϕσ==≤= 第九章 能量方法杆件应变能：轴向拉伸或压缩：()⎰==∆==l N N dx EAx F EA lF l F w V 22222ε扭转：()⎰====l P P dx GI x T GI l T T w V 22222ϕε弯曲：()⎰====l dx EIx M EI l m m w V 22222θε 组合变形： 2/2/2/θϕεεm T l F dV V l++∆==⎰。
材料力学
4.应力集中敏感性：脆性材料对应力集中敏感，以导致破坏
2.5.4 许用应力
������������ 或 ������0.2
������������
������������
脆性材料
[ σ ]=
2
2.2.5 圆柱薄壁容器的应力
1.横截面上的应力������������
=
������������ 4������
2.纵截面上的环向应力������������
=
������������ 2������
=
2������������
D 为圆柱薄壁容器的平均直径 （平均直径为内外径的平均值）， δ 为壁厚，q 为内压
全应力
p
=
lim∆A→0
∆������ ∆������
正应力
σ=lim∆A→0
∆������������ ∆������
切应力
τ=lim∆A→0
∆������������ ∆������
FN= ������������������
3.静力学关系式
Fsy= ������������������������ Fsz= ������������������������ T= ������������ sin(������, ������) ������������
轴力、弯矩只与正应力有关 剪力，扭矩只与切应力有关
My= ������������������������
1
Mz= ������������������������
材料力学
4.截面法：①截开 ②画脱离物体受力图 ③列平衡方程，解方程
材料力学(强度计算)
轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律
轴向拉(压)杆的变形及其计算
杆件在受到轴向拉(压)力作用时，将主要产生沿轴线 方向的伸长(缩短)变形，这种沿纵向的变形称为纵向 变形。同时，与杆轴线相垂直的方向（横向）也随之 产生缩小(增大)的变形，将与杆轴线相垂直方向的变 形称为横向变形。 设直杆原长为l，直径为d。在轴向拉力（或压力）P作 用下，变形后的长度为l1，直径为d1，如图所示。
材料屈服时，在光滑 试样表面可以观察到 与轴线成的纹线，称 为45°滑移线。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
3、强化阶段（ cd 段）
材料晶格重组后，又增 加了抵抗变形的能力， 要使试件继续伸长就必 须再增加拉，这阶段称 为强化阶段。
曲线最高点d处的应力，称为强度极限( b )
冷作硬化现象，在强化阶段某一点f处，缓慢卸载，则 试样的应力–应变曲线会沿着fo1回到o1，冷作硬化使 材料的弹性强度提高，而塑性降低。
时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
采用圆形试样，换算后
试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制 备试样。
r
d
l
r
a b
l
材料在拉伸与压缩时的力学性能
低碳钢为典型的塑性材料。 在应力–应变图中呈现如下四个阶段：
材料在拉伸与压缩时的力学性能
1、弹性阶段（oa ’段） oa段为直线段，点a对应的应
称为名义屈服极限，用 0.2 表示。
材料在拉伸与压缩时的力学性能
（2002年的标准称为规定残余延伸强度，用 Rf 表示， 例如，Rf0.2表示规定残余延伸率为0.2%时的应力。）
材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料压缩时的力学性能
材料力学公式.pdf
材料力学公式.pdf材料力学公式汇总第二章：拉伸、压缩与剪切序号名称1 正应力σ = FN A公式备注页码应用条件：外力合力作用线沿杆的轴线P122斜截面上的正应力与切应力σα=σ cos2α=σ 2(1 +cos 2α)τα=σ 2sin2α胡克定律σ = Εε3 剪切胡克定τ = Gγ律4拉压杆轴向变形Δl=±FN L EA(σ ≤ σ p时)P16P19式中：γ --切应变；γ = r?lP53式中： EA --抗拉（压）刚度P18泊松比（横向变形系数）ν=ε′ ε= ? ε ′ ε ′ = ενε= ?νσ Ε式中：ε ′ --横向正应变ε --轴向正应变P195G、E、μG=E （2 1+ μ）?εx=ε y=0γxy=τ Gε450σ1=τ σ3=?τε450=γ =?xy=τ...( a )2 2G1 E(σ3μσ1)=?G)τ...(b)式中：G --切变模量 E—弹性模量μ--泊松比杆件轴向拉压应变能Vε=W=1 2FΔl=FN2l 2EA6应变能密度（单位体积v = 1 σε = 1 Eε 2 = σ 2222E应变能）Q Δl=FN L EAP23单位：J m3；总应变能∫ Vε = V vε dvP23杆件温度变ΔlT = αl ? ΔT ? l式中：αl 为材料线胀系数7 形量ΔlT= Δl=FRBl EAαl ? ΔT ?l=FRBl EAFRB = E?αl ?ΔT? A? σT (热应力) =FRB A= αl ? E ? ΔTP188 P188附录 I：截面的几何性质∫ 1静矩SZ =ydAA2 形心∫ yc =A ydA = SZAA3组合截面形心nn∑ ∑ yc = Ai yiAii =1i =1∫ 惯性矩yx =x2dAA惯性积∫ 实心圆轴： I p =d 2ρ 22πρ d ρ=πd4324极惯性矩∫ I p =ρ 2dAA空心圆轴： I p=π 32(D 4d 4)=π D4 32(1 ? α4)薄壁圆截面：I p = 2π R03δxydAAP322 P323-1-材料力学公式汇总圆形截面： Iz=Iy=1 2Ip=πd4 64矩形截面： Iz=bh3 12∫ 5惯性矩Iz =y2dAA空心截面：Iz=π D4 64(1?α 4 )三角形：Iz=6平行移轴定理I y = I yo + Ab27 惯性矩和惯性轴的转轴公式→ I yo = I y ? Ab2第三章：扭转P3271功率与扭力矩的转换{ } M e N?M{P} = 9549 {n} KW{P}=159.2KW{n}r / minr/sM e ×ω(rad / s) =Me×2π×n 60=1000PP552薄壁圆筒扭转切τ = M e应力2π R02δ式中：δ---壁厚R0=d +δ 2=D ?δ 23圆轴扭转切应力 (横截面上距圆心为ρ 的任意点τ)τρ=Tρ IP适用于线弹性材料圆截面 P59圆轴扭转强度条件[ ] τ max= Tmax R IP= Tmax Wp≤τ4式中：Wp=IP R--抗扭截面系数P60实心圆轴： I p= πd4 32;Wt= πd3 16空心圆轴： I p=π D4 32(1?α 4 ) ;Wt=π D3 16(1?α 4 )圆轴 5扭转角等截面圆 ? = Tl轴GI p等截面薄 ? = Tl壁圆管2Gπ R03δ式中：(1) GI p ---抗扭刚度；(2) 此式若长度单位用 mm，则 G 单位用 MPaLP86I p薄=2π R03δ→ τ薄圆管=Me 2π R02δ6刚度条件（单位长度扭转角）， max=? l=Tmax GI p× 1800 π≤, ??单位： (0 ) / mLP87单位体积剪切应变能密度νε=1τr 2=τ2 2G7等直圆杆扭转时的应变能Vε= 1 T 2l 2 GI p= GI p ? 2 2l→ 弹簧变形量：V ε=1 T 2l2 GIp（FR）2 2π Rn =2GI p=W=18FD3 nF ? Δ ? Δ = ...=2Gd 4P718弹簧丝横截面上最大剪应力（强度条件）τ max=k8FD πd3=4c ?1 ( 4c ? 4+0.615 )c8FD πd3≤[τ]式中：k---曲度系数； c---弹簧指数（ c = D ）d-2-弹簧变形量材料力学公式汇总λ=F C=8FD3n Gd 4≤λmax=lnd式中：C—弹簧刚度，即弹簧抵抗变形的能力； n---弹簧有效圈数；l---弹簧自由长度LP93矩形截面轴扭转切应力τ max=T wt=T α hb2；τ1 =ντ max9式中：τ max ---最大切应力，发生在截面长边 h 的中点处；τ1 ---短边 b 中点处切应力；αν ---与比值 h/b 有关的系数。
材料力学公式总结
材料力学公式总结材料力学是研究材料在外力作用下的力学性质和行为的学科。
它的研究对象包括材料的强度、刚度、塑性变形、断裂等方面的性质。
材料力学公式是用来描述和计算材料力学性质的数学表达式。
下面是材料力学公式的总结。
1. 杨氏模量（Young's modulus）：杨氏模量是衡量材料刚度的指标，表示材料在拉伸或压缩过程中的应力和应变之比。
杨氏模量的计算公式为：E=σ/ε其中，E为杨氏模量，σ为应力，ε为应变。
2. 泊松比（Poisson's ratio）：泊松比是描述材料压缩应变时的纵向收缩和横向膨胀之间的比例关系。
泊松比的计算公式为：ν=-ε横向/ε纵向其中，ν为泊松比，ε横向为横向应变，ε纵向为纵向应变。
3. 斯特劳斯公式（Stress-Strain Curve）：斯特劳斯公式描述了材料的应力和应变之间的关系。
在弹性阶段，应力和应变线性相关，即：σ=E*ε其中，σ为应力，E为杨氏模量，ε为应变。
4. 屈服强度（Yield Strength）：屈服强度是材料在超过弹性极限后开始发生塑性变形的应力。
屈服强度一般用屈服点上的应力值表示。
5. 弹性极限（Elastic Limit）：弹性极限是指材料在不发生塑性变形的最大应力值。
超过弹性极限后，材料将开始发生塑性变形。
6. 拉伸强度（Tensile Strength）：拉伸强度是材料在拉伸过程中最大的抗拉应力，表示材料抵抗破坏的能力。
7. 断裂强度（Fracture Strength）：断裂强度是材料发生破裂时所承受的应力。
它是材料在强度和脆性方面的一个重要指标。
8. 斯特劳斯硬化指数（Strain Hardening Exponent）：斯特劳斯硬化指数描述了材料在塑性变形时硬度增加的速率。
该指数可以通过材料力学实验和测试获得。
9. 塑性应变（Plastic Strain）：塑性应变是材料在超过弹性极限后发生塑性变形的应变量。
10. 线膨胀系数（Linear Expansion Coefficient）：线膨胀系数描述了材料在温度变化下长度变化的比例关系。
813材料力学
813材料力学材料力学，又称为固体力学，是研究材料在受力下的形变和破坏行为的学科。
它既是材料科学的一个分支学科，也是工程学中不可或缺的基础学科。
材料力学的主要研究内容包括材料的弹性、塑性、断裂力学等。
其中，弹性是指材料在受外力作用下，能够发生可逆变形的能力；塑性是指材料在超过一定限度的外力作用下，可以发生不可逆变形的能力；断裂力学则是研究材料在受力下发生破坏的行为。
塑性力学是研究材料在受大荷载作用下的不可逆塑性变形行为，塑性变形产生的原因是材料中一些原子原位移动而引起材料的形变，这种形变与弹性行为不同的是塑性变形不会消失。
断裂力学则是研究材料在受到一定的应力后，出现裂口并扩展至破坏的行为。
断裂行为是材料的一种不良状态，因此在工程实践中必须尽量避免发生断裂行为。
在材料力学研究中，科学家们经常会用到“应力”和“应变”这两个概念。
应力（σ）是材料单位面积内所受的力，通常以牛顿/平方米为单位表示；应变（ε）则是材料中发生的形变量，是指材料受到应力作用后相对于大小的变化。
材料力学在科技领域中扮演着非常重要的角色，它与一系列的工业过程息息相关，如建筑、道路、桥梁等的设计与建造都需要材料力学知识的支持；同时，材料力学也在科学领域中玩了重要的作用，如汽车碰撞试验和飞机部件研制等都是以材料力学理论为指导的。
材料力学的研究还可以用于创造新的材料，因此材料力学不仅对科学研究有意义，对技术实践也至关重要。
随着科学技术的发展，材料力学的发展也在不断取得新的成果。
现代材料力学已经由基本的受力分析转化为新的领域，如纳米力学、高速冲击力学和高温力学等。
另外，各种计算机领域算法的不断发展，也推动了材料力学的进步。
总之，材料力学是一个非常精彩的学科，它不仅具有理论的深度，同时也具备非常高的实用价值。
随着科技的不断进步，相信我们的材料力学研究将会取得更加令人瞩目的成果。
材料力学常用基本公式
材料力学常用基本公式材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏行为的学科。
在材料力学中，有一些常用的基本公式被广泛应用于力学分析和设计中。
以下是一些常用的基本公式：1. 应力（Stress）公式：应力是材料内部单位面积上的力。
常用的应力公式包括：- 正应力（Normal Stress）公式：σ = F/A，其中σ表示应力，F 表示作用力，A表示面积。
- 切应力（Shear Stress）公式：τ = F/A，其中τ表示切应力。
2. 应变（Strain）公式：应变是材料的形变量，用来描述材料的变形程度。
常用的应变公式包括：-线性应变公式：ε=(L-L0)/L0，其中ε表示应变，L表示受力前的长度，L0表示受力后的长度。
- 非线性应变公式：ε = ln(L/L0)，其中ln表示自然对数。
3. 弹性模量（Young's Modulus）公式：弹性模量是描述材料在弹性变形范围内的刚性程度的量。
常用的弹性模量公式为：E=σ/ε，其中E表示弹性模量，σ表示应力，ε表示应变。
4. 剪切模量（Shear Modulus）公式：剪切模量是描述材料在剪切应力下的变形程度的量。
常用的剪切模量公式为：G=τ/ε，其中G表示剪切模量，τ表示切应力，ε表示剪切应变。
5. 泊松比（Poisson's Ratio）公式：泊松比是描述材料在拉伸或压缩过程中横向变形和纵向变形之间的比例关系的量。
常用的泊松比公式为：ν=-ε横向/ε纵向，其中ν表示泊松比，ε横向表示横向应变，ε纵向表示纵向应变。
6. 弹性能量（Elastic Energy）公式：弹性能量是材料在弹性变形过程中所具有的能量，可通过力和变形之间的关系求得。
常用的弹性能量公式为：U=(1/2)Fε，其中U表示弹性能量，F表示作用力，ε表示应变。
7. 延伸长度（Elongation）公式：延伸长度是材料拉伸变形后的长度增加量，可通过应变和长度之间的关系求得。
材料力学公式完全版
材料力学公式完全版材料力学是研究材料内部力学性能的一门学科。
它是工程学中的一个重要分支，广泛应用于机械、土木、航空航天等领域。
在材料力学中，有一些重要的公式和方程式，下面是材料力学公式的完全版，共包含了应力、应变、变形、强度和刚度等方面的内容。
1.应力方面应力（σ）：表示单位面积上的内力。
常用的单位是Pa（帕斯卡）。
σ=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
2.应变方面线性弹性应变（ε）：表示材料由于受力而发生的形变。
ε=ΔL/L其中，ΔL为长度变化，L为初始长度。
3.变形方面胀缩变形（ΔL）：表示材料由于受热导致的体积变化。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，ΔT为温度变化。
4.应力-应变关系钢材的Hooke定律：描述材料的线性弹性行为。
σ=E×ε其中，E为弹性模量。
5.弯曲方面梁的弯曲应变（ε）：表示材料在弯曲时发生的形变。
ε=M/(E×I)其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面转动惯量。
6.胀缩方面热膨胀（ΔL）：表示材料在受热时的线膨胀。
ΔL=α×L×ΔT其中，α为热膨胀系数，L为初始长度，ΔT为温度变化。
7.强度方面拉伸强度（σt）：表示材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
8.刚度方面弹性模量（E）：表示材料在受力后发生弹性变形的能力。
E=σ/ε其中，σ为应力，ε为应变。
9.复合材料方面拉伸强度（σt）：表示复合材料在拉伸过程中能承受的最大应力。
σt=F/A其中，F为拉伸力，A为受力面积。
10.断裂方面断裂强度（σf）：表示材料在断裂前能承受的最大应力。
σf=F/A其中，F为断裂力，A为受力面积。
11.龙骨方面龙骨截面面积（A）：表示材料的截面面积。
A=b×h其中，b为龙骨宽度，h为龙骨高度。
12.塑性方面屈服强度（σy）：表示材料开始产生塑性变形的最大应力。
σy=F/A其中，F为受力，A为受力面积。
大学材料力学公式汇总
σ cr
=
π 2E λ2
max
;
Pcr
=
π 2 EI min
(μL)2
②中长受压杆： λp ≥ λ ≥ λs; σ cr = a − bλ
③短粗受压杆： λ ≤ λs ; σ cr =σ s 或 σ b
2、关于柔度的几个公式： 3、惯性半径公式： i = I z
A
λmax
=
⎛ ⎜⎝
μL i
⎞ ⎟⎠ max
E 1− μ2
(ε x
+
με y );
σy
=
E 1− μ2
(ε y
+
με x );
σz
=
0;
τ xy = Gγ xy
6、三向应力状态的广义胡克定律
( ) εi
=
1 E
⎡⎣σ
i
−
μ
σ j +σk
⎤⎦ ;
γ ij
=
τ ij G
;
(i, j, k = x, y, z; i ≠ j ≠ k )
7、平面应力状态下的应变分析主应变及其方位角
（1） εα
= εx
+εy 2
+ εx
−ε y 2
cos
2α
−
⎜⎜⎝⎛
−
γ
xy
2
⎟⎟⎠⎞ sin 2α
（2） ε max = ε x + ε y ±
ε min
2
⎛ ⎜ ⎝
εx
−ε 2
y
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
γ xy 2
⎞2 ⎟ ⎠
;
8、应变能密度分解定理体应变体弹性模量
材料力学公式大全
材料力学公式大全材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
在工程设计和分析中，材料力学公式起着至关重要的作用。
下面为大家详细介绍一些常见的材料力学公式。
一、应力与应变1、正应力公式：轴向拉伸与压缩时，正应力＄＼sigma ＝＼frac{F}｛A}＄，其中＄F$ 是轴力，＄A$ 是横截面面积。
圆轴扭转时，横截面上的切应力＄＼tau ＝＼frac{T}｛Ip}＄，＄T$ 是扭矩，＄Ip$ 是极惯性矩。
2、线应变公式：轴向拉伸与压缩时，线应变＄＼epsilon ＝＼frac{＼Delta L}｛L}＄，＄＼Delta L$ 是长度的改变量，＄L$ 是原长。
3、切应变公式：圆轴扭转时，切应变＄＼gamma ＝＼frac{r\theta}｛L}＄，＄r$ 是半径，＄＼theta$ 是扭转角，＄L$ 是轴的长度。
二、胡克定律1、轴向拉伸与压缩时：＄＼sigma ＝ E\epsilon$ ，其中＄E$ 是弹性模量。
2、剪切胡克定律：＄＼tau ＝ G\gamma$ ，＄G$ 是剪切模量。
三、杆件的内力1、轴力＄F_N$ ：通过截面法求解，沿杆件轴线方向的内力。
2、扭矩＄T$ ：外力偶矩对杆件产生的内力。
3、剪力＄F_Q$ 和弯矩＄M$ ：在梁的弯曲分析中，通过截面法求解。
四、梁的弯曲应力1、纯弯曲时的正应力：＄＼sigma ＝＼frac{M y}｛I_z}＄，＄y$ 是所求应力点到中性轴的距离，＄I_z$ 是横截面对于中性轴的惯性矩。
2、横力弯曲时的正应力：需要考虑切应力的影响，进行修正。
五、梁的弯曲变形1、挠度＄y$ 和转角＄＼theta$ 的计算公式：通过积分法或叠加法求解。
2、挠曲线近似微分方程：＄EIz'＇＝ M(x)＄。
六、组合变形1、拉（压）弯组合：分别计算拉伸（压缩）应力和弯曲应力，然后叠加。
2、弯扭组合：先计算弯曲应力和扭转切应力，然后根据强度理论进行强度校核。
材料力学公式最全总汇
外力偶矩计算公式（P功率，n转速）弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横截面面积A，拉应力为正）轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）纵向线应变和横向线应变泊松比胡克定律受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式轴向拉压杆的强度计算公式许用应力，脆性材料，塑性材料延伸率截面收缩率剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r ）圆截面周边各点处最大切应力计算公式扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆薄壁圆管（壁厚δ≤R0 /10 ，R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或等直圆轴强度条件塑性材料；脆性材料扭转圆轴的刚度条件? 或受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 平面应力状态下斜截面应力的一般公式,平面应力状态的三个主应力,,主平面方位的计算公式面内最大切应力受扭圆轴表面某点的三个主应力，，三向应力状态最大与最小正应力,三向应力状态最大切应力广义胡克定律四种强度理论的相当应力一种常见的应力状态的强度条件，组合图形的形心坐标计算公式，任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）纯弯曲梁的正应力计算公式横力弯曲最大正应力计算公式矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，，几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处弯曲正应力强度条件几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，梁的挠曲线近似微分方程梁的转角方程梁的挠曲线方程?轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式偏心拉伸（压缩）弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式剪切实用计算的强度条件挤压实用计算的强度条件等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.5压杆的长细比或柔度计算公式，细长压杆临界应力的欧拉公式欧拉公式的适用范围压杆稳定性计算的安全系数法压杆稳定性计算的折减系数法关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析2 内力和内力图6 强度计算7 刚度校核8 压杆稳定性校核10 动荷载9 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmax 4、平面弯曲 ①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I Mz tmax c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max5、斜弯曲 []σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t zmax t σσ≤+=y I M A N z[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z 2n2w 2n 2w r34W M M ②第四强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M二、变形及刚度条件 １、拉压 ∑⎰===∆LEAxx N EAL N EANLL d )(ii ２、扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ） ３、弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)( (2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI ML B =θ EIPL B 22=θ EI qL B 63=θEI ML f B 22=EIPL f B 33= EI qL f B 84=EI ML B 3=θ,EI ML A 6=θ EIPL A B 162==θθ EI qL A B 243==θθEI ML f c 162=EI PL f c 483= EIqL f c 3844= (4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==i i i EI L M 22∑=()⎰EI dxx M 22 PAB MAB A BqL LLLL(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆i i P U ()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= yx xy σστα--=22tg 0 ３、二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-= 注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450４、三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥ 最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x E μσσε-=)(1x y y E μσσε-= )(y x z E σσμε+-= Gxy xy τγ= （2）、表达形式之二（用应变表示应力） )(12y x x E μεεμσ+-= )(12x y y Eμεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ= 6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x E σσμσε+-=1()z y x ,, Gxy xy τγ= ()zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s s n σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xyyx yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xy（2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg 四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE= ②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆 s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式 i Lμλ= p 2p σπλE= ba s s σλ-=3、惯性半径公式AI i z =（圆截面 4di z =，矩形截面12min b i =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击） st20d ∆=g v K （水平冲击） 六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D Dd =α ⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh 123hb323maxd y I W zz π==()43132απ-D 62bh 62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。
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现代远程教育《材料力学》课程学习指导书作者：樊友景第一章绪论（一）本章学习目标：1、理解材料力学的任务。
2、掌握变形固体的基本假定，杆件变形的基本形式。
（二）本章重点、要点：1、材料力学的任务。
2、变形固体的基本假定，基本形式的形式。
（三）本章练习题或思考题：1、单项选择题1-1、由于什么假设，构件内的内力、应力、变形可以用点的位置坐标的连续函数表示。
A、连续性假设B、均匀性假设C、各向同性假设D、小变形假设1-2、变形固体受力后A、既产生弹性变形又产生塑性变形B、不产生弹性变形也不产生塑性变形C、只产生弹性变形D、只产生塑性变形1-3、构件要能够安全正常的工作，它必须要满足A、强度条件B、刚度条件C、稳定性要求D、强度条件、刚度条件、稳定性要求1-4、下列哪些因素与材料的力学性质无关？A、构件的强度B、构件的刚度C、构件的稳定性D、静定构件的内力1-5、下列论述错误的是A、理论力学主要研究物体机械运动的一般规律B、材料力学研究杆件受力后的变形和破坏规律C、理论力学和材料力学研究的是刚体D、材料力学研究的问题与材料的力学性质密切相关第二章轴向拉伸与压缩（一）本章学习目标：1、熟练掌握截面法求轴力和轴力图绘制。
2、掌握横截面上的应力计算及拉压强度计算；拉压胡克定律、变形与位移的计算。
3、理解材料拉伸和压缩时的力学性能，安全系数，容许应力的概念。
（二）本章重点、要点：1、能熟练地绘制轴力图，求横截面上的正应力及拉压杆的变形。
2、能熟练地进行拉压杆的强度计算。
（三）本章练习题或思考题：1、单项选择题1-1、两根长度、容重相同的悬挂杆横截面面积分别为A2和A1，设N1、N2、σ1、σ2分别为两杆中的最大轴力和应力，则A、N1=N2、σ1=σ2B、N1≠N2、σ1=σ2C 、N 1=N 2、σ1≠σ2D 、N 1≠N 2、σ1≠σ21-2、虎克定理的适用范围是应力小于或等于A 、比例极限B 、弹性极限C 、屈服极限D 、强度极限1-3、轴向拉杆的变形特点是A 、轴向伸长横向收缩B 、轴向伸长横向伸长C 、轴向收缩横向收缩D 、轴向收缩横向伸长1-4、一圆截面直杆，两端受的拉力相同，若将长度增大一倍其他条件不变，则下列结论错误的是A 、轴力不变B 、应力不变C 、应变不变D 、伸长量不变1-5、一圆截面直杆，两端受的拉力相同，若将直径增大一倍其他条件不变，则A 、轴力不变B 、应力不变C 、刚度不变D 、伸长量不变2、作图示拉压杆的轴力图并求其总伸长量。
已知 F 1=10kN ；F 2=20kN ；F 3=35kN ；F 4=25kN ；各段长度均为2m ，横截面面积均为200mm 2，E=200GPa 。
3、作图示阶梯形直杆的轴力图，求最大正应力和A 点的位移。
已知：A 1=200mm 2，A 2=250mm 2，A 3=350mm 2，E=200GPa 。
4、AB 杆圆钢，直径d=21mm ，AC 为8号槽钢，若P=30kN ，许用应力[σ]=170MPa 。
试对该支架进行强度校核。
5、钢筋混凝土屋架，下弦杆AB 杆为钢拉杆，直径d=22mm ，许用应力[σ]=170MPa 。
试对钢拉杆进行强度校核。
第三章 剪切（一）本章学习目标：1、掌握连接件的受力分析。
2、了解连接件的剪切和积压实用计算。
（二）本章重点、要点：1324A 题3图1、掌握连接件的受力分析。
（三）本章练习题或思考题：1、单项选择题1-1、剪切面上的剪应力在剪切面上A、均匀分布B、按抛物线规律分布C、按线形规律分布D、分布必较复杂，假定是均匀分布1-2、连接件的计算挤压面均应取A、圆柱面B、实际挤压面C、半圆柱面D、平面1-3、剪切变形的特点是A、受一对等值反向共线的轴向力作用B、受一对等值反向的力偶作用C、受一对等值反向共线的横向力作用D、受一对等值反向作用线相距很近的横向力作用1-4、下列哪个量与材料力学性质无关A、弹性模量EB、剪切弹性模量GC、泊松比νD、拉应力σ1-5、圆轴是以什么变形为主的杆件？A、拉伸变形B、扭转变形C、弯曲变形D、剪切变形第四章扭转（一）本章学习目标：1、掌握纯剪切、剪应变、剪应力互等定理、剪切胡克定律、剪切弹性模量等概念。
2、理解极惯性矩、抗扭截面模量、扭转角等概念。
3、能熟练地绘制扭矩图、计算圆柱扭转时横截面上的应力。
（二）本章重点、要点：1、纯剪切、剪应变、剪应力互等定理、剪切胡克定律、剪切弹性模量等概念。
2、极惯性矩、抗扭截面模量、扭转角等概念。
3、熟练掌握扭矩图绘制、计算圆柱扭转时横截面上的应力。
（三）本章练习题或思考题：1、单项选择题1-1、外力偶矩m（单位N.m）与功率P（单位马力）和转速n（单位转/分）的关系式Pm an中的系数a=A、5000B、7024C、9550D、100001-2、材料的弹性模量E，剪切弹性模量G，泊松比ν之间的关系是A、G=EB、G=0.5EC、G=2(1+ν)ED、E=2(1+ν)G1-3、空心圆轴受扭时，最小剪应力发生在A、外边缘上各点B、内边缘上各点C、竖向直径上各点D、水平直径上各点1-4、某一实心圆轴，若将其横截面面积增大一倍，其他条件不变，则最大许用扭矩为原来的A 、1.414倍B 、2倍C 、2.828倍D 、4倍1-5、实心圆轴受扭，如将圆轴直径改为原来的一半，其他条件不变，则圆轴内的最大扭转角变为原来的A 、8倍B 、1/8C 、16倍D 、1/162、传动轴如图示，主动轮A 输入功率P A =50马力，从动轮B 、C 、D 输出功率分别为P B =P C =15马力，P D =20马力，轴的转速为n=300r/min 。
试画出轴的扭矩图。
3、圆轴AB 传递的功率为P=7.5kW ，转速n=360r/min 。
AC 段为实心，CB 段为空心。
已知D=3cm ，d=2cm 。
试求AC 和CB 段的最大与最小剪应力。
第五章 截面的几何性质（一）本章学习目标：1、了解静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主轴、形心主轴和形心主惯性矩的定义。
2、掌握惯性矩的平行移轴公式及其应用。
3、熟练掌握简单组合截面的静矩、形心和形心主惯性矩的计算。
（二）本章重点、要点：1、静矩、惯性矩和惯性矩的平行移轴公式及其应用。
2、简单组合截面的静矩、形心和形心主惯性矩的计算。
（三）本章练习题或思考题：1、单项选择题1-1、一直线将截面分为大小两部分，这两部分面积对某一形心轴的静矩的关系是A 、这两部分对形心轴的静矩相等B 、这两部分对形心轴的静矩的绝对值相等C 、这两部分对形心轴的静矩均为零D 、面积大的部分静矩也大1-2、平面图形惯性积的量纲是A 、长度B 、长度二次方C 、长度三次方D 、长度四次方1-3、平面图形的静矩的量纲是A 、长度B 、长度二次方C 、长度三次方D 、长度四次方1-4、若截面关于一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对正交坐标轴一定是A 、形心轴B 、主惯性轴C 、对称轴D 、形心主轴题2图题3图1-5、平面图形的惯性积取值情况是A 、恒为零B 、恒为正C 、恒为负D 、可为正、可为负、可为零2、求图示图形的形心坐标。
3、求图示图形的形心坐标y c ，并求形心主惯性矩I z 。
4、求图示图形的形心坐标y c ，并求形心主惯性矩I z 。
第六章 弯曲内力（一）本章学习目标：1、理解平面弯曲的概念，梁的计算简图；剪力和弯矩的概念，剪力方程和弯矩方程建立。
2、会熟练地绘制剪力图和弯矩图。
3、掌握弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系、内力图的形长特征及其应用。
（二）本章重点、要点：1、绘制剪力图和弯矩图。
2、弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系、内力图的形长特征及其应用。
（三）本章练习题或思考题：1、单项选择题1-1、什么梁可不求支座反力，直接求截面内力？A 、简支梁B 、悬臂梁C 、外伸梁D 、静定梁1-2、集中力偶作用处，梁的剪力图A 、发生突变B 、出现尖点C 、无变化D 、发生拐折1-3、集中力偶作用处，梁的弯矩图A 、发生突变B 、出现尖点C 、无变化D 、发生拐折1-4、当横向外力作用在杆件的纵向对称面内时，杆件将发生A 、轴向变形B 、剪切变形C 、平面弯曲D 、斜弯曲1-5、当截面上的剪力使其所在分离体产生A 、顺时针转动趋势时为正B 、逆时针转动趋势时为正C 、下凸上凹的变形时为正D 、上边受拉时为正2、求图示外伸梁指定截面内力。
题4图y c 题3图 题2图3、作图示梁的剪力图和弯矩图。
第七章 弯曲应力（一）本章学习目标：1、理解弯矩与曲率之间的关系，抗弯刚度，抗弯截面模量。
2、熟练掌握弯曲时梁的正应力计算，梁的正应力强度计算。
3、掌握矩形截面梁的弯曲剪应力计算、工字型截面梁、圆形截面梁横截面上的最大剪应力计算，梁的剪应力强度校核。
（二）本章重点、要点：1、弯曲时梁的正应力计算，梁的正应力强度计算。
2、矩形截面梁的弯曲剪应力计算、工字型截面梁、圆形截面梁横截面上的最大剪应力计算，梁的剪应力强度校核。
（三）本章练习题或思考题：1、单项选择题1-1、集中力作用处的截面剪力A 、大于零B 、小于零C 、等于零D 、不确定1-2、弯曲变形的变形特点是A 、轴线伸长B 、相邻截面相互错动C 、杆件表面纵向线变成螺旋线D 、杆件的轴线由直线变成曲线1-3、集中力偶作用处的截面弯矩A 、大于零B 、小于零C 、等于零D 、不确定1-4、横向力是作用线与杆件轴线A 、垂直的力B 、平行的力C 、重合的力D 、相交的力1-5、纯弯曲梁段内的横截面的内力有A 、弯矩和剪力B 、只有弯矩C 、只有剪力D 、只有轴力题3图 2m 2m 2m10kN/m2m 2m 2m(b )(d )题2图 (a ) (b )2、求图示悬臂梁1-1截面上A 、B 、C 三点弯曲正应力。
3、图示悬臂梁许用应力[]170MPa σ=，试按正应力强度条件选择下述截面的尺寸。
并比较耗材。
4、图示矩形截面梁，求1-1截面上A 处剪应力；比较梁中σmax τmax 。
若采用32a 工字钢，求τmax 。
5、简支梁的受力与截面尺寸如图示。
已知材料的容许应力为[σ]=160Mpa[τ]=90Mpa ，d =160mm 。
试校核梁的强度。
（12分）6、简支梁的受力与截面尺寸如图示。
已知材料的容许应力为[σ]=160Mpa[τ]=90Mpa ，b =80mm ，h =120mm 。
试校核梁的强度。
（12分）第八章 弯曲变形（一）本章学习目标：1、理解梁的变形和位移的概念，挠度和转角之间的关系。
用积分法求梁的挠度和转角；用叠加法求梁的挠度和转角；梁的刚度校核；题2图 q =20kN/m题3图题4图 15kN 18kN 题5图 B 10kN.m b题6图2、掌握梁的挠曲线近似微分方程的建立，位移边界条件和连续条件的建立。