完整word版,椭圆(高三复习课教案)

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高中数学椭圆的性质教案

高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。

2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。

三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。

2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。

四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。

五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。

教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。

同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。

完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案

人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义；2、椭圆的两类标准方程；3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。

三、教学目标1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。

能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。

让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。

通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。

四、教学重点、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。

五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。

六、教学媒体幻灯片、黑板。

七、教学过程（一）创设情境，导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。

此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。

这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。

（二）问题探究老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。

然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。

第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质(教案) 高中数学复习专题 Word版含答案

第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质[考情分析]圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点，多以选择、填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难度中档偏下.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23D.32解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12·|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP →＝(1,0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝32.故选D.答案：D2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33C.23D.13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0)，半径为a .由题意，圆心到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2ab a 2＋b 2＝a ，即a 2＝3b 2.又e 2＝1－b 2a 2＝23，所以e ＝63，故选A. 答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PE ⊥x 轴，则k＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx (k ＞0)，得k ＝2.故选D.答案：D4．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a .②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.故选A.答案：A椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程[方法结论]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|||PF 1|－|PF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[题组突破]1．(2017·大连双基)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2， ∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.答案：B2．(2017·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59解析：由题意知a ＝3，b ＝ 5.由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线性质可推得PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ＝53，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513，故选B.答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 212＝1(a ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为43，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 26－y 212＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据对称性，不妨设点A 在第一象限，A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝a 2y ＝23a x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 212＋a 2y ＝23a 12＋a 2，∵四边形ABCD 的面积为43，∴4xy ＝4×23a 312＋a 2＝43，解得a ＝2，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D [误区警示]1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础． 2．在使用椭圆与双曲线的标准方程时，要注意区分焦点位置．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质[方法结论]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．3．抛物线方程中p 的几何意义为焦点到准线的距离．[题组突破]1．(2017·河南八市联考)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( ) A.72 B ．3 C.52D ．2解析：抛物线的准线方程为x ＝－12，依据抛物线的定义，得|QM |－|QF |≥|x Q ＋3|－⎪⎪⎪⎪x Q ＋12＝⎪⎪⎪⎪3－12＝52，选C.答案：C2．(2017·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.答案：B3．(2017·广东五校联考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 上在第二象限内的点，直线BO 交E 于点C .若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：设AC 的中点为M ，连接OM ，AB ，则OM 为△ABC 的中位线，B ，F ，M 在一条线上，于是△OFM ∽△AFB ，且|OF ||F A |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.答案：134．(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝5.答案：5 [误区警示]1．注意易混椭圆与双曲线中a 2、b 2、c 2的关系．2．已知双曲线的一条渐近线y ＝mx (m ≠0)，则要注意判断其焦点位置后，才能说明b a ＝|m |，还是ba＝⎪⎪⎪⎪1m ，从而再利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求离心率．3．对于形如y ＝ax 2(a ≠0)，求焦点坐标与准线时注意先化为标准方程．直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系[方法结论]弦长问题设直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线AB 的斜率存在(设为k )，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)，其中|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2；若直线AB 的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．[典例](1)(2017·洛阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA →＋OB →－3OF →＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：法一：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA →－OF →)＋(OB →－OF →)＝0，即。

高三复习教案椭圆

高三复习教案椭圆(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除椭圆【2013年高考会这样考】1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．【复习指导】1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．基础梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形续表范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．双基自测1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )．＋y 216＝1 ＋y 216＝1＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对2．(2012·合肥月考)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．A ．4B ．5C ．8D ．103．(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )．A ．－21B ．21C ．－1925或21 或215．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．考向一椭圆定义的应用【例1】►(2011·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【训练1】已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．2 3 B ．6 C ．4 3D ．12考向二求椭圆的标准方程【例2】►(1)求与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定．解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝224＋－323＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)设所求的椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎨⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，由题目所给条件求出m 、n 即可．【训练2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F构成正三角形，求椭圆的方程．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A (3,0)，∴9a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b 2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.考向三椭圆几何性质的应用【例3】►(2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c ，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB |长的表达式从而求出|AB |的最大值．解 (1)由已知得，a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎨⎧y ＝k x －m ，x24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. (1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． (2)弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2.【训练3】 (2012·武汉质检)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．解析设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2，∴c ＝64，e ＝c a ＝6－ 3.考向四椭圆中的定值问题【例4】►(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：O P→＝OM→＋2ON→，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．解(1)e＝ca＝22，a2c＝22，解a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为x24＋y22＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由O P→＝OM→＋2ON→得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，故x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2)＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．设k OM，k ON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知k OM·k ON＝y1y2x1x2＝－12，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.所以P点是椭圆x2252＋y2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值．又因c＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F1(－10，0)，F2(10，0)．本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P，利用设而不求的方法求出P点的轨迹方程，从而找出定点．【训练4】(2010·安徽)如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝1 2 .(1)求椭圆E的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c 2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0直线AF 2的方程为x ＝2.由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数．设P (x ，y )为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.规范解答16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题【问题研究】求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上．【解决方案】解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数．【示例】►(本题满分12分)(2011·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．第(1)问由|PF 2|＝|F 1F 2|建立关于a 、c 的方程；第(2)问可以求出点A 、B 的坐标或利用根与系数的关系求|AB |均可，再利用圆的知识求解．[解答示范] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(4分)(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .(6分)得方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .(8分) 于是|MN |＝58|AB |＝2c . 圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.(10分)因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2. 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(12分)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c )，这样可避免繁琐的运算而失分．【试一试】已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．[尝试解答] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．1111 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得：y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2. ∴k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0＝－12.③ 又k OM ＝y 0x 0＝12，④ 由③④得a 2＝4b 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1得：x 2－4x ＋8－2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝8－2b 2.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝5216－32＋8b 2＝528b 2－16＝2 5. 解得：b 2＝4.故所求椭圆方程为：x 216＋y 24＝1.。

椭圆的复习课

有关椭圆基本量的计算
• 例１.如图o为椭圆的中心、Ｆ为焦点、Ａ为顶点、准线Ｌ交OA于Ｂ,Ｐ、Ｑ在椭圆上,PD丄Ｌ于Ｄ,ＱＦ丄ＯＡ于Ｆ,设椭圆的离心率为ｅ,下列正确个数为( )
1.e PF PD
2.e
4.e
QF BF
AF AB
D B
Q
A F
P
O
3.e
5.e
OA OB
OF OA
椭圆的复习课（一）
教学目标: 1.掌握椭圆的基本量及相互关系. 2.掌握椭圆的第一,第二定义及在解题中的应用. 教学重点:椭圆的基本量,第一第二定义及在解题中的应用. 教学难点:综合应用.
复习
• 椭圆:
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y
P( x, y)
• 1.长轴 2a • 2.短轴. 2b • 3.焦点. F1 (c,0), F2 (c,0).
2
2
F1
F2
*椭圆自测.doc
小结
• 1.椭圆的基本量. c b2
F1
F2
x
4.准线. 5.焦准距. c 6.焦半径 PF 1 a e.x, PF 2 a e.x 7通径.
• 椭圆:
• • • •
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
y
F2 1.长轴 2a F2 x 2.短轴. 2b F F ( 0 , c ), F ( 0 , c ) 1 P( x, y) 2 3.焦点. 1 F 1 2 a 4.准线 y 2 c b • 5.焦准距. c • 6.焦半径. PF 1 a e. y, PF 2 a e. y • 7.通径
例２
• 如图, 从椭圆上一点Ｐ向ｘ轴作垂线,垂足为焦点Ｆ,此时AB OP且 FA 10 5 求椭圆方程.

椭圆(高三复习课)

椭圆学习目标：1.掌握椭圆的定义、标准方程，会求椭圆的标准方程；2.掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单问题；3.体会椭圆和谐美及对称美的同时，提高分析探索能力及解决几何问题的能力.高考要求：椭圆 B 级考点回顾：1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.椭圆的几何性质课前练习:(1)已知1F 、2F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，弦AB 过1F ,则2F AB ∆的周长为_________. (2)过椭圆221259x y +=的右焦点F 的直线与椭圆在第一象限交于P ，若PF =2,则点P 到左准线距离为__________.(3)如果椭圆经过()3,0和()0,4两点，则该椭圆的标准方程是______________.(4)方程22123x y m m+=--表示椭圆,则 m 的取值范围是______________. (5)已知椭圆方程为2212516x y +=,则该椭圆的焦点坐标为___________,长轴长为________,短轴长为________,离心率为________,准线方程为________.(6)若椭圆2212x y m+=的离心率为12,则m =________. 典型例题精析:例1 在△ABC 中,B(-1,0)、C(1,0),且AC 、BC 、AB 成等差数列,求顶点A 的轨迹方程.例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴是短轴的3倍,且经过点B(0,1);()2A 2,B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭经过两点；(3)设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4,求此椭圆的方程.例3 在平面直角坐标系xOy 中,点(,)P a b (0)a b >>,12F F 、分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点,已知△12F PF 为等腰三角形，求椭圆的离心率.巩固练习:1、如图，已知A 、B 、C 是椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点， F 为椭圆右焦点，BC 过椭圆中心Ｏ，且0,||2||AC BC BC AC ⋅== 当长轴长为４时，求椭圆的标准方程；2、如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q 点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .课堂小结:课后作业: 123P 《完胜》（课外练习）。

椭圆复习课(第一课时)学案-2025届高三数学一轮复习

椭圆复习课（第一课时）学习目标知识与技能：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握椭圆的简单应用.理解数形结合的思想. 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.教学过程一、知识梳理1、定义：平面内到两个定点21F F ，的距离之等于常数（）的点的轨迹叫椭圆.2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程22221(0)x y a b a b +=>> )0(12222>>=+b a b x a y 图像范围 -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b -a ≤x ≤a -b ≤y ≤b对称性对称轴：坐标轴; 对称中心：原点顶点坐标()0,1a A - ()0,2a A ()b B -,01 ()b B ,01()a A -,01 ()a A ,02 ()0,1b B - ()0,2b B焦点坐标 ()0,1c F - ()0,2c F()c F -,01 ()c F ,02轴长长轴长2a ，短轴长2b焦距 c F F 221=a,b,c 关系222b a c +=亲，表格中有数处错误，你能一一找出吗？离心率1>=ac e（1）动点P 到两定点A （–2，0）,B(2，0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆.（）（2）若椭圆1ky 4x 22=+的焦距是22，则k=2. ( )三、能力提升考点一椭圆的定义及其标准方程例1：已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）一个焦点为（2，0），离心率为；（2）过 ()23,N 1,6M ，），（-两点.直击高考已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，离心率为33，过2F 的直线L 交C 于A ，B 两点，若B AF 1∆的周长为43，则C 的方程为（）A.12y 3x 22=+B. 1y 3x 22=+ C. 18y 12x 22=+ D. 14y 12x 22=+变式提升：设21F F ，分别是椭圆116y 25x 22=+的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，|OM| =3，则P 点到椭圆左焦点的距离为（）A.4B.3C.2D.521=e X YPO xyBOA1F1F2F2FM考点二、椭圆的几何性质例2、已知椭圆C: 1b y a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，P 是椭圆短轴的一个端点，且21PF PF ⊥,则椭圆的离心率为 .变式提升椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为21F F ，，焦距为2c ，若直线y=3（x+c ）与椭圆C 的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 .互动探究已知椭圆C: 1by a x 2222=+(a>b>0)的左右焦点为21F F ，，M 为椭圆上一点，021=•M F M F ,则椭圆离心率的范围是 .XYMO1F2FYOXP1F2F探究思考1)本题中若P 点在椭圆内部，其他条件不变，试求之。

高中数学椭圆教案

高中数学椭圆教案教案需要明确教学目标，确保学生能够掌握椭圆的基本概念，包括其标准方程和图形特征。

通过教学活动，学生应能够推导出椭圆的焦点和准线的性质，并能够解决一些与椭圆相关的实际问题。

教学内容的设计要围绕椭圆的定义展开。

可以从简单的几何形状出发，引导学生观察不同圆的压缩变形过程，自然过渡到椭圆的概念。

通过动态演示或实物操作，让学生直观感受到椭圆的形成过程。

在讲解椭圆的标准方程时，教案应包含对椭圆中心、长轴、短轴、焦点等基本元素的介绍。

教师可以通过图像辅助，展示不同位置和大小的椭圆，帮助学生形成清晰的视觉印象。

为了加深学生对椭圆性质的理解，教案中应设计一些探究活动。

例如，让学生动手测量椭圆的长轴和短轴，寻找焦点的位置，并通过实际计算验证椭圆的几何性质。

可以设置一些实验性的学习任务，如利用绘图软件绘制椭圆，或者使用物理方法模拟椭圆的反射和折射现象。

在教学方法上，教案鼓励采用启发式和探究式的教学方式。

通过提问和讨论，激发学生的好奇心和探索欲，引导他们自主发现问题并寻求解决方案。

同时，教师应根据学生的学习情况适时给予指导和帮助。

评价与反馈环节也是教案的重要组成部分。

教案建议通过作业、小测验和课堂表现等多种方式对学生的学习效果进行评估。

及时的反馈可以帮助学生了解自己的学习进度，同时也为教师提供了调整教学策略的依据。

教案还应该包含一些拓展内容，如椭圆在天文学、工程学和其他科学领域的应用案例。

这些实际应用的介绍不仅能够增加学生对数学学科的兴趣，还能够帮助他们认识到数学知识在现实世界中的重要性。

这份高中数学椭圆教案范本旨在通过直观的教学活动和深入的探究学习，帮助学生全面而深刻地理解椭圆的知识。

通过这样的教学设计，我们期望学生不仅能够掌握椭圆的数学理论，还能够将所学知识应用于实际问题，培养他们的综合运用能力和创新思维。

椭圆复习课学案

椭圆复习课学案复习要求：1、掌握椭圆的定义、几何性质、标准方程及简单性质。

2、了解圆锥曲线的简单应用。

一、基础自主回扣： Ⅰ、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1,F 2的等于常数（）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点的距离叫椭圆的。

思考：当2a = |F 1F 2|时动点的轨迹是什么图形？当2a 〈 |F 1F 2|时呢？Ⅱ、椭圆的标准方程和几何性质：标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y图形性质范围≤≤x≤≤y≤≤x≤≤y对称性对称轴：对称中心：顶点 A 1 A 2B 1 B 2A 1 A 2B 1 B 2轴长轴A 1A 1的长为短轴B 1B 2的长为焦距 |F 1F 2|= 离心率(∈=ace ）cb a ,,的关系=2c思考：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度又怎样的关系？二、基础自测： 1、到两定点（2，1），（－2，－2）的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．直线Ｄ．线段2、椭圆221916x y +=的离心率是（） A ．45B ．35C ．74D ．733、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．14 B ．12C ．2D ．4 4、方程221616x ky k +=的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 .5、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为。

三、典例分析（一）椭圆的定义及标准方程例1、求满足下列条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长是短轴长的3倍且过点A(3,0)(2)经过两点)2,0(A 和）3,21(B(3)焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过P 62,3(-) (4)焦距是12，离心率是43，焦点在y 轴上（二）椭圆的几何性质例2、(1).若)0,(c F 是椭圆12222=+by a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 的距离等于2mM +的点的坐标是 ( )A ． (c , ±a b 2) B ．(0, ±b )C ． (－c , ±ab 2) D ．不存在(2)已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A 、32 B 、22C 、21-D 、2 例3 设椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点（0,4），离心率为53。

高三一轮复习椭圆教案

教学内容椭圆1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.3．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．[练一练]1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014·镇江期末)如图，P为椭圆x225＋y216＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则△PF1F2的周长为________．2．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________．3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．[类题通法]1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．考点二椭圆的几何性质[典例] (2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．本例条件变为“过F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． [针对训练]1．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________．2．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是________．考点三直线与椭圆的位置关系[典例] (2013·常州期中)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (4m,0)(m >0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F ，倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若θ＝90°时，1MF ＋1NF ＝529，求实数m 的值；(3)试判断1MF ＋1NF的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．[课堂练通考点]1．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．2．(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．3．(2014·镇江模拟)已知P 是椭圆x 212＋y 24＝1上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则1PF ·2PF 的取值范围为________．4．(2014·南京、盐城一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________．5.(2013·扬州期末)如图，已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为________．7．(2013·无锡期末)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1的离心率为32，过椭圆C上一点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A，B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N.(1)求椭圆C的方程；(2)若S△PMN＝32，求直线AB的方程．8．(2013·泰州质检)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点分别为B 2，B 1，点P ⎝⎛⎭⎫35a ，m (m >0)是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1，A 2B 2于点M ，N . (1)求椭圆的离心率；(2)若MN ＝4217，求椭圆C 的方程；(3)如图2，在(2)的条件下，设R 是椭圆C 上位于第一象限内的点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 的纵坐标的取值范围．第Ⅱ卷：提能增分卷1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22，分别过点O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OE＝EF.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．2．(2014·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫2，62. (1)求椭圆E 的方程．(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．。

椭圆(高三复习课教案)

二、学生学习情况分析本班是普通文科班，此课之前，学生已经学习过相关内容。

此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

通过学生的“练”、“ 思”、“究” ，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。

四、教学重点与难点教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。

2、了解椭圆的简单应用。

教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。

五、教学过程 1、知识梳理构建网络问题1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和为常数的点的轨迹是什么? 常数大于12||F F 时，点的轨迹是椭圆常数等于12||F F 时，点的轨迹是线段F 1F 2 常数小于12||F F 时，点的轨迹不存在问题2：平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆吗？常数e (0<e <1)点的轨迹是椭圆问题3：椭圆的标准方程的两种形式是什么？12222=+b y a x ， 12222=+ay b x , (a ＞b ＞0) 分别表示中心在原点，焦点在 x 轴和y 轴上的椭圆问题4：椭圆的几何性质有哪些？2、要点训练知识再现例1 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

高三数学一轮复习椭圆教案

第一讲椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数()1222||a a F F >的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F +=>．注：①若122||a F F <，则点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线； ②若122||a F F =，则这样的点不存在．（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数()01e ∈，，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()101M lMF e e d →=<<．（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：①()()()222210x m y n a b ab--+=>>；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） ②()()()222210y n x m a b a b --+=>>．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程）（2）椭圆的参数方程：①()2222cos 10sin x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔+=>>⎨=⎩；注：ϕ角不是NOM ∠．②()()()2222cos 10sin x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔+=>>⎨=+⎩．ＰＰＦ１Ｆ２Ｆ（3）椭圆的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF -+-=>-．（三）性质：对于椭圆()222210x y a b a b+=>>而言，①范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在x a y b =±=±，组成的矩形中．②对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，，2(0)(0)B b B b -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，共有六个特殊点．21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．④离心率：椭圆焦距与长轴长之比)01c e e e a =⇔=<<．注：椭圆形状与e 的关系：01be a→→，，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例；10be a→→，，椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．⑤椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c =：；对于12222=+bx a y ，下准线21a l y c =-：；上准线22a l y c =：．⑥焦准距：焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）． ⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为22b a．⑧焦半径公式：焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： 10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）；焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；2cos 2tan2cos2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？）（四）椭圆系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）ＰＦ１Ｆ２αβγ（1）共焦点的椭圆系：()22221x y k c k k c +=>-；注：若20k c <<，则表示共焦点的双曲线系．（2）离心率相同的椭圆系：()22220x y a b λλ+=>．注：若()22220x y a bλλ-=≠，则表示共渐进线的双曲线系．三、精典例析（一）活用定义例1：椭圆13610022=+y x 上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离．解析：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ，根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：810=e ；再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 ．例2：方程2x y =++表示什么曲线？解析：设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为2，故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的椭圆．例3：定点()()22110A F ，，，是2218x y C m +=：的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点．（1）求2PA PF +的范围；（2）求23PA PF +的最小值．解析：∵()210F ，是2218x y C m +=：的焦点，∴22198x y C +=：．（1）211266PA PF PA a PF PA PF ⎡+=+-=+-∈-⎣．（2）237PA PF PA PD AH +=+≥=．引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于双曲线、抛物线．例4：求过定点()12M ，，以y 轴为准线、离心率为12e =的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．解析：设()()00P x y F x y ，，，，则：0y y =，001322x x x x x -=⇒=()2213112224x y ⎛⎫=⇔-+-= ⎪⎝⎭，故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是()22311224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．（二）焦半径公式例5：椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点()3P y ，到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．解析：由椭圆的焦半径公式，得：3 6.5153 3.52a e a e a e +=⎧⇒==⎨-=⎩，，解得： 22257524c b a c ==-=，．故所求椭圆方程为：22412575x y +=．例6：已知Ｐ为椭圆221259x y +=上的点，且Ｐ与12F F 、的连线互相垂直，求Ｐ．解析：由题意，得：+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ，∴Ｐ的坐标为9999()())4444⎫--⎪⎪⎝⎭，，，，．例7：椭圆22143x y +=上能否找到一点M ，使得M 到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？解析：椭圆22143x y +=的左准线是4l x =-：，若存在，设()00M x y ，，则：()()()2000044a ex a ex x x +-=+⇒=-或0125x =-， ∵02x ≤，故不存在符合条件的点．例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．解析：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则：11222222OO PF PF a PF a ==-=-，∴两圆半径之差等于圆心距．故以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．（三）焦点三角形曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．例9：证明：椭圆的焦点三角形中，2cos2tan 2cos 2S b e αβγαβ∆+==-；．解析：在12F F P ∆中，()()222212121212122cos 21cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF γγ=+-=+-+，∴21221cos b PF PF γ=+，∴22121sin sin tan 21cos 2S PF PF b b γγγγ∆===+；在12F F P ∆中，12211212sin sin sin sin sin sin F F PF PF F F PF PF γαβγαβ+==⇒=+， ∴()cossin sin 2sin sin sin sin cos 2c e a αβαβγαβαβαβ++====-++．例10：已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，Ｐ为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点Ｐ在第三象限，且1223PF F π∠=，求12tan F PF ∠．Ｆ１Ｆ２αβγP解析：（1）∵12F F 是1PF 和2PF 的等差中项． ∴121224PF PF F F +==， ∴42=a ，∴b =13422=+yx ．（２）设12F PF θ∠=，则213PF F πθ∠=-，∵)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F ，∴)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F ．∴25sin cos )sin θθθ=⇒=+∴sin 1cos 5θθ=+，故232tan =θ，1225tan tan 3125F PF θ∠===-．（四）对称问题例11：在直线40l x y +-=：任取一点，过Ｍ且以2211612x y +=的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆．解析：法1：待求椭圆的2c =，其焦点()()122020F F -，、，在直线40l x y +-=：的同侧，2F 关于直线40l x y +-=：的对称点为()242F ，1212122a MF MF F M MF F F ''=+=+≥，∴Ｍ为直线12320F F x y '-+=：与40l x y +-=：的焦点时，所作椭圆的长轴长最短；320534022x y M x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩，，此时，12F F '= 故待求椭圆为：221106x y +=．法2：设待求椭圆为：22221x y a b+=，则40l x y +-=：与椭圆相切于Ｍ点时，椭圆的长轴长最短，()()22222222224081601x y a b x a x b a x y ab +-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∵40l x y +-=：与椭圆相切， ∴22016a b ∆=⇒+=，又∵224a b -=，∴22106a b ==，，故待求椭圆为：221106x y +=，此时，52x =，即5322M ⎛⎫⎪⎝⎭，．例12：已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称，求ｍ的取值范围．解析：法1：∵点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称， ∴14PQ k =-，设14PQ l y x b =-+：，则： 22221413816480143y x b x bx b x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 21304b ∆>⇒<，21212816481313b b x x x x -+==，， ∴12122242241313x x b by y b b ++=-+=-+=； ∵PQ 的中点4121313b b M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线4l y x m =+：上， ∴12213413134b b m b m ⎛⎫=⋅-+⇒=- ⎪⎝⎭；∴21313441313m m ⎛⎫⎛⎫-<⇔∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故ｍ的取值范围是1313⎛-⎝⎭，．法2：设()()1122P x y Q x y ，、，，PQ 的中点()M x y ，，则：2211222212121212143313134344422x y x y y y x x y x x x y y x x x y y y⎧+=⎪⎪-⎪+=⇒=-⇔-=-⇒=⎨-⎪+=⎪⎪+=⎩， ∴PQ 的中点()M x y ，在3y x =上，则：()334y xM m m y x m=⎧⇒--⎨=+⎩，， ∵PQ 的中点()3M m m --，在椭圆22143x y +=内， ∴()()22314313m m m --+<⇒<．故ｍ的取值范围是⎛ ⎝⎭．（五）范围（最值）问题例13：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴的正半轴交于Ａ，Ｏ是原点，若椭圆上存在一点Ｍ，使0MA OM ⋅=，求椭圆离心率的取值范围．解析：()0A a ，，设()cos sin 02M a b πϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，， ∵0MA OM ⋅=， ∴1cos sin cos sin -=⋅-ϕϕϕϕa b a a b ，∴222cos (1cos )cos 1110sin 1cos 1cos 2b a ϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫===-∈ ⎪++⎝⎭，．故12e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．例14：已知Ｂ是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的上顶点，Ｐ是椭圆上的动点，求BP 的最大值．解析：设()()cos sin 02P a b θθθπ≤≤，，则：()()()2222222222422222222cos sin 1sin sin 2sin sin 2sin sin BP a b b a b b b b a c b b a c c c θθθθθθθθ=+-=-+-+⎛⎫=--++=-++ ⎪⎝⎭ （1）若2201b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c =；（2）若2210b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．综上，若22012b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c=；若22102b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．（六）直线与椭圆相交问题例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点()()00F c c >，的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3）设()1AP AQ λλ=>，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=-．解析：（1）设椭圆的方程为(22221x y a a b+=>，则：222222()a c a c a c c c ⎧-=⎪⇒==⎨=-⎪⎩，故椭圆的方程为22162x y +=，离心率e =．（2）解：(30)A ，，设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，1122()()P x y Q x y ，，，，则：222222(3)(31)182760162y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴212(23)0k k ∆=->⇒<< 又 2212122218276.3131k k x x x x k k -+==++，，∵1122(3)(3)y k x y k x =-=-，，∴2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，∴22121212[3()9]051x x k x x x x k k ⎛+-++=⇒=⇒= ⎝⎭．故直线PQ的方程为30x --=或30x +-=．（3）证明：1122(3,),(3,).AP x y AQ x y =-=-由已知得方程组()12122211222223(3)5111262162x x y yx y x x y λλλλλ-=-⎧⎪=⎪-⎪⇒=>⎨+=⎪⎪+=⎪⎩， ∵11(20)()F M x y -，，，， ∴()11211211(2)(3)1()()22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=-，，，，， 2221(2)()2FQ x y y λλ-=-=，，， ∴FM FQ λ=-．例16：椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x轴上，离心率e =()10C -，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足()2CA BC λλ=≥．（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率()0k k ≠表示三角形OAB ∆的面积；（2）若λ为常数，当三角形OAB ∆的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．解析：设椭圆方程为：()012222>>=+b a by a x ，∵32==a ce ，222c b a +=，∴223b a =，故椭圆方程为：22233b y x =+．（1）直线)1(+=x k y l ：交椭圆于()()1122A x y B x y ，，，，则：()222222221(31)633033y k x k x k x k b x y b⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴2220(31)0k b b ∆>⇒-+>，且2122631k x x k +=-+；① 221223331k b x x k -=+；②∵BC CA λ=，∴ 121122121(1)(1)(1)x x x y x y y y λλλ+=-+⎧+=---⇒⎨=-⎩，，；③∴121121212221++=+=-=∆x k y y y S OABλλ，由①③知：)13)(1(2122+-=+k x λ，∴)0(13112≠+⋅-+=∆k k k S OAB λλ．（2））（23211113111≥⋅-+≤+⋅-+=∆λλλλλkk S OAB ，当且仅当kk 13=时，即33±=k 时，S 取得最大值．当33±=k 时，代入①②中，得：222)1(13-+=λλb ，故所求为()2222132(1)x y k λλ++=≥-．（七）定点（值）问题例17：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，且满足0OA OB ⋅=（Ｏ为坐标原点）．证明：满足上述条件的椭圆过定点22⎛ ⎝⎭，．解析：设椭圆的方程为：()()()2211222210x y a b A x y B x y a b+=>>，，，，，则：()()()22222222221021010x y a b x a x a b x y a b a b+-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=>>⎪⎩， ∴2201a b ∆>⇒+>，且()2221212222212a b a x x x x a b a b-+==++，，∵0OA OB ⋅=，∴()()121212120110x x y y x x x x +=⇔+--=，∴2222222221a b a b a b ⎝⎭⎝⎭+=⇔+=．故椭圆过定点⎝⎭．（八）综合应用例18：过椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的中心的弦ＡＢ与x 轴所夹的锐角为α，将坐标平面沿x轴折成直二面角，求ＡＢ连线与x 轴成角．解析：作BC Ox 交椭圆于Ｃ，则BC 关于y 轴对称，AC 关于x 轴对称；翻折后，2ADC π∠=，据三垂线定理，知：BC AC ⊥，则ＡＢ连线与x 轴成角就等于ABC ∠；∵2cos BC OA α=，sin AC OA α=，∴tan tan 2AC ABC BCα∠==，故ＡＢ连线与x 轴成角为arctan tan 2α⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．四、课后反思．。

2022北师大版文科数学高考总复习教师用书：9-5椭圆 Word版含答案

第5讲椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质．知识梳理1．椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F 2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形．(2)由于e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2021·广东卷)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2 B．3 C．4 D．9解析依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.答案 B3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l 交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1解析由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝43，故a＝3，又由e＝ca＝33，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为x23＋y22＝1，故选A.答案 A4．(2022·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12C.23D.34解析不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12，故选B.答案 B5．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又由于点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，依据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．故选A. (2)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43b 2×32＝ 33b 2＝33，所以b ＝3. 答案 (1)A (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等． (2)椭圆的定义式必需满足2a ＞|F 1F 2|.【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D. 3(2)(2021·南昌调研)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1 考点二椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x26＝1.(2)法一椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后依据条件建立关于a ，b 的方程组，假如焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可．【训练2】 (1)(2021·湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案 (1)A (2)x 24＋y 23＝1 考点三椭圆的几何性质【例3】 (1)(2022·全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)(2021·福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝ma ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 (1)A (2)A规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】 (1)(2022·合肥模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________． (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)由于|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b ＞c )，而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22考点四直线与椭圆的位置关系【例4】 (2022·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围． (1)证明由于|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)解当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．规律方法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题经常用“点差法”解决，往往会更简洁．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提示利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的状况下进行的，不要忽视判别式．【训练4】 (2021·沈阳质量监测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF→＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意．当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， λ＝1－x 1x 2－1，又λ＞1，∴λ＝3＋52.[思想方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、把握定义是关键，应留意定义中的常数大于|F 1F 2|，避开了动点轨迹是线段或不存在的状况．2．求椭圆的标准方程，常接受“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是依据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]1．推断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．在解关于离心率e 的二次方程时，要留意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题经常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要留意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A ．5 B ．3 C ．5或3 D ．8解析当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 C2．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆．则有⎩⎨⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案 B3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33解析在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.答案 D4．(2021·全国Ⅰ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案 B5．(2022·江西师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( ) A.32 B.233 C.932 D.2327解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233，故选B. 答案 B 二、填空题6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a＝0.8，解得⎩⎨⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3.当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x29＝1. 答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝17．(2021·南昌质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．解析记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．答案 (－3,0)或(3,0)8．(2021·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解 (1)依据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7.10．(2021·宝鸡月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，ca ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .由于AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92. 力量提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2022·高安模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12 B.3－12 C.32 D.3－1解析设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·(－3)＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c 2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b 2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入，化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1，故选D.答案 D12．(2021·海沧试验中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，355 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，455 解析依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又由于d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255.故选B. 答案 B13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x24<0，即34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 14．(2021·西安质监)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；(3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解 (1)由题意得c ＝3，依据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的标准方程为x 225＋y216＝1.(2)法一由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2相互平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，由于F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0.即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，∴e ＝32.法二设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2相互平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9，解得a 2＝12，故e ＝32.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14. 即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14. 故直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14.。

椭圆复习教案高考一轮总复习教案

20XX 届高考一轮总复习教案第九单元解析几何---------椭圆一【考纲要求】掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质．二【考点解读】1.椭圆的定义是本节的核心内容在使用时要注意其中蕴含的条件；椭圆的标准方程和简单几何性质是高考的热点，特别是离心率，考查的频度较高。

解题时，只需注意a,b,c 的含义和关系即可解答；直线与椭圆的位置关系也是考查的重点之一问题涉及定点，定值，范围，最值等2.高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.3.20XX 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 三【要点梳理】 1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．用符号语言表示为：21||||2MF MF a +=注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：．.(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：．注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。

《高三复习课——椭圆解题案例》教学设计

《高三复习课——椭圆解题案例》教学设计（一）、教学内容分析解析几何属高考必考内容，考题涉及图形的几何性质及计算，主要考察数形结合思想，方程思想，对应和运动变化思想等数学思想，既要求学生的理解能力、分析问题的能力，同时对计算能力要求很高。

因此，本节课的教学重点是：根据题目条件进行“形”与“数”的相互转化，体会利用题目中隐含的几何特征解题比代数运算更简便。

（二）、教学对象分析我所教的班级为高三文科生，学生已学完高中数学的全部内容，初步掌握解析几何的基本概念、基本题型、基本方法，但他们的抽象思维能力比较差，不善于挖掘条件的几何特征，计算能力有待提高，优化计算意识不强。

因此，本节课的教学难点是：将条件进行“形”与“数”的相互转化（三）、教学目标分析通过两道解析几何题目的处理，在“形”与“数”的相互转化过程中，进一步体会几何问题代数化的解析思想，强化充分挖掘题目中隐含的几何特征的意识，优化解题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

（四）、教学过程分析 OA OB OC +=，则11OA OB OC +=，所以212,y )x y +1=±OA OB OC+=，C是圆上一点OABC是菱形,所以0,0）到直线x y a+=OA OB OC+=的几何特征，四边形OC，且2 OD=2再挖掘直线x y a+=中a的几何特征：ODE中，OE=1，即得a根据对称性，a=-1±4】（向量法）将OA OB OC+=平方，求出1+1110F A F B ⋅=，11(1,F A x y =+，12(F B x =+11112()1F A F B x x x x ⋅=++++212121()1(x x x x k x =++++-2211(1)(1)(k x x k x =+-+222(1)1k =+⨯AOB的面积取最大值时，求直线3、已知椭圆x-F：(1)（Ⅰ）求椭圆《高三复习课——椭圆解题案例》教学反思北京十八中张艳铭我所教的班级为高三文科生，他们的抽象思维能力比较差，不善于挖掘条件的几何特征，对于一些题目有比较繁琐的计算，学生在计算时，通常是一算纠错，导致部分学生畏惧解析几何，做题时不敢想，不敢做。

高三数学一轮复习第1讲椭圆教案

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

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椭圆（高三复习课）
恩平市第一中学张雪梅
一、教学内容分析
圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。

二、学生学习情况分析
本班是普通文科班，此课之前，学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1—1》（A版）第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。

此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

通过学生的“练”、“思”、“究”，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。

三、教学目标
1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。

2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理
解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。

四、教学重点与难点
教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。

2、了解椭圆的简单应用。

教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。

五、教学过程
1、知识梳理构建网络
问题1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和为常数的点的轨迹是什么? 常数大于12||F F 时，点的轨迹是椭圆常数等于12||F F 时，点的轨迹是线段F 1F 2 常数小于12||F F 时，点的轨迹不存在
问题2：平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆吗？常数e (0<e <1)点的轨迹是椭圆
问题3：椭圆的标准方程的两种形式是什么？
12222=+b y a x ， 122
22=+a
y b x , (a ＞b ＞0) 分别表示中心在原点，焦点在 x 轴和y 轴上的椭圆
问题4：椭圆的几何性质有哪些？
2
F 1
F M
2、要点训练知识再现
例1 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

[分析]：求椭圆的离心率，关键是先利用几何关系（即△F 1PF 2为等腰直角三角形），建立a 、b 、c 的等式关系，然后转化为
c
a
的方程式，从而求得离心率。

例2 已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -, 焦点在x 轴上,若右焦点到直线
的距离为3，
求椭圆的标准方程。

[分析]：求椭圆的标准方程，关键是求a 、b 的值，利用点到直线的距离公式列出a 、
b 、
c 的方程或方程组，从而求出a 、b 的值。

3、学以致用直通高考
1）设是椭圆
上的点，若
，
是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（）
A 、4
B 、5
C 、8
D 、10
2）在中，，，、为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率是（）。

A 1
B
C D
3）椭圆的焦点为了，，点在椭圆上，若14PF =，则2PF = ，12F PF ∠的大小为。

4）设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为，求椭圆的离心率。

5）已知、、是椭圆：上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交天两点、，设为椭圆与轴负半轴的交点，且。

求实数的取值范围。

4、课后小结谈谈收获
通过本节课的学习，同学们应明确以下几点：
(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

(2)解题时注重“三个充分”，即充分利用椭圆定义，充分利用几何性质，充分利用图形。

(3)解题时注重设而不求思想和数形结合思想的应用。

0x y -+=ABC ∆30A ∠=2AB =ABC S ∆=A B
C P 22
12516
x y
+=1F 2F 422
192
x y +=1F 2F P A B C m 22
22
1(0)x y a b a b +=>>A BC
m 0AC BC =2BC
AC =m (0,)M t l m P Q
D m y DP DQ =t
5、课后作业巩固升华
配套练习：第213页椭圆（第一课时）。

六、教学反思
本课的教学具有承上启下的目的。

因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。

所以在椭圆的定义、标准方程、几何性质上重加指导，只有当学生正确地理解了椭圆的本质，才能更好地应用求解问题。

本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。

本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使椭圆的探讨有了更加简洁的工具。

因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。

学生应用数学的意识不强，创造力不足、分析问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。

因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。