2015上海数学自招七宝中学真题
2015年上海中学自招数学试卷及答案解析
2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________【答案】24【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=71166225533447-+-+-+-+-+-+-=654321324++++++=2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得1313z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 【答案】2【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()21338x x -=+∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦∴()()141338212x x x x=+++---∴()()12239x x x--=+原式=4133812239x xx+++-=+5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)m<，增加34份礼物，则m=____________【答案】8【解析】根据题意有()()()1341m m m n m n-+=++-，()2134n m n∴+-=，∴12134nm n=⎧⎨+-=⎩或22117nm n=⎧⎨+-=⎩或17212nm n=⎧⎨+-=⎩或34211nm n=⎧⎨+-=⎩解得：117nn=⎧⎨=⎩（舍）或28nn=⎧⎨=⎩或177nn=⎧⎨=-⎩（舍）或3416nn=⎧⎨=-⎩（舍）8m∴=6、正ABCV的内切圆半径为1，P为圆上一点，则12BP CP+的最小值为_________ 【答案】212【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得1122DO r==，联结PD,由计算可得2CO=，在PODV与COPV中，12POD COPOD OPOP OC∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩∴PODV:COPV,∴12PD PC=∴12122BP CP BP PD BD+=+≥=二. 解答题 7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，则()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()922S H S H S ++-==8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）联结BE ，AF ，有22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且BDF CDF ACE CDES S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACES S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2AB CD = 附：无答案试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP +的最小值为_________二. 解答题7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。
上海市七宝中学2015届高三上学期期中考试数学试题
）．
A.1个
B. 2个
C . 3个
D . 4个
三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤 .
19.( 本题满分 10 分）
已知函数 f ( x)
a
2 2x
，
1
a
R．
判断函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
20.( 本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分 .
）．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也非必要条件
16. x1、x2 是方程 x2 (a 2)x ( a2 3a 5) 0 （ a 为实数）的二实根，则 x12 x12 的最大
值为………………………………………………………………………………（
）．
A. 20
七宝中学 2014 年高三年级第一学期期中数学试卷
2014,11 一 . 填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 .
1. 已知集合 A
12
my
N,m N
，用列举法表示集合
A， A
____________ .
甲、乙两地相距 1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过
80 km，已知货车每小
时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的
成本为 a 元．
1 倍，固定 4
（ 1）将全程运输成本 y （元）表示为速度 v (km / h) 的函数，并指出这个函数的定义域；
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题1．方程cos x ＝sin π6的解为x ＝ ．2．设{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则a 2+a 8＝ ． 3．求值：sin[arccos(−23)]= ．4．函数y ＝arccos （sin x ），x ∈(−π3，2π3)的值域是 ．5．设数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝﹣1，S n −12a n+1=0（n ∈N *），则{a n }的通项公式为 ．6．利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+⋯+12n −1＞n2（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k +1”时，左边增加了 项．7．若f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点，则b ﹣a 的最小值为 ．8．设数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n，n ＞3，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）＝ ． 9．已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a n ={2n−1，n 为正奇数2n −1，n 为正偶数，则S 9＝ ．10．对于正项数列{a n }，定义H n =na 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n =2n+2，则数列{a n }的通项公式为 ．11．△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ，则A 的取值范围为 ．12．关于x 的方程x 2﹣4 arctan （cos x ）+π•a 2＝0只有一个实数根，则实数a ＝ ． 13．等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3，（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos2015π6，则S 2014＝ ．14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45⋯，1n，2n，…，n−1n，…有如下运算和结论：①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…的前n 项和为T n =n 2+n 4；④若存在正整数k ，使S k ＜10，S k +1≥10，则a k =57．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 二、选择题15．已知{a n }、{b n }都是公差不为0的等差数列，且lim n→∞anb n=2，S n ＝a 1+a 2+…+a n ，则lim n→∞2S nnb2n的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．1D ．不存在16．设{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a 2n ﹣1}是（ ） A ．公比为12的等比数列B ．公比为√22的等比数列C ．公比为√22或−√22的等比数列D ．公比为√24或1√24的等比数列17．函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个φ值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π618．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列命题：（1）若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }也是递增数列； （2）数列{S n }是递增数列的充要条件是数列{a n }的各项均为正数；（3）若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则S 1•S 2…S k ＝0的充要条件是a 1•a 2…a k ＝0． （4）若{a n }是等比数列，则S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）的充要条件是a n +a n +1＝0． 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题19．已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣n ）x ﹣2n 的图象与x 轴正半轴的交点为A （a n ，0），n ＝1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =3a n +(−1)n−1⋅λ⋅2a n (n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有b n +1＞b n ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数f （x ）＝2√3sin x cos x +3sin 2x +cos 2x ﹣2，x ∈R ； （1）求函数f （x ）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若f （A ）＝2，C =π4．，c ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的值；21．已知函数f （x ）＝2sin （ωx ），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数F(x)=f(x)+f(x +π2)的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令ω＝2，将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象．对任意a ∈R ，求y ＝g （x ）在区间[a ，a +10π]上的零点个数的所有可能．22．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，b n ＝a 2n ﹣2；（1）求a 2、a 3、a 4；（2）求证：数列{b n }为等比数列，并求其通项公式； （3）求和T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ；23．已知{a n }，{b n }为两非零有理数列（即对任意的i ∈N *，a i ，b i 均为有理数），{d n }为一无理数列（即对任意的i ∈N *，d i 为无理数）．（1）已知b n ＝﹣2a n ，并且（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝0对任意的n ∈N *恒成立，试求{d n }的通项公式．（2）若{d n 3}为有理数列，试证明：对任意的n ∈N *，（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝1恒成立的充要条件为{a n =11+d n6b n =d n31+d n 6． （3）已知sin2θ=2425（0＜θ＜π2），d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，试计算b n ．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题1．方程cos x ＝sin π6的解为x ＝ 2k π±π3（k ∈Z ） ．【分析】由诱导公式可得cos x ＝sinπ6=cosπ3=cos （−π3），由余弦函数的周期性可得：x ＝2k π±π3（k ∈z ）． 解：因为方程cos x ＝sinπ6=cosπ3=cos （−π3），所以x ＝2k π±π3（k ∈z ）， 故答案为：2k π±π3（k ∈z ）．2．设{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则a 2+a 8＝ 2π3．【分析】根据等差数列的性质即可求出． 解：∵a 1+a 5+a 9＝π＝3a 5， ∴a 5=π3，∴a 2+a 8＝2a 5=2π3，故答案为：2π33．求值：sin[arccos(−23)]= √53．【分析】利用反三角函数的定义、同角三角函数的基本关系求得sin[arccos （−23）]的值．解：由题意，sin[arccos （−23）]=√1−cos 2[arccos(−23)]=√53．故答案为：√53． 4．函数y ＝arccos （sin x ），x ∈(−π3，2π3)的值域是 [0，5π6) ．【分析】先将sin x 看作整体求出其取值范围，再利用反余弦函数的性质求解．解：当−π3＜x ＜2π3时，−√32＜sin x ≤1，由于反余弦函数是定义域[﹣1，1]上的减函数，且arccos （−√32）=5π6，arccos1＝0，所以值域为 [0，5π6)故答案为：[0，5π6)．5．设数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝﹣1，S n −12a n+1=0（n ∈N *），则{a n }的通项公式为a n ={−1，n =1−2⋅3n−2，n ≥2．【分析】n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，化为：a n +1＝3a n ．n ＝1时，﹣1＝a 1=12a 2，解得a 2＝﹣2．不满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出． 解：n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=12a n +1−12a n ，化为：a n +1＝3a n ． n ＝1时，﹣1＝a 1=12a 2，解得a 2＝﹣2．不满足上式．∴数列{a n }在n ≥2时成等比数列．∴n ≥2时，a n ＝﹣2×3n ﹣2．∴a n ={−1，n =1−2×3n−2，n ≥2．故答案为：a n ={−1，n =1−2×3n−2，n ≥2．6．利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+⋯+12n −1＞n2（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k +1”时，左边增加了 2k 项． 【分析】，最后一项为12−1，n ＝k +1时，最后一项为12−1，由此可得由n ＝k 变到n ＝k +1时，左边增加的项数． 解：由题意，n ＝k 时，最后一项为12−1，n ＝k +1时，最后一项为12−1，∴由n ＝k 变到n ＝k +1时，左边增加了2k +1﹣（2k +1）+1＝2k ， 故答案为：2k ．7．若f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点，则b ﹣a 的最小值为86π3．【分析】再据函数的零点的定义求得函数f （x ）的零点，从而得出结论．解：根据f （x ）＝2sin x ﹣1＝0，即sin x =12，故x ＝2k π+π6，或x ＝2k π+5π6， ∵f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点， ∴不妨假设a =π6（此时，k ＝0），则此时b 的最小值为28π+5π6，（此时，k ＝14）， ∴b ﹣a 的最小值为28π+5π6−π6=86π3，故答案为：863π8．设数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n，n ＞3，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）＝ 14524 ． 【分析】利用数列的通项公式，求解数列的和，然后求解数列的极限． 解：数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n ，n ＞3， 则a 1+a 2+…+a n ＝1+2+3+116(1−(−12)n−3)1+12=6+124(1+(−12)n−3)，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）=lim n→∞[6+124(1+(−12)n−3)]=14524． 故答案为：14524．9．已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a n ={2n−1，n 为正奇数2n −1，n 为正偶数，则S 9＝ 377 ．【分析】由数列的通项可先求出数列的前9项，然后结合等差数列与等比数列的求和公式可求解：∵a n ={2n−1(n 为正奇数)2n −1(n 为正偶数)，∴数列的前9项分别为20，3，22，7，24，11，26，15，28 S 9=(20+22+24+26+28)+（3+7+11+15）=1−451−4+36=377 故答案为37710．对于正项数列{a n }，定义H n =na 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n =2n+2，则数列{a n }的通项公式为 a n =2n+12n．【分析】根据“光阴”值的定义，及H n=2n+2，可得a1+2a2+…+na n=n(n+2)2，再写一式，两式相减，即可得到结论．解：∵H n=na1+2a2+3a3+⋯+na n∴a1+2a2+…+na n=n H n∵H n=2n+2∴a1+2a2+…+na n=n(n+2)2①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=(n−1)(n+1)2②①﹣②得na n=n(n+2)2−(n−1)(n+1)2=2n+12∴a n=2n+12n故答案为：a n=2n+12n11．△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围为（0，60°]．【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cos A，将得出的不等式变形后代入表示出的cos A中，得出cos A的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C得：a2≤b2+c2﹣bc，变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc≥bc2bc=12，又A为三角形的内角，则A的取值范围是（0，60°]．故答案为：（0，60°]12．关于x的方程x2﹣4 arctan（cos x）+π•a2＝0只有一个实数根，则实数a＝±1．【分析】设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则可判断出f（x）为偶函数，又f（x）只有一个零点，故只能是x＝0，将x＝0代入原方程解得a＝±1．解：设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4arctan（cos（﹣x））+π•a2＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2＝f（x）∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，又依题意f （x ）只有一个零点，故此零点只能是x ＝0， 所以0﹣4arctan （cos0）+π•a 2＝0， ∴﹣4arctan1+π•a 2＝0， ∴﹣4×π4+π•a 2＝0， ∴a 2＝1，∴a ＝±1， 故答案为：±113．等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3，（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos2015π6，则S 2014＝ 4028 ．【分析】将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a 2+a 2013的值，利用等差数列的性质及数列的前n 项和公式求出n 项和． 解：（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3=√32，① （a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos 2015π6=−√32，② ①+②得，（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）+（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝0，即（a 2﹣2+a 2013﹣2）[（a 2﹣2）2﹣（a 2﹣2）（a 2013﹣2）+（a 2013﹣2）2]+2013（a 2﹣2+a 2013﹣2）＝0， ∴a 2﹣2+a 2013﹣2＝0， 即a 2+a 2013＝4， ∴S 2014=(a 1+a 2014)×20142=1007×（a 2+a 2013）＝4028， 故答案为：4028．14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45⋯，1n，2n，…，n−1n，…有如下运算和结论：①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…的前n 项和为T n =n 2+n 4；④若存在正整数k ，使S k ＜10，S k +1≥10，则a k =57．其中正确的结论是 ①③④ ．（将你认为正确的结论序号都填上）【分析】①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，…，18，28，38，故a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是12，1，64，2，⋯n−12，由等差数列定义知：数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：Tn =n 2+n 4；④由③知S k ＜10，S k +1≥10，即：n 2+n 4＜10，(n+1)2+(n+1)4≥10，故a k =57．解：①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，…，18，28，38，∴a 24=38，故①正确；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是12，1，64，2，⋯n−12，由等差数列定义n−12−n−22=12（常数）所以数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，故②不正确． ③∵数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：Tn =n 2+n 4，故③正确；④由③知S k ＜10，S k +1≥10， 即：n 2+n 4＜10，(n+1)2+(n+1)4≥10，∴k ＝7，a k =57．故④正确．故答案为：①③④． 二、选择题15．已知{a n }、{b n }都是公差不为0的等差数列，且lim n→∞anb n=2，S n ＝a 1+a 2+…+a n ，则lim n→∞2S nnb2n的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．1D ．不存在【分析】首先{a n }和{b n }都是公差不为零的等差数列，可根据等差数列的性质列出等量关系式代入lim n→∞anb n=2，得到关系式，再求解．解：因为{a n }和{b n }都是公差不为零的等差数列，所以设b n ＝b 1+（n ﹣1）d 1a n ＝a 1+（n ﹣1）d 2 故 lim n→∞an b n =lim n→∞a 1+(n−1)d1b 1+(n−1)d 2=2，可得d 1＝2d 2 又因为a 1+a 2+…+a n ＝na 1+n(n−1)d 12和b 2n ＝b 1+（2n ﹣1）d 1代入 则lim n→∞2S n nb 2n =lim n→∞（2×na 1+n(n−1)d 12nb 1+n(2n−1)d2）=d 12d 2=1． 故选：C ．16．设{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a 2n ﹣1}是（ ） A ．公比为12的等比数列B ．公比为√22的等比数列C ．公比为√22或−√22的等比数列D ．公比为√24或24的等比数列【分析】根据题意，分析可得S n ＝2S 4，结合等比数列的前n 项和公式可得a 11−q=2a 1(1−q 4)1−q，解可得q ＝±√24，又由数列{a 2n ﹣1}为{a n }的奇数项组成的数列，结合等比数列的性质分析可得答案．解：根据题意，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和， 则S n ＝2S 4，又由{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，则a 11−q=2a 1(1−q 4)1−q，变形可得q 4=12，则q ＝±√24，数列{a 2n ﹣1}为{a n }的奇数项组成的数列，则数列{a 2n ﹣1}为公比为q 2=√22的等比数列；故选：B ．17．函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个φ值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【分析】求出函数的对称轴方程，使得满足在(π6，π3)内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值．解：函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的对称轴方程为：x =kπ2+π4−φ2k ∈Z ， 函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内， 所以π6＜kπ2+π4−φ2＜π3当 k ＝0 时π12＞φ2＞−π12，φ=π12故选：A ．18．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列命题：（1）若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }也是递增数列； （2）数列{S n }是递增数列的充要条件是数列{a n }的各项均为正数；（3）若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则S 1•S 2…S k ＝0的充要条件是a 1•a 2…a k ＝0． （4）若{a n }是等比数列，则S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）的充要条件是a n +a n +1＝0． 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n 项和的意义，通过举反例可得（1）、（2）、（3）不正确．经过检验，只有（4）正确，从而得出结论． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，故 S n ＝a 1+a 2+a 3+…+a n ，若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }不一定是递增数列，如当a n ＜0 时，数列{S n }是递减数列，故（1）不正确．由数列{S n }是递增数列，不能推出数列{a n }的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…， 满足{S n }是递增数列，但不满足数列{a n }的各项均为正数，故（2）不正确．若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则由S 1•S 2…S k ＝0不能推出a 1•a 2…a k ＝0，例如数列：﹣3，﹣1，1，3，满足S 4＝0，但 a 1•a 2•a 3•a 4≠0，故（3）不正确．若{a n }是等比数列，则由S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）可得数列的{a n }公比为﹣1，故有a n +a n +1＝0．由a n +a n +1＝0可得数列的{a n }公比为﹣1，可得S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ），故（4）正确． 故选：B ． 三、解答题19．已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣n ）x ﹣2n 的图象与x 轴正半轴的交点为A （a n ，0），n ＝1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n=3a n+(−1)n−1⋅λ⋅2a n(n为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b n+1＞b n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数f（x）＝x2+（2﹣n）x﹣2n的图象与x轴正半轴的交点横坐标只需令y ＝0求出x即为数列{a n}的通项公式；（2）若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立，然后讨论n的奇偶将λ进行分离，利用恒成立的方法求出λ的范围即可．解：（1）设f（x）＝0，x2+（2﹣n）x﹣2n＝0得x1＝﹣2，x2＝n．所以a n＝n（2）b n＝3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立即：3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，(32)n−1＞(−1)n−1⋅λ恒成立当n为奇数时，(32)n−1＞λ⇒λ＜1当n为偶数时，(32)n−1＞−λ⇒λ＞−32所以−32＜λ＜1，故：λ＝﹣120．已知函数f（x）＝2√3sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2，x∈R；（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）＝2，C=π4．，c＝2，求△ABC的面积S△ABC的值；【分析】（1）用二倍角的正弦和余弦公式化简f（x）为f（x）＝2sin（2x−π6），然后根据正弦函数的递增区间[−π2+2kπ，π2+2kπ]（k∈Z），可得f（x）的递增区间[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z，所得结果与（0，π）取交集即可得到结果；（2）由f（A）＝2，可得A=π3，则可得B=5π12，由正弦定理可得a边，再由面积公式S△ABC=12acsinB可求得．解：（1）因为f（x）＝2√3sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2 =√3sin2x+2sin2x﹣1=√3sin2x﹣cos2x＝2sin （2x −π6），由−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 得−π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ， 又x ∈（0，π），所以0＜x ≤π3或5π6≤x ＜π，所以函数f （x ）在（0，π）上的递增区间为：（0，π3]，[5π6，π），（2）因为f （A ）＝2，∴2sin （2A −π6）＝2，∴sin （2A −π6）＝1， ∴2A −π6=π2+2k π，k ∈Z ，∴A =π3+k π，k ∈Z ， ∵0＜A ＜π，∴A =π3．∴B =π12，在三角形ABC 中由正弦定理得a sinA =csinC，∴a =csinA sinC =2×√3222=√6， S △ABC =12ac sin B =12×√6×2×sin5π12=3+√32． 21．已知函数f （x ）＝2sin （ωx ），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数F(x)=f(x)+f(x +π2)的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令ω＝2，将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象．对任意a ∈R ，求y ＝g （x ）在区间[a ，a +10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω＝1时，写出f （x ）、F （x ），求出F （π4）、F （−π4），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g （x ），令g （x ）＝0可得g （x ）可能的零点，而[a ，a +10π]恰含10个周期，分a 是零点，a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值； 解：（1）f （x ）＝2sin x ，F （x ）＝f （x ）+f （x +π2）＝2sin x +2sin （x +π2）＝2（sin x +cos x ）， F （π4）＝2√2，F （−π4）＝0，F （−π4）≠F （π4），F （−π4）≠﹣F （π4），所以，F （x ）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f （x ）＝2sin2x ，将y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin2（x +π6）+1的图象，所以g （x ）＝2sin2（x +π6）+1． 令g （x ）＝0，得x ＝k π+512π或x ＝k π+34π（k ∈z ）， 因为[a ，a +10π]恰含10个周期，所以，当a 是零点时，在[a ，a +10π]上零点个数21， 当a 不是零点时，a +k π（k ∈z ）也都不是零点，区间[a +k π，a +（k +1）π]上恰有两个零点，故在[a ，a +10π]上有20个零点．综上，y ＝g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值为21或20． 22．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，b n ＝a 2n ﹣2；（1）求a 2、a 3、a 4；（2）求证：数列{b n }为等比数列，并求其通项公式； （3）求和T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ；【分析】（1）由数列的递推式，可令n ＝1，n ＝2，n ＝3计算可得所求值；（2）由数列的递推式，变形整理，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； （3）求得a 2n ＝2﹣（12）n ，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，可得a 2＝1+12a 1＝1+12=32； a 3＝a 2﹣4=−52，a 4＝3+12a 3=74；（2）证明：b n ＝a 2n ﹣2=12a 2n ﹣1+2n ﹣1﹣2=12（a 2n ﹣2﹣4n +4）+2n ﹣1﹣2 =12（a 2n ﹣2﹣2）=12b n ﹣1，可得数列{b n }为公比为12，首项为−12等比数列，即b n ＝﹣（12）n ；（3）由（2）可得a 2n ＝2﹣（12）n ，T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ＝2n ﹣（12+14+⋯+12n）＝2n −12(1−12n )1−12=2n ﹣1+（12）n ．23．已知{a n }，{b n }为两非零有理数列（即对任意的i ∈N *，a i ，b i 均为有理数），{d n }为一无理数列（即对任意的i ∈N *，d i 为无理数）．（1）已知b n ＝﹣2a n ，并且（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝0对任意的n ∈N *恒成立，试求{d n }的通项公式．（2）若{d n 3}为有理数列，试证明：对任意的n ∈N *，（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝1恒成立的充要条件为{a n =11+d n6b n =d n 31+d n 6．（3）已知sin2θ=2425（0＜θ＜π2），d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，试计算b n ．【分析】（1）由d n 2+1≠0，可得a n d n 2−b n d n −a n =0，由a n ≠0，可得d n 2+2d n −1=0，解出即可得出．（2）由(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，可得a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，利用{d n 3}为有理数列，即可证明．（3）由体积可得25tan θ＝12+12tan 2θ．分类讨论，利用{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列，即可得出．解：（1）∵d n 2+1≠0，∴a n +b n d n −a n d n 2=0，即a n d n 2−b n d n −a n =0， ∴a n d n 2+2a n d n −a n =0，∵a n ≠0，∴d n 2+2d n −1=0，∴d n =−1±√2．（2）∵(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，∴a n d n 2+a n +b n d n 3+b n d n −a n d n 4−a n d n 2=1，∴a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，∵{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列， ∴{a n +b n d n 3=1b n −a n d n 3=0，∴{a n =11+d n 6b n =d n31+d n 6，以上每一步可逆． （3）sin2θ=2tanθ1+tan 2θ=2425，∴25tan θ＝12+12tan 2θ．∵d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，∴d n 3=tan(n ⋅π2+(−1)n θ)， 当n ＝2k （k ∈N *）时，∴d n 3=tan(2k ⋅π2+θ)=tanθ当n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，∴d n 3=tan((2k −1)⋅π2−θ)=cotθ，∴{d n 3}为有理数列，∵(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，∴a n d n 2+a n +b n d n 3+b n d n −a n d n 4−a n d n 2=1， ∴a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，∵{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列，∴{a n +b n d n 3=1b n −a n d n 3=0，∴b n =d n 31+d n6， ∴b n =d n31+d n6=tan(n⋅π2+(−1)nθ)1+tan 2(n⋅π2+(−1)nθ)=12sin(n ⋅π+2(−1)n θ)当n ＝2k （k ∈N *）时，∴b n =12sin(2k ⋅π+2θ)=12sin2θ=1225当n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，∴b n =12sin((2k −1)⋅π−2θ)=12sin2θ=1225，∴b n =1225．。
【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题
6
2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、 填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项 式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的 面 积 为 16 ， 那 么 线 段 DE 的 长 度 是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32
1 9
2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）
2015年七宝中学数学自招试卷及答案
222015年七宝中学自招试卷【答案】2 ,所以最小值为点为P ,求PCA B【答案】【解析】如图，延长 BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形,AB AD CD BC ， BAE D 90，Q E 、F 分别为 AD 、CD 的中点,AD ABAE 1AD ，DF21CD ， 2AE DF ,在 VADF 与 VBAE 中 BAEAE DFD ，VADF VBAE ， DAF ABE ，Q ABE AEB 90，DAFAEB 90APE90 Q BPGAPEBPG 90 在 VADFAFD GFC与VCGF 中DCG D 90，VADF VCGF ， CG AD ， CGBC ，CF DFPC 1BG 6，1、已知:2是X 2ax 2b 0的一个根，求2b 的最小值【解析】2是χ2ax 2b0的一个根,4 2a 2bb 2 a 2b 2 b 2 2b 2 2b 2 4b 42、已知正方形 ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点,F 为DC 的中点，AF ， BE 的交【解析】令a 1 1 , a 2 1 , a 3 1 , a 4 1 是1 ,可得最小值为 2015 4、已知 :X 为不大于X 的最大整数，在1,2,3, ,2015 中，有个数满足X-2 < 9【答案】 40【解析】Q X .χ $ 9且 X 在 1,2,3,,2015，X 9,当 9 X 16 时， X 3 ,J 2 9 ,则 X 18（舍）；当 16 X 25 时， X 4 , ,χ 216 ,则 X 25（舍）;当25X 36 时，∖ X 5， ' X25 ,则 X 34 ；当 36 X 49 时， 、、X 6 ,X 236 ,则 X 45 ;当 49 X 64时，.X 7，. X 49 ,贝U X 58,……在后面n2X n 1 2.2015 中，每组都有一个数满足题意，40个数满足X $ 92Q 4419362025 452, 共有44 5 1 5、已知 2 2X y1 ,求 ：.X 22X 1 4y 24y 1-I Xy 2χ y 2的值【答案】3a 2015a 1的最小值。
上海市七宝中学2015-2016学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的条件．5．不等式≥1的解集是．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有个；请将该问题推广到一般情况：．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．1815．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={﹣1，2}，因为B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={2}；故答案为{2}；【点评】本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【考点】四种命题．【专题】规律型；对应思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3【点评】本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由|x|＞|y|，化为，或．即可判断出结论．【解答】解：由|x|＞|y|，化为，或．∴“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．故答案为：既非充分也非必要．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．不等式≥1的解集是{x|x＜﹣3或x≥4}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项通分可化不等式为于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，整理可得≥0，等价于，解得x＜﹣3或x≥4，∴不等式≥1的解集为{x|x＜﹣3或x≥4}故答案为：{x|x＜﹣3或x≥4}【点评】本题考查分式不等式的解集，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．【解答】解：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）•（﹣2）=，∴a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0，∴6x2+5x+1＜0，∴（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分x大于等于0和x小于0两种情况，根据绝对值的代数意义化简原不等式，得到（1+x）（1﹣x）大于0或（1+x）（1+x）大于0，求出相应的两解集的并集，即为原不等式的解集．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的题型．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据A∩B=∅，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，即可得到结论．【解答】解：集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，A∩B=∅，∴直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，∴1﹣2m2=﹣3，解得m=±，故答案为：±【点评】本题主要集合的基本运算，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行是解决本题的关键，比较基础9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是（﹣4，2）．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；判别式法；不等式．【分析】分别求出﹣4＜2a﹣b＜5和2a﹣b＜2，从而求出2a﹣b的范围即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，∴﹣1＜a＜2，﹣1＜b＜2，a﹣b＜0，∴﹣2＜2a＜4，﹣2＜﹣b＜1，∴﹣4＜2a﹣b＜5①，而a＜2，a﹣b＜0，则2a﹣b＜2②，综合①②得2a﹣b的范围是（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题考查了不等式的性质问题，是一道基础题．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是3≤x≤8且x为整数．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由集合B中有6个元素，考虑当A与B两集合的交集最少时，仅有一个元素时，得到两集合的并集有15个元素，根据全集有18个元素，得到两集合并集的补集有3个元素；当两集合的交集最多时，有6个元素时，两集合的并集有10个元素，得到两集合并集的补集有8个元素，所以得到两集合并集中元素x的取值范围．【解答】解：因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，∁U（A∪B）中有8个元素，则得到3≤x≤8且x为整数．故答案为：3≤x≤8且x为整数【点评】此题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，是一道综合题．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；构造法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，由单调性可得f（）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，即为m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，即有f（）＞0，且f（3）＞0，即为（t﹣2）+t2﹣4＞0，且3（t﹣2）+t2﹣4＞0，即有t＞2或t＜﹣且t＞2或t＜﹣5，解得t＞2或t＜﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意构造函数运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有7个；请将该问题推广到一般情况：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个．【考点】类比推理．【专题】综合题；集合思想；综合法；推理和证明．【分析】若a∈S，则必有7﹣a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可；针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，则必有7﹣a∈S，那么满足上述条件的集合S可能为：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7个；若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n}的元素个数为奇数个，因为a∈A，则n+1﹣a∈A，所以从集合{1，2，3，…，n}中取出两数，使得其和为n+1，这样的数共有对，所以此时集合M的个数有个，若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为个．故答案为：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个【点评】本题主要考查了子集的定义，以及集合的限制条件下求满足条件的集合，考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由题意E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果．【解答】解：∵设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，∴A∪B中只比N中少两个元素：0和1，∵E满足A∪B∪E=N，∴E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，∴这样的集合E有无数个．故选：D．【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质．14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．18【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等关系与不等式．【专题】综合题．【分析】利用不等式的基本性质，分别进行变形，可以得到，即为使成立的充分条件．【解答】解：由题意，b＞0＞a时，，∴；0＞a＞b时，，∴；a＞0＞b时，，∴；a＞b＞0时，，∴从而能使成立的充分条件的个数是3个故选C．【点评】本题以不等式为载体，考查充分条件，解题的关键利用不等式的基本性质，分别进行变形．16．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．【解答】解：A：|a﹣b|=|a﹣c+c﹣b|≤|a﹣c|+|c﹣b|=|a﹣c|+|b﹣c|，故A恒成立；B：由于由于函数f（x）=x+在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+＞a+，当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+＞a+，当a=1，a2+=a+．故B恒成立；C：由于．故C恒成立；D：若a﹣b=﹣1，则该不等式不成立，故D不恒成立故选D．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式a2+b2≥2ab成立的条件．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，运用作差法，结合因式分解，可得左边﹣右边=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，即可得证．【解答】证明：由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，又a2b+b2c+c2a﹣ab2﹣bc2﹣ca2=（a2b﹣ab2）+（b2c﹣ca2）+（c2a﹣c2b）=ab（a﹣b）+c（b﹣a）（b+a）+c2（a﹣b）=（a﹣b）（ab﹣bc﹣ac+c2）=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，所以a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查因式分解能力和推理能力，属于基础题．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，即可得出结论；（2）利用A∩B=B，可得B⊆A，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，a=2时，B={x|2x2﹣x+3＜0，x∈R}=∅；∴A∩B=∅；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，B=∅，，∴a≥；B≠∅，，∴0＜a≤综上，a＞0．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】命题α，β有且只有一个是真命题，知两个命题一真一假，故要分为两类求解，α真β假或α假β真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．【解答】解：由命题α：|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2，∴﹣1＜a＜3；∵方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非正实根，令f（x）=x2+（a+2）x+1，则f（0）=1，∴当无解时，△=（a+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜a＜0；当有两个非正根时，，解得a≥0．∴当方程x2+（a+2）x+1=0没有正根时，a的取值范围是：a＞﹣4．∵命题α，β有且只有一个是真命题，∴当α真β假时，得a∈∅；当α假β真时，得﹣4＜a≤﹣1或a≥3．∴命题α，β有且只有一个是真命题时，a的取值范围是（﹣4，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题β：方程x2+（a+2）x+1=0不存正实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无正根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价，该题是中档题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得（）2=1+≤2，由此能求出的最大值．（2）设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，由此利用均值定理能求出满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值．【解答】解：（1）∵x，y∈R+，∴（）2==1+≤2，当且仅当x=y时，对等号，∴当x=y时，的最大值为．（2）∵a，b∈R+，∴设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，∴2m+n≥=2，∵满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，∴2m+n≥k≥k=2k，∴2k，解得k，∴满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值为．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查满足不等式的实数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】新定义；等差数列与等比数列；集合．【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又由于＜＜…＜，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；＜，=1，=a2，…，=a n﹣1（3）根据（2），只要证明====a2即可求得集合A．【解答】解：（1）由于3×4，与或均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，∴该数集具有性质P．（2）证明：∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，=1，=a2，…，=a n，﹣1从而++…++=a1+a2+…+a n，∴；（3）由（2）知，当n=5时，有=a2，=a3，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得=∈A，且1＜=a2，∴==a2，∴====a2即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列，即有集合A={1，2，4，8，16}．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
M031：2015-2016高一下期末数学卷-七宝中学(含答案)
D.
12
条件的一个ϕ 值为
18. 若数列{an}的前 n 项和为 Sn ，则 列命题
1 若数列{an}是递增数列，则数列{Sn} 是递增数列
2 数列{Sn} 是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为 数 3 若{an}是等差数列 (d ≠ 0) ，则 S1 ⋅ S2 ⋅⋅⋅⋅⋅ Sk = 0 的充要条件是 a1 ⋅ a2 ⋅⋅⋅⋅⋅ ak = 0
参考答案
一. 填空题
1. 2kπ ± π (k ∈ Z ) 3
2π
2.
3
5
3.
3
4. [0, 5π ) 6
5.
an
=
−1, n = 1 −2 ⋅ 3n−2 , n ≥
2
6. 2k
86π
7.
3
145
8.
24
2n +1
10.
π 11. (0, ]
12. ±1
13. 4028
14.
2n
3
9. 377
二. 选择题 15. C
16. B
17. D
18. B
. 解答题
19. 1 an = n −1.5 < λ < 1 ，
2
n 为奇数， λ < ( 3)n−1 ，
2
λ ≠ 0 ， λ = −1
n 为偶数， λ > −( 3)n−1 ， 2
欢迎关注微信公众号 海初中学 指导 shhzhk 、 海高中学 指导 shhgaok
+ ⋅⋅⋅ +
nan
为 {an } 的
光阴
值，已知数列 {an } 的
光阴
值为
Hn
上海七宝中学自招数学试题
上海七宝中学自招数学试题今天分享几道能够比肩上海四大名校的七宝中学的自招数学试题。
题目一：计算 \frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}【详解】\frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\boxed{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\square一般我们看到分式化简第一时间想到的就是分母有理话，比如针对这道题应该分子、分母同时乘以 (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})。
这样做也是可以的，毕竟分母变成整数，肯定是能够做出来的。
不过，这样做分子的计算量比较大，且很容易就会算错了。
2015学年七宝中学高一年级上学期期末考试数学试卷
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数写出命题“若00x y >>且，则220x y +>”的否命题 【答案】若00022≤+≤≤y x y x ，则或 2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x =【答案】0【解析】2x x =，则0x =或1x =-(舍，由于不符合集合互异性) 3．若集合{}2M x x =<，{}lg(1)N x y x ==-，则M N =I【答案】)2,1(【解析】{}22M x =-＜＜ }{N=1x ＞4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 【答案】1【解析】2222ab a b ≤+= 1ab ∴≤ 5．函数31()lg 1xf x x x-=++的奇偶性为 【答案】奇函数 【解析】先求定义域101xx-+＞ 11x ∴-＜＜ 又()()()()()2311lglg 11x xf x xx f x x x----=-+=--=-+-+Q()f x ∴为奇函数6． 函数()2234x x x f --⎪⎭⎫ ⎝⎛=π的单调递增区间是【答案】（-3,-1）【解析】014πQ ＜＜且定义域为2320x x --＞，即31x -＜＜∴增区间为（-3，-1）7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 【答案】)2,2(-【解析】Q ()f x 为偶函数 ()20f ∴-= 又](,0-∞Q 是减 ](2,0∴-上()0f x ＜由于关于y 轴对称，()0,2∴上()0f x ＜8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 【答案】)4,0( 【解析】9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是【答案】()-1∞，+【解析】130321x x x ≤+>>-当时，解得012x x >+>当时，3恒成立()1,x ∈-+∞综上，10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 【答案】6- 【解析】2(2)2()122x b bf x y x x +-++===-++ ()2,+∞在上单调递减2,(4)24a f b b ∴=-+==-解得6a b ∴+=-11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =⋅I （4）()()()A B A B f x f x f x =+U 【答案】（1）（2）（3） 【解析】12．对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+- 的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 【答案】0,0=+>-b a b a 【解析】(1),()()1()()0()()0,()1()()()()(1)1,(2)()1(),(2)0,(3)()U A B U A B U A B A B A B U C A A A B A B x A x B f x f x x A x B x C B f x f x x A x B x C A B f x f x f x f x f x f x x C Af x f x x A f x ⋂⊆∈∈==∉∉∈==∉∈∈⋂==≤≤∈⎧==-⎨∈⎩Q 分类讨论：①当，则，此时，②当，且，即此时，③当，且，即时，，此时，综合有，故正确。
2015学年七宝中学高二下学期数学期末试卷
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高二年级下学期期末考试数学试卷(满分150分，时间120分钟)一、填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．一. 填空题1. 复数的实部是 ，虚部是【答案】0，【解析】由题可知的实部是0，虚部是综上所述，答案是：0；2. 232016i i i i⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （i 为虚数单位）【答案】1 【解析】21i =-，32i i i i =⋅=-，422211i i ===（）（-），54i i i i =⋅= 232016i i i i⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1 3. 复数221(23)()2z a a a a i =-+--+（a R ∈）在复平面内对应点位于第 象限【答案】四 【解析】由题意得2223120a a a -+=-+Q （）＞ 22111224a a a -+=-+（） 所以z 的实部大于0，虚部小于0，z 在复平面内对应点位于第四象限4. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能 排在一起，则不同的排法共有 种【答案】24【解析】本题考查排列问题商品,a b 排在一起有22A 种方法；将排在一起的,a b 看作一个元素，与,c d 外的另一元素进行全排列，有22A 种方法；而,c d 两种不能排在一起，将,c d 两元素插入前面产生的三个空中有23A 种方法.所以不同的排列方法总数为22222324A A A =5. 在复数范围内方程5x x =的解是【答案】01x x i x ==±=±或或【解析】5x x =Q50x x ∴-=22(1)(1)0x x x +-=01x x i x ∴==±=±或或6. 在某次数学考试中，学号为i （1,2,3,4i =）的同学的考试成绩(){85,87,88,90,93}f i ∈， 且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有 种【答案】15【解析】1、若()()1=2=85f f 分，则()()3442f f ，有选种 即6种若()()()1=8512f f f 分，且＜ 即4种2、若()()()()1=2=873432f f f f 分，则，有选种 即3种若()()()1=8712f f f 分，且＜ 即1种3、若()()()()1=2=88342 2.f f f f 分，则，有选 即1种若()()()1=8812f f f f f f 分，且＜时，则（2），（3），（4）无法选. 04、若()()()()()1=901=93234f f f f f 或分，则，，均无选法. 0综上：6+4+3+1+1=15种7. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”， 那么函数解析式为221y x =+，值域为{3,1,9}的“孪生函数”共有 个【答案】9【解析】由22213111y x x x x =+====-，得，即或，由222119933y x x x x =+====-，得，即或，即定义域内1-和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有三种结果， 33=9∴⨯共有种。
2015年七宝中学自招试卷及答案
2015年七宝中学自招试卷1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22a b +的最小值【答案】2【解析】2x =-Q 是220x ax b ++=的一个根，4220a b ∴-+=2a b ∴=+()222222244a b b b b b ∴+=++=++()22122b =++≥，所以最小值为22、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC【答案】【解析】如图，延长BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD BC ===，90BAE D ∠=∠=︒，Q E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴12AE AD =，12DF CD =，∴AE DF =，在ADF V 与BAE V 中AD AB BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADF V ≅BAE V ，∴DAF ABE ∠=∠，Q 90ABE AEB ∠+∠=︒，∴90DAF AEB ∠+∠=︒∴90APE ∠=︒Q BPG APE ∠=∠∴90BPG ∠=︒在ADF V 与CGF V 中90AFD GFC DCG D CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ADF V ≅CGF V ，∴CG AD =，∴CG BC =，∴162PC BG ==，3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
【答案】2015-【解析】令11a =-，21a =，31a =-，41a =……20141a =，20151a =-，所以每一项都是1-，可得最小值为2015-4、已知：[]x 为不大于x 的最大整数，在1,2,3,,2015⋅⋅⋅中，有______个数满足29x -=【答案】40【解析】Q 29x -=且x 在1,2,3,,2015⋅⋅⋅，∴9x ≥，当916x ≤<时，3=，29=，则18x =（舍）；当1625x ≤<时，4=，216=，则25x =（舍）；当2536x ≤<时，5=，225=，则34x =；当3649x ≤<时，6=，236=，则45x =；当4964x ≤<时，7=，249=，则58x =，……在后面()221n x n ≤<+中，每组都有一个数满足题意，Q22441936202545=≤<=，∴共有445140-+=个数满足29x -=5、已知221x y +=的值【答案】3【解析】Q 221x y +=∴11x -≤≤，11y -≤≤，且=∴10x +≥，20y -<，且()()120x y +-≥，∴()()120x y +-=∴1x =-，0y =，∴3= 6、113x x y -+++=的图像围成的面积是________ 【答案】6【解析】进行分类，利用113x x y -+++=对x 和y 进行分类；①1x ≤-，0y >时，23y x =+②11x -≤≤，0y >时，1y =③1x ≤，0y >时，23y x =-+④1x ≤-，0y <时，23y x =--⑤11x -≤≤，0y <时，1y =-⑥1x ≤，0y <时，23y x =-；可画出如图所示的图像为：可看出封闭图形为六边形，且上下分别为两个等腰梯形，则封闭图形面积为()1241262+⨯⨯= 7、方程20x ax b ++=与20x bx a ++=有一个公共根，另两个根为：12,x x ；方程20x cx d -+=与20x dx c -+=有一个公共根，另两个根为34,x x ，求1234x x x x 的取值范围(),,,0,.a b c d a b c d <≠≠【答案】【解析】根据题意，20x ax b ++=，20x bx a ++=，20x cx d -+=，20x dx c -+=均有两个公共根，由两个方程相减的计算可得方程20x ax b ++=与20x bx a ++=的公共根为1，方程20x cx d -+=与20x dx c -+=的公共根为1-，不妨令1x 为方程20x ax b ++=的根，2x 为方程20x bx a ++=的根，3x 为方程20x cx d -+=的根，4x 为方程20x dx c -+=的根，由韦达定理两根之积为c a有1x b =，2x a =，3x d =-，4x c =-且由韦达定理两根之和为b a -有1010b a a b +=->⎧⎨+=->⎩及1010d c c d --=<⎧⎨--=<⎩，则可得10101010a b c d -<<⎧⎪-<<⎪⎨-<<⎪⎪-<<⎩ ∴12340x x x x abcd =>又Q()()()()()()1234111x x x x ab c d a a d d ad a d ad =--=---+=+++且10,10a d -<<-<<∴20a d =--≥，即a d +≤-∴()())21234111x x x x ad a d ad ad ad ad=+++≤-=令t =01t <<∴)()()22222123411x x x x ad t t t t ≤=-=- 由二次函数的性质可知：当102t <≤时，2t t -随t 的增大而减小；当112t <<时，2t t -随t 的增大而增大； 所以2211022t t ⎛⎫-≤-< ⎪⎝⎭，即2104t t -≤-<，则()221016t t <-≤，即()221234116x x x x t t ≤-≤，综上，1234x x x x 的取值范围为12341016x x x x <≤ 附：无答案试卷1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22a b +的最小值2、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
2014-2015学年上海市七宝中学高二(上)期末数学试卷
2014-2015学年上海市七宝中学高二（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共12小题，共36.0分)1.抛物线y2+8x=0的焦点坐标为______ ．【答案】（-2，0）【解析】解：整理抛物线方程得y2=-8x，∴焦点在x轴，p=4，∴焦点坐标为（-2，0）故答案为（-2，0）．先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．2.双曲线3x2-y2=8的两条渐近线所成的最小正角为______ ．【答案】60°【解析】解：双曲线3x2-y2=8的两条渐近线方程为y=±x，则两条渐近线所成的锐角最小，且正切为||=，则有所求锐角为60°．故答案为：60°．求出双曲线的渐近线方程，再由两直线的夹角公式，计算即可得到所求锐角，即为最小正角．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查两直线的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．3.直线关于直线x=1对称的直线方程是______ ．【答案】x+2y-2=0【解析】解：直线关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为，且过（2，0）点，所求直线方程为：x+2y-2=0．故答案为：x+2y-2=0．本题求对称直线方程，先求斜率，再求对称直线方程上的一点，然后求得答案．考查对称知识，求直线方程，方法比较多；如采用相关点法、到角公式等方法．4.点A（1，3），B（5，-2），点P在x轴上使|AP|-|BP|最大，则P的坐标为______ ．【答案】（13，0）解：点B关于x轴的对称点为C，C（5，2），所以直线AC的方程为：y-3=-（x-1），即4y+x-13=0．令y=0，可得x=13，所以P（13，0）．故答案为：（13，0）．求出B关于x轴的对称点C，然后求出AC的直线方程，然后求出直线与x轴的交点，就是P的坐标．本题考查点关于直线对称点的求法，考查分析问题与解答问题的能力．5.已知焦点为（0，3）的双曲线方程是8kx2-ky2=8，则k= ______ ．【答案】-1【解析】解：双曲线8kx2-ky2=8化为-=1，∵双曲线的一个焦点为（0，3），∴--=32，解得k=-1．故答案为：-1．双曲线8kx2-ky2=8化为-=1，由于双曲线的一个焦点为（0，3），可得--=32，解出即可．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查运算能力，属于基础题．6.若直线x+2y+m=0，按向量，平移后与圆C：x2+y2+2x-4y=0相切，则实数m的值为______ ．【答案】-13或-3【解析】解：直线x+2y+m=0按向量，平移后变为（x+1）+2（y+2）+m=0，即x+2y+m+5=0．圆C：x2+y2+2x-4y=0，即（x+1）2+（y-2）2=5，表示以C（-1，2）为圆心、半径等于的圆．再根据平移后的直线和圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即=，解得m=-3或m=-13．故答案为：-13或-3．由条件根据函数的图象的平移规律可得平移后的直线方程为x+2y+m+5=0，再根据圆的切线性质求得m的值．本题主要考查函数的图象的平移规律，圆的切线性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.已知复数z=，则|z|= ______ ．1【解析】解：化简可得z=====+i，∴|z|==1故答案为：1．由复数代数形式的运算法则化简复数z，由模长公式可得．本题考查复数的求模，涉及复数的化简运算，属基础题．8.在抛物线y2=4x上有三点A，B，C，△ABC的重心是抛物线的焦点F，则= ______ ．【答案】6【解析】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）∵点F是△ABC重心，∴x1+x2+x3=3，∵|FA|=x1-（-1）=x1+1，|FB|=x2-（-1）=x2+1，|FC|=x3-（-1）=x3+1，∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6．故答案为：6．根据点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．本题重点考查抛物线的定义、方程和简单性质，考查学生的计算能力，解题的关键是判断出x1+x2+x3=3．9.关于x的方程x2+x+p=0（p∈R）至少存在一个根x0，若|x0|=1，则p= ______ ．【答案】-2或0或1【解析】解：当x0∈R时，由|x0|=1，得x0=±1，若x0=1，则1+1+p=0，即p=-2，此时方程x2+x+p=0化为方程x2+x-2=0，有两实数根；若x0=-1，则（-1）2-1+p=0，即p=0，此时方程x2+x+p=0化为方程x2+x=0，有两实数根；当x0为虚数时，若关于x的方程x2+x+p=0（p∈R）至少存在一个根x0，且|x0|=1，则x0为1的一个立方虚根，由此可知p=1．故答案为：-2或0或1．分x0为实数和虚数两种情况求解，当x0为实数时，直接代入球p，当x0为虚数时，由|x0|=1，借助于1的立方虚根求得p值．本题考查实系数一元二次方程根的问题，考查了代入法，是基础题．10.已知两点M（0，-5），N（4，3），给出下列曲线方程：①x+2y+1=0；②（x+1）2+（y+1）2=2；③；④．则曲线上存在点P满足|PM|=|PN|的方程的序号是______ ．【答案】②③【解析】解：问题可转化为线段MN的垂直平分线与所列曲线存在交点的问题．由x+2y+1=0与平行，可得不存在点P满足|PM|=|PN|；由与（x+1）2+（y+1）2=2联立，可得=0，方程有解，可知存在点P 满足|PM|=|PN|；由与联立，可得=1，方程有解，可知存在点P满足|PM|=|PN|；由与联立，可得0=1，不成立，可知不存在点P满足|PM|=|PN|；故答案为：②③．求出线段MN的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用方程有、无解，从而判断给出的曲线上是否存在点P，使得|PM|=|PN|．本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用方程有、无解判断两条曲线的位置关系，是中档题．11.若动点P在直线l1：x-y-2=0上，动点Q在直线l2：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x1，y1），且（x1-2）2+（y1+2）2≤8，则x12+y12的取值范围是______ ．【答案】[8，16]【解析】解：因为动点P在直线l1：x-y-2=0上，动点Q在直线l2：x-y-6=0上，设线段PQ的中点为M（x1，y1），所以M在直线x-y-4=0，又M满足（x1-2）2+（y1+2）2≤8，所以M的轨迹是直线x-y-4=0与圆及内部的公共部分，M是一条线段，如图：的几何意义是坐标原点到线段x-y-4=0（0≤x≤4）距离的平方，因为圆的图形过原点，所以的最小值为：8，最大值为：16，故的取值范围是[8，16]．故答案为：[8，16]．由题意求出M所在的直线方程与圆及内部的公共部分，M是一条线段，画出图形，通过的几何意义，求出它的范围即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，M表示的直线段以及表达式的几何意义是解题的关键，考查转化思想计算能力．12.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值K，那么甲的面积是乙的面积的K倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD、乙：小矩形EFCD）、②（甲：大直角三角形ABC乙：小直角三角形DBC）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是+=1（a＞b＞0）与x2+y2=a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______ ．【答案】πab【解析】解：由题意，用垂直于x轴的直线截圆与椭圆，得到的弦长分别为，m=2，n=2，故n：m=，故S椭圆：S圆=S：πa2=，故S=πab．故答案为：πab．由题意，用垂直于x轴的直线截圆与椭圆，得到的弦长分别为，m=2，n=2，从而解得．本题考查了合情推理的应用，同时考查了学生对新定义的接受能力，属于基础题．三、解答题(本大题共5小题，共48.0分)17.△ABC中，已知点A（3，-1）和点B（10，5），∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0，求BC边所在直线的方程．【答案】解：设A关于直线x-4y+10=0的对称点A′（x，y）则可得-4×+10=0，且•=-1，由对称性知A′在BC边所在直线上，∴直线BC的斜率k==-故直线BC的点斜式方程为：y-5=-（x-10）化为一般式可得：2x+9y-65=0【解析】由题意可得关于直线x-4y+10=0的对称点A′（x，y）在直线BC上，求A′的坐标可得直线BC的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的方程的求解，涉及对称点的求解，属基础题．18.已知：以点，，为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．【答案】解：（1）∵圆C过原点O，∴，设圆C的方程是，令x=0，得，，令y=0，得x1=0，x2=2t∴，即：△OAB的面积为定值；（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN，∵k MN=-2，∴，∴直线OC的方程是，∴，解得：t=2或t=-2，当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=-2x+4的距离，圆C与直线y=-2x+4相交于两点，当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），，此时C到直线y=-2x+4的距离，圆C与直线y=-2x+4不相交，∴t=-2不符合题意舍去，∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．【解析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．19.设P，Q是复平面上的点集，P={z||z-3i|=4}，Q={ω|ω=2iz，z∈P}．（1）P，Q分别表示什么曲线（指出形状、位置、大小）？（2）设z1∈P，z2∈Q，求|z1-z2|的最大值与最小值．【答案】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则由|z-3i|=4，得，即x2+（y-3）2=16．P表示以（0，3）为圆心，4为半径的圆；设ω=x1+y1i（x1，y1∈R），z=x0+y0i∈p，（x0，y0∈R），且ω=2iz，则，即，代入，得，故Q表示以（-6，0）为圆心，8为半径的圆．（2）|z1-z2|表示分别在圆P，Q上的两个动点间的距离．又圆心距离＜＜，∴|z1-z2|的最大值为，最小值为0．【解析】（1）设出复数z，代入||z-3i|=4可得P所表示的曲线，设出复数ω，z，由ω=2iz可得两复数实部和虚部的关系，再代入P可得Q所表示的曲线；（2）由两圆的位置关系求得两圆上动点距离的最大值与最小值．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了两圆间的位置关系，是中档题．20.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F．（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x A，y A），则，，因为F的坐标为（1，0），所以，，由，得（x-x A，y-y A）=-2（x A-1，y A）．即，解得代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x．（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），则，解得．若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或．所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（，）．【解析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A 点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的端点分别为B1，B2，且•=-a．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，-b），B2（0，b），则，，，．∵=-a，∴1-b2=-a，又∵a2-b2=1，解得a=2，．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．联立得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．∴弦MN的中点P，．∴|MN|===．直线PD的方程为．∴|DP|=．∴===．又∵k2+1＞1，∴＜＜，∴＜＜．∴的取值范围是，．【解析】（Ⅰ）利用数量积即可得到1-b2=-a，又a2-b2=1，即可解得a、b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段MN的中点P的坐标，利用弦长公式即可得到|MN|，利用点斜式即可得到线段MN的垂直平分线DP的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|DP|，进而得出的关于斜率k的表达式，即可得到其取值范围．熟练掌握直线与椭圆的相交问题转化为一元二次方程根与系数的关系、线段MN的中点坐标公式、弦长公式、点斜式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公式或点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键..二、选择题(本大题共4小题，共16.0分)13.已知点P1（1，1），P2（5，4）到直线l的距离等于，则这样的直线l共有（）条．A.2B.3C.4D.无数条【答案】B【解析】解：∵点P1（1，1），P2（5，4），∴|P1P2|==，若点P1（1，1），P2（5，4）到直线l的距离等于，∴当l是线段P1P2的中垂线时，满足条件，此时满足条件的直线只有一条，若P1（1，1），P2（5，4）在直线的l的同侧，则满足l∥P1P2，则到直线l的距离等于的直线有2条，故选：B根据点P1（1，1），P2（5，4）在直线的l的同侧或两侧进行判断即可．本题主要考查点到直线距离相等的应用，讨论点与直线的位置关系是解决本题的关键．14.设（n∈N），则集合{x|x=f（n）}中元素个数是（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C【解析】解：∵==i，∴==-i，根据虚数单位i的幂运算性质，=i n+（-i）n=，，，，或，，，，故集合{x|x=f（n）}中元素个数是3个，故选：C．依据两个复数代数形式的除法法则，化简：和，得到f（n）=i n+（-i）n，分n=4k，n=4k+1，n=4k+2，n=4k+3这四种情况分别求出f（n）的值，即得结论本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点．15.设M（x0，y0）为抛物线C：x2=4y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A.（0，1）B.[0，1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为：y=-1，设F到准线的距离d1，M（x0，y0）到准线的距离d2，则d1=2，d2=y0+1=|FM|（抛物线定义），依题意得：|FM|＞d1=2，即y0+1＞2，解得：y0＞1．∴y0的取值范围是（1，+∞）．故选C．由条件求得抛物线的焦点和准线方程，由直线和圆相交的条件可得|FM|＞2，由抛物线的定义|FM|可由y0表达，由此可求y0的取值范围．本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用．抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理．16.在平面直角坐标系中，若x与y都是整数，就称（x，y）为整点，下列命题中正确的是（）②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．A.①⑤B.②④C.④⑤D.①③⑤【答案】D【解析】解：①直线y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，∴命题①正确；②当k=，b=-时，直线y=x-过整点（1，0），∴命题②错误；③设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1-y2=k（x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，∴命题③正确；④当直线y=kx+b经过无穷多个整点时，k、b都是有理数，如y=x+1，∴充分性成立；反之，当k、b都是有理数时，直线y=kx+b经过无穷多个整点，不一定成立，如y=x+，∴必要性不成立；∴命题④错误；⑤直线y=x只过一个整点（0，0），∴命题⑤正确．综上，正确命题有3个，序号是①③⑤．故选：D．①举例子说明命题是真命题；②举反例说明命题是假命题；③取直线l的两个不同整点，设方程为y=kx，把两整点的坐标代入l的方程，两式相减得到两整点的横、纵坐标之差的那个点也为整点且在l上，由此得到直线l经过无穷多个整点，判定命题为真；④利用充分必要条件判断即可；⑤举例子说明命题为真命题．本题考查了判定命题真假的问题以及对题中新定义的理解能力，是中档题．高中数学试卷第11页，共11页。
上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷理(含解析)
上海市闵行区七宝中学20 15届高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）.把答案直接填写在答题卷的相 应位置上.1. （4 分）已知集合 A={0, 1, a} , B={0, 3, 3a}，若 A A B={0, 3}，则 A U B=.2. （4分）复数i :在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 a=.2-i3. （4分）在等比数列{a n }中，a 1=8, a 4=a 3?a 5，则此数列前n 项和为.F（ — y ）4. （4分）已知偶函数（乂）在（0,+8）上为减函数，且（2）=0,则不等式一X 的解集为.6. （4分）在极坐标系中，圆 p =2与直线p cos 0 + p sin 0 =2交于A, B 两点，O 为极点，则''=.7. （4分）如图是底面半径为1 ,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体， 则该组合体的体积为.a 的值为5,则输出k 的值为.& （4分）若二项式（x+_J ） n 的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数|x与第六项的系数之比为1: 4，则其常数项为.9. （4分）某类产品按工艺共分 10个档次，最低档次产品每件利润为 8元•每提2014-2015 学年高一个档次，每件利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档产品 60件，每提2014-2015 学年高一个档次将少生产 3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是.10. （ 4分）从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为.11. （ 4分）函数f （x ） =Asin （3 x+0）（其中A > 0, | $ | v 丄）的图象如图所示，为了得22 212. （4分）过点（2怎,0）且方向向量为（k , 1）的直线与双曲线卫一=1仅有一个交点，8 4则实数k 的值为.13. （ 4分）某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟） ，并将所得数据绘 制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是 [0 , 100]，样本数据分组为[0 ,20）, [20 , 40）, [40 , 60） , [60 , 80）, [80 , 100].则该校学生上学所需时间的均值估计为.（精确到1分钟）f （x ）的图象向右最小平移个长度单位.(1 ¥ 匕p14. (4分)已知全集为U P?U定义集合P的特征函数为f ■，对于A?U,迈8 1学^CyPB?U,给出下列四个结论：①对?x € U,有如⑸悅(Q习;lk②对？ x € U,若A?B,贝y f A (x )<f B (x);③对？X €U,有f A AB ( x ) =f A ( X) ?f B ( x)；④对？X €U,有f A UB ( x) =f A ( x) +f B ( x).其中，正确结论的序号是.二、选择题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)•每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上.15. ( 5分)已知函数f (x) =2x+1，对于任意正数a, |x i - x?| < a 是|f (xj- f (X2) | < a 成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16. ( 5分)函数f (x) =3- log 2 (- x)的零点所在区间是()A. ( —2 —2)B. (- 2, - 1)C. (一1,—吕)D. (1, 2)17. ( 5分)如果函数y=|x| - 1的图象与方程x2+入y2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数入的取值范围是()A. (-a,- 1] U [0 , 1)B. [ - 1 , 1)C. { - 1 , 0} D .[-1, 0)U( 1 , +a)18. (5分)设等差数列{a n}的前n项和为S,已知(引_]\ *2012 (巧一1)=1 ,J ^2006 - 1)一1)二-1，则下列结论正确的是()A. $012=2012, a2012< a7B. S2012=2012, a2012> a7C. So12=—2012 , a2012 < a7D. S2012= - 2012, a2012> a7三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分.19. (12分)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且r-=-.(I)求r: _ - t --二「-的值；(n)若“二J丨求△ ABC面积的最大值.20. (13分)已知向量;=(x2- 3, 1 )，E = (x,- y),(其中实数x和y不同时为零)，当凶(1) 求函数关系式y=f (x );(2) 若对任意x €(-g,- 2)U [2 , +8)，都有m > f ( x )恒成立，求实数 m 的取值范围.21 . (13分)如图所示，在三棱锥P - ABC 中，PDL 平面ABC ,且垂足D 在棱AC 上，AB=BC=:, AD=1, CD=3 PD=*苗.(1) 证明△ PBC 为直角三角形；(2) 求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.222. ( 18分)已知椭圆x 2+ =1的左、右两个顶点分别为 A , B,曲线C 是以A , B 两点为顶点，4焦距为2 J 的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点 T .(I)求曲线C 的方程；(H) 设P, T 两点的横坐标分别为 X 1, X 2,求证：X 1?X 2为定值；- - 2(川)设厶TAB 与厶POB(其中o 为坐标原点)的面积分别为 S 1与S 2，且「丨■ < 15,求S 1-S 22的取值范围.23. (18 分)实数列 a o , a 1, a 2, a 3,…，由下述等式定义： a n+1 =2n -3a n , n=0, 1, 2,3,…(I) 若a °为常数，求a 1, a 2, a 3的值；(2)令b n = … ，求数列{b n } (n € N)的通项公式(用 a 。