二、静电场的保守性——环路定理ppt课件

表达式：U( p)
E
dl
p
p (E1
E2
)
dl
Ui ( p)
p Ei dl
qi
4 0rip
U ( p)
qi
i 4 0ri
q1
rr21
q2
Ui( p)
ip
ri q3
r3 qi
（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； 强调：
（2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
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4.电势的计算 电势的求解有两种方法：
1.电势是标量，只有正负之分。 2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
•对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有 电势的相对值（即电势差）有意义。
为。 有：
dU
dU cos
( dn
dU dl
，dl与
dl cos )
nˆ
的夹角
21
dl dn
3.场强与电势的微分关系 电场强度的方向与电势梯度矢量
U dU
P2
nˆ
的方向相反，即 与E 反nˆ向。
U
dn
P3
根据场强与电势的积分关系，有：
dl
P1
2
E1
E dl U1 U2 U (U dU) dU
到N点，电场力做功为零，而路径不为零。 dAMN E dl Edl cos 0 E dl
E
M
3.由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等
势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方
，场强较小。
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4.电力线的方向指向电势降低的方向。等势面
证明：假设电荷q0由2移到1，
2
dl
因沿电力线方向移动正电荷场力做正
P1 dl
2
E
1
20
定义电势梯度矢量：
大小：dU dn
U
方向： 沿着等势面的正法线方向
写成矢量式：gradU dU nˆ U
算符 grad
dn i
j
U k
dU
P2
nˆ
dn
P3
P1 dl
E
1
2
x y z
电势梯度U 是一个矢量，
它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。
如果过P1沿 dl 方向的电势增加率为
时，电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的
关系为: Aab Ep (E pb E pa ) E pa E pb
b
b
Aab
F dl
a
q0
E dl
a
4
b
Epa Epb q0 a E dl
Aab
b
E
pa
E pb
b
Aab
F dl
a
q0
E dl
a
4 0r 2
rˆ
p E
r
q
U p U p U
E
dl
p
q
p 4 0r 2
dr
q
4 0rp
正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
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3.电势迭加原理
由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
1
功，电势能减少。
E
A21
U2
(
U1
E
p1
0
Ep2 U 2
)E U1
p
2E的E方p1向为q0电(U势2 降U低1的) 方0向。
2.电势梯度
取两个相邻近的等势面1 和2，电势分别为U和U+dU, 且dU>0,.
规定：等势面的法线正方向为指 向电势升高的法线方向。
U dU
P2
nˆ
U dn P3
E2
1
4 0
q r2
选无穷远为电势0点，
•I区：球壳内电势 r R
R
U1 r E1 dl R E2 dl
0 R E 2dr
R
1
4
0
q r2
dr
q
4 0 R
II
I qo
r
RE r
•II区：球壳外电势 r R
U2
r
E2
dl
r
E
2dr
r
1
4 0
q r2
dr
q
4 0r
2.电势与电势差
势能零点
将 E pa q0 a
E dl 两边同除以q0，得：
Epa
q0
势能零点 E dl
a
这一比值与q0的值无关，仅取决 于电场的性质及场点的位置。
6
定义电势：
Ua
E pa q0
零点 E dl
a
意义：把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势
参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所
U 0, E 0 势的“变化率”，E 与
U
0, E
V 无直接的关系。电势
0 为零的地方，场强不一
定零。场强为零的地方，
电势不一定为零。
5.电势不变的空间场强一定为零。
6.只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。
如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电场
强度与电势的积分关系
的分布；
Ua
EO E EO AO
qq0
0r
qq0
0r
r o
q q
四、场强与电势的微分关系
引： Ua
E dl
a
…..场强电势的积分关系
1.等势面
等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫 做等势面.即 U (x, y, z) C 的空间曲面称为等势面。等 势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。
即：E cosdl dU
E dU dU
场强与电势的微分关系
dl cos dn
写成矢量式：E
dU
nˆ
gradU
U
dn
电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量
的负值。
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在直角坐标系中：
E
U
i
U
j
U
k
注意几点：
x y z
1.“–”表示电场强度的方向为电势降低的方向。
2.沿等势面法线方向场强最大。 在任意方向上，场强的分量为：
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
11
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
例1：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求 圆环轴线上一点的电势 U。
解：将圆环分割成无限多个电荷元：
dU dq
4 0r
环上各点到轴线等距。
q
dq
r
R
U
dU
1
4
0r
0q
dq
式中：Epa、Epb是电荷q0分别在a点和b点时,q0与电场所组
成的系统的静电势能。
b
电势能也是一个相对的量，必须选择一
个零势能点作为参考。
令 Epb 0, 即选定b点为电势能零点。
q0 a
E
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
势能零点
E pa q0 a
E dl
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该 点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功。
E
dU
nˆ
dn
El E cos
dU cos dU
dn
dl
3.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处，
场强小，电力线也疏。
4.场强反映场点处的电势的“变化率”，E 与 V 无直 接的关系。电势为零的地方，场强不一定零。场强为 零的地方，电势不一定为零。
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+q +q
o o
-
q q+
4.场强反映场点处的电
二、静电场的保守性——环路定理
1.电场力的功
1.点电荷的场
1
点电荷q0所受电场力为： F q0E
点从电r荷到的r场d中r,移dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
2
ra
b
rb r dr
2.任意带电体系的场
对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理 可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）为：
2
b b
E dl a
a (E1 E2 En ) dl
b b b
a E1 dl a E2 dl a En dl Aab
5
对有限带电体，通常规定无穷远
处为电势能零点。 即：E p 0,
E pa q0
势能零点 E dl
a
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
Epa q0 a E dl
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。
强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。
q0rdlcdr a
F
E
q
dA q0 4 0r 2 dr
b rb r dr