圆锥曲线存在性问题

圆锥曲线中的存在性问题

、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）

存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成

立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0

（2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）

（3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量

的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题:

于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为

在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由

解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1

a 3

2 2

例1 :已知椭圆C :笃每 1 a

a b

0的离心率为

过右焦点F 的直线I 与C 相交

（1 ）求a,b 的值

（2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P

成立？若存

则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时

d o 解得:

、、3,b 椭圆方程为:

X2 2 y

2

(2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X

2,y2 当l斜率存在时，设

X o X1 X2 联立直线与椭圆方程:

3k2 2 x2 6k2x

X 1

6k2

X

23k2 2

6k2

3k2 2'

6k2

3k2 2

4 2

72 k 48k

y o y1

y

2 2

2x 3y

3k2

y1 Y2 k

y2

消去

6

X-| x2

y 可得：2x2 3k2

2k

6k3

3k2

2k

2

1 6，整理可得:

4k

3k2 2

4k

3k2 2

因为P在椭圆上

2

6 3k 2 2 2

24 k 3k 3k2

24k2 6 3k2

.2

.2 时，I 3 V2 2，2

当斜率不存在时，可知4,B

3 2,0不在椭圆上

1,

3

，P 3,—或 l: y /2 x 1，P 3

,三

2 2 2 2

2 2

例2：过椭圆：笃占 1 a

a 2 b

2

(1)求椭圆 的方程

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆

OP OQ ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

c 2 1

椭圆

4m 2 4 4k 2 1

焦点，已知 [ARB 的周长为8, 椭圆的离心率为-

2

解：(1 )由 jARB 的周长可得:

4a 8

(2) 假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

若直线PQ 斜率存在，设 PQ: kx

I PQ 与圆相切 d o 2

k 2

联立方程:

OP OQ 即

x 1x 2

yy 0

y kx m x 2

4y 2

4

1 4k

2 x 2 8kmx

4m 2

y"

k 2x 1x 2 km 为 x 2 k 2 1 为

x 2

km x 1 X 2

m 2

综上所述：l : y 2 x 1

b 0的右焦点F 2的直线交椭圆于 代B 两点，F i 为其左

恒有两个交点P,Q ，且

b 2

X 1 X 2

8km

5m24k2将m2

5r2

2 2

5m 4k 4

4k2 1 4 0对任意的1代入可得:

4 k2 1 0

存在符合条件的圆，其方程为: 当PQ斜率不存在时，可知切线若PQ:x

O P O Q

若PQ:x m,k均成立5r2 k2

PQ为

M5，则P¥

8km

4k21

4 k2

5

2花

5

2.5

J

5 PQ：x 5'5符合题意

5砧，同理可得也符合条件

综上所述，圆的方程为:

m2

2 2 例3:已知椭圆二 -^2

a2b20经过点0八3，离心率为1，左，右焦点分别为

2

F

1

c,0和F2c,0

(1)求椭圆C的方程

(2)设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M 4,0作斜率为k k 0的直线I，交椭

圆C于B,D两点（B在M , D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1

①证明：k k1为定值

②是否存在实数k，使得F1N AD ?如果存在，求直线I的方程；如果不存在，请说明理由

解：（1）依题意可知：e

2可得：a:b:c 2: 3:1