2017年上海春季高考数学试卷(附简析)
2017年上海高考数学真题试卷(word解析版)
6 绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 5、4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4}，集合 B = {3, 4,5}，则 AB =2. 若排列数P m= 6 ⨯ 5 ⨯ 4 ，则m =3. 不等式x -1> 1 的解集为 x4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于5. 已知复数 z 满足 z + 3= 0 ，则| z | =z 6. 设双曲线 x 9- y2 b 2 = 1 (b > 0) 的焦点为 F 1 、 F 2， P 为该双曲线上的一点，若| PF 1 | = 5 ，则| PF 2 | =7. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1 的坐标为(4,3, 2) ，则 AC 1 的坐标为- ⎧⎪3x -1, x ≤ 08. 定义在(0, +∞) 上的函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 1(x ) ，若 g (x ) = ⎨ ⎪⎩ f (x ), 为 x > 0奇函数，则 f -1(x ) = 2 的解为119. 已知四个函数：① y = -x ；② y =- ；③ xy = x 3 ；④ y = x 2 . 从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{a } 和{b } ，其中a = n 2 ， n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数，若对于nnnn任意n ∈ N * ，{b } 的第a 项等于{a } 的第b 项，则lg(b 1b 4b 9b 16 ) =nnnnlg(b 1b 2b 3b 4 )2⎨2x + 3y = 4 n n 211. 设a 、 a ∈ R ，且1+1= 2 ，则| 10π - α - α |的最小值等于122 + sin α2 + sin(2α ) 121212. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合Ω = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“#”的点分布在l P 的两侧. 用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“#”的点到l P 的距离之和. 若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P ) = D 2 (l P ) ，则Ω 中 所有这样的 P 为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组⎧x + 5y = 0 ⎩的系数行列式 D 为（ ）0 5 1 0 A.B. 4 32 4 1 5 6 0 C. D.2 35 414. 在数列{a } 中， a = (- 1)n ， n ∈ N * ，则lim a （）n n2n →∞ n A. 等于- 1 2 B. 等于 0 C. 等于 12D. 不存在15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x } 的通项 x = an 2+ bn + c ，n ∈ N * ，则“存在k ∈ N * ，使得 x 100+ k 、 x 200+ k 、 x 300+ k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. a ≥ 0B. b ≤ 0C. c = 0D. a - 2b + c = 0x 2y 2 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1 : 36 + 4= 1 和C : x 2 + y 9 = 1 . P 为C 1 上的动 点，Q 为C 2 上的动点， w 是OP ⋅ OQ 的最大值. 记Ω = {(P ,Q ) | P 在C 1 上，Q 在C 2 上，且OP ⋅ OQ = w }，则Ω 中元素个数为（） A. 2 个B. 4 个C. 8 个D. 无穷个三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5.（1） 求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积； （2） 设 M 是 BC 中点，求直线 A 1M与平面 ABC 所成角的大小.219 2 ⎪⎩ny18. 已知函数 f (x ) = cos 2 x - sin 2 x + 1， x ∈ (0,π ) .2（1） 求 f (x ) 的单调递增区间；（2） 设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边a = ，角 B 所对边b = 5 ，若 f ( A ) = 0 ，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n (n ∈ N * ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b （单位：辆），nn⎧⎪5n 4 +15, 1 ≤ n ≤ 3其中a n = ⎨-10n + 470, ， b n = n + 5 ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的 n ≥ 4 累计投放量与累计损失量的差.（1） 求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2） 已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量 S = -4(n - 46)2 + 8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆Γ : x 2 + 24= 1 ， A 为Γ 的上顶点， P 为Γ 上异于 上、下顶点的动点， M 为 x 正半轴上的动点.（1）若 P 在第一象限，且| OP | = ，求 P 的坐标；8 3 P ( , ) 5 5，若以 A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；（3） 若| MA | = | MP | ，直线 AQ 与Γ 交于另一点 C ，且 AQ = 2 A C ， PQ = 4PM ，求直线 AQ 的方程.21. 设定义在 R 上的函数 f (x 1) ≤ f (x 2 ) .f (x ) 满足： 对于任意的 x 1 、 x 2 ∈ R ，当 x 1 < x 2 时， 都有（2）设（1）若f (x) =ax3+1，求a 的取值范围；（2）若f (x) 为周期函数，证明：f (x) 是常值函数；（3）设f (x) 恒大于零，g(x) 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是g(x) 的最大值.函数h(x) =f (x)g(x) .证明：“h(x) 是周期函数”的充要条件是“ f (x) 是常值函数”.6 2 2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知集合 A ={1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ,则 AB = .【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题 【答案】{3, 4}2. 若排列数P m = 6⨯ 5⨯ 4 ,则m = . 【解析】本题考查排列的计算，属于基础题 【答案】3x -1 3. 不等式x> 1的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题 【答案】(-∞,0)4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，4π R 3 = 36π ⇒ R = 3 ,3所以 S = π R 2 = 9π ，属于基础题【答案】9π5. 已知复数 z 满足 z +3 = 0 ，则 z = .z【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模， z + 3= 0 ⇒ z 2 = -3 设 z = a + bi ，z则 a 2- b 2+ 2abi = -3 ⇒ a = 0, b = ± 3i ,z =，属于基础题【答案】6. 设双曲线x - y 29 b 2= 1(b > 0) 的焦点为 F 1、F 2 , P 为该双曲线上的一点.若 PF 1= 5 ,则 a 2 + b 2 34 PF 2 = .【 解 析 】 本 题 考 查 双 曲 线 的 定 义 和 性 质 ，PF 1 - PF 2 = 2a = 6 （ 舍 ），PF 2 - PF 1 = 2a = 6 ⇒ PF 2 = 11【答案】117. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 DB 1 的坐标为(4, 3, 2) ,则 AC 1 的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得 A (4，0，0)，C 1(0，3, 2) ⇒ AC 1 = (-4，3，2) ,属于基础题 【答案】(-4，3，2)8. 定义在(0, +∞) 上的函数 y =数，则 f -1(x )=2 的解为.⎧3x -1, x ≤ 0, f (x ) 的反函数 y = f -1(x ) .若 g (x ) = ⎨ ⎩ f (x ), x > 0 为奇函【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题x > 0, -x < 0, g (-x ) = 3-x -1 = -g (x ) ⇒ g (x ) = 1- 1 3x,所以 f (x ) = 1- 1,3x 当 x = 2 时， f (x ) = 8,所以 f 9(8) = 29 【答案】 x = 89119. 已知四个函数：① y = - x ；② y =-；③ y = x 3；④ y = x 2.从中任选 2 个，则事件“所x选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有： C 2 = 6 种，符合题意的就两种：①和③，①和④-11 2 3 4 2 π nnnn1⎧ π ⎨ 1 【答案】310. 已知数列{a } 和{b } ,其中 a = n 2 , n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数.若对于任意n ∈ N *，{b } 中的第 a 项等于{a } 中的第b 项，则 lg (b 1b 4b 9b 16 )= .nnn lg (b 1b 2b 3b 4 )【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得： b = a ⇒ b = (b )2 ⇒ b = b 2 , b = b 2 , b = b 2 ,b = b 2 ，a nb nn 2n1 1 42 93 16 4lg (b 1b 4b 9b 16 ) lg (b 1b 2b 3b 4 ) lg (bb b b )2lg (b 1b 2b 3b 4 )【答案】211. 设α1，α2 ∈ R ,且12 + sin α+2 + sin(2α = 2 ，则 10π - α)1 - α2的最小值等于. 12【解析】考查三角函数的性质和值域，1∈ ⎡1 ,1⎤，1 ∈ ⎡1 ,1⎤2 + sin α1 ⎢⎣3 ⎥⎦ 2 + sin(2α2 ) ⎢⎣3 ⎥⎦ ，要使 1 + 1 = 2 ⎧ 1 =1 ⎪ 2 + sin α1 则⎨ α1 = - + 2k 1⎪ , k , k ∈ Z 2 + sin α 2 + sin(2α ) 1 π 1 2 1 2 ，⎪ =1 ⎪ α = - + k π ⎪⎩ 2 + sin(2α2 )⎪⎩ 2 4 2 10π -α -α= 10π + 3π - (2k + k )π = π 当2k + k =11时成立 1 2 minπ4 1 2 min4 , 【答案】 412. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1, P 2 , P 3 , P 4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω={P 1, P 2 , P 3 , P 4 } ，点 P ∈Ω .过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲” 的点分布在l P 的两侧.用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P )=D 2 (l P ) ，则Ω 中所有这样的 P 为.⇒ n所以 = =21 2⎩ ⎨【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。
2017年数学真题及解析_2017年上海市高考数学试卷
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= 2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即n可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于 B．等于0 C．等于D．不存在【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（s inα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
最新届上海春季高考数学试卷(word版附答案)
2017年上海市春季高考数学试卷2017.1一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 设集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则A B =U ；2. 不等式|1|3x -<的解集为 ；3. 若复数z 满足2136z i -=+（i 是虚数单位），则z = ；4. 若1cos 3α=，则sin()2πα-= ； 5. 若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = ； 6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a += ；7. 若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 ；8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n na a a a a →∞+++⋅⋅⋅+= ； 9. 若2()nx x+的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ； 10. 设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是 等腰三角形的点P 的个数是 ；11. 设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足1234||||a a a a -+-+ 56||3a a -=的不同排列的个数为 ；12. 设a 、b R ∈，若函数()a f x x b x =++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取 值范围为 ；二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. (,0]-∞D. (,1]-∞14. 设a R ∈，“0a >”是“10a>”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A. 三角形B. 长方形C. 对角线不相等的菱形D. 六边形16. 如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P ⋅u u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A. [0,8+B. [-+C. [8--D. [8--+三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =；（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；（2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小；18. 设a R ∈，函数2()21x x a f x +=+； （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若2()2a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围；19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于 点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；（1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、 2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20. 已知双曲线222:1y x bΓ-=(0)b >，直线:l y kx m =+(0)km ≠，l 与Γ交于P 、 Q 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点(0,)N n ； （1）若点(2,0)是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为(1,0)-，且32NP P Q ''=u u u u r u u u u r ，求k 的值； （3）若2m =，求n 关于b 的表达式.21. 已知函数21()log 1x f x x+=-； （1）解方程()1f x =； （2）设(1,1)x ∈-，(1,)a ∈+∞，证明：1(1,1)ax a x -∈--，且11()()()ax f f x f a x a--=--； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ∈-，1131(1)3n n n n x x x ++-=--，*n N ∈，求1x 的取值范围，使 得3n x x ≥对任意*n N ∈成立.参考答案一. 填空题1. {1,2,3,4}2. (2,4)-3. 23i -4. 13-5. 66. 107. 2 8.32 9. 160 10. 6 11. 48 12. (0,3-二. 选择题13. D 14. C 15. A 16. B三. 解答题17.（1）4；（2）arctan 3； 18.（1）1a =-；（2）[0,2]；19.（1）1M 半径34.6，2M 半径16.1；（2）1M 半径30，2M 半径20，造价42.0千元；20.（1）y =；（2）12k =±；（3）略； 21.（1）13x =；（2）略；（3）略；。
2017年上海市高考数学试卷(含解析版)
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= {3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= 3 ．【考点】D4：排列及排列数公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】31：数形结合；48：分析法；5U：球．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πＲ3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πＲ2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= 11 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【考点】JH：空间中的点的坐标．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5H：空间向量及应用．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2 ．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n 项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5M：推理和证明．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M（x，y），则+++=，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在【考点】6F：极限及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=9nu，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】38：对应思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则?，即（x0﹣，﹣）?（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则?=0，即（﹣x0，1）?（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα＝，或sinα＝﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1?g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1?g（x0+T g）=c1?g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]?[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）?f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）?f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
(完整word版)20xx年上海春考数学试卷.doc
2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设集合 A 1,2,3 ,集合 B 3,4,则A B .2. 不等式 x 1 3 的解集为。
3. 若复数 z 满足 2z 1 3 6i （ i 是虚数单位），则z 。
4. 若 cos 1，则 sin 。
3 25. 若关于 x 、y的方程组x 2 y 43x ay 无解，则实数 a 。
66. 若等差数列a n的前5项的和为25 ，则a1 a5= 。
7. 若 P 、Q是圆x2 y2 2x 4 y 4 0 上的动点，则PQ 的最大值为。
8. 已知数列a n的通项公式 a n 3n，则 lima1a2 a3 a n 。
n a n2 n9. 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。
若 xx10. 设椭圆 x 2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点P在该椭圆上，则使得F1F2P 是2等腰三角形的点P 的个数是。
11. 设 a1, a2 , , a6为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1 a2 a3 a4 a5 a6 3 的不同排列的个数为。
12. 设 a ，b R ，函数 f ( x) x a1,2 上有两个不同的零点，则 f 1 的取值b 在区间x范围为。
二、选择题(A) 0, (B) 1, (C) ,0 (D) ,114. 设a R ，“ a 0 ”是“1”的（）。
a(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。
(A) 三角形(B) 长方形(C) 对角线不相等的菱形(D) 六边形16. 如图所示，正八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8的边长为2 .若P为该正八边形上的动点，则A1 A3 A1 P 的取值范围为（）A6 A5 P(A) 0, 8 6 2 (B) 2 2, 8 6 2A7(C) 8 6 2,2 2 (D) 8 6 2, 8 6 2 A8三、解答题A1 A2 17. 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，AB BC 2, AA1 3 .（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小 .A4 A318. 设 a 函数2x aR , f (x) .2x 1（ 1）求a的值，使得 f ( x) 为奇函数；a 2对任意 x R 成立，求a的取值范围. （ 2）若f x219.某景区欲建造两条圆形观景步道M 1、M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆M1与 AB 、 AD 分别相切于点B 、 D ，圆M2与 AC 、 AD分别相切于点C、 D.（ 1）若BAD 60 ，圆 M 1和圆 M 2的半径（结果精确到0.1 米）；（ 2）若观景步道M 1与 M 2的造价分别为每米0.8 千元与每米 0.9 千元。
2017年高考数学上海试题及解析
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，则A∩．{3,4} 【解析】∵集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，∴A∩{3，4}．2．（2017年上海）若排列数=6×5×4，则．2.3 【解析】∵排列数=6×5×…×(61)，∴61=4，即3. 3．（2017年上海）不等式＞1的解集为．3.(-∞，0) 【解析】由＞1，得1>1，则<0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0).4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．4.9π 【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36π，可得πR3=36π，解得 3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为πR2=9π．5．（2017年上海）已知复数z满足=0，则．5 【解析】由=0，可得z2+3=0，即z23，则±i，.6．（2017年上海）设双曲线=1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若15，则2．6.11 【解析】双曲线=1中，=3，由双曲线的定义，可得126，又15，解得211或﹣1（舍去），故211.7．（2017年上海）如图，以长方体1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（4，3，2），则向量的坐标是．7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为（4，3，2），可得A（4，0，0），C(0,3,2)，D1(0,0,2)，则C1（0，3，2），∴=（﹣4，3，2）．8.（2017年上海）定义在（0，+∞）上的函数（x）的反函数为﹣1（x），若g（x）为奇函数，则1（x）=2的解为．8 【解析】g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g(x)（﹣x）(31)=1-3，则f(x)=1-3.由1（x）=2，可得(2)=1-3-2，即1（x）=2的解为.9．（2017年上海）已知四个函数：①，②，③3，④，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．9 【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为.10．（2017年上海）已知数列{}和{}，其中2，n∈N*，{}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{}的第项等于{}的第项，则=10.2 【解析】∵2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{}中的第项恒等于{}中的第项，∴.∴b112，b422，b932，b1642.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，=2.11．（2017年上海）设α1，α2∈R且α1)2α2)=2，则|10π-α1-α2|的最小值等于．11 【解析】由-1≤α1≤1，可得1≤2 α1≤3，则≤α1)≤1.同理可得≤2α2)≤1.要使α1)2α2)=2，则α1)2α2)=1，即α1 2α21.所以α1=2k1π，2α2=2k2π，k12∈Z.所以|10π-α1-α210π-(2k1π)-(k2π)10π-(2k12)π|，当2k12=11时，|10π-α1-α2|取得最小值.12．（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧．用D1（）和D2（）分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和．若过P的直线中有且只有一条满足D1（）2（），则Ω中所有这样的P为．12134【解析】设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段，，，的中点分别为E，F，G，H，易知为平行四边形，如图所示，四边形两组对边中点的连线交于点P2，则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线.因此经过点P2的符合条件的直线有无数条；经过点P134的符合条件的直线各有1条，即直线P2P12P32P4.故Ω中所有这样的P为P134.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（2017年上海）关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D 为( )5,4 3)) 0,2 4)) 5,2 3)) 0,5 4))13 【解析】关于x，y的二元一次方程组的系数行列式．故选C．14．（2017年上海）在数列{}中，（）n，n∈N*，则（）A.等于 B.等于0 C.等于 D.不存在14 【解析】数列{}中，（）n，n∈N*，则()0．故选B．15.（2017年上海）已知为实常数，数列{}的通项2，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列”的一个必要条件是（）≥0≤00 2015 【解析】存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列，可得2[a（200）2（200）]（100）2（100）（300）2（300），化简得0，∴使得x100，x200，x300成等差数列的必要条件是a≥0．故选A．16．（2017年上海）在平面直角坐标系中，已知椭圆C1：=1和C2：x2=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是·的最大值．记Ω={（P，Q）在C1上，Q在C2上且·}，则Ω中的元素有（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个16 【解析】P为椭圆C1：=1上的动点，Q为C2：x2=1上的动点，可设P（6α，2α），Q（β，3β），α，β∈[0,2π],则·=6αβ+6αβ=6（α-β），当α-β=2kπ，k∈Z时，·取得最大值6，即使得·的点对()有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（2017年上海）如图，直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．（1）求三棱柱1B1C1的体积；（2）设M是中点，求直线A1M与平面所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．∴三棱柱﹣A1B1C1的体积△·1··1×4×2×5=20.（2）连接.∵直三棱柱1B1C1，∴1⊥底面.∴∠1是直线A1M与平面所成角.∵△是直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，点M是的中点，∴×.由1⊥底面，可得1⊥,∴∠A1).∴直线A1M与平面所成角的大小为．18．（2017年上海）已知函数f（x）2x﹣2，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△为锐角三角形，角A所对边，角B所对边5，若f（A）=0，求△的面积．18.【解析】（1）函数f（x）22 2，x∈（0，π）.由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z.1时，≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）.（2）f（A）=0，即有2=0，解得22kπ±.又A为锐角,故.又5，由正弦定理得,38),则,38).所以(),2)×,38)×,38),38).所以S△××5×,38),4).19．（2017年上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量4（n﹣46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a1234=20+95+420+430=965，前4个月共享单车的累计损失量为b1234=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令≥，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10470≥5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{}为公差为﹣10等差数列，而{}为公差为1的等差数列，∴到第42个月底，共享单车保有量为×39+535×42×39+535×42=8782．又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，8782＞8736，∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．（2017年上海）在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：2=1，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限且，求P的坐标；（2）设P（），若以为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若，直线与Γ交于另一点C且=2，=4，求直线的方程．20.【解析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），由点P在椭圆Γ：2=1上且,可得2=1，22=2，))解得x22，则P（,3)，,3)）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（，）.若∠90°，则•=0，即（，）•（x0﹣，﹣）=0，∴（﹣）x0=0，解得x0．若∠90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴x02x0=0，解得x0=1或x0.若∠90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为或1或．（3）设C（2α，α），∵=2，A（0，1），∴Q（4α，2α﹣1）.又设P（2β，β），M（x0，0），∵，∴x02+1=（2β﹣x0）2+（β）2，整理得x0β.∵=（4α﹣2β，2α﹣β﹣1），=（β，﹣β），=4，∴4α﹣2β=﹣5β，2α﹣β﹣1=﹣4β.∴β=﹣α，β（1﹣2α）.以上两式平方相加，整理得3（α）2α﹣2=0，∴α或α=﹣1（舍去）.此时，直线的斜率,10)（负值已舍去），如图．∴直线的方程为为,10)1．21．（2017年上海）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．21.【解析】（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的取值范围是[0，+∞）.（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为，任取x0∈R，则有f（x0）（x0）.由题意，对任意x∈[x0，x0]，f（x0）≤f（x）≤f（x0），∴f（x0）（x）（x0）．又∵f（x0）（x0），n∈Z，并且…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴对任意x∈R，f（x）（x0），为常数.（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）1，设g （x）的一个周期为，则h（x）1•g（x），对任意x0∈R，h（x0）1•g（x0）1•g（x0）（x0），故h（x）是周期函数.(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x21＞x1，∴f（x21）＞f（x1）＞0，且h（x21）（x2）．又h（x2）（x2）f（x2）＜0，而h（x21）（x21）f（x21）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2≤x0﹣，即[x0﹣，x0]⊆[x0﹣N2，x0]，∵…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴…∪[x0﹣2N2，x0﹣N2]∪[x0﹣N2，x0]∪[x0，x02]∪[x02，x0+2N2]∪…．h（x0）（x0）•f（x0）（x0﹣N2）（x0﹣N2）•f（x0﹣N2），∵g（x0）≥g（x0﹣N2）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2）＞0．因此若h（x0）（x0﹣N2），必有g（x0）（x0﹣N2），且f（x0）（x0﹣N2）．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）（x0），为常数．必要性得证．综上所述，“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．。
(word完整版)2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分)1.已知集合 A {1,2,3,4}，集合 B {3,4,5}，则 AI B ______________2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________x 13. 不等式1的解集为 ________x4. 已知球的体积为 36，则该球主视图的面积等于 _____________5. 已知复数z 满足z 30，则|z| ______z2 26. 设双曲线— 爲 1(b 0)的焦点为F 1、F 2，P 为该9 b双曲线上的一点，若| PR | 5，则| PF 2 | __________7. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________3x 1 x 08. 定义在(0,)上的函数y f(x)的反函数为y f lx)，若g(x) ' 为f(x), x 0奇函数，则f 1(x)2的解为 ________1 3 f9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事 x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________2 *10.已知数列｛a n ｝和｛b n ｝，其中a n n , n N , ｛0｝的项是互不相等的正整数，若对于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 P 、P 2、B 、F 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,巳，卩3,巳｝，点P ，过P 作直线I P ,使得不在I P 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D(l p )和D 2(I P )分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直 线I P 中有且只有一条满足 DdI p ) D 2(I P )，则 中 所有这样的P 为 ___________二.选择题(本大题共 4题，每题5分，共20分)2017.6任意n N *，｛b n ｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则Iggbqdbw)Ig(bb 2b 3b 4)11.设 a 1、a 2 R，且 2 sin 112 sin(2 2)2，则 |10 2|的最小值等于x 5v 013.关于x 、y 的二元一次方程组' 的系数行列式D 为(2x 3y 4A.0 5 B. 1 0C.1 5D.6 04 32 42 35 4uuu uuirOP OQ w ｝，贝U中元素个数为().解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分)17.如图，直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ABG 的体积; (2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小.2 218.已知函数 f (x) cos x sin x(1 )求f(x)的单调递增区间;A 所对边a 19，角B 所对边b 5，若f (A) 0，求△ ABC 的面积.A. a 0B. b 0C. cD. a 2b c0 16. 在平面直角坐标系 2 x xOy 中，已知椭圆C : 2y 21 和 C 2: X 2- 1 P 为C 1上的动36 4 9uuu urnr占 八Q 为C 2上的动点， w 是OP OQ 的最大值. 记{(P,Q)|P 在 C 1 上, Q 在C 2上，且)使得Moo k 、X 200 k 、X 300 k 成等差数列”的一个必要条件是14.在数列｛a n ｝中, a n，则 lim a n (nA.等于-2B.等于0C.等于-2D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项2X n anbn，则“存在A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个12，x (0,).(2)设厶ABC 为锐角三角形，角19. 根据预测，某地第n (n N )个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b (单位：辆), "亠5n 15, 1 n 3其中a n , b n n 5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的10n 470, n 4累计投放量与累计损失量的差•(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？x220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆: y 1，A为的上顶点，P为上异于4上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点.(1 )若P在第一象限，且|OP| 2，求P的坐标；(2)设P(8,3)，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；5 5umr uuir uuu uuun(3)若| MA | |MP |，直线AQ 与交于另一点C,且AQ 2AC，PQ 4 PM，求直线AQ的方程.21.设定义在R上的函数f (x)满足：对于任意的X1、X2 R，当x, X2时，都有f(X1) f(X2).(1 )若f (x) ax31，求a的取值范围；(2)若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.函数h(x) f(x)g(x).证明：“ h(x)是周期函数”的充要条件是“ f (x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分) 1. 已知集合 A ｛1,2,3,4｝，集合 B ｛3,4,5｝，则 AI B ________ 【解析】AI B ｛3,4｝2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________【解析】m 32 26.设双曲线工占 1(b9 b 2则 | PF 2 | ______ 【解析】2a 6| PF 2 | 117. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________UUUU 【解析】A(4,0,0)，C 1(0,3,2)，AC 1( 4,3,2)13x 1, x 0 込 8. 定义在(0,)上的函数y f (x)的反函数为y f (x)，若g(x)为f(x), x 01奇函数，则f (x) 2的解为 ________ 【解析】f (x)3x 1f(2)9 18 f 1(x)2 的解为 x 81 3 -9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________ 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，.••概率为2017.6x1【解析】1 -10 x 0 ,解集为(xx4.已知球的体积为 36 ,则该球主视图的面积等于4【解析】43r 3 36 r 3 S 95.已知复数 z 满足3 z -z 0，则 |z| 【解析】z 23 z |z| .3,0)0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若2 *10.已知数列｛a n｝和｛b n｝，其中a n n , n N , ｛b n｝的项是互不相等的正整数，若对于任意n N * , ｛0｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则lg(blb4b9bl6)©(b^b q )【解析】b a n a b n b n 2 b n 2 bAb g% (bfeb s b q )2即 sin 1sin （2 2 ）1，二 12k,2k , I10 1 2〔min2 4412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 R 、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,P 2,P 3,P 4｝，点P ，过P 作直线I p ，使得不在I p 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D 1（I P ）和D 2（I P ）分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直线I p 中有且只有一条满足 D 1（I p ） D 2（I p ），则 中 所有这样的P 为__________ 【解析】P 、F 3A.0 5 B. 1 0C.1 5 D .6 04 32 42 35 4【解析】C【解析】k 、x 200 k 、x 300 k 成等差数列”的一个必要条件是©(bb q b g bj 2 IgglbAb q )11.设 a-i 、a 2，且2 sin i2，则 |102 sin(2 2)12|的最小值等于I解析】人［1,1］，口1冇［1,1］，1 1 1 ,2 si n t 2 sin(2 2)二.选择题（本5分，共 20分)13.关于x 、y 的二元一次方程组x 5y 2x 3y的系数行列式4 D 为（ ）14.在数列｛a n ｝中,(J ，，则 Iim a n (nA.等于B.等于0C. 1等于12D.不存在15.已知 b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项 2X n anbn c ，n N *，则“存在 k N *，使得X ,oo A. a 0 【解析】AB. b 0C. c 0D. a 2b c 02累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?2 2一 一 x y16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆G :盘 -1和C 2：x 2鲁1.P为C 1上的动uuu urnr点，Q 为C 2上的动点，w 是OP OQ uuu uuirOP OQ w}，贝U中元素个数为( 的最大值•记 {(P,Q)|P 在G 上，Q 在C 2上，且A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个【解析】D三.解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76 分)17.如图，直三棱柱 ABC AB1G 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ARG 的体积;(2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小•【解析】(1) V S h 20(2) tan5.5 ，线面角为arcta n ■. 518.已知函数 2f (x) cos x sinx 1 , x (0,).(1 )求f(x)的单调递增区间;(2)设厶ABC 为锐角三角形, A 所对边a ■ 19，角B 所对边b 5，若f (A)0，求△ ABC 的面积.【解析】(1) f(x)cos2xx (0,)，单调递增区间为［―,) 2(2) cos2A根据锐角三角形，cosB2A 25 c 191…ccosAc 2 或 c 3 ,2 5c 20，二 c 3 , S - bcsin A ^^432 4 19.根据预测，某地第n 4甘出5n 15, 1其中a n10n 470,(nN *)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n (单位：辆),3, b n n 5，第n 个月底的共享单车的保有量是前4n 个月的(1 )若P 在第一象限，且|OP| 耳，求P 的坐标;求直线AQ 的方程. 3 uuu uuur 3 1 3y 0.Q( -x 0, 3y 。
2017年高考数学上海试题及解析
x y 6.11 【解析】 双曲线 - 2 =1 中， a= 9=3 ，由双曲线的定义，可得 9 b 解得 |PF2|=11 或﹣ 1 （舍去），故 |PF2|=11. 7． （ 2017 年上海）如图，以长方体 所在的直线为坐标轴， 坐标是 ．
||PF1|-|PF2||=6，又 |PF1|=5，
1 1 + =2 ，则 |10π -α 1- α 2 |的最小值等于 2+sin α 1 2+sin 2 α 2
．
π 1 1 1 1 可得 1≤ 2+sin α 则 ≤ ≤ 1. 同理可得 ≤ 【 解析】由 -1 ≤ sin α 1≤ 1， 1≤ 3， 4 3 2+sin α 3 2+sin 2 α 2 1 π 1 1 1 1 ， + =2， 则 = =1 ， 即 sin α 1=sin 2 α 2 =-1. 所以 α 1=2k 1π 2+sin α 1 2+sin 2 α 2 2+sin α 1 2+sin 2 α 2 2 π π π 3π ， k 1 ,k2∈ Z .所以 |10π -α π π 1- α 2 |=|10π -(2k 1 )-(k 2 )|=|10 π + -(2k 1+k 2)π |， 2 2 4 4 π 4 .
2017 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～ 6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分） ． 1.已知集合 A={1 ， 2， 3 ， 4} ，集合 B={3 ， 4， 5} ，则 A∩ B= {3,4} 【解析】∵集合
A={1 ， 2 ， 3， 4} ，集合 B={3 ， 4 ， 5} ，∴ A∩ B={3 ， 4} ．
2017年上海市高考数学试卷(解析版)
∴由排列数公式得
，
∴m＝3． 故答案为：m＝3． 3．【解答】解：由 ＞1 得：
，
故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）． 4．【解答】解：球的体积为 36π， 设球的半径为 R，可得 πR3＝36π，
18．（14 分）已知函数 f（x）＝cos2x﹣sin2x+ ，x∈（0，π）．
（1）求 f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a＝ ，角 B 所对边 b＝5，若 f（A）＝0， 求△ABC 的面积． 19．（14 分）根据预测，某地第 n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an 和 bn
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是常值函数”．
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2017 年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，
．
4．（4 分）已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于
．
5．（4 分）已知复数 z 满足 z+ ＝0，则|z|＝
．
6．（4 分）设双曲线 ﹣ ＝1（b＞0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|
＝5，则|PF2|＝
．
7．（5 分）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的
2017 年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
2017年高考数学上海试题及解析
第1页（共9页）2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．{3,4}【解析】∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．2．（2017年上海）若排列数A m6=6×5×4，则m=．2.3【解析】∵排列数A m6=6×5×…×(6-m+1)，∴6-m+1=4，即m=3.3．（2017年上海）不等式x-1x ＞1的解集为．3.(-∞，0)【解析】由x-1x ＞1，得1-1x >1，则1x<0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0).4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．4.9π【解析】设球的半径为R ，则由球的体积为36π，可得43πR 3=36π，解得R=3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为πR 2=9π．5．（2017年上海）已知复数z 满足z+3z =0，则|z|=．5.3【解析】由z+3z=0，可得z 2+3=0，即z 2=-3，则z=±3i ，|z|= 3.6．（2017年上海）设双曲线x 29-y 2b 2=1（b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|=．6.11【解析】双曲线x 29-y 2b 2=1中，a=9=3，由双曲线的定义，可得||PF 1|-|PF 2||=6，又|PF 1|=5，解得|PF 2|=11或﹣1（舍去），故|PF 2|=11.7．（2017年上海）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量→DB 1的坐标为（4，3，2），则向量→AC 1的坐标是．第2页（共9页）7.(-4,3,2)【解析】由→DB 1的坐标为（4，3，2），可得A （4，0，0），C(0,3,2)，D 1(0,0,2)，则C 1（0，3，2），∴→AC 1=（﹣4，3，2）．8.（2017年上海）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （xx -1，x≤0，，x>0为奇函数，则f -1（x ）=2的解为．8.89【解析】g （x ）x -1，x≤0，，x>0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g(x)=-g （﹣x ）=-(3-x -1)=1-3-x ，则f(x)=1-3-x .由f -1（x ）=2，可得x=f(2)=1-3-2=89，即f -1（x ）=2的解为89.9．（2017年上海）已知四个函数：①y=-x ，②y=-1x，③y=x 3，④y=x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．9.12【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 24=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=26=13.10．（2017年上海）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=10.2【解析】∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n项，∴b a n =a b n =b 2n .∴b 1=b 12，b 4=b 22，b 9=b 32，b 16=b 42.∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2，lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2.11．（2017年上海）设α1，α2∈R 且12+sin α1+12+sin 2α2=2，则|10π-α1-α2|的最小值等于．11.π4【解析】由-1≤sin α1≤1，可得1≤2+sin α1≤3，则13≤12+sin α1≤1.同理可得13≤12+sin 2α2≤1.要使12+sin α1+12+sin 2α2=2，则12+sin α1=12+sin 2α2=1，即sin α1=sin 2α2=-1.所以α1=2k 1π-π2，第3页（共9页）2α2=2k 2π-π2，k 1,k 2∈Z .所以|10π-α1-α2|=|10π-(2k 1π-π2)-(k 2π-π4)|=|10π+3π4-(2k 1+k 2)π|，当2k 1+k 2=11时，|10π-α1-α2|取得最小值π4.12．（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1，P 2，P 3，P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为．12.P 1,P 3,P 4【解析】设记为“▲”的四个点为A ，B ，C ，D ，线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为E ，F ，G ，H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形ABCD 两组对边中点的连线交于点P 2，则经过点P 2的所有直线都是符合条件的直线l P .因此经过点P 2的符合条件的直线l P 有无数条；经过点P 1,P 3,P 4的符合条件的直线l P 各有1条，即直线P 2P 1,P 2P 3,P 2P 4.故Ω中所有这样的P 为P 1,P 3.P 4.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（2017年上海）关于x ，y，的系数行列式D 为()A.|0543|B.|1024|C.|1523|D.|6054|13.C 【解析】关于x ，y，的系数行列式D=．故选C ．14．（2017年上海）在数列{a n }中，a n =（-12）n ，n ∈N *，则lim n →∞a n （）A.等于-12B.等于0C.等于12D.不存在第4页（共9页）14.B 【解析】数列{a n }中，a n =（-12）n ，n ∈N *，则lim n →∞a n =lim n →∞(-12)n=0．故选B ．15.（2017年上海）已知a,b,c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（）A.a≥0 B.b≤0 C.c=0 D.a-2b+c=015.A 【解析】存在k ∈N *，使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c+a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化简得a=0，∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a≥0．故选A ．16．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是→OP ·→OQ 的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上且→OP ·→OQ=w}，则Ω中的元素有（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个16.D 【解析】P 为椭圆C 1：x 236+y 24=1上的动点，Q 为C 2：x 2+y 29=1上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），α，β∈[0,2π],则→OP ·→OQ=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α-β），当α-β=2kπ，k ∈Z 时，→OP ·→OQ 取得最大值w=6，即使得→OP ·→OQ=w 的点对(P,Q)有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（2017年上海）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．（1）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1=12AB ·AC ·AA 1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴AA 1⊥底面ABC.第5页（共9页）∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角.∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴AM=12BC=12×42+22=5.由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM,∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =55=5.∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．18．（2017年上海）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．18.【解析】（1）函数f （x ）=cos 2x-sin 2x+12=cos 2x+12，x ∈（0，π）.由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π2≤x≤kπ，k ∈Z.k=1时，π2≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）.（2）f （A ）=0，即有cos2A+12=0，解得2A=2k π±2π3.又A 为锐角,故A=π3.又a=19,b=5，由正弦定理得sinB=bsinA a =55738,则cosB=1938.所以sinC=sin(A+B)=32×1938+12×55738=35738.所以S △ABC =12absinC=12×19×5×35738=1534.19．（2017年上海）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为第6页（共9页）a n 和b n （单位：辆），其中a n4+15，1≤n ≤3，，n ≥4，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =-4（n ﹣46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965，前4个月共享单车的累计损失量为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n ≥b n ，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为公差为1的等差数列，∴到第42个月底，共享单车保有量为a 4+a 422×39+535-b 1+b 422×42=430+502×39+535-6+472×42=8782．又S 42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，8782＞8736，∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．（2017年上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限且|OP|=2，求P 的坐标；（2）设P （85,35），若以A,P,M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C 且→AQ=2→AC ，→PQ=4→PM ，求直线AQ 的方程．20.【解析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），第7页（共9页）由点P 在椭圆Γ：x 24+y 2=1上且|OP|=2,2=1，2=2，解得x 2=43,y 2=23，则P （233，63）．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35）.若∠P=90°，则→PA•→PM =0，即（-85，25）•（x 0﹣85，﹣35）=0，∴（﹣85）x 0+6425-625=0，解得x 0=2920．若∠M=90°，则→MA•→MP=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0，∴x 02-85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35.若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为2920或1或35．（3）设C （2cosα，sinα），∵→AQ=2→AC，A （0，1），∴Q （4cosα，2sinα﹣1）.又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得x 0=34cosβ.∵→PQ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），→PM=（-54cosβ，﹣sinβ），→PQ=4→PM，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ.∴cosβ=﹣43cosα，sinβ=13（1﹣2sinα）.以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，第8页（共9页）∴sinα=23或sinα=﹣1（舍去）.此时，直线AC 的斜率k AC =sinα-12cosα=510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 的方程为为y=510x+1．21．（2017年上海）设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h （x ）是周期函数”的充要条件是“f （x ）是常值函数”．21.【解析】（1）由f （x 1）≤f （x 2），得f （x 1）﹣f （x 2）=a （x 13﹣x 23）≤0，∵x 1＜x 2，∴x 13﹣x 23＜0，得a≥0．故a 的取值范围是[0，+∞）.（2）证明：若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0∈R ，则有f （x 0）=f （x 0+T k ）.由题意，对任意x ∈[x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+T k ），∴f （x 0）=f （x ）=f （x 0+T k ）．又∵f （x 0）=f （x 0+nT k ），n ∈Z ，并且…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…=R ，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数.（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h （x）=c1•g（x），对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数.(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．必要性得证．综上所述，“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．第9页（共9页）。
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；
x
10.
设椭圆
x2 2
y2
1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，则使得△ F1F2P 是
等腰三角形的点 P 的个数是
；
11. 设 a1 、 a2 、…、 a6 为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足 | a1 a2 | | a3 a4 |
| a5 a6 | 3 的不同排列的个数为
17. 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AA1 3 ； （1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积； （2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小；18.设 a 来自R ，函数f (x)
2x a 2x 1
；
（1）求 a 的值，使得 f (x) 为奇函数； （2）若 f (x) a 2 对任意 x R 成立，求 a 的取值范围；
16. 如图所示，正八边形 A1A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为 2，若 P 为该正八边形边上的动点，
则 A1A3 A1P 的取值范围为（ ）
A. [0,8 6 2]
B. [2 2,8 6 2]
C. [8 6 2, 2 2]
D. [8 6 2,8 6 2]
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
C. (, 0]
D. (,1]
14. 设 a R ，“ a 0 ”是“ 1 0 ”的（ a
A. 充分非必要
B. 必要非充分
）条件 C. 充要
D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）
A. 三角形
B. 长方形
C. 对角线不相等的菱形
D. 六边形
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；
12. 设 a 、b R ，若函数 f (x) x a b 在区间 (1, 2) 上有两个不同的零点，则 f (1) 的取 x
值范围为
；
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 函数 f (x) (x 1)2 的单调递增区间是（ ）
A. [0, )
B. [1, )
参考答案
一. 填空题
1. {1, 2,3, 4}
2. (2, 4)
3
7. 2
8.
2
9. 160
3. 2 3i
10. 6
4. 1 3
11. 48
5. 6
6. 10
12. (0,3 2 2)
二. 选择题 13. D
14. C
15. A
16. B
三. 解答题
17.（1） 4 ；（2） arctan 2
1. 设集合 A {1, 2,3} ，集合 B {3, 4} ，则 A B
；
2. 不等式 | x 1| 3 的解集为
；
3. 若复数 z 满足 2z 1 3 6i （ i 是虚数单位），则 z
；
4. 若 cos 1 ，则 sin( )
；
3
2
5.
若关于 x 、
y
x 2y 4 的方程组 3x ay 6 无解，则实数 a
2
19. 某景区欲建造两条圆形观景步道 M1 、 M 2 （宽度忽略不计），如图所示，已知 AB AC ， AB AC AD 60 （单位：米），要求圆 M1 与 AB 、 AD 分别相切于 点 B 、 D ，圆 M 2 与 AC 、 AD 分别相切于点 C 、 D ； （1）若 BAD 60 ，求圆 M1 、 M 2 的半径（结果精确到 0.1 米） （2）若观景步道 M1 与 M 2 的造价分别为每米 0.8 千元与每米 0.9 千元，如何设计圆 M1 、 M 2 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到 0.1 千元）
2
；
3
18.（1） a 1 ；（2）[0, 2] ；
19.（1） M1 半径 34.6 ， M 2 半径16.1；（2） M1 半径 30， M 2 半径 20，造价 42.0 千元；
20.（1） y 3x ；（2） k 1 ；（3）略； 2
21.（1） x 1 ；（2）略；（3）略； 3
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20.
已知双曲线 : x2
y2 b2
1 (b 0) ，直线 l : y kx m
(km 0) ， l 与 交于 P 、
Q 两点， P 为 P 关于 y 轴的对称点，直线 PQ 与 y 轴交于点 N (0, n) ；
；
6. 若等差数列{an} 的前 5 项的和为 25，则 a1 a5
；
7. 若 P 、 Q 是圆 x2 y2 2x 4y 4 0 上的动点，则 | PQ | 的最大值为
；
8.
已知数列{an} 的通项公式为 an
3n ，则 lim a1 a2 n
a3 an an
；
9. 若 (x 2)n 的二项展开式的各项系数之和为 729，则该展开式中常数项的值为
ax 1 (1,1) ax
，且
f
( ax 1) ax
f
(x)
f
(1) a
；
（3）设数列 {xn }
中，
x1
(1,1)
，
xn1
(1)n1
3xn 3
1 xn
，
n
N
*
，求
x1
的取值范围，使
得 x3 xn 对任意 n N * 成立；
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（1）若点 (2, 0) 是 的一个焦点，求 的渐近线方程；
（2）若
b
1，点
P
的坐标为
(1,
0)
，且
NP
3
PQ
，求
k
的值；
2
（3）若 m 2 ，求 n 关于 b 的表达式；
21.
已知函数
f
(
x)
log
2
1 1
x x
；
（1）解方程 f (x) 1 ；
（2）设
x (1,1)
，
a (1, ) ，证明：
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2017 年上海市春季高考数学试卷
2017.1
一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）