山东省淄博市高一上学期期中数学试卷(理科)
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·台州期中) 满足｛1，2，3｝∪B＝｛1，2，3，4｝的集合的个数是（）A . 16B . 8C . 4D . 32. （2分）函数的定义域是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·山东模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高一下·河北开学考) f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x ，则当x＜0时，f（x）=（）A . ﹣（）xB . （）xC . ﹣2xD . 2x5. （2分） (2016高一上·大名期中) 幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在x∈（0，+∞）时为减函数，则m=（）A . ﹣1B . 2C . 0或1D . ﹣1或26. （2分） (2017高一上·长春期末) 已知函数f（x）= 的值域为R，则实数a的范围是（）A . [﹣1，1]B . （﹣1，1]C . （﹣1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）7. （2分） (2016高一上·太原期中) 已知函数f（x）= ，则f（﹣4）的值是（）A . ﹣2B . ﹣1C . 0D . 18. （2分） (2016高一上·南昌期中) 下列四个图象中，是函数图象的是（）A . （1）B . （1）（3）（4）C . （1）（2）（3）D . （3）（4）9. （2分） (2016高一上·天水期中) 若log2a＜0，（）b＞1，则（）A . a＞1，b＞0B . a＞1，b＜0C . 0＜a＜1，b＞0D . 0＜a＜1，b＜010. （2分）函数由确定，则方程的实数解有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11. （2分）(2019·南昌模拟) 若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高三上·衡阳月考) 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜1}，则如图中阴影部分表示的集合为________．14. （1分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于________．（保留三位有效数字，参考数据：取，取）15. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设函数f（x）= ，则f（f（3））=________．16. （1分） (2016高二上·扬州开学考) 已知f（x），g（x）均为R上的奇函数且f（x）＞0解集为（4，10），g（x）＞0解集为（2，5），则f（x）•g（x）＞0的解集为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）用列举法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）不大于的非负奇数集；（3）．18. （5分） (2016高一上·鼓楼期中) 已知集合A={x|﹣1≤x≤10}，集合B={x|2x﹣6≥0}．求∁R（A∪B）；已知C={x|a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．19. （15分）已知函数f（x）=lg（mx﹣2x）（0＜m＜1）．（1）当m= 时，求f（x）的定义域；（2）试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围．20. （10分） (2018高一上·漳平月考) 设函数是奇函数.（1）求常数的值.（2）若 ,试判断函数的单调性,并用定义加以证明.21. （10分）(2016·绍兴模拟) 已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），（1）当a=1，b=2，若|f（x）|﹣2=0有且只有两个不同的实根，求实数c的取值范围；（2）设方程f（x）=x的两个实根为x1，x2，且满足0＜t＜x1，x2﹣x1＞，试判断f（t）与x1的大小，并给出理由．22. （10分）已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＜0．（1）解不等式f（x+ ）＜f（1﹣x）；（2）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R ，集合M ＝{x |﹣1＜x ≤3}，则∁R M ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3} B ．{x |x ≤﹣1或x ＞3}C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．{x |x ≤﹣1或x ≥3}2．函数f （x ）=√4−x 2x−1的定义域为（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣2，3）C ．[﹣2，1）∪（1，2]D ．（﹣2，1）∪（1，2）3．已知函数f （x ）={f(x −1)，x ＞−2x 2+2x −3，x ≤−2，则f （f （1））＝（ ）A ．5B ．0C ．﹣3D ．﹣44．不等式﹣3x 2+7x ﹣2＜0的解集为（ ） A ．{x|13＜x ＜2} B ．{x|x ＜13或x ＞2} C ．{x|−12＜x ＜−13}D ．{x |x ＞2}5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a≤cb；②若ac ﹣3＞bc ﹣3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞b k；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac−a＞b c−b．其中真命题的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2xD ．以上都不对8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）B ．（﹣∞，﹣3）C ．[﹣4，0）D ．（﹣4，0）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ）A ．f(x)=x 3x 与g （x ）＝x 2B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 210．下列说法中正确的有（ ）A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y≥8B ．当x ≥2时，不等式x +4x+1的最小值为3C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立D ．存在实数a ，使得不等式a +1a≤2成立 12．已知函数f(x)=xx+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为RC ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)的值为40452三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 ．14．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}．（1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？ 19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12＜x ＜−13}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={10x 2+100x ，0＜x ＜50701x +10000x−9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式； （2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m﹣1在（0，+∞）上单调递增．（1）求f （x ）的值域； （2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x，求a 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=ax−b1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，则∁R M＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x≤﹣1或x＞3}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x≤﹣1或x≥3}解：因为全集U＝R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，所以∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞3}．故选：B．2．函数f（x）=√4−x2x−1的定义域为（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，3）C．[﹣2，1）∪（1，2]D．（﹣2，1）∪（1，2）解：要使函数有意义，须满足{4−x 2≥0x−1≠0，解得﹣2≤x≤2，且x≠1，故函数f（x）的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]，故选：C．3．已知函数f（x）={f(x−1)，x＞−2x2+2x−3，x≤−2，则f（f（1））＝（）A．5B．0C．﹣3D．﹣4解：∵函数f（x）={f(x−1)，x＞−2 x2+2x−3，x≤−2，∴f（1）＝f（0）＝f（﹣1）＝f（﹣2）＝﹣3，∴f（f（1））＝f（﹣3）＝0．故选：B．4．不等式﹣3x2+7x﹣2＜0的解集为（）A．{x|13＜x＜2}B．{x|x＜13或x＞2}C．{x|−12＜x＜−13}D．{x|x＞2}解：由﹣3x2+7x﹣2＜0，得3x2﹣7x+2＞0，即（3x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＜13或x＞2，所以该不等式的解集为{x|x＜13或x＞2}．故选：B．5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为f （x ）是偶函数，所以f （﹣4）＝f （4）．由f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数，则f （﹣2）＜f （﹣4），即f （﹣2）＜f （4）； 反之，对于函数f(x)={x ，x ＞21|x|，−2≤x ≤2，且x ≠0−x ，x ＜−2，显然，f （x ）是偶函数，且f(−2)=12＜f （4）＝4，但是f （x ）不是（﹣∞，0）上的减函数． 故“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的充分不必要条件． 故选：A ．6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a ≤cb；②若ac ﹣3＞bc ﹣3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞b k ；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac−a＞b c−b．其中真命题的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：①中，因为a ＜b ，c ＜0，因为a ，b 的符号不定，所以1a，1b的大小关系不定， 所以ca，cb 的大小关系不定，所以①错；②中，ac ﹣3＞bc ﹣3，若c ＜0，则a ＜b ，所以②错；③中，若a ＞b 且k ∈N +，例如：a ＝﹣2，b ＝﹣3，k ＝2，此时a k ＜b k ，所以③错； ④中，若c ＞a ＞b ＞0，则0＜c ﹣a ＜c ﹣b ，1c−a＞1c−b＞0，又a ＞b ＞0，所以ac−a＞b c−b，所以④正确．所以只有1个命题正确． 故选：A ．7．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2xD ．以上都不对解：根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣[（﹣x ）2﹣2（﹣x ）]＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ．8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）B ．（﹣∞，﹣3）C ．[﹣4，0）D ．（﹣4，0）解：根据题意，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则f （x ）在R 上为减函数，又由函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，则有{ a ＜01a ≤1a +3＜0a −2−a ≤a +3−1，解可得﹣4≤a ＜﹣3，即a 的取值范围为[﹣4，﹣3）． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ） A ．f(x)=x 3x与g （x ）＝x 2 B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 2解：对于A ，f(x)=x 3x的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝x 2的定义域为R ，故错误；对于B ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，g(x)=√x 2=|x|的定义域为R ，故正确； 对于C ，f （x ）＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝1的定义域为R ，故错误； 对于D ，f(x)=√1+x ×√1−x =√1−x 2定义域为[﹣1，1]， g(x)=√1−x 2定义域为[﹣1，1]，故正确． 故选：BD ．10．下列说法中正确的有（ ）A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 解：对于A ，命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0，故A 正确；对于B ，|x |＞|y |不能推出x ＞y ，例如|﹣2|＞|1|，但﹣2＜1；x ＞y 也不能推出|x |＞|y |，例如2＞﹣3，而|2|所以“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的既不充分也不必要条件，故B 错误； 对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，故C 错误；对于D ，关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根⇔{4−4m ＞0m ＜0⇔⇔m ＜0，所以“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件，故D 正确． 故选：AD ．11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x +1y≥8B ．当x ≥2时，不等式x +4x+1的最小值为3C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立D ．存在实数a ，使得不等式a +1a≤2成立 解：对于A ，若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y =(2x+1y)⋅(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时等号成立，故A 正确；对于B ，x ≥2时，x +1≥3，则有x +4x+1=x +1+4x+1−1≥2√(x +1)⋅4x+1−1=3， 当且仅当x +1=4x+1时，即x ＝1时等号成立，所以不等式x +4x+1的最小值不为3，故B 错误； 对于C ，不等式a +b ≥2√ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，比如取a ＝﹣1，b ＝﹣1时，不等式不成立，故C 错误；对于D ，取a ＝﹣1，不等式显然成立，故D 正确． 故选：AD ．12．已知函数f(x)=xx+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为RC ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)的值为40452解：对于A ，由x +1≠0，得函数f(x)=x 的定义域为{x |x ≠﹣1}，A 正确；对于B ，由f(x)=x x+1=1−1x+1，得f （x ）≠1，即f （x ）的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），B 错误； 对于C ，f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，C 正确；对于D ，f(x)+f(1x )=x x+1+1x 1x +1=x x+1+1x+1=1，又f(1)=12，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)=40452，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ {2＜x ＜3或7≤x ＜10} ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 a ≥7 ．解：∵A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }， ∴∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，∴（∁R A ）∩B ＝{2＜x ＜3或7≤x ＜10}， ∵A ⊆C ，∴a 的范围是a ≥7，故答案为：{2＜x ＜3或7≤x ＜10}；a ≥714．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 （﹣16，0] ． 解：不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立， 当a ＝0时，﹣2＜0恒成立；当a ≠0时，要使不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则{2a ＜0Δ=a 2+16a ＜0，解得﹣16＜a ＜0，综上所述，实数a 的取值范围是（﹣16，0]． 故答案为：（﹣16，0]．15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 （﹣∞，﹣3] ．解：函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增， 则有−(m−1)2≥2，解得m ≤﹣3，则m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]． 故答案为：（﹣∞，﹣3]．16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） ．解：因为函数f （x ）是R 上的奇函数，所以f （3）＝﹣f （﹣3）＝0， 又因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以当0＜x ＜3时，f （x ）＜f （3）＝0，当x ＞3时，f （x ）＞f （3）＝0， 注意到函数f （x ）是R 上的奇函数，所以当x ＜﹣3时，有﹣x ＞3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＞f （3）＝0，此时f （x ）＜0， 当﹣3＜x ＜0时，有0＜﹣x ＜3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＜f （3）＝0，此时f （x ）＞0， x ，f （x ），xf （x ）的符号随x 的变化情况如下表所示：由上表可知不等式xf （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝3时，可得集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |4≤x ≤5}， ∴∁R A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}， ∴（∁R A ）∪B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥4}； （2）由A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ，①当B ＝∅时，可得m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2；②当B ≠∅时，则满足{m +1≤2m −1m +1＞−22m −1＜5，解得2≤m ＜3，综上实数m 的取值范围是（﹣∞，3）．18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？解：（1）由x 2﹣4x ﹣12≤0得﹣2≤x ≤6，故集合A ＝{x |﹣2≤x ≤6}， 由x 2﹣2x +1﹣m 2＝0得x 1＝1﹣m ，x 2＝1+m ， 因为m ＞0，故集合B ＝{x |1﹣m ≤x ≤1+m }； （2）若选择条件①，即x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，集合A 是集合B 的真子集， 则有{1−m ≤−21+m ≥6，解得m ≥5，所以，实数m 的取值范围是[5，+∞）．若选择条件②，即x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件，集合B 是集合A 的真子集， 则有{1−m ≥−21+m ≤6，解得0＜m ≤3，所以，实数m 的取值范围是（0，3]．若选择条件③，即x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件，则集合A 等于集合B ， 则有{1−m =−21+m =6，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数m19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12＜x ＜−13}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．解：（1）不等式2ax 2+ax ＞2x +1可化为2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0， 由题意知−12和−13是方程2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＝0的两个根， 所以−12a=（−12）×（−13），解得a ＝﹣3．（2）不等式2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0可化为（2x +1）（ax ﹣1）＞0． ①当a ＝0时，原不等式可化为2x +1＜0，解得x ＜−12．②当a ＞0时，原不等式可化为(2x +1)(x −1a)＞0，解得x ＞1a或x ＜−12． ③当a ＜0时，原不等式化为(2x +1)(x −1a )＜0． 若1a ＜−12，则﹣2＜a ＜0，解得1a＜x ＜−12，当1a =−12，即﹣2＝a ，解得无解，当1a＞−12，即a ＜﹣2，解得−12＜x ＜1a ，综上，a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＜−12}；a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞1a 或x ＜−12}；﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|1a ＜x ＜−12}；a ＝﹣2时，不等式的解集为∅；a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|−12＜x ＜1a }．20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={10x 2+100x ，0＜x ＜50701x +10000x −9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式；（2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜50时，w （x ）＝700x ﹣（10x 2+100x ）﹣300＝﹣10x 2+600x ﹣300，当x ≥50时，w(x)=700x −(701x +10000x −9450)−300=−(x +10000x)+9150， ∴w(x)={−10x 2+600x −300，0＜x ＜50−(x +10000x )+9150，x ≥50； （2）若0＜x ＜50，w （x ）＝﹣10（x ﹣30）2+8700，当x ＝30时，w （x ）max ＝8700万元，若x ≥50，w(x)=−(x +10000x )+9150≤9150−2√x ⋅10000x =8950， 当且仅当x =10000x时，即x ＝100时，w （x ）max ＝8950万元， 因为8950＞8700，∴2020年年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求f （x ）的值域；（2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x ，求a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m ﹣1为幂函数，所以（m ﹣1）2＝1，即m ＝0或m ＝2，当m ＝0时，f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，+∞）上单调递增，符合题意，故函数的值域为R ；（2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x ，则x ≥2−a 2x ， 即a ≥4x ﹣2x 2在x ＞0时恒成立，故a ≥（4x ﹣2x 2）max ，根据二次函数的性质可知，当x ＝1时，4x ﹣2x 2取得最大值2，故a ≥2，所以a 的取值范围为{a |a ≥2}．22．（12分）已知函数f(x)=ax−b 1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．解：（1）函数f(x)=ax−b 1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数， f （﹣x ）＝﹣f （x ）；−ax−b 1+x 2=−ax−b 1+x 2，解得b ＝0， ∴f(x)=ax 1+x 2，而f （1）＝﹣1，解得a ＝﹣2， ∴f(x)=−2x 1+x 2，x ∈[﹣1，1]． （2）函数f(x)=−2x 1+x 2在[﹣1，1]上为减函数； 证明如下：任意x 1，x 2∈[﹣1，1]且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−2x 11+x 12−−2x 21+x 22=−2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22) 因为x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，又因为x 1，x 2∈[﹣1，1]，所以1﹣x 1x 2＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x 1）＞f （x 2）在[﹣1，1]上为减函数．（3）由题意，f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0），又f （0）＝0，所以f （t ﹣1）+f （t 2）＞0， 即解不等式f （t 2）＞﹣f （t ﹣1），所以f （t 2）＞f （1﹣t ），所以{−1≤t 2≤1−1≤t −1≤1t 2＜1−t，解得0≤t ＜√5−12，所以该不等式的解集为[0，√5−12）．。
山东省淄博市淄博十一中、淄博一中2025届高三上学期期中学习质量检测数学试题
但是当 x > 0 时， x + y ³ x + 0 = x > 0 一定成立，即 x > 0 能推出 x + y > 0 ，
所以“ x + y > 0 ”是“ x > 0 ”的必要不充分条件，错误；
对于
D，已知
a,
b
Î
R
，当
a
=
b
=
0
时，满足
a
-
3b
=
0
，但是不满足
a b
=
3
，
反之，当
a b
=
3
时，则
有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】解：由函数
f
(x)
=
ìï- x 2 í
+
1 2
x, x
<
0 ，若
y
=
f
( x) - kx
有且只有 3 个零点，
ïîln ( x +1), x ³ 0
当 x = 0 时，可得 f (0) = ln1 = 0 ，可得 x = 0 是 y = f ( x) - kx 的一个零点，
(1)若 y
=
f
(
x
)
+
32 9
x在x
= 1 处取得极值，求 k
的值；
(2)讨论函数 f ( x) 的单调性.
16．V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2a + b = 2ccosB ．
(1)求角 C ； (2)若角 C 的平分线 CD 交 AB 于点 D, AD = 3 13, DB = 13 ，求 CD 的长．
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·张家口期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·茂名期末) 方程组的解集为（）A . {x=2，y=1}B .C . {2，1}D . {（2，1）}3. （2分） (2019高一上·淮南月考) 若a>1，则函数y=ax与y=（1–a）x2的图象可能是下列四个选项中的（）A .B .C .D .4. （2分）已知偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且满足，则不等式的解集是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A . a≥﹣2B . a＞2C . 0＜a＜1D . 1≤a＜26. （2分） (2016高一上·上杭期中) 设函数f（x）= ，f（﹣2）+f（log210）=（）A . 11B . 8C . 5D . 27. （2分） (2019高一上·青冈期中) 函数，的值域是（）A .B .C .D .8. （2分）已知f是从集合A到集合B的一个映射，f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y}，则B中元素（3，1）在A中的对应元素为（）A . （1，3）B . （1，1）C . （3，1）D . （，）9. （2分） (2018高一上·湘东月考) 已知函数，函数．若函数恰好有2个不同的零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·深圳月考) 已知函数的一根对称轴为，则函数图象恒过定点（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·大新模拟) 设函数f（x）= ，若a=f（20.3），b=f（log0.32），c=f （log32），则a、b、c的大小关系是（）A . b＞c＞aB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . a＞b＞c12. （2分） (2018高一上·长安月考) 函数y=f(x)在上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则（）A . f(1)<f(2.5)<f(3.5)B . f(3.5)<f(1)<f(2.5)C . f(3.5)<f(2.5)<f(1)D . f(2.5)<f(1)<f(3.5)二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·民乐期中) 函数的定义域为________．14. （1分） (2018高一上·新泰月考) 已知函数是定义在R上的奇函数，当时f(x)= -2x，则f(x)在R上的解析式为________15. （1分） (2018高二下·北京期末) 已知函数 f (x) = ，，若对任意，存在，使得³ ，则实数 m 的取值范围为________16. （1分） (2016高一上·江阴期中) 若关于x的方程log |x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·龙岩月考) 若集合，．（1）若，全集，试求．（2）若，求实数m的取值范围．18. （15分） (2020高三上·怀宁月考) 定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，.（1）求在上的解析式；（2）判断在上的单调性，并给予证明；（3）当为何值时，关于方程在上有实数解？19. （10分） (2016高一上·杭州期中) 计算：（1）（2）已知x+x﹣1=3，求的值．20. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知，设．（1）求的解析式并求出它的周期．（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．21. （15分） (2016高一上·阳东期中) 已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）求f（1）+f（﹣3）的值；（3）求f（a+1）的值（其中a＞﹣4且a≠1）．22. （5分）(2018·新疆模拟) 已知，函数 .（I）当为何值时，取得最大值？证明你的结论；（II）设在上是单调函数，求的取值范围；（III）设，当时，恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、答案：略第11 页共11 页。
山东省淄博市高一上学期数学期中考试试卷
山东省淄博市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）集合，，则集合为（）A .B .C .D .2. （1分）若函数，则（）A .B . 3C .D . 43. （1分）下列函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是（）A . y=B . y=+1C . y=+1D . y=+14. （1分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .5. （1分）下列角中与终边相同的角是（）A .B .C .D .6. （1分）给定函数①，②，③，④，其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④7. （1分） (2019高一上·台州期中) 若函数，，则函数的值域（）A . ［4，5］B . ［4，］C . ［，5］D . ［1，3］8. （1分） (2016高一上·大名期中) 若函数y=loga（2﹣ax）在x∈[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，2）D . （1，+∞）9. （1分）幂函数y=（m2﹣2m﹣2）•xm﹣2 ，当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（）A . m=3B . m=﹣1或m=3C .D . m=﹣110. （1分） (2016高一下·定州开学考) 设函数f（x）的定义域为R，f（x）= ，且对任意的x∈R都有f（x+1）=﹣，若在区间[﹣5，1]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有5个不同零点，则实数m 的取值范围是（）A . [﹣，﹣）B . （﹣，﹣ ]C . （﹣，0]D . （﹣，﹣ ]11. （1分）已知等差数列中，为其前n项和，若，则当取到最小值时n的值为（）A . 5B . 7C . 8D . 7或812. （1分） (2016高二下·汕头期末) 已知f（x）=x5﹣ax3+bx+2，且f（﹣5）=3，则f（5）+f（﹣5）的值为（）A . 0B . 4C . 6D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·镇海期中) 函数的定义域是________，值域是________．14. （1分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（， 2），则k+α=________15. （1分） (2016高一上·南城期中) 函数y= （x2﹣3x）的单调递减区间是________．16. （1分）(2020·重庆模拟) 已知函数 ,若的值域为，则实数a的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共15分)17. （2分）(2019高一上·仁寿期中) 已知集合或，，（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.18. （3分）已知函数f（x）=x2+2ax+2．（1）若函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），求函数在x∈[﹣5，5]的最大值和最小值；（2）若函数f（x）有两个正的零点，求a的取值范围；（3）求f（x）在x∈[﹣5，5]的最小值．19. （3分） (2018高一下·吉林期中) 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数，其图象如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程解的集合；（3）求不等式的解集.20. （2分）某市在“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点c处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．（1）设A，C两处的距离为x，试将y表示为x的函数；（2）若a=1时，y在x=6处取最小值，试求b的值．21. （2分） (2019高一上·闵行月考) 如图，在边长为6的正方形中，弧的圆心为，过弧上的点作弧的切线，与、分别相交于点、，的延长线交边于点 .（1）设，，求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当时，求的长.22. （3分） (2016高一上·嘉兴期末) 已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共15分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山东省淄博市淄川一中高三数学上学期期中试卷 理(含解
2015-2016学年山东省淄博市淄川一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=lgx，x∈M}，则M∩N为( )A．（1，+∞）B．（1，2）C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的定义域为( )A．（1，3] B．（﹣∞，3] C．（0，3] D．（1，3）4．设，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．已知矩形ABCD中，，BC=1，则=( )A．1 B．﹣1 C．D．6．已知则tanβ=( )A．B．C．D．7．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A．e2B．2e2C．4e2D．8．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=4x，则f（5.5）=( )A．32 B．C．64 D．1610．设函数f（x）=e x+x﹣2的零点为x1，函数g（x）=lnx+x2﹣3的零点为x2，则( ) A．g（x1）＜0，f（x2）＞0 B．g（x1）＞0，f（x2）＜0 C．g（x1）＞0，f（x2）＞0 D．g（x1）＜0，f（x2）＜0二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在答题卡题中横线上. 11．在等差数列{a n}中，已知a2+a9=7，则3a5+a7=__________．12．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是__________．13．若函数f（x）=，则f（2）的值为__________．14．a，b，c分别是△ABC的三边，a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积是__________．15．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*）且b1=3，求的前n项和T n．20．（13分）已知一工厂生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元．设该工厂一年内生产这种产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为p（x）万元，且（Ⅰ）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）21．（14分）设函数，其中a∈R．（Ⅰ）a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性；（Ⅲ）当时，证明对∀x∈（0，2），都有f（x）＜0．2015-2016学年山东省淄博市淄川一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=lgx，x∈M}，则M∩N为( )A．（1，+∞）B．（1，2）C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用指数函数的性质，求出集合M，对数函数的值域求出集合N，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|＞1}，N={y|y=lgx，x∈M}={y|y＞0}，所以M∩N={y|y＞1}．故选A．【点评】本题考查集合的交集的求法，求出函数的值域是解题的关键．2．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】运用充分必要条件定义判断求解．【解答】解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．3．函数的定义域为( )A．（1，3] B．（﹣∞，3] C．（0，3] D．（1，3）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到0＜x﹣1≤2，解出即可．【解答】解：由1﹣log2（x﹣1）≥0，即log2（x﹣1）≤1，解得0＜x﹣1≤2，即1＜x≤3，所以函数的定义域为（1，3]．故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域、对数函数的图象与性质，是一道基础题．4．设，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较；不等式比较大小．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．【解答】解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5．已知矩形ABCD中，，BC=1，则=( )A．1 B．﹣1 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】法一、以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，得到点的坐标，进一步求得向量的坐标得答案；法二、以为基底，把用基底表示，则可求．【解答】解：法一、如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），，，D（0，1），∴，，则．故选：A．法二、记，，则，，，∴=．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，解答此类问题常用两种方法，即建系法或利用平面向量基本定理解决，建系法有时能使复杂的问题简单化，是中档题．6．已知则tanβ=( )A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】把所求的角β变为α﹣（α﹣β），然后利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]=．故选C．【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度的变换．7．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A．e2B．2e2C．4e2D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；作图题；导数的综合应用．【分析】由题意作图，求导y′=，从而写出切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；从而求面积．【解答】解：如图，y′=；故y′|x=4=e2；故切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；当x=0时，y=﹣e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×e2=e2；故选A．【点评】本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．8．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选 C．【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．9．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=4x，则f（5.5）=( )A．32 B．C．64 D．16【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（5.5）=2f（4.5）=22f（3.5）=…=25f（0.5），代值计算可得．【解答】解：由f（x+1）=2f（x）知，f（5.5）=2f（4.5）=22f（3.5）=…=25f（0.5）=25•40.5=64．故选：C．【点评】本题考查函数求值，涉及指数的运算，属基础题．10．设函数f（x）=e x+x﹣2的零点为x1，函数g（x）=lnx+x2﹣3的零点为x2，则( ) A．g（x1）＜0，f（x2）＞0 B．g（x1）＞0，f（x2）＜0 C．g（x1）＞0，f（x2）＞0 D．g（x1）＜0，f（x2）＜0【考点】函数零点的判定定理．【专题】综合题；综合法；函数的性质及应用．【分析】由零点存在性定理知x1∈（0，1）；x2∈（1，2），再利用单调性，即可得出结论．【解答】解：因为函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，且f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，由零点存在性定理知x1∈（0，1）；因为函数g（x）=lnx+x2﹣3在（0，+∞）上单调递增，g（1）=﹣2＜0，g（2）=ln2+1＞0，由零点存在性定理知x2∈（1，2）．因为函数g（x）=lnx+x2﹣3在（0，+∞）上单调递增，且x1∈（0，1），所以g（x1）＜g（1）＜0；因为函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，且x2∈（1，2），所以f（x2）＞f（1）＞0．故选A．【点评】本题考查函数的零点存在性定理，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在答题卡题中横线上. 11．在等差数列{a n}中，已知a2+a9=7，则3a5+a7=14．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求得2a1+9d=7，把3a5+a7转化为含有2a1+d的形式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a9=7，得a1+d+a1+8d=7，即2a1+9d=7，∴3a5+a7=3（a1+4d）+a1+6d=2（2a1+9d）=2×7=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的通项公式，体现了整体运算思想方法，是基础题．12．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】综合题；数形结合法；导数的综合应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积．故答案为：．【点评】考点幂函数的图象、定积分，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定积分是关键．13．若函数f（x）=，则f（2）的值为3．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=f（2+2）=f（4）=f（6）=6﹣3=3．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．a，b，c分别是△ABC的三边，a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积是．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围，利用同角三角函数关系式可求sinA 的值，结合三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵，∵A∈（0，π），∴，∴△ABC的面积．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理、三角形的面积公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．15．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．【专题】作图题．【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．【解答】解：（Ⅰ）==，由，k∈Z，得，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到=，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到．∵x∈[﹣π，0]，∴．∴，∴．∴函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为T=π（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，∴sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=，∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0，∴由正弦定理可得==，即b=2a，①∵c=3，∴由余弦定理可得9=a2+b2﹣2abcos，②联立①②解方程组可得【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理，属中档题．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用对数的运算性质，化简b n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到．【解答】解法一：（Ⅰ）由即，消q3得，解得a1=1或a1=8，∴或，∵{a n}是递增数列，∴，∴；（Ⅱ），，2T n=0•21+1•22+2•23+…+（n﹣2）•2n﹣1+（n﹣1）•2n，∴相减可得，==（2﹣n）•2n﹣2，∴．解法二：（Ⅰ）因为{a n}是等比数列，a2a3=8，所以a1a4=8．又∵a1+a4=9，∴a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两根，∴或．∵{a n}是递增数列，∴．∴，∴q=2．∴．（Ⅱ）下同解法一．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用方程的思想，考查数列的求和方法：错位相减求和，考查运算能力，属于中档题．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*）且b1=3，求的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想．【分析】（1）直接利用S5=45，S6=60得出关于首项和公差的两个等式，解方程即可求出首项和公差，进而求出其通项公式；（2）先利用叠加法求出数列{b n}的通项公式，再对数列{}的通项进行裂项，采用裂项相消法求和即可．【解答】解：（1）由S5=45，S6=60⇒⇒，∴a n=a1+（n﹣1）d=5+2（n﹣1）=2n+3（Ⅱ）∵b n+1﹣b n=a n∴b2﹣b1=a1b3﹣b2=a2b4﹣b3=a3…b n﹣b n﹣1=a n﹣1叠加∴b n=（n+3）（n﹣1）+3=n2+2n∴∴==．【点评】本题主要考查等差数列求和公式的应用以及叠加法和裂项相消求和法的应用，考查方程思想在解决数列问题中的应用以及计算能力．20．（13分）已知一工厂生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元．设该工厂一年内生产这种产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为p（x）万元，且（Ⅰ）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由年利润=年销售收入﹣年总成本，结合p（x），即可得到所求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论0＜x≤10时，由导数判断单调性，可得最大值；再讨论x＞10时，运用基本不等式求得最大值，进而得到所求f（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由，则f（x）=x[p（x）﹣27]﹣100=；（Ⅱ）当0＜x≤10时，f'（x）=81﹣x2，令f′（x）=0得x=9∈（0，10]（x=﹣9舍去），且当x∈（0，9）时，f′（x）＞0；当x∈（9，10）时，f′（x）＜0．所以当x=9时，f（x）max=f（9）=386．当x＞10时，==380，当且仅当即∈（10，+∞）时取等号．所以当x＞10时，f（x）max=380．因为386＞380，所以当x=9时，f（x）max=386．答：年产量为9千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大．【点评】本题考查函数模型和数学思想的运用，考查分段函数的解析式和最值的求法，注意运用单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）设函数，其中a∈R．（Ⅰ）a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性；（Ⅲ）当时，证明对∀x∈（0，2），都有f（x）＜0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（Ⅱ）求出导数，求得极值点1，2a﹣1，讨论①当2a﹣1≤0，②当0＜2a﹣1＜1，③当2a ﹣1=1，④当2a﹣1＞1，求得单调区间，即可得到结论；（Ⅲ）讨论①当时，②当a=1时，③当a＞1时，运用函数的单调性可得（0，2）的最大值小于0，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，，，∴f'（1）=0．又，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0得x=1或x=2a﹣1，①当2a﹣1≤0即时，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．②当0＜2a﹣1＜1即时当x∈（0，2a﹣1）时f'（x）＞0；当x∈（2a﹣1，1）时f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0．③当2a﹣1=1即a=1时．④当2a﹣1＞1即a＞1时，当x∈（0，1）时f'（x）＞0；当x∈（1，2a﹣1）时f'（x）＜0；当x∈（2a﹣1，+∞）时f'（x）＞0．综上所述：当时，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；当时，f（x）的增区间为（0，2a﹣1）和（1，+∞）；减区间为（2a﹣1，1）；当a=1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞1时，f（x）的增区间为（0，1）和（2a﹣1，+∞），减区间为（1，2a﹣1）．（Ⅲ）证明：①当时，由（Ⅱ）知：f（x）在（0，2a﹣1）上单调递增，在（2a﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，所以f（x）≤max{f（2a﹣1），f（2）}．f（2）=2﹣4a+（2a﹣1）ln2=（2a﹣1）（ln2﹣2）＜0．f（2a﹣1）==，记，，，又∵，∴g'（a）＞0．∴g（a）在上单调递增．∴当时，即成立．又∵，∴2a﹣1＞0．所以f（2a﹣1）＜0．∴当时，x∈（0，2）时f（x）＜0．②当a=1时，f（x）在（0，2）上单调递增，∴f（x）＜f（2）=ln2﹣2＜0．③当a＞1时，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2a﹣1）上单调递减，在（2a﹣1，+∞）上单调递增．故f（x）在（0，2）上只有一个极大值f（1），所以当x∈（0，2）时，f（x）≤max{f（1），f（2）}．，f（2）=2﹣4a+（2a﹣1）ln2=（2a﹣1）（ln2﹣2）＜0，∴当a＞1时，x∈（0，2）时f（x）＜0．综①②③知：当时，对∀x∈（0，2），都有f（x）＜0．【点评】本题考查导数的几何意义、用导数研究函数的单调性、恒成立问题、分类讨论的思想方法．属于中档题．。
2019-2020学年山东省淄博市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省淄博市第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题(Q J A) 1•已知全集U 0,1,2,3,4 ，且集合B 1,2,4 ，集合A 2,3，则BI( )A . 1,4 B. 1 C. 4 D.【答案】A【解析】先求出e u A,再由交集的定义求解即可【详解】由题，可得e u A 0,1,4，则B (e u A) 1,4故选：A【点睛】本题考查补集、交集的定义，考查列举法表示集合，属于基础题2.下列各命题中，真命题是( )2 2A.x R,1 x 0B. x N,x 13 2C. x Z, x 1 D . x Q,x 2【答案】C【解析】分别对选项中的等式或不等式求解，依次判断是否正确即可【详解】对于选项A, 1 x20,即x 1或x 1,故A不正确；对于选项B,当x 0时，x20 1,故B不正确；对于选项D, X <2为无理数，故D不正确；对于选项C,当x 0时，x30 1,故C为真命题,故选：C【点睛】本题考查不等式的求解，考查命题真假的判断，考查全称量词、存在性量词的应用23.若不等式x ax b 0(a, b R)的解集为x |2 x 5，则a,b的值为A . a 7,b 10B . a 7,b10C . a 7,b10D . a 7,b 10【答案】 A【解析】由题，可得x2和x 5为方程x 2ax b 0的根，根据方程的根与系数的关系建立等式即可求解 【详解】4. 'k 0”是一次函数y kx b （k,b 是常数）是增函数”的（ ）A •充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 根据一次函数的性质可知当 k 0时,y kx b 是增函数，即可作出判断 【详解】是增函数”的充要条件, 故选：C 【点睛】本题考查一次函数的单调性，考查充要条件的判断【答案】C 【解析】分别化简集合可得 A x|0x3,B x|x 1或x 1 ,阴影部分为由题可得x 2和x 5为方程X 2 ax b 0的根,所以由韦达定理可得x.( x 22 5 a a 7X x 2 2 5 b '即 b 10故选：A 【点睛】 本题考查由不等式的解求参数问题，考查转换思想，考查方程的根与系数的关系当k0时，一次函数y kx b 是增函数,故k 0”是一次函数y kx b （k,b 是常数）5.若集合 A x|x 2 3x 0 , B {x|x 2A . x|x 0C . {x|1 x 3} 1}，则图中阴影部分表示的集合为（）B. {x|0 x 1}{x|0 x 1 x 3}Al B,由交集定义解出即可【详解】由题，可得A x|0 x 3 ,B x |x 1 或x 1 ,由图可得阴影部分为A B x|1 x 3故选：C【点睛】本题考查图示法表示集合的关系，考查交集的定义，考查解不等式，考查运算能力6 •若不等式x2 ax 1, 0对一切x R恒成立，则实数a的取值范围为（）A . {a | 2剟a 2} B. {a |a, 2或a…2}C.a| 2 a 2 D . {a |a 2 或a 2}【答案】A【解析】由题可分析，0,解出a范围即可【详解】由题，若不等式x2ax1 0对一切x R恒成立,则a24 1 1 a24 0,即2 a 2,故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查转换思想，考查解不等式7 •如果函数2y x (1 a)x 2在区间(,4］］上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A. a 9B. a —3C. a 5 D .a —7 【答案】A【解析】因为二次函数开口向上，对称轴为a 1x ，所以其减区间为2 （，2 ］，又函数在（,4］上是减函数，故（，4］(鳥1］，所以4 a212 2 ，解得a 9,故选A.8.设集合A {x| 1, x 3}，集合B {x |0 x, 2}，则“a A”是“aB ”的（A .充分不必要条件B •必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题可得B A ,进而可判断‘a A ”与a B ”的关系 【详解】由题可得，B A ,则a A ”是‘a B ”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】9 •下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） 3A . y X 1B . y xC . y x x【答案】C【解析】因为选项A 是非奇非偶函数，不选，选项 B ，是奇函数，但是减函数，选项 C 中，是奇函数，并且是增函数，选项 D ，是奇函数，不是增函数，故选C.10 .已知 a 20.4, b 30.2 ,c50.2，则（)A . a b cB . ba cC .bc aD . cab【答案】 B【解析】 先将a 20.4 改写为a 40.2,再利用函数 y0 2X 的单调性判断即可【详解】由题，a 0.4 2 2 2 0.2 0.240 2，对于函数y x 可知在0， 单调递增，因为3 4 5,则 30.240' 50' ，即 b a c故选：B【点睛】本题考查利用幕函数单调性比较大小 ，考查指数幕的性质速为v ,则（）A . a v - abB . b v 、ab【答案】B本题考查集合之间的关系，考查必要不充分条件的判断11•小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为 a 和b a b ，其全程的平均时2 2abv --------- = -------【解析】可知 1 1 a b ,利用不等式的性质和均值不等式即可得到结果a b故选：B 【点睛】B . 3【答案】B【解析】试题分析:'.' 当且仅x-2x-2Vx-2当 ---'时，等号成立；所以■二?,故选B.X-2【考点】基本不等式二、填空题13 •若命题“ x R ，x 2 3ax 9 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ______________ 【答案】 2 a 2【解析】 先求出当命题为真命题时 a 的范围，其补集即为命题为假命题时 a 的范围 【详解】2 2ab由题1 1 a b ,a b11 1 1 111由于 ab 0,所以，即-,所以 1 1ab ab bb一 —a b222v— b1 1 1 12 ,即b va b b bb1 1 1,故 b b因为a b 0，所以a b一 2ab2ab，v=r^2ab 2. ab本题考查考查不等关系 ，不等式的性质，考查均值不等式 12 •若 f(X )C （x 2）在X n处取得最小值，则【详解】【答案】3或52 2 2由题，当命题“ x R,x 3ax 9 0 ”为真命题时, 3a 4 9 9a 36 0, 即a 2或a 2, 则当命题“ x R, x 2 3ax 9 0 ”为假命题时，2 a 2故答案为： 2 a 2【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题，考查转换思想，考查运算能力114 .函数y—2的定义域为 ____________ . J i x 2【详解】故答案为： i,i【点睛】本题考查具体函数求定义域，属于基础题【答案】【详解】【点睛】第6页共ii 页【答案】 i,i【解析】 函数若有意义需满足i x 20,求解即可由题，ix 2 0,即i x i,故定义域为i,ii5.若 a 0,b0 且满足-a则2a b 的最小值为【解析】2a2a b,2b a3 22由题，则 2a2a 2a当且仅当2a b，即a伸寸,等号成立，2a b 的最小值为3 2 2本题考查 “i 的代换法求最值问题 ，考查均值不等式的应用，考查运算能力i6 •已知函数f(X )x 2 i(x2x(x 0)，若0)x io ,则 x2a b 2b a解析】 由分段函数求值问题，分段讨论x0x 2 1或x 0 ，求解即可得解10 2x 10详解】 因为 f x 10，所以 x0x 21 x010 或 2x 10 ，解得 x5，故答案为： 3或 5. 【点睛】 本题考查了分段函数，属基础题 三、解答题 17 .已知集合A {x 10^x 4}，集合B {x|mm} ，且 A B A ，求实数 m 的取值范围 【答案】m …1 解析】 由 A B A 可得 B A , 分别讨论 B的情况 ,得到不等关系 ,求解即可 详解】 A ,时 ,则 m m ，即m0时, 11 0 ,解得 1 4 0,综上可知 ,m 1. 点睛】 本题考查由并集结果求参数 ,当BA , 需讨论集合B 是否为空集 ,是易错点 ,考查分类讨论思想 2 18.已知集合 A x|x 22 0 ，集合 Bx|x 2ax a 3 0 ，若AI BB ，求实数 a 的取值集合. 答案】 {a| 2, a 6} 解析】 先用列举法表示 A 2,1 ,由 AI B A ,分别讨论 B 与B 的情况即可 详解】由题,A 2,1 ,Al B得B A,时，a20,即a2 4a 12 0,时，由B2,1, 2,14(a 3) 2a a 3 00,即2,a 6,解集,舍去;4(a 3)1 a a 3°,即2,a B { 2,1},a24(a 3)a 1 ，即6 , aa 2,x 6a 1 ，解集，舍去;综上可知，实数a的取值集合为｛a |6}.【点睛】本题考查由交集结果求参数，当B A ,需讨论集合B是否为空集，是易错点，考查分类讨论思想19 .已知函数y x在定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若1 a20，求实数a的范围.【答案】0, a 1【解析】先求得f a的定义域再由y f x是奇函数可得a2,由单调性即可得到a的范围【详解】由题意得解得02,即064答:当长方体纸盒的底面是边长为4 m 的正方形时，用纸最少为64 m 2.由 f 1 a 2 f 1 a 0, 得 f 1 a f 1 a 2 , •/函数y f x 是奇函数，2 2••• f 1 a fa 1 ,2二 f 1 a f a 1 ,又•••函数y f x 在定义域 1,1上是减函数二 1 a a 2 1,即 a 2 a 2 0,解得2 a 1,,0a 丘/旦c.由得,0 a 12 a 1【点睛】20 •要制作一个体积为 32m 3，高为2m 的长方体纸盒，怎样设计用纸最少? 【答案】当长方体纸盒的底面是边长为 4 m 的正方形时，用纸最少为 64 m 2 【解析】由题可得长方体纸盒的底面积为 16m 2,设长方体纸盒的底面一边长为16一边长为 m ，则长方体纸盒的全面积为x利用均值不等式求解即可 【详解】设长方体纸盒的底面一边长为xm ,则另一边长为^m ,x长方体纸盒的全面积为0,16 c 8,当且仅当xx 164时,y 的最小值为x由题意得，长方体纸盒的底面积为 16m 2,则由题意得y 2(2x3216) 4(xx兰)32(x 0)x本题考查抽象函数奇偶性的应用,考查抽象函数的定义域，考查单调性的应用x m ,则另32(x 0), y 2(2x 32 16)4(x 鸟x xx 16 ,即x 4时，等号成立x •••当【点睛】 本题考查均值不等式求最值，考查空间几何体的体积与表面积，考查运算能力221.已知二次函数 f x x 2ax a 1在区间0,1上有最小值 2，求实数a 的值.【答案】a 1或a 2【解析】先得到对称轴是x a ,讨论对称轴与区间 0,1的位置关系，进而求得a 的值【详解】2二次函数f X x 2ax a 1图像的对称轴是 x a ,•- f x i f(1)1 2a a 1 2,解得a 2 ； 2 2当 0 a 1 时,f x min f a a 2a a 12, 即a 2 a 1 0,解得a 1±-5不合题意,舍去;2综上可得,a 1或a 2【点睛】本题考查二次函数由最值求参数问题 ，考查分类讨论思想一、 222 .已知函数f (x) x . x(1) 求它的定义域和值域；(2) 用单调性的定义证明：f (x)在(0, .. 2)上单调递减•【答案】(1) {x|x 0},(已 2-、2] U [2-、2,+ ) ; (2)证明见解析【解析】(1)由分母不为0求定义域，由均值不等式求值域；(2)设 0< N < X 2 < & ,判断f X 1f X 2即可【详解】 2 当 x 0时,x 2 2, x解得在区间 0,1上单调递增，x min在区间 0,1上单调递减，2当且仅当x 即x 、2时等号成立，x2当x 0时,x 0, x ••2 2,x即x 2 2 .2x2当且仅当x ，即x 、2时等号成立；x•••函数f x的值域是（卩2、、2] U[2、,2,+ ）（2）证明：设0 < 为< x2 < . 2 ,占 2 2 x1x2NX 2则f x1 f x? x1x2—x X2 x1x2 T 0< 为< x2 < . 2•-为x20,0 X1X2 2•- x,x2 2 0•- f X1 f X2 0,即f 为 f X2• f x在（0,、. 2）上单调递减.【点睛】本题考查函数的定义域和值域，考查定义法证明函数单调性(1)解：函数的定义域是{x|x 0},。
2023-2024学年山东省淄博实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博实验中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分1．已知集合P ＝{x ||x ﹣1|≤1}，Q ＝{x |x 2﹣3x +2≤0}，则P ∩（∁R Q ）＝（ ） A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |0≤x ＜1} C ．{x |0＜x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1}2．命题“∀a ∈R ，a +1a≥2”的否定是（ ） A ．∀a ∈R ，a +1a ＜2 B ．∃a ∈R ，a +1a ＜2C ．∀a ∈R ，a +1a≤2 D ．∃a ∈R ，a +1a≤2 3．已知函数f （x ﹣1）＝3x ﹣2，且f （a ）＝1，则实数a 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a ∈R ，则“1a＜1”是“a ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于实数a ，b 下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ab 2＞b 3C ．若a 2＞b 2，则a ＞bD ．若a ＞|b |，则a 2＞b 26．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣m ﹣1）x m﹣1是定义域上的奇函数，则m ＝（ ） A ．13B ．−13C ．23D ．−237．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为（ ） A ．{x |x ＜−√3或 x ＞√3} B ．{x |﹣3＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜3}D ．{x |x ＜﹣3或 x ＞1}8．函数f （x ）定义域为R ，对任意的x 1≠x 2∈R 都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），则称函数y ＝f （x ）为“H 函数”，已知函数g(x)=2023x −2023−x +log 2023(√x 2+1+x)是“H 函数”，则关于x 的不等式g （2x +1）+g （x +2）＞0的解集为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣1）二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分9．已知10α＝5，10β＝4，则下列式子的值为整数的是（ ）A ．10α2 B ．10β2C ．10α﹣βD ．10α+β210．下列运算中正确的是（ ） A ．2log 510+log 50.25＝2 B ．log 427×log 258×log 95=89C ．log 449+log 23=1D ．e ln 2+ln 3＝611．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y ＞0，x +y ＝2，则2x +2y 的最大值为4B ．1x +1y=1，则x +y 的最小值是4C ．当0＜x ＜1，x （3﹣3x ）取得最大值34D ．y =x 2+5√x 2+4的最小值为5212．下列命题正确的是（ ）A ．若函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]B ．f(x)=(12)−3x2+2的最小值为14C ．f(x)=x−2x+2的图象关于（﹣2，1）成中心对称D ．f(x)=log 2(x 2−4x −5)的递减区间是（﹣∞，2） 三、填空题：共4小题，每题5分，共20分13．已知f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，则f （3）＝ ．14．已知函数f(x)={(2a −1)x −3a +1，x ≤1log a x −13，x ＞1，且对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是 ． 15．若f(x)=a+1e x +1−1为奇函数，则g （x ）＝ln [（x ﹣3）（x ﹣a ）]的单调递减区间是 ． 16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f （x ）＝ ． ①定义域为R ，值域为[﹣1，+∞） ②y ＝f （x ）在定义域内是偶函数 ③y ＝f （x ）有3个零点 四、解答题：共6大题，共70分17．（10分）已知集合A ={x|x−1x+1＜0}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}．（1）当m ＝﹣1时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）设函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1．（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，求m 的取值范围；（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y ＝kx +b （k ＞0）；②y ＝k •1.2x +b （k ＞0）；③y =klog 2(x15+2)+n(k ＞0)． （1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）．20．（12分）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本C （x ）万元，已知C (x)={ax 2+49x ，0＜x ≤5051x +144002x+1−870，50＜x ≤100，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润＝销售额﹣成本）为L （x ）万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元．(√2≈1.41)（1）年利润L （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 21．（12分）已知函数f(x)=log a 1−mxx−1是奇函数（a ＞0且a ≠1）． （1）求m 的值．（2）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性．（3）当a =12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立，求b 的取值范围． 22．（12分）已知f （x ）＝log 3（m x +1）﹣x （m ＞0，且m ≠1）是偶函数． （1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ≤0在R 上有解，求实数a 的最大整数值．2023-2024学年山东省淄博实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分1．已知集合P＝{x||x﹣1|≤1}，Q＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则P∩（∁R Q）＝（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}解：因为P＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}＝{x|0≤x≤2}，Q＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，所以∁R Q＝{x|x＜1或x＞2}，所以P∩（∁R Q）{x|0≤x＜1}．故选：B．2．命题“∀a∈R，a+1a≥2”的否定是（）A．∀a∈R，a+1a＜2B．∃a∈R，a+1a＜2C．∀a∈R，a+1a≤2D．∃a∈R，a+1a≤2解：命题“∀a∈R，a+1a≥2”为全称量词命题，所以命题“∀a∈R，a+1a≥2”的否定是：∃a∈R，a+1a＜2．故选：B．3．已知函数f（x﹣1）＝3x﹣2，且f（a）＝1，则实数a等于（）A．0B．1C．2D．3解：因为函数f（x﹣1）＝3x﹣2＝3（x﹣1）+1，可得f（x）＝3x+1，又因为f（a）＝1，所以3a+1＝1，解得a＝0．故选：A．4．已知a∈R，则“1a＜1”是“a＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当1a ＜1时，1a−1=1−aa＜0，即a（a﹣1）＞0，解得a＜0或a＞1，故不充分；当a＞1时，1a −1=1−aa＜0，即1a＜1，故必要．即“1a＜1”是“a＞1”的必要不充分条件．故选：B ．5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于实数a ，b 下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ab 2＞b 3C ．若a 2＞b 2，则a ＞bD ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解：A ：若a ＝1＞b ＝﹣1，此时1a＞1b，与题意不相符，故A 错误； B ：若a ＞0，b ＝0，则ab 2＝b 3，与题意不相符，故B 错误；C ：若a ＝﹣3，b ＝2，则a 2＞b 2，但是a ＜b ，与题意不相符，故C 错误；D ：若a ＞|b |，两边平方，则a 2＞b 2，与题意相符，故D 正确． 故选：D ．6．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣m ﹣1）x m﹣1是定义域上的奇函数，则m ＝（ ） A ．13B ．−13C ．23D ．−23解：因为函数f （x ）为幂函数，可得3m 2﹣m ﹣1＝1，解得m =−23或m ＝1， 当m =−23时，可得f(x)=x −53，此时函数为奇函数，符合题意； 当m ＝1时，可得f （x ）＝x 0，此时函数为偶函数，不符合题意，舍去， 所以m =−23． 故选：D ．7．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为（ ） A ．{x |x ＜−√3或 x ＞√3} B ．{x |﹣3＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜3}D ．{x |x ＜﹣3或 x ＞1}解：∵不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}， ∴﹣2和1是方程ax 2+bx +c ＝0，且a ＜0， ∴﹣2+1=−b a ，﹣2=ca ，∴a ＝b ，c ＝﹣2a ， ∴ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0，等价于ax 2+2ax ﹣3a ＜0，∵a ＜0，∴ax 2+2ax ﹣3a ＜0等价于x 2+2x ﹣3＞0，解得x ＜﹣3或x ＞1， ∴不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为{x |x ＜﹣3或x ＞1}． 故选：D ．8．函数f（x）定义域为R，对任意的x1≠x2∈R都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y ＝f（x）为“H函数”，已知函数g(x)=2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)是“H函数”，则关于x的不等式g（2x+1）+g（x+2）＞0的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）解：对任意的x1≠x2∈R都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），合并同类项得（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即“H函数”是在R上单调递增的函数．由已知g（x）是“H函数”，所以g（x）为R上的递增函数．又函数g(x)=2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)的定义域为R，g(−x)=2023−x−2023−(−x)+log2023[√(−x)2+1+(−x)]=2023−x−2023x+log√2√2√x2+1+x=2023−x−2023x+log2023(√x2+1+x)−1=−[2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)]=−g(x)，所以g（x）为奇函数．因为g（2x+1）+g（x+2）＞0，即g（2x+1）＞﹣g（x+2），即g（2x+1）＞g（﹣x﹣2），所以2x+1＞﹣x﹣2，即x＞﹣1．关于x的不等式g（2x+1）+g（x+2）＞0的解集为（﹣1，+∞）．故选：A．二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分9．已知10α＝5，10β＝4，则下列式子的值为整数的是（）A．10α2B．10β2C．10α﹣βD．10α+β2解：因为10α＝5，10β＝4，所以10α2=(10α)12=√5，10β2=(10β)12=412=2，10α−β=10α10β=54，10α+β2=10α×10β2=10，所以值为整数的式子是10β2和10α+β2．故选：BD．10．下列运算中正确的是（）A．2log510+log50.25＝2B．log427×log258×log95=89C．log449+log23=1D．e ln2+ln3＝6解：对于选项A：2log510+log50.25=log5(102×0.25)=log552=2，故选项A正确；对于选项B ：log 427×log 258×log 95=lg33lg22×lg23lg52×lg5lg32=3×32×2×2=98，故选项B 错误； 对于选项C ：log 449+log 23=log 22(23)2+log 23=22log 223+log 23=log 2(23×3)=log 22=1，故选项C 正确；对于选项D ：e ln 2+ln 3＝e ln 6＝6，所以选项D 正确． 故选：ACD ．11．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y ＞0，x +y ＝2，则2x +2y 的最大值为4B ．1x +1y=1，则x +y 的最小值是4C ．当0＜x ＜1，x （3﹣3x ）取得最大值34D ．y =2√x 2+4的最小值为52解：由2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y =2√22=4， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以A 错误； 若x =−1，b =12，满足1x+1y=1，可得x +y =−12，所以B 不正确；当0＜x ＜1，可得x(3−3x)=3x(1−x)≤3⋅(x+1−x 2)2=34， 当且仅当x ＝1﹣x 时，即x =12，等号成立，所以C 正确； 由y =x 2+5√x 2+4=√x 2+41√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=1√x 2+4取等号，即x 2+4＝1，显然该方程无实根，对勾函数最小值取√x 2+4=2，代入可得最小为52，所以D 正确． 故选：CD ．12．下列命题正确的是（ ）A ．若函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]B ．f(x)=(12)−3x2+2的最小值为14C ．f(x)=x−2x+2的图象关于（﹣2，1）成中心对称D ．f(x)=log 2(x 2−4x −5)的递减区间是（﹣∞，2） 解：根据题意，依次分析选项：对于A ：函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，所以1﹣x ∈[﹣1，1]，令2x ﹣1∈[﹣1，1]，解得x ∈[0，1]，所以函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]，A 正确； 对于B ：令t ＝﹣3x 2+2≤2，则y =(12)t ，因为t ≤2，且y =(12)t 在定义域内递减， 所以(12)t ≥(12)2=14，所以y =(12)−3x2+2的最小值为14，所以B 正确；对于C ：因为y =x−2x+2=1−4x+2，所以y =x−2x+2可看成反比例函数y =−4x 向左平移2个单位长度， 再向上平移1个单位长度得到的，因为y =−4x的对称中心为（0，0）， 所以y =x−2x+2的对称中心为（﹣2，1），所以C 正确；对于D ：由x 2﹣4x ﹣5＞0，得x ＜﹣1或x ＞5，所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）， 令t ＝x 2﹣4x ﹣5，则y ＝log 2t ，因为t ＝x 2﹣4x ﹣5在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增， 且y ＝log 2t 在（0，+∞）上单调递增，所以f(x)=log 2(x 2−4x −5)在（﹣∞，﹣1）上递减，在（5，+∞）上递增，所以D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：共4小题，每题5分，共20分13．已知f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，则f （3）＝ 7 ．解：由函数f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，可得f(3)=f(7)+1=f(11)+2=f(15)+3=log 216+3=log 224+3=7． 故答案为：7．14．已知函数f(x)={(2a −1)x −3a +1，x ≤1log a x −13，x ＞1，且对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是 (0，13] ． 解：因为对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减， 所以{ a −1＜00＜a ＜1(2a −1)−3a +1≥log a 1−13，解得0＜a ≤13，即实数a的取值范围为(0，13 ]．故答案为：(0，13 ]．15．若f(x)=a+1e x+1−1为奇函数，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣a）]的单调递减区间是（﹣∞，1）．解：由f(x)=a+1e x+1−1，x∈R为奇函数，则f(0)=a+12−1=0，解得a＝1，当a＝1时，f(x)=2e x+1−1=1−e xe x+1，则f(−x)=1−e−xe−x+1=e x−11+e x=−f(x)，满足题意．当a＝1时，g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣1）]，由（x﹣3）（x﹣1）＞0解得x＜1或x＞3，令t＝（x﹣3）（x﹣1），当x＜1时，t＝（x﹣3）（x﹣1）单调递减，y＝lnt单调递增，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣2）]单调递减；当x＞3时，t＝（x﹣3）（x﹣1）单调递增，y＝lnt单调递增，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣1）]单调递增；则g（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f（x）＝x2﹣2|x|（答案不唯一）．①定义域为R，值域为[﹣1，+∞）②y＝f（x）在定义域内是偶函数③y＝f（x）有3个零点解：根据题意，取函数f（x）＝x2﹣2|x|，可得函数f（x）＝x2﹣2|x|＝（|x|﹣1）2﹣1的定义域为R，值域为[﹣1，+∞），故①符合；因为f（﹣x）＝x2﹣2|x|＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故②符合；令f（x）＝x2﹣2|x|＝0，解得x＝0或x＝±2，所以y＝f（x）的图象与x轴有三个零点，所以③符合；综上，所以函数f（x）＝x2﹣2|x|符合题意．故答案为：x2﹣2|x|．四、解答题：共6大题，共70分17．（10分）已知集合A={x|x−1x+1＜0}，B={x|2m−1≤x≤m+1}．（1）当m＝﹣1时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．解：（1）由题意，A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |﹣3≤x ≤0}， 所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤0}； （2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，①B ＝∅，∴m +1＜2m ﹣1，解得m ＞2， ②B ≠∅，∴{m +1≥2m −1m +1＜12m −1＞−1，无解，综上，m ∈（2，+∞）．18．（12分）设函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1．（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，求m 的取值范围；（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，则∀x ∈R ，f （x ）≤0是真命题， 即mx 2﹣mx ﹣1≤0在R 上恒成立， 当m ＝0时，﹣1＜0，符合题意； 当m ≠0时，需满足{m ＜0Δ=m 2+4m ≤0，解得﹣4≤m ＜0；综上所述，m 的取值范围为[﹣4，0]．（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，即存在x ∈（﹣4，0）使得m ≥−x −4x成立，故只需m ≥(−x −4x)min ，x ∈（﹣4，0）， 因为x ∈（﹣4，0），所以﹣x ∈（0，4），则−x −4x =(−x)+4−x ≥2√(−x)⋅4−x =4， 当且仅当−x =4−x ，即x ＝﹣2时取等号， 所以m 的范围为{m |m ≥4}．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y ＝kx +b （k ＞0）；②y ＝k •1.2x +b （k ＞0）；③y =klog 2(x 15+2)+n(k ＞0)．（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）．解：（1）对于模型①，y ＝kx +b ，不满足同时过（0，0），（30，3），（90，6）三个点，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点（0，0），（30，3）， 则{klog 22+n =0klog 2(3015+2)+n =3，解得k ＝3，n ＝﹣3， 故所求函数为y =3log 2(x15+2)−3，经检验，点（90，6）符合上式， 综上所述，函数的解析式为y =3log 2(x15+2)−3． （3）∵学校要求每天的分数不少于4.5分， ∴3log 2(x15+2)−3≥4.5，即log 2(x 15+2)≥2.5， ∴x 15+2≥22.5=4×20.5=4√2，∴x ≥60√2−30≈55， ∴每天至少运动55分钟．20．（12分）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本C （x ）万元，已知C (x)={ax 2+49x ，0＜x ≤5051x +144002x+1−870，50＜x ≤100，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润＝销售额﹣成本）为L （x ）万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元．(√2≈1.41)（1）年利润L （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 解：（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为1600a +49×40+250万元，利润为50×40﹣（1600a +49×40+250）＝190，解得a =−14，则L （x ）={14x 2+x −250，0＜x ≤50−x −144002x+1+620，50＜x ≤100． （2）当x ∈（0，50]，y =−14x 2+x −250，对称轴为x ＝﹣2＜0，则函数在（0，50]上单调递增，故当x ＝50时，y max ＝425， 当x ∈（50，100]时，y =−x −144002x+1+620=−(x +144002x+1)+620=620.5−(2x+12+144002x+1)≤620.5−120√2≈451.3， 当且仅当2x+12=144002x+1，即x =60√2−12≈84.1时取等号， 因为425＜451.3，所以当年产量为84.1时，所获年利润最大，最大年利润是451.3． 21．（12分）已知函数f(x)=log a1−mxx−1是奇函数（a ＞0且a ≠1）． （1）求m 的值．（2）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性．（3）当a =12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立，求b 的取值范围． 解：（1）f(x)=log a1−mxx−1是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）在其定义域内恒成立，即log a ，1+mx −x−1=−log a1−mx x−1，∴1﹣m 2x 2＝1﹣x 2恒成立，∴m ＝﹣1或m ＝1（舍去），即m ＝﹣1． （2）由（1）得f(x)=log a 1+xx−1(a ＞0，a ≠1)， 令μ=x+1x−1=1+2x−1，则μ在（1，+∞）上为减函数， ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数； 当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立， 则f(x)−(12)x ＞b 在[3，4]上恒成立， 令g(x)=f(x)−(12)x ，由（2）知，g （x ）在[3，4]上是单调递增函数， 所以b ＜g(x)min =g(3)=−98，即b 的取值范围是(−∞，−98)．22．（12分）已知f （x ）＝log 3（m x +1）﹣x （m ＞0，且m ≠1）是偶函数． （1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ≤0在R 上有解，求实数a 的最大整数值．解：（1）函数f （x ）定义域为R ，由函数为偶函数，有f （x ）＝f （﹣x ）， 即log 3(m x +1)−x =log 3(m −x +1)+x ， 则有log 3(m x +1)−log 3(1m x+1)=2x ， 即log 3m x =xlog 3m =2x ，得log 3m ＝2，所以m ＝9． （2）由（1）可知，f(x)=log 3(9x +1)−x ， 则3f(x)=3log 3(9x −1)−x=3log 3(9x+1)3x=9x+13x =3x +3﹣x =[(√3)x +(√3)−x ]2−2，设g （x ）=12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a =12[(√3)x +(√3)−x ]2−1−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ， 依题意有g （x ）min ≤0，由基本不等式(√3)x +(√3)−x ≥2√(√3)x ⋅(√3)−x =2， 当且仅当(√3)x =(√3)−x ，即x ＝0时等号成立，令(√3)x +(√3)−x =t 则ℎ(t)=12t 2−3t +a −1(t ≥2)，有h （t ）min ≤0， 由二次函数的性质可知h （t ）在[2，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增， ℎ(t)min =ℎ(3)=92−9+a −1=a −112， 则有a −112≤0得a ≤112， 所以实数a 的最大整数值为5．。
最新版山东省淄博市高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高一数学期中考试题（试卷总分150分，考试时间120分钟）一：选择题：（共15个，每题4分）1.与函数y=x 表示同一个函数是( ) A.y=2x B.y=a x a log C.y=x x22.函数()lg(2)f x x =+的定义域为( )A.(2,1]-B.(2,1)-C.[2,1)-D.[2,1]--3.设集合A={x|1x e e > }，B={x|log 2x<0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |x<-1或x>1}B ．{x|-1<x<1}C ．{x|0<x<1}D ．{x|x>1}4.下列函数中，是奇函数且在区间(,0)-∞上为增函数的是( )A. ()lg f x x =B. 3x y = C. 1-=x y D.x y e =5.设()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()3f f -⎡⎤⎣⎦= ( )A. 1B. 2C. 4D. 86.函数)1,0(11≠>+=-a a a y x 的图象过定点（ ）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，1）D.（1，2）7.定义在R 上的奇函数f (x )，当x <0时，13)(2--=x x x f ，那么x >0时，f (x )=（）A ．132--x x B.132-+x x C.231x x -++ D.231x x --+8.151log 225lg lg 2lg5100+++= ( )A. 6B. -7C. 14D. 19.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在区间是（ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)1,1(e D ．)3,(e10.幂函数322)1()(-+--=m m x m m x f 在),0(+∞时是减函数，则实数m 的值为( ) (A) 2或1- (B) 1-(C) 2 (D) 2-或1 11函数f （x ）=log 2x 与g （x ）=（）x +1在同一直角坐标系中的图象是（ ）A B CD ．12.设0.20.32,ln 2,log 2a b c ===则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<13.已知函数f(x) =2x -2,则函数y=|f(x)|的图象可能是()14.若函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在（﹣∞，0]上满足1212()()0f x f x x x --<，且f （1）=0，则使得()f x x＜0的x 的取值范围是( ) A ．（﹣∞，1） B ． （﹣∞，﹣1）∪(1, +∞)C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣1，1）15.二次函数2()2f x ax a =+是2,a a ⎡⎤-⎣⎦上的偶函数又()(1)g x f x =-，则3(0),(),(3)2g g g 的大小为( ) A ．3()(0)(3)2g g g << B ．3(0)()(3)2g g g <<C ．3()(3)(0)2g g g << D ． 3(3)()(0)2g g g <<二：填空题（共5个，每题4分）16.若函数)(x f 的图像与3x y =的图像关于y=x 对称,则(9)f 的值为 _____17.223y x ax =-++在区间[2,6]上为减函数.则a 的取值范围为 _____2l o g (32)y x =-18.函数的零点为______ 19.已知3x =2y =12，则+=20若()()12f m f -<，则实数m 的取值范围是_________ 三;解答题：21（15分）（1）求函数f(x)＝2x －2x ＋2.在区间[12，3]上的最大值和最小值；（2）、已知3()4f x ax bx =+-，若f(2) =6，求f(-2) 的值（3）计算41320.753440.0081(4)16---++-3log 43+的值.22（12分）（1）已知集合},013|{2R a x ax x A ∈=+-=，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围。
山东省2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题（答案在最后）2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}- D.{1,0,1,2,3,4}-2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.28.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c->- D.b c ba c a+>+10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12D.有最大值11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减D.函数()41y f x =+为偶函数第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．14.函数()f x =的定义域为______．15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}-D.{1,0,1,2,3,4}-【答案】B 【解析】【分析】求()()A B A B ð得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为()(){1,1,3,4}A B A B =- ð.故选：B2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤【答案】B 【解析】【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为：存在2000,10x R x x ∈++≤.故选：B3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x = ，值域是{|01}N y y = ，C 正确；对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误；故选：C ．4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】12x >时12x <成立，12x <时如112x =-<，则=1x -12<，因此只能是充分不必要条件，故选：A ．5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，令213x +=求出x 即可计算作答.【详解】函数()22132f x x +=+，令213x +=，得1x =，所以()233125f =⨯+=.故选：C6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出()f x 定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数()f x =的定义域需要满足2320x x +-≥，解得()f x 定义域为[]13，-，因为232y x x =+-在[]11-，上单调递增，所以()f x =在[]11-，上单调递增，故选：D .7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.2【答案】B 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，分别确定1a -与12a +的范围，代入相应的函数解析式，再利用()()112f a f a -=+即可求解.【详解】当0a >时，有11a -<，121a +>，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21122a a a a -+=-+-，解得：1a =-，又0a >，所以1a =-舍去；当a<0时，有11a ->，121a +<，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21212a a a a ++=---，解得：12a =-.故选：B.8.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1【答案】A 【解析】【分析】依题意知2y ax bx c =++的值域为[]0,1，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，可得0c =，a b =-，从而确定当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，进而解得4a =-.【详解】依题意，2y ax bx c =++的值域为[]0,1，且20ax bx c ++≥的解集为[]0,1，故函数的开口向下，a<0，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，则0c =，0122b a +-=，即a b =-，则222124a y ax bx c ax ax a x ⎛⎫=++=-=-- ⎪⎝⎭，当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，即14a-=，解得：4a =-.故选：A.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c ->- D.b c ba c a+>+【答案】AB 【解析】【分析】对于AB ，可利用不等式的性质直接判断；对于CD ，可赋值判断.【详解】对于A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c >，所以c c a b>，故A 正确；对于B ，因为0a b c >>>，则有20c >，所以22ac bc >，故B 正确；对于C ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则211a b -=-=，()112b c -=--=，此时a b b c -<-，故C 错误；对于D ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则11021b c a c +-==+-，12b a =，此时b c b a c a +<+，故D 错误.故选：AB.10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12 D.有最大值【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误.【详解】设正实数a 、b 满足1a b +=.对于A 122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，由基本不等式可得()111113322322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭()()111122=222322322a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫++++=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，B 选项错误；对于C 选项，()()()222222122222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，()222a b a b =+++=≤，当且仅当22a b ==时，等号成立，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及单调性，再逐项判断即得答案．【详解】由()2f x +为奇函数，得()2(2)f x f x -+=-+，即(4)()0f x f x -+=，因此()f x 的图象关于点()2,0对称，由任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，得函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，于是()f x 在R 上单调递增，B 正确；显然(2)(2)0f f -<=，即()f x 的图象关于点()2,0-不对称，A 错误；对C ，由(4)()0f x f x -+=，得()()44f x f x +-≠，C 错误；对D ，由于()f x 在R 上单调递增，()()0(2)f x f x f <⇔<，则2x <，即不等式()0f x <的解集为(),2-∞，D 正确．故选：BD12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减 D.函数()41y f x =+为偶函数【答案】BCD 【解析】【分析】令2214x x -+≤求出不等式的解，即可求出()4f x 的解析式，即可判断A 、B 、C ，再求出()41y f x =+的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由2214x x -+≤，解得13x -≤≤，∴()2421,134,14,3x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以()24222211f =-⨯+=，故A 错误；当13x -≤≤时()()224211f x x x x =-+=-，且()4f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,3上单调递增，()401f =，()()44431f f -==，所以()404f x ≤≤，即()4f x 的值域为[]0,4，故B 、C 正确；因为()24,2214,24,2x x y f x x x ⎧-≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩，则()41y f x =+的图象如下所示：由图可知()41y f x =+的图象关于y 轴对称，所以函数()41y f x =+为偶函数，故D 正确；故选：BCD第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．【答案】1或3##3或1【解析】【分析】根据题意得到25m +=，245m +=，解方程再验证得到答案.【详解】{}21,2,4m M m +=+，5M ∈，当25m +=时，3m =，此时{}1,9,13M =，满足条件；当245m +=时，1m =±，1m =-时，不满足互异性，排除；1m=时，{}1,3,5M =，满足条件.综上所述：1m =或3m =.故答案为：1或3.14.函数()f x =的定义域为______．【答案】1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负且分母不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数()f x =，则1021210xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩等价于()()1210210x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以函数()f x =的定义域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：1,12⎛⎤-⎥⎝⎦15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[]1,4【解析】【分析】根据分段函数单调性的定义，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则44(1)32(5)21250a a a a a -++≥--⎧⎪+≥⎨⎪-<⎩，解得14a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,4.故答案为：[]1,4．16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【解析】【分析】令()()F x xf x =，可得函数利()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数且在(0,)+∞上单调递增，原不等式等价于()80F x x->，分析可得答案.【详解】令()()F x xf x =，由()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，可得()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，可得()()F x xf x =在(0,)+∞上单调递增，由(2)4f =，可得(2)8F =，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)8F -=，不等式8()0f x x ->，即为()80xf x x ->，即()80F x x->，可得0()8x F x >⎧⎨>⎩或0()8x F x <⎧⎨<⎩，即02x x >⎧⎨>⎩或020x x <⎧⎨-<<⎩解得2x >或20x -<<.故答案为：(2,0)(2,)-+∞ .四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|45A B x x =<<I （2）(]4∞-，【解析】【分析】（1）代入m 求集合B ，根据交集的定义即可得解；（2）A B B = ，即B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若3m =，则{}45B x x =<<，又{}27A xx =-≤≤∣，所以{}|45A B x x =<<I ；【小问2详解】解：因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，则211m m -≤+，解得2m ≤，此时B A ⊆，符合题意，当B ≠∅时，则12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤，综上所述4m ≤，所以若A B B = ，m 的取值范围为(]4∞-，.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()4f x x =（2）13,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）幂函数()()215m f x m m x+=--，有251m m --=，再由函数在()0,∞+上单调递增，解出m 的值，得函数()f x 的解析式；（2）由函数的奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】()()215m f x m m x +=--为幂函数，则有251m m --=，解得3m =或2m =-，3m =时，()4f x x =，在()0,∞+上单调递增，符合题意；2m =-时，()1f x x -=，在()0,∞+上单调递减，不合题意；所以()4f x x =.【小问2详解】()4f x x =，函数定义域为R ，()()()44f x x x f x -=-==，函数为偶函数，在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，若()()122f a f -<，有2122a -<-<，解得1322a -<<，所以实数a 的取值范围为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.【答案】（1）()22f x x x=+（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得1a b +=-，3a b -=，解方程即可得函数解析式；（2）利用函数单调性的定义法判断即可.【小问1详解】因为()11f -=-，()13f =，所以1a b +=-，3a b -=，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 解析式为：()22f x x x=+.【小问2详解】函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，证明如下：由（1）知()22f x x x=+，取任意1x 、()21,x ∈+∞，令12x x <，则()()()22121212121212222f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⋅⎝⎭因为12x x <，所以120x x -<，又211x x >>，则122x x +>，121x x ⋅>，所以12101x x <<⋅，则12202x x <<⋅，所以1222x x ->-⋅，即121220x x x x +->⋅，所以()()120f x f x -<，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.【答案】（1）顾客购得的黄金是大于10g ，理由见详解（2）三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比2λ=,理由见详解【解析】【分析】（1）设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则a b ¹，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金x g 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金y g 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x y +（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.（2）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可.【小问1详解】由于天平两臂不等长，设天平左臂长为a ，右臂长为b ，且a b ¹，先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则5,5bx a ay b ==，则55,a b x y b a ==，所以555210a b x y b a +=+≥⨯=当且仅当a bb a=，即a b =时取等号，由a b ¹，所以10x y +>顾客购得的黄金是大于10g【小问2详解】由（1）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，则此时有5a bm =，此时有5am b=，所以三次黄金质量总和为：55525()52a b a a b x y m b a b b a ++=++=+≥⨯=当且仅当2a b b a =，即2a b b λ=⇒==所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比22λ=.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}5A m m =>（2）5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或【解析】【分析】（1）分析可知24m x x >-在[]13,x ∈-时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数m 的取值集合A ；（2）分析可知A B ⊆，分a<0、0a >两种情况讨论，求出集合B ，结合A B ⊆可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立，得240x x m --<在[]13,x ∈-时恒成立，所以()2max4m x x>-，因为二次函数24y x x =-在[]1,2-上单调递减，在[]2,3上单调递增，且()21145x y=-=-+=，233433x y ==-⨯=-，所以，当[]13,x ∈-时，max 5y =，5m ∴>，所以，{}5A m m =>.【小问2详解】解：由22320x ax a -+≥可得()()20x a x a --≥.①当0a <时，可得{2B x x a =≤或}x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则5a ≤，此时，0a <；②当0a >时，可得{B x x a =≤或}2x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则25a ≤，解得52a ≤，此时502a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.【答案】（1）22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩（2）5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和0x ≥时()f x 的解析式，即可得出0x <时的解析式，进而得出答案；（2）由()f x 的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数t 的范围．【小问1详解】函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，1a =，当0x ≥时，2()f x x x =-+．当0x <时，有0x ->，22()()()f x f x x x x x =--=---=+．所以22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩．【小问2详解】因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，由2()f x x ax =-+在[)0,∞+上单调递减，故函数()f x 为单调递减函数，由()221240t f mt mf m m⎛⎫-+->⎪⎝⎭，可得()2221124t t f mt mf f m m m m ⎛⎫⎛⎫->--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22124t mt m m m -<-，即221124m t m m m ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，又注意到22211424m m m m ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，结合[)1,m ∈+∞，知120m m +>，得：14(21(2)t m m m m<+-+．令1()2=+g x x x，其中[)1,x ∞∈+，任取121x x ≤<，故2112121212121212111()()222()()2x x g x g x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因121x x ≤<，则120x x -<，121x x >，12120->x x ，故12121()20x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，得()()13g x g ≥=．又令12m n m +=，则14(21(2)t m m m m <+-+转化为4t n n <-，其中3n ≥．要使式子成立，需t 小于4n n-的最小值．又注意到函数y x =与函数4y x=-均在[)3,+∞上单调递增，则函数4y x x=-在[)3,+∞上单调递增．故445333n n -≥-=，得53t <，则t 的范围为5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．。
2022-2023学年山东省淄博市淄博高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省淄博市淄博第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合 {}{21}2101A x x B =-<≤=--∣，，，，， 则 A B =（ ）A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{}2,1,0--【答案】B【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{21}2101A xx B =-<≤=--∣，，，，， 则 A B ={1,0,1}-. 故选：B.2．已知命题2:,32>0p x x x ∀∈--R ，则p ⌝为（ ） A ．2,320x x x ∀∈--≤R B ．2,320x x x ∃∉--≤R C ．2,320x x x ∃∈--≤R D ．2,32>0x x x ∃∈--R【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题这一性质进行修改即可.【详解】由于全称命题的否定是特称命题，故p ⌝为，2,320x x x ∃∈--≤R . 故选：C3．设x R ∈，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件【答案】B【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<， 因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 4．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．[)2+∞，C ．[)3+∞，D ．(]3-∞，【答案】D【分析】由题意当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，由于11x x +-的最小值等于3，可得3a ≤，从而求得答案．【详解】当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立， 11a x x ∴≤+-对1x >均成立． 由于111121311x x x x +=-++≥+=--， 当且仅当2x =时取等号， 故11x x +-的最小值等于3， 3a ∴≤，则实数a 的取值范围是(]3-∞，． 故选：D ．5．设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（ ）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【分析】由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩，解方程即可得出答案.【详解】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩， 解得2x =-. 故选：A ．6．函数y = ） A ．{}24x x ≤≤ B ．{}02x x ≤≤C ．{}28x x ≤≤D ．{}08x x ≤≤【答案】C【分析】利用二次根式被开方数非负可求得原函数的定义域.【详解】对于函数y 210160x x -+-≥，即210160x x -+≤，解得28x ≤≤.所以，函数y {}28x x ≤≤. 故选：C.7．已知a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0c b a ->C ．cb ca <D ．()0ac a c -<【答案】C【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为c b a <<且0ac <，则0a >，0c <，b 的符号不确定， 对于A 选项，由不等式的基本性质可得ab ac >，A 中的不等式一定成立； 对于B 选项，0b a -<，则()0c b a ->，B 中的不等式一定成立； 对于C 选项，由不等式的性质可得cb ca >，C 中的不等式一定不成立；对于D 选项，0a c ->，由不等式的基本性质可得()0ac a c -<，D 中的不等式一定成立. 故选：C. 8．已知4()f x x x=+，2()1g x x ax =-+，若对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞【答案】B【分析】将对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥转化为214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解. 【详解】∵4()f x x x=+，[1,3]x ∈∴4()4f x x x =+≥，当且仅当4x x =，即2x =时取等号.∴当[1,3]x ∈时，min ()4f x =.∴对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥等价于()4g x ≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，即214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立∴3a x x≥-对任意[1,3]x ∈恒成立∵函数3y x x =-在[1,3]上为增函数∴max 3312a x x ⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭，即2a ≥.故选：B.二、多选题9．已知集合{}21,3,A m =，{}1,B m =．若A B A ⋃=，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-3D ．3【答案】AD【分析】根据并集结果得到B A ⊆，从而讨论得到0m =或1m =或3m =，根据集合中元素的互异性排除不合要求的结果.【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆．因为{}21,3,A m =，{}1,B m =，所以2m m =或3m =，解得0m =或1m =或3m =；当0m =时，{}1,3,0A =，{}1,0B =，符合题意；当1m =时，集合A 不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当3m =时，{}1,3,9A =，{}1,3B =，符合题意； 综上，0m =或3. 故选：AD10．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，1f x x x ，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 有3个单调区间B ．当0x >时，()()1f x x x =-C ．函数()f x 有最小值14-D ．不等式()0f x <的解集是()1,1-【答案】BC【分析】利用奇偶性求出()y f x =的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.【详解】解：当0x >时，0x -<，因为0x ≤时，1f x x x所以1fx xx ，又因为()y f x =是定义在R 上的偶函数所以0x >时，21f x x x x x即()()()2200x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩如图所示：对A ，由图知，函数()f x 有4个单调区间，故A 错误；对B ，由上述分析知，当0x >时，()2f x x x =-，故B 正确；对C ，由图知，当11212x =-=-⨯或11212x -=-=⨯时，函数()f x 取得最小值()111224min f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故C 正确；对D ，由图知，不等式()0f x <的解集是()()1,00,1-，故D 错误.故选：BC.11．已知函数()2+10,1=1,>1x kx x f x k x x -≤-⎧⎪⎨⎪⎩是R 上的减函数，则实数k 的可能的取值有（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】ABC【分析】根据题意可得121>01+101k k k k ≥--≥-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解之即可得解.【详解】因为函数()f x 是R 上的减函数，所以121>01+101k k k k ≥--≥-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得26k ≤≤. 故ABC 正确，D 错误 故选：ABC.12．已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ） A ．()34xf x x+=- B ．()f x =C ．()25243f x x x =-+D ．()f x x =【答案】BC【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可. 【详解】对于A ，()()47371444x x f x x x x--++===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-， 所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令24u x =-，则0u ≥，()f u =0x =时，u 取得最大值4，所以[]0,4u ∈，所以()[]0,2f x ∈，故存在正数2，使得()2f x ≤成立.对于C ，令()22243211u x x x =-+=-+，则()5f u u =，易得1u ≥，所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =则0t ≥，24x t =-，则()()221174024f t t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，易得()174f x ≤，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立. 故选：BC三、填空题13．设()2421f x x x +=+，则()3f =________．【答案】6【分析】先求出()f x 的解析式，再将3x =代入求解即可． 【详解】∵()()()224242222121111f x x x x x x x x +=+=++--=+-+令21t x =+（1t ≥），∴()2f t t t =-（1t ≥），即()2f x x x =-（1x ≥）当3x =时，()23336f =-=故答案为：6．14．已知0x >，则423x x--的最大值是_________【答案】2-2-【分析】直接利用基本不等式求最大值.【详解】0x，则44232322⎛⎫--=-+≤-=- ⎪⎝⎭x x x x当且仅当43x x =即x =故答案为：2-15．对任意R x ∈，给定()()25,(1)f x x g x x =-+=+，记函数()()(){}max ,M x f x g x =，例如，()()(){}{}2max 2,2max 3,99M f g ===，则()M x 的最小值是__________.【答案】4【分析】根据题意求()M x 的解析式，根据分段函数的性质先求每个部分的最小值，再求整个函数的最小值.【详解】若()()f x g x ≥，即25(1)x x -+≥+，解得41x -≤≤ 若()()f x g x <，即25(1)x x -+<+，解得1x >或4x <-∴()()(){}()()()[]2+1,,41,+=max ,=+5,4,1x x M x f x g x x x ∈-∞-⋃∞-∈-⎧⎪⎨⎪⎩当()(),41,x ∈-∞-+∞时，则()()()2114M x x M =+>=当[]4,1x ∈-时，则()()514M x x M =-+≥= ∴()M x 的最小值是4. 故答案为：4.16．若正数a ，b 满足46ab a b =++，则a b +的最小值是______． 【答案】3【分析】由基本不等式和条件可得()246ab a b a b =++≤+，然后解出此不等式可得答案.【详解】由基本不等式可得()24a b ab +≤，所以()246ab a b a b =++≤+，即()()260a b a b +-+-≥， 解得3a b +≥或2a b +≤-（舍），当且仅当32a b ==时等号成立， 所以a b +的最小值是3， 故答案为：3.四、解答题17．已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤． (1)若3a =，求R ()P Q ⋂；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R ()[2,4)P Q =- (2)[0,2]【分析】（1）由交集，补集的概念求解， （2）转化为集合间关系后列式求解，【详解】（1）当3a =时，[4,7]P =，{|25}Q x x =-≤≤，则R (,4)(7,)P =-∞+∞,R ()[2,4)P Q =-， （2）由题意得P 是Q 的真子集，而P 是非空集合，则12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩且12a +=-与215a +=不同时成立，解得02a ≤≤， 故a 的取值范围是[0,2]18．已知幂函数()23()39m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减.(1)求m 的值；(2)若(21)(2)m m a a ->+，求a 的取值范围. 【答案】(1)2m =- (2)111,,3322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)由幂函数的定义可得2391m m --=，解出m 的值，然后再验证其单调性. (2) 由（1）,即(21)(2)m m a a ->+,由其定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）因为()f x 是幂函数，所以2391m m --=， 所以23100m m --=，即(2)(5)0m m +-=， 解得2m =-或5m =.因为()f x 在()0,∞+上单调递减，所以30m -<，即3m <，则2m =-. （2）由（1）可知2m =-，则(21)(2)m m a a ->+等价于2211(21)(2)a a >-+，所以22(21)(2)21020a a a a ⎧-<+⎪-≠⎨⎪+≠⎩，即23830122a a a a ⎧--<⎪⎪≠⎨⎪≠-⎪⎩，解得1132a -<<或132a <<. 故a 的取值范围是111,,3322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/h ）与汽车的平均速度()/v km h 之间的函数关系式为()22400201600vy v v v =>++．（I ）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/h ，则汽车在平均速度应在什么范围内？（II ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？【答案】（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于80/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/h ）． 【分析】（I ）直接列出关于汽车的平均速度()/v km h 的不等式求解即可；（II ）2240240160020160020v y v v v v==++++，根据基本不等式求解即可.【详解】（I ）由条件得22402201600vv v >++，整理得到210016000v v -+<，即()()20800v v --<，解得2080v <<．（II）由题知，22402402402.4160020160010020v y v v v v==≤==++++. 当且仅当1600v v=即40v =时等号成成立． 所以max 2.4y =（千辆/h ）．答：（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于80/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/h ）． 20．已知关于x 的不等式2730ax x -+>的解集为{<x x b 或}>3x . (1)求a ，b 的值；(2)求关于x 的不等式()21202ax c b x c -++<的解集.【答案】(1)12,2a b ==； (2)答案见解析【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出a ，b 的值；（2）在（1）的前提下，对不等式变形为()()10x c x --<，对c 分类讨论，求解不等式的解集. 【详解】（1）易知0a ≠，由题意得b ，3是关于x 的方程2730ax x -+=的两个不相等的实数根，所以237?3+3=07+3=a b a -⎧⎪⎨⎪⎩， 解得：=21=2a b ⎧⎪⎨⎪⎩， 所以12,2a b ==. （2）由（1）得()()()2110x c x c x c x -++=--<，当=1c 时，不等式无解；当1c <时，解得：1c x <<；当1c >时，解得：1x c <<.综上，当=1c 时，不等式的解集为∅；当1c <时，不等式的解集为{}|1x c x <<；当1c >时，不等式的解集为{}|1x x c <<.21．函数()29ax b f x x -=-是定义在()3,3-上的奇函数，且()118f =． (1)确定()f x 的解析式；(2)判断()f x 在()3,3-上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t 的不等式()()10f t f t -+<．【答案】(1)()29x f x x =- (2)增函数，证明见解析 (3)12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据(0)=0f ，1(1)8f =得到,a b 的方程，解之即可求得；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据单调性先去f ，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．【详解】（1）解：()2=9ax b f x x --是定义在()3,3-上的奇函数， ()0==09bf -∴，=0b ∴，又由()1188a f ==， =1a ∴∴ ()2=9x f x x -． 2()()9x f x f x x --==--， ∴()f x 奇函数，故1,0a b ==符合题意，为所求解．（2）解：()2=9xf x x -在区间()3,3-上为增函数．证明：设123<<<3x x -．而()()()()()()12121212222212129+==9999x x x x x x f x f x x x x x -------， 由123<<<3x x -，得221212129+>0,9>0,9>0,<0x x x x x x ---，()()()()121222129+<099x x x x x x -∴--，即()()12<0f x f x -，()()12<f x f x ∴．故函数()f x 在()3,3-上为增函数．（3）解：由函数为奇函数且在()3,3-上为增函数知： ()()()()1+<01<f t f t f t f t -⇒--，3<1<33<<31<t t t t --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩， 解得：12<<2t -． 故不等式的解集为12,2-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题的难点在（2）中判断1()f x 与2()f x 的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在（3）中化简不等式时不补定义域．22．已知a 0>，若函数()21f x ax x =--在区间[1，2]上的最小值为()g a(1)求()g a 的函数表达式；(2)若11,,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()g a 的最大值. 【答案】(1)()12,21111,442143,04a a g a a aa a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩； (2)32-.【分析】（1）利用二次函数的性质分类讨论即得；（2）利用函数的单调性即得.【详解】（1）∵()22111124f x ax x a x a a ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，0a >， ∴当1012a <<，即12a >时，函数()f x 在[]1,2上单调递增， 当1x =时，函数()f x 有最小值()12f a =-，即()2g a a =-， 当1122a ≤≤，即1142a ≤≤时，当12x a =时，函数()f x 有最小值11124f a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()114g a a =--， 当112a>，即102a <<时，函数()f x 在[]1,2上单调递减， ∴当2x =时，函数()f x 有最小值()243f a =-，即()43g a a =-，综上，()12,21111,442143,04a a g a a aa a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩； （2）∵()12,21111,442143,04a a g a a aa a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩， 当11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1312,42g a a ⎡⎤=--∈--⎢⎥⎣⎦，故()g a 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32-.。
{高中试卷}淄博市—度第一学期期中考试[仅供参考]
![{高中试卷}淄博市—度第一学期期中考试[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/0f552505195f312b3069a518.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：淄博市20XX —20XX 学年度第一学期期中考试高一数学 20XX.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）满足条件{0，2}∪A={0，2}的所有集合A 的个数为（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个（2）若函数y=（2k+1）x+b 在R 上是减函数，则（A ）k ＞21 （B ）k ＜21 （C ）k ＞-21 （D ）k ＜-21（3）不等式|x-2|＞3的解集是（A ）{x|x ＜5} （B ）{x|-1＜x ＜5} （C ）{x|x ＜-1} （D ）{x|x ＜-1或x ＞5}（4）下面命题：①3≥3；②|x|≤x （x ∈R ）；③方程x 2-2x=0的根是自然数；④|x|≥-x （x ∈R ），是真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（5）计算[（-2）2]-21的结果是 （A ）2 （B ）-2 （C ）22 （D ）-22（6）已知集合M={x|0≤x ≤6}，P{y|0≤y ≤3}，则下列关系中不是从M 到P 的映射的是（A ）f ：x →y=k ＞21x （B ）f ：x →y=k ＞31x（C ）f ：x →y=x （D ）f ：x →y=k ＞61x（7）函数y=x -1（x ≥0）的反函数是（A ）y=（x+1）2（x ∈R ） （B ）y=（x+1）2（x ≥-1）（C ）y=x 2+1（x ∈R ） （D ）y=x 2-1（x ≥1）（8）下列函数中与函数y=x 是同一函数的是（A ）y=（x ）2 （B ）y=x x 2（C ）y=33x （D ）y=2x（9）已知P ：|x+1|＞2，q ：x 2＜5x-6，则p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）不等式ax 2+5x+c ＞0的解集是{x|31＜x ＜k ＞21}，那么a ，c 的值为（A ）a=6，c=1 （B ）a=-6，c=-1 （C ）a=1，c=6 （D ）a=-1，c=-6（11）函数y=1122+-x x 的值域是（A ）{x|-1≤x ＜1} （B ）{x|-1≤x ≤1} （C ）{x|-1＜x ≤1} （D ）{x|-1＜x ＜1}（12）函数f （x ）=4x 2-mx+5在区间[-2，+∞）上是增函数，则f （1）的取值范围是（A ）f （1）≥25 （B ）f （1）≤-16 （C ）f （1）≤25 （D ）f （1）＞25第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在题中横线上.（13）函数f （x ）=242+-x x 的定义域是.（14）设x ，y ∈R ，M={（x ，y ）|4x-y-3=0}，N={（x ，y ）|2x-3y+11=0}，则M ∩N=.x 2+1（x ≤0）（15）已知函数f （x ）= ，若f （x ）=10，则x=.-2x （x ＞0）（16）已知下列四个命题：①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数，选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）设全集U={2，4，m 2+2m-3}，A={|m|，2}，uA={5}，求m 的值.（18）（本小题满分12分）函数f （x ）=-x 1在∈（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论.（19）（本小题满分12分）已知A={x||x-3|＜2＝}，B={x|x 2-（1+a ）x+a ＜0＝}，若B ⊆A ，求a 的取值范围。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 ． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 ． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85． 故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列， 所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2． 故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →， 所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径， 所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点， 过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →， 因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12． 故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人 解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75， 故错误； 对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确； 故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2， 所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0， 故1＜b ＜2，A 正确； 因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0， 所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得， 故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误． 故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314， 因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)， 则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1， 又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确； 令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ． 解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2， 令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120， 故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2， 所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4． ．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10， 故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20， 由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4． 故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]， 即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2）， 则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数， 即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0， 即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减， 可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0， 即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1． 即实数a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：选①②当条件，③当结论 由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ， 因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π， 所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ， 即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立， 所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增， 所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}， 则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分， 故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…， 当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7， 当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。
山东省淄博第一中学2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题
山东省淄博第一中学2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________3x>9（3）解不等式()f lnx >0.21．已知函数()()()2log 424,x x f x b g x x =+×+=.（1）当=5b -时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求实数b 的取值范围.22．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ³时，()21,0122,1xx x f x x ì-+£<=í-³î．（1）求当0x <时，()f x 的解析式；（2）若对任意的[]1,x m m Î-，不等式()()2f x f x m -£+恒成立，求实数m 的取值范围．()()()()12120f x f x f x f x +-=->，即()()12f x f x >，故函数()f x 为R 上的减函数，()f x \在[],m n 上的最大值为()f m ，选项B ，C 错误；()10f x ->等价于()()10f x f ->，又()f x 为R 上的减函数，故10x -<，解得1x <，选项D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题方法是赋值法．赋值时注意函数性质的定义，如奇偶性中需要出现()f x -()f x 的关系，因此有令y x =-这个操作．13．(1,2)【详解】当1x =时，()()13222a f log +=＝－.所以函数()()322(01)a f x log x a a +>¹＝－，恒过定点(1,2).14．1-或16【分析】分0,0a a >£两种情况分别求出()f a 的表达式，得到关于a 的方程，解方程即可.【详解】当0a >时，由题意知，()2log 4f a a ==，解得16a =符合题意；当0a £时，由题意知，()234f a a a =-=，解得4a =（舍），1a =-符合题意；综上可知，实数a 的值为16或1-.故答案为: 16或1-.。
2024-2025学年山东省淄博市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
一、单选题1. 已知集合2{|lg()}2A x y y x --==2024-2025学年山东省淄博市高一上学期期中数学质量检测试卷，{|B x y ==，则A B = （ ）A. (1,2)- B. [3,+)2∞ C. (0,)+∞ D. R【答案】D 【解析】【分析】根据对数型函数求值域得A ，根据二次函数求得函数定义域得B ，根据交集运算得解.【详解】2{|lg()}2A x y y x --==为函数2(2)lg y x x --=的值域，令2202t x x x =-->⇒>或1x <-，(0,)lg R y t t y ∈+∞⇒=⇒∈，{|B x y ==为函数y =即y =，因为2177(244x -+≥，所以函数y =R ，故R A B = ，故选：D.2. 已知命题2:0,40p x x ax ∀>-+≥，命题2:,10q x x ax ∃∈++=R ，若命题,p q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 24a ≤≤B. 22a -≤≤ C. 2a ≤-或24a ≤≤ D. 2a ≤-【答案】C 【解析】【分析】命题p 可利用参变分离法将原问题转化为min4a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，结合基本不等式即可求得a 的范围，命题q 直接利用判别式即可求得a 的范围，取交集即可得答案.【详解】∵愿明天即命题4:0,p x x a x∀>+≥为真命题，min 4a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，又40,4x x x >∴+≥= ，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，∵命题2:,10q x x ax ∃∈++=R ，为真命题，240,2a a ∴∆=-≥∴≤-或2a ≥，∵命题p ，q 都是真命题，2∴≤-a 或24a ≤≤．故选：C 3. 命题“213R,022x x x a ∃∈+--<”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A. 0a ≥ B. 1a ≥C. 2a >- D. 3a ≥-【答案】D 【解析】【分析】先由存在量词命题为真求得a 的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项.【详解】由213R,022x x x a ∃∈+--<，可得21322a x x >+-在R 上能成立，因22131(1)22222x x x +-=+-≥-，故得2a >-.由题意知，()2,-+∞是选项的范围的真子集即可.故选：D.4.函数()f x =的定义域为（ ）A. [0，+∞）B. （﹣∞，2]C. [0，2]D. [0，2）【答案】D 【解析】【分析】由表达式有意义的条件列不等式组，由此可得函数的定义域.【详解】由题意可得520ln(52)0e 10x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≥⎩,解得02x ≤<,故选：D .5. 已知3log 2a =，1215b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b<<【解析】【分析】利用中间变量法得到a b >，利用构造函数法得到c b <即可.【详解】因为331log 2log 2a =>=，121152b ⎛⎫== ⎪⎝<⎭，所以a b >，而112411525b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故我们构造指数函数1()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到1()4b f =，1(3c f =由指数函数性质得()f x 在R 上单调递减，因为1143<，所以c b <，综上可得c b a <<，故C 正确.故选：C6. 若函数()()20.5log f x ax x =-在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. [)2,0- C. [)2,+∞ D. (],2-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.【详解】由于0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，令2t x ax =-+，()1,0x ∈-，因为0.5log y t =为减函数，又()()20.5log f x ax x=-在区间()1,0-上单调递增，由复合函数的单调性法则可知，2t x ax =-+在()1,0-上单调递减，且20t x ax =-+>在()1,0-上恒成立，因为2t x ax =-+为二次函数，开口向下，对称轴为2a x =，由2t x ax =-+在()1,0-上单调递减，可得12a≤-，解得2a ≤-，由20t x ax =-+>在()1,0-上恒成立，即2ax x >，()1,0x ∈-，可得a x <在()1,0-上恒成立，则1a ≤-，综上，实数a 的取值范围为(],2.∞--的7. 已知0,0x y >>，且3x y +=，若()2111m x yy x m +≤++-对任意的0,0x y >>恒成立，则实数m 的取值是（ ）A. (),1-∞ B. [)5,+∞C. ()[),15,-∞⋃+∞ D. (]1,5【答案】C 【解析】【分析】根据题意，问题可转化为()211111m y x y m x y x y++≤=+-++对任意的0,0x y >>恒成立，由题设条件得到(1)4x y ++=，进而得到1111144y y x x y x y ++=++++，接着结合基本不等式求得11y x y++最小值得到514m m ≤-即可求实数m 的取值范围.【详解】因为()2111m x y y x m +≤++-对任意的0,0x y >>恒成立，可得()211111m y x y m x y x y++≤=+-++对任意的0,0x y >>恒成立，又因为3x y +=，可得(1)4x y ++=，则()11111511414444x y y yy x x y x y x y ++++=+=++≥=+++，当且仅当114y x x y +=+即54,33x y ==时等号成立，所以11y x y ++最小值54，所以514m m ≤-，可得()5041m m -≤-，即()5041m m -≥-，所以()()51010m m m ⎧--≥⎨-≠⎩，解得5m ≥或1m <，所以实数m 的取值范围为()[),15,∞∞-⋃+.故选：C.8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，[)12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有为()()12211f x f x x x -<-，则不等式()()2553f x f x x --<-的解集为（ ）A. 5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】令()()g x f x x =+，由已知不等式和等式可求得()g x 的奇偶性和单调性，将所求不等式化为()()25g x g x <-，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.【详解】不妨令210x x >≥，则由()()12211f x f x x x -<-得：()()1122f x x f x x +<+，令()()g x f x x =+，则()g x 在[)0,∞+上单调递增；()()0f x f x +-= ，()()()()0g x g x f x x f x x ∴+-=++--=，()g x ∴为定义在R 上的奇函数，()g x ∴在R 上单调递增；由()()2553f x f x x --<-得：()()2255f x x f x x +<-+-，即()()25g x g x <-，25x x ∴<-，解得：53x <，即不等式()()2553f x f x x --<-的解集为5,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9. 下列运算结果正确的有（ ）A. ()()14380.06415ππ6--++=-B. ()()21lg5lg8lg1000lg lg0.616++++=C. 32=D. )12123170.027214579--⎛⎫⎛⎫--+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算以及对数运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，原式4213116π365535π55=-++-=-+，故A 错误；对于B ，原式()()2lg 53lg 233lg 2lg 6lg 0.6=++-+()()20.613lg 5lg 23lg 53lg 2lg3lg 2lg 5lg 23lg 5lg 610=⋅+++=+++()3lg 23lg 513lg 2lg 512=+-=+-=，故B 错误；对于C，原式11142243lg 3lg 9lg 3lg 313lglg1013lg 322lg 3+-=+=+=+=，故C 正确；对于D ，原式()112323251050.37149145933⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：CD10. 对任意两个实数,a b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()()224,f x x g x x =-=，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ）A. ()()111F F =-=B. 方程()0F x =有三个解C. 当()0F x >时，有()2,2x ∈-D. 函数()F x 有最大值为2，无最小值【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求出函数()2224,,4,x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩.【详解】当224x x -≤，即x ≤或x ≥时，()24F x x =-，当224x x ->，即x <<时，()2F x x =，则()2224,,4,x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩对于A ，()()11,11F F =-=，故A 正确；对于B，当x ≤或x ≥时，令()240F x x =-=，解得2x =±，当x <<时，令()20F x x ==，解得0x =，方程()0F x =有三个解，故B 正确；对于C，当x ≤或x ≥时，令()240F x x =->，解得2x -<≤2x ≤<，当x <<时，令()20F x x =>，解得0x <<或0x <综上所述，当()0F x >时，有()()2,00,2x ∈- ，故C 错误；对于D，当x ≤或x ≥时，令()242F x x =-≤，无最小值，当x <<时，()202F x x ≤=≤，综上，函数()F x 有最大值2，无最小值，故D 正确.故选：ABD.11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（ ）A. 函数()f x 满足：()()f x f x -=B. 函数()f x 的值域是[]0,1C. 对于任意的x ∈R ，都有()()1ff x =D. 在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形【答案】AC 【解析】【分析】利用R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A ，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A ，B 和C 的正误，选项D ，通过取特殊点()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.为【详解】由于R 1,Q ()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A ，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B ，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C ，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x ff x f ===，当Q x ∈Rð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D ，取()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭，此时AB AC BC ===，得到ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC ．三、填空题12. 已知函数3()23f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()230f m f n f +-=，则29m n+最小值是______.【答案】323##2103【解析】【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，再求出,m n 的关系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】函数3()23f x x x =+定义域为R ，3()2()3()()f x x x f x -=-+-=-，因此函数()f x 是R 上的奇函数，且在R 上单调递增，由()()()230f m f n f +-=，得()(23)(32)f m f n f n =--=-，则23m n +=，所以29129193234132()()(20(2033m n m n m n n m m n +=+=++≥+=+，当且仅当94m n n m =，即39,48m n ==时取等号，所以29m n +最小值是323.故答案为：32313. 已知函数()34f x ax bx =++，若()20242f -=，则()2024f =________．【答案】6【解析】【分析】先证得()g x 为奇函数，所以()20242g -=-，再由奇函数的性质可求出()2024f .【详解】解：令()3g x ax bx =+，()()()()()33g x a x b x ax bx g x -=-+-=-+=-，所以()g x 为奇函数，所以()()2024202442f g -=-+=，所以()20242g -=-，所以()20242g =，所以()()2024202446f g =+=．故答案为：6.14. 已知函数()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，给出下列四个结论：①对任意实数a ，函数()f x 总存在零点；②存在实数a ，使得函数()f x 恒大于0；③对任意实数a ，函数()f x 一定存在最小值；④存在实数a ，使得函数()f x 在(),a -∞上始终单调递减.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】根据二次函数以及对数函数的性质即可求解零点，结合函数图象即可求解①，根据0a ≤时，当02x <<时，()220f x x x =-<，以及0a <时，由于()00f =，即可判断②，根据12a ≤<，结合二次函数的性质即可求解③，根据0a ≤时，对数函数的性质即可判断④.【详解】令220x x -=，则0x =或2x =，令()2log 10x +=，则0x =，且22y x x =-和()2log 1y x =+的图象分别如下所示：当2a <时，()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩的零点有0x =和2x =，当2a ≥时，()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩的零点有0x =，故①正确，对于②,当0a <时，当02x <<时，()220f x x x =-<，不满足题意，当0a ≥时，由于()00f =，不满足()f x 恒大于0；故不存在实数a ，使得函数()f x 恒大于0，②错误，对于③,当12a ≤<时，()f x 的图象如下所示：此时()f x 不存在最小值；故③错误对于④，当0a ≤，()f x 图象如下：函数()f x 在(),a ∞-上始终单调递减.故④正确故答案为：①④四、解答题15. 设集合{}{}{}2212,40,A x a x a B x x x C y y x B=-≤≤+=-≤==∈（1）是否存在实数a ，使x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若A C C = ，求实数a的取值范围．【答案】（1）存在，2a ≥（2）1a ≤【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件列不等式，由此求得a 的取值范围.（2）根据集合A 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a 取值范围.【小问1详解】()2440x x x x -=-≤，解得04x ≤≤，所以{}|04B x x =≤≤，假定存在实数a ，使x B ∈足x A ∈的充分不必要条件，则B A ，A ≠∅，则21220124a a a a -≤+⎧⎪-≤⎨⎪+>⎩或21220124a a a a -≤+⎧⎪-<⎨⎪+≥⎩，解得2a ≥或2a >，因此2a ≥，所以存在实数a ，使x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，2a ≥．【小问2详解】当04x ≤≤时，16125x ≤+≤，15≤≤，则{}15C x x =≤≤，由A C C = ，得A C ⊆，当212a a ->+，即13a <时，A =∅，满足A C ⊆，符合题意，则13a <；当212a a -≤+，由A C ⊆，得12125a a ≤-≤+≤，解得113a ≤≤，因此1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤．16. 已知函数()()()211,f x ax a x b a b R =-++-∈.（1）若1a =，关于x 的不等式()2f x x ≥在区间[]3,10上恒成立，求b 的取值范围；（2）若0b =，解关于x 的不等式()0f x <.【答案】（1）2b ≤-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）1a =时不等式化为求241b x x ≤-+在[]3,10x ∈上的最小值可得答案；（2）0b =时不等式为()2110ax a x -++<，讨论0a = 、0a <、0a >时解不等式可得答案.的【详解】（1）1a =，不等式化为2212x x b x-+-≥，[]3,10x ∈，所以()224123b x x x ≤-+=--在[]3,10恒成立，即求()223y x =--在[]3,10x ∈上的最小值为2-，所以2b ≤-.（2）0b =，不等式为()2110ax a x -++<，①当0a =时，10x -+<，1x >不等式解集为()1,+∞；当0a ≠时不等式转化为()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，②当0a <时，不等式()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；③当0a >时，不等式()0f x <化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，若1a =，不等式解集为∅；若1a >，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；若01a <<，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述：①当0a <时，不等式解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；②当0a =时，不等式解集为()1,+∞；③当01a <<时，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④当1a =时，不等式解集∅；⑤当1a >时，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量()H t （单位：ng /mL ）与一天中的时间t （单位：小时，以午夜0点为为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：●在夜间()06t ≤<，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数()H t a =．●在早晨()612t ≤≤，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为()()6H t b t a =-+，当12t =时，分泌量达到最大值maxH ●在下午和晚上()1224t <≤，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即()()12max e c t H t H --=⋅．已知午夜时荷尔蒙分泌量为5ng /mL ，峰值分泌量为20ng /mL（1）求参数a ，b 和c 的值以及函数()H t 的解析式；（2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于10ng /mL 的时长．【答案】（1）5a =， 2.5b =，ln26c =，()()()ln 21265,062.565,61220e ,1224t t H t t t t --⎧≤<⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪⋅<≤⎩（2）10个小时【解析】【分析】（1）根据()05H =求出a ，再根据()1220H =和()245H =分别求出,b c ，即可得出函数解析式；（2）分612t ≤≤和1224t <≤两种情况解不等式()10H t ≥即可.【小问1详解】根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量()05H =，5a ∴=，在早晨()612t ≤≤，荷尔蒙分泌量满足关系式：()()6H t b t a =-+，当12t =时，分泌量达到峰值即max 20H =，即()()1212620H b a =-+=，解得：15 2.56b ==，因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为()()()2.565612H t t t =-+≤≤，在下午和晚上()1224t <≤时段，荷尔蒙分泌量满足：()()1220e c t H t --=⋅，所以()()24122420e 5c H --=⋅=，解得ln26c =，所以荷尔蒙分泌量为()()()ln 212620e 1224t H t t --=⋅<≤，综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为()())ln 21265,062.565,61220e ,1224t t H t t t t --⎧≤<⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪⋅<≤⎩；【小问2详解】①当612t ≤≤时，()()2.56510H t t =-+≥，解得8t ≥，所以812t ≤≤，②当1224t <≤时，()()1220e 10c t H t --=⋅≥，()ln 2112ln 621e e 2t --∴≥=，()ln2112ln ln262t ∴--≥=-，126,18t t ∴-≤≤，1218t ∴<≤，综上所述818t ≤≤，该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于10ng /ml 的时长为10个小时.18. 已知定义在R 上的奇函数3()31x x m f x -+=+，m ∈R .（1）求m ；（2）判断并证明()f x 在定义域R 上的单调性.（3）若实数a 满足()22122a a f +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析（3）()(),20,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，则有()00f =，得出m 后再代回检验即可得；（2）由312()13131x x x f x -+==-+++可判断()f x 为R 上的单调递减函数，结合单调性定义证明即可；（3）结合函数单调性与奇偶性应用即可得.【小问1详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，解得1m =，当1m =时，()3131x x f x -+=+，3131()()3131x x x x f x f x ---+-+-==-=-++，()3131x x f x -+=+是奇函数，故1m =.【小问2详解】()f x 是R 上的单调递减函数，证明如下：任取1x 、2x 且12x x <，则()()()()()1221211221233131313131313x x x x x x x x f x f x --+-+-=-=++++，因21x x >，故12330x x -<，从而有()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递减；【小问3详解】由()112f =-，故()()221212a a f f +<-=，即()()2221a a f f +<，由()f x 在R 上单调递减，可得2221a a +>，即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-⋃+∞.19. 已知函数()2xf x =（x ∈R ）．（1）解不等式()()21692xf x f x ->-⨯；（2）若函数ℎ(x )为()f x 的反函数，()26h x ax -+在()2,5上单调，求a 的取值范围；（3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，ℎ(x )为偶函数，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(1,3)（2）(],4∞-（3）17,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由题意可得2221692x x x ->-⨯，换元法求解即可；（2）由题意可得()()222log 66h x ax x ax --=++在()2,5上单调，则260x ax -+>在()2,5上恒成立，且26y x ax =-+在()2,5上单调，结合二次函数分析求解；（3）由函数的奇偶性先求出()g x ，()h x 的解析式，可得111(2(40224x x x x a -++≥，再由换元法与参变分离运算求解.【小问1详解】因为()()21692x f x f x ->-⨯，且()2x f x =，则2221692x x x ->-⨯，设2x t =，则不等式可化为2169t t t ->-，解得28t <<，即228x <<，则13x <<，故原不等式的解集为(1,3).【小问2详解】若函数()h x 为()f x 的反函数，则()2log h x x =，因为()()222log 66h x ax x ax --=++在()2,5上单调，则260x ax -+>在()2,5上恒成立，即6x a x +>，因为6x x +≥=，当且仅当6x x =，即()2,5x =时，等号成立，可得a <，且26y x ax =-+在()2,5上单调，则22a ≤或52a ≥，解得4a ≤或10a ≥；综上所述：a 的取值范围(],4∞-.【小问3详解】由题意得2()()x g x h x =+，则1()()()()2xg x h x g x h x =-+-=-+，即()()21()()2x x g x h x g x h x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得11()(2)2211()(222x x x x h x g x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，即111(2(40224xx x x a -++≥，可得2111(2)220222x x x x a ⎡⎤⎛⎫-+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令122xx k =-，且12,2xx y y ==-在[]1,2内单调递增，则122x x k =-在[]1,2内单调递增，且当1x =时，32k =；当2x =时，154k =；可知13152,224x x k ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则不等式可化为21(2)02ak k ++≥对315[,]24k ∈恒成立，可得22k a k +≥-，315[,24k ∈，且32>，由对勾函数性质可知2y k k =+在315[,]24内单调递增，可知当32k =时，2y k k =+取到最小值176，则1726a ≥-，解得1712a ≥-，所以实数a 的取值范围是17,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x >恒成立(即()max a f x >可)或()a f x <恒成立（即()min a f x <可）；② 数形结合(()y f x =图象在 ()y g x =上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
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山东省淄博市高一上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·山东模拟) 已知全集（）
A . {3}
B . {0，3，5}
C . {3，5}
D . {0，3}
2. （2分）如果集合,那么（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2017·杭州模拟) 已知函数f（x）= ，则函数g（x）=f（f（x））﹣2在区间（﹣1，3]上的零点个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分） (2016高一下·桃江开学考) 已知a=log32，b=log2 ，c=20.5 ，则a，b，c的大小关系为（）
A . a＜b＜c
B . b＜a＜c
C . c＜b＜a
D . c＜a＜b
5. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若y=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣1），f（﹣），f（）
的大小关系为（）
A . f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）
B . f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）
C . f（﹣）＜f（）＜f（﹣1）
D . f（﹣1）＜f（）＜f（﹣）
6. （2分）若幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上是增函数，则（）
A . a＞0
B . a＜0
C . a=0
D . 不能确定
7. （2分） (2017高三上·山西开学考) 已知集合A={x|x=4n+1，n∈Z}B={x|x=4n﹣3，n∈z}，C={x|x=8n+1，n∈z}，则A，B，C的关系是（）
A . C是B的真子集、B是A的真子集
B . A是B的真子集、B是C的真子集
C . C是A的真子集、A=B
D . A=B=C
8. （2分）设，则（）
A . a<b<c
B . c<b<a
C . c<a<b
D . b<a<c
9. （2分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）
A . （﹣，+∞）
B . （﹣， 1）
C . （﹣，）
D . （﹣∞，﹣）
10. （2分）已知等比数列满足，且，则当时，
（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2016高一上·遵义期中) 已知函数若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（）
A . （0，1]
B . （0，1）
C . [0，1）
D . [0，1]
12. （2分）已知函数，若a,b,c互不相等，且，则abc的取值范围是（）
A . （1，10）
B . （5，6）
C . （10，12）
D . （20，24）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高一下·南通开学考) 已知函数f（x）=sin（x+θ）+ cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为________．
14. （1分） (2017高一上·大庆月考) 已知是定义在R上的奇函数，且当 .若对任意的，恒成立，则的取值范围是________
15. （1分） (2016高二上·河北开学考) 函数y=log （3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
16. （1分）若关于x的方程x2﹣2ax+2+a=0有两个不相等的实根，方程一根大于1，另一根小于1，则 a的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2016高一上·阳东期中) 计算题
（1）已知集合A={x|3＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B，A∩B，∁RA
（2）计算下列各式
①
②（2a b ）（﹣6a b ）÷（﹣3a b ）
18. （5分）问K为何值时，|3x﹣1|=k无解？有一解？有两解？
19. （5分）已知奇函数f（x）= 的定义域为R，其中g（x）为指数函数且过点（2，9）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明．
20. （10分） (2016高一上·温州期中) 已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），
（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2．
21. （15分） (2017高一上·山东期中) 已知函数 = 且为自然对数的底数为奇函数
（1）求的值;
（2）判断的单调性并证明.
（3）是否存在实数 ,使不等式对一切都成立,若存在,求出若不存在,请说明理由.
22. （10分）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）= ﹣1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）的解析式．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
21-2、
21-3、22-1、22-2、。