高三数学期中试卷(理科试题正式)
高三上学期期中数学理科试卷及答案
山东省聊城市 —高三第一学期期中考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷的答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．函数的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1） 3．如右图所示，D 是的边AB 的中点，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数中，其图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．B ．{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<⋃=且a 1a ≤1a <2a ≥2a >2()ln(1)f x x x=+-ABC ∆CD =12BC BA -+12BC BA --12BC BA -12BC BA +sin()6y x π=+sin(2)6y x π=-C．D．5．给出下列四个命题：①命题“，都有”的否定是“，使”②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；③将函数的图像向右平移个单位，得到的图像；④命题“设向量，若”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2。
其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．06．已知垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．17．已知的值为（）A．B．C．D．8．已知，则在同一坐标系内的大致图象是（）9．设函数的图象位于轴右侧所有的对称中心从左至右依次为，则A的横坐标是（）A．B．C．4021 D．402310．若函数内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（0，1）B．（—，1）C．（0，+）D．（0，）cos(4)3y xπ=-cos(2)6y xπ=-x R∀∈2314x x-+≥x R∃∈2314x x-+<cos2y x=4πcos(2)4y xπ=-()4sin,3,(2,3cos)a bαα==//,4a bπα=则,||2,||3,32a b a b a b a bλ⊥==+-且与λ32-3232±21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+则16221332213182(),()log||(0,1),(2011)(2011)0xaf x ag x x a a f g-==>≠⋅-<且且(),()y f x y g x==cos2y xπ=y12,,,,nA A A3()63(0,1)f x x bx b=-+在∞∞1211．已知定义在R 上的偶函数，且当时，，则的值为（ ）A ．—2B ．—1C ．2D ．112．已知函数的定义域为（—，+），的导函数，函数的图象如右图所示，且，则不等式的解集为 （ ） A ． B ．C ．（2，3）D ．第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ）A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ） A ．3-B ．12-C ．12D ．3 8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（ ）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围 请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3．D4．A 5．C 6．B 7．A8．B 9．A 10．D11．B12．A13．(-14．315．52π1617．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B =+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+， 所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=， 所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，2DF =，则tan DEDFE DF∠==A PB E --大小为60°法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，∴()1,0,0B ，()0,0,3P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()1,0,3PB =-，30,,32PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅， 所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x +'=++，易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点， 则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，00x x e t =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求 22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分） （2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤， 当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤， 当12a -<<，34≤，可得12a -<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高三理科数学上学期期中试卷
高三理科数学上学期期中试卷把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，今天小编就给大家分享一下高三数学，欢迎阅读学习高三数学上学期期中试卷理科第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ,则集合且为( )A. B. C. D.2. 若复数满足 ,则的虚部为( )A. B. C. D.3.三角形内，a>b是cosAA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 若是的一个内角,且 ,则的值为( )A. B. C. D.5. 两个非零向量满足则向量与夹角为( )A. B. C. D.6. 如果位于第三象限,那么角所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第一或三象限D.第二或四象限7. 函数的图象可能是( )A. B.C. D.8. 已知数列满足: , ，设数列的前项和为 ,则 ( )A.1007B.1008C.1009.5D.10109. 在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于x轴对称,若 ,则 ( )A. 或B. 或C.D.10.已知函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,下列关于的说法正确的是( )A.图象关于点中心对称B.图象关于点中心对称.C.图象关于轴对称D.图象关于轴对称11. 已知函数的图象关于点对称,若函数有四个零点则 ( )A.2B.4C.6D.812. 已知是定义在上的单调递减函数, 是其导函数,若 ,则下列不等关系成立的是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上).13. 已知若 ,则实数 __________14. __________15. 在中, ,其面积为 ,则的取值范围是__________16. 关于函数 ,有下列命题:①由可得必是的整数倍;② 的表达式可改写为 ;③ 的图象关于点对称;④ 的图象关于直线对称.其中不正确的命题的序号是__________.三、解答题(本大题共6小题，满分共70分)17.(本小题满分10分) 在中,角、、的对边分别为、、 ,向量 , ,且 .(1)求锐角的大小;(2)若 ,求面积的最大值.19.(本小题满分12分)某经销商计划经营一种商品,经市场调查发现,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克, ),满足:当时, ( 为常数);当时, .已知当销售价格为元/千克时,每日可售出该特产千克;当销售价格为元/千克时,每日可售出千克.(1)求的值,并确定关于的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为元/千克,试确定销售价格的值,使店铺每日销售该特产所获利润最大20.(本小题满分12分)设各项均为正数的数列的前项和为 ,满足 , 且构成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若对一切正整数都有 ,求实数的最小值.21.(本小题满分12分)已知 .(1)讨论的单调性(2)若在上有且仅有一个零点,求的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数(1)若 ,求曲线在点处的切线方程(2)若在上恒成立,求实数的取值范围(3)若数列的前项和 , ,求证:数列的前项和数学试题答案(理科)1--12 B DCBC CCDCB BA13. -1 14. 15.(-1，0) 16. (1)(4)17.解：(1)∵ ,∴ , +1分∴ . +3分又∵ 为锐角,∴ ,∴ ,∴ . +5分4. ∵ , ,由余弦定理 ,得 . +7分又 ,代入上式,得 ,当且仅当时等号成立. +9分故 ,当且仅当时等号成立,即的最大值为 . +10分+4分+6分+8分+10分+12分19.解：(1)由题意: 时 ,∴ ,又∵ 时 ,∴ ,可得 , +2分∴ +4分(2)由题意: +5分当时,由得或由得所以在上是增函数,在上是减函数因为所以时, 的最大值为 +8分当时,当且仅当 ,即时取等号,∴ 时有最大值. ∵ , +11分∴当时有最大值 ,即当销售价格为元的值,使店铺所获利润最大. +12分20.解：(1) 即且∴ ,∴ ,∵ ,∴ ,∴当时, 是公差为的等差数列. +4分∵ ,构成等比数列,∴ ,解得 , +5分又由已知,当时, ,∴ ∵ ,∴ 是首项 ,公差的等差数列.∴数列的通项公式 . +6分(2)由(1)可得式+10分解得∴ 的最小值为 +12分21.解：(1)由已知的定义域为 ,又 , +1分当时, 恒成立; +2分当时,令得 ;令得 . +4分综上所述,当时, 在上为增函数;当时, 在上为增函数,在上为减函数. +5分(2)由题意 ,则 , +6分当时,∵ , +7分∴g在上为增函数,又 ,不符合题意.当时, , +8分令 ,则 .令的两根分别为且 ,则∵ ,∴ ,当时, ,∴ ,∴ 在上为增函数;当时, ,∴ ,∴ 在上为减函数;当时, ,∴ ,∴ 在上为增函数.∵g=0,∴ 在上只有一个零点 1,且 >0, <0.∴ ,∴g在上必有一个零点.∵ ,当时,g<0,∴ .∴ 在上必有一个零点.综上所述,a的取值范围为 +12分22.解：(1)因为 ,所以 , ,切点为 .由 ,所以 ,所以曲线在处的切线方程为 ,即 +2分(2)由 ,令 ,则 (当且仅当取等号).故在上为增函数.①当时, ,故在上为增函数,所以恒成立,故符合题意;②当时,由于 , ,根据零点存在定理,必存在 ,使得 ,由于在上为增函数,故当时, ,故在上为减函数, 所以当时, ,故在上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数的取值范围为 +6分(3)证明:由由2知当时, ,故当时, , 故 ,故 .下面证明:因为而,所以, ,即: +12分关于高三上学期数学期中试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知则等于( )A. B. C. D.2.命题“”的否定是( )A. B.C. D.3.“ ”是“ ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图像如图所示，则y=f(x)( )A.在(-∞，0)上为减少的B.在x=0处取极小值C.在(4，+∞)上为减少的D.在x=2处取极大值5. ( )A.0B.C.D.16.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)′=sin xB.(ln 2x)′=1xC.(3x)′=3xlog3eD.(x2ex)′=2xex7 .将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A.y=sin 12xB.y=sin12x-π2C.y=sin12x-π6D.y=sin2x-π68.三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是( )A. B. C. D.9.函数错误!未找到引用源。
2022-2023学年江西省高三上学期理科数学期中考试试卷及答案
丰城中学2022-2023学年上学期高三期中考试试卷数学（理科）本试卷总分值为150分考试时长为120分钟考试范围：集合、逻辑、函数、三角、向量一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B = ð（）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-2.设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（）A.2π B.πC.32πD.2π4．函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像大致为（）A. B. C. D.5.为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度C .向右平移π15个单位长度 D.向左平移π15个单位长度6.ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知43cos ,47===B c b ,则ABC ∆的面积等于()73.A 273.B 9.C 29.D7．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A.112-B．112-C．92-D．92-8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A.3- B.2- C.0D.19．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦10．已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c>>D ．a c b>>11.已知O 是三角形ABC 的外心，若()2||||2||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=数m 的最大值为（）A ．34B ．35C ．23D ．1212.已知函数22()2(2)e (1)x x f x a a xe x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3123122)(2(2x x x x x x e e e ---的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高三期中理科试题参考答案及评分标准
高三期中理科试题1. {5,9}2. 四3.4.匚1,2] 5.28. 纟9. cosx 10. f-oc,2] 11. 125 212. n 13. 【0,2] 14. (111 -oC , —13 1 2」-t T15. 解：(1)v m =(b ,cosB )，n = (2a —c ,cosC ),m //n ,6. 8…bcosC =(2a —c posB .7. 216.••• sin BcosC =2sin AcosB -sinCcosB ,即 sin BcosC +sinC cosB =2sin AcosB , sin(B + C )=2sin AcosB ,• - sin A =3sinAcosB ,1 又sin A 工0cosB=-.2又 B 忘(0 ,n \ B =—3sin A +sin C =sin A+sin (互一A )=sin A + — cos A +-sin A=3sin A +色cosA = 73 !国sin A +-cosA〕=73sin (A +n\2 2 V2 2 丿' 6兀J 2 n n J n 5 n.••• B=—,•••0，-^ , A+——,—...... ..............3 3 6 6 6•- sin (A + n户(-,1 ]6 2」- sin A + sinC的取值范围是f弓，73]证明：(1)v三棱柱ABC-AB I G的侧棱垂直于底■面,--AA i 丄面 A i BiG . — AA i 丄A iB i .•••在三棱柱 ABC —AB’G 中，N BAC =90° ,••• N B1AC1 =90^ , AC」A1B1 .•/ AA1CAC1=A , A AU 面 ACC1A1, A1C^ 面 ACC1A1,••• A i B i 丄面 ACCiA .•/ AC S面 ACGA ,10分12分14分二 AB i 丄 AG .5分（2）取AC 的中点D ，连结ND , A i D .•••点 N , D 分别是 BC , AC 的中点，••• ND //AB , 1且 ND =—AB .2在三棱柱ABC—AB i C 中，M 是AB i 的中点,•- AM / /AB , 且 A i M =1AB .2 B i/A iMC i•- ND//AM ,且 ND =AM ,•••四边形A i MND 是平行四边形.•/ A i D U 面 ACC i A i , MN<t 面 ACC i A i , ••• MN //平面 ACGA . i0分 解：（3）以点A为空间直角坐标系原点， 建立如图所示的空 间直角坐标系. 由题，A(0,0, 0 ), M(1,0, 2 ), N(1，2,0 ), AM =(1,0, 2 ), AN =(1, -,0 ). 设；=（x,y ,z 堤平面MAN 的法向量，则 £丽0，即 r"2^0[01 AN =0 [X +2 yI则 €0=(2 , -4 , -1 )是平=0，取 一1,面MAN 的一个法向 量. 12分由题，AA 丄面ABC ，故e 2 =AA =（0,0 2 ）是平面 严％? 02-2…cos 01 , ◎/ 硏妬 X 221由图可知，二面角M - AN - B 的余弦值为姮2i17(i )由 S n = (t myN（第i6题（2）图）_>D z A iC iM B i//仇\\! VI / 认/洋一DyC（第16题（3）图）xNBAN 的一个法向量.a i =S i =2t 中114分a 2 =S —S =(6t +1 )—(2t)=4t +1.因为等差数列｛an ｝的公差d =1，故a 2 -a 1 =1, 即(4t +2 )—(2t +； )=1，解得 t=2 . 所以首项a 1 =2t +2=3 . 所以 a n 諾+(n — 1)X 1= n +1 . （2）由（1）知 t =；，故 Sn =2 n 2+n .故bl =2 —n +2n n 所以T n (n +2)n +2 丄2+片—4)+—5 鬥>6^+( 3-22n +3 (n 则n +2)-—2^^3— >1，即 k 2-k -4 >0 , (k +V (k +2 n+1叫一n+211分<7^或2凹口 . 2 2 "N* , k 33，即k 的最小值为3 . _ a_5 所以，f (X )=a x +374 -X ,5 5解得因为 所以 18.解：（1） 13分15分据题意可知,X 、=- X +3 J 4 -x . 5定义域为0,4 ]. (2 )令 t =4^X ，则 t 壬 10,2 ], X=4—t 2.故f (X )=旦X 5 +_ J 4 -x 5 +3t+4a ，5 5记 y = —a t 25W 0,2 ].由a ：>0可知，二次函数y =—a t 25 5 5①当0 C 3 <2时，即2a亠「3、j a '丿 a 》3时，二次函数 4+_^4a 开口向下，对称轴t=2 .2a+ 4a 在！ O,"3]上递增 5 I 2a 丿a t 2+3t 5 5 在！ — ,2 1上递减，故当时, ~ 2a y max 4 =-a5 +2, 20a 即当x=4-上i 时, 4af (X max =754a+旦； 20a10分 ②当—>2时,2a即0 caW 3时，二次函数 4 y=—-t 2 +mt+4a 在(0,2 )上递增，故 5 5 56，即当 X=0时，f （X h ax £ .5 5综上所述，当0 c a 兰-时，全部投资乙种商品 4万兀时，所得总利润最高，最高值为f13分当 t =2 时，y max万元；当 最高值为 a 》？时，投资甲种商品4-2 万元，乙种商品 2 万元时，所得总利润最高, 4 4a4a 4a +2万元；520a 15分佃.解：（1） 当a =0时，f （x ）=xl nx,定义域为（0 , +处）.1 f'(x )=lnx +1，令 f'(x ) = 0,可得 x=-所以，函数f （x ）的最小值为f （' ）=-1.e e（2 ）◎ 由题意可知，导函数 f'（x 在 （0，+比）上有两个不同的零点 X i , X 2 .即f '（X ）=ln X —2ax +1在（0, +处）上有两个不同的零点 x i , X 2 . 记 y =f'(x ) = lnx-2ax+1 , ^(0，+比)，y'=-—2a, x（i ）当a 兰0时，y' >0, y =「（x ）在（0，+处）上单调递增, 故 f ，（x 在 0,+比）上至多有一个零点，不符题意； (1)（ii ）当a:>0时，令y'=0，可得x=—，列表:1所以，当x=—时，y = f'（x 取最大值.2a要使得f'（x ） = l nx —2ax +1在（0，+乂）上有两个不同的零点 为,x ?, 1则 y (—)>0,2a"45列表:1 1 1 1 1即 In — -2a ——+1〉0, In 一 >0 , 一>1 , O c a..2a 2a 2a 2a 21综上(i) (ii),实数a的取值范围是0c a c1...... ...........210分②由题意，k =f0F f(X 2)= X1(In 一込宀。
高三数学(理)期中试卷及答案
第一学期期中考试高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分；满分150分．考试时间120分钟．考试结束后；将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ）1. 集合(){}lg 10M x x =-<；集合{}11N x x =-≤≤；则M N ⋂= A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(3,1),(,3)a b x ==-；且a b ⊥；则向量a b -与向量b 夹角为A. 30B. 60C. 120D.150 3.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4> 4．若5cos sin 3θθ+=-；则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数；当)2,0(∈x 时；,12)(-=xx f 则)31(log 2f 的值为 A ．2- B ．32-C ．7D ．123- 6. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222xx-+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点；则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0 8.要得到函数的图像；只需将函数的图像A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位9. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0；1)B. (1；2)C. (2；3)D. (3；4) 10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是ABCD11．若圆O 的半径为3；直径AB 上一点D 使3AB AD =；E F 、为另一直径的两个端点；则DE DF ⋅=A.3-B.4-C. 8-D. 6-12．下列四个结论中正确的个数是yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 1 2 1-2-33- x O12 3 1- 2- 12 1-2-3y(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>；(3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数；则32(log 2)(log 3)0f f +=A. 0B. 1C. 213.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数；该函数的部分图象如图所示；EFG ∆是边长为2的等边三角形；则(1)f 的值为A ．32-B ．62- C ．3 D ．3-14. 在ABC 中；,P Q 分别是,AB BC 的三等分点；且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==；则PQ = A. 1133a b - B. 1133a b -+ C. 1133a b + D.1133a b --15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数；)('x f 为其导函数；若对于任意实数x ；都有)()('x f x f >；其中e 为自然对数的底数；则（ ）A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C )2016()2015(e f f =D )2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16．2{4,21,}A a a =--；B={5,1,9},a a --且{9}AB =；则a 的值是17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩；则5()6f 的值为18. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直；则该切线方程为 19．已知||||||2a b a b ==-=；则|32|a b -= . 20. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤） 21..（本题满分12分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--；3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时；求()f x 的单调递增区间；22.（本题满分12分）已知函数()f x xlnx =； （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-；求实数a 的取值范围.23．（本题满分12分）已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112ω<<）；函数()f x 的图象关于直线x π=对称. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中；角A ；B ；C 的对边分别为,,a b c ；若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭；求ABC ∆面积的最大值.24.（本题满分14分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f ． （Ⅰ）当0=a 时；求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时；讨论)(x f 的单调性；高三阶段性测试数学（理科）二、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A BCDADDDBBCADCA二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16． -3 17.12 18. 10x y --= 19. 723三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤）21. 【解】（1）∵(2sin 32cos sin 2m n x x x x ππ⎛⎫⋅=--+-⎪⎝⎭223cos 2cos 32cos 21x x x x x =-+=++∴()1f x m n =-⋅32cos 2x x =-∴()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈；解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；∵取k =0和1且[]0,x π∈；得03x π≤≤和56x ππ≤≤； ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 法二：∵[]0,x π∈；∴112666x πππ-≤-≤；∴由2662x πππ-≤-≤和3112266x πππ≤-≤； 解得03x π≤≤和56x ππ≤≤；∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞； ()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>；解得1x e >；令()0f x '<；解得10x e<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以；当1x e =时；()f x 取得最小值11()f e e=-. （2）依题意；得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立；即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立 . 令1()ln g x x x=+； 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.当1x >时；因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭； 故()g x 是()1,+∞上的增函数； 所以()g x 的最小值是(1)1g =； 所以a 的取值范围是(],1-∞.23.24.【解】（Ⅰ）当0=a 时；xx x f 1ln 2)(+=；定义域为),0(+∞； )(x f 的导函数22'1212)(xx x x x f -=-=．分 当210<<x 时；0)('<x f ；)(x f 在)21,0(上是减函数；当21>x 时；0)('>x f ；)(x f 在),21(+∞上是增函数．分∴当21=x 时；)(x f 取得极小值为2ln 22)21(-=f ；无极大值．（Ⅱ）当0<a 时；ax xx a x f 21ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞；)(x f 的导函数为2222')1)(12(1)2(2212)(x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=．由0)('=x f 得0211>=x ；012>-=a x ；aa a x x 22)1(2121+=--=-． （1）当02<<-a 时；)(x f 在)21,0(上是减函数；在)1,21(a -上是增函数；在),1(+∞-a上是减函数；（2）当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时；)(x f 在)1,0(a -上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 在),21(+∞上是减函数． 综上所述；当2-<a 时；)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； 当02<<-a 时；)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数；在)1,21(a-上是增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知；当)2,(--∞∈a 时；)(x f 在]3,1[上是减函数． ∴3ln )2(432)3()1(|)()(|21-+-=-≤-a a f f x f x f ． ∵对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ；∴3ln 2)3ln (3ln )2(432-+<-+-a m a a 对任意2-<a 恒成立； ∴am 324+-<对任意2-<a 恒成立．当2-<a 时；4324313-<+-<-a ；∴313-≤m ．∴实数m 的取值范围为]313,(--∞．；。
高三期中数学(理)试题及答案
高三年级期中考试数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1xA x x =≤-；2{|2}B x x x =<；则A B = （ ） A.{|01}x x << B.{|01}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，；若12z z 是实数；则实数b 的值为 （ ） A ．0B ．32-C ．6-D ．6 3.以下判断正确的是 ( )A .函数()y f x =为R 上可导函数；则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件[来源:学§科§网]B .命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C.“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条件 D. 命题“在ABC ∆中；若A B >；则sin sin A B >”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)；则该几何体的体积为 ( )A ．120 cm 3B ．100 cm 3C ．80 cm 3D ．60 cm 35.由曲线21y x =+；直线3y x =-+及坐标轴所围成图形的面积为( )A . 73B .83 C . 103D . 36.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ；若21-=-m S ；0=m S ；31=+m S ；则=m （ ）A.3B.4C.5D. 6学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺；两鼠对穿；初日各一尺；大鼠日自倍；小鼠日自半；问几何日相逢？”现用程序框图描述；如图所示；则输出的结果n( )A. 4 B . 5 C . 2 D . 3 8.设123log 2,ln 2,5a b c -===；则 ( )A. a b c << B . b c a << C . c a b << D . c b a <<9.已知函数()ln f x x x =-；则()f x 的图象大致为 ( )A B C D10.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后；与函数sin(2)3y x π=+的 图象重合；则ϕ的值为 ( ) A . 56π-B . 56πC . 6π D . 6π-11.椭圆C : 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为12,F F ；焦距为2c . 若直线y=()3+x c 与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ；则该椭圆的离心率等于 （ ）A .22B . 21-C .3D . 31-R 上的函数()f x 满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩且(2)()f x f x +=；25()2x g x x +=+；则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为 （ ）A. 6- B .7- C. 8- D. 9- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分.13.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 .O yxO yx O yx O yx14.已知1sin 23α=；则2cos ()4πα-= . 15.已知0,,a x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y 的最小值为1；则a .ABC ∆中；内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ；已知cos sin a b C c B ；2b ；则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-；求()f x 的最大值和最小值. 18．（本小题满分12分）如图；在直三棱柱111ABC A B C -中；12,1BC AB AC AA ====；D 是棱1CC 上的一点；P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点；且1PB ∥平面1BDA ． （Ⅰ）求证：D C CD 1=；（Ⅱ）求二面角11A B D P --的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）随着苹果7手机的上市；很多消费者觉得价格偏高；尤其是一部分大学生可望而不可及；因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式；某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计；统计结果如下表所示.付款方式 分1期 分2期 分3期分4期 分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为；并且销售一部苹果7手机；顾客分1期付款；其利润为1000元；分2期或3期付款；其利润为1500元；分4期或5期付款；其利润为2000元；以频率作为概率.BA C DP1A 1B 1C(Ⅰ)求a ；b 的值；并求事件A ：“购买苹果7手机的3位顾客中；至多有1位分4期付款”的概率； （Ⅱ）用X 表示销售一部苹果7手机的利润；求X 的分布列及数学期望EX . 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =；直线:2l y kx =+交C 于,A B 两点；M 是线段AB 的中点；过点M 作x 轴的垂线交C 于点.N（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k ；使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在；求k 的值；若不存在；说明理由.21．(本小题满分12分) 已知函数()2ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈． （Ⅰ）当0a =时；求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内有两个不同的极值点. （ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ；证明:212x x e ⋅>．请考生在第22、23题中任选一题做答；如果多做；则按所做的第一题记分．做答时；用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中；以原点O 为极点；x 轴的正半轴为极轴；建立极坐标系；曲线1C 的参数方程为22sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ-=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上一点；Q 为曲线2C 上一点；求PQ 的最小值． 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m R =--∈；且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈；且11123m a b c++=；求证：239a b c ++≥．高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题；每小题5分；共60分。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)
南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高三上学期期中考试理科 数学试题
2023-2024学年度上期高2024届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．本试卷分选择题和非选择题两部分．3．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．6．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}{}220,21xA x x xB x =-<=>，则（）A ．B A ⊆B ．A B⊆C ．A B =RD ．A B =∅2．复数34i2iz +=+，则z =（）A B ．5C ．3D 3．执行如图所示程序框图，则输出结果是（）A ．热B ．爱C ．生D ．活4．某公司一种型号的产品近期销售情况如表：月份x23456销售额y （万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程ˆˆ0.75yx a =+，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A ．18.85万元B ．19.3万元C ．19.25万元D ．19.05万元5．已知空间两不同直线m n 、，两不同平面αβ、，下列命题正确的是（）A ．若//m α且//n α，则//m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则//n βC ．若m α⊥且//m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 不垂直于n6．如图，在ABC △中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是BC 边一点，2DC BD =，则AD BC ⋅等于（）A ．83-B ．83C ．23D ．23-7．将函数()cos2f x x =的图象向左平移2π个单位得到函数()g x 的图象，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数8．如图，平面四边形ABCD 中，1,2,AB AD CD BD BD CD ====⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．43πB ．32C ．43πD ．239．已知双曲线C 的两个顶点分别为12,A A ，若C 的渐近线上存在点P ，使122PA =，则C 的离心率范围是（）A ．(]1,3B ．[)3,+∞C ．(]1,2D ．[)2,+∞10．已知函数()()2ln 2x f x kx x kx k R =--∈，在()20,e 有且只有一个极值点，则k 的取值范围是（）A ．[)0,e B ．(){}2,0,2e e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．()2,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]0,e11．已知数列{}n a 满足()12121,1,54032n n n a a a a a n --=-=-+=≥，则1013a =（）A ．202321-B ．202421-C ．202621-D ．101321-12．已知0,0a b >>，则在下列关系①222a b +≤②1a b e -≤③1cos 23a b≥-④a b e ea e eb -=-中，能作为“2a b +≤”的必要不充分条件的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线22ln 2y x x x =--+在点()1,1处的切线的倾斜角为______．14．已知40n xdx =⎰ ，则二项式()310nx x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．15．数列{}n a 满足：2212212121,2,2n n n na a a a a a ++-==-==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则23S =______．16．12F F 、分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，12PF F △的内切圆的圆心为I ，设直线12,IF IF 的斜率分别为11,23-，则椭圆的离心率为______．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，其外接圆半径为1，4,sin sin 11cos bA C B=+=-．（1）求cos B ；（2）求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M 是AB 的中点．（1）求证：CM ⊥平面FDM ；（2）若N 为线段FC 上一点，且FN FC λ= ，二面角F DM N --的余弦值为3，求λ的值．19．（本小题满分12分）体育强国是新时期我国体育工作改革和发展的目标和任务，我国要力争实现体育大国向体育强国的转变。
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三(上)期中数学试卷(理科)+答案解析(附后)
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三（上）期中数学试卷（理科）1. 已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2.已知数列的前n项和是，则( )A. 20B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则( )A. B. C. D.4. 函数在区间的图象大致为( )A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.6.已知命题p：在中，若，则；命题q：向量与向量相等的充要条件是且在下列四个命题中，是真命题的是( )A. B. C. D.7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 直线是函数的图象的一条对称轴B. 函数的图象的对称中心为，C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象8. 数列中，，对任意m，，，若，则( )A. 2B. 3C. 4D. 59. 2020年，由新型冠状病毒感染引起的新型冠状病毒肺炎在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量法以其高灵敏度与强特异性，被认为是的确诊方法，实时荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某样本的扩增效率，则被测标本的DNA大约扩增次后，数量会变为原来的125倍．参考数据：( )A. 10B. 11C. 12D. 1310. 设，，其中e是自然对数的底数，则( )A. B. C. D.11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则正三棱柱的体积的最大值为( )A. B. C. D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB的长为( )A. 8B. 6C. 5D.13.已知向量满足，则______.14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为______.15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，若，且的面积为3，则双曲线C的焦距为______. 16. 已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为______其中e是自然对数的底数17. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，且求角C；若，，D为BC的中点，，求的面积．18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；19. 如图，四棱柱中，底面ABCD是矩形，且，，，若O为AD的中点，且求证：平面ABCD；线段BC上是否存在一点P，使得二面角的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．20. 已知曲线C上的任意一点到点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点求曲线C的方程；求面积的最大值．21.已知函数在处的切线方程为求实数m和n的值；已知，是函数的图象上两点，且，求证：22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点P的极坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23. 已知函数，M为不等式的解集．求集合M；设a，，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以复数z对应的点为，故在复平面内复数z对应的点在第三象限．故选：结合复数的除法运算化简z，由复数与复平面的对应关系即可求解．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设数列的前n项和为，则，故故选：由直接代值运算即可．本题主要考查了等车数列的和与项的递推关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：解一元二次不等式进而确定全集中的元素，根据集合A，求得，根据集合的交集运算即可求得答案．本题考查集合的运算性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数，，所以为奇函数，排除B，D；当时，，排除故选：由函数的奇偶性及函数值的大小进行排除即可求得结论．本题主要考查函数的图象的判断，考查函数的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，从上面去掉一个圆锥，且圆锥的底面直半径、高都与正方体边长相等；该几何体的体积为故选：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，中间去掉一个圆锥的组合体，由此求出它的体积．本题利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．6.【答案】D【解析】解：命题q：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，故命题q是假命题，命题p：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题p为真命题；因此，为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．故选：结合余弦三角函数单调性可判断p正确，由向量相等的条件可判断q错误．本题考查复合命题的真假，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由函数图象可知，，最小正周期为，所以，将点代入函数解析式中，得，又因为，所以，故，对于选项A，令，，即，，令，则，故选项A错误；对于选项B ，令，则，，所以，，即函数的图象的对称中心为，，故选项B 正确；对于选项C ，令，解得，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是偶函数，故选项D 错误．故选：先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由，令，则，即，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，，，则，解得，故选：取，可得出数列是等比数列，可得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，即可得出答案．本题考查构造法和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因为，所以由题意知，得，故被测标本的DNA 大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍．故选：根据题意，化简，得，可得，利用参考数据，可得答案．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设，得令，解得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即，则，，所以最小．又因为，且，所以，所以综上所述，故选：构造，利用导数证明的的单调性，赋值，可大致估计a，b 大小，，通过放缩可比较a，b大小，进而得出答案．本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图，设正三棱柱上、下底面的中心分别为H，，连接，根据对称性可知，线段的中点O即为正三棱柱外接球的球心，线段OA即为该外接球的半径，又由已知得，，设正三棱柱的底面边长为x，则，在中，，，正三棱柱的体积，令，则，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以故选：结合正三棱柱和外接球关系先求出外接球半径，令正三棱柱底面边长为x，由函数关系表示出体积V与x函数关系，利用导数可求最值．本题考查正三棱柱的最值的求解，函数思想的应用，利用导数研究函数的单调性，属中档题．12.【答案】B【解析】解：设抛物线的焦点为F，则，根据题意可知，点为的重心，若直线AB的斜率不存在，则不妨取，，则结合重心可得C为，不合题意；故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，，，则有，，，联立方程得，，则，，因为点为的重心，所以，即，所以，，即，解得，则，故线段AB的长为6，故选：判断直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案．本题考查直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值，三角形重心的坐标公式，抛物线的几何性质，属中档题．13.【答案】【解析】解：由两边平方得故答案为：通过平方的方法化简已知条件，从而求得本题主要考查平面向量数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】135【解析】解：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为故答案为：根据各项的系数之和为512得到，解得，然后利用通项公式求常数项即可．本题考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设双曲线C：的半虚轴为b，半焦距为c，，，又，两式相减可得，则，又的面积为3，，，解得，，，，即，又，，，，得，又，且，，双曲线C的焦距为故答案为：根据双曲线定义结合余弦定理可推得，结合三角形面积可推得，由可得，继而推得，，再利用勾股定理结合即可求得本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】5【解析】解：因为，所以当时，，当时，，即满足，则是偶函数．当时，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，作出函数的图象，如图所示：设，因为有8个不同的实数解，所以由图象可得，关于t的方程有2个不同的实数解，且都大于e，所以有，解得，又因为，所以整数m的值为5，故答案为：判断函数的奇偶性，利用导数判断其单调性，继而作出其图象，数形结合，将关于x的方程有8个不同的实数解，转化为关于t的方程有2个不同的实数解，列出不等式组，即可求得答案．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，解决此类比较复杂的方程的根的个数问题，一般方法是采用换元法，数形结合，将根的个数问题转化为函数图象的交点问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以在三角形ADC中，，即，解得或，即或，因为，故，因为，所以，故，所以，所以【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及正弦定理、余弦定理，即可求解．根据已知条件，结合余弦定理，以及三角面积公式，即可求解．18.【答案】解：由频率分布直方图的性质可得，，解得，设中位数为a，则，解得，故估计这50名学生成绩的中位数为的三组频率之比为：：：3：1，从中分别抽取7人，3人，1人，故所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P故【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合中位数公式，即可求解．根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从中分别抽取7人，3人，1人，推得所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式的公式，即可求解．本题主要考查随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：，且，为等边三角形，为AD的中点，，又，且，平面ABCD；如图，过O作，以O为原点，建立空间直角坐标系，则，，设，，设平面的法向量为，又，，则，取，又平面的一个法向量为，，解得或舍去，，当BP的长为时，二面角的值为【解析】由已知得为等边三角形，，再由，能证明平面建系，利用向量法及方程思想即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题，方程思想，属中档题．20.【答案】解：设曲线C上的任意一点的坐标为，由题意，得，即，所以曲线C的方程为；由题意，设直线AB的方程为，，，则联立方程得，则，所以，，所以又因为，所以直接PB的方程为令，则，所以，因为，所以令，，则又因为在上单调递减，所以当时，，故面积的最大值为【解析】由题意列出曲线方程化简即可求解；设直线AB的方程为，，，表示出P，联立直线与椭圆方程消去x，表示出关于y的韦达定理，结合B，P求出直接PB的方程，令，求出M坐标，进而得到，由求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查函数思想和运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由，得因为函数在处的切线方程为，所以，，则；证明：由可得，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．因为，是函数的图象上两点，且，不妨设，且，所以由，得，即设，设，则，所以，即，故要证，只需证，即证，即证，即证，即证，即证令，，则，证明不等式；设，则，所以当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，故，所以成立．由上述不等式可得，当时，，故恒成立，故在上为减函数，则，所以成立，即成立．综上所述，【解析】先求导，由，可求对应的m和n的值；设，由可判断，由得，设，，，得，代换整理得，原不等式要证，只需证，全部代换为关于t 的不等式得，设，，由导数得，再证，放缩得，进而得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为直线l的参数方程为为参数，所以直线l的普通方程为，因为，即，所以，得，所以曲线C的直角坐标方程为；因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以点P在直线l上，将直线l的参数方程为参数，代入，化简得，设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，故，，所以，，所以【解析】利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：①当时，不等式可化为，解得，则；②当，不等式可化为，解得，则；③当时，不等式可化为，解得，则综上所述，；证明：因为当且仅当时取等号，所以要证，只需证，即证，即证，即证，即证由可知，因为a，，所以，，所以成立．综上所述，【解析】采用零点讨论法去绝对值可直接求解；结合绝对值三角不等式得，要证，即证，即证，去平方结合因式分解即可求证．本题考查不等式的解法及其证明，考查分类讨论思想以及推理论证能力，运算求解能力，属于中档题．。
高三理科数学期中考试卷
高三理科数学期中考试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x + 12. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. 4B. 5C. 6D. 73. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则第5项a_5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 125. 圆x^2 + y^2 = 9的圆心坐标为（）A. (0, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (-3, 0)6. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π7. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = （）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3, 4}D. {1, 2}8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x) - g(x) = （）A. 4xB. 2xC. 2D. 49. 已知直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)10. 函数y = ln(x)的定义域为（）A. (-∞, 0)B. [0, +∞)C. (0, +∞)D. (-∞, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = 3x - 2，若f(a) = 7，则a = _______。
12. 已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则第4项b_4 =_______。
13. 已知函数y = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1，求导数y' = _______。
福建省重点中学22019届高三上期中考试数学(理)试卷含答案
2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学(理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ={x |2x ＜4}，则A ∪B ＝()A.RB.∅C.{x |x ≤1}D.{x |x ＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（）A ．0a ∃≤，有1ae <成立B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立C ．0a ∃>，有1a e ≥成立D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是()A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.2log 4,3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a>> C.a c b>>D ．b a c>>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．48.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为()A. B. C.D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）11.已知函数()sin3cos (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A.137(,]62B.725(,]26 C.2511(,62 D.1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．1或3-第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ____.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为____.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =,DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+-（0a >）.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）函数()()cos 3cos 022x xf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e x f x x ax =--．（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学(理科)一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.3,14．715．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得13sin 23BCD S BC BD B ∆==，又2BC =，3sin 2B =得23BD =……………3分在BCD ∆中，由余弦定理得2222221272cos 2223323CD BC BD BC BD B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以CD 的长为73CD =……………6分(Ⅱ)因为6sin 2sin DE CD AD A A===……………8分在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，又2BDC A ∠=∠,……………10分得26sin 22sin sin 60A A =，……………11分解得2cos 2A =,所以4A π=即为所求.……………12分18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ）1n n a S = ，24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅，231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n n n T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分）解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|3x ＋4，x ＜1，，1≤x≤2，－4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f (83)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤83}.....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2..................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意....................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞).…...................12分21.（本小题满分12分）由已知得:()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分∵A 为图象的最高点，∴A的纵坐标为又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC =…………3分∴42T =可得8T =,即28πω=得4πω=…………4分,∴()23sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()3g x x =,,232P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ，即3302πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ，即3302πθθ+=，即()24sin 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。
高三数学(理科)上学期期中考试试卷(含标准答案)
高三数学（理科）上学期期中考试试卷（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题 （本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+的共轭复数为（ ） A ．43i --B ．43i -+C ．43i +D ． 43i -2、设集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
（ ）A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
C 、错误！未找到引用源。
D 、错误！未找到引用源。
3．已知向量21cos ,sin ,a b αα=-=（）,（），且//,a b 4tan πα-（）等于（ ） A ．－3 B ．3 C ．31 D ．31-4、设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x =错误！未找到引用源。
”的否命题为：“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x ≠错误！未找到引用源。
”B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数错误！未找到引用源。
”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x 错误！未找到引用源。
，使得2210x -<错误！未找到引用源。
”的否定是：“R ∈∀x 错误！未找到引用源。
，均有2210x -<错误！未找到引用源。
”D ．命题“若cos cos x y =错误！未找到引用源。
，则x y =错误！未找到引用源。
”的逆否命题为真命题6、已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ ）7．已知函数1x y a-=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点，若点在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ．18.．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
安徽省六安市高三上第三次统考期中数学理科试卷（含答案）
高三上学期第三次统考（期中）数学（理）试题（时间：120分钟 满分：150分）一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}x B x e =>，则B AC R ⋂）（( )A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (0,1)D. [0,1]2．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(1)(22)0f x f x ++->的解集是( )A. 1(,)3-∞-B. 1(,)3-+∞C. (,3)-∞D. (3,)+∞3．如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数.这个函数图像大致是( )4.若关于x 的方程()13log 32xa x -=-有解，则实数a 的最小值为 （ ） A.4 B.8 C.6 D.25.要得到函数22y x =的图象，只需将函数224y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点( )A.向左平行移动4π个单位长度 B.向右平行移动8π个单位长度 C.向右平行移动4π个单位长度D.向左平行移动8π个单位长度6．在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是（ ）A.等边三角形B.不含60的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形7.已知函数()4sin cos (0)22x x f xωωω=>·)4sin cos (0)22xxf x ωωω=>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围为( )A.(]0,1B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)1,+∞8．已知点A （31），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转6π至OB ，设点C （4，0），∠COB=α，则tan α等于( ) A103B53 C 3D239.已知1sin 54πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.78-B.78C.18D.18-10．若函数()cos f x kx x =-在区间2(,)63ππ单调递增，则k 的取值范围是( )A [1,)+∞B 1[,)2-+∞ C (1,)+∞D 1(,)2+∞11.已知函数()22ln f x x x=-与()()sin g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数()g x =（ ）A.sin 2x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C.sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭ D.sin 22x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭12.已知函数2(0),()ln (0).x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则下列关于函数()11(0)y f f kx k =++≠⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断正确的是( )A.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点B.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点 C .无论k 为何值，均有3个零点D.无论k 为何值，均有4个零点第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ=14 已知函数f(x)满足())(13x f x f -=+,且在(]3-,0上,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+--≤<-+=023,2|2|233,3cos 1)(x x x x x f π则=))239((f f _____________________________. 15.设锐角ABC ∆三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 b=1，则c 的取值范围为16．已知函数()ln ()2f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数.若不等式()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，则ba的最小值等于____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分10分）已知函数()()223sin cos cos sin 2f x x x x x =+-. （1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值.3(cos cos )2sin ,a Bb Ac C +=18. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22222b a c =-(1)证明：b C a A c =-cos 2cos 2 ； (2)若31tan ,1==A a ，求△ABC 的面积S19．（本小题满分12分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点），（213，离心率为23. (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 相切于点T ，且交两坐标轴的正半轴于A ，B 两点，求|AB |的最小值．20．（本小题满分12分）我们常常称恒成立不等式:01ln >-≤x x x （，当且仅当1=x 时等号成立）为“灵魂不等式”，它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用. （1）试证明这个不等式；（2）设函数x x ax ax x f ln )(2--=，且在定义域内恒有,0)(≥x f 求实数a 的值.21．（本小题满分12分）如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点，连接,DE DB （如图2）. （1）求证： BC AD ⊥；（2）求直线DE 与平面BCD 所成的角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知函数2()42f x x x =++，()(()2)xg x e f x '=⋅-.(1)设两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，且120x x <<，若函数()f x 的图象分别在点A B 、 处的两条切线互相垂直，求21x x -的最小值；(2) 若对任意[)∞+-∈,2x ，()()f x kg x ≤恒成立，求实数k 的取值范围.舒城中学2022-2023第一学期第三次统考高三理数（时间：120分钟 满分：150分）命题： 审题： 磨题：一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}xB x e =>，则()RA B =( )A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (0,1)D. [0,1]2．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(1)(22)0f x f x ++->的解集是( ) A. 1(,)3-∞- B. 1(,)3-+∞ C. (,3)-∞ D. (3,)+∞3．如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数.这个函数图像大致是( )4.若关于x 的方程()13log 32xa x -=-有解，则实数a 的最小值为（ ） A.4 B.8 C.6 D.25.要得到函数22y x =的图象，只需将函数224y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点( ) A.向左平行移动4π个单位长度 B.向右平行移动8π个单位长度 C.向右平行移动4π个单位长度 D.向左平行移动8π个单位长度6．在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是（ ） A.等边三角形B.不含60的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形7.已知函数()4sincos(0)22xxf x ωωω=>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围为( ) A.(]0,1 B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)1,+∞8．已知点A （31），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转6π至OB ，设点C （4，0），∠COB=α，则tan α等于( ) A10311 B 5311 C 312 D 339.已知1sin 54πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.78- B.78 C.18 D.18-10．若函数()cos f x kx x =-在区间2(,)63ππ单调递增，则k 的取值范围是( )A [1,)+∞B 1[,)2-+∞ C (1,)+∞ D 1(,)2+∞11.已知函数()22ln f x x x =-与()()sin g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数()g x = （ ）A.sin 2x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C.sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭ D.sin 22x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭12.已知函数2(0),()ln (0).x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则下列关于函数()11(0)y f f kx k =++≠⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断正确的是( )A.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点B.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点 C .无论k 为何值，均有3个零点D.无论k 为何值，均有4个零点第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ=14 已知函数f(x)满足())(13x f x f -=+,且在(]3-,0上,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+--≤<-+=023,2|2|233,3cos 1)(x x x x x f π则=))239((f f _____________________________. 15.设锐角ABC ∆三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,3(cos cos )2sin ,a B b A c C +=1,b =则c 的取值范围为 .16．已知函数()ln ()2f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数.若不等式()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，则ba的最小值等于____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分10分）已知函数()()223sin cos cos sin 2f x x x x x =+-.（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值.18. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22222b a c =-(1)证明：b C a A c =-cos 2cos 2 ； (2)若31tan ,1==A a ，求△ABC 的面积S19．（本小题满分12分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫3，12，离心率为32. (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 相切于点T ，且交两坐标轴的正半轴于A ，B 两点，求|AB |的最小值．20．（本小题满分12分）我们常常称恒成立不等式:01ln >-≤x x x （，当且仅当1=x 时等号成立）为“灵魂不等式”，它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用. （1）试证明这个不等式；（2）设函数x x ax ax x f ln )(2--=，且在定义域内恒有,0)(≥x f 求实数a 的值.21．（本小题满分12分）如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点，连接,DE DB （如图2）. （1）求证： BC AD ⊥；（2）求直线DE 与平面BCD 所成的角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知函数2()42f x x x =++，()(()2)xg x e f x '=⋅-.(1)设两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，且120x x <<，若函数()f x 的图象分别在点A B 、 处的两条切线互相垂直，求21x x -的最小值；(2) 若对任意[)∞+-∈,2x ，()()f x kg x ≤恒成立，求实数k 的取值范围.2022-2023第一学期第三次统考高三理数参考答案BCDCB DCBAB AC 13．83π14．5 15．332⎛ ⎝ 16． 12e - 17（1）f(x)=12sin2x+32cos2x=sin(2x+3π),则f(6π)=32,22k ππ-+≤2x+3π22k ππ≤+，k Z ∈单调递增区间[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈. （2）由x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则2x+3π∈5[,]66ππ-，sin(2x+3π)∈[-12,1],所以值域为 [-12,1],18．解（Ⅰ）证明：因为2c 2－2a 2＝b 2，所以2c cos A －2a cos C ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc －2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2b －a 2＋b 2－c 2b ＝2c 2－2a 2b＝b ．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sin B ＝sin(A ＋C )得 2sin C cos A －2sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin C cos A ＝3sin A cos C ，又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝3tan A ＝1，故C ＝45°．…8分再由正弦定理及sin A ＝1010得c ＝a sin Csin A＝5， 于是b 2＝2(c 2－a 2)＝8，b ＝22，从而S ＝ 12ab sin C ＝1．…12分19．解： (1)由题可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，则a 2＝4b 2，∵椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫3，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2＝4b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为x m ＋yn＝1(m >0，n >0)，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，x m ＋yn ＝1，消去x 得，(m 2＋4n 2)y 2－2m 2ny ＋n 2(m 2－4)＝0.∵直线l 与C 相切，∴Δ＝4m 4n 2－4n 2(m 2＋4n 2)(m 2－4)＝0，化简得m 2＋4n 2－m 2n 2＝0，∵m >2，∴n 2＝m 2m 2－4.∵m 2＋n 2＝m 2＋m 2m 2－4＝5＋m 2－4＋4m 2－4≥9， 当且仅当m 2－4＝4m 2－4时“＝”成立，即m ＝6，n ＝ 3.∴|AB |＝m 2＋n 2≥3，故|AB |的最小值为3.20. 解析：（1）法1（图象法）：在同一坐标系下作出曲线x x f ln )(=和直线1-=x y ，发现它们均经过定点)0,1(，且1)1(='f ，即直线1-=x y 是曲线x x f ln )(=在定点)0,1(处的切线.故01ln >-≤x x x （，当且仅当1=x 时等号成立）. ……………6分 法2（导数法）：令)0(1ln )(>+-=x x x x g ，则xxx x -=-='111)(g .显然)(x g 在)1,0(内单增，在),1(+∞内单减， 因此).1()(max g x g =于是0)1()(=≤g x g .即)0(1ln >-≤x x x ,当且仅当1=x 时等号成立. ……………6分（2）函数)(x f 的定义域是),0(+∞. 因为)ln ()(x a ax x x f --=，所以0)(≥x f 等价于0ln ≥--x a ax ，即a ax x -≤ln . ……………8分当1>x 时，1ln -≥x x a . 由对数型灵魂不等式)1(1ln >-≤x x x 知， 11ln <-x x ，因此.1≥a 当10<<x 时，1ln -≤x x a . ……………10分 由对数型灵魂不等式)10(1ln <<-≤x x x 知， 11ln >-x x ，因此.1≤a 当1=x 时，等号成立, .R a ∈综上可知，实数a 的值是1 ……………12分 21.解:（I ）证明：在图1中，作CH AB ⊥于H ，则13,22BH AH ==，又1,BC = 3,3,2CH CA ∴=∴= AC BC ∴⊥， ……………………………………………………………2分 平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC ⋂平面ABC AC =，BC ∴⊥平面ADC ，……………4分 又AD ⊂平面ADC ，BC AD ∴⊥.………………………………………………………………………5分（II ）取AC 中点F ，连接,DF FE ，易得,,FA FE FD 两两垂直，以,,FA FE FD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，11330,,0,0,0,,,,0,02222E D B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11310,,,0,1,0,,0,2222DE BC CD ⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………7分设(),,m x y z =为平面BCD 的法向量，则0{0m BC m CD ⋅=⋅=，即0 30y x z =+=，取(1,0,3m =-.…9分设直线DE 与平面BCD 所成的角为θ，则6sin cos ,4m DE θ==，……………………………11分∴直线DE 与平面BCD 6.……………………………………………………12分 22. 解析：（Ⅰ）因为2()42f x x x =++，所以()24f x x '=+，故12()()1f x f x ''⋅=-，即12(24)(24)1x x +⋅+=-，且1240x +<，2240x +>. ……… 2分 所以[]2121211(24)(24)(24)(24)12x x x x x x -=+-+≥+⋅--= 当且仅当1224241x x --=+=，即152x =-且232x =-时，等号成立.所以函数()f x 的图象分别在点A B 、处的两条切线互相垂直时，21x x -的最小值为1. ……… 5分 （Ⅱ）2()42f x x x =++，()2(1)xg x e x =+.设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），则()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-.由题设可知(0)F ≥0，即1k ≥.令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2.① 若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴1(2,)x x ∈-，()F x '＜0，1(,)x x ∈+∞， ()F x '＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取 最小值1()F x .而121111()2(1)42xF x k e x x x =⋅⋅+---=21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立. ……… 8分②若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e -+-，∴当x ≥－2时，()F x '≥0， ∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0，∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立. ……… 10分③若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0，∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立.综上所述，k 的取值范围为[1,2e ]. ………12分。
高三数学(理)期中试题及答案
高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分；考试时间120分钟．（1）答题前；考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用毫米黑色的签字笔书写； 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答；超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁；不得折叠、不要弄破、弄皱；不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一个是符合题目要求的1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅；则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ；集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ；{}1)2(ln |1<=-x x N ；则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点；则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,；则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．已知向量)2,1(=a ；)1,3(21=-b a ；)3,(x c =；若()c b a //2+；则=x （ ）.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++；9642=++a a a ；则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51 .C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a x x y 0022内的任意一点；当该区域的面积为4时；y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα；⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ；ββαcos sin 1tan +=；则（ ） .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ；对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11；则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如图所示；则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中；若AC BC ⊥；3π=∠A ；4=AC ；41=AA ；M 为1AA 的中点；P 为BM的中点；Q 在线段1CA 上；QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A 3913 .B 21313 .C 23913.D 131312．对于任意实数b a ,；定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩；定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+；且当20≤≤x 时；{}x x f x --=2,12m in )(；若方程0)(=-mx x f 恰有两个根；则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中；角C B A ,,的对边分别为c b a ,,；若22241c b a +=；则=c Ba cos _______________ 15．已知R y x ∈,；满足64222=++y xy x ；则224y x z +=的取值范围________16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面；各顶点都在同一球面上；若该棱柱的体积为3；2AB =；60,1=∠=BAC AC ；则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题；共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点；极轴为x 轴的正半轴；两种坐标系中的长度单位相同；已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；A（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点；与y 轴交于E ；求EB EA +． 18.（本小题满分12分）在△ABC 中；,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；sin sin tan cos cos A BC A B+=+；sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=；求,a c ． 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ；数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； （2）记nnn a b c =；数列}{n c 的前n 项和为n T ；证明：当6≥n 时； 12<-n T n 20.（本小题满分12分）如图；PCBM 是直角梯形；90PCB ∠=︒；//PM BC ；1,2PM BC ==； 又1,AC =120ACB ∠=︒；AB PC ⊥；直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥P MAC -的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =；且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和；若存在*n N ∈；使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时；求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时；讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立；求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ；6-10 CABBA ； 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17（1）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+；得直角坐标方程为2222x y x y +=+；即()()22112x y -+-=；（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程；化简得210t t --=；点E 对应的参数0t =；设点A ；B 对应的参数分别为12,t t ；则121t t +=；121t t =- ；所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+；即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+； 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+； 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-；得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-；或()C A B C π-=--（不成立）． 即 2C A B =+； 得3C π=；所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==；则6B A π-=；或56B A π-=；（舍去） 得5,412A B ππ==． （2）1sin 32ABC S ac B ∆===+sin sin a cA C =； 即22=；得a c ==19.（1）当1n =时；1112(1)S a a ==-；所以12a =； 当1n >时；112()n n n n n a S S a a --=-=-；,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =；公比2q =的等比数列；通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=；得11b =.当2n ≥时；n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅；验证首项满足；于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++；所以12n T =23112222n n++++； 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-；所以2n T =-22n n +；即2n T -=22n n +； 下证：当6n ≥时；(2)12n n n +<；令()f n =(2)2n n n +；(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +-当2n ≥时；(1)()0f n f n +-<；即当2n ≥时；()f n 单调减；又(6)1f <； 所以当6n ≥时；()1f n <；即(2)12nn n +<；即当6n ≥时；21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥；PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.（1）设{}n a 的公差为d ；由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩；110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩；故*1()n a n n N =+∈ （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈；使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈；使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立；即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++；2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+；令21() 4 =0f x x '=-+；得112x =；212x =-（舍去）． 2分当x 变化时；(),()f x f x '的取值情况如下：所以；函数()f x 的极小值为 4分(Ⅱ) 22211)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=；令()0f x '=；得112x =；21x a=-； 5分当2a =-时；()0f x '≥；函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 6分 当20a -<<时；在区间1(0,)2；1(,)a-+∞；上()0f x '<；)(x f 单调递减； 在区间11(,)2a-；上()0f x '>；)(x f 单调递增； 7分当2a <-时；在区间1(0,)a -；1(,)2+∞；上()0f x '<；)(x f 单调递减； 在区间11(,)2a -；上()0f x '>；)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时；函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以；当[]1.3x ∈时；max ()(1)12f x f a ==+；min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--；恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立； 1即14114,4a am a m a a ->-<=-；432,432-<->am a am ；所以313-≤m 12分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市朝阳区-高三年级第一学期期中统一考试
数学试卷（理工类） .11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A (U B )等于（ ）
A ．∅
B ．{}5
C ．{}3
D ．{}3,5
2. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）
A ．22-n
B ．32n -
C ．12-n
D ．n
2 3.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
56π B ．23π C ． 3π D ．6
π 4.曲线e ()1x
f x x =-在0x =处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．10x y ++= C ．210x y --= D ．210x y ++=
5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨
≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当
1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3
b f =，(3)
c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如
b a
c >>c b a >>a b c >>b c a >>
下函数： ①1()f x x
=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，
④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①②④
D ．②③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262
x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .
11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= .
12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .
13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则
(2)=f （用a 表示），若1(3)=(2)
f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3
a b C ===
． （Ⅰ）求△ABC 的面积；
（Ⅱ）求sin()C A -的值．
16.（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N .
（Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；
（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.
17.（本小题满分13分）
函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间； （Ⅱ）设函数()()2cos 2
g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64
ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）
已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R .
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；
（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围.
19.（本小题满分14分）
设函数()ln f x a x x
1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较与的大小并说明理由．
20.（本小题满分13分）
给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变
换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次
变换记为()k k T c ，其中k c 为第次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ，
22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”. （Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤；
（Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；
)(x f a )2(
21x x f +2)()(21x f x f +k
（Ⅲ）对于数列231,2,3,,n n ，是否存在“1n 次归零变换”？请说明理由. 新课标第一网系列资料 。