九年级数学 第一章第13节用计算器求锐角的三角函数值 鲁教版

九年级数学 第一章第1-3节用计算器求锐角的三角函数值 鲁教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第一章 解直角三角形 第一节 锐角三角函数

第二节 30°，45°，60°角的三角函数值 第三节 用计算器求锐角的三角函数值

二. 教学目标：

1. 认识并理解锐角三角函数的概念，能够正确地应用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两条边之比，体会数形结合思想。

2. 理解并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，会计算含有特殊锐角三角函数值的式子的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它所对应的角度。

3. 掌握用计算器求已知锐角的三角函数值，以及由已知三角函数值求它所对应的锐角的方法。

三. 教学重点、难点：

锐角三角函数的概念中关于比的理解。

四. 教学过程： （一）知识点：

1. 锐角三角函数的概念 ：

1）正弦：一般地，在Rt ΔABC 中（如下图）∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫∠A 的正弦，记作sinA 。sinA=

c

a AB BC A ==∠斜边的对边。

2）余弦：一般地，在Rt ΔABC 中（如上图）∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与斜边

的比叫∠A 的余弦，记作cosA 。cosA=

c

b AB AC A ==∠斜边的邻边。

3）正切：一般地，在Rt ΔABC 中（如上图）∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边

的比叫∠A 的正切，记作tanA 。tanA=b

a AC BC A ==∠邻边的对边。

注：如果一个锐角的角度确定之后，那么这个角的正弦值、余弦值、正切值是固定不变的，比值的大小与锐角的边长无关。 2. 特殊锐角三角函数的值

度数 三角 函数

30° 45° 60°

sin α 21 22 23 cos α 23 22

21

tan α

33

1

3

如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°

设BC ＝k ，则AB ＝2k

由勾股定理得AC k =3

∴°sin3021

2===

BC AB k k cos30323

2°===

AC AB k k

tan3033

3°=

==BC AC k k

用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。

3. 锐角三角函数的性质

1）锐角A 的正弦、余弦，正切值的取值范围

1A sin 0<< 1A cos 0<<

0A tan >

2）增减性：

正弦值随锐角A 的度数的增大而增大 余弦值随锐角A 的度数的增大而减小 正切值随锐角A 的度数的增大而增大 3）同一锐角三角函数之间的关系

平方和关系：1cos sin 2

2

=α+α 4）两个互余锐角三角函数的关系： 在Rt ΔABC 中，∠A+∠B=90° 则有（1）sinA=cosB （2）tanA ·tanB=1 5）补充：

一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值 一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值 4. 用计算器求锐角三角函数值（略）

【典型例题】

例1. 已知△ABC 中，AC ＝7，BC ＝24，AB ＝25， 求sinA ，cosA ，tanA ，sinB ，cosB ，tanB

分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断△ABC 是直角三角形。

解：∵AC ＝7，BC ＝24，AB ＝25

AC BC 2222724625+=+= AB 2225625== ∴AC BC AB 222+=

∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°

由三角函数定义得：sin A BC AB =

=24

25

cos A AC AB =

=7

25 tan A BC AC ==

24

7

由互余角的关系得：

sin cos B A ==

725 cos sin B A ==

24

25 tan tan B A ==

17

24

例2. 已知△中，∠＝°，，求，Rt ABC C 90sin cos tan A A A =

5

13

分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。 法一：如图

解：∵sin A =

513

∴设，BC k AB k ==513

由勾股定理得：AC ＝12k

∴cos A AC AB k k =

==121312

13 tan A BC AC k k ===

5125

12

法二：解：∵，sin cos sin 221513

A A A +==

∴cos sin (

)()2222115131213A A =-=-=

又∠A 为锐角，cosA ＞0

∴cos A =

1213

tan sin cos A A A ===

5

1312135

12

变式训练：已知在△RtABC 中，∠C=90°，13

5

A sin =，周长为60cm ，求斜边c 的长。 边c 的长。

提示：可引进参数法。

例3. 计算：

（）°°°°°

1301

24545202022sin (sin cos )sin cos ++--

（）°°°°·°260451451

603022sin sin tan tan cos +++-

分析：略

解：（）原式×°°1121222

2

2

202022=++

-+()(sin cos ) =

+-12221 =

-212

（）原式×

2322

2

11133

222=+++-(

)()

=

++-

3424

2132

=-=134233112

例4. 已知锐角满足，求的值。αααα-+

-=23102cos sin