圆锥曲线中的离心率的问题
圆锥曲线离心率问题解题技巧梳理
圆锥曲线离心率问题解题技巧梳理一．焦点三角形中的离心率 1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则sin()sin sine(正弦定理)。
12122sin sin()2sin sin sin sin F F c c e a a PF PF θαβαβαβ+=====+++222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ=+-+--+-++≥+-++-++12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2PF PF P c c a a e θθθθθθ-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即2.双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()sin sine。
12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ二．双曲线的渐进线与离心率关系 直线与双曲线相交时，两个交点的位置（1）两个交点在双曲线的两支：b k e a >⇔=（2）两个交点在双曲线的同一支:b k e a <⇔=（3）两个交点在双曲线的左支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎩（4）两个交点在双曲线的右支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩三．焦点弦与离心率关系BF AF λ=，则有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
技巧1 焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，12tan FMF ∠=E 的离心率为（ ） A ．B ．2CD（2）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若在椭圆E 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆E 的离心率的取值范围为（ ）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b +=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ）A ．12B ．2C ．2D2．已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A B ．13C ．23D ．123．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 是圆上一动点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．13-B ．3-C ．1-D ．0技巧2 点差法中的离心率【例2】（1）过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（ ）A ．23B C ．1112D （2）已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A ．3B ．3C ．23D ．3【举一反三】1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．32．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A ．1(0)2， B ．(0)2， C ．1(22，D ．1)23．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1B ．3C 1D ．2技巧3 渐近线与离心率【例3】已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞ 【举一反三】1．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线y x =无公共点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(]1,2D ．()1,22．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点O C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 1 C ．2D ．2技巧4 焦点弦与离心率【例4】已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【举一反三】1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 2．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B ．2C 或．2或3．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43BC D ．2巩固练习1．已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D 2．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞3．已知1F ，2F 分别是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是此椭圆上一点，若为12F PF △直角三角形，则这样的点P 有（ ）. A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个4．已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．2⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为A ．B ．(0,2C ．D ．6．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12 B C －1 7．已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2．P 是椭圆上一点．PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形，当60°<PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（0）8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上异于,A B 的一点，若直线PA的斜率PA k 与直线PB 的斜率PB k 乘积14PA PB k k =-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．29．）已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D 111．若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为______ 12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B 两点（A 在第一象限），则AF BF=________.13．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12(0,)3PF F π∠∈，则该椭圆的离心率的取值范围是16．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为17．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -，过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12//l l ，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为18．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为。
圆锥曲线 重点 3：圆锥曲线的离心率问题 - 解析
微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。
主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一 求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有： 椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可） 方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率 【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。
圆锥曲线的离心率问题的求解
圆锥曲线的离心率问题的求解一、由曲线图形的性质求离心率的大小或范围问题例1、（1）已知双曲线22xa－y2=1(a>0)的一条准线为x=1.5，则该双曲线的离心率为（2）设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.（3）点P(－3,1)在椭圆x2/a2+y2/b2=0(a>b>0)的左准线上.过点P且方向为a=(2,－5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为.（4）已知双曲线x2/a2+y2/b2 = 0 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（5）已知双曲线22xa－y2=1(a>1)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（6）过标准型双曲线的右焦点作其在第一三象限的渐近线的垂线，垂足为P，若此垂线与双曲线的左右两支个交于一点，则双曲线的离心率的范围为.（7） (浙江) 过标准型双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．（8）设标准型双曲线的右焦点为F，右准线L与两条渐近线交于P、Q两点，如果ΔPQF是直角三角形，则双曲线的离心率e= .(9)过双曲线M:x2-y2/b2=1的左顶点A作斜率为1的直线L,若L与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是(10)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2，则该椭圆的离心率为.例2、已知A、B是椭圆长轴的两个端点，如果椭圆上存在一点Q，使∠AQB=120°，求椭圆离心率的取值范围。
练习：椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若存在过椭圆左焦点的直线L交椭圆于P、Q两点，使得OP⊥OQ，求离心率e 的取值范围。
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
求解圆锥曲线离心率问题的两种途径
思路探寻离心率是圆锥曲线的基本性质之一.圆锥曲线的离心率问题常以填空或选择题的形式出现，题目的难度适中.这类问题的常见命题形式有：（1）求椭圆、双曲线的离心率；（2）求圆锥曲线离心率的取值范围、最值.本文主要探讨一下求解圆锥曲线离心率问题的两种途径：构造齐次方程和利用离心率公式.一、构造齐次方程在求解圆锥曲线的离心率问题时，我们通常可根据已知的条件和圆锥曲线的方程，得到关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系.那么我们就可以结合椭圆、双曲线的方程中参数a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2或a 2-b 2=c 2，将关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系进行变形，构造出关于a 、b 、c 齐次方程，将问题转化为求c 2a 2，进而求得圆锥曲线的离心率e .例1.已知点A 、B 是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1()a >b >0长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上(异于A 、B 两点).若直线PA 、PB 斜率之积为a -4c3a，则椭圆的离心率为().A.13B.14C.23D.34解：设点P 的坐标为()m ,n ，则m 2a 2+n 2b 2=1，m 2-a 2=-a 2n 2b 2，设A ()-a ,0，B ()a ,0,则k PA ∙k PB =n m +a ∙n m -a =n 2m 2-a 2=n 2-a 2n 2b 2=-a 2b2=-a -4c 3a ，整理得3c 2+4ac -4a 2=0，即3e 2+4e -4=0，解得e =23或e =-2(舍去)，故答案为选项C .解答本题，需先根据椭圆的方程和直线的斜率公式建立关于a 、b 、c 的方程；然后根据椭圆的a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2，将所得的关系式变形为关于a 、c 的齐次方程3c 2+4ac -4a 2=0，通过解方程求得e 的值.例2.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与过原点的直线l 交于P 、Q 两点(P 在第一象限)，过点P 作l 的垂线，与双曲线交于另一个点A ，直线QA 与x 轴交于点B ，若点B 的横坐标为点Q 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为______.解：由题意可知，直线PQ 的斜率存在且不为零，设直线PQ ：y =kx ()k ≠0，设点P ()t ,kt ，得点Q ()-t ,-kt ，点B ()-2t ,0,∵AP ⊥PQ ，∴k AP =-1k，∴直线AP ：y -kt =-1k()x -t ，又∵k AQ =k BQ =kt -2t +t=-k，∴直线AQ ：x =-1ky -2t ，由ìíîïïy -kt =-1k()x -t ,x =-1k y -2t ,可得ìíîïïïïx =-3k 2t +tk 2-1,y =kt ()3+k 2k 2-1,即A æèççöø÷÷-t ()3k 2+1k 2-1,kt ()k 2+3k 2-1，∵点A 在双曲线上，∴t 2()3k 2+12a 2()k 2-12-k 2t 2()k 2+32b 2()k 2-12=1，又∵P 在双曲线上，∴t 2a 2-k 2t 2b 2=1，∴t 2=a 2b 2b 2-a 2k 2，可得b 2()3k 2+12()k2-12()b 2-a 2k2-k 2a 2()k 2+32()b 2-a 2k 2()k2-12=1，化简得b 2()8k 4+8k 2=a 2k 2()8k 2+8，50思路探寻∵k≠0，∴b2=a2，∴a2=c2-a2，可得c2a2=2，即双曲线的离心率e=2.本题较为复杂，我们需首先结合直线AP、PQ的方程和双曲线的方程建立关于k、t、b、a的关系式；然后结合双曲线中a、b、c之间的关系a2+b2=c2，通过消元、代换，得到关于a、c的齐次方程，进而求得离心率e的值.二、利用公式法公式法是求解圆锥曲线离心率问题的重要方法，主要是利用离心率公式e=c a来求圆锥曲线的离心率.在解题时，可先灵活运用圆锥曲线的定义、几何性质列出关于a、b、c的关系式；然后通过移项、化简等方式，将关系式转化为关于a、c的关系式；最后根据公式e=c a求出离心率的值.例3.如图1，已知F1、F2分别是曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于点P、Q两点，若PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，则双曲线C的离心率为().图1A.6-3B.5-22C.5+22D.1+22解：因为PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，由双曲线的定义可得||PF1-||PF2=||PQ-||PF2=||QF2=2a，||QF1-||QF2=2a，所以||QF1=4a，由∠F1QF2=π4,得||F1F2=2c，在△QF1F2中，由余弦定理可得16a2+4a2-2×4a×2a=4c2，化简得e==5-22.故答案为选项C.我们根据已知条件，利用双曲线的定义、余弦定理得到a、c等量关系式，即可根据离心率公式直接求得双曲线的离心率.例4.如图2，已知F1、F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F1的直线与双曲线交左支于A、B两点，且||AF1=2||BF1,以点O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，则椭圆C的离心率为_____.图2解：由题意可得∠F1BF2=90°，设||BF1=m，||BF2=m+2a，||AF1=2m，则||AF2=2m+2a，||AB=3m，在Rt△ABF2中，由勾股定理可得()2a+m2+()3m2=()2m+2a2，解得m=23a，则||BF1=2a3，||BF2=8a3，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得æèöø2a32+æèöø8a32=()2c2,化简得c=，所以椭圆的离心率为e=ca=.在解答本题时，要先仔细研究图形，结合圆的几何性质以及椭圆的定义找出a、b、c之间的关系；然后利用勾股定理得到关于a、c的关系式；最后将其代入圆锥曲线的离心率公式中，就能得到椭圆的离心率.相比较而言，公式法比较直接、简单，但需灵活运用圆锥曲线的性质和定义；而齐次化法较为复杂，运用该方法解题运算量较大.同学们需反复练习，领悟其中的要义，从而高效地解答问题.（作者单位：云南省曲靖市第二中学）51。
圆锥曲线离心率专题 历年真题
圆锥曲线离心率专题历年真题1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？答案：D.(2,+∞)改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。
过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。
答案为D.(2,+∞)。
2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？答案：$\frac{10}{3}$改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。
作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。
答案为$\frac{10}{3}$。
3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率答案：无法确定改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？答案无法确定。
4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为？答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。
答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）
圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。
来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。
，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。
二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
，可用整体代入套用公式。
解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。
这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。
三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。
圆锥曲线离心率及范围问题
因为 MH
OF2 ，所以， OF2
MH
OM
MF2 , MH
ab c
，即 M
点纵坐标为
ab c
，
将M
点纵坐标带入圆的方程中可得
x2
a2b2 c2
b2
，解得 x
b2 c
,M
b2
c
,
ab c
，
将M
b4
点坐标带入双曲线中可得
a2c2
a2 c2
1，
化简得 b4 a4 a2c2 ， c2 a2 2 a4 a2c2 ， c2 3a2 ， e c 3 ，选 D. a
PF2 F1 60 ，则 C 的离心率为（
A．1 3 2
B． 2 3
） C． 3 1 2
D． 3 1
【答案】 3 1
【解析】设椭圆焦点在 x 轴上，则椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0.
因为 F2PF1 90 ， PF2F1 60 ， F1F2 2c ，所以 PF2 c ， PF1 3c
因为 MF1 3 MF2 ， M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知 MF1 MF2 2a ， 即 3 MF2 MF2 2a ， MF2 a 因为圆 x2 y2 b2 的半径为 b ， OM 是圆 x2 y2 b2 的半径，所以 OM b ， 因为 OM b, MF2 a,OF2 c, a2 b2 c2 ， 所以 OMF2 90 ，三角形 OMF2 是直角三角形，
设 F1 为椭圆右焦点， F2 为椭圆左焦点，则 PF1 PF2 2a ，所以 3 1 c 2a ，
所以 e c 2 2 3 1 3 1.故选 D. a 3 1 3 1 3 1
圆锥曲线的离心率问题
圆锥曲线的离心率问题大家知道，圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容，可以毫不夸张地说，不管是高考，还是高三的诊断考试，基本上是每卷都有出现。
这类问题归结起来主要包括：①已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线的离心率；②已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线离心率的取值范围。
从题型上看，属于5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从考试的深难度来看，属于中、高档题。
那么如何解答这类问题呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、已知1F 、2F 是椭圆两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆AB 2F 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（2016—2017成都实外西区期中考试）A2B 3C 3D 2 2、已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0,b ＞0）的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2y =2px（p ＞0）与双曲线有相同的焦点，设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且cos ∠P 1F 2F =57，则双曲线C 的离心率为（ ）（2019成都市高三三诊） AB或3 C 2或D 2或3〖解析〗1、【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③正三角形的定义与性质；【解答思路】题中没有确定焦点在X 轴还是Y 轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只考虑焦点在X 轴上的情况。
由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出a ，c 的值，然后根据椭圆离心率的公式e=ca求出结果； 【详细解答】如图Q ∆AB 2F 是正三角形，A 1F ⊥X∴∠A 2F 1F =.30，⇒|A 2F |=2|A 1F |，设|A 2F | =2， 则|A 1F |=1，在Rt ∆A 1F 2F 中，Q tan .30= 112||||AF F F = 12c =3，∴ c=2，Q |A 1F |+ |A 2F |=1+2=3=2a ，2a 23232、【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与性质；④曲线交点的定义与求法；【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在X 轴上，根据问题条件结合双曲线，抛物线的定义与性质分别求出a ，c 的值，然后由双曲线离心率的公式e= ca求出结果； 【详细解答】如图，过1F 作垂直于X 轴的直线l ，过P 作PQ ⊥l 于Q ，Q 抛物线2y =2px （p ＞0）与 双双曲线C 有相同的焦点，P 是抛物线与 双曲线C的一个交点，∴|PQ|=|P 2F |， ∠QP 1F =∠2F 1F P ， Q cos ∠P 1F 2F =57，∴cos ∠QP 1F =1||||PQ PF =21||||PF PF =57， ⇒|P 2F |=57|P 1F |，设|P 1F |=7，则|P 2F |=5，⇒|P 1F |-|P 2F |=7-5=2=2a ，⇒a=1，Q 在∆P 1F 2F 中， |2F P|2= |P 1F |2+||1F 2F |2-2|P 1F ||1F 2F | cos ∠P 1F 2F ，∴25=49+42c -2⨯7⨯2c ⨯57，⇒2c -5c+6=0，⇒c=2或c=3，∴ e= c a = 21或e= c a= 31⇒e=2或e=3。
圆锥曲线：离心率问题 高考数学
C. 2
√
B. 3
1
2
3
4
5
6
D. 5 − 1
7
8
9
10
)
试卷讲评课件
【详解】令双曲线的焦距为，依题意，
∣ ∣−∣ ∣=
，解得
∣ ∣+∣ ∣= −
∣ ∣= −
，
∣ ∣= −
在△ 中，∠ = ∘ ，由余弦定理得
故 ⋅ =
⋅
= = ①，
+ −
−
−
∵ + = ，即 =
②，
②代入①整理得：
= =
−
=
=
，
.
故选：.
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题.
1
2
3
4
5
6
(1)表示边：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比
例线段.
(2)表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法.
(3)常见角度关系：公共角、补角、余角.
【例题分析】
考向一 直接求、的值或利用、的关系求离心率
试卷讲评课件
x2
例1.( ⋅湖北·二模)已知椭圆C:
m
2
试卷讲评课件
2.双曲线
(1)
x2
双曲线的标准方程： 2
a
y2
− 2
b
=
y2
1或 2
a
−
x2
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
圆锥曲线的离心率是一个非负实数，表示椭圆或双曲线在长轴与短轴之间的偏离程度。
下面是三种思路来求解圆锥曲线离心率范围的问题：
1. 几何定义法：
根据圆锥曲线的定义，可以通过几何性质来求解其离心率范围。
对于椭圆，其离心率范围是0到1，即0≤e<1；对于双曲线，其离心率范围大于1，即e>1。
这种方法是直观和简单的，适用于初步了解圆锥曲线的性质。
2. 参数方程法：
圆锥曲线可以用参数方程表示，形式为x=f(t)，y=g(t)，其中
t是参数。
通过参数方程可以计算圆锥曲线上的点与焦点的距离，并据此确定离心率的范围。
具体步骤是：首先计算离焦点的距离d1，再计算离顶点的距离d2，最后求取d1/d2的范围。
如果d1/d2 < 1，则表示点离焦点的距离小于离顶点的距离，
即离心率小于1；如果d1/d2 > 1，则表示点离焦点的距离大于
离顶点的距离，即离心率大于1。
3. 方程法：
对于标准的圆锥曲线方程，可以通过方程进行计算来求解离
心率的范围。
以椭圆为例，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
根据离心率的定义，可以推导出离心率e与半长轴a和半短轴b之间的关系，即e
= √(a^2 - b^2)/a。
根据这个公式，可以计算出离心率e的范围。
综上所述，这是三种常见的思路用来求解圆锥曲线离心率范围的问题。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和所给的条件。
新高考数学二轮复习圆锥曲线中的离心率的范围问题
2.已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆上存在点 A，
使得∠F1AF2＝π3，则椭圆离心率的范围为
A.0，12
B.12，1
C.0，12
√D.12，1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
由题意，设椭圆上顶点为 B，若椭圆上存在点 A，使得∠F1AF2＝π3， 则只需∠F1BF2≥π3即可. 当∠F1BF2＝π3时，△F1BF2 为正三角形，此时 a＝2c， 故当∠F1BF2≥π3时，a≤2c，即12≤ac. 故离心率 e∈12，1.
所以|OP|2≥a2， 因为 d1d2≤12|OP|2 恒成立， 所以aa2＋2b2b2≤12a2，
整理得 b2≤a2，即ba22≤1， 所以离心率 e＝ac＝ ac22＝
1＋ba22≤ 2，
则 C 的离心率的最大值为 2.
规 律
利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，
方 法
构造几何度量之间的关系.
所以2ca＝cos∠PF1F2> 22， 即 e＝ac> 2， 综上， 2<e<2.
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点P，满足 |OP|＝m(O为坐标原点)，则E的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
3
＝sinπ3＋θ2－sin
＝ θ
31 2 ·cosπ6＋θ.
因为
e∈
26，
3，
所以 cosπ6＋θ∈12， 22，
所以π6＋θ∈π4，π3， 所以 θ 的取值范围为1π2，π6.
求解圆锥曲线离心率问题的两种思路
探索探索与与研研究究离心率是圆锥曲线的重要性质之一.圆锥曲线的离心率公式为e =ca，a 是指双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长，c 是指双曲线和椭圆的半焦距.由于抛物线的离心率e =1，双曲线的离心率e >1，椭圆的离心率0<e <1，所以圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率.求圆锥曲线的离心率，关键是求a 、c 的值或其比值.下面谈一谈求解圆锥曲线问题的两种思路.一、构建齐次式在求圆锥曲线的离心率时，可根据题目中所给的条件和几何关系，利用圆锥曲线的公式、定义、方程等建立含有a ,b ,c 的齐次式；再在该式的左右两边同时除以c 2，得到关于c a 或ba的方程，解该方程即可求得离心率.例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为B ，若椭圆C的中心到直线AB 的距离为F 1F 2|，求椭圆C 的离心率.解：因为直线AB 过右顶点为A ，上顶点为B ，所以直线AB 的方程为：x a +yb=1.又椭圆C 的中心到直线AB 的距离为d =||ab a 2+b 2=c ，而c 2=a 2-b 2，则||ab a 2+b2a 2-b 2，在上式的两边同除以a 2，整理可得2æèöøb a 4+3æèöøb a 2-2=0，得æèöøb a 2=12，解得e ==.利用点到直线的距离公式，建立一个关于a ,b ,c 的齐次式，就可以将问题转化为解方程问题.在求离心率的过程中，还要注意圆锥曲线离心率公式的变形式，e =椭圆）、e =双曲线）.二、利用平面几何知识当遇到一些有关焦点三角形、直线的倾斜角、点到直线的距离、两点之间的距离、线段的中点、平行线段、垂直线段等的离心率问题时，我们可以根据题意画出相应的几何图形，巧妙利用平面几何知识，如椭圆或双曲线的定义、三角形中位线的性质、点到直线的距离公式、勾股定理、正余弦定理等来建立关于双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长、半焦距的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例2.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为.解：因为线段PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，所以PF 2∥y 轴，从而可知PF 2⊥F 1F 2，因为∠PF 1F 2=30°，则直角三角形PF 1F 2中，||PF 1:||PF 2:||F 1F 2=2:1:3，又因为点P 在椭圆C 上，则2a =||PF 1+||PF 2,2c =||F 1F 2，所以e =c a =2c 2a =||F 1F2||PF 1+||PF 2=.由题意可知△PF 1F 2为椭圆的焦点三角形，于是以椭圆的定义为突破口，在直角三角形PF 1F 2中，利用勾股定理来建立三角形PF 1F 2三边之间的关系式，从而求得椭圆的离心率.在求与焦点三角形有关的离心率问题时，要注意离心率与焦半径之间的关系：e =c a =2c 2a =||F 1F 2||PF 1+||PF 2(椭圆)，e =c a =2c 2a =||F 1F 2||||PF 1-||PF 2（双曲线）.总之，在求解圆锥曲线的离心率时，不仅要灵活运用圆锥曲线的方程、定义、几何性质和平面几何图形的性质，还要学会运用数形结合思想、方程思想来辅助解题，这样才能有效地提升解题的效率.（作者单位：福建省柘荣县第一中学）袁晓光52。
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A． 2 例
5、（2020
届山东省潍坊市高三上期末）已知点
P
为双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
=1
a 0,b 0
右支上一点，
F1, F2 分别为 C 的左，右焦点，直线 PF1 与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 H ，若 PF1 = 4 HF1 ，则该双曲
1
线的离心率为（ ）
A． 15 3
B． 21 3
C． 5 3
D． 7 3
例 6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线 x2 − y2 = 1的一条渐近线的倾斜角为 ，
a2 2
6
则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 3 3
B． 2 6 3
C． 3
D． 2
题型二、求离心率的范围 求离心率的值关键是找到不等关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要
C：x a
2 2
+
y2 b2
= 1 的左、右焦点 F1，F2 分别作斜率为 2
2 的直线交椭圆 C
上半部分于 A，B 两点，记△AOF1，△BOF2 的面积分别为 S1，S2，若 S1：S2＝7：5，则椭圆 C 离心率为_____．
10、（2020
届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆
x2 a2
10，
则双曲线的离心率为
（）
A． 3 5
B． 4 5
C． 5 4
D． 5 3
6、（2020
届浙江省杭州市高三
3
月模拟）已知双曲线 C
：
y2 a2
−
x2 b2
=1（a
0, b
0 ）的渐近线方程为
y = 1 x ，则双曲线 C 的离心率为（ ） 2
A． 5 2
B． 5
C． 6 2
D． 6
7、（2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）分别将椭圆 C1 的长轴、短轴和双曲线 C3 的实轴、虚轴都增加 m 个
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0)
的右焦点为 F ， P 为右准线上一点．点 Q 在椭圆上，且 FQ ⊥ FP ．
（1）若椭圆的离心率为 1 ，短轴长为 2 3 ．
2 ① 求椭圆的方程；
（2）若在 x 轴上方存在 P，Q 两点，使 O，F，P，Q
四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
2
例 9、(2017 扬州期末）如图，椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)，圆 O：x2＋y2＝b2，过椭圆 C 的上顶点 A 的直 线 l：y＝kx＋b 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P，Q，设A→P＝λP→Q.
有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点 到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。
例 7、（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a 0, b 0) 的左、右焦点
分别为
F1
(－c，0) ，
F2
(c，0)
4
单位长度（ m 0 ），得到椭圆 C2 和双曲线 C4 ．记椭圆 C1, C2 和双曲线 C3,C4 的离心率分别是 e1, e2, e3, e4 ，
则（ ）
A． e1 e2 ， e3 e4
B． e1 e2 ， e3 与 e4 的大小关系不确定
C． e1 e2 ， e3 e4
D． e1 e2 ， e3 与 e4 的大小关系不确定
5 2
，则其渐近线方
程为（ ）
A． 2x 3y = 0
B． 3x 2 y = 0
C． x 2 y = 0
D． 2x 3y = 0
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
0, b
0) 的左、右焦点分别为
F1 (−2, 0) 、 F2 (2, 0) ， M 是 C 右支上的一点， MF1 与 y 轴交于点 P ， MPF2 的内切圆在边 PF2 上的切
A． 3 3
B． 2 3 3
C． 3
D． 4 3 3
( ) 例
4、（2020 届山东省德州市高三上期末）双曲线
x2 a2
−
y2 b2
=1（a
0 ， b 0 ）的右焦点为 F1
2
2,0
，
点 A 的坐标为 (0,1) ，点 P 为双曲线左支上的动点，且 APF1周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（ ）
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 的内接 ABC 的顶点 B
为短轴的一个端点，右焦点 F ，线段 AB 中点为 K ，且 CF = 2FK ，则椭圆离心率的取值范围是
___________.
5
点为 Q ，若 PQ = 2 ，则 C 的离心率为____.
3、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知
F 为双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a
0,b
0) 的右焦点，过
F 作 C 的渐近线的垂线 FD，D 为垂足，且| FD |= 3 | OF |（O 为坐标原点），则 C 的离心率为________. 2
(1) 若点 P 的坐标为1，32，且△PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程； (2) 若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e∈12， 22，求实数 λ 的取值范围．
3
达标训练
1、（2020 届山东省烟台市高三上期末）若双曲线 x2 a2
− y2 b2
= 1(a 0,b 0) 的离心率为
(1) 若点 P(－3,0)，点 Q(－4，－1)，求椭圆 C 的方程； (2) 若 λ＝3，求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围．
题型三、 由离心率求参数的范围 由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围。
例 10、(2017 南京学情调研）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，P 为椭圆上一点(在 x 轴上方)，连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设P→F1＝λF→1Q.
F 为双曲线
C：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点， O 为坐标原点，
以 OF 为直径的圆与圆 x2 + y2 = a2 交于 P，Q 两点．若 PQ = OF ，则 C 的离心率为
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
例
2、（2020
届山东省泰安市高三上期末）已知圆 C :
x2
+
y2
−10y + 21 =
0 与双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0)
的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． 2
B． 5 3
C． 5 2
D． 5
例
3、（2020
届山东省九校高三上学期联考）已知直线 l1 ， l2 为双曲线 M
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
0, b
0) 的两
( ) 条渐近线，若 l1 ， l2 与圆 N ： x - 2 2 + y2 =1 相切，双曲线 M 离心率的值为（ ）
圆锥曲线中的离心率的问题
一、题型选讲 题型一 、求离心率的值
求离心率的值关键是找到等式关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、 题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例 1、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设
，点
N
的坐标为
−c,
3b2 2a
．若双曲线 C
左支上的任意一点
M
均满足
MF2 + MN 4b ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为( )
A．
13 , 3
5
B． ( 5, 13)
C． 1,
13 3
( 5, +)
D． (1, 5) ( 13, +)
例
8、(2018
苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
8、（2020 届浙江省嘉兴市
3 月模拟）已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 的左、右焦点分别是 F1 ， F2 ，点
A
是椭圆上位于 x 轴上方的一点，若直线 AF1 的斜率为 4 2 ，且 AF1 = F1F2 ，则椭圆的离心率为________． 7
9、（2020·浙江高三）如图，过椭圆
4、（2020
届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1( a
0,b 0) 的一条渐近线为
y = 1 x ，则离心率为（ ） 2
A． 5 2
B． 5
C． 5 或 5
2
D． 3
5、（2020
届浙江省杭州市第二中学高三
3
月月考）设双曲线
x2 a2
-
y2 9
=（1 a
0）的两焦点之间的距离为