高三数学期中试卷(理科试题正式)

北京市朝阳区-高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷（理工类） .11

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A (U B )等于（ ）

A ．∅

B ．{}5

C ．{}3

D ．{}3,5

2. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）

A ．22-n

B ．32n -

C ．12-n

D ．n

2 3.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）

A ．

56π B ．23π C ． 3π D ．6

π 4.曲线e ()1x

f x x =-在0x =处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．10x y ++= C ．210x y --= D ．210x y ++=

5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）

A ．4-

B ．2-

C ．2

D ．4

6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨

≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当

1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3

b f =，(3)

c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如

b a

c >>c b a >>a b c >>b c a >>

下函数： ①1()f x x

=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，

④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）

A ．①②

B ．③④

C ．①②④

D ．②③④

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262

x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .

11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= .

12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .

13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则

(2)=f （用a 表示），若1(3)=(2)

f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3

a b C ===

． （Ⅰ）求△ABC 的面积；

（Ⅱ）求sin()C A -的值．

16.（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N .

（Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；

（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.

17.（本小题满分13分）

函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间； （Ⅱ）设函数()()2cos 2

g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64

ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）

已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R .

（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；

（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围.

19.（本小题满分14分）

设函数()ln f x a x x

1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较与的大小并说明理由．

20.（本小题满分13分）

给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变

换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次

变换记为()k k T c ，其中k c 为第次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ，

22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”. （Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤；

（Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；

)(x f a )2(

21x x f +2)()(21x f x f +k