2020年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷(有答案解析)

16. 已知平面向量
满足
，设
，则
______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17. 如图：四面体 ABCD 的底面 ABC 是直角三角形，AC⊥BC，AC=3，BC=4，DA⊥
平面 ABC，DA=5，E 是 BD 上的动点（不包括端点）． （1）求证：AE 与 BC 不垂直；
（2）当 AE⊥DC 时，求 的值．
充要条件为
．
（3）已知 sin2θ= （0＜θ＜ ），dn= （1+dn2）=1 恒成立，试计算 bn．
，对任意的 n∈N*，（an+bndn-andn2）
第 3 页，共 15 页
第 4 页，共 15 页
1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：不等式组
，
当取得点（2，3）时， 取得最小值为 ，
⇒
代入②可得
即可
本题考查了轨迹方程的求解、空间线面位置关系的判断与性质，考查了数形结合方法、推理能力与 计算能力，属于难题．
5.答案：{x|0＜x＜1}
第 6 页，共 15 页
解析：解：由已知，集合 A 中的不等式 log2x＜1=log22，由 2＞1 得到对数函数为增函数及对数函数
的定义域为：x＞0 得到：0＜x＜2；而集合 B 中的不等式 ＜0 可化为
⇒
代入②可得
∴P 的轨迹椭圆． 故选：A． 设 EF 的中点为 O，过 O 作 EF 的垂面 α，则 AB 的中点 P 必在平面 α 内，设 A，B 在 α 上的射影分别 为 M，N，MN=2 ，以 O 为原点，以∠MON 的平分线所在直线为 x 轴，在平面 α 内建立平面坐标系
xOy，设 M（x，y），OM=m，ON=n，则由余弦定理可得 m2+n2-mn=12…①
本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题，理解不等式
＜0 与不等式（x-a）（x-b）＜0 同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算．
6.答案：0
解析：解：由 z（1+i）=1-i，得 z=
，
∴Rez=0． 故答案为：0． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考来自百度文库复数的基本概念，是基础题．
11.答案：（0，2]
解析：解：因为 f-1（x）的值域为函数
的定义域，
所以
，
解得 0＜x≤2，
第 8 页，共 15 页
即 f-1（x）的值域为（ 0，2]． 故答案是：（0，2]． 反函数 y=f（-1）（x）值域分别是函数 y=f（x）的定义域． 本题考查了反函数，反函数 y=f（-1）（x）的定义域、值域分别是函数 y=f（x）的值域、定义域．
所以答案为[ ，+∞），
故选：D． 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函 数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的 斜率问题． 本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．
2.答案：C
解析：解：设
，令 x=0，可得 a0=1．
再令 x= ，可得 0=1+
4.答案：A
解析：解：设 EF 的中点为 O，过 O 作 EF 的 垂面 α，则 AB 的中点 P 必在平面 α 内， 设 A，B 在 α 上的射影分别为 M，N， ∵AP=BP=2，AM=BN=1，MN=2 ． 以 O 为原点，以∠MON 的平分线所在直线为 x 轴，在平面 α 内建立平面坐标系 xOy， 设 M（x，y），OM=m，ON=n，则由余弦定 理可得 m2+n2-mn=12…①
10.答案：-4
解析：解：关于 x 的不等式|ax+2|＜6 的解集根据公式应该是-6＜ax+2＜6； 这时，当 a=0 时，显然不合题意；
当 a＞0 时， ＜x＜ ，根据不等式|ax+2|＜6 的解集为（-1，2），
即满足 =2 且 =-1，显然矛盾；
当 a＜0 时，解为
，根据不等式|ax+2|＜6 的解集为（-1，2），
12. 某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何
体的体积（单位：立方厘米）是______
13. 已知方程 + =1 表示的曲线为 C，任取 a，b∈{1，2，3，4，5}，则曲线 C 表示焦距等于 2 的椭 圆的概率等于______．
第 1 页，共 15 页
- ≤x≤-1，f（x）=-x-1+2x+a=x+a-1≥ -1； x＞-1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a-2， ∴ -1=3 或 a-2=3， ∴a=8 或 a=5， a=5 时， -1＜a-2，故舍去；
第 5 页，共 15 页
≥-1 时，x＜-1，f（x）=-x-1-2x-a=-3x-a-1＞2-a；
5. 设集合 A={x|log2x＜1}，B={x| ＜0}，则 A∩B=______．
6. 已知复数 z 满足 z（1+i）=1-i，则 Rez=______． 7. 已知点 A（2，1）、B（3，5）、C（5，2），则△ABC 的面积是______．
8. 若 f（x）=
是奇函数，则 a=______．
20. 已知函数 y=f（x）（x∈R）． （1）若 f（x）满足 y=f（x+1）为 R 上奇函数且 y=f（x-1）为 R 上偶函数，求 f（-3）+f（5）的 值；
（2）若函数 y=g（x）（x∈R）满足
对 x∈R 恒成立，函数 h（x）=f
（x）+g（x），求证：函数 h（x）是周期函数，并写出 h（x）的一个正周期； （3）对于函数 y=f（x），y=k（x）（x∈R），若 f（k（x））=f（x）对 x∈R 恒成立，则称函数 y=f（x）是“广义周期函数”，k（x）是其一个广义周期，若二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a≠0） 的广义周期为 k（x）（k（x）=x 不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的 x1，x2∈R，
x1≠x2，f（x1）=f（x2）成立的充要条件是
．
21. 已知{an}，{bn}为两非零有理数列（即对任意的 i∈N*，ai，bi 均为有理数），{dn}为一无理数列 （即对任意的 i∈N*，di 为无理数）． （1）已知 bn=-2an，并且（an+bndn-andn2）（1+dn2）=0 对任意的 n∈N*恒成立，试求{dn}的通项 公式． （2）若{dn2}为有理数列，试证明：对任意的 n∈N*，（an+bndn-andn2）（1+dn2）=1+dn 恒成立的
即满足 =-1 且 =2，解得 a=-4
综上所述，答案为：a=-4． 关于 x 的不等式|ax+2|＜6 的解集根据公式应该是-6＜ax+2＜6；再对 a 进行讨论，a=0 时，显然不合
题意；a＞0 时， ＜x＜
即满足 =2 且 =-1，显然矛盾；当 a＜0 时，解为
，从而易得 a=-4．
不等式的解集公式应当记熟记牢；还要特别注意对含参不等式中的参数进行讨论．
，
∴
=-1，
故选：C．
在所给的等式中，令 x=0，可得 a0=1；再 x= ，可得 0=1+
，由此求得
的值． 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值， 求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
3.答案：D
解析：解： ＜-1 时，x＜- ，f（x）=-x-1-2x-a=-3x-a-1＞ -1；
A. 5 或 8
B. -1 或 5
C. -1 或-4
D. -4 或 8
4. 已知异面直线 a、b 成 60°角，其公垂线段为 EF，|EF|=2，长为 4 的线段 AB 的两湍点分别在直
线 a、b 上运动，则 AB 中点的轨迹为（ ）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 圆
D. 以上都不是
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
或
，解
得-2＜x＜1， 则 A={x|0＜x＜2}，B={x|-2＜x＜1}，所以 A∩B={x|0＜x＜1}． 故答案为：{x|0＜x＜1}． 把集合 A 中的 1 变为 log22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出 x 的范围即可 得到集合 A；由集合 B 中的不等式得到 x-1 与 x+2 异号，列出不等式求出解集即可得到集合 B，然后 求出 A 与 B 的交集即可．
14. 已知
和 g（x）=2cos（2x+φ）+1 的图象的对称轴完全相同，则
时，f（x）的取值范围是______．
15. 已知双曲线 - =1（a＞0，b＞0），过双曲线上任意一点 P 分别作斜率为- 和 的两条直线 l1 和
l2，设直线 l1 与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为 S，直线 l2 与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面 积为 T，则 S•T 的值为______．
-1≤x≤- ，f（x）=x+1-2x-a=-x-a+1≥- +1；
x＞- ，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞- +1，
∴2-a=3 或- +1=3，
∴a=-1 或 a=-4，
a=-1 时，- +1＜2-a，故舍去；
综上，a=-4 或 8． 故选：D． 分类讨论，利用 f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3，建立方程，即可求出实数 a 的值． 本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
18. 已知复数 z1=2sinθ- i，z2=1+（2cosθ）i，i 为虚数单位，θ∈[ ， ]． （1）若 z1•z2 为实数，求 sec2θ 的值； （2）若复数 z1，z2 对应的向量分别是 ， ，存在 θ 使等式（λ - ）•（ -λ ）=0 成立，求实数 λ 的取值范围．
19. 某海域有 A、B 两个岛屿，B 岛在 A 岛正东 4 海里处．经多年观察 研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线 C，曾有渔船在距 A 岛、B 岛距离和为 8 海里处发现过鱼群．以 A、B 所在直线为 x 轴，AB
9.答案：3 或 5
解析：解：∵直线 l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0 与直线 l2：2（k-3）x-2y+3 平行，
则
，即
，解得：k=3 或 k=5．
故答案为：3 或 5． 直接由两直线的系数的关系列式求解 k 的值． 本题考查了直线的一般方程与直线平行的关系，关键是对两直线平行条件的记忆与运用，是基础题．
8.答案：
解析：解：∵f（x）是奇函数， ∴f（x）=-f（-x），
第 7 页，共 15 页
∴
=
∴
=
，
解得 a= ．
故答案为： ．
根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入 f（x）的解析式，得到等式即可求出 a 的值． 本题主要考查奇函数的性质，根据 f（x）=-f（-x）列出式子即可解得 a 的值，本题比较基础．
第 2 页，共 15 页
的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线 C 的标准方程； （2）某日，研究人员在 A、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A、B 两岛收到鱼群在 P 处反射信号的时间比为 5：3，问你能否确定 P 处的位置（即点 P 的坐 标）？
2020 年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
1. 若实数 x、y 满足
则 的取值范围是（ ）
总分
A. （0，2）
B. （0，2）
C. （2，+∞）
D. [ ，+∞）
2. 设
，则
的值为（ ）
A. 2
B. 0
C. -1
D. 1
3. 若函数 f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3，则实数 a 的值为（ ）
9. 已知直线 l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0 与 l2：2（k-3）x-2y+3=0 平行，则 k=______．
10. 若关于 x 的不等式|ax+2|＜6 的解集为（-1，2），则实数 a 的值等于______．
11. 设函数
的反函数为 f-1（x），则 f-1（x）的值域为______．
7.答案：
解析：解：直线 AB 的方程为：y-1= （x-2），化为：4x-y-7=0，
点 C 到直线 AB 的距离 d=
=．
|AB|=
=．
∴△ABC 的面积 S=
=．
故答案为： ． 求出直线 AB 的方程，利用点到直线的距离公式可得点 C 到直线 AB 的距离 d．利用两点之间的距离 公式可得|AB|，再利用△ABC 的面积 S= d|AB|即可得出． 本题考查了点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题．