通信原理练习题

通信原理 例题
【例1-1】 某数字通信系统用正弦载波的四个相位0、2
π、π、23π来传输信息，这四
个相位是互相独立的。

(1) 每秒钟内0、
2
π、π、23π
出现的次数分别为500、125、125、250，求此通信系统
的码速率和信息速率；
(2) 每秒钟内这四个相位出现的次数都为250，求此通信系统的码速率和信息速率。

解： (1) 每秒钟传输1000个相位，即每秒钟传输1000个符号，故
R B =1000 Bd
每个符号出现的概率分别为P(0)=21,P ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π=81,P(π)=81,P ⎪⎭⎫ ⎝⎛23π=4
1，每个符号所含的平均信息量为
H (X )=(
21×1+82×3+41×2)bit/符号=143
bit/符号 信息速率R b =(1000×14
3
)bit/s=1750 bit/s
(2) 每秒钟传输的相位数仍为1000，故
R B =1000 Bd
此时四个符号出现的概率相等，故
H (X )=2 bit/符号
R b =(1000×2)bit/s=2000 bit/s
【例1-2】已知等概独立的二进制数字信号的信息速率为2400 bit/s 。

(1) 求此信号的码速率和码元宽度；
(2) 将此信号变为四进制信号，求此四进制信号的码速率、码元宽度和信息速率。

解：(1)
R B =R b /log 2M =(2400/log 22)Bd=2400 Bd
T =
B R 1=2400
1 s=0.4
2 ms (2)
R B =(2400/log 24)Bd=1200 Bd
T=
B R 1=1200
1 s=0.83 ms R b =2400 b/s
【例4-1】 黑白电视图像每帧含有3×105
个像素，每个像素有16个等概出现的亮度等级。

要求每秒钟传输30帧图像。

若信道输出S/N=30 dB ，计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小带宽。

解 每个像素携带的平均信息量为
H(x)=(log 216) bit/符号=4 bit/符号
一帧图像的平均信息量为
I=(4×3×105) bit=12×105
bit
每秒钟传输30帧图像时的信息速率为
R b =(12×105
×30) bit/s=36 Mbit/s 令
R b =C=Blog 2（1+
N
S ） 得 B=
MHz MHz N
S R b
61.31001
log 36
)1(log 22==
+
即传输该黑白电视图像所要求的最小带宽为3.61 MHz 。

【例4-2】 设数字信号的每比特信号能量为E b ，信道噪声的双边功率谱密度为n 0/2，试证明：信道无差错传输的信噪比E b /n 0的最小值为-1.6 dB 。

证 信号功率为 S=E b R b 噪声功率为 N=n 0B 令C=R b ，得
)1(log )1(log 022B
C n E B N S
B C b ⋅+=+
= 由此得
B
C n E B
C
b /1
20-=
=min 0
n E b 0lim →B C =-B
C B C 120lim
→B
C 693.02ln 12
ln 2==-B C 6.1)693.0lg 10(lg
10min
-==dB n E b dB
【例6-1】已知信息代码为1010000011000011，试确定相应的传号差分码、CMI码、数字双相码、AMI码以及HDB3码，并分别画出它们的波形。

解：
【例6-2】有4个连1和4个连0交替出现的序列，画出单极性非归零码、AMI码、HDB3码所对应的波形图。

思路单极性非归零码、AMI码的编码规律比较简单。

对HDB3码的编码规律比较熟悉后即可直接由信息代码求出HDB3码，并进而画出波形图。

由于序列中4个连1和4个连0是交替出现的，故相邻的4个连0码组之间1码的个数肯定是偶数个，因此HDB3码中的每个取代节都应是B00V。

解：单极性非归零码、AMI码、HDB3码及其波形图如下图所示。

【例6-3】 设随机二进制序列中的1码出现的概率为0.5，对应一个振幅等于1、宽度等于码元间隔T s 的矩形脉冲，0码对应0电平。

(1) 求其功率谱密度及功率，并画出功率谱曲线，求谱零点带宽；
(2) 若1码对应一个占空比等于0.5的矩形脉冲，0码仍为0电平，重新回答(1)中的问题；
(3) 能否从上述两个信号中用滤波法直接提取码元同步所需的频率f s =1/T s 的分量?若能，给出该分量的功率；
(4) 分析离散谱f s 的功率与1码概率P 的关系。

思路 第一个信号为单极性非归零码，第二个信号为占空比等于0.5的单极性归零码，
它们的基本波形为D T s
(t)和D 0.5T s
(t)。

这两个信号都是相同波形随机序列，可用式(6-3)求其功率谱。

若功率谱中含有f s =1/T s 的离散谱，则可用滤波法直接提取频率为f s =1/T s 的位定时信号，否则不能。

P s (f)=f s P(1-P)(a 1-a 2)2G 2
(f)+f 2s
∑
∞
-∞
=n |Pa 1+(1-P)a 2|2G 2
(mf s )δ(f-mf s ) (6-3)
傅氏变换对
D τ(t)←→τSa )2
(
ωτ=τ2/2/sin ωτωτ
是本课程中常用公式，此题中τ=T s 或τ=0.5T s 。

解: (1) P=0.5,a 1=1,a 2=0
G(f)=T s Sa(πfT s )=T s Sa(πf/f s )
代入式(6-3)得
P s (f)=f s ×0.5×0.5×T 2
s Sa 2
(πf/f s )+f
2s
∑
∞
-∞
=m 0.52×T 2s Sa 2
(m πf s /f s )δ(f-mf s )
=0.25T s Sa 2
(πf/f s )+0.25
∑
∞
-∞
=m Sa 2
(m π)δ(f-mf s )
由于 sin(m π)=0 所以 Sa(m π)=0
故 P s (f)=0.25T s Sa 2
(πf/f s )
功率谱密度曲线如下图所示。

由图可知，谱零点带宽为B s =f s 。

信号功率为
S=
⎰∞-∞P s
(f)df=0.25 ⎰∞-∞
T s
Sa 2
(πf/f s
)df
=0.25f s
⎰∞
-∞
T 2s Sa 2
(πf/f s )df
根据帕塞瓦尔定理
⎰∞
-∞
T 2s Sa 2
(πf/f s )df=
⎰∞
-∞
|G(f)|2
df=
⎰∞
-∞
D 2T s (t)dt=T 2
s
得 S=0.25f s ·T s 2
=0.25T s (2) P=0.5
G(f)=0.5T s Sa(0.5πfT s )=0.5T s Sa(0.5πf/f s )
P s (f)=0.0625T s Sa 2
(0.5πf/f s )+0.06252Sa m ∑
∞
-∞
=(0.5m π)δ(f-mf s )
功率谱密度曲线如下图所示。

由图可知，谱零点带宽为B s =2f s 。

信号功率为 S=0.0625
⎰∞-∞T s
Sa 2(0.5πf/f s
)df+0.0625 ⎰∞-∞
∑
∞
-∞
=m Sa 2
(0.5m π)δ(f-mf s )df
=0.0625f s
⎰∞
-∞
T 2s Sa 2
(0.5πf/f s )df+0.0625
∑
∞
-∞
=m Sa 2
(0.5m π)
=0.0625T s+0.0625
∑
∞
-∞
=m Sa 2
(0.5m π)
(3) 在(1)中无频率等于f s 的离散谱，在(2)中有频率等于f s 的离散谱，故可以从(2)中用滤波法提取码元同步信号(即位同步信号)。

频率为f s 离散谱的功率为
S=2×0.0625Sa 2(0.5π)=(0.125sin 2(0.5π)/(0.5π)2
W=0.05 W
(4) 在第2个信号中有离散谱f s ，若P 为任意值，则此信号的离散谱为
0.25
∑
∞
-∞
=m P 2Sa 2
(0.5m π)δ(f-mf s )
频率为f s 的离散谱功率为
S=(0.5P 2sin 2(0.5π)/(0.5π)2) W=0.2P 2
W
小结 以矩形脉冲为基本波形的二进制相同波形随机序列的谱零点带宽等于脉冲宽
度的倒数，占空比为1时，谱零点带宽在数值上等于码速率；单极性归零码中含有频率等于码速率的离散谱，离散谱的功率随1码的概率增大而增大(设1码传送脉冲)。

上述结论也可以推广到各码元独立的M 进制相同波形随机序列。

【例6-4】 设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如右图所示。

图中T s 为码元间隔，数字信息“1”“0”分别用g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等。

(1) 求该数字基带信号的功率谱密度；
(2) 能否用滤波法从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率f s =1/T s 的分量?若能，试计算该分量的功率。

思路 将底部宽度为τ、高度为1的三角形时域函数表示为Δτ(t)，傅氏变换对为
Δτ(t)←→2
2]4
/4/sin [2)]4(
[2ωτωττωττ=Sa 据此式可求得本题中g(t)所对应的G(f)，再由式(5-3)即可求解。

P s (f)=f s P(1-P)(a 1-a 2)2G 2
(f)+f
2s
∑
∞
-∞
=n |Pa 1+(1-P)a 2|2G 2
(mf s )δ(f-mf s ) (5-3)
解： (1)
P=0.5,a 1=1,a 2=0 G(f)=
)2
(22s
s fT Sa AT π P s (f)=f s P(1-P)(a 1-a 2)2G 2
(f)+f 2
s
∑
∞
-∞
=m |Pa 1+(1-P)a 2|2G 2
(mf s )δ(f-mf s )
=4s f ·)2(4422s s fT Sa T A π+)2
(44
4222
s
s m s fT Sa T A f π∑
∞
-∞
=δ(f-mf s ) )()2
(16)2(164242s m s s mf f m Sa A fT Sa T A -+=∑∞-∞=δππ (2) 频率f s =1/T s 离散谱分量为
0)(2)()2(842
42≠-=-s s f f A f f Sa A δπ
δπ 所以可以用滤波法从该数字基带信号中提取码元同步所需要的频率f s =1/T s 的分量，该分量
的功率为
S=2A 2/π4=0.02A
2
【例6-6】 设某基带传输系统具有右图所示的三角形传输函数： (1) 当R B =ω0/π时，用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间串扰传输?
(2) 求该系统接收滤波器输出基本脉冲的时间表达式，并用此来说明(1)中的结论。

思路 因R B =ω0/π，即R B =2f 0，无码间串扰频域条件如下式
∑
∞
-∞
=n H(ω+n ωs )=⎪⎩⎪⎨⎧
≤
其他
,02||,s C ωω (5-5)
或
∑
∞
-∞
=n H(ω+n ωs )=C,ω为任意值 (5-6)
对于此题给定的条件，有
02ωω=s
根据傅氏变换的对称性，可得
ΔΩ(ω)←→
22]4
/4/sin [4)]4([4t t t Sa ΩΩΩ=ΩΩππ 由此式可求得本题所给系统的接收滤波器输出基本脉冲时间表达式，再根据码速率决定
抽样时刻，从而决定有无码间串扰。

解： (1) 方法一
将H(ω)在频率轴上以2ω0为间隔切开，由于H(ω)的频率范围为(-ω0,ω0)，故切开、平移、迭加后仍为H(ω)，在|ω|<ω0范围内H(ω)不为常数，故系统有码间串扰。

方法二
将H(ω)向左右平移2ω0的整数倍，如下图所示。

可见平移后各图不重合，相加后不为常数，故码速率为ω0/π时有码间串扰。

(2)
h(t)=π
ω20Sa 2)2(0t ω
此即为接收滤波器输出基本脉冲时间表达式。

因
T s =
1ωπ=B R 所以 h(kT s )=
)2
(220ππωk Sa 可见 k=0,±1,±3,…时，h(kT s )≠0，故有码间串扰。

【例7-1】 已知码元传输速率R B =103 Bd ，接收机输入噪声的双边功率谱密度n 0/2=10-10
W/Hz ，今要求误码率P e =10-5
，试分别计算出相干OOK 、非相干2FSK 、差分相干2DPSK 以及2PSK 等系统所要求的输入信号功率。

思路 只要求出接收机带通滤波器输出噪声功率就可以由误码率公式得到P e =10-5的
信噪比，从而得出信号功率。

题中已给出噪声的功率谱密度，但没有给定收滤波器带宽。

由于OOK(即2ASK)系统、2DPSK 系统、2PSK 系统都是线性系统，它们的频带利用率为1/(1+α)(Bd/Hz)。

若收滤波器为升余弦滚降特性，其等效噪声带宽为1000 Hz ，可用此等效带宽求噪声功率。

设α=1，且收滤波器的频率特性是带宽为2000 Hz 的理想矩形，我们以此为标准进行计算。

非相干2FSK 解调器由两个非相干2ASK 解调器构成，两个收滤波器的带宽与线性系统一样。

解： 设OOK 、差分相干2DPSK 以及2PSK 的收滤波器的频率特性是带宽为2000 Hz 的
理想矩形，非相干2FSK 接收机的两个支路带通滤波器的频率特性也是带宽为2000 Hz 的理想矩形。

在此条件下，接收机输入噪声功率为
N=(10-10×2×2000) W=4×10-7
W
(1) 相干OOK(2ASK)系统 由误码率公式
P e =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2r Q =10-5 得
r=
N
S
=36.13 S=(36.13×4×10-7
) W=1.45×10-5
W
(2) 非相干2FSK 系统 由误码率公式
P e =2
15210-=r
e
得
r=21.6
S=(21.6×4×10-7) W=0.86×10-5
W
(3) 差分相干2DPSK 系统 由误码率公式
P e =
5102
1--=r
e 得
r=10.8
S=(10.8×4×10-7) W=0.43×10-5
W
(4) 相干2PSK 系统 由误码率公式
P e =Q(r 2)=10
-5
得
r=9.03
S=(9.03×4×10-7) W=0.36×10-5
W
【例7-2】 已知2FSK 信号的两个频率f 1=980 Hz ，f 2=2180 Hz ，码元速率R B =300 Bd ，信道有效带宽为3000 Hz ，信道输出端的信噪比为6 dB 。

试求：
(1) 2FSK 信号的谱零点带宽； (2) 非相干解调时的误比特率； (3) 相干解调时的误比特率。

解： (1) 2FSK 信号的谱零点带宽为
B s =|f 2-f 1|+2R b =(2180-980+2×300) Hz=1800 Hz
(2) 设非相干接收机中带通滤波器BPF 1和BPF 2的频率特性为理想矩形，且带宽
为
6002==B F R B Hz
信道带宽为3000 Hz ，是接收机带通滤波器带宽的5倍，所以接收机带通滤波器输出信噪比是信道输出信噪比的5倍。

当信道输出信噪比为6 dB 时，带通滤波器输出信噪比为
r=5×100.6
=5×4=20
2FSK 非相干接收机的误比特率为
P b =
21e -r/2=2
1e -10=2.27×10-5
(3) 同理可得2FSK 相干接收机的误比特率为
P b =Q(r )=Q(20)=Q(4.47)=3.93×10-6
【例7-3】待传送二元数字序列{a k }=1011010011：
(1) 试画出QPSK 信号波形。

假定f c =R b =1/T s ，4种双比特码00，10，11，01分别用相位偏移0，π/2，π，3π/2的振荡波形表示；
(2) 给出QPSK 信号表达式和调制器原理方框图。

解： (1) QPSK 信号波形如下图所示。

(2) QPSK 信号的表达式为
e QPSK (t)=cos φk cos ωc t+sin φk sin ωc t=cos(ωc t-φk )
QPSK 调制器原理方框图如下图所示，图中x 与i(t)的对应关系为：x 为1码时，i(t)为负脉冲，x 为0码时，i(t)为正脉冲；y 与q(t)的对应关系同x 、i(t)之间的关系。

【例7-4】 已知电话信道可用的信号传输频带为600～3000 Hz ，取载频为1800 Hz ，试说明：
(1) 采用α=1升余弦滚降基带信号时，QPSK 调制可以传输2400 bit/s 数据； (2) 采用α=0.5升余弦滚降基带信号时，8PSK 调制可以传输4800 bit/s 数据； (3) 画出(1)和(2)传输系统的频率特性草图。

解： (1) 信道带宽为
B c =(3000-600) Hz=2400 Hz
α=1时QPSK 系统的频带利用率
ηb =
1
14
log 1log 22+=+a M bps/Hz=1 bps/Hz
数据传输速率
R b =B c ·ηb =2400×1 bit/s=2400 bit/s
(2) α=0.5时8PSK 系统的频带利用率
ηb =
5
.018
log 2+=2 bps/Hz
数据传输速率
R b =B c ·ηb =2400×2 bit/s=4800 bit/s
(3) (1)和(2)传输系统的频率特性草图如下图(a)和(b)所示。

【例9-1】 已知模拟信号抽样值的概率密度p(x)如右图所示。

(1) 如果按4电平进行均匀量化，试计算信号与量化噪声功率比；
(2) 如果按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平；
解： (1) 分层电平为 x 1=-1， x 2=-0.5，x 3=0，x 4=0.5，
x 5=1
量化电平为 y 1=-0.75， y 2=-0.25， y 3=0.25， y 4=0.75 信号功率为 S=⎰-1
1
x 2
p(x)dx=2
⎰5
.01
x 2
(1-x)dx=
6
1 量化噪声功率为
N q =
⎰∑=1
5
4
1
x
x i (x-y i )2
p(x)dx=2[
⎰5.01
(x-0.25)2
(1-x)dx+⎰5.01
(x-0.75)2
(1-x)dx=1/48
信号与量化噪声功率比为 SNR q =S/N q =8
(2) 量化间隔为 Δ=2/8=1/4
量化电平分别为 -7/8，-5/8，-3/8，-1/8，1/8，3/8，5/8，7/8
【例9-2】有一电话信道带宽B=3000Hz ，信噪比S/N=400（即26dB ），假定信道为带限高斯信道。

试求：
① 信道容量C ；
② 说明此信道能否有效地支持对数字PCM 编码的语音信号的传输。

解：①s kbit N
S
B C /95.25)4001(log 3000)1(log 22≈+⨯=+
= ②数字PCM 的传码率满足：m s s b Nf Nf N
T T R 2/11≥===
，而一般的数字PCM 中N ＝7～8，信号最高频率f m ＝4kHz ，故C kbps kbps R b >≥6456、，不能支持。

【例9-3】 6路独立信源的最高频率分别为1 kHz 、1 kHz 、2 kHz 、2 kHz 、3 kHz 、3 kHz ，采用时分复用方式进行传输，每路信号均采用8位对数PCM 编码。

(1) 设计该系统的帧结构和总时隙数，求每个时隙占有的时间宽度及码元宽度； (2) 求信道最小传输带宽。

解: (1) 若选择抽样频率为6 kHz ，则每路信号都符合
抽样定理的要求。

不考虑帧同步码、信令码，帧结构如右图所示。

每帧共6个时隙，每个时隙占有的时间宽度为27.8 μs ，码元宽度为3.5 μs 。

(2) 信息速率为
R b =(6000帧/秒)×(6时隙/帧)×(8 bit/时隙)=288 kbit/s
信道最小传输带宽为
B c =R b /2=144 kHz
讨论 根据抽样定理，这6路信号的抽样频率可以分别为2 kHz 、2 kHz 、4 kHz 、4 kHz 、6 kHz 、6 kHz 。

帧周期为500 μs ，每帧12个时隙，6路信号占有的时隙数分别为1、1、2、2、3、3，此时帧结构如图7-24所示。

每帧共12个时隙，每个时隙占用的时间宽度为41.7 μs ，码元宽度为5.2 μs ，信息速率为R b =(2000帧/秒)×(12时隙/帧)×(8 bit/时隙)=192 kbit/s ，最小传输带宽为96 kHz 。

【例9-4】若对12路语音信号(每路信号的最高频率均为4 kHz)进行抽样和时分复用，将所得脉冲用PCM 基带系统传输，信号占空比为1：
(1) 抽样后信号按8级量化，求PCM 信号谱零点带宽及最小信道带宽； (2) 抽样后信号按128级量化，求PCM 信号谱零点带宽及最小信道带宽。

解：(1) R b =(12×8×log 28) kbit/s=288 kbit/s
频零点带宽为
B s =
τ
1
=R b =288 kHz 最小信道带宽为
B c =
2
1
R b =144 kHz (2) R b =(12×8×log 2128) kbit/s=672 kbit/s
B s =
τ1
=R b =672 kHz B c =2
1
R b =336 kHz
【例10-1】设到达接收机输入端的二进制信号码元s 1(t)及s 2(t)的波形如下图(a)、(b)所示，输入高斯噪声功率谱密度为n 0/2 (W/Hz)。

(1) 画出匹配滤波器形式的最佳接收机结构； (2) 确定匹配滤波器的冲激响应； (3) 求系统误码率；
(4) 设信息代码为101100，1码对应波形为s 1(t)，0码对应波形为s 2(t)，画出匹配滤波器形式的最佳接收机各点波形。

解 ：(1) 匹配滤波器形式的最佳接收机结构如下图所示。

(2) 由题意得
h 1(t)=s 1(T-t)=s 2(t) h 2(t)=s 2(T-t)=s 1(t)
h 1(t)波形如左上图(b)所示，h 2(t)波形如左上图(a)所示。

(3) 0)()(01,2/212
01=====⎰t S t S T
E T A E E E b
b b b ρ 所以系统的误码率为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=02002n T A Q n E Q p b e
(4) 当y(t)=s1(t)或s2(t)时，a(t)、b(t)的波形如下图(a)、(b)、(c)、(d)所示。

根据匹配滤波器对s1(t)、s2(t)的响应，可得当信息代码为101100时，最佳接收机各点波形，如下图所示。

【例10-2】设二进制FSK 信号为
⎩⎨
⎧≤≤+=≤≤+=码
码
1,0),sin()(1,0),sin()(22021101s s T t t A t s T t t A t s ψωψω 式中，φ1及φ2为均匀分布的随机变量，ω2=2ω1=8 π/T s ，s 1(t)和s 2(t)等可能出现。

(1) 构成包络匹配滤波器形式的最佳接收机； (2) 设信息代码为10100，画出各点波形；
(3) 若接收机输入高斯噪声功率谱密度为n 0/2 (W/Hz)，试求系统的误码率。

解： (1) 包络匹配滤波器形式的最佳接收机方框图如下图(a)所示。

(2) 当信息代码为10100时，最佳接收机各点波形如上图(b)所示。

(3) s 1(t)、s 2(t)的相关系数ρ=0，每比特信号能量E b =A 2
0T s /2，所以系统的误码率为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02004exp 212exp 21
n T A n E P s b e。