二、静电场的保守性——环路定理ppt课件

1.电势是标量，只有正负之分。 2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
•对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有 电势的相对值（即电势差）有意义。
1
功，电势能减少。
E
A21
U2
(
U1
E
p1
0
Ep2 U 2
)E U1
p
2E的E方p1向为q0电(U势2 降U低1的) 方0向。
2.电势梯度
取两个相邻近的等势面1 和2，电势分别为U和U+dU, 且dU>0,.
规定：等势面的法线正方向为指 向电势升高的法线方向。
U dU
P2
nˆ
U dn P3
E
dU
nˆ
dn
El E cos
dU cos dU
dn
dl
3.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处，
场强小，电力线也疏。
4.场强反映场点处的电势的“变化率”，E 与 V 无直 接的关系。电势为零的地方，场强不一定零。场强为 零的地方，电势不一定为零。
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+q +q
o o
-
q q+
4.场强反映场点处的电
EO E EO AO
qq0
0r
qq0
0r
r o
q q
四、场强与电势的微分关系
引： Ua
E dl
a
…..场强电势的积分关系
1.等势面
等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫 做等势面.即 U (x, y, z) C 的空间曲面称为等势面。等 势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。
到N点，电场力做功为零，而路径不为零。 dAMN E dl Edl cos 0 E dl
E
M
3.由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等
势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方
，场强较小。
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4.电力线的方向指向电势降低的方向。等势面
证明：假设电荷q0由2移到1，
2
dl
因沿电力线方向移动正电荷场力做正
2.电势与电势差
势能零点
将 E pa q0 a
E dl 两边同除以q0，得：
Epa
q0
势能零点 E dl
a
这一比值与q0的值无关，仅取决 于电场的性质及场点的位置。
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定义电势：
Ua
E pa q0
零点 E dl
a
意义：把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势
参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所
二、静电场的保守性——环路定理
1.电场力的功
1.点电荷的场
1
点电荷q0所受电场力为： F q0E
点从电r荷到的r场d中r,移电动场点做电的荷功q：0
dA F dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
2
ra
b
rb r dr
5
对有限带电体，通常规定无穷远
处为电势能零点。 即：E p 0,
E pa q0
势能零点 E dl
a
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
Epa q0 a E dl
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。
强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。
非保守场，将在磁场部分讨论。
3
三、电势能和电势
电场力是保守力，可引入势能的概念。
1.电势能
b
q0
E
a
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点
E2
1
4 0
q r2
选无穷远为电势0点，
•I区：球壳内电势 r R
R
U1 r E1 dl R E2 dl
0 R E 2dr
R
1
4
0
q r2
dr
q
4 0 R
II
I qo
r
RE r
•II区：球壳外电势 r R
U2
r
E2
dl
r
E
2dr
r
1
4 0
q r2
dr
q
4 0r
E
U
nˆ
U
i
o
x
n
q0rdlcdr a
F
E
q
dA q0 4 0r 2 dr
b rb r dr
在 q 的电场中将检验电荷 q0 q
从 a 点移动到 b 点，电场力作 功为：
ra
rdl q0
dr
F
r
a
A
b
dA
a
rb ra
q0q
4 0r
2
dr
q0q
4 0
1 ra
1 rb
E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。
o
x dU x
4
0
(x
q 2
R
2
)1
/
2
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例2：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：球壳内、 外的电势分布。
解：球壳内、外的场强
作高斯球面
SE
E S dS
q
0
dS
q
0
E
1
4 0
q r2
qo
R
E
r Ir
r
II 高斯面
I区：球面内 r R , q 0 E1 0
13
II区：球面外
r R,q q
2.任意带电体系的场
对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理 可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）为：
2
b b
E dl a
a (E1 E2 En ) dl
b b b
a E1 dl a E2 dl a En dl Aab
规定：画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。
等势面
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等势面
等势面的性质：
1.在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此
电荷不作功。
证明：A q0
b a E dl q0U ab
a
b
q0 (Ua Ub ) 0
等势面
2.除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N
证明： 因为将单位正电荷从等势面上M点移 dl
为。 有：
dU
dU cos
( dn
dU dl
，dl与
dl cos )
nˆ
的夹角
21
dl dn
3.场强与电势的微分关系 电场强度的方向与电势梯度矢量
U dU
P2
nˆ
的方向相反，即 与E 反nˆ向。
U
dn
P3
根据场强与电势的积分关系，有：
dl
P1
2
E1
E dl U1 U2 U (U dU) dU
E，dl可以求出电势
a
如果知道电势在空间的分布，则根据电场强度与电
势的微分关系 E gradU进行偏微商运算求得电场强
度的分布。
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例：均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密度为 ，求轴
线上一点的场强。
解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式
U ( x2 R2 x)
2 0
R
由于等势面法线方向与 x 轴相同，
任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了
的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性。
结论：电场力为保守力，静电场为保守场。
2.静电场的环路定理
静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿
任意闭合路径的线积分等于零。这称为静电场的环
路定理或环流定理。
运动电荷的场不是保守场，而是
LE dl 0
P1 dl
2
E
1
20
定义电势梯度矢量：
大小：dU dn
U
方向： 沿着等势面的正法线方向
写成矢量式：gradU dU nˆ U
算符 grad
dn i
j
U k
dU
P2
nˆ
dn
P3
P1 dl
E
1
2
x y z
电势梯度U 是一个矢量，
它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。
如果过P1沿 dl 方向的电势增加率为
4 0r 2
rˆ
p E
r
q
U p U p U
E
dl
p
q
p 4 0r 2
dr
q
4 0rp
正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
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3.电势迭加原理
由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
时，电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的
关系为: Aab Ep (E pb E pa ) E pa E pb
b
b
Aab
F dl
a
q0
E dl
a
4
b
Epa Epb q0 a E dl
Aab
b
E
pa
E pb
b
Aab
F dl
a
q0
E dl
a
即：E cosdl dU
E dU dU
场强与电势的微分关系
dl cos dn
写成矢量式：E
dU
nˆ
gradU
U
dn
电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量
的负值。
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在直角坐标系中：
E
U
i
U
j
U
k
注意几点：
x y z
1.“–”表示电场强度的方向为电势降低的方向。
2.沿等势面法线方向场强最大。 在任意方向上，场强的分量为：
式中：Epa、Epb是电荷q0分别在a点和b点时,q0与电场所组
成的系统的静电势能。
b
电势能也是一个相对的量，必须选择一
个零势能点作为参考。
令 Epb 0, 即选定b点为电势能零点。
qຫໍສະໝຸດ Baidu a
E
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
势能零点
E pa q0 a
E dl
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该 点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功。
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
11
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
例1：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求 圆环轴线上一点的电势 U。
解：将圆环分割成无限多个电荷元：
dU dq
4 0r
环上各点到轴线等距。
q
dq
r
R
U
dU
1
4
0r
0q
dq
4.电势能与电势的区别：EP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
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强调： 当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电
场中A移ab 动 q时0 电ab E场力dl所做q的0 (U功a：Ub )
例、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产
生的电场中的电势分布。
解：E
q
1.由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 U p
零点
E
dl 计算P点电势。
p
2.根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
（1）点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时
的电场的电势，再求代数和得到电势。
公式：U
Ui
i
qi
4 0ri
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
表达式：U( p)
E
dl
p
p (E1
E2
)
dl
Ui ( p)
p Ei dl
qi
4 0rip
U ( p)
qi
i 4 0ri
q1
rr21
q2
Ui( p)
ip
ri q3
r3 qi
（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； 强调：
（2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
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4.电势的计算 电势的求解有两种方法：
UP
E
dl
P
Edr
P
无意义
o
r R P Q r
当电荷分
r
dr (ln ln r )
2 0r
2 0
选取距带电直导线为R的Q点为电势零点，
布扩展到 无穷远时 ，电势零 点不能再
UP
Q
P Edr
rR
2
0
r
dr
2 0
ln
R r
选在无穷 远处。
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例4：在正方形四个顶点上各放置 带电量为+q的四个电
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I区：球面内 r R , E1 0
U1
q
4 0R
II区：球面外
r
R,
E2
1
4 0
q r2
U2
q
4
0r
II
II
q
I
o
R
q
I
o
R
qE
4 0 R 2
qV
4 0 R
15
oR
r
oR
r
例3：无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。
解：无限长带电直线的场强：
E
2 0r
若选无穷远为电势 0 点，则
荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求： （1）
O点的电势；（2）把试探电荷q0从无穷远处移到O点时 电场力所作的功；（3）电势能的改变。
解：（1）根据电势迭加原理
q
q
U O
4 i 1
qi
4 0ri
4q
4 0r
q
0r
（2）根据电势差的定义 U UO
AO q0
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AO q0 (U UO ) q0U O （2）根据 E pa E pb Aab
具有的电势能。
电势差：静电场中两点电势值的差。
U ab
Ua
Ub
Epa Epb q0
Aab q0
b E dl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势
的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
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注意几点：
U 0, E 0 势的“变化率”，E 与
U
0, E
V 无直接的关系。电势
0 为零的地方，场强不一
定零。场强为零的地方，
电势不一定为零。
5.电势不变的空间场强一定为零。
6.只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。
如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电场
强度与电势的积分关系
的分布；
Ua