长沙市高考数学一模试卷(理科)C卷
湖南省长沙一中2025届高考数学一模试卷含解析
湖南省长沙一中2025届高考数学一模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+2．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．23．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣ B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦ D ．(]1,2 4．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．5．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 6．若双曲线22214x y a -=3，则双曲线的焦距为（ ）A ．26B ．25C ．6D ．87．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6139．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．810510．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．3C ．2海里D ．311．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加用户比40% 40% 10% 10%脱贫率95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 12．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a∈R，i为虚数单位．若复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.2.已知集合，若B⊆A，则实数m的取值范围为（）A. （4，+∞）B. [4，+∞）C. （2，+∞）D. [2，+∞）3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知a=3，b=4，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B. C. D.4.已知为锐角，则sin（α+β）的值为（）A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若输入x=0，y=0，n=1，则输出的x，y的值满足（）A. B. C. D. xy=26.已知命题p：数列{a n}的通项公式为（a，b，c为实数，n∈N*），且a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列；命题q：数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，数列{b n}为递增数列．若p∨q为真，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0）B. [0，+∞）C. （0，+∞）D. （-∞，0]7.已知函数，则定积分的值为（）A. B. C. D.8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，则方程所有解的和为（）A. B. C. D.9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M，N上取三点A，B，P，其中P为侧面M的对角线上一点（与对角线端点小重合），A，B为侧面N的一条对角线的两个端点．若以线段AB为直径的圆过点P，则m的最小值为（）A.B.C. 4D. 210.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线与双曲线C交于纵坐标为1的点M，直线与抛物线的准线交于N，若，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.11.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP，练车时间为t，则函数θ=f（t）的图象大致为（）A.B.C.D.12.定义，已知α，β为函数f（x）=x2+px+q的两个零点，若存在整数n满足n＜α＜β＜n+1，则min{f（n），f（n+1）}的值（）A. 一定大于B. 一定小于C. 一定等于D. 一定小于二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD的中点，记=，=，用，表示，则=______．14.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组来表示，设（x，y）是阴影中任意一点，则z=2x+y的最大值为______．15.已知，⊙C1与⊙C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为______．16.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3-a1=8，当a4取最小值时，则数列的前n项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a=3c．（Ⅰ）若tan B=2tan C，求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=λBC，AD∥BC，∠BCD=90°，M为线段PB上一点．（Ⅰ）若，则在线段PB上是否存在点M，使得AM∥平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）己知PA=2，AD=1，若异面直线PA与CD成90°角，二而角B-PC-D的余弦值为，求CD的长．19.随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在，）及，）的人群中按分层抽样抽取人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收人在[3000，5000）元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000）元的人数，随机变量Z=|a-b|，求Z的分布列与数学期望；②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少？20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）且椭圆上存在一点M，满足．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，过F2的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？21.设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点个数；（Ⅱ）若．22.曲线C1的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（Ⅰ）求C1极坐标方程，C2直角坐标方程；（Ⅱ）将C2向左平移4个单位长度，按照变换得到C3；C3与两坐标轴交于A、B两点，P为C3上任一点，求△ABP的面积的最大值．23.已知f（x）=|x|+|2x-1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞4；（Ⅱ）对任意正数a、b，求使得不等式恒成立的x的取值集合M．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数，∴，则a=2．∴=，∴复数在复面上对应的点的坐标为（）．故选：D．由已知求得a，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：解一元二次不等式x2-3x-4＞0得：x＜-1或x＞4，即A=（-∞，-1）∪（4，+∞），解一元二次不等式x2-3mx+2m2＜0（m＞0）得m＜x＜2m，即B=（m，2m），又B⊆A，所以或，解得m≥4，故选：B．由二次不等式的解法得：A=（-∞，-1）∪（4，+∞），B=（m，2m），由集合的包含关系得：或，计算可得解本题考查了集合的包含关系及二次不等式的解法，属简单题3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了梯形的面积分式，直角三角形内切圆的面积及几何概型中的面积型，属中档题．由梯形的面积分式得：S梯形==，由直角三角形内切圆的面积得：S圆=π（）2=，由几何概型中的面积型求概率可得：P（A）==，得解．【解答】解：由图可知：S梯形==，直角三角形CDE的内切圆半径为=，S圆=π（）2=，设“该点也在△CDE的内切圆内部”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）==，故选：C．4.【答案】D【解析】解：∵cosβ=，β是锐角，∴sinβ==，又cosβ=＜，∴＜β＜，则＜2β＜π∵α是锐角，∴0＜α＜，＜α+2β＜，∵sin（α+2β）=，∴＜α+2β＜π，∴cos（α+2β）＜0，且cos（α+2β）=-=-=-，则sin（α+β）=sin（α+2β-β）=sin（α+2β）cosβ-cos（α+2β）sinβ=×--（-）×=，故选：D．根据同角的三角函数关系结合两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，结合拆角技巧是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得x=0，y=0，n=1执行循环体，x=，y=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=2，x=+=，y=+=1-=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=3，x=++=，y=++=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=4，x=-1，y=，不满足条件x+y≥，执行循环体，n=5，x=-1，y=，…不满足条件x+y≥，执行循环体，n=8，x=-1=2，y=，此时，满足条件x+y≥，退出循环，输出x的值为2，y的值为，可得此时x，y的值满足xy=．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：若a2017+k，a2018+k，a2019+k（k＞0）恒为等差数列，2a2018+k=a2018+k+a2019+k（k＞0），即2[a（2018+k）2+b（2018+k）+c]=a（2017+k）2+b（2017+k）+c+a（2019+k）2+b（2019+k）+c，整理得-2a=0，即a=0．即p：a=0，若数列{b n}的通项公式为bn=aq n-1（q＞1，n∈N*）时，则a＞0，即q：a＞0，若p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题，即{0}∪（0，+∞）=[0，+∞），故选：B．分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合p∨q为真，则p，q至少有一个为真命题进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：=（-x+2）dx+dx，其中（-x+2）dx=（-x2+2x）|=（-×4+4）-（×+1）=，其中dx表示以（3，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故dx=，故=（-x+2）dx+dx=，故选：A．根据定积分的计算法则和用定积分的几何意义计算定积分，本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵相邻两支图象与坐标轴分别交于点，∴函数的周期T=-==，则ω=2，此时f（x）=tan（2x+φ），又f（）=tan（2×+φ）=tan（+φ）=0，得+φ=kπ，即φ=kπ-，∵0＜|φ|＜，∴当k=0时，φ=-，则f（x）=tan（2x-），∵f（x）与y=cos（2x-）的对称中心相同，∴f（x）与y=cos（2x-）的交点关于同一个对称中心对称，由2x-=+kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，x=，即两个好的对称中心为（，0），由图象知两个函数只有两个交点，则=，∴x1+x2=，故选：A．根据条件求出ω 和φ的值，结合同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出正切函数的解析式，以及利用同角的正切函数和余弦函数有相同的对称中心是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】B【解析】解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为2的正方形，且高为m，如图所示；由题意知，AB为圆O的直径，则AB的最小值为2OP=4，此时△ABC为直角三角形，m的最小值为=2．故选：B．根据长方体的三视图知该长方体的底面是正方形，高为m，画出图形结合图形求出AB的最小值为4，利用直角三角形求出m的最小值．本题考查了几何体的三视图与长方体的结构特征应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：抛物线与双曲线C交于纵坐标为1的点M，可得M（，1），抛物线的准线方程为x=-，N的横坐标为-，设F1（-c，0），由，可得-+c=（+c），解得c=3.可得焦点为（-3，0），（3，0），由双曲线的定义可得2a=|MF1|-|MF2|=-=2，可得a=，b==2.则双曲线的方程为-=1．故选：C．求得M的坐标和抛物线的准线方程，可得N的横坐标，由向量的共线坐标表示解方程可得c，再由双曲线的定义可得a，进而得到b，可得双曲线的方程．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查准线方程和向量共线的坐标表示、双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】【分析】根据视角θ=∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．【解答】解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．12.【答案】B【解析】解：由题意可知，f（n）＞0，f（n+1）＞0，由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n=，因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+q=-（α+β-1）（α+β+1）+αβ=，则min{f（n），f（n+1）}的值一定小于，故选：B．由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，由“取小函数”的特征得：当f（n）=f（n+1）时，有n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所以n=，因为f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+q=-（α+β-1）（α+β+1）+αβ=，所以min{f（n），f（n+1）}的值一定小于，得解本题考查了方程根与系数的关系及对取小函数的理解，属中档题13.【答案】-+【解析】解：由图可知：==，①=，②联立①②解得：=-=-，故答案为：-．由平面向量的线性运算得：==，①=，②联立①②解得：=-=-，得解．本题考查了平面向量的线性运算，属简单题．14.【答案】1+【解析】解：由题意可知：z=2x+y与x2+（y-1）2=1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：≤1，解得1-≤z≤1+，z=2x+y的最大值为：1+．故答案为：1+．平移直线z=2x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．15.【答案】【解析】解：设两圆的公切线为y=7x+t，即7x-y+t=0，已知圆心C1（2，2），C2（-1，-1），设C1，C2到公切线的距离为d1，d2，可得d1=r1=，d2=r2=，由于公切线在两圆的同侧，r1+r2=-==|C1C2|=3，即|t+3|=15，可得t=12或-18，当t=12时，r1r2==；当t=-18时，r1r2=．综上可得r1r2=．故答案为：．设两圆的公切线为y=7x+t，求得两圆的圆心，由直线和圆相切的条件：d=r，两圆相切的条件，可得t=12或-18，计算可得所求值．本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切的条件：d=r，考查化简运算能力，属于中档题．16.【答案】S n=（8n-4）•3n+4【解析】解：各项均为正数的等比数列{a n}中，首项为a1，公比设为q（q＞0），由a3-a1=8，即，（q＞0且q≠1），整理得，所以，令，可得f′（q）=，当0＜q＜时，f′（q）＞0，f（q）递增；当q＞时，f′（q）＜0，f（q）递减，可得q=时，f（q）取得极大值，且为最大值，则na n2=n•（-4•（）n-1）2=16n•3n-1，数列的前n项和为S n=16（1•30+2•31+…+n•3n-1），3S n=16（1•3+2•32+…+n•3n），两式相减可得-2S n=16（1+3+…+3n-1-n•3n）=16（-n•3n），化简可得S n=（8n-4）•3n+4．故答案为：S n=（8n-4）•3n+4．设等比数列的公比为q（q＞0且q≠1），运用等比数列的通项公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得公比q，再由数列的错位相减法求和，即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2a=3c，由正弦定理可得：2sin A=3sin C，可得：sin A=sin C，…1分由tan B=2tan C，可得：sin B cos C=2sin C cos B，两边同时加sin C cos B，可得：sin（B+C）=3sin C cos B，可得：sin（B+C）=sin A=sin C=3sin C cos B，…3分由C∈（0，π），可得：sin C≠0，可求cos B=，…4分由B∈（0，π），可得：B=…5分（Ⅱ）由tan A=3，可得：cos A=，sin A=，可得S△ABC=3=bc•，解得：bc=4，…9分又由2a=3c，a2=b2+c2-2bc cos A，可得：c2=b2+c2-4，联立bc=4，解得：c2=+c2-4，…10分化简整理可得：5c4+16c2-488=0，解得：c=2，b=，a=3，…11分可得△ABC的周长为a+b+c=5+．…12分【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得sin A=sin C，利用三角函数恒等变换的应用可求sin C=3sin C cos B，由sin C≠0，可求cos B=，结合范围B∈（0，π），可得B．（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式可求cos A，sin A的值，根据三角形面积公式可求bc=4，进而根据余弦定理可求c的值，求得a，b即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）时，则在线段PB上是存在点M，且PM=，使得AM∥平面PCD．理由如下：如图取CN=，连接AN，MN．可得AD∥CN，AD=CN，∴四边形ADCN为平行四边形，∴AN∥CD，∵M，N分别为PB，CN的三等分点，∴MN∥PC．∴面AMN∥面PCD，∴AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，设CD=a．则A（0，0，0），N（a，0，0），P（0，0，2），D（0，1，0）．C（a，1，0），，设面PDC的法向量为．∴⇒．，．设面PNC的法向量为．⇒．|cos|=⇒a=2．∴CD的长为2．【解析】（Ⅰ）时，则在线段PB上是存在点M，且PM=，使得AM∥平面PCD．（Ⅱ）如图，过A作AN∥DC交BC与N，以A为原点，AN所在直线为x轴建立空间直角坐标系，设CD=a．求得面PDC的法向量为．面PNC的法向量为．|cos|=⇒a=2．本题主要考查空间二面角求解和线面平行判定，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）调整前y关于x的解析式为y=；调整后y关于x的解析式为y=；（2）①由频率分布表可知，从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中在[3000，5000）元的人数为3人，在[5000，7000）元的人数为4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；则P（Z=0）=P（a=2，b=2）==，P（Z=2）=P（a=1，b=3）+P（a=3，b=1）=+=，P（Z=4）=P（a=0，b=4）==，所以Z的分布列为，数学期望为E（Z）=0×+2×+4×=；②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295（元）；按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75（元），比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交295-75=220（元），即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元．【解析】（1）用分段函数分别写出调整前和调整后y关于x的关系式即可；（2）①根据分层抽样原理求出的7人知以及随机变了Z的取值可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；②计算小李按调整前起征点和调整后起征点应纳个税数，比较即可得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了分段函数的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）设|F1M|=x，则△MF1F2中，由余弦定理得，化简得，解得．故2a=|MF1|+|MF2|=4，∴a=2，得b2=a2-c2=3，因此，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）如下图所示，已知A（-2，0）、B（2，0），设T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），由k TA=k PA，可得，①由k TB=k QB，可得，②上述两式相除得，又，所以，，故，③设直线PQ的方程为x=my+1，代入椭圆C的方程并整理得（3m2+4）y2+6my-9=0，△＞0恒成立，由韦达定理得，，代入③得==，得x=4，故点T在定直线x=4上．【解析】（Ⅰ）先利用余弦定理求出|MF1|，利用定义求出a的值，再由c的值，从而可得出b的值，进而求出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（x，y）、P（x1，y1）、Q（x2，y2），分别由P、A、T三点共线和点Q、B、T三点共线并结合斜率相等得出两个等式，并将两个等式相除，设直线PQ的方程为x=my+1，将该直线方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，代入等式通过化简计算得出x=4，从而得出点T恒在直线x=4上．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义、点差法以及韦达定理法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故只需考虑x∈（0，+∞）上的极值点的个数，f′（x）=，令h（x）=（x2-1），h′（x）=，故x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（）＜h（0）=0，取x=，h（）=+1＞0，故在（，+∞）上存在唯一的x0使得h（x0）=0，故f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又f（x）是奇函数，故f（x）在（-∞，-x0）递增，在（-x0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故f（x）的极值点共2个；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在区间（0，）递减，且f（x）＜0恒成立，故x∈（0，）时，x2-x+ln（x+）＜0，即得x2+ln（x+）＜x，又令x=∈（0，），得a n=+ln[+＜，∴a1+a2+…+a n＜++…+==[1-]＜．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点的个数即可；（Ⅱ）根据函数的单调性得到x2+ln（x+）＜x，令x=∈（0，），取n=1，2，…，累加即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）C1的参数方程为，消去参数t得，x-y=4，又由公式，代入x-y=4，ρcosθ-ρsinθ=4，即ρsinθ-ρcosθ+4=0∴所以C1极坐标方程是∵曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）所以ρ2=2aρcosθ，即x2+y2=2ax，即（x-a）2+y2=a2（a＞0）∴圆心坐标是（a，0），半径是a，又曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称所以圆心在曲线C1上，所以a=4，故C2：（x-4）2+y2=162（Ⅱ）将C2向左平移4个单位长度，得到新曲线的方程是x2+y2=a2，再按照变换得到C3；，整理得，即C3：，又C3与两坐标轴交于A、B两点，不妨令A（4，0），B（0，2），|AB|=2，P为C3上任一点，设P（4cosθ，2sinθ），可得l AB：，则P到直线AB的距离d=，即时，d取到最大值．∴△ABP的面积的最大值为==．【解析】（Ⅰ）C1的参数方程消去参数即可得到普通方程，再由公式转化为极坐标方程即可得到答案，同理由公式得到C2直角坐标方程；（Ⅱ）由题意，根据所给的变换方式得到C3的方程，将其化为标准方程，根据题意得出A、B的坐标，计算出直线AB的方程，然后设出点P的坐标，表示出点P到直线AB 的距离，即可求出△ABP的面积的最大值．本题考查了参数方程，普通方程、极坐标方程的互化，以及利用参数方程解决圆锥曲线中的综合问题，难度较大，本题极好的体现了参数方程在求圆锥曲线的最值问题的妙用，将最值问题转化为三角函数的最值，极大的降低了此类综合题的解答难度．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）＞4即为|x|+|2x-1|＞4，当x≥时，x+2x-1＞4，解得x＞；当0＜x＜时，x+1-2x＞4，解得x∈∅；当x≤0时，-x+1-2x＞4，解得x＜-1，综上可得，f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞}；（Ⅱ）对任意正数a、b，不等式恒成立，可得f（x）小于++ab的最小值，由++ab≥2+ab≥2=3，当a=b=2时取得等号，即有f（x）＜3，即为|x|+|2x-1|＜3，当x≥时，x+2x-1＜3，解得≤x＜；当0＜x＜时，x+1-2x＜3，解得0＜x＜；当x≤0时，-x+1-2x＜3，解得-＜x≤0．综上可得，M={x|-＜x＜}．【解析】（Ⅰ）运用绝对值的意义，对x讨论，解不等式求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得f（x）小于++ab的最小值，运用基本不等式可得最小值，解绝对值不等式可得集合M．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
长沙市高考数学一模试卷(理科)C卷(模拟)
长沙市高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·公安期中) 已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B等于（）A . {﹣2，2}B . {﹣2，0，2}C . {﹣2，0}D . {0}2. （2分）若复数z满足(为虚数单位)，则z的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题中正确的个数是（）①命题“若 ,则”的逆否命题为“若，则 ;②“ ”是“ ”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题 ,则， .A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·普宁期中) 执行所示的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（）A . n≤9？B . n≤10？C . n≥10？D . n≥11？5. （2分）(2016·湖南模拟) 若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A . 6B . 20C . 8D . 246. （2分） (2018高三上·大连期末) 设函数图像关于直线对称，它的周期是，则（）A . 的图像过点B . 在上是减函数C . 的一个对称中心是D . 将的图象向右平移个单位得到函数的图像7. （2分）(2017·宁化模拟) 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A . 24B .C . 20D .8. （2分）函数的值域为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·民乐模拟) 已知向量，满足⊥ ，| + |=t| |，若 + 与﹣的夹角为°，则t的值为（）A . 1B .C . 2D . 310. （2分）(2017·枣庄模拟) 若变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A . ﹣3B . ﹣2C . ﹣1D . 111. （2分）某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）A . 白色B . 黑色C . 白色可能性大D . 黑色可能性大12. （2分） (2018高二上·武邑月考) 下列四个结论中不正确的是（）A . 经过定点P1(x1 ， y1)的直线都可以用方程y－y1＝k(x－x1)表示B . 经过任意不同两点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示C . 不过原点的直线都可以用方程表示D . 经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2016·诸暨模拟) 已知等比数列{an}的首项a1=1，且a2、a4、a3成等差，则数列{an}的公比q=________，数列{an}的前4项和S4=________．14. （1分） (2019高二上·漠河月考) 已知双曲线的右焦点为F，过F做斜率为2的直线 ,直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围________15. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．16. （1分） (2018高一上·海安月考) 如果对于函数f (x)的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有≤ 且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．三、解答题： (共7题；共45分)17. （5分）(2017·淄博模拟) 如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM= ，tan∠AMC=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC= ，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．18. （5分）(2017·渝中模拟) 团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示．（Ⅰ）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（Ⅱ）从所调查的50家商家中任选两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）将频率视为概率，现从A市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“η≥2”的概率．19. （5分） (2017高三下·淄博开学考) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．20. （5分） (2019高二上·德惠期中) 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足 .(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.21. （10分）(2018·中原模拟) 已知．（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．22. （10分）(2018·榆林模拟) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参考方程为（为参数）.（1）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值；（2）过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.23. （5分） (2017高二下·南昌期末) 设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）证明：| a+ b|＜；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共45分)17-1、18-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）A．5 B．16 C．80 D．﹣805．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（）A．10种B．60种C．125种D．243种7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[﹣2π，﹣]C．[，2π]D．[﹣2π，﹣]和[，2π]9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.911．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．=_______．14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．（1）证明：面GEF⊥面AEF；（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)解析版
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞a}，B={x|x2-4x+3≤0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A. a＞3B. a≥3C. a≤1D. a＜12.复数的共轭复数是（）A. 2+iB. -2-iC. -2+iD. 2-i3.下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的所似值为（）A. B. C. D.4.已知a i，b i∈R且a i，b i都不为0（i=1，2），则“=”是“关于x的不等式a1x-b1＞0与a2x-b2＞0同解”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A. B. C. D.6.阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A. 计算数列{2n-1}的前10项和B. 计算数列{2n-1}的前9项和C. 计算数列{2n-1}的前10项和D. 计算数列{2n-1}的前9项和7.如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则（）A. f（x）在上是减函数B. f（x）在上是减函数C. f（x）在上是增函数D. f（x）在上是减函数8.如图所示，直线l为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，F1关于直线l的对称点为F1′，且F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D. 39.已知定义在R上的偶函数f（x）=e|x-k|-cos x（其中e为自然对数的底数），记a=f（0.32），b=f（20.3），c=f（k+log32），则a，b，c的大小关系是（）A. a＜c＜bB. c＜a＜bC. b＜c＜aD. b＜a＜c10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，例如，，，若，则A. 64B. 65C. 71D. 7211.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且|ME|=，则|AB|=（）A. 6B. 3C. 8D. 912.已知函数u（x）=（2e-1）x-m，υ（x）=1n（x+m）-1nx若存在m，使得关于x的方程2a•u（x）•υ（x）=x有解，其中e为自然对数的底数则实数a的取值范围是（）A. B. （-∞，0）C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于______．14.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为______．15.若（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为______ ．16.已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中PA⊥平面ABC，，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．18.如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE．（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；（Ⅱ）求四棱锥D-AEFB的体积；（Ⅲ）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．19.为了响应2018年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，1000100（Ⅰ）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布（，），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.5）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；ii现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望．附：≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ-σ＜X≤μ≤σ）=0.6827；②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9973．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞1）的离心率e=，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y=x对称的点在直线y=3x-2上．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2=b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y 轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．21.已知函数f（x）=e-x+．（1）若m=0，n=1，求函数f（x）的最小值；（2）若m＞0，n＞0，f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，求的最大值．22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）-1=0，曲线C的参数方程是（t为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+．23.已知函数f（x）=|x-a|+|2x-1|（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（2）若f（x）≤|12x+1|的解集包含集合[]，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x＞a}，B={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，∵A∩B=B，∴a＜1．实数a的取值范围是a＜1．故选：D．求出集合A={x|x＞a}，B={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，由A∩B=B，能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：复数===-2-i的共轭复数为-2+i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．根据大正方形的面积与小正方形的内切圆面积比求得π的值．【解答】解：大正方形的边长为5，总面积为25，小正方形的边长为2，其内切圆的半径为1，面积为π，则=，解得π=．故选D．4.【答案】B【解析】解：由a1x-b1＞0得a1x＞b1，由a2x-b2＞0得a2x＞b2，若不等式条件，则a1，a2同号，若同为正号，则不等式的解集为x＞或x＞，即=，即=成立，若同为负号，则不等式的解集为x＜或x＜，即=，即=成立，综上=成立，当a1，a2异号时，满足=，但不等式a1x-b1＞0与a2x-b2＞0不同解”的，比如=，但x-2＞0与-x+2＞0的解集不同，即“=”是“关于x的不等式a1x-b1＞0与a2x-b2＞0同解”的必要不充分条件，故选：B．根据一元二次不等式的解法，已经充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面，且此侧面为等腰三角形，三棱锥的高为4，底边长为5，如图所示．所以S底=×4×5=10，S后=×5×4=10，S右=×4×5=10，S左=×2×=6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选C．6.【答案】A【解析】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n-1}的前10项和．故选：A．从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．7.【答案】C【解析】解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=-φ．再根据f（a+b）=2sin（π-2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．在上，2x+∈（-，），故f（x）在上是增函数，故选：C．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=-φ，再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了双曲线的简单性质，点的对称问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．先求出点F1′的坐标，再根据F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，可得（-c）2+（--0）2=c2，整理化简即可求出．【解答】解：直线l为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则直线l为y=x，∵F1，F2是双曲线C的左、右焦点，∴F1（-c，0），F2（c，0），∵F1关于直线l的对称点为F1′，设F1′为（x，y），∴=-，=•，解得x=，y=-，∴F1′（，-），∵F1′是以F2为圆心，以半焦距c为半径的圆上的一点，∴（-c）2+（--0）2=c2，整理可得4a2=c2，即2a=c，∴e==2，故选：C．9.【答案】A【解析】解：定义在R上的偶函数f（x）=e|x-k|-cos x（其中e为自然对数的底数），故：k=0，所以：函数f（x）=e|x|-cos x在（0，）上单调递增，在（-，0）上单调递减．则：c=f（k+log32）=f（log32），由于：0＜，所以：a＜c＜b，故选：A．直接利用函数的性质单调性和奇偶性的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数…第n组n个奇数，则前n组共个奇数，设2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有，解得n=45，即2019在第45组中，则前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第1010-990=20个数，即2019为第45组从左到右的第45-20+1=26个数，即i=45，j=26，故i+j=45+26=71，故选：C．由等差数列的前n项和公式可得：2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有，解得n=45，即2019在第45组中，由归纳推理可得：前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第1010-990=20个数，即2019为第45组从左到右的第45-20+1=26个数，得解．本题考查的等差数列的前n项和公式及归纳推理，属难度较大的题型11.【答案】A【解析】解：由y2=4x得焦点F（1，0），E（-1，0），设直线AB的方程为：x=ty+1并代入抛物线y2=4x得：y2-4ty-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=-4，∴x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，∴M（2t2+1，2t），|ME|2=（2t2+2）2+（2t）2=11，即4t4+12t2-7=0，解得t2=或t2=-（舍）．，∴|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6．故选：A．根据韦达定理以及抛物线的定义可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．12.【答案】D【解析】解：由2a•u（x）•υ（x）=x可得[2a（2e-1）x-2am]•ln-x=0，即2a[（2e-1）-]•ln-1=0，即2a（2e-）•ln-1=0，令=t，则方程（2e-t）ln t=有解．设f（t）=（2e-t）ln t，则f′（t）=-ln t+=-ln t+-1，显然f′（t）为减函数，又f′（e）=0，∴当0＜t＜e时，f′（t）＞0，当t＞e时，f′（t）＜0，∴f（t）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴f（t）的最大值为f（e）=e，∴≤e，解得a＜0或a≥．故选：D．根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可本题主要考查了不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解题的关键．13.【答案】2【解析】【分析】本题考查了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．由向量的坐标可求得向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．【解答】解：∵||=,又∵,即：,∴,故答案为2.14.【答案】-3【解析】解：由x，y满足约束条件得到如图可行域，由目标函数z=x-2y得到y=x-，当直线经过A时，直线在y轴的截距最大，使得z最小，由得到B（1，2），所以z的最小值为1-2×2=-3；故答案为：-3．先根据条件画出可行域，设z=x-2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x-2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15.【答案】【解析】解：∵（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，∴3n=81，解得n=4，（x+）4的展开式的通项公式为：T r+1=C4r•2r•x4-2r，令4-2r=0，解得r=2，∴展开式中常数项为a=C42•22=24；∴直线y=4x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为：S=（4x-x2）dx=（2x2-x3）=．故答案为：．依据二项式系数和为3n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项a的值，再利用积分求直线y=x与曲线y=x2围成的封闭图形的面积．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用积分求封闭图形的面积问题，是综合性题目．16.【答案】【解析】解：点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，可得球的半径为：=，，可得BC==AB．外接圆的半径为：r==AB．三棱锥的高PA=2．则三棱锥P-ABC的体积：V==，令AB2=x，则V2=≤=，可得V≤．当且仅当x=，即AB=时取等号．故答案为：．求出球的半径，三角形ABC的外接圆的半径，求出PA，然后求解棱锥的体积，利用基本不等式求解最值即可．本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题．17.【答案】解：（1）由题意得，，（2分）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sin A sin C，（3分）∵A+C=π-B，∴sin（A+C）=sin B，得，即，（5分）由b2=ac知，b不是最大边，∴．（6分）（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，（7分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，（9分）由正弦定理，得b=4sin B，（10分）∴△ABC的面积，（11分）∵，∴，∴．（12分）【解析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sin B，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cos B的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC 面积的范围．本题考查正弦定理和余弦定理，切化弦、两角和的正弦公式，正弦、余弦函数的性质等，考查化简、变形能力，属于中档题．18.【答案】（I）证明：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，∴CF∥DE，FB∥AE又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB⊂面CBF，DE、AE⊂面DAE∴面CBF∥面DAE…（2分）又BC⊂面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）（II）解：取AE的中点H，连接DH∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH∴AE=ED=DA=2，∴DH⊥AE，DH=，又AE∩EF=E∴DH⊥面AEFB…（5分）所以四棱锥D-AEFB的体积=…（6分）（III）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系则A（-1，0，0），D（0，0，），B（-1，-2，0），E（1，0，0），F（1，-2，0）因为=，所以C（，-2，）…（8分）易知是平面ADE的一个法向量，==（0，2，0）…（9分）设平面BCD的一个法向量为=（x，y，z）由令x=2，则y=2，z=-2，∴=（2，2，-2），…（10分）∴cos＜，＞=所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为…（12分）【解析】（I）因为CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB⊂面CBF，DE、AE⊂面DAE，满足面面平行的判定定理，从而面CBF∥面DAE，而BC⊂面CBF，根据面面平行的性质定理可知BC∥平面DAE；（II）取AE的中点H，连接DH，先证DH⊥面AEFB，从而得到DH为四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求出体积即可；（III）以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系，根据=，求出点C的坐标，而是平面ADE的一个法向量，然后再求出平面BCD的一个法向，最后利用公式求解，即可求出面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．本题主要考查了线面平行的判定，以及四棱锥体积的计算和利用空间向量度量二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）μ=×（25×35+150×45+200×55+250×65+225×75+100×85+50×95）=65，∵=14.5，∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．∴p（36＜Z≤50.5）≈=0.1359，综上，p（36＜Z≤79.5）=p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287=0.8186．（Ⅱ）由题意昨X的可能取值为20，40，60，80，由题意知P（z＜μ）=P（Z≥μ）=，P（X=20）==，P（X=40）==，P（X=60）==，P（X=80）==，X的数学期望为E（X）==．【解析】（Ⅰ）由题意求出μ=65，进而P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．由此能求出p（36＜Z≤79.5）．（Ⅱ）由题意知P（z＜μ）=P（Z≥μ）=，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查正态分布、古典概型、排列组合、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】（1）解：点A（-a，0）关于直线y=x对称的点（0，-a）在直线y=3x-2上，∴-a=0-2，解得a=2．又=，a2=b2+c2，联立解得b2=2=c2．∴椭圆E的标准方程为：+=1．（2）证明：设M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），令x=0，解得y=2k，∴C（0，2k）．联立，化为：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0（k≠0）．∴-2x0=，解得x0=．∴y0=，即M（，），∴直线BM的斜率═=-．∴BM的方程：y=-（x-2），令x=0，解得y=，∴D（0，）．设N（x N，y0），则=（-x N，2k-y0），=（x N，-y0）．∴•=x N2+y02+2-y0．∵x N2+y02=2，y0=，∴∴•=0．∴NC⊥ND．即∠CND=90°．∴sin∠CND=1．【解析】（1）点A（-a，0）关于直线y=x对称的点（0，-a）在直线y=3x-2上，可得-a=0-2，解得a．又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）设M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），可得C（0，2k）．直线方程与椭圆方程联立化为：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0（k≠0）．利用根与系数的关系可得：M的坐标，即可得BM的方程：y=（x-2），求出点D的坐标．设N（x N，y0），计算•，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直于数量积的关系、对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）若m=0，n=1，f（x）=e-x+x，∴f′（x）=-e-x+1，∴x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减；x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=0时，函数取得极小值，也是最小值为1；（2）∵f（x）=e-x+，∴f′（x）=-e-x+，∵f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，f（0）=1，∴f′（x）=-e-x+≥0在[0，+∞）上恒成立，∴≥在[0，+∞）上恒成立，设=t，则≥在[0，+∞）上恒成立，∴tx+1≤在[0，+∞）上恒成立令g（x）=tx+1-，g′（x）=t-，∴函数在[0，2ln2t）上单调递减，[2ln2t，+∞）上单调递增，∴x=2ln2t时，g（x）min=2t ln2t+1-2t，∴2t ln2t+1-2t≤0，∵2t=1，2t ln2t+1-2t=0，2t＜1，2t ln2t+1-2t＜0，2t＞1，2t ln2t+1-2t＞0，∴2t≤1，∴t≤，∴的最大值为．【解析】（1）求导数，取得函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值；（2）确定f′（x）=-e-x+≥0在[0，+∞）上恒成立，设=t，则≥在[0，+∞）上恒成立，tx+1≤在[0，+∞）上恒成立，由此即可求的最大值．本题考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查函数的最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）因为，所以ρcosθ-ρsinθ-1=0由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x-y-1=0…（3分）因为消去t得y2=4x，所以直线l和曲线C的普通方程分别为x-y-1=0和y2=4x．…（4分）（Ⅱ）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，设直线l的参数方程：（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2．，，…（7分）∴====1．…（10分）【解析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程化为ρcosθ-ρsinθ-1=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直线l的普通方程；曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程．（Ⅱ）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，求出直线l的参数方程，得到，由此利用韦达定理能求出的值．本小题主要考查参数方程、极坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．23.【答案】解：（1）a=1时，f（x）≤2⇔|x-1|+|2x-1|≤2⇔或或，解得：0，综上，f（x）≤2的解集是[0，]．（2）因为f（x）≤|12x+1|的解集包含集合[]，所以f（x）≤|12x+1|在[]上恒成立，所以|x-a|+2x-1≤12x+1，即|x-a|≤10x+2在[，1]上恒成立，所以-10x-2+a≤x≤10x+2+a在[，1]上恒成立，所以-9x-2≤a≤11x+2在[，1]上恒成立．a≥（-9x-2）max=-9×-2=-，a≤（11x+2）min=，故实数a的取值范围是[-，]．【解析】（1）分3段去绝对值解不等式再相并；（2）问题转化为f（x）≤|12x+1|在[]上恒成立，即-9x-2≤a≤11x+2在[，1]上恒成立，再换华为最值解决．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·清远期末) 已知集合，，则A .B .C .D .2. （2分）(2017·运城模拟) 变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A . {﹣3，0}B . {3，﹣1}C . {0，1}D . {﹣3，0，1}3. （2分）(2017·丰台模拟) 在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A .B .C .D . 24. （2分） (2016高三上·清城期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”B . 若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C . 命题“若x=y，则si nx=siny”的逆否命题为真命题D . “x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”5. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A . -3B . -C .D . 26. （2分）(2017·深圳模拟) 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A . 4πB . πh2C . π（2﹣h）2D . π（4﹣h）27. （2分） (2017高三下·武邑期中) 已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m），若∥ ，则|2 +3 |等于（）A .B .C .D .8. （2分）在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=60°，∠C=105°，BC=1，则AB的取值范围（）A . （1，2）B . （2﹣，1）C . （2﹣，2+ ）D . （1，2+ ）二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z= ，其中i是虚数单位，则z的模是________．10. （1分）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=8an﹣1，则=________11. （1分） (2017高三上·汕头开学考) 在直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|，则直线AB的斜率大小是________．12. （1分） (2016高二上·南通开学考) 若将函数y=sin2x的图象向左平移θ，个单位后所得图象关于y轴对称，则θ=________．13. （1分）(2017·嘉兴模拟) 动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为________（用数字作答）．14. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知函数，当时，，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）(2017·江门模拟) △ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=• ．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b+c=5，a= ，求△ABC的面积的大小．16. （10分） (2017高三上·山东开学考) 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．17. （10分）(2019·乌鲁木齐模拟) 如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.18. （10分） (2018高二下·张家口期末) 已知，函数（是自然对数的底数）.（1）若有最小值，求的取值范围，并求出的最小值；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.19. （10分） (2017高二下·高青开学考) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20. （15分） (2018高二上·嘉兴月考) 已知，函数 .（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
2021年湖南省长沙市高考数学一模试卷理科及答案
2021年湖南省长沙市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，那么z1z2=〔〕A．2B．﹣2C．1+i D．1﹣i2．〔5分〕设全集U=R，函数f〔x〕=lg〔|x+1|﹣1〕的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，那么〔∁U A〕∩B的子集个数为〔〕A．7B．3C．8D．93．〔5分〕函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的图象中相邻对称轴的距离为，假设角φ的终边经过点，那么的值为〔〕A．B．C．2D．4．〔5分〕如下图的茎叶图〔图一〕为高三某班50名学生的化学考试成绩，图〔二〕的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，那么输出的m，n分别是〔〕A．m=38，n=12B．m=26，n=12C．m=12，n=12D．m=24，n=105．〔5分〕设不等式组暗示的平面区域为Ω1，不等式〔x+2〕2+〔y﹣2〕2≤2暗示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为〔〕A．B．C．D．6．〔5分〕假设函数f〔x〕=的图象如下图，那么m的范围为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕B．〔﹣1，2〕C．〔0，2〕D．〔1，2〕7．〔5分〕某多面体的三视图如下图，那么该多面体各面的面积中最大的是〔〕A．11B．C．D．8．〔5分〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2021＞0，S2021＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，那么k的值为〔〕A．1006B．1007C．1008D．10099．〔5分〕非零向量，，满足|﹣|=||=4，〔﹣〕•〔﹣〕=0，假设对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，那么m﹣n的值为〔〕A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2D．是410．〔5分〕如下图的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面彼此垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，那么球O的概况积为〔〕A．4πB．12πC．16πD．36π11．〔5分〕双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，假设∠PAQ=60°，且，那么双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕e为自然对数的底数，假设对任意的x∈[0，1]，总存在独一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[1，e]B．C．〔1，e]D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕a＞0，展开式的常数项为15，那么=．14．〔5分〕设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，那么ab的取值范围是．15．〔5分〕正项数列{a n}的前n项和为S n，且〔n∈N*〕，设，那么数列{c n}的前2021项的和为．16．〔5分〕F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A〔﹣2，1〕，当△APF周长最小时，其面积为．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕△ABC中，点D在BC边上，且，AB=3．〔Ⅰ〕求AD的长；〔Ⅰ〕求cosC．18．〔12分〕如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．〔1〕过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；〔2〕在〔1〕的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．〔12分〕2021年7月9日21时15分，台风“莲花〞在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安装，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，〔2000，4000]，〔4000，6000]，〔6000，8000]，〔8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：〔Ⅰ〕试按照频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔Ⅰ〕小明向班级同学发出建议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进展捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；〔Ⅰ〕台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，按照表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30b捐款不超过500元c d=6合计P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．20．〔12分〕抛物线C的顶点为原点，其焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y ﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．〔12分〕函数f〔x〕=+be﹣x，点M〔0，1〕在曲线y=f〔x〕上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．〔1〕求a，b的值；〔2〕如果当x≠0时，都有f〔x〕＞+ke﹣x，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕选修4﹣4；坐标系与参数方程曲线C1的参数方程是〔φ为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序分列，点A的极坐标为〔2，〕．〔1〕求点A，B，C，D的直角坐标；〔2〕设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f〔x〕=|x|﹣|2x﹣1|，记f〔x〕＞﹣1的解集为M．〔1〕求集合M；〔2〕a∈M，比力a2﹣a+1与的大小．2021年湖南省长沙市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，那么z1z2=〔〕A．2B．﹣2C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=〔1+i〕〔1﹣i〕=2．应选：A．2．〔5分〕设全集U=R，函数f〔x〕=lg〔|x+1|﹣1〕的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，那么〔∁U A〕∩B的子集个数为〔〕A．7B．3C．8D．9【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，那么∁U A={x|﹣2≤x≤0}；由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．那么B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，那么〔∁U A〕∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．∴〔∁U A〕∩B的元素个数为3．∴〔∁U A〕∩B的子集个数为：23=8．应选：C．3．〔5分〕函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ＜π〕的图象中相邻对称轴的距离为，假设角φ的终边经过点，那么的值为〔〕A．B．C．2D．【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点，在第一象限．即tanφ=，∴φ=故得f〔x〕=sin〔2x+〕那么=sin〔+〕=cos=．应选：A4．〔5分〕如下图的茎叶图〔图一〕为高三某班50名学生的化学考试成绩，图〔二〕的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，那么输出的m，n分别是〔〕A．m=38，n=12B．m=26，n=12C．m=12，n=12D．m=24，n=10【解答】解：由轨范框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，那么在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26应选：B．5．〔5分〕设不等式组暗示的平面区域为Ω1，不等式〔x+2〕2+〔y﹣2〕2≤2暗示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为〔〕A．B．C．D．【解答】解：不等式组暗示的平面区域为Ω1，不等式〔x+2〕2+〔y﹣2〕2≤2暗示的平面区域为Ω2，如图：对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=．应选：C．6．〔5分〕假设函数f〔x〕=的图象如下图，那么m的范围为〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕B．〔﹣1，2〕C．〔0，2〕D．〔1，2〕【解答】解：∵当x＞0时，f〔x〕＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′〔x〕=．∵f〔x〕有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．应选：D．7．〔5分〕某多面体的三视图如下图，那么该多面体各面的面积中最大的是〔〕A．11B．C．D．【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如下图的四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴PA==，∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：S△PAB==．应选：C．8．〔5分〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2021＞0，S2021＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，那么k的值为〔〕A．1006B．1007C．1008D．1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2021==1007〔a1007+a1008〕＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2021＜0可得2021a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008应选：C．9．〔5分〕非零向量，，满足|﹣|=||=4，〔﹣〕•〔﹣〕=0，假设对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，那么m﹣n的值为〔〕A．随增大而增大B．随增大而减小C．是2D．是4【解答】解：假设=〔4，0〕、=〔2，2〕、=〔x，y〕，∵〔﹣〕•〔﹣〕=0，∴〔4﹣x，﹣y〕•〔2﹣x，2﹣y〕=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，即〔x﹣3〕2+〔y﹣〕2=4，∴满足条件的向量的终点在以〔3，〕为圆心、半径等于2的圆上，∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，∴m﹣n=4，应选：D．10．〔5分〕如下图的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面彼此垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，那么球O的概况积为〔〕A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面彼此垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，那么h2+3=R2=〔﹣h〕2，∴h=1，R=2，∴球O的概况积为4πR2=16π．应选：C．11．〔5分〕双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，假设∠PAQ=60°，且，那么双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A〔a，0〕，P〔m，〕，〔m＞0〕，由=3，可得Q〔3m，〕，圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H〔2m，〕，由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，那么|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．应选C．12．〔5分〕e为自然对数的底数，假设对任意的x∈[0，1]，总存在独一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．[1，e]B．C．〔1，e]D．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在独一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥〔﹣1〕2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个分歧的实数，因此舍去，a的取值范围是．应选：B．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕a＞0，展开式的常数项为15，那么=．=•〔﹣1〕r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．14．〔5分〕设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，那么ab的取值范围是[﹣16，16] ．【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1暗示的可行域如图的暗影局部：可行域与坐标轴的交点坐标〔1，0〕，〔0，1〕，〔0，﹣1〕，〔﹣1，0〕，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，那么ax+4by≥8暗示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a ＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[﹣16，16]；故答案为：[﹣16，16]．15．〔5分〕正项数列{a n}的前n项和为S n，且〔n∈N*〕，设，那么数列{c n}的前2021项的和为．【解答】解：正项数列{a n}的前n项和为S n，且〔n∈N*〕①，那么：②，﹣a n，②﹣①得：+a n+1﹣a n=1，整理得：a n+1当n=1时，，解得：a1=1，所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．那么a n =1+n ﹣1=n ，所以：．那么：=，数列{c n }的前2021项的和为：，=﹣1+， =﹣．故答案为：16．〔5分〕F 是椭圆C ：+=1的右焦点，P 是C 上一点，A 〔﹣2，1〕，当△APF 周长最小时，其面积为 4 ．【解答】解：椭圆C ：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'〔﹣4，0〕，右焦点为F 〔4，0〕．△APF 周长为|AF |+|AP |+|PF |=|AF |+|AP |+〔2a ﹣|PF'|〕 =|AF |+|AP |﹣|PF'|+2a ≥|AF |﹣|AF'|+2a ，当且仅当A ，P ，F'三点共线，即P 位于x 轴上方时，三角形周长最小． 此时直线AF'的方程为y=〔x +4〕，代入x 2+5y 2=20中，可求得P 〔0，2〕， 故S △APF =S △PF'F ﹣S △AF'F =×2×8﹣×1×8=4．故答案为：4．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕△ABC中，点D在BC边上，且，AB=3．〔Ⅰ〕求AD的长；〔Ⅰ〕求cosC．【解答】解：〔Ⅰ〕由获得：AD⊥AC，所以，所以．〔2分〕在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，〔4分〕解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．〔6分〕〔Ⅰ〕在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知〔8分〕所以〔10分〕因为，即〔12分〕18．〔12分〕如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．〔1〕过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；〔2〕在〔1〕的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】解：〔1〕当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：保持AC交BD于M，保持MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．〔2〕过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，那么P为BC的中点．以O为原点，建立如下图的空间直角坐标系，设AD=1，那么BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=〔AB﹣EF〕=，∴OF=．∴A〔，﹣，0〕，B〔，，0〕，C〔﹣，，0〕，F〔0，0，〕，N〔﹣，，〕．∴=〔0，2，0〕，=〔﹣，，〕，=〔﹣，﹣，〕．设平面ABF的法向量为=〔x，y，z〕，那么，∴，令z=得=〔2，0，〕，∴=﹣1，||=，||=．∴cos＜，＞==﹣．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．19．〔12分〕2021年7月9日21时15分，台风“莲花〞在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安装，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，〔2000，4000]，〔4000，6000]，〔6000，8000]，〔8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：〔Ⅰ〕试按照频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔Ⅰ〕小明向班级同学发出建议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进展捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；〔Ⅰ〕台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，按照表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30bc d=6捐款不超过500元合计P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，．Array【解答】解：〔Ⅰ〕记每户居民的平均损失为元，那么：=〔1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003〕×2000=3360…〔2分〕〔Ⅰ〕由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：〔0.00009+0.00003+0.00003〕×2000×50=15户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P〔ξ=0〕==，P 〔ξ=1〕==，P 〔ξ=2〕==，∴ξ的分布列为：ξ 01 2 PEξ=0×+1×+2×=． 〔Ⅰ〕如图：经济损失不超过 4000元经济损失超过 4000元合计捐款超过 500元 30939捐款不超 过500元 5 6 11合计35 15 50K 2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…〔12分〕20．〔12分〕抛物线C 的顶点为原点，其焦点F 〔0，c 〕〔c ＞0〕到直线l ：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：〔1〕焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．〔2〕设，，由〔1〕得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P〔x0，y0〕为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．〔3〕按照抛物线的定义，有，，所以=，由〔2〕得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．〔12分〕函数f〔x〕=+be﹣x，点M〔0，1〕在曲线y=f〔x〕上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．〔1〕求a，b的值；〔2〕如果当x≠0时，都有f〔x〕＞+ke﹣x，求k的取值范围．【解答】解：〔1〕f〔x〕=+be﹣x的导数为f′〔x〕=，由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得f〔0〕=1，f′〔0〕=﹣，即有b=1，a﹣b=﹣，解得a=b=1；〔2〕当x≠0时，都有f〔x〕＞+ke﹣x，即为+e﹣x＞+ke﹣x，即有〔1﹣k〕e﹣x＞，即1﹣k＞，可令g〔x〕=，g〔﹣x〕==g〔x〕，即有g〔x〕为偶函数，只要考虑x＞0的情况．由g〔x〕﹣1=，x＞0时，e x＞e﹣x，由h〔x〕=2x﹣e x+e﹣x，h′〔x〕=2﹣〔e x+e﹣x〕≤2﹣2=0，那么h〔x〕在x＞0递减，即有h〔x〕＜h〔0〕=0，即有g〔x〕＜1．故1﹣k≥1，解得k≤0．那么k的取值范围为〔﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕选修4﹣4；坐标系与参数方程曲线C1的参数方程是〔φ为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序分列，点A的极坐标为〔2，〕．〔1〕求点A，B，C，D的直角坐标；〔2〕设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：〔1〕点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为〔2〕设P〔x0，y0〕，那么为参数〕t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设f〔x〕=|x|﹣|2x﹣1|，记f〔x〕＞﹣1的解集为M．〔1〕求集合M；〔2〕a∈M，比力a2﹣a+1与的大小．【解答】解：〔1〕由f〔x〕＞﹣1，得或或解得0＜x＜2，故M={x|0＜x＜2}．〔2〕由〔1〕知0＜a＜2，因为，当0＜a＜1时，，所以；当a=1时，，所以；当1＜a＜2时，，所以．综上所述：当0＜a＜1时，；当a=1时，；当1＜a＜2时，．。
长沙市数学高考理数第一次适应性检测试卷C卷
长沙市数学高考理数第一次适应性检测试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高二下·邢台期末) 已知集合，则（）A.B.C.D.2. （2 分） (2017 高三上·山东开学考) 计算： A.2 B . ﹣2 C . 2i D . ﹣2i=（ ）3. （2 分） (2018 高一上·佛山月考) 已知，并且 是第二象限的角，那么的值等于（ ）A.B.C.D.第 1 页 共 13 页4. （2 分） (2016 高一下·深圳期中) 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且| |= △ABC 中， =2 +2 ， =2 ﹣6 ，D 为 BC 中点，则| |=（ ），| |=2，在A.2B.4C.6D.85. （2 分） 已知函数 g（x）=a﹣x2（ ≤x≤e，e 为自然对数的底数）与 h（x）=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ）A . [1， +2] B . [1，e2﹣2]C . [ +2，e2﹣2] D . [e2﹣2，+∞）6. （2 分） (2019·河南模拟) 若 x ， y 满足，则的取值范围是A.，B.C.D.7. （2 分） 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在＂田＂字形的 4 个小方格内，一格涂一种颜色而且相邻两格 涂不同的颜色，如颜色可以重复使用，则有且仅有两格涂相同颜色的概率为（ ）A.第 2 页 共 13 页B.C.D.8. （2 分） (2018 高二下·张家口期末) 执行如图所示的程序框图，如果输出结果为 条件是（ ），在空白判断框中的A. B. C. D.9. （2 分） 设 A. B.,，若， 则实数 a 的取值范围是（ ）C.D.10. （2 分） (2018 高二上·延边月考) 已知 为坐标原点，椭圆方程为椭圆相交于两点， 为 中点，则的取值范围是（ ），斜率为 1 的直线与A.第 3 页 共 13 页B.C.D.11. （2 分） (2017 高三上·长葛月考) 在正四棱锥 ，给出下面三个命题：中，已知异面直线 与 所成的角为：若，则此四棱锥的侧面积为；：若分别为的中点，则平面；：若都在球 的表面上，则球 的表面积是四边形在下列命题中，为真命题的是（ ）A.面积的 倍.B. C.D.12. （2 分） (2018·中原模拟) 已知函数 则实数 的取值范围为（ ），当时，恒成立，A. B.C.第 4 页 共 13 页D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 在 （1+x+)10 的展开式中，x2 项的系数为________ （结果用数值表示）．14. （1 分） (2016 高三上·沙市模拟) 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0，S5=﹣5，数列{}的前 2016 项的和为________．15. （1 分） (2018 高三上·三明期末) 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻 有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为 的圆六等分，分别以各等分点为圆心， 以 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部 分（忽略图中的白线）的概率是________．16. （1 分） (2019·新疆模拟) 设在中至少有________个零点.是 上具有周期 的奇函数，并且，则三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2016 高一下·老河口期中) 在△ABC 中，b=3，c=3 ，∠B=30°，求角 A，角 C，a．18. （10 分） 在△中，角的对边分别为 、 、 ，完成下列问题：（1） 若，求证：；（2） 若，求的最大值．第 5 页 共 13 页19. （10 分） 在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个是正确的．若对 4 道选择题中的每一道都 任意选定一个答案，求这 4 道题中：（1） 恰有两道题答对的概率；（2） 至少答对一道题的概率．20. （10 分） (2018·齐齐哈尔模拟) 设抛物线的顶点为坐标原点,焦点 在 轴的正半轴上,点 是抛物 线上的一点，以 为圆心,2 为半径的圆与 轴相切,切点为 .(I)求抛物线的标准方程:(Ⅱ)设直线 在 轴上的截距为 6,且与抛物线交于 当直线 恰与抛物线相切时,求直线 的方程., 两点,连接并延长交抛物线的准线于点 ,21. （10 分） 记 max{m，n}表示 m，n 中的最大值，如 max g（x）=max{x+lnx，ax2+x}．．已知函数 f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，（1） 求函数 f（x）在上的值域；（2） 试探讨是否存在实数 a，使得 g（x）＜ 若不存在，说明理由．x+4a 对 x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求 a 的取值范围；22. （10 分） (2018·商丘模拟) 已知曲线 的极坐标方程为，直线 ：，直线 ：.以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1） 求直线 ， 的直角坐标方程以及曲线 的参数方程；（2） 已知直线 与曲线 交于 ， 两点，直线 与曲线 交于 ， 两点，求的面积.23. （10 分） (2018 高二下·衡阳期末) [选修 4—5:不等式选讲]已知函数（1） 求不等式的解集.第 6 页 共 13 页（2） 若不等式的解集非空，求 的取值范围.第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 8 页 共 13 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、 18-1、第 9 页 共 13 页18-2、 19-1、 19-2、第 10 页 共 13 页20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖南省2020年高考数学一模试卷(理科)C卷
湖南省2020年高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·上饶期中) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知，则的值为（）A . －7B . 3C . －8D . 13. （2分）函数f（x）= + 的最小值为（）A . 2B . +C .D .4. （2分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·桂林期中) 命题：中，若，则；命题：若，则方程一定无实根，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·九江模拟) 《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺。
”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图）。
”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为（）A . 平方尺B . 平方尺C . 平方尺D . 平方尺7. （2分）(2016·太原模拟) △DEF的外接圆的圆心为O，半径R=4，如果，且，则向量在方向上的投影为（）A . 6B . ﹣6C .D . -8. （2分）双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， P为双曲线上任一点，已知｜｜·｜｜的最小值为m．当≤m≤时，其中c＝，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A . 27B . 63C . 15D . 3110. （2分） (2016高二下·钦州期末) 在的展开式中的常数项是（）A . 7B . ﹣7C . 28D . ﹣2811. （2分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3 ，则（）A . 9B . 6C . 3D . 212. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx 的图象关于直线x= 对称．则下列判断正确的是（）A . p为真B . ￢q为假C . p∧q为假D . p∨q为真二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·海丰月考) 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是，点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________.14. （1分） (2017高二下·长春期中) ∫ dx=________．15. （1分） (2016高一上·云龙期中) 定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）=f（），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0；若P=f（）+f（），Q=f（），R=f（0）；则P，Q，R的大小关系为________．16. （1分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是________三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程． (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二上·上杭期中) 在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．18. （10分） (2019高二上·集宁月考) 设等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的序号的值19. （10分） (2018高一下·阿拉善左旗期末) 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）和平均数?20. （15分）(2019·四川模拟) 如图，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．（1）证明：平面；（2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值；（3）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21. （5分）在平面直角坐标系中，已知两定点和，点M是平面内的动点，且．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设F2（1，0），R（4，0），自点R引直线l交曲线E于Q，N两点，求证：射线F2Q与射线F2N关于直线x=1对称．22. （10分） (2020高三上·泸县期末) 已知函数在处取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程． (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
湖南省2020年高考数学一模试卷(理科)C卷(新版)
湖南省2020年高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）设集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·金山期中) 设复数z= +（1+i）2 ，则复数z的共轭复数的模为（）A .B . 1C . 2D .3. （2分）设集合，那么“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）(2017·长沙模拟) 已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高三上·张家口期末) 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数关系式为（）A .B .C .D .6. （2分）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有（）A . 72种B . 144种C . 240种D . 480种7. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知实数x，y满足，则x+2y的取值范围为（）A . [﹣3，2]B . [﹣2，6]C . [﹣3，6]D . [2，6]8. （2分）(2017·九江模拟) 执行如图所示的程序框图，如图输出S的值为﹣1，那么判断框内应填入的条件是（）A . k≤8B . k≤9C . k≤10D . k≤119. （2分）已知双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·南康期中) 已知函数 .若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）（x3+)的展开式中x5的系数是________12. （1分） (2019高二下·来宾期末) 已知随机变量服从正态分布，若，则 ________．13. （1分） (2020高三上·长春月考) 如图，一块边长的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积 (单位： )表示为 (单位： )的函数为________．14. （1分）(2017·襄阳模拟) 将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．15. （1分）(2018·徐州模拟) 如图，在中，已知为边的中点.若，垂足为，则的值为________三、解答题： (共6题；共50分)16. （10分） (2019高二上·金华月考) 已知平面上有两点， .（1）求过点的圆的切线方程；（2）若在圆上，求的最小值，及此时点的坐标.17. （5分） (2017高三上·石景山期末) 2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个a c20个以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．18. （5分）如图，如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB 是等边三角形，已知．（I）求证：平面SAB⊥平面SAC；（II）求二面角B﹣SC﹣A的余弦值．19. （10分） (2020高二上·娄底开学考) 已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项之和．20. （10分）(2018·银川模拟) 已知椭圆过点，离心率是，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.21. （10分） (2019高二上·大兴期中) 已知椭圆的两个焦点分别是，，且椭圆经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共50分) 16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
长沙市数学高三上学期理数第一次模拟考试试卷C卷
长沙市数学高三上学期理数第一次模拟考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1.（2 分）(2018 高一上·辽宁月考) 若集合，，则A.B.或C.D.2. （2 分） 已知复数 z 满足， 其中 是虚数单位，则复数 的共轭复数为（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2018 高二上·武汉期中) 给定两个命题 ， ,若 的（ ）是 的必要而不充分条件，则 是A . 充分不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2017 高一上·景县期中) 已知函数，则=（ ）A.B.C.D.5. （2 分） (2016 高一上·胶州期中) 定义函数 y=f（x），x∈D（定义域），若存在常数 C，对于任意 x1∈D，存在唯一的 x2∈D，使得=C，则称函数 f（x）在 D 上的“均值”为 C，已知 f（x）=lgx，x∈[10，100]，则函数 f（x）在[10，100]上的均值为（ ）A.B.C. D . 106. （2 分） (2019 高一上·中山月考) 若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”，(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数 有一对，则 的取值范围是（ ）A. B.且，若此函数的“友好点对”有且只第 2 页 共 11 页C.D.7. （2 分） (2017 高一下·上饶期中) 为了得到函数 y=2sin（ ） x∈R 的图象上所有的点（ ），x∈R 的图象只需把函数 y=2sinx，A . 向右平移 个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短到原来的 倍 B . 向左平移 个单位长度，再把所有各点的横坐标伸长到原来的 3 倍C . 向左平移 个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短到原来的 倍 D . 向右平移 个单位长度，再把所有各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 8. （2 分） 下列函数在区间[0， ]上是减函数的是（ ） A . y=sinx B . y=cosx C . y=tanx D . y=2 9. （2 分） 已知△ABC 中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC 的面积为（ ） A.9 B . 18 C . 19 D.910. （2 分） (2016 高三上·襄阳期中) θ 为锐角，sin（θ﹣ ）= ，则 tanθ+第 3 页 共 11 页=（ ）A.B.C.D.11. （2 分） 若偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），则不等式 f（x﹣2）＞0 的解集是（ ）A . {x|﹣1＜x＜2}B . {x|0＜x＜4}C . {x|x＜﹣2 或 x＞2}D . {x|x＜0 或 x＞4}12. （2 分） (2019 高二上·田阳月考) 设函数是奇函数时，，则使得成立的的取值范围是（ ）的导函数，，当A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高三上·泰安期中) 命题“∃ x0∈R，2x02＜cosx0”的否定为________．14. （1 分） (2017·莆田模拟) 若，则 a=________．15. （1 分） (2019 高三上·凉州期中) 曲线 y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________第 4 页 共 11 页16. （1 分） (2018 高一上·吉林期末) 已知将函数的图象向左平移 个单位长度后得到的图象，则在上的值域为________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （5 分） 命题 P：一元二次方程 x2+mx+1=0 有实数根；命题 q：二次不等式 x2+2mx+3＞0 的解集为全体实 数．若 p∨q 为真，p∧q 为假，求实数 m 的取值范围．18. （10 分） (2016 高一下·龙岩期中) 已知函数 f（x）=cos（ωx+ ），（ω＞0，0＜φ＜π），其中 x∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为 ；（1） 求 f（x）的对称轴方程和单调递增区间；（2） 求 f（x）的最大值、最小值，并指出 f（x）取得最大值、最小值时所对应的 x 的集合．19. （10 分） (2020·晋城模拟) 已知函数 .的定义域为 且满足，当时，（1） 判断在上的单调性并加以证明；（2） 若方程有实数根 ，则称 为函数的一个不动点，设正数 为函数的一个不动点，且20. （10 分） (2017 高二上·中山月考) 在满足．，求 的取值范围. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且（1） 求角 的大小；（2） 若，的面积为 ，求的周长．21. （10 分） (2019 高一上·纳雍期中) 已知为偶函数，且时，.（1） 判断函数在上的单调性，并证明；第 5 页 共 11 页（2） 若在上的值域是，求 的值；（3） 求时函数的解析式.22. （15 分） (2019 高一下·上海月考) 是定义在任意的，都有②存在常数.上且满足如下条件的函数 使得对任意的组成的集合：①对 ，都有（1） 设 （2） 若问 是否属于 ？说明理由;如果存在使得证明：这样的 是唯一的；（3） 设且试求 的取值范围.第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页 共 11 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、 18-1、 18-2、第 8 页 共 11 页19-1、19-2、20-1、第 9 页 共 11 页20-2、21-1、 21-2、 21-3、 22-1、第 10 页 共 11 页22-2、22-3、第11 页共11 页。
长沙市数学高三理数模拟试卷(一)C卷
长沙市数学高三理数模拟试卷（一)C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知集合，若， 则 x 的值为（ ）A.3B.2C.0D . -12. （2 分） (2019·乌鲁木齐模拟) 已知复数（ 是虚数单位），则（）A.B.C.D.3. （2 分） (2016 高一下·玉林期末) 已知 p:2+2=5,q:3>2,则下列判断中，错误的是（ ）A . p 或 q 为真，非 q 为假B . p 或 q 为真，非 p 为假C . p 且 q 为假，非 p 为真D . p 且 q 为假，p 或 q 为真4. （2 分） (2017 高一下·宜春期末) 若 tanα=3，则的值等于（ ）A.2B.3第 1 页 共 13 页C.4 D.6 5. （2 分） (2015 高二下·周口期中) 曲线 y=x2+2x 在点（1，3）处的切线方程是（ ） A . 4x﹣y﹣1=0 B . x﹣4y+1=0 C . 3x﹣4y+1=0 D . 4y﹣3x+1=0 6. （2 分） 数列{an}是等比数列，a2•a10=4，且 a2+a10＞0，则 a6=（ ） A.1 B.2 C . ±1 D . ±2 7. （2 分） 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. + B . +2 C. + D. +第 2 页 共 13 页8. （2 分） 已知 是豆落在内的概率是（所在平面内一点， ）A.B.C.D.9. （2 分） 在数列 中，，，若A. B. C. D.， 现将一粒红豆随机撒在内，则红， 则 等于（ ）10. （2 分） 若双曲线 A. B. C.的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ ）D. 11. （2 分） (2017 高二下·池州期末) 函数 f（x）=2x3﹣9x2+12x+1 的单调减区间是（ ）A . （1，2）B . （2，+∞）第 3 页 共 13 页C . （﹣∞，1） D . （﹣∞，1）和（2，+∞）12. （2 分） 已知 f（x）是偶函数，当．x∈[0， ]时，f（x）=xsinx，若 a=f（cos1），b=f（cos2），c=f（cos3）， 则 a，b，c 的大小关系为（ ）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . b＜c＜a二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高三上·扬州期中) 在平面直角坐标系中，若抛物线的点到焦点的距离为 4，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．上横坐标为 114. （1 分） (2017·汉中模拟) （1+x﹣30x2）（2x﹣1）5 的展开式中，含 x3 项的系数为________（用数字 填写答案）15. （1 分） (2017 高三上·四川月考) 已知矩形,沿对角线 将它折成三棱椎棱椎外接球的体积为，则该矩形的面积最大值为________.，若三16. （1 分） (2016·新课标Ⅰ卷理) 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（x+2）的切线， 则 b=________。
长沙市高三数学一模试卷C卷
长沙市高三数学一模试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）矩阵M =的逆矩阵为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·南城期中) “x＞0”是“ ＞0”成立的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 非充分非必要条件D . 充要条件3. （2分）已知数列{an}的首项a1≠0，其前n项的和为Sn ，且Sn+1=2Sn+1，则等于（）A . 0B . 1C .D . 24. （2分）(2018·益阳模拟) 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（）A . 无限大B .C .D . 可以取二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2016高一上·洛阳期中) 已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B=A，则集合B有________个．6. （1分） (2016高二上·六合期中) 双曲线﹣ =1的焦距为________．7. （1分）设为f-1(x)为f(x)=的反函数，则f-1(2)= ________ .8. （1分） (2016高三上·珠海模拟) 在（1﹣3x）6的展开式中，x2的系数为________．（用数字作答）9. （1分）复数的实部为________ 。
10. （1分）分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________.11. （1分）(2018·广安模拟) 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ________.12. （1分） (2016高二上·吉林期中) 已知点P（x，y）为椭圆 +y2=1上任意一点，点Q（0，3），则|PQ|的最大值________13. （1分） (2018高一上·长安期末) 奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________ .14. （1分） (2015高三上·枣庄期末) 观察如图等式，照此规律，第n个等式为________．15. （1分）已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是________ 当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________ ，当曲线表示双曲线时k的取值范围是________16. （1分） (2015高三上·锦州期中) 若方程x+y﹣6 +3k=0仅表示一条直线，则实数k的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分）(2018·天津) 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面A BC⊥平面ABD ，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18. （5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的递增区间．19. （10分）诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r=6.24%．资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f（x）表示为第x（x∈N*）年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f（1），2000年记为f（2），…，依此类推）（1）用f（1）表示f（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：1.062410=1.83，1.031210=1.36）20. （15分）(2017·嘉兴模拟) 如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为 .（I）求证：；（II）求面积的最小值.21. （15分） (2016高三上·重庆期中) 已知等比数列{an}单调递增，记数列{an}的前n项之和为Sn ，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an﹣2n，求数列{bn}的前n项之和Tn．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。
湖南省2021版高考数学一模试卷(理科)C卷(精编)
湖南省2021版高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·桂林月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·四川月考) 设，则复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高一下·大庆期中) 等差数列{an}中，，从第10项开始大于1，则d的取值范围是（）A . （，+∞）B . （﹣∞，）C . [ ）D . （ ]4. （2分） (2019高二下·吉林期末) 随机变量服从正态分布，若，，则（）A . 3B . 4C . 5D . 65. （2分）(2017·陆川模拟) 已知边长为2 的菱形ABCD中，∠BAD=120°，若=λ （0＜λ＜1），则• 的取值范围为（）A . [0，3]B . [2，3]C . （0，3]D . （2，3]6. （2分） (2019高二上·宁都月考) 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则函数在上的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·太康开学考) 若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A . k＜7B . k＜8C . k＜9D . k＜108. （2分）(2017·广西模拟) 函数f（x）=x3﹣x﹣1的零点所在的区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）9. （2分）(2017·雨花模拟) 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A . 158B . 108C . 98D . 8810. （2分） (2020高二上·哈尔滨开学考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·河南模拟) 设，是双曲线：的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·慈溪期中) 已知函数，给出下列命题：① 必是偶函数；②当时，的图像关于直线对称；③若，则在区间上是增函数；④若，在区间上有最大值 . 其中正确的命题序号是：（）A . ③B . ②③C . ③④D . ①②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·南充模拟) 若实数、满足且的最小值为3，则实数的值为________．14. （1分） (2016高一上·承德期中) 已知函数f（x）=a2015x2015+a2013x2013+a2011x2011+…+a3x3+a1x+1，且f（1）=2，则f（﹣1）=________．15. （1分） (2017高二下·襄阳期中) 已知直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，D为坐标原点，且OA⊥OB，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（1，2），则p=________．16. （1分）(2018·河南模拟) 已知为数列的前项和，，当时，恒有成立，若，则 ________．三、解答题 (共7题；共45分)17. （10分）(2018·中原模拟) 如图所示，中，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求的值以及的面积．18. （5分）(2017·自贡模拟) 自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元．（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 K2= ．19. （5分）(2018·丰台模拟) 如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,PB＝．(Ⅰ)求证：BC⊥PB;(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；(Ⅲ)若点E在棱PA上，且BE//平面PCD，求线段BE的长．20. （5分）(2017·红桥模拟) 已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．21. （10分） (2016高二下·天津期末) 设f（x）=aex+ +b（a＞0）．（1）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为3x﹣2y=0，求a、b的值．22. （5分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B 的极坐标分别为、，曲线C的参数方程为(为参数）．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．23. （5分）(2018·株洲模拟) 已知函数（为实数）（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若，解不等式 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分) 17-1、17-2、18-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。
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长沙市高考数学一模试卷（理科）C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知集合M={（x，y）|f（x，y）=0}，若对任意P1（x1 ， y1）∈M，均不存在P2（x2 ， y2）∈M使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M为“好集合”，下列集合为“好集合”的是（）
A . M={（x，y）|y﹣lnx=0}
B . M={（x，y）|y﹣x2﹣1=0}
C . M={（x，y）|（x﹣2）2+y2﹣2=0}
D . M={（x，y）|x2﹣2y2﹣1=0}
2. （2分）若复数的实部与虚部相等，则实数等于（）
A . 3
B . 1
C .
D .
3. （2分） (2017高二下·南阳期末) 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（）
A . 1193
B . 1359
C . 2718
D . 3413
4. （2分） (2016高二下·红河开学考) 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为（）
A . 5
B . 3
C . 2
D . 1
6. （2分）(2020·丹东模拟) 函数在的图象大致为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）设函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）f（2x-1）成立的x的取值范围是（）
A . （,1）
B . （-，）（1，+）
C . （-，）
D . （-， -）（， +）
8. （2分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S3=6，a1=4，则S5等于（）
A . -2
B . 0
C . 5
D . 10
9. （2分）给定两个命题p，q.若是q的必要而不充分条件，则p是的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
10. （2分）过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）
A . (，+∞)
B . (1，)
C . (2，+∞)
D . (1，2)
11. （2分）已知函数，则的值是
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分）(2017·扬州模拟) 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•
=﹣7，则• 的值是________．
14. （2分）(2016·温岭模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为________，目标函数4x2+y2的最小值为________．
三、解答题 (共7题；共50分)
17. （5分）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．
18. （10分） (2015高一下·天门期中) 已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S1 ， S2 ，S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和．
19. （10分） (2018高二下·长春期末) 某电视台举办闯关活动，甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为，乙成功的概率为 .
（1）甲参加了次闯关，求至少有次闯关成功的概率；
（2）若甲、乙两人各进行次闯关，记两人闯关成功的总次数为，求的分布列及数学期望.
20. （5分） (2018高二上·遵义期末) 中心在原点的双曲线的右焦点为，渐近线方程为
.
（I）求双曲线的方程；
（II）直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
23. （5分）已知A=， B={x|x2﹣4x+4﹣m2≤0，m＞0}，
（1）若m=3，求A∩B；
（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
三、解答题 (共7题；共50分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
23-1、。