初二等边三角形章节两道证明题
初中数学44道经典的三角形证明题汇总(两篇)
引言：三角形是数学中重要的几何形状之一，而三角形的证明题也是数学学习中的重要内容。
本文总结了初中阶段数学中44道经典的三角形证明题，帮助学生更深入地理解三角形的性质和定理，同时提高解题能力和逻辑思维能力。
概述：本文分为五个大点介绍了这44道经典的三角形证明题。
每个大点下面包含了59个小点详细阐述。
这些证明题涵盖了三角形的等边、等腰、直角、等腰直角以及一般三角形的性质和定理。
正文内容：一、等边三角形的证明题1.证明等边三角形三条边相等。
2.证明等边三角形三个内角都是60度。
3.证明等边三角形任意一角的正弦值都是√3/2。
4.证明等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。
5.证明等边三角形的内切圆半径等于边长的二分之一。
二、等腰三角形的证明题1.证明等腰三角形的两个底角相等。
2.证明等腰三角形的顶角是其它两个角的一半。
3.证明等腰三角形的中线等于底边的一半。
4.证明等腰三角形的高等于底边的一半。
5.证明等腰三角形的内切圆半径等于底边的一半。
三、直角三角形的证明题1.证明直角三角形的两个锐角的和等于90度。
2.证明直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边长。
3.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之和的一半。
4.证明直角三角形的两个锐角的正弦值之和等于1。
5.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之差的一倍。
四、等腰直角三角形的证明题1.证明等腰直角三角形的两个锐角相等。
2.证明等腰直角三角形的斜边等于直角边的平方根。
3.证明等腰直角三角形的面积等于直角边的平方除以2。
4.证明等腰直角三角形对角线相等。
5.证明等腰直角三角形的两条直角边互相垂直。
五、一般三角形的证明题1.证明三角形内部三条角的和等于180度。
2.证明三角形外角等于不相邻的内角之和。
3.证明三角形三边之和大于第三边。
4.证明三角形两边之比的正弦值等于对应两个角的正弦值之比。
5.证明三角形中位线之和等于第三条边的一半。
总结：通过这44道经典的三角形证明题的学习，学生能够更深入地理解三角形的性质和定理。
初中数学：等边三角形练习(含解析)
初中数学：等边三角形练习（含解析）一、选择题1、下面的图形是轴对称图形，而且对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行判断.解：等腰三角形有1条对称轴，等腰直角三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，一般的直角三角形不是轴对称图形，所以对称轴最多的是等边三角形.故应选C.考点：等边三角形2、如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD 与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A. 60°B. 45°C. 40°D. 30°【答案】A【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可得：AC=AB，∠CAE=∠B，根据SAS可证△AEC≌△BDA，根据全等三角形的性质可证∠BAD=∠ACE，所以∠DAC+∠ACE=60°，所以∠DFC=60°.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAE=∠B=60°，在△AEC和△BDA中，AE BD EAC DBA AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDA ，∴∠BAD=∠ACE ，∵∠DAC+∠BAD=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=60°.故应选A.考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质3、下面给出的几种三角形：①三个内角都相等；②有两个外角为120°；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线；④三条边上的高相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】试题分析：根据等边三角形的定义和判定定理进行判断.解：①三角形个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个外角是120°的三角形的两个内角一定是60°，根据三角形内角和定理可得：第三个内角也是60°，所以这个三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线一定是等腰三角形，不一定是等边三角形；④根据三角形的面积公式可得：当三角形三条边上的高相等时，三角形的三条边也相等，所以这个三角形是等边三角形.所以正确的有3个.故应选B.考点：等边三角形的判定二、填空题4、在△ABC 中，如果AB=AC=BC ，则∠A ＝_________，∠B ＝___________，∠C ＝_________。
三角形全等证明题20道初二
三角形全等证明题20道初二1.已知两个三角形的三边分别相等，证明它们全等。
2. 在直角三角形中，已知一直角边和另一条边的一段长度，证明剩余的边长和角度唯一确定。
3. 已知一个三角形的两边和夹角，另一个三角形的两边和夹角相等，证明两个三角形全等。
4. 在等腰三角形中，已知一个底角和另外一边的长度，证明另一个角和两条腰的长度均唯一确定。
5. 已知一个三角形的一边和两个角度，另一个三角形的一边和两个角度相等，证明两个三角形全等。
6. 在等边三角形中，证明三个角度均为60度。
7. 已知一个三角形的一边和垂线长度，另一个三角形的一边和垂线长度相等，证明两个三角形全等。
8. 在直角三角形中，已知一条直角边和斜边，证明另一条直角边唯一确定。
9. 已知两个三角形的两个角度和一边的长度，另一个三角形的两个角度和一边的长度相等，证明两个三角形全等。
10. 在等腰三角形中，已知一底角和腰的长度，证明另一个底角唯一确定。
11. 已知一个三角形的一边和周围两个角度，另一个三角形的一边和周围两个角度相等，证明两个三角形全等。
12. 在等腰直角三角形中，证明两个直角边长和斜边长均唯一确定。
13. 已知两个三角形的一边和相邻两个角度，另一个三角形的一边和相邻两个角度相等，证明两个三角形全等。
14. 在等腰三角形中，证明底角的平分线和对边相等。
15. 已知一个三角形的一边和两个角度，另一个三角形的一边和两个角度相等且两个角度之和为180度，证明两个三角形全等。
16. 在等腰三角形中，证明底角的垂直平分线和底边相等。
17. 已知一个三角形的一边和外角，另一个三角形的一边和外角相等，证明两个三角形全等。
18. 在等腰三角形中，证明高线和底边垂直且交于底边中点。
19. 已知两个三角形的两个角度和一边的长度，另一个三角形的两个角度和一边的长度相等且两个角度之和为180度，证明两个三角形全等。
20. 在等腰三角形中，证明高线和底边平分线重合。
初二数学等边三角形试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 在等边三角形ABC中，角A的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 等边三角形的边长为a，那么它的周长是：A. 2aB. 3aC. 4aD. 5a3. 等边三角形的高是边长的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/54. 等边三角形的内角和是：A. 90°B. 120°C. 180°D. 360°5. 在等边三角形中，边长为x的线段是高的话，那么这个三角形的边长是：A. 2xB. 3xC. 4xD. 5x6. 等边三角形的面积是边长的平方乘以：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 等边三角形的周长是边长的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/58. 在等边三角形中，若边长为a，那么它的外接圆半径是：A. a/2B. a/3C. a/4D. a/59. 等边三角形的内角平分线与边长的比是：A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:410. 等边三角形的面积是边长的平方乘以：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、填空题（每题4分，共40分）1. 等边三角形的每个内角是_________度。
2. 等边三角形的周长是边长的_________倍。
3. 等边三角形的高是边长的_________倍。
4. 等边三角形的面积是边长的平方乘以_________。
5. 等边三角形的外接圆半径是边长的_________。
6. 等边三角形的内角平分线与边长的比是_________。
7. 等边三角形的面积是周长的_________。
8. 等边三角形的内角和是_________。
9. 等边三角形的周长是边长的_________。
10. 等边三角形的面积是边长的平方乘以_________。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知等边三角形ABC的边长为10cm，求该三角形的高和面积。
初中几何证明题：等边三角形专项练习
如图，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合，CE=23AB, (1)求证：AD=BE ；(2)若CE 绕点C 顺时针旋转30度，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG ，求证：BE=2FG ；(3)在(2)的条件下AB=2，则AG= ______．（直接写出结果）在等边△ABC 中，D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD=CE=nAC ，连AE 、BD 相交于P ，过B 作BQ ⊥AE 于点Q ，连CP.(1)∠BPQ=______,=____ (2)若BP ⊥CP ，求； (3)当n=_____时，BP ⊥CP?DBD BD B BPPQ BP AP已知等边△ABC 和等边△ADE 摆放如图１，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE,连接CF ，FD ，DC.（１）证明△CFD 为等边三角形；（２）将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，如图２，其它条件不变，证明△CFD 为等边三角形.B 图1图2例2.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。
∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。
∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。
（2）连接BE。
∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。
∴EB=EF，∠EBF=60°。
∵DC=EF，∴EB=DC。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。
∴∠EBF=∠ACB。
∴△AEB≌△ADC（SAS）。
∴AE=AD。
【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。
(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．已知如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（）A．①②③④B．③④C．①②③D．①②④2．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点E、F分别在BC、AC上，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠BEO的度数是（）A．26°B．32°C．52°D．58°4．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（）A ．BD ＝CEB ．BD ⊥CEC ．AF 平分∠CAD D ．∠AFE ＝45° 5．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ，若∠A ＝50°，则∠B 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°6．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE=10cm ，则AC 等于（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm7．如图，过边长为3的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．13B ．12C ．32D ．28．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．69．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ．5a =，12b =，13c =B ．6a =，8b =，10c =C ．7a =，24b =，25c =D ．8a =，12b =，15c =10．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD AE =，则CDE ∠的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10° 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ） A ．65° B ．105° C ．55°或105° D ．65°或115° 12．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，交AB 于点F ，15AB =，12AD =，14BC =，则DE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．103二、填空题13．在ABC ∆中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，4AB =，点P 、M 、N 分别在边AB 、BC 、CA 上，连接PM 、MN 、NP ，则PMN ∆周长的最小值为__________14．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．15．如图，在ABC 与ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ，则ACE DBC ∠+∠=______．16．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，交BC 于点N ，60EBC BED ∠=∠=︒，若6BE =，2DE =，则BC =__________．17．如图，∠MON =33°，点P 在∠MON 的边ON 上，以点P 为圆心，PO 为半径画弧，角OM 于点A ，连接AP ，则∠APN =____．18．如图，已知：30MON ︒∠=，点1A 、2A 、3A ⋯在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ⋯在射线OM 上，112A B A ∆、223A B A ∆、334A B A ∆⋯均为等边三角形，若11OA =，则9910A B A ∆的边长为________．19．上午9时，一条船从海岛A 出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B 处，如图，海岛A 在灯塔C 的南偏西32°方向，灯塔C 在海岛B 的北偏东64°方向，则灯塔C 到海岛B 的距离是______海里．20．如图，在ABC 中，AB BC =，30C ∠=︒，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若2CD =，则AD 的长为__________．三、解答题21．数学课上，老师出示了如下的题目．在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D=，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理在CB的延长线上，且ED EC由．第一学习小组讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论：当点E为边AB的中点时，如图2，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“>”，“<”或“=”）．（2）一般情况，启发解答：当点E为边AB上任意一点时，如图1，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．22．如图，四边形ABCD，BC∥AD，P为CD上一点，PA平分∠BAD且BP⊥AP，（1）若∠BAD=80°，求∠ABP的度数；（2）求证：BA=BC+AD；（3）设BP=3a，AP=4a，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E，点F．若AB=EF，求AE的长（用含a的代数式表示）23．如图，在四边形ABCD 中，90,A ABC BCD BDC ∠=∠=︒∠=∠，过点C 作CE BD ⊥，垂足为E ．求证：AB CE =24．如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，连结AE 和CD ，交点为M ，AE 交BD 于点P ，CD 交BE 于点Q 连结PQ ．(1)求证：△ABE ≌△DBC ；(2)求∠AMC 的度数；(3)求证：△PBQ 是等边三角形25．问题提出（1）如图1，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AC =12，AB =5，若P 是BC 边上一动点，连接AP ，则AP 的最小值为______．问题探究（2）如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ABC =90°，AC =m ，求边AB 的长度（用含m 的代数式表示）．问题解决（3）在图3中，若AC =8，点D 是BC 边的中点，若P 是AB 边上一动点，试求PD +22AP 的最小值．26．如图，ACB △和DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．（1）如图1，若55CAB CBA CDE CED ∠=∠=∠=∠=︒．填空：ACB ∠= ________︒，AEB ∠=________ ︒；（2）如图2，若60ACB DCE ∠=∠=︒，试猜想,,AE CD BE 之间的关系，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先由SAS 判定△ACD ≌△BCE ，证得①正确；再由ASA 证△ACP ≌△BCQ ，得到CP ＝CQ ，②正确，同理证得CM ＝CN ，得到④正确；易得③不正确．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠BCD +∠ECD ，∠BCD ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，故①正确；∠CAD＝∠CBE，∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形，故②正确；过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM（AAS），∴CM＝CN，∵CM⊥BE，CN⊥AD，∴OC平分∠AOE，故④正确；当AC＝CE时，AP平分∠BAC，则∠PAC＝30°，此时∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，则AD⊥BC，故③不正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．C解析：C【分析】分两种情况分析：①以点OP为底，②OP为腰，讨论点P的个数，再求出m的值即可.【详解】解：由点P（m，0）知点P在x轴上，分两种情况：当OP为底时，以A点为圆心OA为半径画圆，交x轴于点P，以OA=AP为腰，点P的坐标为m=2×3=6，当OP为腰时，以O为圆心，OA长为半径，画圆交x轴于两点P，点P在y轴左侧或右侧，22+2313∴m=13点P 在y 轴右侧，以OA 为底，作AO 的垂直平分线交x 轴与P ，过A 作AB ⊥x 轴，OP=AP=()2223m +-，则m=()2223m +-，解得m=136，综上，共有4个点P ，即m 有4个值，故选择：C.【点睛】本题考察等腰三角形的性质，解题时分两种情况进行讨论，注意以点A 、O 为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏．3．C解析：C【分析】连结OB ，根据角平分线定义得到∠OAB=32°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB ，则∠OBA=∠OAB ，所以得出∠1，由于AB=AC ，OA 平分∠BAC ，根据等腰三角形的性质得OA 垂直平分BC ，则BO=OC ，所以得出∠1=∠2，然后根据折叠的性质得到EO=EC ，于是∠2=∠3，再根据三角形内角和定理计算∠OEC ，解答即可．【详解】解：连结OB 、OC ，∵∠BAC=64°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，∴∠OAB=32°，∵AB=AC ，∠BAC=64°，∴∠ABC=∠ACB=58°，∵OD 垂直平分AB ，∴OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB=32°，∴∠1=58°-32°=26°，∵AB=AC ，OA 平分∠BAC ，∴OA 垂直平分BC ，∴BO=OC ，∴∠1=∠2=26°，∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO=EC ，∴∠2=∠3=26°，∴∠BEO=∠2+∠3=52°，故选择:C ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 4．C解析：C【分析】作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．证明△BAD ≌△CAE ，利用全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：如图，作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 与△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴EC ＝BD ，∠BDA ＝∠AEC ，故A 正确，∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故B正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故D正确，若C成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．B解析：B【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【详解】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∠A＝50°，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12 AE．【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE=10(cm)，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=12AE=12×10=5(cm)． 故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 7．C解析：C【分析】过P 作//PF BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP PF QC ==，根据等腰三角形性质求出EF AE =，证PFD QCD ∆≅∆，推出FD CD =，推出12DE AC =即可． 【详解】解：过P 作//PF BC 交AC 于F ， //PF BC ，ABC ∆是等边三角形，PFD QCD ∴∠=∠，60APF B ∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，60A ∠=︒， APF ∴∆是等边三角形，AP PF AF ∴==，PE AC ⊥，AE EF ∴=，AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， PFD QCD ∴∆≅∆，FD CD ∴=，AE EF =，EF FD AE CD ∴+=+，12AE CD DE AC ∴+==， 3AC =，32DE ∴=， 故选：C ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．8．C解析：C【分析】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122EF OE ==，即可得解； 【详解】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=， 在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥，∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒， ∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=，∴8BE BC CE =-=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A.∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B.∵62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C.∵72+242=625=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D.∵82+122=208≠152，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．10．C解析：C【分析】根据已知可求得∠DAC 及∠ADE 的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE 即可得到答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，BD=DC∴ AD ⊥BC （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合） ∴∠ADC=90°，∵∠BAC ＝80°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝ 80°÷2=40° （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝（ 180°−40°）÷2=70° ，∴∠CDE ＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，故答案为：C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.11．D解析：D【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−25°＝65°．综上所述，顶角的度数为：65°或115°．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．D解析：D【分析】作EG AC ⊥于点G ，分别通过勾股定理计算出BD ，DC ，AC ，再结合角平分线的性质得到DE GE =，设DE GE x ==，分别表示AE ，AG ，最终在Rt AEG 中运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，作EG AC ⊥于点G ，∵AD BC ⊥于点D ，∴在Rt ABD △中，229BD AB AD =-=，∵14BC =，∴5DC BC BD =-=，∴在Rt ACD △中，2213AC AD CD =+=， ∵CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，EG AC ⊥，ED BC ⊥∴DE GE =，∵CE=CE∴△△CED CEG ≌，∴5CD CG ==， 设DE GE x ==，则12AE AD ED x =-=-，8AG AC GC =-=，∴在Rt AEG 中，222AE EG AG =+，即：()222128x x -=+， 解得：103x =，即：103DE =， 故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质以及勾股定理，灵活根据角平分线的性质构造辅助线并且熟练运用勾股定理求解是解题关键．二、填空题13．2【分析】作点M 关于AC 的对称点M′作点M 关于AB 的对称点M′′连接AMM′M′′M′M′′交AB 于点P′交AC 于点N′作AH ⊥BC 于点H 由对称性可知：当点M 固定时周长的最小值=M′M′′再推出M′解析：6【分析】作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值= M′M′′，再推出2，进而即可求解．【详解】如图，作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：MN′=M′N′，MP′=M′′P′，AM=AM′=AM′′，∴当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值=MN′+MP′+N′P′= M′N′+M′′P′+N′P′= M′M′′， ∵45A ∠=︒，∠M′AC=∠MAC ，∠M′′AB=∠MAB ，∴∠M′A M′′=90°，即∆ M′A M′′是等腰直角三角形，∴M′M′′=2=2AM AM ′， ∴当AM 最小时，M′M′′的值最小，即AM 与AH 重合时，M′M′′的值最小，∵60B ∠=︒，4AB =，AH ⊥BC ，∴∠BAH=30°，∴AH=3AB 2=23，此时，M′M′′的值最小=2AH =26， ∴PMN ∆周长的最小值=26．故答案是：26．【点睛】本题主要考查轴对称—线段和的最小值，直角三角形的性质，作点M 关于AB ，AC 的对称点，把PMN ∆周长化为两点间的线段长，是解题的关键．14．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A ∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°12∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC-BC）故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15．45°【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°根据SAS可证△ABD≌△ACE可得∠ACE=∠ABD即∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°【详解】解：∵∠BAC=90°解析：45°【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE=∠ABD，即∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°．【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∴∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°，故答案为：45°【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定解决问题是本题的关键．16．8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6DE=2进而得出△BEM为等边三角形△EFD为等边三角形从而得出BN的长进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M延长AD交BC于N∵AB解析：8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6， DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N ，∵ AB=AC，AF平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN；∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∠NDM=30°，∴NM=2，∴ BN=4，∴BC=2BN=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键；17．66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知PO=PA∴∠MON=∠PAO=33°∠APN=∠MON+∠PAO=66°故答案为：66°【点睛】解析：66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO，再用外角的性质求解即可．【详解】解：由作图可知，PO=PA，∴∠MON=∠PAO=33°，∠APN=∠MON+∠PAO=66°，故答案为：66°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角形的性质熟练计算．18．【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°A1B1=A1A2则可计算出∠A1B1O=30°所以A1B1=A1A2=OA1利用同样的方法得到A2B2=A2A3=OA2=2OA1A3B3=A解析：256【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，则可计算出∠A1B1O=30°，所以A1B1=A1A2=OA1，利用同样的方法得到A2B2=A2A3=OA2=2OA1，A3B3=A3A4=22•OA1，A4B4=A4A5=23•OA1，利用此规律得到A n B n=A n A n+1=2n-1•OA1．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，∵∠MON=30°，∴∠A1B1O=30°，∴A 1B 1=OA 1=1，∴A 1B 1=A 1A 2=OA 1=1，同理可得A 2B 2=A 2A 3=OA 2=2OA 1=2，∴A 3B 3=A 3A 4=OA 3=2OA 2=22•OA 1=22，A 4B 4=A 4A 5=OA 4=2OA 3=23•OA 1=23，…，∴A n B n =A n A n+1=2n-1•OA 1=2n-1．则△A 9B 9A 10的边长为28=256．故答案为：256．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．19．24【分析】作点C 垂直AB 于点DBE 垂直CE 于点E 由题意可求出AB 的长继而根据方位角可求出∠ACE=∠CAB=∠BCA 即可求解；【详解】解：如图作点C 垂直AB 于点DBE 垂直CE 于点E 由题意知：船的速解析：24【分析】作点C 垂直AB 于点D ，BE 垂直CE 于点E ，由题意可求出AB 的长，继而根据方位角可求出∠ACE=∠CAB=∠BCA ，即可求解；【详解】解：如图，作点C 垂直AB 于点D ，BE 垂直CE 于点E ，由题意知：船的速度为12海里，时间为2小时，∴ ()1211924AB =⨯-=，∵∠CBD=64°，∴∠BCD=90°-64°=26°，∵∠ACE=32°，∴∠BCA=90°-26°-32°=32°，∴∠ACE=∠CAB=∠BCA=32°，∴AB=BC=24，故答案为：24．【点睛】本题考查了平行线的性质，方位角以及等腰三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键．20．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD 利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解【详解】∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A ∴ 解析：1.【分析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD ，利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解.【详解】∵AB BC =，30C ∠=︒，∴∠A=30°，∠ABC=120°，∵BD BC ⊥，2CD =，∴∠CBD=90°，BD=1，∴∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A ，∴BD=AD ，∴AD=1.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.三、解答题21．（1）AE BD =；（2）AE BD =，见解析【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠ECB=30°=∠D=∠DEB ，从而DB=BE=AE ；（2）作EF ∥BC ，交AC 于点F ．则△AEF 为等边三角形．根据“SAS”证明△BDE ≌△FEC ，得BD=EF=AE ．【详解】解：（1）E 为AB 的中点时，AE 与DB 的大小关系是：AE=DB ．理由如下：∵△ABC 是等边三角形，点E 是AB 的中点，∴AE=BE ；∠BCE=30°．∵ED=EC ，∴∠ECD=∠D=30°．又∵∠ABC=60°，∴∠DEB=30°．∴DB=BE=AE ；故答案为：=．（2）证明：如图，过点E 作//EF BC 交AC 于F ，∵ABC 是等边三角形 ∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，AB BC AC == ∵//EF BC ∴AFE ACB ，AEF ABC ∠=∠ ∴AFE AEF BAC ∠=∠=∠ ∴AEF 是等边三角形∴AE AF EF ==，∴BE CF =∵ED EC =∴ECB EDB ∠=∠又∵60EBC BED EDB ∠=∠+∠=︒60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=︒∴BED FCE ∠=∠∵BE CF =，DE EC =∴BDE FEC ≌ ∴DB EF =，∵AE EF =，∴AE BD =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定的理解和运用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．22．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，则PI=PG ；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA 平分∠BAD 且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，∵PA 平分∠BAD ，∴∠BAP=∠DAP 而∠BPA=90°=∠HPA ，∴∠ABP=∠AHP ，∴AB=AH ；∵AP ⊥BH ，∴BP=PH ；∵BC //AH ，∴∠PBC=∠H ；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，由①得GH=95a，EG=710a；∴ EH=1110a ； ∴ EA=3910a ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．23．证明见解析．【分析】用“角角边”证明△ABD ≌ECB 即可．【详解】证明：∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ADB=∠DBC ，∵BCD BDC ∠=∠，∴BD=BC ，∵∠A=∠BEC=90°，∴△ABD ≌△ECB∴AB CE =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是找准全等三角形，依据等腰三角形的判定和同角的余角相等证明全等．24．(1)见解析；(2) 120°；(3) 见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=DB ，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC ，得出∠ABE=∠DBC ，由SAS 即可证出△ABE ≌△DBC ；（2）由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BDC ，由三角形外角的性质和三角形内角和可求AMC 的度数；（3）由“ASA”可证△ABP ≌△DBQ ，可得BP=BQ ，即可证△PBQ 是等边三角形．【详解】解：（1）∵△ABD 、△BCE 为等边三角形，∴AB=DB ，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC ，∴∠ABE=∠DBC ，∠PBQ=60°，在△ABE 和△DBC 中，AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），（2）∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE=∠BDC ，∵∠BDC+∠ACD=∠ABD=60°∴∠BAE+∠ACD=60°∴∠AMC=180°-∠BAE-∠ACD=120°（3）在△ABP 和△DBQ 中，60BAE BDC AB DBABP DBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP=BQ ，且∠PBQ=60°∴△BPQ 为等边三角形，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．25．（1）6013；（2）AB =22m ；（3）DP +22PA 的最小值为6 【分析】（1）过A 作AE ⊥CB 于E ，根据点到直线的距离垂线段最短，则AE 即为所求，根据勾股定理求出BC ，再利用等积面积法即可求出AE ，即可解答（2）利用等腰三角形性质，再利用勾股定理即可解答（3）连接PD ，作PE ⊥AC 于点E ，作点D 关于AB 的对称点D ，连接PD ’，则PD PD '=．作D F '⊥AC 于点F ，PD +PE =PD '+PE ≥D F '，当且仅当D 、P 、F 三点共线时，PD +PE 最短，即PF 的长，利用勾股定理求出BC 的长，即可得到D C '的长，再利用勾股定理即可求得D F '的长，即可解答【详解】解：（1）如图1，过A 作AE ⊥CB 于E ，在Rt △ABC 中，∵∠BAC =90°，AB =5，AC =12，∴BC =2212513+=∵1111512132222ABC S AB AC BC AE AE =⋅=⋅=⨯⨯=⨯⨯△， ∴AE =6013（2）∵∠ABC =90°，∴AB 2+BC 2=AC 2，∵AB =AC ，AC =m ∴2AB 2=m 2，∴AB =2m （3）如图3，连接PD ，作PE ⊥AC 于点E ，由（2）得PE =22AP ∴PD 2PA =PD +PE 作点D 关于AB 的对称点D ，连接PD '，则PD =PD '．作D F '⊥AC 于点F ， PD +PE =PD ' +PE ≥D F '，当且仅当D 、P 、F 三点共线时，PD +PE 最短，∵AC =8，∠A =∠C =45°∴BC 2842= ∵D 是BC 中点，∴BD =DC =22∵点D 与点D 关于直线AB 对称，∴D B '=22即CD '=62又∵D F '⊥AC ，∠C =45°，∴D F FC '=222CD D F FC D F '''=+=∴D F'=62=2PD AP+的最小值为6．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及垂线段最短求线段和最小值，知道线段最短是点的位置并能确定出最小值时点的位置是解题关键．26．（1）70°，70°；（2）AE= BE+CD．【分析】（1）利用三角形内角和定理即可求得∠ACB，证明△ACD≌△BCE，根据∠AEB=∠CEB-∠CED=∠ADC-∠CEA即可得出结果；（2）可证明△CDE为等边三角形CD=BE，再证明△ACD≌△BCE可得BE=AD，最后根据线段的和差即可证明结论．【详解】解：（1）∵∠CAB=∠CBA=55°，∴CA=CB,∠ACB=70°，∵∠CDE=∠CED=55°，∴CD=CE，∠DCE=70°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD于△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=125°，∴∠AEB=∠CEB-∠CED=70°，故答案为：70°，70°；（2）AE=CD+BE，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=60°，∴等腰△ABC和等腰△COE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，∴BE=AD，AE=AD+DE=BE+CD．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题意灵活选取合适的定理证明全等是解题关键．。
八年级三角形的证明题
八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。
- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。
- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。
- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。
2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。
- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。
- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。
- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。
- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。
- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。
- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。
- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。
八年级数学几何证明题
A ZABD= ZEBD在Z\ABD 和ZkEBD 中AB=EB < ZABD= ZEBDBD=BDAABD 9 AEBD (SAS)••• DE 二 DC得 ZDEC=ZCVZBED+ZDEC=180° .•.ZA+ZC=180°1、线段的数量关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到•个三角形中证明线段相等。
①倍长中线【例.3】如图，已知在△ABC 中，ZC = 90°, ZB = 30#, AD 平分ABAC,交BC 于点D. 求证：BD = 2CD 证明：延长DC 到E,T ZC=90° •••AC 丄 CDVCD=CE •••AD 二 AE几何证明：【例1】・已知：如图6, \BCE 、AACD分别是以3£. AD 为斜边的直角三角形，且='CDE 鬼等边三角形.求证：A ABC 是等边三角形. 证明：VZBCE=90° ZACD=90° ZBCE=ZBCA+ZACE ZACD=ZACE+ZECDAZACB=ZECDVAECD 为等边三角形 AZECD=60° CD=EC 即 ACB==60° 在ZXECB 和AACD 中BE=ADZBCE=ZACD ■EC=CD•••△ECB 竺△DCA(HL)A BC=AC V ZACB=60°图6A A ABC 是等边三角形［例 2】、如图，已知 BC>AB, AD 二DC 。
BD 平分Z ABC 「求证：Z A+Z C=180°. 证明：在 BC 上截取 BE 二BA,连接 DE, A ZA=ZBED AD= DE VBD 平分 ZBAC VAD=DC D使得CE=CD,联结AE/. BD=DEVZB=30° ZC=90° AZBAC=60°TAD 平分ZBAC AZBAD=30° A DB=DA ZADE=60°【例4.】如图，D 是AABC 的边3C 上的点，且CD = AB 、ZADB = ZBAD, AE 是的中线。
第十二章全等三角形证明题变式训练(2)2021-2022学年八年级数学人教版上册
第十二章全等三角形证明题变式训练21.问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON=60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；变式：（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．2.在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，并且∠B+∠C＝180°.(1) 如图1，当∠C＝90°时，求证：BD＝CD；变式一：(2) 如图2，当∠C是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立？请证明你的判断；变式二：(3) 如图3，在(2)的条件下，过点D作DE⊥AB于点E，若AC＝2，BE＝3，△ABD的面积为24，求DE的长.3.如图1，在△ABC中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC，交AC于点D.（1）求证：BD=CD.变式一：（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC.变式二：（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论.4.已知：▵ABC中，过B点作BE⊥AD，．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：；变式一：(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；变式二：(3)如图3，点D在CB延长线上，且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，的值．若，请直接写出DBBC5.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．变式：（2）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．6.如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，点E在CD上，DE=DA，连接BE.(1)求证:BE=CA；(2)延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；变式：(3)过点C作CM⊥CA，CM=CA，连接BM交CD于点N，若BD=12，AD=5，直接写出△NBC的面积____.7.如图1，等腰直角三角形ABC中，O为斜边AC的中点，CD为∠ACB的平分线，过点B作BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，CD与BO交于点F．（1）求证：△BOE≌△COF；变式：（2）将∠DCB沿CB方向移动至P处，角的一边分别交BE，BO于点Q，H，如图2所示，试探究线段BQ和PH的数量关系，以及它们所在直线的位置关系．8.等边△ABC中，点H在边BC上，点K在边AC上，且满足AK＝HC，连接AH，BK交于点F．（1）如图1，求∠AFB的度数；（2）如图2，连接FC，若∠BFC＝90°，点G为边AC上一点，且满足∠GFC＝30°，求证：AG⊥BG；变式：（3）如图3，在（2）条件下，在BF上取点D使得DF＝AF，连接CD交AH于点E，若△DEF 面积为1，则△AHC的面积为__________．9.如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE，BD的位置关系为________，数量关系为________．变式一：②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．变式二：（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；变式一：（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP // AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；变式二：（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3√3，BG＝6，求AC的长．11.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合），以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）．变式：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．12.如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2√2，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE．（1）求证：AE⊥BE．变式一：（2）如图2，若点E在直线AB下方，且∠AAA＝30°，求CE的长．变式二：（3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面积．13.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：CF＝EF；变式一：（2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF＋EF与DE的大小关系：AF＋EF________DE．（填“＞”或“＝”或“＜”）变式二：（3）若将图（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角B，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．14.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．(1)若AB=AC，∠BAC=90°①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．变式一：②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．变式二：(2)如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动，试探究CF 与BC的位置关系，并说明理由．15.(1)如图,已知在△ABC中,AD为中线,求证:AB+AC>2AD;变式：(2)如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF>EF.16.（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；变式：（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．17.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；变式：（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．。
八年级数学上册 第二章 等边三角形知识点与同步训练(含解析)苏科版
等边三角形一．等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．二．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60︒．三．等边三角形的判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．四．直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．B'CBA证明：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，延长BC 至'B 使'CB CB =，那么有AC 垂直平分'BB ，所以'AB AB =，因为60B ∠=︒，所以'ABB △是等边三角形，所以'2AB BB BC ==，即12BC AB =．五．等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题．一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形根底上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．题模一：等边三角形的性质例三个等边三角形的位置如下列图，假设∠3=50°，那么∠1+∠2=____°．【答案】130【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=50°，∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴70°+〔120°-∠2〕+〔120°-∠1〕=180°，∴∠1+∠2=130°．故答案为：130．例如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．假设DE=DB，那么CE的长为____．【答案】 32 【解析】 该题考察的是∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上的中点，BD 为ABC ∠的平分线，∴60ABC ∠=︒，30DBE ∠=︒，又DE DB =， ∴30E DBE ∠=∠=︒，∴30CDE ACB E ∠=∠-∠=︒，即CDE E ∠=∠，∴CD CE =；∵等边△ABC 的周长为9，∴3AC =，∴1322CD CE AC ===， 即32CE =．例 在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，假设BC=5，BD=4．那么以下结论错误的选项是〔 〕A ． AE ∥BCB ． ∠ADE=∠BDC C ． △BDE 是等边三角形D ． △ADE 的周长是9 【答案】B【解析】 此题考察的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC 是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD ，BD=BE ，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD 即可判断出△BDE 是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，应选项A 正确；∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD 逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE ，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD ，∴△BDE 是等边三角形，应选项C 正确；∴DE=BD=4，∴△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，应选项D 正确；而选项B 没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的选项是B ，应选：B ．题模二：等边的判定例 如下列图，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，那么BC '的长为________.【答案】 4【解析】 此题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=． 故此题的答案是4．例 ：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．〔1〕求证：AN BM =；〔2〕求证：CEF ∆为等边三角形．ACD B C '【答案】见解析【解析】〔1〕ACM∆是等边三角形，∆，CBN∠=∠=︒，ACM NCBAC MC=，60∴=，BC NC∠=∠．∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCBACM MCN NCB MCN在ACN=，ACN MCB=，∠=∠，NC BC∆中，AC MC∆和MCB∴=．ACN MCB∴∆≅∆，AN BM〔2〕ACN MCB∴∠=∠，∆≅∆，CAN CMB又18060∴∠=∠，∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACEMCF ACM NCB在CAE∠=∠，=，ACE MCF∆和CMF∠=∠，CA CM∆中，CAE CMF∴∆为等腰三角形，∴=，CEFCAE CMF∴∆≅∆，CE CF又60∠=︒，CEF∴∆为等边三角形．ECF例如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，假设AB=1，BC=CD=3，DE=2，那么这个六边形的周长等于____．【答案】15【解析】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为：15．题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边例如图，ABC⊥，那么以下关系式正确的为〔〕=，30∠=︒，AB AD∆中，AB ACCA．BD CDBD CD=D．4==B．2BD CDBD CD=C．3【答案】B【解析】该题考察的是特殊的直角三角形．∠=∠=︒，C CAD30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD应选B．例如图，30∥10PC=，那么OC=__________，⊥于D，PC OB∠=︒，OP平分AOBAOB∠，PD OBPD=__________.【答案】【解析】该题考察的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP∠=∠，∵PC OB∥，∴CPO BOP∠=∠，∴CPO AOP∠=∠，∴PC OC=，∵10PC=，∴10OC PC==，过P作PE OA⊥于点E，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠，∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC == ∴5PE PD ==例 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，假设BE=6cm ，DE=2cm ，那么BC=____．【答案】 8cm【解析】 延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF∥BC，∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm ，∴DM=4cm，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，OD B P CAE∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故答案为：8cm ．题模四：等边三角形与全等三角形综合例 ：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P ． 〔1〕观察度量，BPC ∠的度数为_______．〔直接写出结果〕〔2〕假设绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形．〔示意图〕 〔3〕在〔2〕的条件下，求出BPC ∠的度数．【答案】 〔1〕120°〔2〕见解析〔3〕120°【解析】 此题考察等边三角形及全等三角形的性质与判定．〔1〕BPC ∠的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60DAB ABD CAE ∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ADC CDB ∠+∠=︒，∴60ABE CDB ∠+∠=︒，∴120BPC DBP PDB ABE CDB ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒；〔2〕作出相应的图形，如下列图；〔3〕∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60ADB DAB ABD CAE ∠=∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB DAE CAE DAE ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ABE DBP ∠+∠=︒，∴60ADC DBP ∠+∠=︒，∴120BPC BDP PBD ADC DBP ADB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒例 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒．以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，那么AMN ∆的周长为____【答案】 6【解析】 延长NC 到E ，连接DE ，使CE BM =，连接DE ．ABC ∆为等边三角形，BCD ∆为等腰三角形，且120BDC ∠=︒，603090MBD MBC DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，18018090DCE ACD ABD ∠=︒-∠=︒-∠=︒，又BM CE =，BD CD =，CDE BDM ∴∆∆≌，CDE BDM∴∠=∠，DE DM =，1206060NDE NDC CDE NDC BDM BDC MDN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，在DMN ∆和DEN ∆中，DM DE =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DN DN =，DMN DEN ∴∆∆≌，MN NE CE CN BM CN ∴==+=+．=6AMN L AM MN AN AM BM CN AN AB AC ∆∴+==+++=+=例 如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．〔1〕假设D 恰好在BC 的中点上〔如图1〕求证：△ADE 是等边三角形；〔2〕假设D 为直线BC 上任一点〔如图2〕，其他条件不变，上述〔1〕的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 〔1〕证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形，∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =，∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形；〔2〕在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ，∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形，∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠，∴△ADF ≌△EDC 〔AAS 〕，∴AD ED =，又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．作业1如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF ⊥DE，交BC的延长线于点F．〔1〕求∠F的度数；〔2〕假设CD=2，求DF的长．【答案】〔1〕30°〔2〕4【解析】〔1〕∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；〔2〕∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．作业2 如下列图，ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，假设4AB =时，那么图形ABCDEFG 外围的周长是_____【答案】 15【解析】 ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，AD DE ∴=，EF EG =，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，4AB =，2DE EA ∴==，1GF EF ==,∴图形ABCDEFG 外围的周长是432115⨯++=．作业3 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，那么阴影局部的周长为____．【答案】 2【解析】∵两个等边△ABD，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A′B′D′的位置， ∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO ，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC ，B′G=RG=RB′， ∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．作业4 如下列图，等边△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++=__________，并证明你的猜想．【答案】 见解析【解析】 PD PE PF a ++=．理由如下：如图，延长EP 交AB 于G ，延长FP 交BC 于H ，∵PE ∥BC ，PF ∥AC ，△ABC 是等边三角形，∴60PGF B ∠=∠=︒，60PFG A ∠=∠=︒，∴△PFG 是等边三角形，同理可得△PDH 是等边三角形，∴PF PG =，PD DH =，又∵PD ∥AB ，PE ∥BC ，∴四边形BDPG 是平行四边形，∴PG BD =，∴PD PE PF DH CH BD BC a ++=++==．故答案为a ．作业5 ：如图，ABC △是等边三角形．D 、E 是ABC △外两点，连结BE 交AC 于M ，连结AD 交CE 于N ，AD 交BE 于F ，AD EB =．当AFB ∠度数多少时，ECD △是等边三角形？并证明你的结论．【答案】 60AFB ∠=︒【解析】 该题考察的是全等三角形的判定和性质．60AFB ∠=︒，A C MFEN D B理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴CA CB =，460∠=︒，∵245∠+∠=∠，135∠+∠=∠，且360∠=︒，∴12∠=∠，又∵BE AD =，在△BCE 和△ACD 中， 1. 12CA CB AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△ACD 〔SAS 〕 ∴CE CD =，BCE ACD ∠=∠，∴66BCE ACD ∠-∠=∠-∠，即4760∠=∠=，∴△ECD 是等边三角形．作业6 在△ABC 中，AB AC =，BAC ∠=α()060︒<α<︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．〔1〕如图1，直接写出ABD ∠的大小〔用含α的式子表示〕；〔2〕如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断△ABE 的形状并加以证明；〔3〕在〔2〕的条件下，连结DE ，假设45DEC ∠=︒，求α的值．【答案】 〔1〕302α︒-〔2〕见解析〔3〕30︒ 【解析】 该题考察的是三角形综合．〔1〕∵AB AC =∴1809022ABC ACB ︒-αα∠=∠==︒-，A D B CADB C E∴90603022ABD ACB DBC αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，………………………………………1分 〔2〕△ABE 是等边三角形， ………………………………………………………2分 连结AD ，CD ．∵60DBC ∠=︒，BD BC =，∴ △BDC 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC = ………………3分 又∵AB AC =，AD AD =，∴ △ABD ≌△ACD ．∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒． ………………4分∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠．又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒，∴ △ABD ≌△EBC ．∴AB EB =．∴ △ABE 是等边三角形． …………………………………………5分〔3〕∵△BDC 是等边三角形，∴ 60BCD ∠=︒．∴ 90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴CE CD BC ==．………………………………………………………6分∴15EBC ∠=︒． ∵302EBC ABD α∠=∠=︒-， ∴ 30α=︒． ……………………………………………………………7分作业7 将一张矩形纸片ABCD 如下列图折叠，使顶点C 落在C '点．2AB =，30DEC '∠=︒，那么折痕DE 的长为〔 〕A ． 2B ． 23C ． 4D ． 1【答案】C【解析】 该题考察的是图形的翻折．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB CD =，由题意可知'30CED DEC ∠=∠=︒，1sin 2CD CED DE ∠==，所以2224DE CD ==⨯=．所以，此题的正确答案是C ．作业8 如图，在等边△ABC 中，2AB =，点P 是AB 边上任意一点〔点P 可以与点A 重合〕，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，求当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合？【答案】 43BP =【解析】 设BP x =，在直角三角形PBE 中，30BPE ∠=︒ ∴12BE x =，那么122EC x =- 在直角△EFC 中，30FEC ∠=︒， ∴11124FC EC x ==-，∴1214AF FC x =-=+ 同理：1128AQ x =+ 当点P 与点Q 重合时，2BP AQ +=即11228x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得43x =A BE C DC '故当43BP =时，点P 与点Q 重合．作业9 如图，ABC ∆为等边三角形，AD 平分BAC ∠,ADE ∆是等边三角形，以下结论中 ①AD BC ⊥，②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒.正确的个数为〔 〕A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】D【解析】 该题考察的是三角形的性质．∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，∴AD BC ⊥，30BAD ∠=︒，60ABD ∠=︒∵△ADE 是等边三角形，30BAD ∠=︒，∴30EAB EAD BAD ∠=∠-∠=︒，EA DA =，在△AEF 和△ADF 中，EA DA EAB DAB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△ADF 〔SAS 〕，∴EF FD =，同理，△AEB ≌△ADB ，∴60ABE ABD ∠=∠=︒，EB DB =，故正确的个数为4个，故此题答案为D ．作业10 如图，过边长为2的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，那么DE 的长为〔 〕A ． 13B ． 12C ． 23D ． 1【答案】D【解析】 过P 作BC 的平行线交AC 于F ，Q FPD ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，60APF B ∴∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，APF ∴∆是等边三角形，AP PF ∴=，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中，FPD Q ∠=∠， PDF QDC PF CQ ∠=∠=，PFD QCD ∴∆∆≌，FD CD ∴=，PE AC ⊥于E ，APF ∆是等边三角形，AE EF ∴=，AE DC EF FD ∴+=+，12ED AC ∴=，2AC =，1DE ∴=．作业11 如图，在等边ABC △中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ⊥于点Q .〔1〕求证：ABE CAD △≌△；〔2〕请问PQ 与BP 有何关系？并说明理由.【答案】 〔1〕见解析〔2〕2BP PQ =【解析】 该题考察全等三角形的判定与性质．∵△ABC 为等边三角形．∴AB AC =,60BAC ACB ∠=∠=︒,在△BAE 和△ACD 中：AE CD BAC ACB AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△ACD〔2〕2BP PQ =∵△BAE ≌△ACD∴ABE CAD ∠=∠∵BPQ ∠是△ABP 的外角，∴BPQ ABE BAD ∠=∠+∠，∴60BPQ CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠=︒∵BQ AD ⊥，AB P EQD C∴30∠=︒PBQ∴如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
八年级三角形证明练习题学生版
八年级三角形证明练习题一．选择题（共15小题）1．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（）A．2B．3C．4D．2或42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°5．下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°D．旋转不改变图形的形状和大小6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（）A．2+B．+C．2+D．37．如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A的直线GH与DE 平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°8．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12B．13C．14D．159．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．310．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．4212．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8B．11C．16D．1713．如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A．∠1＜∠2B．∠1＝∠2C．∠A+∠2＜180°D．∠A+∠1＞180°14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC ＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．615．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC 的距离为（）A．5B．C．4D．二．填空题（共15小题）16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是．17．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝．18．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为．19．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．20．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为度．21．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为．22．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC 的长为．23．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．24．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝．25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为．26．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．27．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为度．28．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝cm．29．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠F AE＝19°，则∠C＝度．30．如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n∁n C n+1的周长和为．（n≥2，且n为整数）三．解答题（共10小题）31．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．33．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．34．如图，点P是∠MON中一点，P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠P AB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．35．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．36．如图，△ABC中，AB＝AC．O是△ABC内一点，OD是AB的垂直平分线，OF⊥AC，且OD＝OF．（1）当∠OAC＝27°时，求：∠OBC的度数．（2）求证：AF＝CF．37．如图，点D是△ABC边BC上一点，AD＝BD，且AD平分∠BAC，AE是△ABC的高．（1）若∠B＝50°，求∠DAE的度数；（2）若∠C＝30°，求∠ADC的度数．38．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．39．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC 于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．40．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．。
初二数学三角形全等的判定试题
初二数学三角形全等的判定试题1.如图，是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将分成两个全等三角形，则这样的点共有（）A．1个B．3个C．6个D．9个【答案】B【解析】△ABC是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将△ABC分成两个全等三角形，则此点一定为该边上的中点．一边上的中点只有一个，所以应该有三个．如图，D，E，F分别为各边的中点，分别连接AD，BE，CF．试证：△ABD≌△ACD，△BCE≌△BAE，△ACF≌△BCF证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC∵D为BC边上的中点∴BD=DC∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD．（SSS）同理可证：△BCE≌△BAE，△ACF≌△BCF所以这样的点共有三个．故选B【考点】本题考查三角形全等的判定方法点评：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2.如图，已知为等边三角形，，垂足为，，垂足为，，垂足为，且求证：为等边三角形．【答案】见解析【解析】由是等边三角形，，，，，即可根据证得，即得，问题得证．是等边三角形．，又，，又，根据证得为等边三角形．【考点】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质点评：等边三角形的判定可以通过三个内角相等，三条边都相等或者有一个角是60°的等腰三角形等方法．3.下列各命题中，真命题是（）A．如果两个三角形面积不相等，那么这两个三角形不可能全等B．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形面积一定不相等C．如果，，那么与的面积的和等于与面积的和D．如果，，那么【答案】A【解析】根据全等三角形的性质依次分析各项即可。
Ａ．如果两个三角形面积不相等，那么这两个三角形不可能全等，本选项正确；Ｂ．若两个三角形等底等高，则面积相等，但不一定全等，故本选项错误；Ｃ．如果，，那么与的面积的和不一定等于与面积的和，故本选项错误；Ｄ．由，，无法说明，全等三角形没有这种判定方法，故本选项错误；【考点】本题考查的是全等三角形的性质和判定点评：在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．4.如图，已知，，是中点，过作直线交的延长线于，交的延长线于．求证：．【答案】见解析【解析】由，，公共边BD，根据“SSS”证得△ABD≌△CDB，即得∠ABD=∠CDB，再由是中点，对顶角∠BOE=∠DOF，根据“ASA”证得△BOE≌△DOF，即可证得结论。
初中数学三角形证明题练习及答案
三角形证明题练习之蔡仲巾千创作1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 与D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是（ ）2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）3．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8cm ，AC=6cm ，则 S △ABD ：S △ACD =（ ）4．如图，在△ABCAB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数为（ ）5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（ ）6．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠AOD ，若∠AOC=35°，则∠BOD 等于（ ） 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC 边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（ ）8．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ）9．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE=3.8cm ，则BC 等于（ ）10．△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（ ）11．如图，已知点P 在∠AOB 的平分线OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若PE=6，则PF 的长为（ ）12．如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点E ，已知AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm ，则△ABC 的周长是（ ）13．如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（ ）14．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）15．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN 外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论纷歧定成立的是（）三角形证明中经典题21.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．2.如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．4如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．5.如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．6.阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．7.如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB 与D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．A．50°B．75°C．80°D．105°A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′A．B C＞PC+AP B．B C＜PC+AP C．B C=PC+AP D．B C≥PC+APA．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠AA．△ABD≌△ACD B．AD是△ABC的高线C．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．，A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°的垂直平分），CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）。
初二几何证明题专项练习
初二几何证明题练习一、三角形1.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．2.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .3. 如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形.证明：BD=CE.二、平行四边形1. 如图，平行四边形ABCD 中、E 、F 分别为对角线BD 上的点，且BF=DE. 求证：四边形AECF 是平行四边形。
OCEBDAABCDEABFCDE2. 已知：如图，AB=CD ，BC=DA ，AE=CF ． 求证：BF=DE ．3. 在ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE ＝BF 。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
三、菱形1. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 与E ，EF ⊥BC 于F 。
求证：四边形AEFG 为菱形。
2. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GCF ．求证：BE=DG ．3. 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．四、矩形1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 、CH 、DG 分别为内角平分线，这四条角平分线分别交于点M 、N 、P 、Q 求证：四边形MNPQ 是矩形A B CDE F D ′2.如图，将矩形ABCD 沿直线EF 对折，点D 恰好与BC 边上的点H 重合，∠GFP=62°，那么∠EHF 的度数等于——3. .如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．.五、正方形1.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ． （1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．2. 如图：已知在A B C △中，A B A C =，D 为B C 边的中点，过点D 作D E AB D F AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，. （1） 求证：B E D C F D △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形D FAE 是正方形.DCBE AFAB CD EF3. 、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ； （2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．六、 梯形：1. 已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是BC 边上的高， 求证：四边形DEFH 是等腰梯形2. .如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ． （1）求证：AF =BE ；3．如图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，AB AD D C ==，AC AB ⊥，将C B 延长至点F ，使B F C D =．（1）求A B C ∠的度数；（2）求证：C A F △为等腰三角形．DE F P BAC D A F BCABCD EF E 'G。
八年级数学上册《第十三章 等边三角形的性质与判定》练习题
八年级数学上册《第十三章等边三角形的性质与判定》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE BD∥交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（）A．12OB CE=B．ACE是直角三角形C．12BC AE=D．BE CE=2．已知：如图，在Δ ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E．若AD=3，BC=5，则Δ BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．133．下列判断正确的是（）（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形（4）三边都相等的三角形是等边三角形（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（2）（3）4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB ＝2，∠A ＝120°时，AC 等于（ ）AB C ．D ．25．四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，6AB =，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE =则CE =（ ）A ．B ．C ．D ．46．如图，在四边形ABCD 中，8AD =，2BC =，90B ∠=︒，30A ∠=︒，120ADC =∠︒，则CD 的长为（ ）．A ．6B ．5C ．4D ．37．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝1，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，若直线A C ''经过点A ，则CC '的长为（ ）A ．1B ．2 CD ．4二、填空题8．如图，在边长为6的等边∠ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则∠ABP 的周长为 _____．9．等边三角形的判定：∠______的三角形是等边三角形．（定义）∠三个角都相等的三角形是等边三角形．∠有一个角是____的等腰三角形是等边三角形．10．如图，在等边ABC 中，D 为边BC 上一点，E 为边CA 延长线上的点，连接DE 交AB 边于点F ，DF EF =，若2AE AF AEF =，△的面积为2，则BDF 的面积为______________．11．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE △的周长为______．12．如图，C 为AB 上任意一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作正方形ACDE 、正方形BCFG ，设∠AFC =α，则∠BDC 为_________（用含α的代数式表示）．13．如图，已知ABC ∆中，60A ∠=︒，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+∠=∠，则DCB ∠的度数是_________．14．如图，将∠ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到∠A ′B ′C ′的位置，已知∠ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD =3，则A ′A 的值为___．三、解答题15．如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 的方向行驶时，以P 为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为5米/秒．(1)求卡车P 对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离；(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次，它给学校A 带来噪声影响的总时间．16．如图，菱形ABCD的边长为2，120∠=︒，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，BCDAD的中点，连接EF．(1)求对角线AC的长；(2)求EF的长．17．如图，∠ABD∠∠EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：∠CD∠AE；∠AD∠CE；∠∠EAD＝∠ECD；正确的是____.18．已知∠ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定∠ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．19．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：222=+．BD CD AD参考答案：1．D【分析】由菱形的性质可知AC DB ⊥，AO OC =，由两直线平行，同位角相等可以推出90ACE AOB ∠=∠=︒，再证明Rt ACERt AOB △，得出12OB CE =，12AB AE =，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出12BC AE =．现有条件不足以证明BE CE =． 【详解】解：∠在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AC DB ⊥，AO OC =，∠90AOB ∠=︒，∠CE BD ∥，∠90ACE AOB ∠=∠=︒，∠ACE 是直角三角形，故B 选项正确；∠90ACE AOB ∠=∠=︒，CAE OAB ∠=∠，∠Rt ACERt AOB △， ∠12OB AB OA CE AE AC ===， ∠12OB CE =，12AB AE =，故A 选项正确； ∠BC 为Rt ACE 斜边上的中线， ∠12BC AE =，故C 选项正确； 现有条件不足以证明BE CE =，故D 选项错误；故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出AC DB ⊥，AO OC =是解题的关键．2．C【分析】根据题意易得AB =AC =2AD =6，AE =BE ，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．【详解】解：∠AB =AC ，DE 垂直平分线段AB ，∠AD =BD ，AE =BE ，∠AD =3，∠AB =AC =2AD =6，∠BC =5，∠C △BEC =BC +BE +EC =BC +AE +EC =5+6=11；故选C ．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．3．A【分析】根据等边三角形的判定定理求解即可．【详解】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；三边都相等的三角形是等边三角形，故（4）正确；等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．4．D【分析】连接AC ，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，AB ＝2，∠A ＝120°，易得△ABC 是等边三角形，继而求得答案．【详解】解：连接AC ，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2．故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．5．C【分析】根据菱形的性质得出AB=AD=6，AC∠BD，OB=OD，OA=OC，结合题意得出∠ABD是等边三角形，再利用勾股定理确定OC=OA=E在AC上，可能在点O的左边或右边，结合图形求解即可．【详解】解：∠四边形ABCD是菱形，如图所示，∠.AB=AD=6，AC∠BD，OB=OD，OA=OC，∠∠BAD=60°，∠∠ABD是等边三角形，∠BD=AB=6，OB=12BD=3，∠OC=OA∠.AC=2OA=∠点E在AC上，可能在点O的左边或右边，OE∠CE=OC+OE=CE=O C-O E=故选：C．【点睛】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识是解题的关键．6．C【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出∠EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=8，BC=2和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【详解】解：延长AD、BC交于E，∠∠A=30°,∠B=90°，∠∠E=60°，∠∠ADC=120°，∠∠EDC=60°，∠∠EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，∠AD=8，BC=2，∠2(2+x)=x+8，解得；x=4，∠CD=4，故选：C【点睛】本题考查30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．7．CBCC ABA是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得【分析】根据旋转的性质可证明,AC =2AB =2，由勾股定理得BC =，从而解决问题．【详解】解：∠将∠ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，∠,,BA BA BCBC BAC BA C ， ∠∠BAC =60°，∠60'∠=︒A ，∠ABA '△是等边三角形，∠60ABA '∠=︒，∠60CBC ABA ，∠BCC '是等边三角形，∠CC BC '=，∠∠ABC =90°，∠BAC =60°，∠∠ACB =30°，∠AC =2AB =2，∠BC∠3CC BC ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，证明BCC '是等边三角形是解题的关键．8．6+【分析】如图所示，过点E 作EF ∠AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明∠ABD ∠∠BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明∠BDP ∠∠ADB ，62BP PD ==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ∠AB 于F ，∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∠CE =BD =2，AB =AC =6，∠AE =4，∠cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∠BF=4，∠BE又∠BD=CE，∠∠ABD∠∠BCE（SAS），∠∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∠∠BDP=∠ADB，∠∠BDP∠∠ADB，∠BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∠BP PD=∠AP AD AP=-=∠∠ABP的周长=6AB BP AP++=+故答案为：6【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．9．三条边都相等60°【解析】略10．6【分析】过点D作DG∠CE，交AB于点G，先证明△AEF∠∠GDF（ASA），得到AE＝GD，GF＝AF，然后证明△GDB为等边三角形，由三角形面积之间的关系即可求得答案．【详解】解：过点D作DG∠CE，交AB于点G，∠∠E ＝∠GDF ，∠C ＝∠GDB ，∠DF ＝EF ，∠EF A ＝∠DFG ，∠∠AEF ∠∠GDF （ASA ），∠AE ＝GD ，GF ＝AF ，2GDF AEF S S ==△△，∠∠ABC 为等边三角形，∠∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°，∠DG ∠CE ，∠∠C ＝∠GDB ＝60°，∠BGD ＝∠BAC ＝60°，∠∠B ＝∠GDB ＝∠BGD ＝60°，∠∠GDB 为等边三角形，∠BG ＝GD ＝AE ，∠AE ＝2AF ，∠BG ＝2AF ＝2GF ，∠22GDB GDF AEF S S S ==△△△＝4，,∠BDF GDF GDB S S S =+△△△＝6，即△BDF 的面积为6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．11．14【分析】根据平行四边形的性质证得14AB AD +=，再证明OE 为线段BD 的垂直平分线，则BE=ED ，由ABE △的周长=+AB AD 即可求解．【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠OB OD =，AB CD =，AD BC =，∠平行四边形的周长为28，∠14AB AD +=，∠OE BD ⊥，∠OE 是线段BD 的垂直平分线，∠BE ED =，∠ABE △的周长14AB BE AE AB AD =++=+=．【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明OE 是线段BD 的垂直平分线是解答的关键．12．90°-α【分析】由“SAS”可证△ACF ∠∠DCB ，得出∠CAF =∠BDC ，再由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∠四边形ACDE 和四边形BCFG 是正方形，∠AC =CD ，CF =CB ，∠ACF =∠DCB =90°，∠∠CAF +∠AFC =90°，在△ACF 和△DCB 中，AC DC ACF DCB CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACF ∠∠DCB （SAS ），∠∠CAF =∠BDC ，∠∠AFC =α，∠∠CAF =90°-∠AFC =90°-α，∠∠BDC =90°-α，故答案为：90°-α．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．13．20°【分析】延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ，证明AEC △是等边三角形，设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ，再证明()△△ADC EBC SAS ≅，即可得到结果．【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∠2=++=+AE AD DB BE AD BD ，∠2=+AC AD BD ，∠AE AC =．∠60A ∠=︒，∠AEC △是等边三角形，∠60∠=∠=︒E ACE ，∠4∠=∠ABC ACD ，∠设ACD x ∠=，则4∠=ABC x ．在ADC 与EBC 中，∠AD BE A E AC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()△△ADC EBC SAS ≅，∠∠=∠=ACD ECB x ．∠∠=∠+∠ABC E BCE ，∠460=︒+x x ，∠20x =︒，∠60202020∠=︒-︒-︒=︒BCD ．故答案是20︒．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．14．1【分析】设A ′B ′，A ′C ′交BC 于点E 、F ，由S △ABC =9、S △A ′EF =4且AD 为BC 边的中线知S △A ′DE =12S △A ′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92，根据∠DA ′E ∠∠DAB 知(A D AD ')2='A DEABD S S ，据此求解可得．【详解】解：如图，设A’ B’，A’ C’交BC 于点E 、F ，∠S △ABC =9、S △A ′EF =4，且AD 为BC 边的中线，∠S △A ′DE =12S △A ′EF =2，S △ABD =12S △ABC =92， ∠将∠ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到∠A 'B 'C '，∠A ′E ∠AB ，∠∠DA ′E ∠∠DAB ，则(A D AD ')2='A DEABD S S ，即(3'A D )2=49， 解得A ′D =2（负值舍去），321AA AD A D ''∴=-=-=故答案为：1．【点睛】本题主要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．15．(1)40米(2)12秒【分析】（1）过点A 作AD ∠ON 于D ，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD 可得答案；（2）在ON 上取点B ，点C ，使50AB AC ==，则卡车在BC 段对学校A 有影响，利用勾股定理求出BD 和CD 的长，从而求出时间．（1）解：过A 作AD ON⊥，垂足为D ，由垂线段最短可知AD 为所求，∠30MON ∠=︒，80OA =米， ∠12AD OA =40=米， 答：噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离为40米；（2）在ON 上取点B ，点C ，使50AB AC ==，由题意，卡车P 到达B 点时开始对学校产生噪声影响，到达C 点时结束噪声影响，由（1）知AD ＝40米，∠30BD =米，同理可得：30CD =米，∠60BC =米，∠卡车的行驶速度为5米/秒，∠给学校A 带来噪声影响的总时间为60512÷=（秒）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．16．(1)2【分析】（1）由菱形的性质得AB =BC =2，∠BCA =∠DCA =12∠BCD =60°，再证∠ABC 是等边三角形即可； （2）由三角形中位线定理得EF =12BD ，再由菱形的性质得AO =12AC =1，BO =DO ，AC ∠BD ，最后运用勾股定理解答即可．（1）解： 四边形ABCD 是菱形，∠AB BC =，BCA DCA ∠=∠，∠120BCD ∠=︒，∠60BCA ∠=︒ABC 是等边三角形∠2AC AB ==．（2）解：∠E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∠EF 是中位线，∠12EF BD =．又∠四边形ABCD 是菱形，∠112AO AC ==，AC BD ⊥，∠90AOB ∠=︒，∠在Rt AOB 中，由勾股定理得，222BO AB AO =-，∠22221BO =-，∠BO =∠2BD BO ==12EF BD =【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．17．∠∠∠【分析】首先延长AD 交EC 于点N ，延长CD 交AE 于点M ，根据全等三角形的性质，得出∠ABD ＝∠EBC ，AB ＝EB ，BD ＝BC ，∠DAB ＝∠CEB ，再根据等边对等角，得出∠BAE ＝∠BEA ，∠BDC ＝∠BCD ， 又因为∠ABD +∠EBC ＝180°，进而得出∠ABD ＝∠EBC ＝90°，再利用三角形的内角和等于180︒，得出∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∠BDC ＝∠BCD ＝45°，即可证明∠正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB +∠ECB ＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD ＝∠BEC ，进而得出∠BAD +∠ECB ＝90°，即可证明∠正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB ＝∠EAD +∠AED ＝∠EAD +45°，再根据∠ECB ＝∠ECD +∠BCD ＝∠ECD +45°，又因为∠ADB ＝∠ECB ，得出∠EAD ＝∠ECD ，即可证明∠正确．【详解】解：延长AD 交EC 于点N ，延长CD 交AE 于点M ，∠∠ABD ∠∠EBC ，∠∠ABD ＝∠EBC ，AB ＝EB ，BD ＝BC ，∠DAB ＝∠CEB ，∠∠ABD +∠EBC ＝180°，∠BAE ＝∠BEA ，∠BDC ＝∠BCD ，∠∠ABD ＝∠EBC ＝90°，∠∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∠BDC ＝∠BCD ＝45°，∠∠BAE +∠BCD ＝90°，∠∠AMC ＝90°，∠CD ∠AE ，故∠正确；∠∠CEB +∠ECB ＝90°，∠BAD ＝∠BEC ，∠∠BAD +∠ECB ＝90°，∠∠ANC ＝90°，∠AD ∠CE ，故∠正确；∠∠ADB ＝∠EAD +∠AED ＝∠EAD +45°，∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∠∠EAD＝∠ECD，故∠正确；故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．18．等边6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明∠ACE∠∠CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证∠CEF∠∠GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∠BC＝2BD，∠BD＝CD，∠∠ABC是等边三角形，∠∠BAD＝∠DAC＝30°，∠点D关于直线AC的对称点为点E，∠AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∠∠DAE＝60°，∠∠ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∠点D关于直线AC的对称点为点E．∠∠ACD∠∠ACE，∠CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∠BG＝CD，∠CE＝BG，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∠∠ACD＝∠GBC＝120°，∠∠ACE＝∠GBC＝120°，∠∠ACE∠∠CBG（S A S），∠AE＝CG，∠∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∠∠BCE+∠BGC＝180°，∠BG∠CE，∠∠G＝∠FCE，∠F为BE的中点，∠BF＝EF，∠∠BFG＝∠CFE，∠∠CEF∠∠GBF（AA S），∠CF＝GF，∠CF＝12CG＝12AE＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．19．证明见解析【分析】将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，由旋转的性质可得△BCD∠∠BAE，∠DBE＝60°，由全等三角形的性质可得BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，由三角形内角和定理求出∠EAD＝90°，结合勾股定理可得结论．【详解】解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接DE，∠∠BCD∠∠BAE，∠DBE＝60°，∠BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA，∠∠BED是等边三角形，∠DE＝BD，在△BDE中，∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，∠60°+∠BEA+∠AED+∠ADE+∠BDA＝180°，∠∠AED+∠ADE+∠BDC+∠ADB＝120°，∠∠AED+∠ADE＝120°﹣∠ADC＝90°，∠∠EAD＝90°，∠222=+，DE AE AD∠222BD CD AD=+．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，证明∠EAD＝90°是本题的关键．。
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求证：AF=CE。
3、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。
求证：BE＝CD。
A DCC EFBAC E4、如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC②BD=CD③ BE=CF5、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
6、已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。
求证：EB=ED。
EDCGE7、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。
求证：∠ACE=∠BDF。
8、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。
求证：BF⊥AC。
9、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
AEODFBAFB DCC10、已知：如图，△ABC和△A＇B＇C＇中，∠BAC=∠B＇A＇C＇，∠B=∠B＇，AD、A＇D＇分别是∠BAC、∠B＇A＇C＇的平分线，且AD=A＇D＇。
求证：△ABC≌△A’B’C’。
A 2A' 4BD C B'D' C'11、已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF⊥D于F。
两个等边三角形的证明题
两个等边三角形的证明题在一个阳光明媚的下午，咱们来聊聊两个等边三角形的故事。
你可能会问，等边三角形有啥好说的？这可不是简单的三条边，里面藏着不少有趣的东西。
想象一下，两个等边三角形，就像两个好朋友，都是一模一样的，三条边都一样长，角度也一模一样，简直是“同胞兄弟”，可把它们放在一起，似乎还藏着一些小秘密呢。
等边三角形的神奇之处就在于它的对称性。
想象一下，三个角都是60度，真是个完美的组合。
就像三个人站成一圈，谁也不缺席，气氛特别好。
每个角都是那样的温柔，仿佛在说：“嘿，我们都是朋友，来一起做个大事情吧！”这种完美的对称性，让很多数学家在夜深人静时都为之着迷。
你看，等边三角形就像个小明星，总是吸引着大家的目光。
再说说它的边长。
这两个三角形如果边长一样，那简直就像一对双胞胎，身材一致，长得也很像。
无论你从哪个角度看，它们都不会让你失望，根本分不清楚哪个是哪个。
想想看，两个小家伙一起去逛街，走到哪里都是人群中的焦点，回头率爆表。
数学里的性质也很简单，两个等边三角形如果边长相等，那它们的面积也一定相等。
真是妙不可言，难怪大家都喜欢它们。
等边三角形不仅仅是好看，还是个实用的小家伙。
比如说，建筑师在设计的时候，常常会用到这种形状。
三角形本身就很稳定，不容易倒塌，两个等边三角形合在一起，就像两个铁汉联合抗敌，牢牢地守住自己的领土。
想象一下，一个等边三角形在一边，另一个在另一边，它们默默地支撑着整个建筑，像两个老朋友在风雨中相伴。
要是没有它们的陪伴，可能建筑就会不那么稳固。
再来说说它们的周长。
两个等边三角形的周长也很有趣。
每个三角形的周长是边长的三倍，如果两者边长相等，周长自然也就相同。
就像两个小孩儿比赛，谁的跑得快，结果一看，哈哈，竟然是平局！这场比赛没有输赢，反而让人觉得分外开心。
这样的对比让人忍不住笑，原来两个好朋友在一起，什么事情都能做得一样好。
不过，等边三角形也不是总那么简单，偶尔也会有一些小麻烦。
比如说，两个三角形的位置不同，虽然它们的边长和角度完全一致，但如果没有找到合适的方式去放置，它们可能就会“打架”。
几道有关等边三角形、正方形的证明计算题[原创]
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几道有关等边三角形、正方形的证明计算题1..P为等边三角形ABC内部一点，且P到三角形的三个顶点的距离分别为3、4、5，如图求∠CPB的度数．解：如图（2），以PC为一边向外作等边三角形PCD，连结PD，则∠BCD=∠ACP，又∵PC=DC，AC=BC，∴△APC≌△BDC，∴BD=AP=5，于是△BPD为直角三角形，∴∠BPD=90°，∴∠CPB=150°.2.如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.若BM＝2，MC＝3.求：①∠ AMB的度数；②求AM的长.ABC，求AM的最大值、最小值.4.已知P 为正△ABC 内一点．求证：无论P 的位置如何，以AP 、BP 、CP 为边都可以构成一个三角形．5.如图(1)：P 为正方形ABCD 内一点，且PD ∶PC ∶PA=1∶2∶3．试证∠DPC=135°．证明： 如图（2） 将△BPC 绕C 点顺时针旋转90°，得△DEC ，连结PE ；则有△BPC ≌△DEC ，可知△CEP 为等腰直角△，故∠CPE=45° PE=22，而DE=PB=3，PD=1所以DE²=PE²+PD²所以∠DPE=90° 则∠DPC =∠DPE+∠EPC=90°+45°=135°6.如图，已知正方形ABCD ，BE=BD ，CE ‖BD ，BE 与CD 交于点F ；求证：DE=DF 。
证明：过点E 作EH ⊥BD 于H ， 作EO ⊥BD 于O ∵正方形ABCD ∴∠BDC ＝∠DBC ＝45°∠COD ＝90°OC ＝21AC ＝21BD ∵CE ∥BD ，EH ⊥BD∴四边形OCEH 为矩形 ∴EH ＝OC ∴EH ＝21BDABCFH OED∵BE ＝BD ∴EH ＝21BE∴∠DBE ＝30° ∴∠BED ＝∠BDE ＝21（180°-∠DBE ）＝75°∵∠DFE ＝∠BDC+∠DBE ＝75°∴∠BED ＝∠DFE ∴DE ＝DF7.如图，P 为正方形ABCD 内的一点，连结PA 、PB 、PC 、PD,若△PAB 为等边三角形；①△PAD ≌△PBC. ②求∠CPD 的度数。
（1）如图.△ABC是等边三角形...
（1）如图，△ABC是等边三⾓形，D是BC上⼀点，点E在BA的延长线上，且BD=AE，证明：CE=DE；（2）若点D是BC延长线上⼀点，其余条件不变，上题的结论是否仍然成⽴？请画出图形，作出判断，并说明理由．考点：全等三⾓形的判定与性质专题：分析：（1）根据等边三⾓形的判定与性质，可得∠B=∠F=60°，EF=BE=BF，根据等式的性质，可得BD与CF的关系，根据全等三⾓形的判定与性质，可得答案；（2）根据等边三⾓形的判定与性质，可得∠B=∠F=60°，EF=BE=BF，根据等式的性质，可得BC与DF的关系，根据全等三⾓形的判定与性质，可得答案．解答：证明：（1）如图1：延长BC⾄BF，是BF=BE，连接EF，，∵△ABC是等边三⾓形，∴∠B=60°，AB=BC．⼜∵BE=BF，∴△BEF等边三⾓形，∴∠B=∠F=60°，EF=BE=BF．∵BE-AB=BF-BC，AE=CF．∵AE=BD，∴BD=CF．在△BDE和△FCE中，BE=FE∠B=∠FFBD=FC，∴△BDE≌△FCE（SAS），∴DE=CE；（2）CE=DE仍然成⽴，理由如下：延长BD⾄BF，是BF=BE，连接EF，∵△ABC是等边三⾓形，∴∠B=60°，AB=BC．⼜∵BE=BF，∴△BEF等边三⾓形，∴∠B=∠F=60°，EF=BE=BF．∵BE-AB=BF-BC，AE=CF．∵AE=BD，∴AB=DF，BC=DF．在△BCE和△FDE中，BE=FE∠B∠=∠FBC=FD，∴△BCE≌△FDE（SAS），∴DE=CE；点评：本题考查了全等三⾓形的判定与性质，利⽤了等边三⾓形的判定与性质，全等三⾓形的判定与性质．。
整理初二证明题带答案20道
初二证明题带答案20道20 年月日A4打印/ 可编辑初二年级几何证明例题精讲【例1】．已知：如图6，△、△分别是以、为斜边的直角三角形，且，△是等边三角形．求证：△是等边三角形．证明：∵∠BCE=90°∠ACD=90° 在△ECB和△ACD中∠BCE=∠BCA+∠ACE BE=AD∠ACD=∠ACE+∠ECD ∠BCE=∠ACD∴∠ACB=∠ECD EC=CD∵△ECD为等边三角形∴△ECB≌△DCA( HL )∴∠ECD=60° CD=EC ∴BC=AC即ACB==60° ∵∠ACB=60°∴△是等边三角形【例2】、如图，已知BC > AB，AD=DC。
BD平分∠ABC。
求证：证明：在BC上截取BE=BA,连接DE, ∴∠A=∠BED AD= DE∵BD平分∠BAC ∵AD=DC∴∠ABD = ∠EBD ∴DE=DC在∠ABD和∠EBD中得∠DEC=∠CAB=EB ∵∠BED+∠DEC=180°∠ABD = ∠EBD ∴∠A+∠C=180°BD=BD△ABD ≌△EBD（SAS）1、线段的数量关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
①倍长中线【例. 3】如图，已知在∠中，，，平分，交于图6 E点.求证：证明：延长DC到E，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60° AD=AE∵∠C=90° ∴△ADE为等边三角形∴AC⊥CD ∴AD=DE∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE∴BD=DE∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC∴∠BAC=60°∵AD平分∠BAC∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°【例4.】如图，是的边上的点，且，，是的中线。
求证：。
证明：延长AE到点F,使得EF=AE 联结DF在∠ABE和∠FDE中∠∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE ∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDEAE=FE 即∠ADC = ∠ADF∴△ABE ≌△FDE （SAS）在∠ADF和∠ADC中∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF≌ ADC(SAS)∵∴AF=AC∴AC=2AE【变式练习】、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.证明：延长AE到点F,使得EF=AE 联结DF在∠ACE和∠FDE中∠∠ADB=∠ACD+∠CDACE =DE ∵∠ACE=∠FDE∠AEC=∠FED ∴∠ADB=∠ADC+∠FDEAE=FE 即∠ADB = ∠ADF∴△ACE ≌△FDE（SAS）在∠ADF和∠ADB中∴AC=FD ∠ACE=∠FDE AD=AD∵DB=AC ∠ADF = ∠ADB∴DB = DF D F =DB EFF∵∠ADB=∠ACD+∠CAD ∴△ ADF≌ ADB(SAS)∵ AC=DC ∴∠FAD=∠BAD∴∠CAD=∠CDA ∴AD平分∠DAE【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。