7-7-1二重积分定义与性质
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的几何意义上下限
二重积分的几何意义上下限摘要：一、二重积分的概念1.二重积分的定义2.二重积分的性质二、二重积分的几何意义1.坐标系中的二重积分2.极坐标系中的二重积分3.柱面坐标系中的二重积分4.球面坐标系中的二重积分三、二重积分的上下限1.上下限的确定2.上下限对结果的影响正文：二重积分是数学中的一种积分方法，用于求解多元函数的定积分。
在二重积分中，我们需要对一个二元函数在某个区域内的值进行积分。
为了更好地理解二重积分，我们首先需要了解它的几何意义以及上下限的概念。
一、二重积分的概念1.二重积分的定义：给定一个二元函数f(x, y)，在定义域D = {(x, y) | 约束条件}内，求解以下积分：∫∫_D f(x, y) dx dy2.二重积分的性质：二重积分满足交换律、结合律、分配律等性质，与一元积分类似。
二、二重积分的几何意义1.坐标系中的二重积分：在直角坐标系中，二重积分表示区域D内的函数f(x, y)与x轴、y轴所围成的曲面的有向面积。
2.极坐标系中的二重积分：在极坐标系中，二重积分表示以极径r和极角θ为变量，区域D在极坐标系中的有向面积。
3.柱面坐标系中的二重积分：在柱面坐标系中，二重积分表示以柱面半径r 和柱面角θ为变量，区域D在柱面坐标系中的有向面积。
4.球面坐标系中的二重积分：在球面坐标系中，二重积分表示以球面半径r 和球面角θ为变量，区域D在球面坐标系中的有向面积。
三、二重积分的上下限1.上下限的确定：在求解二重积分时，我们需要确定积分区域的上下限。
通常情况下，我们可以根据区域的边界来确定上下限。
例如，在直角坐标系中，我们可以根据x轴和y轴的截距来确定上下限。
2.上下限对结果的影响：二重积分的上下限对积分结果有直接影响。
当上下限发生变化时，积分结果也会相应地发生变化。
因此，在求解二重积分时，我们需要仔细确定上下限，以保证结果的准确性。
总之，二重积分是一种重要的积分方法，它具有丰富的几何意义。
二重积分的概念与性质
b
n
f (i )xi ———积分和.
i 1
n
下页
二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi . a f (x)dx 0
i1
b
n
根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 A f (x)dx . a 变速直线运动的路程为 S T v(t)dt .
i 1 i 1 b n n b
下页
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直 线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x) 及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
0 i 1
n
A lim f ( i )xi .
0 i 1
n
下页
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1< i<ti ); (3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
b
a f (x)dx a g(x)dx (a<b).
•推论2 | f (x)dx | | f (x) | dx (a<b). a a •性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
b b
b
b
第一节二重积分的概念与性质
∫∫ D
f ( x , y )d σ
∫∫
D
f (x, y)dσ
才是该曲顶柱体 则
的体积； 的体积； f (x , y)在 定义区域 D 上有正有负时 上有正有负时, 当 )
二重积分 ∫∫ f ( x , y )d σ 的值为 xy 平面上方柱体体 积之和减去下方柱体体积之差. 积之和减去下方柱体体积之差
∫∫[ f (x, y)± g(x, y)] dσ =∫∫ f (x, y)dσ ±∫∫ g(x, y)dσ. D D D
性质 3 积分之和， 积分之和， 即
如果区域 D 被分成两个子区域 D1 与 D2，
则在 D 上的二重积分 等于各子区域 D1、D2 上的二重
∫∫ f (x, y)dσ =∫∫ f (x, y)dσ +∫∫ f (x, y)dσ.
D
二、二重积分的性质
性质 1 被积函数中的常数因子 可以提到二重积 分号的外面， 分号的外面， 即
∫∫ kf ( x , y )dσ = k ∫∫ f ( x , y )dσ (k为常数 ).
D D
函数的和(或差) 性质 2 函数的和(或差)的二重积分 等于各个函 数的二重积分的和(或差) 数的二重积分的和(或差)， 即
D D 1 D 2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 . 性质4 性质 如果在 D 上， f(x, y) = 1，且 D 的面积为 ，
σ，则
∫∫ d σ D
=σ.
性质 5 如果在 D 上， f ( x, y)≤ g( x, y), 则
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ g( x, y)dσ . D D
mσ ≤
∫∫ D
f ( x, y)dσ ≤ Mσ .
二重积分的概念与性质
2.二重积分的概念
定义 设函数 f (x, y) 是有界闭区域 D上的有界函数，
用任意一组曲线网分割D成
n
个小区域
Δσ1
,
Δσ
2
,,
Δσ
，
n
Δσi 既表示第i小块, 也表示第i 任取一点 (ξi , ηi ) Δσi , 作和式
小区域的面积.
n
f (ξi , ηi )Δσ
i
在
.
Δσ
i
上
记
D
D
(2) (数乘性) kf (x, y)dσ k f (x, y)d
D
(k为常数).
D
D
(3) (区域可加性) f ( x, y)dσ f (x, y)dσ f (x, y)dσ.
D1 D2
D1
D2
(4) (单调性) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y)， 则有
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．
练习题
一、 填空题: 1. 当函数 f ( x, y)在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 .
y y0 )2 2
,
其中f ( x, y)为连续函数.
Solution.
原式
lim
ρ0
1 πρ
2
f (ξ, η) πρ2（积分中值定理）
lim f ( ,)
0
lim f ( ,)
二重积分的概念与性质
(2)二重积分与被积函数和积分区域有关，与积分变量 的表示无关。即
f x, ydxdy f u,vdudv
D
D
(3)二重积分的几何意义：若f(x, y)0,二重积分表示以 f(x, y)为曲顶，以Байду номын сангаас为底的曲顶柱体的体积；若f(x, y)0,二 重积分表示曲顶柱体的体积的负值；当f(x, y)有正、有负时， 二重积分就等于这些区域上柱体体积的代数和。
存在，则称此极限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分，记作
f x, yd ，即
D
n
D
f x, yd
lim 0 i1
f
i ,i k
关于二重积分的几点说明: (1)当f(x, y)在闭区域D上连续时， f(x, y) 在D上的二重积 分必定存在。以后总假定f(x, y)在D上连续。
高等数学
二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义
定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数．将D任意分成 n个小区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，小区域Δσi的面积仍记为
n
Δσi．在Δσi内任取一点(ξi, ηi)，作和式 f (i ，i )i 。 i 1
如果当各小区域中的最大直径λ趋于零时，若此和式的极限
f x, yd f x, yd f x, yd
D
D1
D2
性质4 若在D上，f(x, y)=1，σ为区域D的面积，则
1d = d
D
D
性质5 若在D上，f(x, y) σ(x, y)，则有不等式
f x, yd x, yd
D
D
特殊地,由于-|f(x, y)| f(x, y) |-f(x, y)| ， 又有
二、二重积分的性质
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
二重积分的概念、性质、计算(1)
授课章节及题目
二重积分的概念、性质（1）
授课时间
周二第3、4节
课次
1
学时
2
教学目标与要求
1、了解二重积分的定义
2、掌握二重积分的性质
教学重点
与难点
教学重点：二重积分的性质
教学难点：二重积分的概念
教学用具
无
教学过程
环节、时间
授课内容
教学方法
课程导入
（5分钟）
复习定积分的几何意义
讲解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提问
新课讲解
（35分钟）
新课讲解
（35分钟）
新课讲解
（35分钟）
一、二重积分的概念
在讲解此定义的时候要提醒学生我们可以利用类比的方法（与定积分相比较）同时，我们要时刻提醒学生二重积分的几何意义。对二重积分的存在性定理只要稍加说明即可，对本定义的讲解侧重点在让学生了解。
二、二重积分的性质
在书上所介绍的6个性质中，结合本校学生的特点应该重点应该放在前3个性质。在此，也可以同定积分的性质进行类比学习，这样学生可能比较好理解。
讲解
讲解
启发
引导
讲解、启发
课后小结课后作业
（5分钟）
本次课主要讲解了二重积分的概念以及二重积分的性质
课后详细阅读二重积分的计算一节内容
教学反思
板书设计
课程导入：
复习定积分的几何意义
二、二重积分的概念
三、二重积分的性质
四、课后小结及课后作业
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
二重积分数值计算方法
二重积分数值计算方法二重积分是数学分析中的重要概念，用于计算平面区域上的面积、质心、重心等物理量。
而二重积分的数值计算方法则是将二重积分转化为数值计算问题，通过近似的方式求得积分的近似值。
本文将介绍二重积分数值计算方法的原理和常用算法。
一、二重积分的定义和性质二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：∬f(x,y)dA = limΔx,Δy→0 ΣΣf(xi,yi)ΔA其中，f(x,y)为定义在平面区域D上的函数，ΔA为平面上的小面积，ΣΣ表示对所有小面积求和。
二重积分具有线性性质和可积性质，可以按照不同的积分顺序进行计算。
二、二重积分的数值计算方法由于二重积分的计算通常比较复杂，无法直接求得解析解，因此需要借助数值计算方法来进行近似计算。
常用的二重积分数值计算方法有以下几种：1. 矩形法矩形法是最简单的数值计算方法，将平面区域划分为若干个小矩形，然后在每个小矩形中选取一个点进行函数值的计算，最后将所有小矩形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
矩形法的精度较低，适用于简单的计算问题。
2. 梯形法梯形法是将平面区域划分为若干个小梯形，然后在每个小梯形中计算两个顶点的函数值，并将两个顶点的函数值加权平均，最后将所有小梯形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
梯形法的精度较矩形法高，适用于一般的计算问题。
3. 辛普森法辛普森法是将平面区域划分为若干个小矩形和小梯形，然后在每个小矩形和小梯形中计算三个顶点的函数值，并将三个顶点的函数值加权平均，最后将所有小矩形和小梯形的函数值相加并乘以对应的小面积即可。
辛普森法的精度较高，适用于复杂的计算问题。
4. 蒙特卡洛法蒙特卡洛法是通过随机采样的方式来进行积分的近似计算，将平面区域内的点随机散布，然后计算这些点的函数值并求平均，最后将平均值乘以平面区域的面积即可。
蒙特卡洛法的精度较高，适用于复杂的计算问题。
二重积分数值计算方法在实际问题中具有广泛的应用，例如计算平面区域的面积、质心、重心等物理量。
二重积分的概念与性质(精)
2 [ln( x y )] d . ln( x y ) d
D
D
四、小结
二重积分的定义
（积分和式的极限）
（曲顶柱体的体积）
二重积分的几何意义 二重积分的性质
作业：93页 4，5
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及
积分区域有关．
不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函
数为定义在区间上的一元函数;
二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．
(2) 二重积分值仅与 f ( x , y ) 及 D 有关， 与积分变量符 号无关，即
f ( x , y )d f ( u, v )d
D D
(3) 当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负 值．
1 M ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 4 1 1 m f ( x , y ) 的最小值 5 32 42 ( x 1, y 2) 故1 I 1 0.4 I 0.5. 5 4
例3
比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
e
ab e
D
( x2 y2 )
( x2 y2 )
例2
估计 I
D
d 的值， 2 2 x y 2 xy 16
二重积分的概念与性质
四、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
二重积分的性质（7条性质） 二重积分的性质
∫∫ f ( x , y )dσ = D
f ( ξ , η) σ
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
利用二重积分的几何意义， 例2 利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分 的值： 的值：
∫∫
D
4 x y dxdy , 其其 D = {( x , y ) x + y ≤ 2}
2 2 2 2
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
练习： 练习：
比较下列各组积分的大小： 比较下列各组积分的大小：
(1) I 1 = ∫∫ ( x + y )2 dxdy , I 2 = ∫∫ ( x + y )3 dxdy
分割、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 取极限”的方法，如下动画演示． 、取极限”的方法，如下动画演示．
分割、近似、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分的概念与性质
m
1 e0
ex2 y2 ea2
M
e d ( x2 y2 ) ea2
D
ab e d ( x2 y2 ) abea2
D
22
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二重积分的概念与性质
性质6(二重积分中值定理) 设f ( x, y)在闭区域
D上连续,σ为D的面积, 则在D上至少存在一点
( ,), 使得
存在.
f ( x, y)d
D
连续函数一定可积
注 今后的讨论中, 都假定被积函数在相应的 积分区域内总是连续的.
14
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二重积分的概念与性质
3. 二重积分的几何意义
(1) 当 f ( x, y) 0时,二重积分是柱体体积; (2) 当 f ( x, y) 0时,二重积分是柱体体积的负值; (3) 当f ( x, y)在D上的若干部分区域上是正的, 而在其它的部分区域上是负的. 那末, f ( x, y) 在D上的二重积分就等于 这些部分区域上的 柱体体积的代数和.
( A) I1 I2 .
(B) I1 I2.
(C ) I1 I2.
(D) 无法比较.
y x y1
1•
(2,1)
•
• •
o 12
( x, y) D, x y 1,
( x y)2 ( x y)3.
x
20
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二重积分的概念与性质
性质5(估值性质) σ为D的面积, 则
设f (x, y) g(x, y) ( x, y) D,
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
[f ( x, y) g( x, y)]d
山东专升本高数《二重积分》超全知识点(二)2024
山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。
本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。
希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。
二重积分的定义
这一部分将介绍二重积分在实际应用中的一些具体场景，如流体力学和电磁学等。
变量代换与雅各比行列式的计算
我们将详细讨论如何利用变量代换和雅各比行列式来简化二重积分的计算过程。
解答复习题
最后，我们提供一些复习题的解答，供读者巩固并检验所学的知识。
二重积分的定义
二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。本 演示将带您深入了解二重积分的定义及其应用。
引言
引言部分将介绍什么是二重积分以及它的起源，同时概述一些基本概念，为 后续内容做好准备。
二重积分的定义
在这一节中，我们将详细讨论二重积分的定义，并解释如何通过对积分区域 进行分割和求和来计算二重积分。
我们将详细讨论在极坐标下计算二重积分的特点和步骤，并通过实例演示其 计算过程。
对称性质
这一节将介绍二重积分的对称性质，以及如何利用对称性质简化计算过程。
用二重积分求面积
我们将展示如何用二重积分来计算平面图形的面积，并通过实例演示其应用。
重心的坐标
我们将研究如何通过二重积分来计算平面图形的重心坐标，并解释其物理意 义。
二重积分的换元法
换元法是计算二重积分的重要方法，我们将学习如何通过换元法简化计算过程，并举例说明其应用。
常用积分公式
这一部分将介绍常用的积分公式，帮助我们更方便地计算二重积分。
求解一些具体二重积分
我们将通过计算一些典型的具体二重积分，加深对二重积分计算方法的理解。
应用
二重积分在数学和物理学中有着广泛的应用，我们将介绍一些典型的应用领域。
与三重积分的关系
在这一节中，我们将探讨二重积分与三重积分之间的联系，并解释它们在几何和物理学中的关系。
二重积分的概念和性质
例 3 判断 ln( x2 y2 )dxdy的符号.
r x y 1
解 当r x y 1时, 0 x2 y2 ( x y )2 1,
故 ln( x2 y2 ) 0; 又当 x y 1时, ln( x2 y2 ) 0,
于是 ln( x2 y2 )dxdy 0.
10
由于
D
1 102
100
1 cos2 x
cos 2
y
1 100
10
o 10 x
10
积分性质5
200 I 200 102 100
即: 1.96 I 2
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
四、小结
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 （与定积分类似）
r x y 1
练习 1、
比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
解：三角形斜边方程 x y 2
在 D 内有 1 x y 2 e,
故 ln( x y) 1,
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M （二重积分估值不等式）
D
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f (,) （二重积分中值定理）
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D
S
0
y D
d dxdy
D D
x
kdxdy kSD1(3).设f ( x , y ), g ( x , y )在有界闭区域D上可积，则对任何
实数 , , f ( x , y ) g ( x , y )在D上可积，且
f ( x , y ) g( x , y ) dxdy
i 1
(2). 积分值(极限值)与区域D的分法及( xi, yi )的取法 无关.
(3).二重积分是个数，与积分变量用什么字母无关
f ( x, y)d f (u, v)d
D D
(4).二重积分的几何意义
设 z=f( x, y ) 在 D上可积, 则
(i) 当z=f (x, y)0时,
D
f ( x , y )dxdy g ( x , y )dxdy
D D
这个性质称二重积分的线性性质。
(4).二重积分对积分区域具有可加性.
设f ( x , y )在有界闭区域D上可积，若闭区域D分成 两个区域D1 , D2 , 且除边界点外，D1 , D2无公共内点，则f ( x , y ) 在D1 , D2上可积;反之，若f ( x , y )在D1 , D2上都可积，则f ( x , y )
步骤如下：
⑴.分割：曲顶柱体的底
z
z f ( x, y)
⑵.近似替换：用小长方 体体积近似替换小曲顶 柱体体积。 ⑶.求和
⑷.取极限
x
n
o
D
y
(i ,i )
i
V
lim f (i ,i ) i
0
i 1
V lim f ( i , i ) i .
0
于是 d = dx dy 故也将二重积分写成 Di
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D D
D
2.二重积分的性质
(1). 二元函数可积性
f( x, y )有界
f( x, y )可积 f( x, y )在有界闭 区域D连续
(2).若区域D的面积为，则
z 1dxdy O 0dxdy
(ii) 当z= f (x, y)<0时,
f ( x, y)d
D D
V
f ( x, y)d -V
(iii) 若z=f( x, y )在D内有正有负时
f ( x, y)d 曲顶柱体体积的代数和
D
(5).若将D用平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)
则除边界上区域外, Di的面积i = xi yi,
D
(6).(二重积分中值定理 )设f ( x , y )在有界闭区域D上
连续, 则存在一点( , ) D, 使得
f ( x, y )dxdy f ( , )
D
其中 为区域D的面积。
f ( x , y )d 称为函数f ( x , y )在区域D上的平均值。
D
1
lim f ( xi , yi ) i .
d 0 i 1
n
存在，则称此极限值为函数f (x, y)在区域D上的二重积分， 记为
D
f ( x, y)d
f ( x, y )d
D
lim f ( i , i ) i
0 i 1
n
.
积 分 区 域
被 积 函 数
( x, y ) D
则
f ( x, y )dxdy g( x, y )dxdy
D D
推论：① 若f ( x, y)在有界闭区域D上可积, 且 f ( x, y ) 0 ( f ( x, y ) 0), ( x, y ) D
则
f ( x, y )dxdy 0 ( f ( x, y)dxdy 0)
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素
积 分 和
对二重积分定义的说明：
(1). 二重积分是定积分的推广
定积分：
二重积分：
D
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
0
i 1
n 0 i i i
n
f ( , ) f ( x, y)d lim
§7.7 二重积分
一. 二重积分的定义和性质 二. 二重积分的计算
一. 二重积分的定义和性质
回忆一元函数定积分的定义： 求曲边梯形面积。
y y = f ( x)
f ( i) 1.分割 2.近似计算 3.求和 4.取极限
lim f (i ) xi
0 i 1
n
0
a
xi i xi+1
i 1
n
D
f ( x, y) d
二重积分定义
设二元函数z=f (x, y)定义在有界闭区域D上，将D任意分割 n个无公共内点的小区域Di (i=1, 2, …, n), 并以i和di分别 表示第i个小区域的面积和直径，d=max{d1,d2, …,dn}. 在每个小区域上任取一点(xi, yi)，当d 0时，如果极限
在D上可积，且有
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d
D D1 D2
即二重积分对积分区域具有可加性.
D2
D1 D
(5).若函数f ( x , y ), g ( x , y )在有界闭区域D上可积, 且
f ( x , y ) g( x , y )
b
x
f ( x)dx
a
b
1.二重积分的定义 求曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
z f ( x, y)
D
底面：xOy 面上的区域D 侧面：柱面 顶面：曲面 z= f (x, y)0 称为曲顶柱体. 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似计算 、求和、取极限”的微元法
D D
② 若f ( x , y )在有界闭区域D上可积, 则 f ( x , y ) 在D上可积且
f ( x , y )dxdy
D D
f ( x , y ) dxdy
③ 若f ( x, y)在有界闭区域D上可积, 且有最大值M 和最小值m,
为D的面积, 则
m f ( x , y )dxdy M