第七章 刚体动力学1A
理论力学1A全本课件7章刚体的平面运动ppt课件教案
(） (）
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
运动为圆周运动的合成 va vB;ve vA;vr vBA,
vAB 大小 AB,方向 AB, 指向与 转向一致．
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
aB aA aBA aBAn
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aB aA aBA aBAn
其中：aBA AB ，方向AB，指向与 一致； aBAn AB 2 ，方向沿AB，指向A点。
即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕 基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度 的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速 度的基本方法。
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
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[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，
取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时,
滑块B的速度及AB杆的角速度． 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运
动,滑块B作平动。 基点法（合成法）
大小？ √ ？ √
方向√ √ √ √
作加速度矢量图，将上式向BA线上投影 aB cos 30 0 0 aBAn
aB
aBA
n
/c
os30
20 3
3 2 /
3 2
刚体动力学
以上论及的只是单刚体动力学。由于现代科学技术的发展，多刚体系统动力学的研究也正在开展中（见多刚 体系统）。
参考文献
1、词条作者：陈滨．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学词条：刚体动力学：中国大百科全书出版社， 1987 ：168-170页．
谢谢观看
逐项类比。同质点质量m对应的量是Iz。m是质点运动时惯性的度量；Iz则是刚体定轴转动时转动惯性的度量。 这正是Iz称为“转动惯量”的来由。
应用刚体定轴转动的微分方程（2）可以对物理摆的运动规律、旋转机械输入和输出功率同平衡转速的关系进 行研究。刚体定轴转动的另一重要研究课题是支承的动载荷。动载荷是与刚体转动角速度有关的载荷。当刚体既 满足静平衡——刚体的重心在转动轴上，又满足动平衡——旋转轴是惯性主轴时，支承才不受动载荷的作用。这 个结论在工程上有重要价值（见动平衡）。
刚体平面运动是机器部件一种常见的运动形态，例如曲柄连杆、滚轮等的运动。过刚体质心作刚体平面运动 的固定平面，此平面在刚体上截得一平面图形。此图形在上述固定平面上的运动完全刻画了刚体的平面运动。由 运动学可知，刚体的平面运动可由质心C在平面上相对固定坐标系Oxy的运动和刚体绕过C并同固定平面垂直的轴 Cz的转动合成（图2）。刚体的旋转轴Cz虽然在空间中变动，但它的方向不变，相对刚体的位置也不变，因而刚 体绕Cz轴旋转的转动惯量是常值Iσ，绕Cz轴的动量矩为
刚体一般运动是对惯性坐标系而言的。设C为刚体的质心，Cxyz为同刚体固联的质心惯性主轴坐标系。因刚 体一般运动可分解为平动和绕质心的转动，故应用质心运动定理和对质心的动量矩定理，可以立即建立刚体一般 运动的微分方程组：
力学(Mechanics)第七章刚体平面动力学
作用在刚体上的力是滑移矢量(sliding vector):
将力
F
的作用点沿着其作用线由A移动到B：
F
F
F
MO
dLO dt
F maC
C A F
O
B
• 不改变对刚体质心运动的影响
• 对参考点O的力矩不变 对刚体转动的影响不变
均质物体
rC
rdV
V
dV
V
2011年12月7日 8:00-9:50
7.2 刚体的动量和质心运动定理
2
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
角动量定理:
(MOi )ext
dLO dt
(O: 固定点或刚体质心)
外力的力矩使刚体 绕空间某点转动
适用于刚体 的一般运动
2011年12月7日 8:00-9:50
7.2 刚体的动量和质心运动定理
5
7.2.2 基本动力学方程
2. 内力对刚体运动的影响
• 不影响刚体质心的运动和刚体的角动量； • 内力所作的总功为零
2011年12月7日 8:00-9:50
7.2 刚体的动量和质心运动定理
9
7.2.4 力偶和力偶矩
1. 力偶(couple):
大小相等、方向相反、彼此平行且非共线的一对力.
合力为零不影响刚体的平动 只影响刚体的转动 力偶矩
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
理论力学课件07第七章-刚体的简单运动PPT课件
26n03n01n0(rad) /s
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t2
精选2பைடு நூலகம்
与点的运动相类似。
9
§7－3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
z
S R
v
dS dt
Rddt
2avr2
av 2 r2
av2
2 r3
精选
17
（例2）
升降机装置由半径R＝50cm的鼓轮带动，被升降物体M 的运动方程为x=5t2（t：时间，秒；x：高度，米），求： （1）鼓轮的角速度和角加速度； （2）任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
解： (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为：
1
4
公式，有：
3
i12
n1 n2
Z2 Z1
n1
i 34
n3 n4
Z4 Z3
两式相乘，得：
精选
25
n1n3 Z2Z4
n2n4
Z1Z3
因 n2= n3 ，所以有：
i14 n n 1 4Z Z 2 1Z Z 3 4131 6 1 3 22 2 1 8.4 2
n4in 1141 14 2 .450 117(r/min)
③
ω α
θ a3
精选
12
〔例1〕画点的速度和加速度
试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O 1 A O 2 B , O 1 O 2 A)B
ω为常数 αα
精选
13
《刚体动力学 》课件
常用方法：拉格朗日方程、 哈密顿原理等
注意事项：需要熟练掌握 数学基础
数值法
定义：数值法 是一种通过数 值计算求解刚 体动力学问题
的方法
特点：精度高、 计算速度快、 适用于复杂问
题
常用算法：有 限元法、有限 差分法、有限
体积法等
应用领域：航 空航天、机械 制造、土木工
程等领域
近似法
近似法的定义和特点
刚体转动实例
风力发电机：利用风力驱动风车叶片旋转，通过变速器和齿轮装置将动力传递至发电机，最终 转化为电能。
搅拌机：利用电动机驱动搅拌器旋转，对物料进行搅拌、混合和输送等操作。
洗衣机：利用电动机驱动洗衣机的滚筒旋转，通过水和洗涤剂的作用将衣物清洗干净。
旋转木马：利用电动机驱动旋转木马旋转，使人们能够欣赏到各种美丽的景观和音乐。
物理教师
需要了解刚体 动力学知识的
相关人员
Part Three
刚体动力学概述
刚体定义
刚体：在运动过程中，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 刚体运动：刚体的运动是相对于其他物体的位置和姿态的变化
刚体动力学：研究刚体运动过程中所受到的力、力矩以及运动状态变化规律的科学
刚体动力学的研究对象：各种工程实际中的刚体，如机械零件、构件、机构等
动能定理
定义：动能定理是描述物体动能变化的定理 表达式：动能定理的表达式为ΔE=W 应用范围：动能定理适用于一切具有动能变化的物理系统 注意事项：在使用动能定理时需要注意初始和终了状态的动能
Part Five
刚体动力学应用实 例
刚体平动实例
刚体平动定义 刚体平动应用实例1 刚体平动应用实例2 刚体平动应用实例3
刚体动力学在各领 域的应用
《刚体动力学》课件
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
添加标题
公式：F=ma
添加标题
添加标题
注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
刚体的一般运动的运动学和与动力学动力学
加速度
刚体在一段时间内速度的 变化率，表示刚体速度变 化的快慢。
刚体的平动
平动
刚体在运动过程中，其上任意两 点都沿着同一直线作等距离的移 动。
平动特点
刚体上各点的速度和加速度都相 等，与参考系的选择无关。
刚体的转动
转动
刚体绕某一定点做圆周运动。
转动特点
刚体上各点的速度和加速度大小相等，方向不同。
阻尼振动
阻尼振动是指由于阻力作用而使振动系统受到损 耗的振动。
受迫振动
受迫振动是指在外力作用下产生的振动。
刚体的稳定性和平衡性
静态平衡
刚体在静止状态下，如果受到微小扰 动后能恢复到原来的平衡位置，则称 该平衡为静态平衡。
动态平衡
刚体在运动状态下，如果受到微小扰 动后能保持原来的运动状态不变，则 称该平衡为动态平衡。
感谢观看
THANKS
刚体的平衡
总结词
刚体的平衡是指刚体在运动或静止时，其上各点的加速度均为零的状态。
详细描述
刚体的平衡可以通过力的合成和分解来分析。当刚体处于平衡状态时，其上各点的加速度均为零，即合外力为零。 根据力的平移定理，可以将力的作用点平移至刚体的质心，从而将刚体平衡问题转化为质点平衡问题。同时，根 据力矩平衡条件，可以得出刚体平衡的条件为合外力矩为零。
力矩和角速度
总结词
力矩是力和力臂的乘积，它描述了力对刚体转动的效应；角速度是描述刚体转动快慢的 物理量。
详细描述
力矩是力和力臂的乘积，其方向垂直于力和力臂所在的平面。力矩可以改变刚体的转动 状态，包括转动方向和角速度大小。角速度是描述刚体绕固定点转动的快慢的物理量， 其方向与转动方向相同。公式表示为M=FL，其中M表示力矩，F表示力，L表示力臂。
《大学物理期末复习》刚体动力学课件
刚体的自由振动
总结词
刚体的自由振动是指刚体在无外力作用下的振动，其振动频率由刚体的固有属性决定。
详细描述
刚体的自由振动是由其内部的弹性力和惯性力相互平衡而产生的。当刚体受到初始扰动 时，其内部的弹性力会试图将其恢复到平衡位置，而惯性力则试图保持其运动状态不变。 在无外力作用的情况下，这种相互作用会导致刚体进行周期性的振动。刚体的自由振动
自行车行驶的稳定性分析
自行车行驶的稳定性是保证骑行安全的关键因素之一。通过 刚体动力学原理，可以分析自行பைடு நூலகம்在行驶过程中的稳定性和 倾倒趋势。
在自行车倾倒过程中，车轮与地面之间的摩擦力、车身的质 心位置和转动惯量等因素都会影响自行车的稳定性。了解这 些因素之间的关系，有助于优化自行车的设计和骑行技巧， 提高行驶的安全性和稳定性。
ERA
刚体的定义与特性
刚体的定义
01
刚体是指在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持
不变的物体。
刚体的特性
02
刚体具有不可变形的特性，其形状和大小在力的作用下不会发
生改变。
刚体的运动
03
刚体的运动是指刚体在空间中的位置随时间的变化而变化的过
程。
刚体运动的基本形式
01
平动
转动
02
03
振动
刚体在空间中的位置随时间变化， 但刚体的各个点都沿着同一直线、 以相同的速度移动。
THANKS
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《大学物理期末复习》刚
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
体动力学课件
• 刚体动力学概述 • 刚体的转动惯量 • 刚体的转动定律 • 刚体的振动与波动 • 刚体动力学应用实例
951力学基础考试大纲
951力学基础考试大纲(2012版)注意：总分150分，理论力学部分占40%，材料力学部分占60% 。
第一部分理论力学大纲一、基本要求静力学1、几何静力学（第1－3章）基本内容：静力学的基本公理，受力分析，力系简化的基本方法和有关力学量的基本计算，平衡方程的建立与求解，摩擦（滑动摩擦和滚动摩擦）问题，桁架内力的计算，平衡结构的静定性问题。
基本要求：深入理解静力学中有关的公理，熟练掌握刚体（刚体系）的受力分析，力系简化的基本方法和有关基本概念和基本量的计算，能够确定给定力系作用下独立平衡方程的数目，能够用定性和定量的方法研究刚体（刚体系）的平衡问题。
能够分析研究考虑摩擦时刚体或刚体系的平衡问题以及平面桁架的内力计算问题。
2、分析静力学（第4章）基本内容：各种力（重力、弹性力、有势力、摩擦力、合力、等效力系）的功，约束及其分类、广义坐标和自由度、虚位移与虚功、理想约束、虚位移原理及其应用、有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
基本要求：熟练计算各种力的功，能够确定系统的约束类型，确定系统的自由度和广义坐标，理解虚位移的基本概念，会判断约束是否是理想约束；能够熟练应用虚位移原理求解质点系平衡问题；会判断有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
动力学1、质点动力学（第五章）基本内容：质点的运动方程、速度、加速度的各种表示方法（矢量法、直角坐标法、自然坐标法）以及有关基本量的计算，质点运动微分方程，点的复合运动（三种运动分析、速度合成定理和加速度合成定理），质点相对运动动力学基本方程。
基本要求：熟练掌握质点运动方程、速度和加速度的各种表示方法和有关基本量的计算，能够熟练建立质点运动微分方程，对于简单的运动微分方程能够求解。
熟练应用点的复合运动的基本理论与方法研究点的复合运动（速度和加速度）问题，能够在非惯性参考系下建立质点相对运动动力学基本方程，具有对质点的运动学和动力学问题进行定性和定量分析的初步能力。
2、质点系动力学（第六章）基本内容：质点系的动量定理、变质量质点动力学方程、动量矩定理（包括对固定点、动点和质心的动量矩定理）、动能定理及其有关基本量的计算。
基础物理课件PPT-第13讲-第七章-刚体力学
第13讲：刚体力学
第七章 刚体力学
§7-1.刚体运动学 §7-2.定轴转动惯量 §7-3.定轴转动与动能定理 §7-4.应用例题
理学院 物理系 陈强
2.刚体平动时的速度与加速度
由图所示A、 B两点
有 rB rA AB 求导
∵
AB C（常矢量）
drB drA d ( AB )
x
mi
理学院 物理系 陈强
§7-3. 刚体定轴转动定理与角动量守恒
Z F//
F
一.力对轴和点的力矩
如图, 力F 对Z轴的力矩 MZ
Or
大小: 方向: 同理,
与MrZ、FF成r s右in旋 关系 力F 对X轴的力矩:
M MX
X
Z
r
F
r F//
F Y
综上所述,
F
对O 点的力矩为
r F MX MY MZ MO
2
各质元绕轴角速度相同
L
dL
r
2dm
I
r dm
2. 刚体的角动量定理及角动量守恒定律
M外 dt
dL
dI
若
M外
0，则I
常量
I t
ω
It ω
当变形体所受合外力矩为零时,变形体的角动量守恒 如：冰上舞蹈, 花样滑冰等
理学院 物理系 陈强
§7-4. 定轴转动刚体的动能定理
一. 刚体的转动动能
'1
m1
m1 1
2
R
m22 R
1 2
MR2
0
2 R, m1 m2 m
解得
2
4
2m mM
1
1
1
刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，
刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不
同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，
但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平 面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通
过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴
的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转
轴的方位，可以统一地用角速度矢ω量 来描ω述。 的大小d
7.3.6
7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1
§1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保
持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， θ称为角坐标， 规定逆时针方向转动的θ为 正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转 动的运动学方程。
都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学 （对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
《大学物理期末复习》刚体动力学课件
掌握弹性力对刚体运动的影响
详细描述
弹性力是刚体动力学中另一个重要的问题。解决这类问题需要掌握弹性力的计算方法， 包括胡克定律和弹性常数的概念，以及弹性力在不同运动状态下对刚体运动的影响。同 时，还需要考虑弹性力与刚体质量、加速度等因素的关系，以及弹性力对刚体振动和稳
定性的影响。
01
02
03
阻尼振动定义
刚体在受到阻尼作用下的 振动状态。
阻尼振动特点
振动的能量逐渐减小，最 终趋向于静止状态。
阻尼振动方程
通过求解刚体的运动方程 ，可以得到阻尼振动的解 。
05
刚体动力学中的常见问题 与解决方法
刚体在非惯性系中的运动问题
总结词
理解非惯性系中刚体的运动规律
详细描述
刚体在非惯性系中的运动问题主要涉及到相对运动和科里奥利力。解决这类问题需要理解非惯性系中 刚体的运动规律，掌握科里奥利力的计算方法，以及如何应用这些概念来分析具体的物理现象。
在实际应用中，可以通过合理设计结构、选择合适的材料、加强维护保养等方式来提高刚体的平衡与稳 定性。
刚体的平衡与稳定问题也是物理学中的一个重要研究领域，对于深入理解力学原理、发展新的技术手段 等方面具有重要意义。
04
刚体的振动与阻尼
刚体的自由振动
自由振动定义
刚体在没有任何外力作用下的振动状态。
自由振动特点
振动的周期和振幅与初始条件有关，不受外力影响。
自由振动方程
通过求解刚体的运动方程，可以得到自由振动的解。
刚体的受迫振动
1 2
受迫振动定义
刚体在外力作用下的振动状态。
受迫振动特点
振动的周期和振幅与外力有关，与初始条件无关 。
北京航空航天大学951力学基础考纲
951力学基础考试大纲(2015版)注意：总分150分，理论力学部分占40%，材料力学部分占60%。
第一部分理论力学大纲静力学1、几何静力学（第1－3章）基本内容：静力学的基本公理，受力分析，力系简化的基本方法和有关力学量的基本计算，平衡方程的建立与求解，摩擦（滑动摩擦和滚动摩擦）问题，桁架内力的计算，平衡结构的静定性问题。
基本要求：深入理解静力学中有关的公理，熟练掌握刚体（刚体系）的受力分析，力系简化的基本方法和有关基本概念和基本量的计算，能够确定给定力系作用下独立平衡方程的数目，能够用定性和定量的方法研究刚体（刚体系）的平衡问题。
能够分析研究考虑摩擦时刚体或刚体系的平衡问题以及平面桁架的内力计算问题。
2、分析静力学（第4章）基本内容：各种力（重力、弹性力、有势力、摩擦力、合力、等效力系）的功，约束及其分类、广义坐标和自由度、虚位移与虚功、理想约束、虚位移原理及其应用、有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
基本要求：熟练计算各种力的功，能够确定系统的约束类型，确定系统的自由度和广义坐标，理解虚位移的基本概念，会判断约束是否是理想约束；能够熟练应用虚位移原理求解质点系平衡问题；会判断有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
动力学1、质点动力学（第五章）基本内容：质点的运动方程、速度、加速度的各种表示方法（矢量法、直角坐标法、自然坐标法）以及有关基本量的计算，质点运动微分方程，点的复合运动（三种运动分析、速度合成定理和加速度合成定理），质点相对运动动力学基本方程。
基本要求：熟练掌握质点运动方程、速度和加速度的各种表示方法和有关基本量的计算，能够熟练建立质点运动微分方程，对于简单的运动微分方程能够求解。
熟练应用点的复合运动的基本理论与方法研究点的复合运动（速度和加速度）问题，能够在非惯性参考系下建立质点相对运动动力学基本方程，具有对质点的运动学和动力学问题进行定性和定量分析的初步能力。
2、质点系动力学（第六章）基本内容：质点系的动量定理、变质量质点动力学方程、动量矩定理（包括对固定点、动点和质心的动量矩定理）、动能定理及其有关基本量的计算。
刚体运动动力学
I 0 r 2 dm
0
R
R
0
2rdr 1 m mR 2 r2 2 R 2
r
R
r dr
) d md 2 i i
2 i
平行轴定理
I MN I C md 2
L Lc L,
Lc rc mvc , L ri mi vi
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和 同一参考点 质心为参考点
6
1
2010/12/17
质心参考系
质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力
质心系中质点系动能定理
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
17 18
3
2010/12/17
对于平板刚体
z
xi
例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
ri
xi2 yi2 ri 2
x
yi
mi
y
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能 此轴到刚体质心的距离 d 刚体质心的速度
Ek
1 I MN 2 2
其中
1 1 Ek mi vi2 mi vi vi i 2 i 2
L ri mi vi
i
mi
ri rc ri , vi vc vi
ri
O
ri
rC
C
1 1 Ek mi vc vc mi vc vi mi vi vi i 2 i i 2 1 2 1 mvc vc mi vi mi vi2 2 i i 2 1 2 1 , Ekc mvc , 资用能Ek mi vi 2 Ek Ekc Ek 2 i 2
演示文稿第七章刚体力学
M滚 FN —滚动摩擦因数，由实验测定.
第26页，共34页。
FN
FNO
W
FP
M滚
FN
O W FP
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，从而 产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速.
滚动阻力因数´： / r, r是轮半径.
表7.2 是常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值
第27页，共34页。
O
第10页，共34页。
[解] (1)由机械能守恒得
mghc
1 2
I 2
hc
1 2
l
I 1 ml 2 3
联立得
v l 3gl
FN
en
et
Ep=0
C
W
(2)根据质心运动定理
FN W mac
分量式
FNn
mg
m
vc2 rc
FNt mact
第11页，共34页。
杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理
如何理解滚动摩擦 << 滑动摩擦 ？
F
M滚
FN
C
W
Ff
F' A C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为
Ff F FN W Ff r M滚 0 M滚 FN
联立得
F
Ff
r
FN
r
W
W
若滚子匀速平动 F FN W
表7.2与表3.2相比，有 F F
第28页，共34页。
§7.6 刚体的平衡
第20页，共34页。
[P239 例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均 停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽车质心离 地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对地面的压力
普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第七章-刚体力学习题解答
第七章刚体力学习题解答7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。
⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴21260/2)12003000(/7.15s rad t===-∆∆πωβ⑵rad 27.152)60/2)(12003000(21039.26222202⨯===∆⨯--πβωωθ对应的转数=42010214.3239.262≈⨯=⨯∆πθ7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dtd dtd -==-+==ωθβω7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。
边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t 2 (θ:rad,t:s)。
⑴t=0时，⑵自t=0开始转45º时，⑶转过90º时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影。
解：0.222.1==+==dtd dtd t ωθβω⑴t=0时，s m R v v y x /12.01.02.10,2.1=⨯====ωω2222/2.01.00.2/144.01.0/12.0/sm R a a s m R v a a y y n x =⨯===-=-=-=-=βτ⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/ssm R v s m R v y x /15.02/21.014.245sin /15.02/21.014.245cos =⨯⨯=︒=-=⨯⨯-=︒-=ωω222222222222/182.0)14.20.2(1.0)(45sin 45sin 45sin /465.0)14.20.2(1.0)(45cos 45cos 45cos s m R R R a s m R R R a y x -=-⨯=-︒=︒-︒=-=+⨯-=+︒-=︒-︒-=ωβωβωβωβ⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s2222/77.01.078.2/2.01.00.20/278.01.078.2s m R a s m R a v s m R v y x y x -=⨯-=-=-=⨯-=-==-=⨯-=-=ωβω7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速率ω=10rad/s 逆时针转动，求臂与铅直成45º时门中心G 的速度和加速度。
第七章刚体力学
第七章刚体力学在前面几章的学习中，我们先后讨论了质点、质点组在外力和内力作用下的运动规律。
在本章的学习中，我们将讨论质点组内各质点间无相对运动的一种特殊情况——刚体在外力作用下的运动规律。
刚体：在任何情况下形状大小都不发生变化的质点及合或各质点间没有相对运动的特殊质点系。
0,≡j i r d（i,j=1,2, ）刚体这一概念虽然是一种理想化抽象模型，但却十分有用，因此又必要将刚体力学作一番深入地探讨。
同质点力学的情况相同，我们也是从两方面研究刚体力学。
刚体力学今天学习的内容：§7﹒1刚体运动的描述所做的工作：讨论刚体定轴转动和平面运动的运动学特征。
§7﹒1刚体运动的描述与质点力学的情况相同，所谓对刚体运动进行描述，就是研究刚体内任一点随时间的变化情况——研究刚体内任一点的速度、加速度随时间的变化规律。
目前，我们着重讨论前三种类型的刚体运动。
（一） 刚体的平动刚体最基本的运动形式是平动和绕固定轴的转动。
所以在学习刚体运动学时，都是从研究平动和绕固定轴的转动开始的。
所谓平动指的是：在运动过程中，刚体中任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行或平行与自身的运动。
如图7-1所示，对刚体上任意二质点之间有关系式：ij i j r r r+=平动≡⇒ij r恒矢量，故而dtr d dt r d j i =及2222dt r d dt r d j i=所以，刚体平动时体内各质元的速度、加速度相等——任一点的运动均可代表整体的运动。
（二） 刚体绕固定轴的转动定轴转动，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动，且圆心在该直线上，并称该直线为转轴。
刚体运动学：研究刚体的运动情况以及如何对刚体的运动进行描述 刚体动力学：研究引起刚体运动状态发生变化的原因，进而阐明各种运动是如何由所受外力产生的。
刚体运动可分为五种类2、定轴转动 1、平动3、平面平行运动4、定点转动5、一般运动图7-1x图7-2建立直角坐标系，令z 轴与转轴重合，如图7-2有相同的x-y 坐标但z 不同质点都有相同的运动状态（a v,），任截面的运动可以代表整体的运动。
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BUAA
( xM , y M , z M )
§7-1
刚体平面运动的运动学
设刚体作平面运动，其上任意一点到Oxy面的距离保持不变
z
M
x A xM y A yM
把研究刚体 的平面运动转化为
o
A
y
研究平面图形S 的 运动。
x
2014-
5
BUAA
2014-12-08 9
BUAA
1、基点法
§7-1
刚体平面运动的运动学
Ax’y’为平移动系，B为动点
va ve vr
va v B , ve v A , vr rAB v BA
y
y'
v BA
B
vB B vA x'
x
v B v A v BA
2、速度投影法
A r0
3
2014-12-08
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
问题：如果汽车沿直 线行驶，车轮作什么 运动？ 平动动系：车身 研究对象：车轮 绝对运动： 平面运动 相对运动： 定轴转动 牵连运动： 直线平移
问题：用什么方法研究刚体的平面运动？ 刚体的平面运动是刚体的平移（牵连运动）与刚体 的“定轴”转动（相对运动）的合成。
§7-1
刚体平面运动的运动学
把研究刚体的平面运动转化为研究平面图形的运动。
2014-12-08
6
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
问题：如何描述刚体的转动，如何定义平面运动刚体的角速度
角速度：平面图形上任意一直线与某 一基准线的夹角随时间的变化率。
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7
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
一、刚体平面运动的运动方程 如何确定平面图形的位置
点A、B是平面图形上的任意两点
y
A
B’
B A’
f (t )
x A f1 (t ) y A f 2 (t )
A称为基点
o
速度与基点的选取无关。
x
刚体的角速度、角加
刚体的角速度和角加速度
f ' ( t )
BUAA
作业：7-1、7-2、7-4
第 七章 刚体动力学I
研究内容：平面运动刚体的运动学与动力学问题。
2014-12-08 1
BUAA
问题的引出
观察：车轮作什么运动？其运动有什么特点？
2014-12-08
2
BUAA
O
问题的引出
A B
连杆AB作什么运动？运动有什么特点？
•刚体的平面运动（plane motion of rigid bodies)： 刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的 距离保持不变。
刚体平面运动的运动学
侧方停车
2014-12-08
24
BUAA
应用速度瞬心法分析侧方停车
2014-12-08
25
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
2014-12-08
26
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
2014-12-08
27
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
解：1、研究AB杆， 确定AB杆的速度瞬心 AB杆的速度瞬心在Cv点
A
（2）直观了解平面运动图形上各点的速度分布。
2014-12-08 19
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
P
2014-12-08 20
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
1
v1
v3
v4
2
问题： 1：转弯时两个前轮的转角是否相同? 2：车辆的转弯半径与哪些因素有关？
2014-12-08 21
P
瞬时的速度瞬心作瞬时转
S
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动。
17
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
4、确定速度瞬心位置的方法 已知A、B两点的速度方向， 试确定速度瞬心的位置。
vA
A
B
vB vA vB
A
A
vA vB vB
A
vA
B
A
vA vB
B
B B
瞬时平移
（a）
2014-12-08
（b）
（c）
（d）
18
O
解：研究AB杆，取A为基点
vB v A
B
v B v A v BA
(1)
（1）式在AB杆上投影
v BA
（1）式在OA杆上投影
vB cos v A R
vB sin vBA vBA AB AB
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R 2 3R vB cos 3 vBA 1 AB AB 3
因此，在AL上必存在一点P ，其速度为零。
S
L
P
特点：速度为零的点P在A点速度的垂线上。
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BUAA
唯一性如何证明？
§7-1
刚体平面运动的运动学
vA
vP v A AP 0
AP
A
vA
M
vMA
vA
•速度瞬心（intant center for velocities) 某瞬时，平面图形上速度为零的点。
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
例: 沿直线轨道作纯滚动的车轮，其半径为R，轮心的速度为 u，求轮上A、B、C、D的速度。 解：车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。 车轮的角速度:
C
vC
vO
D
u R
vA 0
vD 2u
vB
B
O
vD
vB 2u,
vC 2u ,
速度瞬心法的特点： （1）计算简便；
v2
1 2
BUAA
350 max 450
R L sin 1
§7-1
刚体平面运动的运动学
ctg1 ctg 2 B / L
L
1
2 2
R
B
1
L 越大，R 越大
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BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
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23
BUAA
§7-1
例：已知AB杆A点的速度， 求杆B端的速度、杆的角速 度、杆中点D的速度和圆盘 的角速度。
AB
vA
A
vD vB
AB
CV
vA vA ACV L sin
vD DCV AB
vB BCV AB
D
2、研究圆盘B，确定其速度瞬心 圆盘B的速度瞬心在地面接触点 B
vB vA B cot R R
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30
BUAA
动力学普遍定理的综合应用
选择题：若质点系的动量守恒，且对某一点（轴）的动量矩也 守恒，则下列哪些说法是正确的，试举例说明。 A：质心速度为常矢量; B：系统动能一定为常量
C：质点系的外力一定不作功；D：系统的机械能一定守恒
F F
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31
11
BUAA
§7-1
刚体平面运动的运动学
思考题：已知图示机构中两个滑块的速度方向，试确定图 示瞬时铰链C的速度方向和各杆角速度的转向。 v A AC
A
C vC
vA
AC
BC
v M v P v PM
vB
B
v M PM
v P PM
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12
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观察一种现象
§7-1
刚体平面运动的运动学
图片是自行车轮在地面 上纯滚动时的照片。离车轮 与地面的接触处近的车条看 得较清楚，而离得远的车条 则模糊不清，甚至看不见。
如何解释这种现象？
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基点法
§7-1
？
刚体平面运动的运动学
(vBA AB )
v B v A v BA
A
vA
vB r0 vA r0 vBA r0 vB cosB vA cosA
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o
v B AB
v A AB
10
BUAA
vA
A AB
§7-1
刚体平面运动的运动学
例：已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的速度和 AB杆的角速度。 OA R , 60 0 , AB OA
唯一性： 在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。 瞬时性： 在不同瞬时，速度瞬心在平面图形 上的位置不同。
S
L
P
车轮在地面上纯滚动
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§7-1
刚体平面运动的运动学
思考题： 过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布有何特点？ —与图形绕定轴转动时的速度分布类似。
就速度分布而言，平 面图形的运动可视为绕该
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BUAA
3、速度瞬心法
§7-1
刚体平面运动的运动学
定理：只要 0 ，任一瞬时平面图形上 都唯一存在一个速度等于零的点。 证明:（存在性）
L
v M v A v MA
当点M在AL上时，其速度大小可表示为
A
vMA
M