第14章用力法计算超静定结构
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第14章 静不定问题
+
FS l 2
)
⋅(
l 2)dx2 ]
=
0
∫ ∫ Δ1/1' =
2 l/2 M [(
EI 0 2
+ Fs x1 )(x1) ⋅dx1 +
lM 0 (s 2
+
FS l 2
)
⋅(
l 2
)dx2
]
=
0
FS
=
− 15M 14l
求C截面转角
M/2
M/2
x2
xF1 S F
M (x1) =
M 2
+ Fs x1
=
q
1
2
3
A
B
αα
A
F
二、静不定结构分类
q
q
q
FAx A
FAy
B FBx
A
FBy
B
FAx A
FAy
FBx
B
FBy
外力静不定结构
内力静不定结构
混合型静不定结构
仅在结构外部存在多 仅在结构内部存在多 在结构外部和内部均
余约束
余约束
存在多余约束
¾ 外力静不定
F
q
F
q
外1度
外3度（平面）
外6度（空间）
约束力分量个数：
例1（教材例14-2）图示刚架，承受载荷F，
求刚架的最大弯矩。EI为常数。
B
C
解:沿CC’将刚架切开，由载
F
F
荷的对称性，截面C和C’上
A
A’
的剪力等于零，只有轴力FN 和弯矩M
利用平衡条件求出FN=F/2， 只有 M 为多余约束力
用力法求解超静定结构
用力法求解超静定结构概述超静定结构是指结构中的支座和约束条件多于结构自由度的情况。
用力法是一种经典的结构分析方法，常用于求解超静定结构。
本文将介绍用力法求解超静定结构的基本原理和步骤，并通过实例加以说明。
一、基本原理用力法的基本原理是根据平衡条件和变形约束，通过假设未知力的大小和方向，建立力的平衡方程和变形方程，解出未知力和结构的变形。
用力法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
二、步骤用力法求解超静定结构的步骤如下：1. 选择合适的剖面根据结构的几何形状和约束条件，选择合适的剖面，将结构分割为若干个部分。
2. 假设未知力的方向和大小根据结构的特点和约束条件，假设未知力的方向和大小。
通常，未知力的方向可以根据结构的几何形状和外力的作用方向来确定，而未知力的大小则需要通过力的平衡方程来求解。
3. 建立力的平衡方程根据假设的未知力和结构的几何形状，建立力的平衡方程。
平衡方程包括力的平衡条件和力的矩平衡条件。
4. 建立变形方程根据结构的变形情况和约束条件，建立变形方程。
变形方程可以根据结构的刚度和约束条件来确定。
5. 解方程将力的平衡方程和变形方程联立，解方程组得到未知力和结构的变形。
6. 检验结果将求解得到的未知力和结构的变形代入原平衡方程和变形方程中，检验结果的准确性。
如果结果符合平衡和变形的要求，则求解成功；如果结果不符合要求，则需要重新假设未知力并重新求解。
三、实例分析为了更好地理解用力法求解超静定结构的步骤和原理，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根悬臂梁，在梁的自重和外力作用下，需要求解支座反力和梁的变形。
1. 选择合适的剖面选择悬臂梁的剖面，将梁分割为两个部分：悬臂部分和支座部分。
2. 假设未知力的方向和大小假设支座反力的方向向上，大小为R。
3. 建立力的平衡方程根据力的平衡条件，可以得到悬臂部分的平衡方程：R - F = 0，其中F为梁的自重。
4. 建立变形方程根据梁的几何形状和约束条件，可以建立悬臂部分的变形方程，得到悬臂部分的弯矩和挠度。
第十四章材料力学超静定结构
RMB B
第32次作业：习题14— 4 a,b 第33次作业：习题14—5a,14—8 第34次作业：习题14—3a,14—15 第35次作业：习题14—3b,14—11
P
x1
x1
1
1P
2 EI
a
(
0
Px2
)a2dx2
Pa 3 2EI
11
2 EI
[
a
2 0
x12dx1
a
(
0
a 2
)
2dx2
] 7 Pa 3 12 EI
则
7Pa3 Pa3 12 EI X12EI 0
6
X17P
P
P
由平衡方程求得：
RA
RB
6 7
P
H AH B P
M
A
M
B
4 7
P
a
A
B
HA
HB
RA MA
P
PP
X2 P
例3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 C
解：图示刚架有三个多余未知力。但
P
P
由于结构是对称的，而载荷反对称，
a
a
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
A
B
列出一个正则方程求解。
11X11P 0
用莫尔定理求1P和11。
P
P X1 X1
x2 x2
将上述结果代入变形协调方程得 11P
16
X1l3 5Pl 3 0 3EI 48EI
X
1
5 16
P
(f) A
3Pl
⑤求其它约束反力
16
由平衡方程可求得A端反
14-15.用力法计算超静定梁和刚架
1P
2P
1 a 2 Pa Pa3 2 EI 2 4 EI
1 1 Pa a 5a 1 Pa 2 53Pa3 2 a 96EI 2 EI 2 2 2 6 EI
将自由项和系数代入力法方程计算多余未知力X1
1 p 11 X1 0
3.求系数和自由项 分别作出基本结构在荷载P 单位未知力X1作用下的弯矩图MP M 1
1 1 2 256 11 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI
1P 1 1 1280 80 4 4 EI 3 3EI
将自由项和系数代入力法方程计算多余未知力X1 用叠加法画内力图
X1
5P 16
该梁轴力为零
例题3
用力法计算超静定刚架，并画内力图
11 X 1 12 X 2 1P 0
建立力法典型方程
21 X 1 22 X 2 2 P 0
绘出各单位弯矩和荷载弯矩图如图 (a) (b) (c)所示。
力法的计算步骤和举例
一、用力法计算的步骤 1、去掉多余约束，选择基本结构。 2、建立力法典型方程。 3、分别作出基本结构在荷载Phe 单位未知力Xi作用下 的弯矩图MP M i 4、利用图乘法求方程中的自由项Δip和系数项δij。 5、解力法方程，求出多余未知力XI 6、用叠加法画出弯矩图，进而画出剪力图和轴力图。
43.2
9.35
M 1 m
9.35
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
11 73.4
22 50.9
用力法解超静定结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
d11X1+D1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
=1
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
超静定结构
l
A
B
l
q
D
2 ）建立正则方程 1 (δ 11 + ) X 1 + ∆1P = 0 C
3 ）求解 2 1 2 2l 3 δ11 = ( × l × l × × l) = EI 2 3 3EI 1 1 ql 2 2l 1 ql 2 3l ∆ 1P = − ( ×l × × + ×l × × ) EI 2 2 3 3 2 4 ∆ 1P 7 ql 4 7 ql =− X1 = − = (↑ ) 1 24 EI 24 δ11 + C 2 ）据平衡条件，求得
ql 2 M C = M × X1 = 7
0 C
q
A
ql 2 7
X1
MP
ql 2 2
M
5ql 2 14
M A = M × X 1 − M PA
0 A
5 ql 2 =− 14
例14 − 2 − 4 画图示刚架的内力图。
q
D
q
C
X2
解：利用对称性，从CD中间
X1
EI
D K
剖开，由于结构对称，载荷 对称，故只有对称内力， 所以，X 3 = 0。
δ11
求得 X 1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解 即为原系统的解。
三、n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余 约束力为 X j ( j = 1,2,..., n ) 它们将引起 X i 作用点的相应的位移为 ∑ ∆ ij ,而原系统由 x j ( j = 1, K n) j =1 与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
P A C D n O B P (b) P A
第14章用力法计算超静定结构
11 M1(m)
M A 360 6 (22) 228 90 MC 6 (22) 132
228
132
29
➢ 桁架
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
（4）解力法方程 —求基本未知量
30
X1 X1
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
A
—确定基本未知量
q
B
a
X1
（2）根据位移协调条件 —写出力法基本方程
1P 11X1 0
16
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图
1P 11 X1 0
0.5qa2
（4）求出系数和自由项
A
B
—单位荷载法
MP
1P
qa4 8EI
11
a3 3EI
A
B
X1
1P
11
3 qa 8
（5）解力法方程
MP
l l
1 B KC
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
55
BKC
A l/2 l/2
MP
l l
1 C
BK
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
56
14.8 支座移动和温度改变时的计算
对静定结构不产生内力
（1）支座移动
对超静定结构产生内力、反力
57
➢ 位移协调条件
ij X j iP iC i
—求解基本未知量
a
M1
1
X1为正值，说明基本未知量的方向
与假设方向相同；如为负值，则方
M A 360 6 (22) 228 90 MC 6 (22) 132
228
132
29
➢ 桁架
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
（4）解力法方程 —求基本未知量
30
X1 X1
P
a
a
（1）基本体系 —基本未知量
A
—确定基本未知量
q
B
a
X1
（2）根据位移协调条件 —写出力法基本方程
1P 11X1 0
16
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图
1P 11 X1 0
0.5qa2
（4）求出系数和自由项
A
B
—单位荷载法
MP
1P
qa4 8EI
11
a3 3EI
A
B
X1
1P
11
3 qa 8
（5）解力法方程
MP
l l
1 B KC
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
55
BKC
A l/2 l/2
MP
l l
1 C
BK
A l/2 l/2
M1 基本结构上加单位力
56
14.8 支座移动和温度改变时的计算
对静定结构不产生内力
（1）支座移动
对超静定结构产生内力、反力
57
➢ 位移协调条件
ij X j iP iC i
—求解基本未知量
a
M1
1
X1为正值，说明基本未知量的方向
与假设方向相同；如为负值，则方
第14章 用力法计算超静定结构简化版PPT课件
↓ ↑X1
拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。
X1←↓↑→X1
X2
7
第7页/共20页
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个。
← ↓ X1 X3 X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。
X1
X1
8
第8页/共20页
例1: 确定图示结构的超静定次数。 2 1 3
n=6
原结构
基本结构
A
B X1 A X2
→↑ X3
B
△1=11X1+12X2+13X3+△1P=0
△1=0 △2=0 △3=0
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0
△3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11
第11页/共20页
14.3 对称性的利用
➢ 结构的对称性 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称
9
第9页/共20页
例2: 确定图示结构的超静定次数。
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构， 可按 框格的数目确定，因为 一个封闭框格，其 超 静定次 数等于三。
当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
10
第10页/共20页
➢ 力法的典型方程
（1）以三次超静定结构为例
↓P
↓P （1）基本结构
（2）位移条件
14.1 超静定结构概述
➢ 超静定结构 几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）
A
B
PC
有一个多余联系
P 有二个多余联系
1
第1页/共20页
➢ 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架；
拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。
X1←↓↑→X1
X2
7
第7页/共20页
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个。
← ↓ X1 X3 X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。
X1
X1
8
第8页/共20页
例1: 确定图示结构的超静定次数。 2 1 3
n=6
原结构
基本结构
A
B X1 A X2
→↑ X3
B
△1=11X1+12X2+13X3+△1P=0
△1=0 △2=0 △3=0
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0
△3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11
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14.3 对称性的利用
➢ 结构的对称性 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称
9
第9页/共20页
例2: 确定图示结构的超静定次数。
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构， 可按 框格的数目确定，因为 一个封闭框格，其 超 静定次 数等于三。
当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
10
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➢ 力法的典型方程
（1）以三次超静定结构为例
↓P
↓P （1）基本结构
（2）位移条件
14.1 超静定结构概述
➢ 超静定结构 几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）
A
B
PC
有一个多余联系
P 有二个多余联系
1
第1页/共20页
➢ 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架；
用力法计算超静定结构在支座移动和温变化时的内力
l
M1 图
X1=1
得
l3 3EI
X 1 q l a
由此求得
X1
3EI l2
(q
a) l
弯矩叠加公式为：
M M1X1
3EI (q a )
l
l
M图
X1
q
A
C q
B a
l/2
l/2
l
q
q
X1 a
基本体系之一
q
q
D1c
FRA 1
l
M1 图
X1=1
(2)第二种解法
取支座A的反力偶作为多余未知力X1， 其力法方程为
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为
n
ij X j Δic Ci
j 1
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ，
右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
)
10
(
1 2
1
l
)
2.5
(1 l
l)
10
(
2 l
l)
100 22.5 77.5
代入典型方程，可得
77.5EI/l
A
B
X1
Δ1t
11
77.5EI
l
()
最后弯矩图M M1 X1 ，如图所示。
77.5EI/l 77.5EI/l
C
D
77.5EI/l
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。
第14章静不定结构详解
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
外力超静定
（d）
内力超静定
（e）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
§14-2 用力法解静不定结构
一、力静定结构的多余约束，用多余约束力代替多余约束,得 到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力;（利用能量法求解） 4.在基本系统上求解原超静定结构的内力和变形. （解除多余约束后的静定结构）
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定问题分析
§14-1 静不定结构概述 §14-2 用力法解静不定结构 §14-3 对称及反对称性质的应用
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述
一、静不定结构
M
=
FB (asinϕ) −
F (a sin(φ
−
π
)) 4
当在B点作用一单位力时（图d）,
弯矩方程为
B
F
ϕ FB
A
π/4
(b)
B
M = asinϕ M = asinϕ
1
ϕ
A (d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,
超静定结构的计算
一. 用力法计算超静定结构（一）复习重点1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数2. 理解力法原理3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构）4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构）5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）（二）小结1. 超静定结构、多余约束、超静定次数（1）超静定结构从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
（2）多余约束多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。
（3）超静定次数多余约束的个数是超静定次数。
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理力法是计算超静定结构最基本的方法（1）将原结构变为基本结构（2）位移条件：（3）建立力法方程3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（3）绘弯矩图4. 用力法计算超静定桁架和组合结构注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。
例：超静定组合结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（4）绘弯矩图5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算（1）温度变化时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件力法方程（2）支座移动时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件二. 用位移法计算超静定结构（一）复习重点1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）3. 掌握计算对称结构的简化方法（二）小结1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）例：求连续梁的内力解：（1）确定基本未知量及基本体系基本未知量是结点B的角位移。
第十四章 用力法计算超静定结构
确定超静定次数时应注意的问题
(1)去掉多余联系后所得到的必须是静定结构。 (3)刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。
4次超静定
(2)去掉多余约束的方案有多种形式，即与超静定结构相应的静定结构有多个。
X4
X3 X3
X2
X2
X4 X1
n=3
n=3
n=4
n=4
§14.4 力法的典型方程
拓展
1 11 12 13 1P 0 2 21 22 23 2 P 0 3 31 32 33 3 P 0
§14.2
力法的基本原理——力法解题思路
去掉多余约束 使超静定结构成为静定 q 1 l 1 在多余约束处 补充位移方程
超静定结构： 有多余未知力，有多余约束 q
沿x1方向的位移：1 0 1 11 1F 0 11 11 X1
2
原体系
q
MP
基本体系
11
1F
M1
X1
Ml图
MP图
X1
1 2 ql 2 1 ql3 ( l )( ) EI 3 8 2 24EI
1 p
11
1 ql2 8
§14.3 力法的基本结构和超静定次数
方法：去掉多余联系 1．切断一根链杆，等于去掉一个约束。
将受弯杆件任意截面改成 铰/将固定支座换成铰支座 也等于各去掉一个约束
n1 X 1 n 2 X 2 ni X i nn X n nP 0
方程组的物理意义：在基本体系中，由于全部多余力和已知 荷载的作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应的位移。 主系数
ii
M i ds EI
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第14~15章【圣才出品】
22KN·m。
梁内最大正应力：σ′max＝|Mmax|/W＝22×103/（141×10－6）Pa＝156MPa。
14.2 用力法解题 6.35 和 6.41。 解：（1）用力法解题 6.35 解除支座 C，代之以支反力为 X1，其相当系统如图 14-2-4 所示。
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故由莫尔定理可得
11=
FN FN l EA
M Mdx 5l 2a3 EI EA 3EI
1F =
FN F N l EA
M Mdx 2Fl
EI
EA
将以上两式代入力法方程可得：X1＝－Δ1F/δ11＝6FlI/（15Il＋2a3A）。
故各杆内力：FN1＝[（3Il＋2a3A）/（15Il＋2a3A）]·F，FN2＝[6lI/（15Il＋2a3A）]·F。
由静力平衡条件可得，在力 F 单独作用下：FN1＝F，FN2＝0，M1＝M2＝0。
当在 B 点单独作用一单位力时，有
＿
＿
FN1＝－2，FN2＝1
＿
AC 段：M1＝x（0≤x＜a）。
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＿
＿
BC 段：M2＝x＋FN1（x－a）＝2a－x（a≤x≤2a）。
（3）用力法解题 6.40
图 14-2-3 解除拉杆内力，代之以反力 X1，其相当系统如图 14-2-3 所示。 其力法方程：δ11X1＋Δ1F＝0。 其中，q 单独作用下，拉杆内力 FN＝0。 AB 的弯矩方程：M（x）＝－qx2/2，（0≤x≤4）。
＿
在 B 点单独作用一单位力时，拉杆内力FN1＝1。
1．解除多余约束，并代之以约束力 X1、X2、X3…，得到基本静定系统；
梁内最大正应力：σ′max＝|Mmax|/W＝22×103/（141×10－6）Pa＝156MPa。
14.2 用力法解题 6.35 和 6.41。 解：（1）用力法解题 6.35 解除支座 C，代之以支反力为 X1，其相当系统如图 14-2-4 所示。
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故由莫尔定理可得
11=
FN FN l EA
M Mdx 5l 2a3 EI EA 3EI
1F =
FN F N l EA
M Mdx 2Fl
EI
EA
将以上两式代入力法方程可得：X1＝－Δ1F/δ11＝6FlI/（15Il＋2a3A）。
故各杆内力：FN1＝[（3Il＋2a3A）/（15Il＋2a3A）]·F，FN2＝[6lI/（15Il＋2a3A）]·F。
由静力平衡条件可得，在力 F 单独作用下：FN1＝F，FN2＝0，M1＝M2＝0。
当在 B 点单独作用一单位力时，有
＿
＿
FN1＝－2，FN2＝1
＿
AC 段：M1＝x（0≤x＜a）。
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＿
＿
BC 段：M2＝x＋FN1（x－a）＝2a－x（a≤x≤2a）。
（3）用力法解题 6.40
图 14-2-3 解除拉杆内力，代之以反力 X1，其相当系统如图 14-2-3 所示。 其力法方程：δ11X1＋Δ1F＝0。 其中，q 单独作用下，拉杆内力 FN＝0。 AB 的弯矩方程：M（x）＝－qx2/2，（0≤x≤4）。
＿
在 B 点单独作用一单位力时，拉杆内力FN1＝1。
1．解除多余约束，并代之以约束力 X1、X2、X3…，得到基本静定系统；
材料力学(刘鸿文)第十四章超静定结构
P
aa
2a
2a
4、作刚架的弯矩图
q=4KN/m B
4m
4m
C
四、静不定综合
1、两根长为L＝2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝
相连。左边梁的抗弯刚度为EI1＝50KNm2，右边梁的抗弯刚度 为EI2＝150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2，E＝70GPa， 求在两梁的跨中施加两个2KN的力后，金属丝内的应力。
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
L
L
P
L/2 L/2
9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。
9 相当系统
在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。
R
P
P
M P
10 超静定问题的分析方法
1.位移法： 以未知位移为基本未知量。
列出用位移表示的力的平衡方程
2.力法： 以未知力为基本未知量。
① 变形比较法 ② 力法正则方程 ③ 三弯矩方程
§14–2 变形比较法 原理：
支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中
点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作
用力方向的位移。
D
P
A
B
C
15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由 铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的 长度做短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面 积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求 装配后两杆的应力。
7.4 用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力
(6)作最后弯矩图和剪力图
ql2/12 （ql2/8） A ql2/24 B ql2/12
M图
ql/2
B
A
F Q图
ql/2
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【例7-3】试计算图示刚架，并作内力图。EI=常数 。
解： (1)确定基本未知量数目
8kN
D
C
E 2m
F
n=2
A 2m D X1 X2 F A 2m X1
作出M图以及FQ图、FN :
5 kN 4
6 kN 7 5
4
D 8kN F
C
E 2m
24
kN
24
8kN 2m B 2m 2m 130
6 kN 7 59
A
1 M图( kN m 14
46
)
5 4 27 4
6 7
5 4
6 7
5 4
6 7
FQ图(kN)
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B
MR 1
A1 C 1 A
M C
M 1图
All Rights Reserved
M图
B
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B
7.4.2 超静定桁架
桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：
FN FN1 X 1 FN2 X 2 FN n X n FNP
B F D a A 2a E C a FP X1 X1 FP
130 / 14 59 / 14 59 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 46 / 14
力法计算超静定结构举例
的相对位移）
3）计算系数和自由 绘 N1 和NP 。 项
11
1 EA
1
1
3
4 3
4 4 2 ( 3
5 ) ( 3
5 3
)
5
3
45 EA
1P
1 EA
(75) (
5)5 3
60
4 3
4
945 EA
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
4)计算多余未知力X1
945
X1
1P
11
EA 45
21(kN)
EA
5)作最后内力图
N=N1X1+NP
四、超静定组合结构
五、力法计算铰接排架
例：用力法计算图示铰结排架，并作弯矩图。
解：1)选取图示基本体系 2)力法方程为： 11X1 1p 0 3）绘单位弯矩图M1和 荷载弯矩图MP
3）绘单位弯矩图M1和荷载弯矩图
MP
11
2 EI
(1 3 3 2
EA
EA
ip
NiN EA
p
dx
NiN EA
p
l
各杆的最后轴力按下式计算：
N N1X1 N2 X2 Nn Xn N p
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
解：1) 确定基本体系（如图所示） 2）建立力法方程：
11X1+△1P=0 （基本体系在切口两边截面沿X1方向
取结点A为脱离体 取结点C为脱离体
Y 0,
2 RA 5 ql
()
Y 0,
RC
ql 2
3 ql 5
11 ql 10
()
讨 ①超静定结构在荷载作用下其内力与EI 的实际值无关，只与EI的相对值有关；
3）计算系数和自由 绘 N1 和NP 。 项
11
1 EA
1
1
3
4 3
4 4 2 ( 3
5 ) ( 3
5 3
)
5
3
45 EA
1P
1 EA
(75) (
5)5 3
60
4 3
4
945 EA
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
4)计算多余未知力X1
945
X1
1P
11
EA 45
21(kN)
EA
5)作最后内力图
N=N1X1+NP
四、超静定组合结构
五、力法计算铰接排架
例：用力法计算图示铰结排架，并作弯矩图。
解：1)选取图示基本体系 2)力法方程为： 11X1 1p 0 3）绘单位弯矩图M1和 荷载弯矩图MP
3）绘单位弯矩图M1和荷载弯矩图
MP
11
2 EI
(1 3 3 2
EA
EA
ip
NiN EA
p
dx
NiN EA
p
l
各杆的最后轴力按下式计算：
N N1X1 N2 X2 Nn Xn N p
例：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）
解：1) 确定基本体系（如图所示） 2）建立力法方程：
11X1+△1P=0 （基本体系在切口两边截面沿X1方向
取结点A为脱离体 取结点C为脱离体
Y 0,
2 RA 5 ql
()
Y 0,
RC
ql 2
3 ql 5
11 ql 10
()
讨 ①超静定结构在荷载作用下其内力与EI 的实际值无关，只与EI的相对值有关；
用力法计算超静定结构
一. 用力法计算超静定结构（一）复习重点1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数2. 理解力法原理3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构）4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构）5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）（二）小结1. 超静定结构、多余约束、超静定次数（1）超静定结构从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
（2）多余约束多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。
（3）超静定次数多余约束的个数是超静定次数。
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理力法是计算超静定结构最基本的方法（1）将原结构变为基本结构（2）位移条件：（3）建立力法方程3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（3）绘弯矩图4. 用力法计算超静定桁架和组合结构注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。
例：超静定组合结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（4）绘弯矩图5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算（1）温度变化时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件力法方程（2）支座移动时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件二. 用位移法计算超静定结构（一）复习重点1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）3. 掌握计算对称结构的简化方法（二）小结1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微小的，假定受弯杆件两端的距离在变形后保持不变。
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（5）超静定组合结构。
第14章用力法计算超静定结构
8
➢ 超静定结构的解法 综合考虑二个方面的条件: （1）平衡条件； （2）几何条件；
具体求解时，有两种基本(经典)方法— 力法和位移法。
第14章用力法计算超静定结构
9
14.2~4、7 力法的基本原理及其应用
教学要求：
➢ 理解力法的基本概念； ➢ 掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解
第14章用力法计算超静定结构
2
14.1 超静定结构概述
➢ 超静定结构 几何不变且具有多余约束（外部或内部）
A
B
PC
有一个多余约束
P 有二个多余约束
第14章用力法计算超静定结构
3
➢ 超静定次数 多余约束的个数。
去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。
↓ ↑X1
拆开一个单铰，相当于去掉两个约束。
8m
6m
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
（4）解力法方程 —求基本未知量
第14章用力法计算超静定结构
24
20kN/m
C I1 D
I2
I2
A
B
X1
8m
6m
（1）基本体系 —基本未知量
（2）位移协调条件 —写力法基本方程
1P 11X1 0
6
例2: 确定图示结构的超静定次数。
n=3×7=21
对于具有较多框格的结构， 可按框格的数目确定，因为一 个封闭框格，其超静定次数等 于3。
当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
第14章用力法计算超静定结构
7
➢ 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架；
（3）超静定拱；
（4）超静定刚架；
X1←↓↑→X1
X2
第14章用力法计算超静定结构
4
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉
←↓
三个约束。
← ↓ X1 X3 X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个约束。
X1
X1
第14章用力法计算超静定结构
5
例1: 确定图示结构的超静定次数。 2 1 3
n=6
第14章用力法计算超静定结构
简单的超静定结构。
第14章用力法计算超静定结构
10
1 引例
q
q
A
BA
a
B
a
解超静定问题时，我们不是孤立地研究超静定问题， 而是利用静定结构与超静定结构之间的约束，从中找到由 静定问题过渡到超静定问题的途径。
第14章用力法计算超静定结构
11qA来自BaX1
q
A
B
a
X1
X1 ?
思考
第14章用力法计算超静定结构
第14章用力法计算超静定结构
18
q
0.5qa2
A
B
A
a
X1
3 8
qa
A
a
3 qa2 8
（6）叠加法作弯矩图
M M1X1 MP
1 qa2 8
A
第14章用力法计算超静定结构
B MP
B
M1 MX1
1
X1
3 8
qa
1 qa2 8
M
0
B
19
小结
1P 11X1 0
（1）确定基本体系——确定基本未知量 （2）根据位移协调条件——写出力法基本方程 （3）求出系数和自由项——单位荷载法 （4）解力法方程 ——求解基本未知量
第14章用力法计算超静定结构
20
P
B
C
P
X1
B
C
X2
A
A
11x1 12x2 1P 0
21x1 22x2 2P 0
第14章用力法计算超静定结构
21
n 次超静定结构力法基本方程：
11X1 12X2 ....1nXn 1P 0
21X1 22X2
..........
....2nXn
2P
0
n1X1 n2X2 ....nnXn nP 0
M M 1 X 1 M 2 X 2 .. .M .n X n M P
N N 1 X 1 N 2 X 2 .. .N n .X n N P
R R 1 X 1 R 2 X 2 .. R .n .X n R P
第14章用力法计算超静定结构
22
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
第十四章 用力法计算超静定结构
学习要求： ➢ 了解超静定次数的判断； ➢ 掌握力法计算超静定结构在荷载下的内力， 对称性的应用； ➢ 理解力法的基本原理。
第14章用力法计算超静定结构
1
第十四章 用力法计算超静定结构
主要内容： 14.1 超静定结构概述 14.2~4、7 力法的基本原理及其应用 14.5 对称性的利用 14.6 超静定结构的位移计算 14.8 支座移动和温度改变时的计算 14.9 超静定结构的特性
第14章用力法计算超静定结构
14
q
A
B A 变形协调条件
a
Δ1=Δ1P+Δ11=0
q
Δ1P：基本体系在荷载q单独
A
B
作用下沿X1方向产生的位移；
Δ1P
Δ11
Δ11：基本体系在荷载X1单
A
B
独作用下沿X1方向产生的
X1
位移；
第14章用力法计算超静定结构
15
1 1P 11 0
δ11 : 在X1＝1单独作用下，基本
ii
M i 2 ds
EI
Ai yi EI
ij
M i M j ds EI
Aj yi EI
iP
M i M P ds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni N jl EA
iP
Ni N Pl EA
第14章用力法计算超静定结构
23
➢ 刚架
20kN/m
C I1 D
I2
I2
A
B
第14章用力法计算超静定结构
25
20kN/m
C I1 160 I2
A MP
8m 6
M1
D
I2 B
6m
（3）求系数和自由项 —单位荷载法
17
（3）作出基本结构的 荷载弯矩图，单位弯矩图
1P 11X1 0
0.5qa2
（4）求出系数和自由项
A
B
—单位荷载法
MP
1P
qa4 8EI
11
a3 3EI
A
B
X1
1P
11
3 qa 8
（5）解力法方程
a
M1
1
X1为正值，说明基本未知量的方向
与假设方向相同；如为负值，则方
—求解基本未知量 向相反。
12
B点的位移条件Δ1=0
q
q
A
BA
B
a
Δ1P
Δ1P：荷载q单独作用下沿X1方向产生的位移；
Δ11：荷载X1单独作用下沿X1方向产生的位移； Δ11
q
A
BA
B
a
X1
X1
第14章用力法计算超静定结构
13
2 力法的基本概念
力法的基本体系
q
q
A
BA
B
a
a
X1
力法的基本未知量
B点的位移条件Δ1=0
变形协调条件
结构沿X1方向产生的位移
A
根据叠加原理
δ11 B
X1=1
11 11X1
1P 11X1 0
力法的基本方程
第14章用力法计算超静定结构
16
3 力法解题的基本步骤 q
A
B
a
（1）确定基本体系
A
—确定基本未知量
q
B
a
X1
（2）根据位移协调条件
—写出力法基本方程
1P 11X1 0
第14章用力法计算超静定结构