线性代数第六章 线性空间及线性变换
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性代数向量空间与线性变换
线性代数向量空间与线性变换线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换的性质和特征。
向量空间是线性代数的核心概念之一，而线性变换则是在向量空间内进行变换的关键操作。
本文将介绍向量空间和线性变换的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、向量空间向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的代数运算规律。
具体来说，一个向量空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该向量空间。
即对于任意向量u和v以及任意标量c和d，cu+dv仍然属于该向量空间。
2. 加法运算的结合性：对于向量空间中的任意三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法运算的交换性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，满足u+v = v+u。
4. 存在零向量：向量空间中存在一个零向量0，满足对于任意向量u，u+0 = u。
5. 存在负向量：对于向量空间中的任意向量u，存在一个负向量-v，满足u+(-v) = 0。
6. 标量乘法的结合性：对于标量的乘法运算，满足c(du) = (cd)u。
7. 标量乘法的分配性：对于标量的乘法运算和向量的加法运算，满足(c+d)u = cu+du，以及c(u+v) = cu+cv。
满足以上条件的集合即为向量空间。
在向量空间中，向量可以按照一定的线性关系进行运算和转换。
二、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，该映射满足以下两个性质：1. 保持线性关系：对于向量空间V中的任意两个向量u和v以及标量c，线性变换T必须满足T(cu+dv) = cT(u)+dT(v)。
2. 保持零向量：线性变换T必须满足T(0) = 0，即将零向量映射为零向量。
线性变换可以通过矩阵的乘法来表示。
设向量空间V和W分别为n 维和m维的向量空间，线性变换T:V→W可以表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)的坐标表示，ei为向量空间V的基向量。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-线性空间与线
第6章线性空间与线性变换6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性变换■线性变换的矩阵表示式重难点导学一、线性空间的定义与性质1．两种运算（1）加法运算设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．（2）数乘运算在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．2．线性空间定义设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：（1）α＋β＝β＋α；（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；（5）1α＝α；（6）λ（μα）＝（λμ）α；（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，则V称为线性空间，又称向量空间．3．线性空间的性质（1）零向量是唯一的；（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．4．子空间（1）定义设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．（2）定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．二、维数、基与坐标1．维数与基在线性空间V中，如果存在n个向量，满足：（1）线性无关；（2）V中任一向量α总可由线性表示，则就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数．注：维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作V n．2．坐标设是线性空间V n的一个基．对于任一向量α∈V n，总有且仅有一组有序数，使这组有序数就称为向量α在这个基中的坐标，并记作3．同构设V与U是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，则线性空间V与U同构．三、基变换与坐标变换1．基变换定义设α1，…，αn及β1，…，βn是线性空间V n中的两个基，有（6-1）把α1，…，αn这n个有序向量记作（α1，…，αn），记n阶矩阵P＝（p ij），利用向量和矩阵的形式，式（6-1）可表示为（6-2）式（6-2）称为基变换公式，矩阵P称为由基α1，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵．又β1，β2，…，βn线性无关，故过渡矩阵P可逆．2．坐标变换公式设V n中的向量α在基α1，…，αn中的坐标为（x1，x2，…，x n）T，在基β1，β2，…，βn 中的坐标为．若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式四、线性变换1．定义设V n，U m分别是n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m的映射，若映射T满足：（1）任给α1、α2∈V n（从而α1＋α2∈V n），有T（α1＋α2）＝T（α1）＋T（α2）；（2）任给α∈V n，λ∈R（从而λα∈V n），有T（λα）＝λT（α）．则T称为从V n到U m的线性映射，又称线性变换．2．线性变换基本性质（1）T0＝0，T（－α）＝－Tα；（2）若则；（3）若α1，α2，…，αm线性相关，则Tα1，Tα2，…，Tαm亦线性相关，反之不成立；（4）线性变换T的像集T（V n）是一个线性空间，称为线性变换T的像空间；（5）使Tα＝0的α的全体N T＝{α|α∈V n，Tα＝0}也是一个线性空间，且N T称为线性变换T的核．五、线性变换的矩阵表示式1．定义设T是线性空间V n中的线性变换，在V n中取定一个基α1，α2，…，αn，如果这个基在变换T下的像为记，上式可表示为其中则A就称为线性变换T在基α1，α2，…，αn下的矩阵．2．定理设线性空间V n中取定两个基α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵为P，V n中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则B＝P－1AP．6.2配套考研真题解析本章为非重点，暂未编选考研真题，若有最新真题会及时更新．。
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
线性代数之线性变换说明
最近想明白特点值、特点值到底有什么物理意义，搜到了这篇文章，共享一下。
来源：孙哲的日记[1. 特点的数学意义]咱们先考察一种线性转变，例如x,y坐标系的椭圆方程能够写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。
咱们能够把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，取得一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式确实是(x,y)*M=(x',y')。
那个地址的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。
那么，有无什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有无如此的矢量b，使得矩阵A*b如此的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 若是有，那么b确实是A的一个特点向量，m确实是对应的一个特点值。
一个矩阵的特点向量能够有很多个。
特点值能够用特点方程求出，特点向量能够有特点值对应的方程组通解求出，反过来也一样。
例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,那么常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特点向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特点向量。
实对称矩阵属于不同特点值的特点向量式正交的，因此a^2-a-a=0,a≠2,因此a=0。
仍是太抽象了，具体的说，求特点向量的关系，确实是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合能够表示为每一个向量a在各个特点向量上面的投影长度。
例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特点向量确实是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每一个特点向量E上面有投影，其特点值v确实是权重。
那么每一个行向量此刻就能够够写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。
第六章 线性变换
ξ = x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n
σ (ξ )仍是 的一个向量，设 仍是V的一个向量 的一个向量，
过标坐标来 刻画
σ (ξ ) = y1α 1 + y2α 2 + ⋯ + ynα n
σσ
−1
= σσ
−1
=t
§6.3 线性变换和矩阵
教学目标：渗透现代代数学同构、 教学目标：渗透现代代数学同构、代数表示论的思 和化归的数学思想方法， 想，和化归的数学思想方法，让学生了解 向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的 关系，理解矩阵相似这一重要概念， 关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握 线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下 的向量关于基的坐标的计算方法。 的向量关于基的坐标的计算方法。 重 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念， 相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念。 相似概念。
证明：显然 σ是R 2 到R 3 的一个映射。
σ (aξ + bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η ) ∵由σ (aξ + bη ) = σ (aξ ) + σ (bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η )
∴ σ是R 2 到R 3 的一个线一个线性
又 ∀a, b ∈ R, ∀ξ = (x 1, x 2 ),η = ( y1 , y 2 ) ∈ R ,
从而一个线性变换的任何非负整数幂都有意义
设f ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x ,
线性空间及线性变换
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。
它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。
线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。
线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。
一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。
即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。
2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。
4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。
5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。
7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。
8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换也被称为线性映射或线性算子。
线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。
2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。
《线性代数》第6章习题解答
1.2. 已知向量空间的一个基为α1=（1 1 0）T ，α2=（1 0 1）T，α3=（0 1 1 ）T ，试求α=（2 0 0）T在上述基下的坐标。
解. 设α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ， ()321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110101011()321ααα-1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11111111121所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =()321ααα-1α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 2．验证α1=（1 -1 0）T，α2=（2 1 3）T，α3=（3 1 2 ）T为R 3的一个基，并把α=（5 0 7）T ，β=（-9 -8 -13）T用这个基线性表示。
解.设()321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-230111321，321ααα= 230111321-= -6 ≠0所以α1，α2，α3为R 3的一个基。
设α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ，β=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y由()αααα21=A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-723001115321→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-220054305321得α=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-132=2α1+3α2-α3 ，又有()βααα21=A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1323081119321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4200174309321 得β=()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y =()321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--233=3α1-3α2-2α3 。
3.下列n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？（1）n 阶对称矩阵全体所成之集合S ； （2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合R ；（3）主对角线上各元素之和等于零的n 阶矩阵全体所成之集合T 。
山东省高等数学本科教材
山东省高等数学本科教材山东省高等数学本科教材是为山东省高等院校数学专业本科生编写的教材。
本教材旨在系统、全面地介绍高等数学的理论和方法，提供深入、透彻的数学知识，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
第一章微积分微积分是数学的重要分支，是解析几何和数学分析的基础。
本章介绍微积分的基本概念和方法，包括极限、导数和积分等。
通过学习本章内容，学生将能够理解微积分的核心思想，掌握基本的微积分运算技巧。
第二章线性代数线性代数是数学中的一门重要学科，研究向量空间、线性映射和线性方程组等内容。
本章主要介绍矩阵和向量的基本概念，以及线性方程组的解法和特征值和特征向量的性质。
通过学习本章内容，学生将能够掌握线性代数的基本理论和方法，为后续高级数学课程的学习做好准备。
第三章微分方程微分方程是数学中的一门重要学科，研究函数及其导数之间的关系。
本章主要介绍常微分方程的基本理论和求解方法，包括一阶和二阶常微分方程的解法和特殊类型微分方程的求解。
通过学习本章内容，学生将能够理解微分方程的基本概念和解法，掌握常微分方程的求解技巧。
第四章概率论与数理统计概率论与数理统计是数学中的一门重要学科，研究随机事件的概率和统计规律。
本章主要介绍概率论的基本概念和计算方法，以及数理统计的基本理论和统计推断。
通过学习本章内容，学生将能够掌握概率论和数理统计的基本知识和计算技巧，为实际问题的分析和决策提供数学支持。
第五章多元函数微积分多元函数微积分是微积分的扩展和推广，研究多元函数的极限、导数和积分等。
本章主要介绍多元函数的极限、偏导数和多元积分等内容，以及多元函数的极值和隐函数的求导。
通过学习本章内容，学生将能够理解多元函数微积分的基本理论和方法，掌握多元函数的运算技巧。
第六章线性空间与线性变换线性空间与线性变换是线性代数的重要内容，研究向量空间和线性映射的结构和性质。
本章主要介绍线性空间的基本定义和性质，以及线性变换的特征值和特征向量等内容。
线性代数课件 第六章 线性空间与线性变换——第1节
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 上的向量空间（或线性空间）． 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , µ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) x1 , x2 ,⋯ , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x1 ,⋯, xn )T = (0,⋯ ,0) 不构成线性空间． 不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 一个集合， 算不是通常的实数间的加乘运算， 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 否满足八条线性运算规律． 正实数的全体， 例６ 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ). 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
线
性
代
数
第六章 线性空间与线性变换
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 某一类事物从量的方面的一个抽象， 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间， 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 问题．
线性空间与线性变换解析
线性空间与线性变换解析线性空间和线性变换是线性代数中重要的概念。
线性空间是指具备了特定性质的向量集合，而线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射关系。
通过分析线性空间与线性变换的特点和性质，可以深入理解线性代数的基本概念与应用。
一、线性空间的定义与性质1.1 线性空间的定义线性空间，也称为向量空间，是指一个非空集合V及其上的两种运算：加法和标量乘法，满足以下八个条件：（1）加法交换律：对于任意的u和v，u+v=v+u；（2）加法结合律：对于任意的u、v和w，(u+v)+w = u+(v+w)；（3）零向量存在：存在一个向量0，使得对于任意的u，u+0=u；（4）负向量存在：对于任意的u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0；（5）标量乘法结合律：对于任意的标量a和b，以及向量u，(ab)u=a(bu)；（6）分配律1：对于任意的标量a和向量u、v，a(u+v)=au+av；（7）分配律2：对于任意的标量a和b，以及向量u，(a+b)u=au+bu；（8）单位元存在：对于任意的向量u，1u=u。
1.2 线性空间的基本性质（1）线性空间中的向量可以进行加法和标量乘法运算；（2）线性空间中的向量满足向量加法的封闭性和标量乘法的封闭性；（3）线性空间中的向量满足加法交换律、加法结合律和分配律；（4）线性空间中存在唯一的零向量和负向量；（5）线性空间中存在多个基向量，它们可以线性组合得到任意向量；（6）线性空间中的向量存在唯一的零向量和唯一的负向量。
二、线性变换的定义与性质2.1 线性变换的定义线性变换，也称为线性映射，是指将一个向量空间V映射为另一个向量空间W的一种映射关系。
若对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，满足以下两个条件，则称该映射关系为线性变换：（1）保持加法运算：T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）保持标量乘法：T(au) = aT(u)。
2.2 线性变换的基本性质（1）线性变换保持零向量：T(0) = 0；（2）线性变换保持向量的加法和标量乘法运算；（3）线性变换保持向量的线性组合关系；（4）线性变换将线性无关向量映射为线性无关向量；（5）线性变换的核和像是向量空间。
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中非常重要的两个概念。
它们是研究向量空间和所谓的线性方程组等问题的基础。
线性空间，是一个用于描述向量的抽象数学结构。
一个线性空间可以想象成一个由有限或无限个向量组成的集合，在该集合中，向量之间可以进行加法和数量乘法操作，同时满足若干条公理。
这些公理包括向量加法的交换律和结合律、数量乘法与向量加法的结合律以及分配律等，这些公理确保了线性空间可以执行向量的相加和数乘等操作。
线性变换，是一种将一个线性空间映射到它自身或另一个线性空间的函数。
线性变换使向量的属性得到保持，包括相对强度、方向和距离等。
例如，一个平面上的向量可以被平移、旋转、缩放或倾斜，这些操作可以表示为线性变换。
在应用线性变换时，我们可以将其表示为矩阵形式。
如果有一个线性变换L，将向量x映射到向量y，它可以表示为以下方程：Lx = y这个方程也可以表示为矩阵形式：[L]x = yL表示线性变换的矩阵，x和y分别是输入和输出向量。
矩阵[L]是一个m×n的矩阵，其中m和n分别是输入向量和输出向量的维数。
在对线性空间进行操作时，使用线性变换可以实现多种功能。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用线性变换来实现几何变换，例如旋转、缩放和平移。
另外，在信号处理和时间序列分析领域中，我们可以使用线性变换对信号进行变换，例如傅里叶变换和小波变换等。
另一个很重要的概念是线性方程组。
线性方程组是一个关于未知量的一组线性方程。
线性方程组通常可以表示为以下形式：a1x1 + a2x2 + … + anxN = b其中，a1，a2，an是已知系数，b是已知常数，x1，x2，xn是未知变量。
线性方程组可以求解出未知变量的值，这也是线性代数的核心问题之一。
总而言之，线性空间和线性变换是线性代数中的两个基础概念，它们在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中都得到了广泛应用。
对线性空间和线性变换的深入理解，有助于理解向量空间与线性方程组等相关问题，进而更好地解决实际问题。
中国计量学院《线性代数b》第六章线性空间与线性变换
第六章 线性空间与线性变换沈 鸿6.1 基本概念 基本定理：6.1.1线性空间基本概念1、线性空间的概念设V 是一非集合，F 是一定数域，如果在V 中定义了两种运算：（1）加法，即对V 中任意两个元素α与β，按某一法则，在V 中都有惟一的元素γ与之对应，称γ为α和β的和，记作γ=α+β；（2）数乘，即对V 中任意元素α和F 中任意数k ，按某一法则，在V 中有惟一的一个元素δ与之对应，称δ为k 与α的积，记作δ=k α;并且这两种运算满足以下八条运算规则，那么V 就称为数域F 上的一个线性空间。
其中八条运算规则是： （1）αββα+=+； （2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中有一元素，记为0，对V 中任一元素α，都有α+0=α，称元素0为V 的零元素；（4）对V 中每一个元素α，都有V 中的一个元素β，使得α+β=0，β称为α的负元素，记作-α，即α+（-α）=0。
（5）1·α=α;（6）k (l α)=(k l ) α； （7）(k +l ) α=k α+l α； （8）k (α+β)=k α+k β.其中α，β，γ是集合V 中的任意元素，k , l 为F 中的任意娄。
2、子空间设V 是一个线性空间，L 是V 的一个非空子集，如果L 对于V 中所定义的加法和数乘运算也构成一个线性空间，就称L 为V 的子空间。
n 元齐次线性方程组AX=0的解的全体是R n的一个子空间，称为AX=0的解空间。
定理1 线性空间V 的非空子集L 构成子空间的充分必要条件是L 对于V 中的线性运算封闭。
6.1.2基、维数与坐标1、基与维数定义在线性空间V 中，如果存在n 个元素α1，α2，…，αn ，且满足： （1）α1，α2，…，αn 线性无关；（2）V 中的任一元素都可表示为α1，α2，…，αn 的线性组合，则称α1，α2，…，αn 为线性空间V 的一个基；n 称为线性空间V 的维数，并记为dimV=n.线性空间中的任一元素都可表示为它的一个基的线性组合，且这种表示是惟一的。
线性代数中的向量空间与线性变换
线性代数中的向量空间与线性变换线性代数是数学的一个重要分支，研究的是向量空间及其上的线性变换。
向量空间是线性代数的基本概念之一，了解向量空间的性质和线性变换的特点，对于解决各种实际问题和推导数学定理都具有重要意义。
一、向量空间向量空间是指由一组向量构成的集合，满足一定的条件。
这里的向量并不仅仅局限于几何向量，还包括矩阵、多项式等。
向量空间的基本性质包括封闭性、线性组合性和加法逆元性。
1. 封闭性：向量空间中的任意两个向量的线性组合仍然是该向量空间中的向量。
例如，在二维平面上的所有向量构成一个向量空间，任意两个向量的线性组合仍然位于二维平面上。
2. 线性组合性：向量空间中的向量可以通过线性组合得到。
线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加。
例如，在三维空间中，向量(1,0,0)和(0,1,0)的线性组合可以表示为a(1,0,0) + b(0,1,0)，其中a和b 为实数。
3. 加法逆元性：向量空间中的每个向量都有一个对应的加法逆元，使得向量与其加法逆元相加得到零向量。
例如，在二维平面上的向量(1,2)的加法逆元为(-1,-2)。
二、线性变换线性变换又称为线性映射或线性算子，是指保持向量空间中的加法和数乘运算不变的映射。
线性变换可以用矩阵表示，也可以用公式表示。
线性变换的特点是保持原有向量空间的结构不变。
1. 线性变换的定义：设V和W为两个向量空间，如果存在一个映射T，使得对于V中任意两个向量u和v，以及任意实数k，都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)，则称T为从V到W的线性变换。
2. 线性变换的特点：线性变换具有保持加法和数乘运算不变的特性。
即对于线性变换T，对于任意的向量u和v，以及任意的实数k，都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)。
线性变换在实际问题中具有广泛的应用，例如在工程领域中，矩阵的变换可以描述物体的旋转、缩放和平移等操作；在金融领域中，线性变换可以用来建立风险管理模型和优化投资组合；在图像处理领域中，线性变换可以用来实现图像的增强和压缩等操作。
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第三节 基变换与坐标变换
第 三 节 基变换与坐标变换
主要内容
定义 坐标变换公式
由例 6 可见, 同一元素在不同的基下有不同 的坐标, 那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样 的关系呢?
一、定义
设 1 , 2 , ···, n 及 1 , 2 , ···, n 是线性空
间 Vn 中的两个基, 且有
1 p111 p212 pn1n ,
x1
x2
P
x2
,
或
x2
P
1
x2
.
xn
xn
xn
xn
证明 证明 x1
x1
x
x
(3)
x1 x
pn2
2
PT
2
(p1P,nn 2xx足两x,1n2变种n,,换坐或这n公标个)P式满定xxx（1n2足理2坐n的）标P逆变命1 换题xxx1n2公也式成（立3.）即若，任则一两元个素基的满
例8
在 R3 中求向量
3
7
在基
1
1
1 3,
5
6
2 3,
2
3
3 1
0
下的坐标.
解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请本若节想请本单若内请结本若节击想请本单若内请结本若节击想请本单若节想内请结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本单若节击想内请结本容单若束节节击想 想内请返结本单单若节已击想本内请结本容单若回束节 节想 想击内请返结单单节已击想本内结本容单若回束节想击内请返结容单束节已击想本内内返结 结本容单若回束节击想击内结请返结堂容单束节已击想按本内 内返结 结本容单若回束击击内结请返结堂容束节已击想按本内返结本容单若回束已击本内结请返结堂容容回束 束节已击想按本内返返结容束单回束课已击本内结返结钮堂容 容回束 束节已击想按本返返容束单回束课已本内结返结钮堂容回束节已击想按本结返堂容束单回束课已已按本 本内结返结钮堂容回回束已击按本,结返堂容束回束课.已 已按本 本内结!返结钮堂回回已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂束回课已击按本,结结钮堂 堂容束回束课.已按按本结!返钮堂束回课已按本,结 结钮堂 堂容束回束课.按按结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按,结!返钮堂束束课 课.已按本,结!钮钮堂束回课.按,结!钮堂束 束课 课.已按本,!钮钮束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.,,结!钮堂束课..按,!!钮束课.,,结!钮堂..按,!!束课.,结!钮堂.按,!束课.,!钮.,!束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(线性空间与线性变换)【圣才出品】
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第6章线性空间与线性变换1．验证：（1）2阶矩阵的全体S1；（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2；（3）2阶对称矩阵的全体S3，对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基．解：（1）①根据题意，S1对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算的八条规律，根据定义，S1对于矩阵的加法和数乘构成线性空间．在S1中取向量组则向量组π1线性无关．如果有②对于任意，即A可由π1线性表示．综合①②，向量组π1是S1的一个基，从而S1的维数为4．（2）根据题意，S2中矩阵的加法和数乘满足线性运算的八条规律．又①因为，所以S2对加法封闭；②因为，所以S2对数乘封闭；由上可知S2对上述线性运算构成线性空间．取向量组与（1）同理，可证向量组π2线性无关，且，A可由π2线性表示为于是向量组π2是S2的一个基，因而其维数为3．（3）因为对称矩阵的和与数乘仍是对称矩阵，即S3对于矩阵加法和数乘是封闭的，与（2）同理，S3对于上述线性运算构成线性空间．取向量组则①向量组π3线性无关，如果有②，则A可由π3线性表示为，故向量组π3是S3的一个基，从而它的维数为3．2．验证：与向量（0，0，1）T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间．证：都是R3中与向量不平行的向量，但是其和平行于（0，0，1）T，即该集合对于向量的加法不封闭，所以不构成向量空间．3．在线性空间中，下列向量组是否为一个基？解：（1）设得因1，x，x2，x3线性无关，故上式中它们的系数均为0，即有关于未知数k1，k2，k3，k4的齐次方程，其系数矩阵知其秩为3，故齐次方程有非零解，从而向量组Ⅰ线性相关，不是基；（2）设因1，x，x2，x3线性无关可得齐次线性方程它的系数矩阵秩为4，所以只有零解，从而向量组Ⅱ线性无关，且含4个向量，所以向量组Ⅱ是的一个基．4．在R3中求向量在基中的坐标．解：根据定义，向量α在基α1，α2，α3中的坐标就是a由向量组α1，α2，α3线性表示式中的系数，也就是方程的解．由于于是，α在所给基中的坐标为5．在R3中取两个基试求坐标变换公式．解：记于是有，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为．因此由定理2得坐标变换公式为即从基α用矩阵的初等行变换求于是所求坐标变换公式为6．在R4中取两个基（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量（x1，x2，x3，x4）T在后一个基中的坐标；（3）求在两个基中有相同坐标的向量．解：（1）根据题意，有所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基{αi}下的坐标为，则由坐标变换公式，有（3）设向量y在两个基下有相同的坐标，由坐标变换公式，并仍记坐标向量为y，则，即．易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩，从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系．故所求向量为，k为任意常数．7．设线性空间S1（习题六第1题（1））中向量（1）问b1能否由a1，a2线性表示？b2能否由a1，a2线性表示？（2）求由向量组a1，a2，b1，b2所生成的向量空间L的维数和一个基．解：可先写出a1，a2，b1，b2在基中的坐标所构成的矩阵由此可见：。
2020年同济大学线性代数第六版第六章《线性空间与线性变换》同步练习与解析
第六章 线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.(1) 2阶矩阵的全体S 1;解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B)∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε 是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解 设⎪⎭⎫⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+,2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T=A , B T=B . 因为 (A +B)T=A T+B T=A +B , (A +B)∈S 3, (kA)T=kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解 设V ={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T, r 2=(-1, 0, 1)T, 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T∉V , 即V 不是线性空间.3.在线性空间P[x]3中，下列向量组是否为一个基？ （1）Ⅰ：1+x,x+x 2,1+x 3,2+2x+x 2+x 3（2）Ⅱ：-1+x,1-x 2,-2+2x+x 2,x 34. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T, α3=(3, 1, 0)T下的坐标. 解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T.5. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T; β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1, -6)T. 试求坐标变换公式.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .6. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T, e 2=(0,1,0,0)T, e 3=(0,0,1,0)T, e 4=(0,0,0,1)T; α1=(2,1,-1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T. (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T在后一个基下的坐标; 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).7.设线性空间S1中向量（2阶矩阵的全体S 1），a 1=(1210),a 2=(−1−111),b 1=(1331),b 2=(2−141)，（1）.问b 1能否由a 1， a 2线性表示；b 2能否由a 1， a 2线性表示；（2）.求由向量组a 1， a 2 ，b 1 ，b 2所生成的向量空间L 的维数和一个基。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Copyright© 数学与计量经济学院
例 4 正实数的全体, 记作 R+ , 在其中定
义 加法及乘数运算为 a b ab ( a , b R ), 加法: 数乘:
a a ( R, a R ) ,
验证 R+ 对上述加法与乘数运算构成线性空间.
证 实际上要验证十条:
第六章 线性空间与线性变换
线性空间 基、维数与坐标
线性变换
结束
2018/11/13
Copyright© 数学与计量经济学院
1
一、线性空间的定义
1. 定义
定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域.
如果对于任意两个元素 , V, 总有唯一的一
个元素 V 与之对应, 称为 与 的和, 记作
+=+;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V , 都有 + 0 = ;
(iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
使
+=0;
(v) 1 = ;
(vi)
( ) = ( ) ;
只要验证 P[ x ]n 对运算封闭:
Copyright© 数学与计量经济学院
(an x n a1 x a0 ) (bn x n b1 x b0 ) (an bn ) x n (a1 b1 ) x (a0 b0 ) P[ x]n ,
Copyright© 数学与计量经济学院
若另取一 个基
q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3 , q5 x4 ,
则
1 p (a0 a1 )q1 a1q2 a2 q3 a3q4 a4 q5 . 2
因此 p 在这个基下的坐标为
1 (a0 a1 , a1 , a2 , a3 , a4 ) T . 2
Copyright© 数学与计量经济学院
例 2 在二阶实矩阵组成的集合构成
一个线性空间 R2 ×2 中,
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
为其一个基
任意一个二阶矩阵可表示为
a11 a12 A a11 E11 a12 E12 a21 E21 a22 E22 a 21 a22
Copyright© 数学与计量经济学院
三、向量的运算
建立了坐标以后, 就把抽象的向量 与具体
何 Vn , 都有一组有序数 x1 , x2 , · · ·, xn , 使
= x1 1 + x2 2 + · · ·+ xn n ,
并且这组数是唯一的.
Copyright© 数学与计量经济学院
反之 , 任给一组有序数 x1 , x2 , · · ·, xn , 总有
唯一的元素 = x1 1 + x2 2 + · · ·+ xn n Vn .
Copyright© 数学与计量经济学院
二、举例
例 1 次数不超过 n 的多项式的全体, 记
作P[ x ]n , 即
P[ x]n { p( x) an x an1x a1x a0|an ,,a0 R}
n
n1
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成 线性空间. 解： 这是因为, 通常的多项式加法、数乘多 项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故
这样, Vn 的元素 与有序数组
(x1 , x2 , · · ·, xn )T
之间存在着一种一一对应的关系, 因此可以用这
组有序数来表示元素 . 于是我们有
Copyright© 数学与计量经济学院
的一个基. 对于任一元素 Vn , 总有且仅有一组
定义 3 设 1 , 2 , · · ·, n 为线性空间 Vn
Copyright© 数学与计量经济学院
在第三章中我们已经提出了基与维数的概念, 这当然也适用于一般的线性空间. 这是线性空间
的主要特性, 特再叙述如下.
Copyright© 数学与计量经济学院
素 1 , 2 , · · ·, n 满足:
定义 2 在线性空间 V 中, 如果存在 n 个元
(i) 1 , 2 , · · ·, n 线性无关;
1
( a) a (a ) a ( ) a;
( ) a a a a a a a a;
(viii)
(a b) (ab) (ab) a b
二、向量在基下的坐标
若知 1 , 2 , · · ·, n 为 Vn 的一个基, 则 Vn 可表示为
Vn { x11 x2 2 xn n | x1,, xn R} ,
这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造.
若 1 , 2 , · · ·, n 为 Vn 的一个基, 则对任
a b a b.
因此, R+ 对于所定义的运算构成线性空间.
下面讨论线性空间的性质.
Copyright© 数学与计量经济学院
三、线性空间的性质
性质 1 零元素是唯一的. 证明
别有
所以 设 01, 02 是线性空间V中的两个零元素,
即对任何 V, 有 + 01 = , +02 = . 于是特 02 + 01 = 02 , 01 + 02 = 01 .
Copyright© 数学与计量经济学院
s1 A1 sin(x B1 ) (A1 ) sin(x B1 ) S[ x] ,
所以 S[ x ] 是一个线性空间.
检验一个集合是否构成线性空间 , 当然不能
只检验对运算的封闭性(如上面两例). 若所定义的
加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算, 则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.
Copyright© 数学与计量经济学院
四、子空间
在第三章中, 我们提过子空间, 今稍作修正.
定义
设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一
个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和数 乘两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的 子空间. 一个非空子集要满足什么条件才构成子空间? 因 L 是 V 的一部分, V 中的运算对于 L 而言, 规
Copyright© 数学与计量经济学院
例 1 在线性空间 P[ x ]4 中,
p1 = 1, p2 = x , p3 = x2 , p4 = x3 , p5 = x4 就是它的一个基. 任一不超过 4 次的多项式 p = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 都可表示为 p = a0p1 + a1p2 + a2p3 + a3p4 + a4p5 , 因此 p 在这个基下的坐标为 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )T .
对加法封闭: 对任意的 a , b R+ , 有
a b ab R ;
Copyright© 数学与计量经济学院
对数乘封闭: 对任意的 R, a R+ , 有
(i) (ii)
a a R ; a b ab ba b a ;
(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c);
= + ; 又对于任一数 R 与任一元素 V ,
总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为 与
的积, 记作 ; 并且这两种运算满足以下
八条运算规律(设 , , V ; , R):
Copyright© 数学与计量经济学院
(i)
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空 · ·+ 0 x + 0 Q[ x ]n , 即 间. 这是因为 0 p = 0 xn + · Q[ x ]n 对运算不封闭.
Copyright© 数学与计量经济学院
例 3 正弦函数的集合 S[ x] {s A sin(x B) | A, B R}
Copyright© 数学与计量经济学院
(vii) ( + ) = + ;
(viii) ( + ) = + . 那么, V 就称为(实数域 R 上的) 线性空间， V 中的元素不论其本来的性质如何, 统称为(实)向量. 简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算, 就称为线性运算。
(ii) V 中任一元素 总可由 1 , 2 , · · ·, n
线性表示. 那么, 1 , 2 , · · ·, n 就称为线性空间 V 的一 个基, n 称为线性空间 V 的维数. 维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间,
记作 Vn .
Copyright© 数学与计量经济学院
(an x a1 x a0 )
n
(an ) x (a1 ) x (a0 ) P[ x]n ,
n
所以 P[ x ]n是一个线性空间.
Copyright© 数学与计量经济学院
例 2 n 次多项式的全体 n Q[ x]n { p an x a1x a0 | an ,, a0 R, 且 an 0}
R+ 中存在零元素 1 , 对任何 a R+ , 有