2020年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷(有答案解析)
2020年上海市高考数学模拟试卷6套(附答案解析)
高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间 上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正 弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半， 则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%， 可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0， 可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物 的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值； （2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时 剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（ ，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ）， ，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （ ，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（ ）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下 列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线 ： ，过点 作直线 ，使 与 有且仅有一个公共点，则满 足上述条件的直线 共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行 ，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ． 的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的 志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。
2020届上海市建平中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2020届上海市建平中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l()A．相交B．平行C．垂直D．异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．本题选择C选项.2．如果将312OA⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB，则OB的坐标是A．12⎛-⎝⎭B．21⎫-⎪⎪⎝⎭C．(-D．21⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】先求出直线OA的倾斜角，再求直线OB的倾斜角，即得点B的坐标和OB的坐标.【详解】设直线OA的倾斜角为1tan,36πααα∴==∴=，因为25636πππ+=，|OA|=|OB|,所以点B的坐标为551(cos,sin)662ππ即（，）.故答案为：D【点睛】本题主要考查向量的坐标，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．设()f x是定义在R上的奇函数，当0x>时，()()0,1xf x a b a a=+>≠，若()f x在R 上存在反函数，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩ B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或0110a b b <<⎧⎨≤-≥⎩或 C ．121a b >⎧⎨-<<-⎩或0110.5a b <<⎧⎨-<<-⎩ D ．12a b >⎧⎨≤-⎩或010.50a b <<⎧⎨-<<⎩【答案】B【解析】若()f x 在R 上存在反函数，必需保证函数()f x 不存在多个自变量x 对应同一个函数值，再根据函数的单调性和奇函数的图象特点，即可得到答案. 【详解】若()f x 在R 上存在反函数，必需保证函数()f x 不存在多个自变量x 对应同一个函数值，即可，（1）当1a >时，函数()f x 在0x >单调递增，所以()f x 在0x <也单调递增，若1b <-，根据奇函数的性质，则会出现多个自变量x 对应同一个函数值，所以11a b >⎧⎨≥-⎩. （2）当01a <<时，函数()f x 在0x >单调递减，所以()f x 在0x <也单调递减， 若10b -<<，根据奇函数的性质，则会出现多个自变量x 对应同一个函数值，所以0110a b b <<⎧⎨≤-≥⎩或. 故选B. 【点睛】本题考查反函数定义和对概念的理解，考查数形结合思想和图象的平移变换，求解时要会借助草图进行分析求解.4．已知数列{}n a 满足()2*110,n n n a a a a ta n N+=>=-+∈，若存在实数t ，使{}na 单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】A【解析】由{}n a 单调递增，可得1n n a a +>恒成立，则1n t a >+*()n N ∈，分析11t a >+和21t a >+可排除错误选项. 【详解】由{}n a 单调递增，可得21n n n n a a ta a +=-+>，由10a a =>，可得0n a >，所以1n t a >+*()n N ∈.1n =时，可得1t a >+.①2n =时，可得21t a ta >-++，即()()()111a t a a -<+-.②若1a =，②式不成立，不合题意；若1a >，②式等价为1t a <+，与①式矛盾，不合题意. 排除B,C,D,故选A. 【点睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.二、填空题 5．已知集合205x A x x ⎧-=<⎨+⎩,{}2230,B x x x x R =--≥∈,则A B =_________.【答案】(]5,1--.【解析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合A 和B ，再根据交集的定义求出A B ⋂. 【详解】 ∵集合2{|0}{|52}5x A x x x x -=<=-<<+， 2{|230}{|13}B x x x x R x x x =--≥∈=≤-≥，或，∴{|51}A B x x ⋂=-<≤-，故答案为:(]5,1--． 【点睛】本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.6．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【解析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部. 【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为：1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.7．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.【答案】【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，故ba=1a =，因此b =【考点】双曲线的渐近线.8．求和：12339273n nn n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=______（*n N ∈）.【答案】41n -【解析】把所给的式子变形为0123392731n nn n n n n C C C C C ++++⋯+-，再利用二项式定理可得结果． 【详解】123012339273392731n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C +++⋯+=++++⋯+-(13)141n n =+-=-.故答案为41n -． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子变形后利用二项式定理，是解题的关键，属于中档题．9．若不等式26ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为________． 【答案】4- 【解析】【详解】因为不等式26ax +<的解集62684ax ax ⇔-<+<⇔-<<()840x a a a -∴<<>（舍），48(<0)x a a a-<<,=4a ∴-，故答案为4-.10．已知实数x ，y 满足1201x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则yx 的最小值为______.【答案】13-【解析】作出线性约束条件所表示的区域，目标函数的最小值即为可行域内的点与原点连线斜率的最小值. 【详解】线性约束条件所表示的区域，如图所示：yx表示可行域内的点与原点连线的斜率， 所以当(,)x y 落在点(3,1)A -时，yx取得最小值为13-.故答案为13-.【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，求解时注意目标函数的几何意义，属于容易题.11．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到D C B A 、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A 服务的概率是 ． 【答案】140【解析】试题分析：记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A P P E C P ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． 【考点】本题考查了随机事件的概率点评：求解此类问题时要注意区分几种基本概率模型，注意语言表达的科学性和符合表述的规范性，在解决本部分问题时，要注意分类讨论、等价转化等思想方法的运用 12．已知将函数()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<<⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则⋅=ωϕ______.【答案】34π-【解析】根据左右平移可得()g x 解析式；利用对称性可得关于ω和ϕ的方程组；结合ω和ϕ的取值范围可分别求出ω和ϕ的值，从而得到结果.【详解】由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称,42,432k k Z k k Z ππωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈06ω<< 3ω∴= ,4k k Zπϕπ∴=-+∈ 又22ππϕ-<<4πϕ∴=- 34πωϕ∴⋅=-本题正确结果：34π- 【点睛】本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组.13．已知()()22log 2log 11a b -+-≥，则2a b +取到最小值时，ab =______. 【答案】9【解析】根据题意，由对数的运算性质可得(2)(1)2a b --≥且21a b >⎧⎨>⎩，再利用基本不等式结合不等式的性质可得22(2)(1)5525a b a b +=-+-+≥≥，分析可得当且仅当3a b ==时，等号成立，即当3a b ==时，2a b +取到最小值，据此计算可得答案． 【详解】由对数的真数大于0，可得2010a b ->⎧⎨->⎩，因为22log (2)log (1)1a b -+-≥， 所以(2)(1)2a b --≥且21a b >⎧⎨>⎩，所以22(2)(1)55259a b a b +=-+-+≥≥=， 当且仅当2(2)12a b -=-=，即3a b ==时，等号成立， 所以2a b +取到最小值时9ab =. 故答案为9. 【点睛】本题考查基本不等式及不等式的性质的综合应用，注意多次用不等式求最值时，要注意不等式取等的条件要同时满足，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．在ABC ∆中，2BC =，45A ∠=︒，B Ð为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅的取值范围是______.【答案】(2,-【解析】建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标，进一步利用向量的数量积，将问题转化成求三角函数的值域问题，从而得到OA BC ⋅的取值范围. 【详解】如图所示：||2BC =，90BOC ∠=°，45CAB ∠=︒， 由于B Ð为锐角，则点A 只能在左半圆上，设AOB θ∠=，则)A θθ3()22ππθ<<，B ，C ，所以(2OA θ=)θ，(BC =2cos 2sin )4OA BC πθθθ⋅=-+=-，因为322ππθ<<，所以5444πππθ<-<，则sin()14πθ<-≤，所以2)4πθ-<-≤，故答案为(2,-．【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、三角恒等变换、正弦型函数的值域，考查转化与化归思想、数形结合思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 15．已知函数()43cos f x x x =+，等差数列{}n a 的公差为3π，若()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=，则5a =______.【答案】3π 【解析】根据等差数列下标和相等，对应项的和也相等，同时利用和差化积公式将条件等价转化为565620()202a a a a π+⋅+=所以可求得56a a π+=，再由公差为3π求得5a 的值. 【详解】()11143cos f a a a =+ ()22243cos f a a a =+ ()33343cos f a a a =+ ⋅⋅⋅()10101043cos f a a a =+，因为()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=， 所以56121045()3(cos cos cos )20a a a a a π⋅⋅++⋅+++=， 所以561105645()3[(cos cos )(cos cos )]a a a a a a ⋅⋅++⋅+++11011056565645()3[2coscos 2coscos ]2222a a a aa a a aa a +-+-=⋅⋅++⋅++56110565645()3[2cos(cos cos )]222a a a a a aa a +--=⋅⋅++⋅++ 5656975345()3[2cos (cos cos cos cos cos )]222222a a d d d d da a +=⋅⋅++⋅++++5656975345()6cos (cos cos cos cos cos )266666a a a a πππππ+=⋅⋅++⋅++++565620()202a aa a π+=⋅+-=，显然56a a π+=， 所以55533a a a πππ++=⇒=.故答案为3π. 【点睛】本题考查等差数列的性质运用、三角函数和差化积公式，考查转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，求解的关键在于三角恒等变形，并能观察出方程的根，考查逻辑思维能力和运算求解能力. 16．设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______. 【答案】3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】问题转化为()max f x m >在[]1,4x ∈恒成立，对函数 1()23u x ax b x=--的两个端点值的和进行分类讨论，可得()f x 的最大值是在两个端点处取到，再求最大值的最小值，从而得到m 的取值范围. 【详解】由题意得：()max f x m >在[]1,4x ∈恒成立，设()max ()f x M a =，令1()23u x ax b x=--， 因为21'()20u x a x=--<在[]1,4x ∈恒成立，所以()u x 在[]1,4单调递减，所以183()1234a b u x a b --≤≤--，（1）当155(83)(123)04243aa b a b b --+--=⇒=-，3()38M a a =+；（2）当155(83)(123)04243a ab a b b --+-->⇒<-， 3()12338M a a b a =-->+；（3）当155(83)(123)04243aa b a b b --+--<⇒>-，13()83348M a a b a =+->+；所以当0a >时，3()8M a >，所以38m ≤.故答案为3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查含绝对值函数的最值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，求解时要注意讨论的突破口，即由于绝对值内的函数是单调递减，所以加上绝对值后其最大值必在端点处取到，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与平面ABCD 所成的角依次是45︒和12arctan ，2AP =，E ，F 依次是PB ，PC上的点，其中PE EB =，12PF FC =.（1）求直线EC 与平面PAD 所成的角（结果用反三角函数值表示）； （2）求三棱锥F CDE -的体积.【答案】（1）sin6arc ；（2）23【解析】（1）以AD 、AB 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，写各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后代入线面角的向量求解公式，求得线面角的正弦值，从而得到答案．（2）求出三棱锥底面的面积，再利用向量法求三棱锥的高，最后代入体积公式求得答案. 【详解】（1）分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 依题意得：4=AD ，2AB =，PE EB =，12PF FC =，∴E ，F 分别是PB ，PC 的中点， 则各点坐标分别是：(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ，(1,2,1)F ，(1,4,1)EC =-，又AB ⊥Q 平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==，设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则sin 6||||2EC n EC n α⋅===⋅⋅，∴直线EC 与平面PAD 所成的角为sin 6rc α．（2）连结,EF DE ，在直角三角形BCE 中，CE ==在直角三角形ADE 中，DE ==∴CDE ∆为等腰三角形，其面积122S =⋅= 由（1）得：(0,2,0)EF =，(1,4,1)EC =-，(2,0,0)DC =，设平面CDE 的法向量(,,)n x y z =，则40,0,(0,1,4)20,0,x y z n EC n x n DC ⎧+-=⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨=⋅=⎩⎩， 设F 到面CDE 的距离为h ，则2||||17EF n h n ⋅==，∴三棱锥F CDE -体积112333CDE V S h ∆=⋅⋅==.【点睛】本题考查利用空间向量求线面角、求点到面的距离，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意坐标运算的准确性，属于中档题． 18．已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()11sin 22g x x =+. （1）设0x 是函数()y f x =的一个零点，求()0g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+在[]0,π上的单调递增区间.【答案】（1）54；（2）0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用倍角公式可得函数1cos(2)6()2x f x π++=，由于0x 是函数()y f x =的一个零点，可得0()0f x =，化为0cos(2)16x π+=-，即可得出02x ．进而得出0()g x ．（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性，求出()h x 的单调递增区间，再与区间[]0,π取交集． 【详解】（1）函数21cos(2)6()cos ()122x f x x ππ++=+=， 0x 是函数()y f x =的一个零点，0011()cos(2)0226f x x π∴=++=，化为0cos(2)16x π+=-， ∴0226x k πππ+=+，解得0522()6x k k Z ππ=+∈．∴00115115()1sin 21sin(2)1226224g x x k ππ=+=++=+⨯=．（2）函数21()()()cos ()1sin 2122h x f x g x x x π=+=+++1cos(2)161sin 222x x π++=++ 311(cos 2cos sin 2sin )sin 222662x x x ππ=+-+132sin 2442x x =++ 13sin(2)232x π=++． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，解得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈． ∴函数()h x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈与区间[]0,π的交集为：0,12π⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦7,12ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， ∴函数的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性、函数的零点等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意单调区间用“逗号”或者“和”隔开，而不能并起来，属于中档题．19．已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ的面积等于0y 的值. 【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）02y =±.【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，20(,)4y A y ，AP 的中点20042(,)82y a y a M +++代入抛物线得到二次方程22000(42)440x y x y y ---++=，>0∆解得答案.（Ⅱ）先计算A 到PQ的距离2d =，再计算PQ =，代入面积公式得到答案. 【详解】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，200(,)4y A y ， 则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x =得：22000(42)440a y a y y ---++= 同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ 的距离200|2|y yd -+=2= 由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y=-++则|||PQ a b =-==1||2APQS PQd ∆∴==212⋅=t =，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440yy --=，解得：02y =±【点睛】本题考查了抛物线，面积问题，将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键，简化了运算.20．若函数()f x 满足：对于任意正数m ，n ，都有()0f m >，()0f n >，且()()()f m f n f m n +<+，则称函数()f x 为“速增函数”.（1）试判断函数()21f x x =与()()22log 1f x x =+是否是“速增函数”；（2）若函数()()21221xxg x a -=-+-为“速增函数”，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“速增函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2k k x k N -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->-⎪⎝⎭. 【答案】（1）()1f x 是，()2f x 不是；（2）11[,]22-；（3）证明见解析【解析】（1）21()f x x =根据定义进行判断即可，()()22log 1f x x =+利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知()312(31)0nn g n a -=-+->，即(31)(32)0n na -->对一切正数n 恒成立，可得12a ≤，由()()()g n g m g n m +<+，可得 ()()()()21221[2122121221]0m n m n m m n n a a a +-+---+---+-+-+->得出12a ≥-，最后求出a 的范围；（3）根据定义，令m n =，可知(2)2()f m f m >，即(2)2()f m f m >，故对于正整数k 与正数m ，都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f f f f m f m f f f m m m m m m ---=⋅>，进而得出结论． 【详解】（1）对于函数21()f x x =，当0m >，0n >时，2211()0,()0f m m f n n =>=>，又222111()()()()20f m f n f m n m n m n mn +-+=+-+=-<，所以111()()()f m f n f m n +<+，故21()f x x =是“速增函数”.对于函数()()22log 1f x x =+，当1m n ==时，2222()()2log 3()f m f n f m n +=>=+，故()()22log 1f x x =+不是“速增函数”.（2）当0n >，0m >时，由()212(21)x xg x a -=-+-是“速增函数”，可知()212(21)0nn g n a -=-+->，即(21)(22)0n n a -->对一切正数n 恒成立，又210n ->，可得22n a <对一切正数n 恒成立，所以12a ≤. 由()()()g n g m g n m +<+，可得22212(2221)0m nm n m m n n a +------++--+>，即(21)(21)2(21)(21)(21)(21)2(21)(21)2nmmn m m n mn a a -------+--=--+--(21)(21)22(21)(21)0m n n m n m a --=--+⋅-->，故(21)(21)(22)0mnm na +--+>，又(21)(21)0n m -->，故022m n a ++>，由022m n a ++>对一切正数m ，n 恒成立，可得210a +≥，即12a ≥-． 综上可知，a 的取值范围是11[,]22-． （3）由函数()f x 为“速增函数”，可知对于任意正数m ，n ， 都有()0f m >，()0f n >，且()()()f m f n f m n +<+， 令m n =，可知(2)2()f m f m >，即(2)2()f m f m >， 故对于正整数k 与正数m ，都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f f f f m f m f f f m m m m m m ---=⋅>， 对任意1(2k x -∈，2)(*)kk N ∈，可得11(2,2)k k x--∈，又(1)1f =， 所以11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>，同理11111112()(2)(2)(2)2(1)2kk k k k f f f f f xx x-----<--<≤=<，故12()()2x f x f x x->-． 【点睛】本题考查新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．21．已知有穷数列1:A a ，2a ，⋯，na ，(2)n …．若数列A 中各项都是集合{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列．对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项i a ，j a ，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2A ，⋯，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ． （1）设:0A ，12，13⋯请写出1A 的所有可能的结果； （2）求证：对于一个n 项的Γ数列A 操作T 总可以进行1n -次； （3）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16⋯求9A 的可能结果，并说明理由． 【答案】（1）11;3A ，12；11:2A ，13；1:0A ，57．；（2）证明见解析；（3）95:6A【解析】（1）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出1A 的所有可能的结果；（2）先通过作差得到每次操作后新数列仍是T 数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论； （3）先定义运算：1a ba b ab+=+，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（2）可知9A 中仅有一项，再按定义先求出5A ，综合即可得到9A 的可能结果． 【详解】（1）直接按定义来操作，当取0，12时代入计算可得：113A :，12；当取0，13时可得11:2A ，13； 当取12，13时，可得1:0A ，57．故有如下的三种可能结果：11;3A ，12；11:2A ，13；1:0A ，57．（2）因为对a ∀，{|11}b x x ∈-<<，有(1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)(1)011a b a b ab ab+++--=>++ 所以{|11}1a bx x ab+∈-<<+，即每次操作后新数列仍是T 数列． 又由于每次操作中都是增加一项，删除两项， 所以对T 数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的T 数列A 可进行(n )1-次操作（最后只剩下一项）. （3）由（2）可知9A 中仅有一项．对于满足a ，{|11}b x x ∈-<<的实数a ，b 定义运算：1a ba b ab+=+， 下面证明这种运算满足交换律和结合律．因为1a b a b ab +=+，且1b ab a ba+=+，所以a b b a =，即该运算满足交换律； 因为1()1111b c a b c a b c abc bc a b c ab c bc ab bc aca bc+++++++===+++++++ 且1()1111a bca b a b c abcab a b c c a b ab ab ac bc c ab+++++++===+++++++ 所以()()a b c a b c =，即该运算满足结合律． 所以9A 中的项与实施的具体操作过程无关， 选择如下操作过程求9:A由（1）可知115237=； 易知55077-=，11044-=，11055-=，11066-=； 所以55:6A ，0，0，0，0；易知5A 经过4次操作后剩下一项为56．综上可知：95:6A ．【点睛】本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，避免错误．。
2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷(有答案解析)
2020 年上海市浦东新区高考数学三模试卷题号 一二三总分得分、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0分）的图象，关于函数 g （ x ），下列说法正确的是定义：在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P （x 1，y 1）， Q （x 2，y 2），则 d （P ，Q ）=|x 1-x 2|+|y 1-y 2| 叫做 P 、Q 两点的“垂直距离”，已知点 ax+by+c=0 上一动点，则 M 、N 两点的7. 抛物线 y=2x 2的准线方程为 _ ．8. 若圆柱的高为 π，体积为 π2，则其侧面展开图的周长为9. 三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，则 x= ________1. 设 x> 0，则“ a=1”是“恒成立”的）条件A. 充分不必要 C. B . 必要不充分 既不充分也不必要2.已知函数 ，把函数 f （ x ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g （x ）3. A.B. C.D.在 [ ， ]上是增函数 其图象关于直线 x=- 对称函数 g （ x ）是奇函数 当 x ∈[0， ]时，函数 g （ x ）的值域是 [-1， 2] 时，若关于 的方6 个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）M（x0，y 0）是直线 ax+by+c=0外一定点，点 N 是直线 垂直距离”的最小值为（ ）5. 6. A. B. 12小题，共 36.0分） C. 、填空题（本大题共 已知集合 A={x|x 2+4x+3≥0，} B={ x|2x <1} ，则 A ∩B=设复数 ，其中 i 为虚数单位，则 Imz = D. |ax 0+by 0+c|4.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当10.现有 10个数，它们能构成一个以 1 为首项， -3 为公比的等比数列，若从这 10个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是_11.在展开式中， x4项的系数为____________ （结果用数值表示）12.设无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，则公比 q的取值范围是____13.已知平面上的线段 1及点 P，任取 1上的一点 Q，线段 PQ长度的最小值称为点 P 到线段 1的距离，记为 d（P，l）．设 A（-3，1），B（0，1），C（-3，-1），D（2，-1）， L1=AB，L2=CD，若 P（ x， y）满足 d（P，L1）=d（P，L2），则 y 关于 x的函数解析式为圆 O 的半径为 1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为 1的正方形（实14.线所示，正方形的顶点 A与点 P重合）沿圆周逆时针滚动，点 A第一次回到点 P的位置，则点 A 走过的路径的长度为．15.已知数列 {a n}满足：a1=a<0，，n∈N*，数列{ a n}有最大值 M 和最小值m，则的取值范围为___16.凸四边形就是没有角度数大于 180 °的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形 ABCD 中， AB=1，，AC⊥CD ，AC=CD ，当∠ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0分）17.在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC 侧面 PAB⊥底面ABCD， PA=AD=AB=2，BC=4．（ 1）若 PB 中点为 E．求证： AE∥平面 PCD ；（ 2）若∠PAB=60°，求直线 BD与平面 PCD 所成角的正弦值．18.上海途安型号出租车价格规定：起步费16元，可行 3千米， 3千米以后按每千米按2.5元计价，可再行 12千米，以后每千米都按 3.8 元计价，假如忽略因交通拥挤而等待的时间．（ 1）请建立车费 y（元）和行车里程 x（千米）之间的函数关系式；（ 2）注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长 8.91千米）须付车费 31 元，走路线二（路线二总长 8.71千米）也须付车费 31元，将上述函数解析式进行修正（符号 [x]表示不大于 x的最大整数，符号 { x}表示不小于 x的最小整数），并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长31.62 千米）19.函数 f（ x） =mx|x-a|-|x|+1（ 1）若 m=1，a=0，试讨论函数 f（ x）的单调性；（ 2）若 a=1 ，试讨论 f（ x）的零点的个数．20.曲线（a>b>0）的左右焦点分别为 F1（-1，0）、 F2（1，0），短轴长为，点在曲线Γ上，点 Q在直线 l：x=-4 上，且 PF1⊥QF1．（ 1）求曲线Γ的标准方程；（ 2）试通过计算判断直线 PQ 与曲线Γ公共点的个数．（3）若点A（x1，y1）、 B（ x2， y2）在都以线段 F1F2为直径的圆上，且，试求 x2 的取值范围．21.已知数列 { a n}满足，n∈N*，且 0<a1<1．（ 1）求证： 0< a n< 1；（ 2）令 b n=lg（1-a n），且，试求无穷数列的所有项和；3）求证：n∈N*，当 n≥2时，1. 答案： A 解析： 解： ∵x> 0，若 a ≥1，则 x+ ≥2 ≥2恒成立，若“ x+ ≥2恒成立，即 x 2-2x+a ≥0恒成立，22设 f （x ）=x 2-2x+a ，则 △=（ -2） 2-4a ≤0，或 ，解得： a ≥1，故“ a=1”是“ x+ ≥2“恒成立的充分不必要条件， 故选： A ．先求命题“对任意的正数 x ，不等式 x+ ≥2成立”的充要条件， 再利用集合法判断两命题间的充分必 要关系本题考查了命题充要条件的判断方法，求命题充要条件的方法，不等式恒成立问题的解法，转化化 归的思想方法．2. 答案： D解析： 解：把函数 f （ x ）=2sin （ 2x+ ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位， + ]=2cos2 x 的图象，显然，函数 g （ x ）是偶函数，故排除 C ．当 x ∈[ ， ]， 2x ∈[ ，π，]函数 g （x ）为减函数，故排除 A ．当 x=- 时， g （ x ）=0，故 g （ x ）的图象不关于直线 x=- 对称，故排除 B ．当 x ∈[0， ]时， 2x ∈[0， ]， cos2x ∈[- ， 1] ，函数 g （ x ）的值域是 [-1，2]， 故选： D ．由条件利用函数 y=Asin （ ωx+φ）的图象变换规律求得 g （x ）的解析式， 再利用余弦函数的图象性质， 得出结论．本题主要考查函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题． 3. 答案： C解析： 【分析】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法结合函数奇偶性的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．根据函数的奇偶性作出函数 f （ x ）的图象，利用换元法判断答案与解析得到函数 g （ x ）=2sin[2（ x+ ）第 5 页，共14 页函数 t=f（ x）的根的个数，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数 f（ x）的图象如图：则 f（ x）在（ -∞， -2）和（ 0， 2）上递增，在（ -2， 0）和（ 2， +∞）上递减，当 x=±2 时，函数取得极f（2）=大值当 x=0 时，取得极小值 0．要使关于 x的方程 [f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有 6个不同实数根，设 t= f （ x），则当 t<0，方程 t=f（x），有 0 个根，当 t=0，方程 t=f（x），有 1 个根，当 0<t≤1或 t= ，方程 t=f（x），有 2 个根，当 1<t< ，方程 t=f（x），有 4 个根，当 t> ，方程 t=f （x），有 0 个根．则 t2+at+b=0 必有两个根 t1、 t2，则有两种情况符合题意：①t1= ，且 t2∈（ 1，），此时 -a=t1+t2，则 a∈（ - ， - ）；②t1∈（0，1] ，t2∈（1，），此时同理可得 a∈（ - ，-1），综上可得 a 的范围是（ - ， - ）∪（ - ， -1），故选： C．4.答案： A 解析：解：∵点M（x0，y0）是直线 ax+by+c=0 外一定点，点 N 是直线ax+by+c=0 上一动点，∴设 N（ - ， - ），M、N两点的“垂直距离”为：| |+|- |∴M、 N两点的“垂直距离”的最小值为故选： A ．此能求出 M 、N 两点的“垂直距离”的最小值． 本题考查考查两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力．5. 答案： {x|-1≤x< 0，或 x ≤-3} 解析： 解： A={ x|x ≤-3，或 x ≥-1} ，B={ x|x< 0} ； ∴A ∩B={x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 故答案为： {x|-1≤x<0，或 x ≤-3} ． 可求出集合 A ， B ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．6. 答案： 1 解析： 解： ∵ ∴Imz=1． 故答案为： 1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.答案：解析： 解：抛物线的方程可变为 x 2= y 故 p= 其准线方程为 故答案为先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可． 本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为 马虎导致错误．8.答案： 6π 解析： 解：设圆柱的底面半径为 r ，且圆柱的高为 h=π， 则体积为V=πr 2h=πr 2?π=π2， r=1，∴侧面展开图的周长为 2× 2r π+2π =6．π 故答案为： 6π．设圆柱的底面半径为 r ，利用圆柱的体积求出 r 的值，再计算侧面展开图的周长． 本题考查了圆柱展开图与体积的应用问题，是基础题．9.答案： 5解析： 解： ∵三阶行列式 中，第 2行第 1列元素 2019的代数余子式的值是 9，∴（-1）3× =-6+3 x=9， 解得 x=5 ． 故答案为： 5．由代数余子式的定义得（ -1）3× =-6+3 x=9 ，由此能求出 x 的值．本题考查实数值的求法，考查代数余子子的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：解析： 解：由题意成等比数列的 10个数为： 1，-3，（ -3） 2，（ -3）3⋯（ -3） 9 其中小于 8的项有： 1，-3，（-3）3，（-3）5，（-3）7，（-3）9共 6个数 这 10个数中随机抽设 N （ - ，- ），则 M 、N 两点的“垂直距离”为： ．由p=1，因看错方程形式 + - |= + ≤取一个数，则它小于8 的概率是 P=故答案为：先由题意写出成等比数列的 10 个数为，然后找出小于 8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11.答案： 180解析：解：式子表示 10 个因式（ 2+ - ）的乘积，故有 8 个因式取，其余的 2 个因式取 2，可得含 x4项，故 x4项的系数 ? ?22=180，故答案为： 180．式子表示 10个因式（2+ - ）的乘积，其中有 8个因式取，其余的 2个因式取 2，可得含 x4项，从而得到 x4项的系数．本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：无穷等比数列 {a n} 的公比为 q，首项 a1>0，，可得 >2a1，并且 |q|< 1，可得，并且 |q|< 1，故答案利用数列极值的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限，数列极限运算法则的应用，考查计算能力．13.答案：解析：解：根据题意画出线段 AB 与线段 CD，∵P（x，y）满足 d（P，L1）=d（P， L2），∴点P满足到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离，当 x≤0时， x 轴上的点到线段 AB 的距离等于到线段 CD 的距离，故 y=0（ x≤0），当 0<x≤2时，点 P 到线段 AB的距离即为到点B 的距离，到点 B的距离等于到直线 CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，根据抛物线的定义可知点 B是抛物线的焦点，准线，则 =1，∴x2=4y，即 y= x2，（ 0< x≤2），当 x>2时，满足到线段 AB的距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，在平面内到两定点距离相等的点即为线段 BD 的垂直平分线，∴点 P的轨迹为 y=x-1（x> 2），∴y关于 x 的函数解析式为：故答案为：该题就是寻找平面内到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离相等的点的轨迹，当 x≤0时，x轴上的点到线段 AB的距离等于到线段 CD 的距离，当 0<x≤2时，点 P到线段 AB的距离即为到点 B的距离，到点 B 的距离等于到直线 CD 的距离相等的点的轨迹为抛物线，当x>2 时，满足到线段 AB 的距离等于到线段 CD的距离即为到点 B与到点 D 的距离相等点，从而求出 y关于 x的函数解析式．本题考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．根据不同的范围研究不同的解析式，从而选定用分段函数来表示．属于中档题．解析： 解：由图可知： ∵圆 O 的半径 r=1，正方形 ABCD 的边长 a=1， ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， ∴当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 设第i 次滚动，点 A 的路程为 A i ， 则 A 1=×|AB|= ，A 4=0，∴点 A 所走过的路径的长度为 3（A 1+A 2+A 3+ A 4） = ． 故答案为： ．由图可知：圆 O 的半径 r =1，正方形 ABCD 的边长 a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为 ，正 方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点 A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了 3圈共12 次，分别算出转 4次的长度，即可得出．本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想 方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题． 15.答案： [-5 ，-2） 解析： 解：由 a 1=a< 0，，n ∈N *，∴a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+⋯⋯ +（a n -a n-1）=a+（3a 2-3a ）+（3a 3-3a 2）+⋯⋯ +（3a n -3a n-1）=3a n -2a ． ∴a 2k =3a 2k -2a>0， a 2k-1=3a 2k-1-2a ． ① -1<a<0时， M=a 2=3a 2-2a ，N=3a-2a=a ． ∴ ==3a-2 ∈（ -5， -2）．② a=-1 时， a 2k =5 ，a 2k-1=-3+2=-1 ． M=5，N=-1．③ a<-1 时，不满足数列 {a n }有最大值 M 和最小值 m 的条件，舍去． ∴ 的取值范围为 [-5 ，-2）． 故答案为： [-5， -2）．*n由 a1=a<0， ，n ∈N *，可得 an =a 1+（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+⋯⋯ +（a n -a n-1）=3a n -2a．分3 圈共 12 次，类讨论 a2k=3a2k-2a> 0， a2k-1=3a2k-1-2a．利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、累加求和方法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：设∠ABC =α，∠ACB=β，则由余弦定理得， -=24 cos α；所以BD2=3+ （ 4-2 cos α）-2 × ××cos（ 90° +）β=7-2 cos α +2 sin α=7+2 sin（α-45 °），所以α=135°时， BD 取得最大值为=1+ ．故答案为： 1+ ．解析：设∠ABC=α，∠ACB=β，利用余弦定理求出 AC，再利用正弦定理求出 sin β，利用余弦定理求得对角线 BD，根据三角恒等变换求出 BD 的最大值．本题考查了余弦定理、正弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．∴AE∥DF ，且 AE? 平面 PCD ， DF ? 平面 PCD；∴AE∥平面 PCD ；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取 AB 中点 O，连接 PO；则 PO ⊥AB；又侧面 PAB⊥底面 ABCD ，平面 PAB∩平面 ABCD =AB；∴PO⊥平面 ABCD ；根据已知条件可求得 PO= ，S△BCD=4， PD =CD= ， PC=2 ，；设点 B到平面 PCD 的距离为 h；连结 DF ，EF ；V P-BCD =V B-PCD；解析： （1）取 PC 中点 F ，并连接 DF ，FE ，根据已知条件容易说明四边形 ADFE 为平行四边形，从而有 AE ∥DF ，根据线面平行的判定定理即得到 AE ∥平面 PCD ； （2）设 B 到平面 PCD 的距离为 h ，从而直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值便可表示为 ，BD 根据已知条件容易求出，而求 h 可通过 V P-BCD =V B- PCD 求出：取 AB 中点 O ，连接 PO ，可以说明 PO ⊥平 面 ABCD ，而根据已知条件能够求出 S △BCD ， S △PCD ，从而求出 h ，从而求得答案． 考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂 直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18. 答案： 解：（ 1）当 3< x ≤ 15时， y=16+2.5（x-3）=2.5x+8.5， 当 x>15 时， y=16+12×2.5+3.8（x-15） =3.8x-11． ．．2)y= 故当 x=31.62 时， y=3.8×32-11=110.6≈110元． 故应付车费 110 元．解析： （1）讨论 x 的范围，得出 y 与 x 的函数关系式； （2）根据条件修正函数解析式，再计算车费． 本题考查了分段函数解析式的求解，分段函数的函数值的计算，属于中档题．19. 答案： 解：（ 1）若 m=1， a=0， 则 f （ x ）=x|x|-|x|+1，① x ≥0时， f （ x ）=x 2-x+1， 对称轴 x= ，开口向上，∴f （x ）在 [0， ）递减，在（ ，+∞）递增； ②x<0 时， f （ x ） =- x 2+ x+1 ， 对称轴 x= ，开口向下， ∴f （x ）在（ -∞， 0）递增；综上： f （ x ）在（ -∞， 0）递增，在 [0， ）递减，在（ ， +∞）递增．（ 2） a=1 时， f （ x ）=mx|x-1|-|x|+1，①x<0 时， f （x ）=mx （1-x ）+x+1=-mx 2+（m+1）x+1，△=（ m+1） 2+4 m=m 2+6m+1 ，令 m 2+6m+1=0 ，则 m=-3 ±2 ， 根据函数 f （ x ）在（ 0，+∞）上的图象知，当-3+2 <m<0时，有 2 个零点； 当 m< -3+2 时，没有零点；∴直线 BD 与平面 PCD 所成角 ∴车费 y 与行车里程 x 的关系为： θ的正当 m=-3+2 或 m> 0 时，有 1 个零点；② 0≤x ≤1时， f （ x ） = mx （ 1-x ） -x+1=-mx 2+（m-1）x+1， 根据 f （ x ）的图象知，在 [0， 1]上，当 m ≤-1时，函数有 1个零点； m>-1 时，函数无零点；③ x>1 时， f （x ）=mx （x-1）-x+1=mx 2-（m+1）x+1， 根据 f （x ）的图象知，在（ 1， +∞）上，0<m<1 时，函数有 1 个零点； m ≥1或 m<=0 时，函数无零点． 综上，当 -3+2 <m ≤1时， f （ x ）有两个零点；当 m ≤-1，或 m> 1，或 m=-3+2 时， f （x ）有 1 个零点； 当-1<m<-3+2 时， f （ x ）无零点．解析： （1）将 m=1，a=0 代入函数表达式，通过讨论 x 的范围，结合二次函数的性质，从而求出函 数的单调性；（2）将 a=1 代入函数的表达式，通过讨论 x 的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的 个数．本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．20.答案： 解：（ 1）∵曲线 （a>b>0）的左右焦点分别为F 1（-1，0）、 F 2（1，0）， 短轴长为 ． ∴， c=1，则 a=2）将 P（ - ）代入： + =1解得 y0=± ，不妨取 y 0= ，则 P （ - ， ）， 设 Q （ -4， t ），因为 F 1（ -1，0），又过 P （ x 0，y 0）的椭圆的切线方程为+ =1，即+ =1 ，将 Q （ -4， 2 -6）代入满足，所以直线 PQ 与椭圆相切，公共点的个数为 1．（ 3）依题意得 x 1 x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+ x 2-x 1x 2， 两边平方得： y 12y 22=x 12+x 22+ x 12x 22+2x 1x 2=2x 12x 2-2x 1x 22， ∴（ 1-x 12）（ 1-x 22） =x 12+x 22+x 12x 22+2x 1x 2-2x 12x 2-2x 1x 22，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴1-x 1 -x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x 2 +x 1 x 2 +2x 1x 2-2x 1 x 2-2x 1x 2 ，∴2x 12+2x 22+2x 1x 2-2x 1x 22-2x 12x 2-1=0， 2（1-x 2） x 12+2x 1（ x 2-x 22）+2x 22-1=0， ∴△=[2x 2（1-x 2）]2-8（1-x 2）（ 2x 22-1）≥0， ∴（ 1-x 2）（ -x 23-3x 22+2）≥0， ∴（ 1-x 2）（ x 2+1）（ -x 22-2x 2+2）≥0， ∵-1≤x 1≤1，-1≤x 2≤1， ∴-x 22-2x 2+2≥0， ∴x 22+2x 2-2≤0，（x 2+1）2≤3， ∴- ≤x 2+1≤ ， ∴- -1 ≤x 2≤ -1， 又 x 2 ≥-1 ， ∴-1≤x 2≤ -1．∴曲线 Γ的标准方∴2- =- ，解得 t=2 ， ∵PF 1⊥QF 1，∴k解析： （1）c=1，b= ? a=2可得；（2）由 PF 1⊥QF 1．得斜率乘积为 -1，根据斜率公式可得 Q 的纵坐标，又过 P （x 0，y 0）的椭圆的切 线方程为 + =1? + =1过 Q 点，所以直线 PQ 为椭圆的切线，只有一个公共点； （ 3）依题意得 x1x 2+y 1y 2=x 1+x 2，可得 y 1y 2=x 1+x 2-x 1x 2，两边平方后消去 y 12y 22后整理成关于 x1的二次 方程，由判别式大于等于 0 解关于 x 2的不等式可得．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，是难题．21. 答案： 解：（ 1）当 n=1 时， 0<a 1<1 成立；假设当 n=k 时， 0< a k <1，当 n=k+1 时， a k+1=1-（ 1-a k ） 2，由 0<a k <1，可得 0<a k+1<1， 即 n=k+1 时，不等式成立．综上可得对 n ∈N* 时， 0<a n <1； （2）b n =lg （1-a n ），且 ，由 1-a n =（1-a n-1） 2，可得 lg （ 1-a n ）=2lg （1-a n-1）， 即 bn =2b n -1，可得 b n =b 1?2n-1=-2 n-1， =- ，即有无穷数列 的所有项和为 S= =-2 ；（ 3）证明： a n-13+a n 3-a n-12a n -1=（ a n-1-a n ） a n-12+（ a n 3-1），由 an -a n-1=a n-1（ 1-a n-1）> 0，可得 a n-1-a n <0， a n 3-1<0，可得 a n-13+a n 3-a n-12a n < 1， 3 3 2 3an+a 1 -a n a 1-1=a 1（a 1-a n ）（ a 1+ a n ） +a n -1< 0， 可得 a n 3+a 13-a n 2a 1< 1， 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2a1 +a2 -a 1 a 2<1，a 2 +a3 -a 2 a 3< 1，⋯， a n-1 +a n -a n-1 a n <1，a n +a 1 -a n a 1<1， 上面各式相加可得n ∈N *，当 n ≥2时，．解析： （ 1）运用数学归纳法证明，注意由 n=k 推得 n=k+1 也成立；（ 2）推得 1-a n =（1-a n-1）2，两边取对数，结合等比数列的定义和通项公式，以及无穷等比数列的求 和公式，计算可得；（ 3）运用数列的单调性和（ 1）的结论推得 a n-13+a n 3-a n-12a n <1，a n 3+a 13-a n 2a 1< 1，再由累加法，可 得证明．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义和通项公式，以及累加法，考查了推理能力与计算能力， 属于难题．由 则。
上海名校试卷--上海市建平中学2020届高三下学期数学练习题
建平中学2020届高三数学练习一、填空题(本大题共有12题，本大题满分54分)只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分,第7-12题每题填对得5分，否则一律得零分.1.已知22{|1},{|log (1)1},A x B x x x=>=-<则A∩B=___ 2.函数f(x)= 3 tan(-2x)的最小正周期为___3.计算:13(2)lim 32n nn nn +→∞--=+____ 4.直线l 的方程为10223012xy =-,则直线l 的一个法向量是___ 5.若实数a,b,m 满足25,a b m ==且212,a b +=则m 的值为___ 6.设常数a ∈R,命题“存在x ∈R,使240x ax a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为____7.某微信群中四人同时抢3个红包(金额不同)，假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个,则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为_____8.如果函数y= 3cos(2x+ φ)的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么|φ|的最小值为____ 9.如图,在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点,∠ABC=90°, BA= BC,球心O 到平面ABC 的距离是32,2则B 、C 两点的球面距离是___10.若点P(x, y)在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则y x 的取值范围是___ 11. 已知4024012341(32),x a a x a x a x +=++++L 若数列12,,,(141,)k a a a k k N ≤≤∈L 是一个单调递增数列,则k 的最大值为____12. 函数11y x=-的图像与函数y=2sinπx (x ∈[-k-2,k+4],k ∈Z) 的图像所有交点的横坐标之和等于2012,则满足条件的整数k 的值是____二、选择题(本大题共有4题，本大愿满分20分)每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的,选对得5分，否则一律得零分。
2020年上海市浦东新区建平中学高考数学模拟试卷(3月份)
2020年上海市浦东新区建平中学高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1. 双曲线2x 2−y 2=6的焦距为________．2. 复数z =3+4i1−2i ，则|z|＝________．3. 已知（ax +1x)6二项展开式的第五项系数为152，则正实数a 的值为________．4. 已知各项均为正数的数列{a n }，前n 项和S n =12(a n +1a n)，则通项a n ＝________．5. 已知函数f(x)=3x+1x+a(a ≠13)图象与它的反函数图象重合，则实数a =________．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 32 cm 3．7. 已知四面体ABCD 中，AB =CD =2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3，则EF =________．8. 若直线ax +2by −2＝0(a, b >0)始终平分曲线{x =cos α+2y =sin α+1 (α∈[0, 2π)）的周长，则1a +2b 的最小值为________．9. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知点A(3,√3)，点P(x, y)的坐标满足{√3x −y ≤0x −√3y +2≥0y ≥0 ，设z 为OA →在OP →上的投影，则z 的取值范围是________．10. 已知0<a <1，设函数f(x)=2020x+1+20192020x +1−x 3，x ∈[−a,a]的最大值为M ，最小值为m ，则M +m 的值为________.11. 已知a ，b ∈R 且0≤a +b ≤1，函数f(x)＝x 2+ax +b 在[−12, 0]上至少存在一个零点，则a −2b 的取值范围为________．12. 在数字1，2，3，…，n(n ≥2)的任意一个排列A:a 1，a 2，a 3，…，a n 中，如果对于i ，j ∈N ∗，i <j ，有a i >a j ，那么就称(a i , a j )为一个逆序对．记排列A 中逆序对的个数为S(A)．对于数字1，2，3，…，n(n ≥2)的一切排列A ，则所有S(A)的算术平均数为________n(n−1)4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．已知锐角△ABC 的面积为3√3，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为（ ） A.75∘ B.60∘ C.45∘ D.30∘2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A.72 B.60 C.36 D.24已知数列{a n }的通项公式为a n =1n(n+1)(n ∈N ∗)，其前n 项和S n =910，则双曲线x 2n+1−y 2n=1的渐近线方程为( ) A.y =±2√23x B.y =±3√24x C.y =±3√1010x D.y =±√103x已知单位向量a →，b →，且a →⋅b →=0，若t ∈[0, 1]，则|t(b →−a →)+a →|+|512b →+(1−t)(a →−b →)|的最小值为（ ）A.√19312B.1312C.√2D.1三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．在四棱锥P −ABCD 中，底面为梯形，AB // CD ，∠BAP ＝∠CDP ＝90∘，PA ＝PD ＝AB ＝2，PA ⊥PD ，四棱锥P −ABCD 的体积为4．（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角．设数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若S n ＝pa n +1(p ≠0, 1)，n ∈N ∗，且S n 递增，求p 的取值范围；（2）若S 2019＝0，|a 1−2a 2|＝|a 2−2a 3|＝…＝|a 2018−2a 2019|＝|a 2019−2a 1|，求证：a 1＝a 2＝…＝a 2019＝0．如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长1260米，经测量，cos A=1213，cos C =35．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1上的点到右焦点F 的最近距离是√3−√2，且短轴两端点和长轴的一个端点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 为直线l:x +y −4＝0在第一象限上一点，且F 到直线OM 的距离为1，求以线段OM 为直径的圆方程；（3）设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)，P 3(x 3, y 3)是椭圆C 三个不同点，记：a 1＝|x 1+y 1−4|，a 2＝|x 2+y 2−4|，a 3＝|x 3+y 3−4|，若a 1，a 2，a 3成等差数列，求其公差d 的取值范围．设对集合D 上的任意两相异实数x 1，x 2，若|f(x 1)−f(x 2)|≥|g(x 1)−g(x 2)|恒成立，则称f(x)在D 上优于g(x)；若|f(x 1)−f(x 2)|>|g(x 1)−g(x 2)|恒成立，则称f(x)在D 上严格优于g(x)． （1）设f(x)在R 上优于g(x)，且y ＝f(x)是偶函数，判断并证明y ＝g(x)的奇偶性；（2）若f(x)在R 上严格优于g(x)，ℎ(x)＝f(x)+g(x)，若y ＝f(x)是R 上的增函数，求证：ℎ(x)＝f(x)+g(x)在R 上也是增函数；（3）设函数f(x)＝log a 8x ，g(x)＝log a (a +x)−log a (a −x)，若0<a <1，是否存在实数t ∈(0, a)使得f(x)在D ＝(0, t]上优于g(x)，若存在，求实数t 的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020年上海市浦东新区建平中学高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.【答案】 6【考点】双曲线的标准方程 【解析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，可得焦距2c 的值． 【解答】解：双曲线2x 2−y 2=6即为x 23−y 26=1，可得a =√3，b =√6，c =√a 2+b 2=3， 即有焦距为2c =6． 故答案为：6． 2. 【答案】√5【考点】 复数的模 【解析】直接由商的模等于模的商求解． 【解答】 ∵ z =3+4i 1−2i，∴ |z|＝|3+4i1−2i |=|3+4i||1−2i|=√32+4222=√5=√5．3. 【答案】√22【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】T 5=a 2∁64x −2，由已知可得：a 2∁64=152，a >0．解出即可得出． 【解答】解：T 5=C 64(ax)2(1x )4=a 2C 64x −2， ∴ a 2C 64=152，a >0．解得a =√22． 故答案为：√22. 4. 【答案】√n −√n −1 【考点】 数列递推式 【解析】直接利用数列的递推关系式的变换求出数列的通项公式． 【解答】各项均为正数的数列{a n }，前n 项和S n =12(a n +1a n)，当n ＝1时，a 1＝1整理得：2S n a n =a n 2+1，当n ≥2时，2S n (S n −S n−1)=(S n −S n−1)2+1，整理得S n 2−S n−12=1（常数）， 所以数列{S n 2}是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以S n 2=1+(n −1)=n ， 整理得S n =√n ，所以a n =S n −S n−1=√n −√n −1（首项符合通项）． 所以a n =√n −√n −1． 5. 【答案】 −3【考点】 反函数 【解析】 由y =3x+1x+a(a ≠13)，可得反函数：y =−ax+1x−3，利用函数f(x)=3x+1x+a(a ≠13)图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【解答】 解：由y =3x+1x+a(a ≠13)，解得x =ay−13−y(y ≠3)，把x 与y 互换可得：y =ax−13−x =−ax+1x−3，∵ 函数f(x)=3x+1x+a(a ≠13)图象与它的反函数图象重合，∴ −a =3，解得a =−3．故答案为：−3. 6. 【答案】 32．【考点】由三视图求体积 【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】几何体看作是正方体的棱长为2的几何体，拼接而成．直观图如图：是4个正方体，所以几何体的体积为：4×2×2×2＝32(cm 3)． 7. 【答案】1或√3 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，∠EOF =π3，或∠EOF =2π3，由此能求出EF ．【解答】解：取BD 中点O ，连结EO ，FO ，∵ 四面体ABCD 中，AB =CD =2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点， 且异面直线AB 与CD所成的角为π3，∴ EO // CD ，且EO =12CD =1，FO // AB ，且FO =12AB =1， ∴ ∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角， ∴ ∠EOF =π3，或∠EOF =2π3， 当∠EOF =π3时，△EOF 是等边三角形，∴ EF =1．当∠EOF =2π3时，EF =√12+12−12×1×1×cos2π3=√3．综上，EF =1或√3. 故答案为：1或√3. 8. 【答案】3+2√2 【考点】直线与圆的位置关系 基本不等式及其应用 【解析】由题意可得，直线ax +2by −2＝0(a, b >0)经过圆的圆心，可得2a +2b −2＝0，即a +b ＝1．再根据 1a +2b=(1a +2b )(a +b)，展开利用基本不等式求得它的最小值． 【解答】由题意可得，曲线{x =cos α+2y =sin α+1 (α∈[0, 2π)）对应的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −1)2＝1；直线ax +2by −2＝0(a, b >0)经过圆的圆心(2, 1)， 故有 2a +2b −2＝0，即a +b ＝1．则 1a+2b=(1a+2b)(a +b)＝3+2a b+b a≥3+2√2a b⋅ba=3+2√2，当且仅当2a b =ba 时等号成立． 9.【答案】 [−3, 3] 【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，设z 为OA →在OP →上的投影，再利用z 的几何意义求范围，只需求出向量 OA →和 OP →的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z 值即可． 【解答】 z =OA →⋅OP →|OP →|=|OA →|⋅cos ∠AOP =2√3cos ∠AOP ，∵ ∠AOP ∈[π6,5π6]，∴ 当 ∠AOP =π6时，z max =2√3cos π6=3， 当 ∠AOP =5π6时，z min =2√3cos 5π6=−3，∴ z 的取值范围是[−3, 3]．∴10.【答案】 4039 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】分离常数处理，构造新函数g(x)=−12020x +1−x 3，利用g(−x)+g(x)＝−1，最值为定值即可求解；【解答】 解：函数f(x)=2020x+1+20192020x +1−x 3=2020x ⋅2020+2020−1x −x 3 =2020(2020x +1)−12020x +1−x 3 =2020−12020x +1−x 3.令g(x)=−12020x +1−x 3，y =2020x +1.由于y =2020x +1在定义域上单调递增， ∴ g(x)=−12020x +1−x 3在定义域上单调递增.∵ g(−x)=−12020−x +1−(−x)3 =−2020x1+2020+x 3，可得g(−x)+g(x)=−1． ∵ x ∈[−a, a]，∴ M =f(x)max =g(a)+2020， m =f(x)min =g(−a)+2020，则M +m =2020+2020−1=4039. 故答案为：4039. 11.【答案】 [0, 1] 【考点】二次函数的性质 二次函数的图象【解析】列出满足的约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案． 【解答】解：由题意，要使函数f(x)＝x 2+ax +b 在区间[−12, 0]有零点，只要f(−12)×f(0)≤0，或{ f(0)=b ≥0f(−12)=14−12a +b ≥0−12<−a2<0Δ=a 2−4b >0， 其对应的平面区域如下图所示：则当a ＝−1，b ＝−1时，a −2b 取最大值1， 当a ＝0，b ＝0时，a −2b 取最小值0， 所以a −2b 的取值范围为[0, 1]. 故答案为：[0, 1]. 12. 【答案】n(n −1)4【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】考察排列D:d 1，d 2，…，d n−1，d n ，运用组合数可得排列D 中数对(d i , d j )共有 C n 2=n(n−1)2个，即可得到所有S(A)的算术平均值． 【解答】考察排列D:d 1，d 2，…，d n−1，d n 与排列D 1:d n ，d n−1，…，d 2，d 1， 因为数对(d i , d j )与(d j , d i )中必有一个为逆序对（其中1≤i <j ≤n ），且排列D中数对(d i, d j)共有C n2=n(n−1)2个，所以S(D)+S(D1)=n(n−1)2．所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为n(n−1)4．而对于数字1，2，…，n的任意一个排列A:a1，a2，…，a n，都可以构造排列A1:a n，a n−1，…，a2，a1，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为n(n−1)4．所以所有S(A)的算术平均值为n(n−1)4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．【答案】B【考点】正弦定理【解析】先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为3√3和两边求得sin C的值，进而求得C．【解答】S=12BC⋅AC⋅sin C=12×4×3×sin C＝3√3∴sin C=√32∵三角形为锐角三角形∴C＝60∘【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分3步进行分析：①、把3位女生分为2组，②，将2位男生全排列，③，2位男生全排列后形成的3个空位，在其中任选2个，安排2个女生组，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分3步进行分析：①、把3位女生分为2组，有C32＝3种情况，②，将2位男生全排列，有A22＝2种情况，③，2位男生全排列后形成的3个空位，在其中任选2个，安排2个女生组，需要考虑2个女生组两人之间的顺序，有A32A22＝12种情况，故有3×2×12＝72种不同排法，【答案】C【考点】双曲线的渐近线数列的求和【解析】根据数列{a n}的通项利用裂项求和算出S n，代入题中解出n＝9，可得双曲线的方程为x210−y29=1，再用双曲线的渐近线方程的公式即可算出该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1)(n∈N∗)，∴a n=1n−1n+1，可得：S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=910，即1−1n+1=910，解之得n=9．∴双曲线的方程为x210−y29=1，得a=√10，b=3，因此该双曲线的渐近方程为y=±bax，即y=±3√1010x．故选C.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义平面向量数量积的运算向量的几何表示【解析】由题意设a→=(1,0)，b→=(0,1)，求出|t(b→−a→)+a→|+|512b→+(1−t)(a→−b→)|，再由其几何意义求解．【解答】解：如图，设a→=OA→=(1,0)，b→=OB→=(0,1)，∴b→−a→=(−1,1)，a→−b→=(1,−1)，∴ t(b →−a →)+a →=t(−1, 1)+(1, 0)=(1−t, t)，512b →+(1−t)(a →−b →)=512×(0,1)+(1−t)×(1,−1)=(0, 512)+(1−t, t −1)=(1−t, t −712)，∴ |t(b →−a →)+a →|+|512b →+(1−t)(a →−b →)| =√(1−t)2+t 2+√(1−t)2+(t −712)2． 其几何意义为动点P(t, t)到两定点C(1, 0)与D(1, 712)距离的和， 点D 关于直线y =x 的对称点为G(712,1)，其最小值为|GC|=√(712−1)2+(1−0)2=1312．故选B .三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．【答案】证明：∵ ∠BAP ＝∠CDP ＝90∘，∴ AB ⊥AP ，CD ⊥DP ．又AB // CD ，∴ AB ⊥DP ．∵ AP ∩DP ＝P ，AP ，DP ⊂面PAD ， ∴ AB ⊥平面PAD ．作AD 的中点E ，连结PE ，CE ，∵ PA ＝PD ，PA ⊥PD ，∴ PE ⊥AD ，AD =2√2，PE =12AD =√2．由（1）AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，又AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，即PE 为四棱锥P −ABCD 的高，∠PCE 为PC 与平面ABCD 所成角． 四棱锥P −ABCD 的体积为4=13S ABCD ⋅PE =13⋅AB+CD 2⋅AD ⋅PE =13⋅2+CD 2⋅2√2⋅√2，得CD ＝4．在Rt △PDC 中，PC =√PD 2+DC 2=√22+42=2√5． 在Rt △PEC 中，sin ∠PCE =PEPC =√22√5=√1010，∠PCE =arcsin√1010． 所以PC 与平面ABCD 所成角为arcsin√1010．【考点】直线与平面所成的角直线与平面垂直【解析】（1）证明CD ⊥DP ．AB ⊥DP ，然后证明AB ⊥平面PAD ．（2）作AD 的中点E ，连结PE ，CE ，说明PE 为四棱锥P −ABCD 的高，∠PCE 为PC 与平面ABCD 所成角．通过四棱锥P −ABCD 的体积，求解得CD ＝4．在Rt △PEC 中，求解PC 与平面ABCD 所成角． 【解答】证明：∵ ∠BAP ＝∠CDP ＝90∘，∴ AB ⊥AP ，CD ⊥DP ．又AB // CD ，∴ AB ⊥DP ．∵ AP ∩DP ＝P ，AP ，DP ⊂面PAD ， ∴ AB ⊥平面PAD ．作AD 的中点E ，连结PE ，CE ，∵ PA ＝PD ，PA ⊥PD ，∴ PE ⊥AD ，AD =2√2，PE =12AD =√2．由（1）AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ， 又AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，即PE 为四棱锥P −ABCD 的高，∠PCE 为PC 与平面ABCD 所成角． 四棱锥P −ABCD 的体积为4=13S ABCD ⋅PE =13⋅AB+CD 2⋅AD ⋅PE =13⋅2+CD 2⋅2√2⋅√2，得CD ＝4．在Rt △PDC 中，PC =√PD 2+DC 2=√22+42=2√5． 在Rt △PEC 中，sin ∠PCE =PE PC=√22√5=√1010，∠PCE =arcsin√1010． 所以PC 与平面ABCD 所成角为arcsin√1010．【答案】由S n ＝pa n +1⇒S n+1−S n ＝a n+1＝pa n+1−pa n ⇒a n+1a n=pp−1(p ≠0, 1)，S 1＝a 1＝pa 1+1⇒a 1=11−p(p ≠0, 1)，∴ 数列{a n }是等比数列，a n =11−p ⋅(pp−1)n−1．∵ S n 递增，∴ S n+1−S n =a n+1=11−p ⋅(pp−1)n >0对任意自然数n 都成立，则{11−p >0pp−1>0，解得p <0．∴ p 的取值范围是(−∞, 0)；证明：设b 1＝a 1−2a 2，b 2＝a 2−2a 3，…，b 2018＝a 2018−2a 2019，b 2019＝a 2019−2a 1， |a 1−2a 2|＝|a 2−2a 3|＝…＝|a 2018−2a 2019|＝|a 2019−2a 1|＝t ， 由S 2019＝0，得b 1+b 2+b 3+...+b 2019＝0．设b 1，b 2，b 3，…，b 2019中有非负数m 个，则非正数为2019−m 个， 则mt −(2019−m)t ＝0，则(2m −2019)t ＝0，∵ 2m −2019≠0，∴ t ＝0，即a 1＝a 2＝…＝a 2019＝0．【考点】 数列递推式 【解析】（1）由数列递推式可得数列{a n }是等比数列，求其通项，再由S n 递增，得S n+1−S n ＝a n+1>0，转化为关于p 的不等式组求解；（2）设b 1＝a 1−2a 2，b 2＝a 2−2a 3，…，b 2018＝a 2018−2a 2019，b 2019＝a 2019−2a 1，|a 1−2a 2|＝|a 2−2a 3|＝…＝|a 2018−2a 2019|＝|a 2019−2a 1|＝t ，由题意得b 1+b 2+b 3+...+b 2019＝0，再设b 1，b 2，b 3，…，b 2019中有非负数m 个，则非正数为2019−m 个，得到(2m −2019)t ＝0，进一步得到t ＝0，则结论可证． 【解答】由S n ＝pa n +1⇒S n+1−S n ＝a n+1＝pa n+1−pa n ⇒a n+1a n=p p−1(p ≠0, 1)，S 1＝a 1＝pa 1+1⇒a 1=11−p(p ≠0, 1)，∴ 数列{a n }是等比数列，a n =11−p⋅(pp−1)n−1．∵ S n 递增，∴ S n+1−S n =a n+1=11−p ⋅(pp−1)n >0对任意自然数n 都成立，则{11−p >0pp−1>0，解得p <0．∴ p 的取值范围是(−∞, 0)；证明：设b 1＝a 1−2a 2，b 2＝a 2−2a 3，…，b 2018＝a 2018−2a 2019，b 2019＝a 2019−2a 1， |a 1−2a 2|＝|a 2−2a 3|＝…＝|a 2018−2a 2019|＝|a 2019−2a 1|＝t ， 由S 2019＝0，得b 1+b 2+b 3+...+b 2019＝0．设b 1，b 2，b 3，…，b 2019中有非负数m 个，则非正数为2019−m 个， 则mt −(2019−m)t ＝0，则(2m −2019)t ＝0，∵ 2m −2019≠0，∴ t ＝0，即a 1＝a 2＝…＝a 2019＝0． 【答案】在△ABC 中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45， 从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365，由正弦定理ABsin C =ACsin B ，得AB =AC⋅sin C sin B=1260×456365=1040m ．所以索道AB 的长为1040m ．假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ， 所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −3537)2+62537]，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短． 【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】（1）根据正弦定理即可确定出AB 的长；（2）设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，由余弦定理即可得解． 【解答】在△ABC 中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45，从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365，由正弦定理AB sin C =AC sin B ，得AB =AC⋅sin C sin B=1260×456365=1040m ．所以索道AB 的长为1040m ．假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ， 所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −3537)2+62537]，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短．【答案】设右焦点 F(c, 0)，由题意a −c =√3−√2,a =√3b,a 2=b 2+c 2⇒a =√3,b =1,c =√2 所以椭圆 C 的方程为 x 23+y 2=1．由 F(√2,0) 到直线 OM 的距离为 1，知∠FOM ＝45∘， 即 OM ⊥l ，设直线OM 斜率为k ，则 k ⋅(−1)＝−1，解得k ＝1， 故直线OM 的方程为y ＝x ， 联立直线OM 与直线l 得： {x +y −4=0y =x ，解得x ＝2，y ＝2，所以M 点的坐标为(2, 2)，所以线段 OM 为直径的圆的圆心为(1, 1)， 半径r =OM 2=√22+222=√2，故圆的方程为(x −1)2+(y −1)2＝2． 设点 P(x, y) 为椭圆 C:x 23+y 2=1 上任意一点，其中 x =√3cos θ,y =sin θ，则|x +y −4|=|√3cos θ+sin θ−4|=|2sin (θ+π3)−4|∈[2,6]， 所以|a 1−a 3|＝2|d|≤6−2＝4⇒d ∈[−2, 2]， 又由已知 d ≠0，所以 d ∈[−2, 0)∪(0, 2]． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 椭圆的离心率【解析】（1）根据题意可以列出关于a ，b ，c 的三个方程，解出a ，b 即可求得椭圆 C 的方程；（2）由几何关系得∠FOM ＝45∘，于是OM ⊥l ，进而求出直线OM 的方程，再求出点M 的坐标，再求出以线段OM 为直径的圆的圆心和半径，即可求解； （3）先设点 P(x, y) 为椭圆 C:x 23+y 2=1 上任意一点，求出|x +y −4|的范围，再结合等差数列性质即可求得公差d 的取值范围． 【解答】设右焦点 F(c, 0)，由题意a −c =√3−√2,a =√3b,a 2=b 2+c 2⇒a =√3,b =1,c =√2 所以椭圆 C 的方程为x 23+y 2=1．由 F(√2,0) 到直线 OM 的距离为 1，知∠FOM ＝45∘， 即 OM ⊥l ，设直线OM 斜率为k ，则 k ⋅(−1)＝−1，解得k ＝1， 故直线OM 的方程为y ＝x ， 联立直线OM 与直线l 得： {x +y −4=0y =x，解得x ＝2，y ＝2，所以M 点的坐标为(2, 2)，所以线段 OM 为直径的圆的圆心为(1, 1)， 半径r =OM 2=√22+222=√2，故圆的方程为(x −1)2+(y −1)2＝2． 设点 P(x, y) 为椭圆 C:x 23+y 2=1 上任意一点，其中 x =√3cos θ,y =sin θ，则|x +y −4|=|√3cos θ+sin θ−4|=|2sin (θ+π3)−4|∈[2,6]， 所以|a 1−a 3|＝2|d|≤6−2＝4⇒d ∈[−2, 2]， 又由已知 d ≠0，所以 d ∈[−2, 0)∪(0, 2]．【答案】因为 f(x)在R 上优于g(x)，所以在R 上任意两相异实数x 1，x 2，|f(x 1)−f(x 2)|≥|g(x 1)−g(x 2)|恒成立， 令 x 1＝x ，x 2＝−x ，得：|f(x)−f(−x)|≥|g(x)−g(−x)|，因为 f(x) 是偶函数，所以 f(x)＝f(−x)，于是|g(x)−g(−x)|≤0，即g(x)−g(−x)＝0， 故函数y ＝g(x)为偶函数．设 x 1<x 2，因为 y ＝f(x) 是 R 上的增函数，所以 f(x 1)<f(x 2)， |f(x 1)−f(x 2)|＝f(x 2)−f(x 1)， 因为f(x)在R 上严格优于g(x)，所以 |f(x 1)−f(x 2)|>|g(x 1)−g(x 2)|，所以−f(x 2)+f(x 1)<g(x 1)−g(x 2)<f(x 2)−f(x 1)， 于是f(x 2)+g(x 2)>f(x 1)+g(x 1)， 即 ℎ(x 2)>ℎ(x 1)，故函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)在R 上也是增函数． f(x)＝log a 8x ，则函数f(x)的定义域为(0, +∞)， g(x)＝log a (a +x)−log a (a −x)=log a (a 2−x 2)，因为0<a <1，则函数g(x)的定义域为(−a, a)， 函数f(x)在D ＝(0, t]上优于g(x)，t ∈(0, a)，等价于对集合D ＝(0, t]上的任意两相异实数x 1，x 2，|f(x 1)−f(x 2)|≥|g(x 1)−g(x 2)|恒成立， 即|log a x1x 2|≥|log a a 2−x 12a 2−x 2|(∗)恒成立，不妨设x 1<x 2≤t ，所以不等式(∗)等价于：log a x 1x 2≥−log a a 2−x 12a 2−x 22恒成立，等价于：log a x 1(a 2−x 12)x 2(a 2−x 22)≥0=log a 1恒成立，根据对数函数单调性可得x 1(a 2−x 12)x 2(a 2−x 22)≤1恒成立，化简得a 2≥x 12+x 1x 2+x 22恒成立，又因为x 12+x 1x 2+x 22≤3t 2，于是a 2≥3t 2，即−√3a3≤t ≤√3a3， 又因为t ∈(0, a)，所以t 的取值范围为(0, √3a3]， 即实数t 的最大值为√3a3． 【考点】函数恒成立问题【解析】（1）令x1＝x，x2＝−x代入已知不等式中，再结合y＝f(x)是偶函数，即可证明y＝g(x)是偶函数；（2）根据新定义先列出不等式，再把y＝f(x)是R上的增函数转化为若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，代入不等式即可证明ℎ(x)＝f(x)+g(x)在R上也是增函数；（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到a2≥x12+x1x2+x22恒成立，再结合又因为x12+x1x2+x22≤3t2即可得到a2≥3t2，从而求得t的最大值．【解答】因为f(x)在R上优于g(x)，所以在R上任意两相异实数x1，x2，|f(x1)−f(x2)|≥|g(x1)−g(x2)|恒成立，令x1＝x，x2＝−x，得：|f(x)−f(−x)|≥|g(x)−g(−x)|，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(−x)，于是|g(x)−g(−x)|≤0，即g(x)−g(−x)＝0，故函数y＝g(x)为偶函数．设x1<x2，因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(x1)<f(x2)，|f(x1)−f(x2)|＝f(x2)−f(x1)，因为f(x)在R上严格优于g(x)，所以|f(x1)−f(x2)|>|g(x1)−g(x2)|，所以−f(x2)+f(x1)<g(x1)−g(x2)<f(x2)−f(x1)，于是f(x2)+g(x2)>f(x1)+g(x1)，即ℎ(x2)>ℎ(x1)，故函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)在R上也是增函数．f(x)＝loga8x，则函数f(x)的定义域为(0, +∞)，g(x)＝loga (a+x)−loga(a−x)=log a(a2−x2)，因为0<a<1，则函数g(x)的定义域为(−a, a)，函数f(x)在D＝(0, t]上优于g(x)，t∈(0, a)，等价于对集合D＝(0, t]上的任意两相异实数x1，x2，|f(x1)−f(x2)|≥|g(x1)−g(x2)|恒成立，即|log a x1x2|≥|log a a2−x12a2−x2|(∗)恒成立，不妨设x1<x2≤t，所以不等式(∗)等价于：log a x1x2≥−log a a2−x12a2−x22恒成立，等价于：log a x1(a 2−x12)x2(a2−x22)≥0=log a1恒成立，根据对数函数单调性可得x1(a 2−x12)x2(a2−x22)≤1恒成立，化简得a2≥x12+x1x2+x22恒成立，又因为x12+x1x2+x22≤3t2，于是a2≥3t2，即−√3a3≤t≤√3a3，又因为t∈(0, a)，所以t的取值范围为(0, √3a3]，即实数t的最大值为√3a3．。
上海市浦东新区2020届高三数学练习试卷(2020浦东新区三模) 理
2020年上海市浦东新区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1lg )(-=x x f 的定义域为 . ),1(+∞2．若行列式124012x -=，则x = . 23．若椭圆的一个焦点与圆2220x y x +-=的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为 . 22154x y += 4．若集合{}1A x x x =<∈R ，，{}2B y y x x ==∈R ，，则I A =B C R .()1,0-5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y . 6 6．已知b n n an n =++∞→)1(lim （其中b a ,为常数），则=+22b a . 1 7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 648． ()51x +展开式中不含．．3x 项的系数的和为 . 229．在ABC ∆中，若1AB =，5BC =,且552sin=A ，则sin C = . 25410成绩（分） 50 61 73 85 90 94 人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到11．甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中至少有1人射中的概率为 . 0.9812．在极坐标系中，定点π1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在曲线θρcos 2=上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为 22-13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”。
则原点)0,0(O 与直线052=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是52. 14．如图放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积 为 . π+1AA 1 DC BD 1 C 1B 1EFPQ• • ••二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 二. 选择题15．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ） （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.16．若ABC ∆的面积333ABC S ∆∈⎣⎦，且3AB BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB u u u r 与BC uuur 夹角的取值范围是 （ ）（A ）[,]32ππ. （B ）[,]43ππ. （C ）[,]64ππ. （D ）[,]63ππ. 17．如图，正方体1111的棱长为6，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q 、分别在棱AB CD 、上，若2EF =,DQ x =，，则四面体的体积 （ ）（A ）与y x ,都无关. （B ）与x 有关，与y 无关.（D ）与x 无关，与y 有关.18．已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中a r 、b r 、c r都是非零r r （ ）（A ）至多有一个解 （B ）至少有一个解 （D ）可能有无数个解 三、解答题 19．（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分． 已知虚数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=，（1）若55221=-z z ，求)cos(βα-的值； （2）若21,z z 是方程0232=+-c x x 的两个根，求实数c 的值。
2020年上海市浦东新区建平中学高考(4月份)数学模拟试卷 含解析
2020年高考数学（4月份）模拟试卷一、填空题.1．已知A＝{x|＞1}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B＝．2．函数f（x）＝3tan（﹣2x）的最小正周期为．3．计算：＝．4．直线l的方程为＝0，则直线l的一个法向量是．5．若实数a、b、m满足2a＝5b＝m，且，则m的值为．6．设常数a∈R，命题“存在x∈R，使x2+ax﹣4a≤0”为假命题，则a的取值范围为．7．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为．8．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为．9．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是．10．若点P（x，y）在曲线（θ为参数，θ∈R）上，则的取值范围是．11．已知，若数列a1、a2、…、a k（1≤k≤41，k∈N）是一个单调递增数列，则k的最大值为12．函数的图象与函数y＝2sinπx（x∈[﹣k﹣2，k+4]，k∈Z）的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k的值是．二、选择题（共有4题）13．已知α：区间[a，b]内恰含两个整数．则以下结论正确的是（）A．“b﹣a≥1”是α成立的充分条件B．“b﹣a≥1”是α成立的必要条件C．“b﹣a≤2”是α成立的充分条件D．“b﹣a≤2”是α成立的必要条件14．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；②如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β；③如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13B．18C．21D．2616．已知点B（4，0），点P在曲线y2＝8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）2+y2＝1上运动，则的最小值为（）A．B．4C．D．6三、解答题（满分76分）17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．18．四边形ABCD如图所示，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值．19．已知椭圆）经过定点，其左右集点分别为F1，F2且，过右焦F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程：（2）若O为坐标原点，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（16分）对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）为理想函数．（1）判断g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]＝x0，求证：f（x0）＝x0．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a＝4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n 项和为∁n，若∁n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称∁n为“指数型和”．问{∁n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每题填对得5分，否则一律得零分.1．已知A＝{x|＞1}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．解：集合A中不等式，当x＞0时，解得：x＜2，此时0＜x＜2；当x＜0时，解得：x＞2，无解，∴A＝{x|0＜x＜2}，集合B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜1＝log22，即0＜x﹣1＜2，解得：1＜x＜3，即B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．2．函数f（x）＝3tan（﹣2x）的最小正周期为．【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求出函数f（x）＝3tan（﹣2x）的最小正周期．解：根据正切函数的图象与性质得：函数f（x）＝3tan（﹣2x）＝﹣3tan2x的最小正周期为：T＝．故答案为：．3．计算：＝．【分析】将原数列极限变成，而，从而可求出原数列极限的值．解：＝．故答案为：．4．直线l的方程为＝0，则直线l的一个法向量是（k，2k）其中k≠0．【分析】化简方程左边的行列式得直线方程，可得方向向量，再求出法向量即可．解：因为＝0，得到方程2x+4y﹣7＝0其一个方向向量为（2，﹣1）．故它的法向量为：（k，2k）其中k≠0．故答案为：（k，2k）其中k≠0．5．若实数a、b、m满足2a＝5b＝m，且，则m的值为2．．【分析】由实数a、b、m满足2a＝5b＝m，知a＝log2m，b＝log5m，再由，利用对数的性质能够求出m的值．解：∵实数a、b、m满足2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∵，∴＝2log m2+log m5＝log m20＝2，∴m2＝20，即m＝2．故答案为：2．6．设常数a∈R，命题“存在x∈R，使x2+ax﹣4a≤0”为假命题，则a的取值范围为（﹣16，0）．【分析】将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a≤0”为假命题，即x2+ax﹣4a＞0恒成立，必须△＜0，即：a2+16a＜0，解得﹣16＜a＜0，故实数a的取值范围为（﹣16，0），故答案为：（﹣16，0）．7．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为．【分析】先求出基本事件总数n＝，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数m ＝C C＝2，由此能求出其中甲、乙都抢到红包的概率．解：某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则基本事件总数n＝，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数m＝C C＝2，∴其中甲、乙都抢到红包的概率p＝＝．故答案为：．8．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为．【分析】利用函数的对称中心，求出φ的表达式，然后确定|φ|的最小值．解：∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，∴，得，k∈Z，由此得．故答案为：9．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是π．【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．【解答】解答：解：∵AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点．O’C＝，AC＝3 ，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC．∴，则B、C两点的球面距离＝．故答案为：π．10．若点P（x，y）在曲线（θ为参数，θ∈R）上，则的取值范围是．【分析】由（θ为参数，θ∈R）可得：k＝＝．因此k可以看作P（2，0）与圆：x2+y2＝1上的点的连线的直线的斜率的取值范围．利用点到直线的距离公式即可得出．解：由（θ为参数，θ∈R）可得：k＝因此k可以看作P（2，0）与圆：x2+y2＝1上的点的连线的直线的斜率的取值范围．设过点P的直线方程为：y＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k＝0，∵≤1，解得．解得．∴的取值范围是．故答案为：．11．已知，若数列a1、a2、…、a k（1≤k≤41，k∈N）是一个单调递增数列，则k的最大值为17【分析】先由通项公式求得a k，根据由题意可得a k最大，即，由此求得k的最大值．解：∵已知，∴a1＝340，a2＝339•2，a3＝338•4，…，a k＝341﹣k•2k﹣1•．若数列a1、a2、…、a k（1≤k≤41，k∈N）是一个单调递增数列，则a k最大，即，求得，则k的最大值为17，故答案为：17．12．函数的图象与函数y＝2sinπx（x∈[﹣k﹣2，k+4]，k∈Z）的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k的值是1002或1003．【分析】由题意可得函数y＝的图象与函数y＝2sinπx（﹣3≤x≤5）的图象所有交点关于点（1，0）对称，则它们的每一对交点都关于点（1，0）对称，结合所有横坐标之和等于2012即可得到k的取值范围．解：函数y＝的图象关于点（1，0）对称，函数y＝2sinπx（﹣k﹣2≤x≤k+4）的图象也关于点（1，0）对称，如图所示：故函数y＝的图象与函数y＝2sinπx（﹣k﹣2≤x≤k+4）的图象所有交点关于点（1，0）对称，且每一对关于点（1，0）对称，因为他们的横坐标之和为2012，故共有1006对交点，则k+4＝1006或k+4＝1007，解得k＝1002或1003．故答案为：1002或1003．二、选择题（共有4题，本大愿满分20分）每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．已知α：区间[a，b]内恰含两个整数．则以下结论正确的是（）A．“b﹣a≥1”是α成立的充分条件B．“b﹣a≥1”是α成立的必要条件C．“b﹣a≤2”是α成立的充分条件D．“b﹣a≤2”是α成立的必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用排除法进行判断即可．解：当a＝，b＝，满足b﹣a≥1成立，但在区间[，]内只有一个整数1，故充分性不成立，则A错误，当a＝，b＝，满足b﹣a≤2成立，但在区间[，]内只有一个整数1，故充分性不成立，则C错误，若区间[a，b]内恰含两个整数，则满足b﹣a≥1，故B正确，当a＝0，b＝2时，满足b﹣a≤2成立，但在区间[0，2]内有3个整数0，1，2，故必要性不成立，则D错误，故选：B．14．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；②如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β；③如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，a∥β或a⊂β；在③中，a 与β相交、平行或a⊂β；在④中，α与β相交或平行．解：在①中，如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；在②中，如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β或a⊂β，故②错误；在③中，如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a与β相交、平行或a⊂β，故③错误；在④中，如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α与β相交或平行，故④错误．故选：A．15．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13B．18C．21D．26【分析】设f（x）＝x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，从而解出所有符合条件的a的值之和．解：设f（x）＝x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5＜a≤8，又a∈Z，∴a＝6，7，8．则所有符合条件的a的值之和是6+7+8＝21．故选：C．16．已知点B（4，0），点P在曲线y2＝8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）2+y2＝1上运动，则的最小值为（）A．B．4C．D．6【分析】设圆心为F，可知F为抛物线y2＝8x的焦点，并且最小时，PB经过圆心F，设P（x，y），则|PB|2＝（x﹣4）2+y2＝（x﹣4）2+8x＝x2+16，|PQ|＝x+2+1＝x+3，可得＝，换元后利用基本不等式求最值即可．解：如图，设圆心为F，则F为抛物线y2＝8x的焦点，该抛物线的准线方程为x＝﹣2，设P（x，y），由抛物线的定义：|PF|＝x+2，要使最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|＝|PF|+1＝x+3，且|PB|＝．∴＝，令x+3＝t（t≥3），则x＝t﹣3，∴＝t+﹣6≥4，当t＝5时取“＝“，此时x＝2．∴的最小值为4．故选：B．三、解答题（满分76分）17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．【分析】（1）B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，运用棱柱的体积公式和解直角三角形，即可得到所求值；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，运用解直角三角形，计算即可得到所求值．解：（1）依题意，B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，由，则，由D为BC的中点，BC＝＝5，即有，由，即，∴，即侧棱BB1与底面ABC所成角为；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，B1D⊥面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1∴CE⊥面A1B1C1，∴CE⊥A1E，tan∠A1CE＝＝＝，所求异面直线B1D与CA1所成角为．18．四边形ABCD如图所示，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值．【分析】（1）利用余弦定理，求出BD，即可求cos A﹣cos C的值；（2）求出S12+S22的表达式，﹣1＜cos C＜﹣1，即可求S12+S22的最大值．解：（1）在△ABD中，DB＝，在△BCD中，DB＝，所以cos A﹣cos C＝1．（2）依题意S12＝12﹣12cos2A，S22＝4﹣4cos2C，所以S12+S22＝12﹣12cos2A+4﹣4cos2C＝﹣8cos2C﹣8cos C+12＝﹣8（cos C+）2+14，因为2，所以﹣8cos C∈（16﹣8，16）．解得﹣1＜cos C＜﹣1，所以S12+S22≤14，当cos C＝﹣时取等号，即S12+S22的最大值为14．19．已知椭圆）经过定点，其左右集点分别为F1，F2且，过右焦F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程：（2）若O为坐标原点，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由椭圆的定义可求出a的值，再把点E的坐标代入椭圆方程，即可求出b 的值，从而得到椭圆C的方程；（2）先设点P，Q的坐标以直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q 横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m与k的关系式，可求出m的取值范围．解：（1）∵点E在椭圆上，且，∴2a＝2，a＝，又∵定点在椭圆上，∴，∴b＝1，∴椭圆C的方程为：；（2）假设存在点M（m，0）满足条件，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴，，△＝8k2+8＞0，又，，，∴，由题意知．＝（x2+x1﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）＝（x2+x1﹣2m）（x2﹣x1）+k（x2﹣x1）（y1+y2）＝0，∵x1≠x2，∴x2+x1﹣2m+k（y1+y2）＝0，即，则＝0，∴＞0，∴0＜m＜，故存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为（0，）．20．（16分）对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）为理想函数．（1）判断g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]＝x0，求证：f（x0）＝x0．【分析】（1）①要判断函数g（x）＝2x﹣1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）＝2x﹣1，是否满足理想函数的三个条件即可；（2）先研究函数f（x）在[0，1]上为单调递增函数，再利用①②，求出f（0）和f（1），即可得到函数f（x）的最值，（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）＝f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）＝x0，根据f[f （x0）]＝x0，则f（x0）＝x0．解：（1）①显然f（x）＝2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）＝1．若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]＝2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]＝（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0故f（x）＝2x﹣1满足条件①②③，所以f（x）＝2x﹣1为理想函数，（2）由题意可得对任意的x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1+x1）≤f（x1）﹣[f（x1）+f（x2﹣x1）]＝﹣f（x2﹣x1）≤0，∴f（x1）≤f（x2），∴f（x）在[0，1]上单调递增，令x1＝x2＝0，∵x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，∴f（0）≥2f（0），又f（x）≥0，∴f（0）＝0，∴当x＝0时，f（x）取最小值f（0）＝0，当x＝1时，f（x）取最大值f（1）＝1．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，∴f（n）＝f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]＝x0，前后矛盾；若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]＝x0，前后矛盾．故f（x0）＝x0．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a＝4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n 项和为∁n，若∁n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称∁n为“指数型和”．问{∁n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依题意，可求得S n+1＝2S n+3n，当a≠3时，＝2，利用等比数列的定义即可证得数列{b n}是等比数列；（2）由（1）可得S n﹣3n＝（a﹣3）×2n﹣1，a n＝S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得a n＝，由a n+1≥a n，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a 的最小值；（3）由（1）当a＝4时，b n＝2n﹣1，当n≥2时，∁n＝3+2+4+…+2n＝2n+1+1，C1＝3，可证得对正整数n都有∁n＝2n+1，依题意由t p＝2n+1，t p﹣1＝2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．解：（1）a n+1＝S n+3n⇒S n+1＝2S n+3n，b n＝S n﹣3n，n∈N*，当a≠3时，＝＝＝2，所以{b n}为等比数列．b1＝S1﹣3＝a﹣3，b n＝（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n＝（a﹣3）×2n﹣1，a n＝S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n＝，∵a n+1≥a n，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a＝4时，b n＝2n﹣1，当n≥2时，∁n＝3+2+4+…+2n＝2n+1+1，C1＝3，所以对正整数n都有∁n＝2n+1．由t p＝2n+1，t p﹣1＝2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1＝（+1）（﹣1）＝2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1＝2g，﹣1＝2h，2g﹣2h＝2，2h（2g﹣h﹣1）＝2，所以2h＝2且2g﹣h﹣1＝1⇒h＝1，g＝2，相应的n＝3，即有C3＝32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1＝（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）＝2n不成立，此时没有“指数型和”．。
2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷（含答案解析）
2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.己知p.x2-x-6>0.t?：4x+m<0.若〃是q的必要不充分条件，求实数m的取值范用（）A.（4,+8）B.[8,+8）C. （—00,6]D.（—8,6）2.将函数=：kin⑵•+甲），中€（0,江）的图象沿X轴向右平移^个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则9的值为（）A-T B.：驾 D.三3.己知函"。
）={臆*,：1，%若关于X的方程r（x）=a（Q€R）有四个不同实数解也，巧,0%4»且尤1V*2V乂3V又4，则X1+x2+x3+x4的取值范国为（）A.[一逍B.（一2,勺C・[一2,+8） D. （一2,+8）4.己知点M（a,b）在直线3*+4y-20=。
上，则应E■的最小值为（）A3 B.4 C.5 D.6二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.己知集合A={x|2V*V4},B={x|x<3或x>5},则Ar\B=6.已知复数z满足zi=2-i（i是虚数单位），则夏数z=.7.抛物线x=ay2的准线方程是x=2,则“的值为.8.若一个圆柱的侧而展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为.9.若行列式「2|a的展开式的绝对值小于6的解集为（一1，2），则实数】等于.10.现有3个奇数，2个偶数.若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为•H.已知的展开式中％，的系数为？常数“的值为.12.无穷等比数列首项为1,公比为q（q>0）的等边数列前〃项和为5”，则”罕85“=2,则q=13.定义在R上的函数/•（!：）满足/（l+x）=f（l-x）,且XN1时,/（x）=x^+l.则/•（》）的解析式为.14.从原点。
向圆C：x2+y2-12x+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度为15.己知数列｛%｝中，电=1,—±-=n(nEN^t则叼脚=______a n16.在凸四边形ABCD中MB=2f BC==150%LADB=30。
2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
当且仅当x＝89时等号成立．
∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．
【点睛】
本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题.
20．已知点 是抛物线 上的焦点， 、 是抛物线上的两个动点．
（1）若直线 经过点 ，且 ，求 ；
（2）若 ，求证:线段 的垂直平分线经过一个定点 ，并求出 点的坐标；
三、解答题
17．如图，长方体 的底面 是正方形，点 为棱 的中点， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离；
（2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值．
【详解】
解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为 ， ， ， ，所以， ， ．
【答案】10
【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算．
【详解】
设抽取的男运动员人数为 ，则由分层抽样定义得 ，解得 ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可．
13．若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．
③每台产品的市场售价为10万元；
④每年产量最高可达到100台；
（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；
（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．
上海市浦东新区2020届高三数学三模考试试题含解析
上海市浦东新区2020届高三数学三模考试试题（含解析）一.填空题1. 已知集合{}{}1,0,,|122xA aB x =-=<<，若A B ⋂≠Φ，则实数a 的取值范围是________ 【答案】()0,1 【解析】 【分析】根据指数函数2xy =是单调增函数解不等式122x <<，得到集合B ,再根据交集的定义和空集的定义得,A B 有公共元素,进而得到()0,1a ∈.【详解】由122x <<，根据指数函数2xy =是单调增函数，可得01,{|01}x B x x <<∴=<< 又∵集合{}1,0,A a =-，A B ⋂≠Φ，则,A B 有公共元素， 所以()0,1a ∈ 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及利用指数函数的单调性解指数不等式，属基础题. 2. 若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平均数求出x ，再求数据的方差. 【详解】21192018205x ++++=，解得22x =，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=.故答案为：2【点睛】本题考查样本数据平均值与方差，属于基础题.3. 椭圆222125x y b +=(0b >)与双曲线2218x y -=有公共的焦点，则b =______.【解析】 【分析】由题意得两条曲线的2c 值相等，从而得到关于b 的方程，解方程即可得答案. 【详解】由题意得两条曲线的2c 值相等， ∴22581b -=+，求得216b =，则4b =. 故答案为：4.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4. 函数y （12x ≤≤）的反函数是________【答案】1y =+，[]0,1x ∈ 【解析】 【分析】欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式，求出原函数的值域即为反函数的定义域．【详解】解：因为y 且12x ≤≤，所以()[]2212110,x x x -=--+∈所以[]0,1y =又y =，所以()2211y x =--+，所以()2211x y -=-，所以1x =x ，y 互换，得1y =+，[]0,1x ∈．故答案为：1y =+，[]0,1x ∈【点睛】本题主要考查了反函数，以及原函数的值域即为反函数的定义域，属于基础题．5. 函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ． 【答案】4 【解析】作出()f x 的图象，由题意可得()y f x =和y b =的图象有4个交点，不妨设1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称，计算即可得到所求和．【详解】解：作出函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象， 方程()f x b =有四个不同的实数解， 等价为()y f x =和y b =的图象有4个交点， 不妨设它们交点的横坐标为1x 、2x 、3x 、4x ， 且1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称， 可得120x x +=，344x x +=， 则12344x x x x +++=． 故答案为：4．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法以及对称性的运用，考查运算能力，属于中档题．6. 已知23230123(3)(3)(3)(3)n nn x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-（*n ∈N ），且012n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+，则lim 4nnn A →∞=________【答案】43【分析】令31x -=，得到x ，再代入到已知可得230124444n n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+=++++，根据等比数列前n 项和公式求得n A ，进而求极限即可； 【详解】解：因为23230123(3)(3)(3)(3)n n n x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，令31x -=，即4x =，可得230124444n n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+=++++()41414n n A -==-所以()44141414lim lim lim 1lim 143434343n n n n n n n n n n A →∞→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫==⋅-=-= ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭ 故答案为：43【点睛】本题主要考查利用赋值法求二项式张开式的系数和以及数列极限的求解，属于中档题.7. 若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】 试题分析：由正弦定理有2a c=,所以2a c +=,2222231422cos 22a b a b c C ab ab++-==,由于223142a b +≥=,故cos 4C ≥,所以cos C 的最小值是考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.8. 对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运 算是通常的加法和乘法运算.已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任 意实数x ,都有x m x *=，则m 的值是______________ 【答案】4 【解析】由定义可知1*2223,2*32364a b c a b c =++==++=,所以53,12ba b c =-=-, 所以*()(53)2mbx m ax bm cmx a cm x bm b m x bm x =++=++=-+-+=恒成立， 所以0,5312mbbm b m =-+-=.0m ≠,0,4b m ∴==. 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________ 【答案】323【解析】 【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为，则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．10. 设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】 【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得； 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-±，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，4b =±所以14z =-综上满足条件的所以复数的和为1131442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.11. 已知函数21()sin 22xf x x ωω=-（0>ω），x ∈R ，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是________ 【答案】117(0,][,]12612【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【详解】解：函数21()sin 22xf x x ωω=+-()111cos 22x x ωω=--1cos 2x x ωω=- sin 6x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，所以()()2022f f T ππππππω⎧≥⎪⎨=≥-=⎪⎩即sin sin 206601πππωπωω⎧⎛⎫⎛⎫--≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<≤⎩所以sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩①或sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩②；解①得172266171212k k k k ωω⎧+≤≤+⎪⎪⎨⎪+≤≤+⎪⎩，()k Z ∈，因为01ω<≤，所以0k =，所以17612ω≤≤；解②得512266511212k k k k ωω⎧-+≤≤+⎪⎪⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，()k Z ∈，因为01ω<≤，所以0k =，所以1012ω<≤；综上可得1170,,12612ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 故答案为：1170,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，属于中档题．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-，在Q 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为________ 【答案】514【解析】 【分析】点集Q 中有9个点，从而在Q 中随机取出三个点的方式数为3984C =，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率． 【详解】在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-，∴Q 中有9个点，∴在Q 中随机取出三个点的方式数为3984C =，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况： ①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，②三点是边长为1，1的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=种情况，2的等腰直角三角形的顶点， 其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有1个，共有8种情况，综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，∴这三个点两两之间距离均不超过2的概率为3058414P ==． 故答案为：514． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二.选择题13. 已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y=>， 故x y <时，1xy<不成立， 当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )A. 41πB. 42πC. 43πD. 44π【答案】A 【解析】 【分析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为141364122++=， ∴该球形容器体积的最小值为：42412π⨯=41π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.15. 在平面直角坐标系中，定义11n n nn n nx x y y x y ++=-⎧⎨=+⎩（*n ∈N ）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P ，222(,)P x y ，333(,)Px y ，⋅⋅⋅是经过点变换得到一组无穷点列，设112n n n n n a P P P P +++=⋅，则满足不等式122020n a a a ++⋅⋅⋅+>最小正整数n 的值为（ ） A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】 【分析】可以先求得1a （当然可求得234,,,a a a ，然后归纳出n a ，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得22n n n a x y =+，从而可以得12n n a a +=，说明数列{}n a 是等比数列，求得通项公式na 后求和，由2020n S >得解．【详解】由定义知1110x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，330,2x y =⎧⎨=⎩，即23(1,1),(0,2)P P ．11223(0,1)(1,1)1a PP P P =⋅=⋅-=， 观察可得，112,n n n n n a P P P P +++=⋅112121(,)(,)n n n n n n n n x x y y x x y y ++++++=--⋅-- 11(,)(,)n n n n y x y x ++=-⋅-2211()()n n n n n n n n n n n n y y x x y x y x x y x y ++=+=++-=+， 222222111()()2()n n n n n n n n n a x y x y x y x y +++=+=-++=+2n a =， ∴数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1．∴12n na ．2112122221n n n a a a -+++=++++=-，由212020n ->，解得11n ≥．即n 的最小值为11.故答案为：C【点睛】本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．解题关键是求出22n n n a x y =+．接着顺理成章地写出1n a +，观察两项之间的关系，问题得以解决．属于难题16. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A. （1）（2） B. （1）（2）（3） C. （1）（2）（4） D. （1）（3）（4）【答案】A 【解析】 【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）； 先确定曲线C 经过点2,2)，再将2x <2y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题． 三.解答题17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1) 若1BM AC ⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【答案】（1）1h =（2）10arc 【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =． (2) 解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM的一个法向量为(),,n x y z =由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+= 所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则1110sin 220n BA n BA θ⋅===⋅⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sin 5arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM 中，1122,210AM A B ==所以1112210sin 210A M A BM A B ∠=== 所以110arcsinA BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sinarc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18. 方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，图2中所示多边形ABCDEFGH ，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴80AF BE ==米，两根竖轴60CH DG ==米，记整个方舱医院的外围隔离线（图2实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为L ，CH 与AF 、BE 的交点为M 、N ，DG 与AF 、BE 的交点为P 、Q ，CBN θ∠=（02πθ<<）.（1）若6πθ=，且两根横轴之间的距离30AB EF ==米，求外围隔离线总长度L ；（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度L 不超过240米，当整个方舱医院（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此设计方案中θ的大小与BC 的长度.【答案】（1）340603-（2）4πθ=，10102BC =+【解析】【分析】（1）根据条件，求出外围隔离线每边的长度，再求和即可；（2）先得到当外围隔离线总长度为240米时，整个方舱医院的面积最大，再将整个方舱医院的面积用θ表示出来，观察题中出现sin cos θθ和sin cos θθ+，可用两者之间的联系化简求最值成立的条件.【详解】解：（1）由题260NC MN +=，得23060NC +=，得15NC = ，由6πθ=，则BN ==30BC =，故80CD =-则L 422BC AB CD =++4302302(80=⨯+⨯+⨯-=340-（2）设BC x =，则sin NC x θ=,cos BN x θ=, 则602sin AB x θ=-，802cos CD x θ=-，则L 422BC AB CD =++42(602sin )2(802cos )x x x θθ=+-+-=28044sin 4cos x x x θθ+--.当240L =会使整个方舱医院的面积最大，则28044sin 4cos 240x x x θθ+--=， 得10sin cos 1x θθ=+- ,整个方舱医院的面积180604cos sin 2S x x θθ=⨯-⨯⋅248002sin cos x θθ=-， 得S 2200sin cos 4800(sin cos 1)θθθθ=-+-，02πθ<<令sin cos 1t θθ=+-)14πθ=++，02πθ<<，则(2,1t ∈+，且1sin cos t θθ+=+，得22sin cos 2t t θθ=+则22100(2)20048004700t t S t t+=-=-，(2,1t ∈+当1t =时，S )14πθ++1=4πθ=，1)x =，即整个方舱医院的面积最大时，4πθ=，1)BC =【点睛】本题是应用问题，考查了理解、分析能力，将实际问题转化成数学问题，并利用sin cos θθ与sin cos θθ+之间的关系求最值成立的条件是解决问题的关键.19. 已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到(3,23)时，求12QP QP ⋅的值； （2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q 到两条渐近线的距离，再计算1QP 与2QP 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SM MT λ=，SN NT μ=，将,λμ表示出来，代入1λμ+=化简即可证得T 为定点.【详解】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-= ， 又1QP =3223332233=，2QP =3223332233=12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩， 得11x m x λ=- ，同理，由22x SN NT m x μμ=⇒=-，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--， 得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.20. 已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N . （1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【解析】 【分析】（1）由递推公式直接代入求解.（2）由2121n n a a n +=++变形得2112n n a a n --=+，得1121212n n n a a ----=+观察分析得112n n b b -=+，再得到通项公式n b ，再用错位相减法求得2020S（3）由递推式221n n a a =+，2121n n a a n +=++，得到212n n a a n +-=， 再分别作差20192018a a -，20182017a a -，20202018a a -，利用递推公式判断与0的大小，从而得到2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系【详解】解:（1）由10a =，则21211a a =+=，31222a a =+=，42213a a =+=， 522215a a =++=，63215a a =+=，73248a a =+=.（2）由2121n n a a n +=++，则2112n n a a n --=+，得11212122n n n a a ----=+，得1212111222n n nn a a ----=+，即112n n b b -=+，且112a b =0=，故12n n b -=，故123202020201(0313*******)2S =⨯+⨯+⨯++⨯， 则2320202021202013(03232018320193)2S =⨯+⨯++⨯+⨯， 两式相减2320202021202012(33320193)2S -=+++-⨯， 20192021202019(13)2(20193)22S --=-⨯-，化简得202120204037398S ⋅+=（3）由221n n a a =+，2121n n a a n +=++，则212n n a a n +-=则2019201810090a a -=>，即20192018a a >；2018201710091008(21)(21009)a a a a -=+-+100910082()1008a a =--250410080=⨯-=， 即20182017a a =；2020201810101009(21)(21)a a a a -=+-+5055042[(21)(2505)]a a =+-+ 5055044()1008425210080a a =--=⨯-=,即20202018a a =；综上可得：2017201820202019a a a a ==<【点睛】本题考查了递推公式的理解与应用，利用递推公式构造新数列求通项公式，还考查了错位相减法，学生的运算能力，作差法比较数的大小，对递推公式的变形和变活运用是解题的关键.21. 已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1=， 1.22[]-=-，[1]1=，对于函数()f x ，若存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是“Ω函数”.（1）判断函数21()3f x x x =-，()|sin |g x x π=是否是“Ω函数”；（2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期是T ，若()f x 不是“Ω函数”，求T 的最小值； （3）若函数()af x x x=+是“Ω函数”，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 是，()g x 不是；（2）1；（3）0a >，且2[]a m ≠，[]([]1)a m m ≠+. 【解析】 【分析】（1）举例说明函数21()3f x x x =-是Ω函数，证明函数()g x 不是“Ω函数”；（2）假设1T <，得到矛盾，再证明1T ≥得证； （3）对a 分0,0,0a a a <=>三种情况讨论得解.【详解】（1）对于函数21()3f x x x =-是Ω函数，设13m =，[]0m =则1()()03f m f ==，([])(0)0f m f ==，所以存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，所以函数()f x 是“Ω函数”. 对于函数()sin g x x π=，函数的最小正周期为21=12ππ⨯,函数的图象如图所示，不妨研究函数在[0,1]这个周期的图象.设01m <<，[]0m =,则()|sin |0,([])(0)0g m m g m g π=>==,所以()([])g m g m ≠，所以函数()g x 不是“Ω函数”.综合得函数()f x 是“Ω函数”，函数()g x 不是“Ω函数”.（2）T 的最小值为1．因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =．假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾．所以必有1T .而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是Ω函数，综上所述，T 的最小值为1．（3）当函数()af x x x =+是“Ω函数”时，若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾．若0a <，则2()10af x x '=->，所以()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上单调递增，此时不存在0m <，使得()([])f m f m =，同理不存在0m >，使得()([])f m f m =，又注意到[]0m m ，即不会出现[]0m m <<的情形， 所以此时()af x x x =+不是Ω函数．当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]aam m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠，当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以2[][]([]1)[]m m m m m <<+，所以2[]([]1)[]m a m m <<+，当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][]([]1)[]m m m m m >>+，所以2[]([]1)[]m a m m >>+，综上所述，0a >，且2[]a m ≠，[]([]1)a m m ≠+.【点睛】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。
上海市建平中学2020年高三数学文模拟试题含解析
上海市建平中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义域为R的函数满足，且的导函数，则的解集为（）A． B． C． D．参考答案：D2. 设等差数列的前10项和为20，且，则的公差为（）A．1 B．2 C. 3 D．4参考答案：B3. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（）．．．．参考答案：B投掷该骰子两次共有中结果，两次向上的点数相同，有6种结果，所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是，选B. 4. 设集合，则( )A. B. C. D.参考答案：B略5. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D设，则，又，，选D．6. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD 内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于（）A． B．高考资源网 C． D．参考答案：A略7. 已知向量，若向量与平行，则实数=（）A．-4 B．4 C．D．参考答案：C8. 已知集合，则A∩B的元素有()A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B9. 函数的零点所在的区间是（）A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （1,2）D. （0,1）参考答案：D因为，，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间在，选D.10. 下列结论中正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．命题“若，则.”的否命题是“若，则”C．“”是“函数在定义域上单调递增”的充分不必要条件D．命题：“，”的否定是“，”参考答案：DA.“”则一定有“”，反之时，故推不出。
2020届上海市建平中学高三下学期3月月考数学试题解析版
2020届上海市建平中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.【考点】三角形的面积公式.2．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．144 B ．72 C ．54 D ．36【答案】B【解析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法． 【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生， 插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种， 故选：B ． 【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题 3．已知数列{}n a 的通项公式为()()*11n a n N n n =∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（ ） A ．22y x = B ．32y x = C ．310y x = D ．10y x = 【答案】C【解析】先利用()()*11n a n N n n =∈+与910n S =求得n ,再根据2211x yn n-=+渐近线方程为y =求解即可. 【详解】 由()11111n a n n n n ==-++得1111111 (11223111)n n S n n n n =-+-++-=-=+++.又910n S =即9110n n =+,故9n =,故双曲线221109x y -=渐近线为10y x ==± 故选C 【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型. 4．已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ）A ．B ．1312CD ．1【答案】B【解析】根据题意可设(1,0)a =,(0,1)b =,则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--可化简整理为其可理解为动点(,)t t 到两定点7(0,1),1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值. 【详解】由题知,a b 是单位向量,且0a b ⋅=, 故不妨取(1,0)a =,(0,1)b =,设5|()|(1)()12T t b a a b t a b =-+++-- 5(1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12t t ⎛⎫=⋅-+++-- ⎪⎝⎭==设(,)P t t ,(0,1)A ,71,12B ⎛⎫⎪⎝⎭, 则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12A B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和,所以||||||T PA PB AB =+=1312=, 故选:B. 【点睛】本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.二、填空题5．双曲线2226x y -=的焦距为__________. 【答案】6【解析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，可得焦距2c 的值． 【详解】双曲线2x 2﹣y 2＝6即为22x y 36-=1，可得a =b =c ==3，即焦距为2c ＝6． 故答案为6． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题． 6．复数3412iz i+=-，则z =______.【解析】利用复数的除法运算法则化简，然后求解复数的模． 【详解】 复数z 满足34(34)(12)5101212(12)(12)5i i i iz i i i i +++-+====-+--+．则||z ==【点睛】本题考查是的除法运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题．7．已知61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中的第五项系数为152，则正实数a =_____.【答案】2【解析】由二项式定理的通项公式可得：24615a 2=，解出即可得出． 【详解】T 542424661(ax)()a x ==x ﹣2，∴24615a 2=，a ＞0．解得a =故答案为2． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．8．已知各项均为正数的数列{}n a ，前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则通项n a =______.【解析】通过112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出数列{}n a 前几项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可． 【详解】112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，111112a a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，解得： 11a =或11a =- (舍)，2212112a a a a ⎛⎫∴++ ⎝=⎪⎭，即2221112a a a ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，整理得：222102a a -∴=+，解得：21a =或21a = (舍)，23133112a a aa a ⎛⎫∴+++ ⎪⎝⎭=，即33311121a a a⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，整理得：23310a +-=，解得：2a =或2a =(舍)， 猜想： n a 下面用数学归纳法来证明： ①当n=1时，命题显然成立；②假设当n =k (k ⩾2)时,有k a =则111121112k k k k k k k a S S a a a a +++⎛+⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+1111122k k a a ++⎛⎫=-⎪⎝⎭+ 11112k k aa ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭整理得：21110k k a+++-=，解得：1ka +1k a += (舍)，即当n =k+1时，命题也成立；由①、②可知数列{}n a 的通项公式=n a故答案为：1n n --. 【点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式，考查了归纳推理的应用，同时考查了利用数学归纳法证明，属于中档题. 9．已知函数()3113x f x a x a +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭的图像与它的反函数的图像重合，则实数a 的值为___. 【答案】-3【解析】先求反函数：y ax 1x 3-+=-，利用函数f （x ）3x 1x a +=+（a 13≠）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出． 【详解】 由y 3x 1x a +=+（a 13≠），解得x ay 13y -=-（y≠3），把x 与y 互换可得：y ax 1ax 13x x 3--+==--，∵函数f （x ）3x 1x a +=+（a 13≠）图象与它的反函数图象重合， ∴﹣a ＝3，解得a ＝﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为________3cm【答案】32【解析】根据三视图还原出几何体，然后根据三视图的数据求出几何体的体积，得到答案. 【详解】根据三视图还原出几何体，如图所示， 可以看作是由四个棱长为2的正方体组合而成，故其体积为：422232⨯⨯⨯= 故答案为：32.【点睛】本题考查根据三视图还原几何体，求几何体的体积，属于简单题.11．已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____. 【答案】13【解析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ． 【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1． 当2πEOF 3∠=时，EF 2212π1111cos 323=+-⨯⨯⨯= 故答案为13【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题12．若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分曲线cos 2sin 1x y αα=+⎧⎨=+⎩[)()0,2απ∈的周长，则12a b+的最小值为______. 【答案】322+【解析】消去曲线的参数可知曲线为圆，且直线过圆心，则可得a +b =1，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】消去曲线的参数可得()()22211x y -+-=，可知该曲线是以()2,1为圆心，半径为1的圆，因为直线()220,0ax by a b +-=>始终平分该圆周长，则圆心()2,1在直线上， 代入得1a b +=，()121222323322b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=，即21,22a b ==-. 故答案为：322+. 【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查基本不等式求最值，属于中档题.13．已知点()3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________. 【答案】[]3,3-【解析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示cos 23OA OP z OA AOP AOP OP⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-. 【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.14．已知01a <<，设函数()132020201920201x xf x x ++=-+，[],x a a ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为______. 【答案】4039【解析】化为对称形式，利用对称性可得到结果. 【详解】()1333202020191114039202020201202012020122x x x xf x x x x ++⎛⎫=-=--=---+ ⎪+++⎝⎭，()f x 图象关于点40390,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，4039M m +=.故答案为：4039 【点睛】本题考查函数的对称性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．15．已知,a b ∈R 且01a b ≤+≤，函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，则2a b -的取值范围为______. 【答案】[]0,1【解析】根据函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，转化为()1002f f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭且01a b ≤+≤或 ()20010210224001f f aa b a b ⎧≥⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩，然后利用线性规划求解. 【详解】因为函数()2f x x ax b =++在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在一个零点，所以()1002f f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭且01a b ≤+≤或 ()20010210224001f f a a b a b ⎧≥⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩， 即1104201b a b a b ⎧⎛⎫⨯-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤+≤⎩或 20114210224001b a b a a b a b ≥⎧⎪⎪-+≥⎪⎪⎨-<-<⎪⎪∆=-≥⎪⎪≤+≤⎩， 其对应的平面区域如图所示：或平移直线20a b -=，当直线在y 轴上的截距最小值时，目标函数取得最大值，此时经过点()1,0，最大值为1，当直线在y 轴上的截距最大值时，目标函数取得最小值，此时经过点()0,0，最小值为0，所以2z a b =-的取值范围为[]0,1， 故答案为：[]0,1 【点睛】本题主要考查函数的零点分布，线性规划，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．在数字1，2，3，，n （2n ≥）的任意一个排列A ：1a ，2a ，3a ，，na 中，如果对于i ，j ∈*N ，i j <，有i j a a >，那么就称(),i j a a 为一个逆序对.记排列A 中逆序对的个数为()S A .对于数字1，2，3，，n （2n ≥）的一切排列A ，则所有()S A 的算术平均数为______.【答案】()14n n - 【解析】由题中逆序对的概念，运用组合数知识可得排列A 中的数对(),i j a a 共有2n C 个，进而求得结果. 【详解】排列A ：1a ，2a ，3a ，，n a 与排列1A ：n a ，1n a -，2n a -，…，2a ，1a ，因为数对(),i j a a 与(),j i a a 中必有一个为逆序对，且排列A 中的数对(),i j a a 共有2n C 个，所以()()21nS A S A C +=，所以所有()S A 的算术平均数为()2124nn n C -=. 故答案为：()14n n -. 【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列和排列组合的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.三、解答题17．在四棱锥P ABCD -中，底面为梯形，//AB CD ，90BAP CDP ︒∠=∠=，2PA PD AB ===，PA PD ⊥，四棱锥P ABCD -的体积为4.（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角.（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）10arcsin10. 【解析】（1）根据已知条件可证AB DP ⊥，再结合AB AP ⊥，即可得证结论； （2）取AD 的中点E ，连结PE ，CE ，证明PE ⊥平面ABCD ，作出PC 与平面ABCD所成角，通过解直角三角形，即可求出结论. 【详解】（1）∵90BAP CDP ︒∠=∠=，∴AB AP ⊥，CD DP ⊥， 又//AB CD ，所以AB DP ⊥，∵AP DP P ⋂=，AP ，DP ⊄面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ；（2）如图，作AD 的中点E ，连结PE ，CE ， ∵PA PD =，PA PD ⊥ ∴PE AD ⊥，22AD =，122PE AD ==. 由（1）AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥， 又AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊄面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，即PE 为四棱锥P ABCD -的高，PCE ∠为PC 与平面ABCD 所成，.由四棱锥P ABCD -的体积为4，可得：1112422233232ABCD AB CD CD S PE AD PE ++=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅梯形，解得4CD =， 在Rt PDC 中，22222425PC PD DC =+=+=，在Rt PEC 中，210sin 25PE PCE PC ∠===，10arcsin PCE ∠=， 所以PC 与平面ABCD 所成角为10arcsin10.【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查求线面角，求线面角要体现“作、证、算”三步骤，考查逻辑思维能力和空间想象能力，考查计算能力，属于常考题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若1n n S pa =+（0,1p ≠），*n N ∈，且n S 递增，求p 的取值范围； （2）若20190S =，122320182019201912222a a a a a a a a -=-==-=-，求证：1220190a a a ====.【答案】（1）0p <；（2）证明见解析.【解析】（1）先由n a 与n S 的关系求出{}n a 的通项公式1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，再由nS 递增可得111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，进而得出满足题意的不等式组求解即可；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，由题意可得1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个，依此列出方程()20190mt m t --=，可得0t =，进而得解. 【详解】（1）111111n n n n n n n n n a pS pa S S a pa pa a p ++++=+⇒-==-⇒=-， 1111111S a pa a p ==+⇒=-，所以{}n a 为等比数列，1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，由题意，111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，则10101p p p ⎧>⎪-⎪⎨⎪>⎪-⎩，0p ⇒<；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，因为20190S =，所以有1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个， 则()()20190220190mt m t m t --=⇒-=， 因为220190m -≠，则0t =，则1220190a a a ====，从而得证.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系的应用，考查构造数列，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.19．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】（1）索道AB 的长为1 040 m ；（2）t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短. 【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，由cosA 和cosC 可得sinA 根和sinC ，从而得sinB ，由正弦定理AB ACsinC sinB=，可得AB ； （2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130tm ，由余弦定理得d 2＝200(37t 2－70t ＋50)，结合二次函数即可得最值. 试题解析：（1）在△ABC 中，因为cos A ＝，cos C ＝，所以sin A ＝，sin C ＝.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C) ＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB ＝×sin C ＝×＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t ＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题一般是关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式，再通过正弦、余弦定理，勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=上的点到右焦点F 的最近距离是32-，且短轴两端点和长轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 为直线l ：40x y +-=在第一象限上一点，且F 到直线OM 的距离为1，求以线段OM 为直径的圆方程；（3）设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 是椭圆C 三个不同点，记：1114a x y =+-，2224a x y =+-，3334a x y =+-，若1a ，2a ，3a 成等差数列，求其公差d 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）()()22112x y -+-=；（3）[)(]2,00,2-.【解析】(1）根据题意可以列出关于a ，b ，c 的三个方程，解出a ，b 即可求得椭圆C 的方程;(2）由几何关系得45FOM ∠=︒，于是OM l ⊥，进而求出直线OM 的方程，再求出点M 的坐标，再求出以线段OM 为直径的圆的圆心和半径，即可求解;(3）先设点(),P x y 为椭圆C ：2213x y +=上任意一点，求出4x y +-的范围，再结合等差数列性质即可求得公差d 的取值范围. 【详解】（1）设右焦点为(),0F c ，由题意a c -=3ab ，222a b c a =+⇒=1b =，c =所以椭圆C 的方程为2213x y +=（2）由)F到直线OM 的距离为1，知45FOM ∠=︒，即()2,2OM l M ⊥⇒所以以线段OM 为直径的圆方程为()()22112x y -+-=（3）设点(),P x y 为椭圆C ：2213x y +=上任意一点，其中x θ=，sin y θ=，则[]4sin 42sin 42,63x y πθθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭所以，[]1326242,2a a d d -=≤-=⇒∈- 又由已知0d ≠，所以[)(]2,00,2d ∈-.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的基本量求解，圆的标准方程及等差数列的性质，主要考查学生转化能力与运算能力，属于中档题.21．设对集合D 上的任意两相异实数1x ，2x ，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ；若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x .（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8a f x x =，()()()log log a a g x a x a x =+--，若01a <<，是否存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，)1a .【解析】（1）令1x x =，2x x =-代入已知不等式中，再结合()y f x =是偶函数，即可证明()y g x =是偶函数；（2）根据新定义先列出不等式，再把()y f x =是R 上的增函数转化为若12x x <，则12()()f x f x <，代入不等式即可证明()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到()212120a x x a x x --+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =，证明当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，再证明，当)121a x x a ≤<<时不合题意，从而求得t 的最大值．【详解】（1）设x 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，∴()()0g x g x --≤，即()()g x g x -= ∴()y g x =为偶函数.（2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，即()()120f x f x -<，所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证.（3）若存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在1x ，(]20,x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a a x f x f x x x x -=-=，()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++-=-==---+--+-∴()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---≤-+-在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()212120a x x a x x ⇔--+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，当)121a x x a ≤<<时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+<--=⎣⎦，不合题意.综上所述，实数t 的最大值为)1a .【点睛】本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
上海市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题含解析
某某市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（含解析）一、填空题.1.已知2{|1}A x x=>，2{|log (1)1}B x x =-<，则A B =________. 【答案】{}|12x x <<【解析】【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【详解】集合A 中不等式，当0x >时，解得：2x <，此时02x <<，当0x <时，解得：2x >，无解，{|02}A x x ∴=<<，集合B 中不等式变形得：22log (1)1log 2x -<=，即012x <-<，解得：13x <<，即{|13}B x x =<<，则{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<．【点睛】本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.函数()3tan(2)f x x =-的最小正周期为_________. 【答案】π2 【解析】【分析】 首先化简()3tan(2)3tan 2f x x x =-=-.再根据公式T πω=即可求出最小正周期. 【详解】因为函数()3tan(2)3tan2f x x x =-=-.所以最小正周期为：π2T =.故答案为：π2. 【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.3.计算：13(2)lim 32n n n n n +→∞--=+_________. 【答案】13【解析】【分析】 将原数列极限变成112333lim 12133nn n →∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭，根据22lim lim 033n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可求出原数列极限的值. 【详解】1112103(2)13333lim lim 3210312133n n n n n n n n +→∞→∞⎛⎫-⋅-- ⎪--⎝⎭===++⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭. 故答案为：13. 【点睛】本题主要考查了求极限，解决此类问题关键是化简，属于基础题.4.直线l 的方程为10223012x y =-，则直线l 的一个法向量是________.【答案】(1,2)【解析】【分析】先将三阶行列式化简得出直线的一般式方程，再求出直线l 的一个法向量即可.【详解】由10223012x y =-得直线的一般式方程为：2470x y +-=，所以直线l 的一个法向量为(1,2).故答案为(1,2).【点睛】本题主要考查三阶行列式的运算和直线的法向量的问题，属中等难度题.5.若实数,,a b m 满足25a b m ==，且212a b +=，则实数m 值为__________. 【答案】【解析】【分析】现结合指数与对数的互化公式，表示出,a b ，再结合换底公式表示出212a b +=，最后结合对数运算即可求解【详解】由25a b m ==可得2511log ,log log 2,log 5m m a m b m a b ==⇒==，又212a b+=，即 2log 2log 5log 202m m m +==，求得m =故答案为：【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题6.设常数a ∈R ，命题“存在x ∈R ，使240x ax a +-≤”为假命题，则a 的取值X 围为_________.【答案】(16,0)-【解析】【分析】将条件转化为任意x ∈R ，240x ax a +->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值X 围.【详解】命题：“存在x ∈R ，使240x ax a +-≤”为假命题，即240x ax a +->恒成立，必须∆<0，即：2160a a +<，解得160a -<<，故实数a 的取值X 围为(16,0)-，故答案为：(16,0)-.【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.7.某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____. 【答案】12【解析】【分析】先求出基本事件总数34n A =，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数221322m C A A =，由此能求出其中甲、乙都抢到红包的概率．【详解】某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则基本事件总数34n A =，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数221322m C A A =，∴其中甲、乙都抢到红包的概率2213223432214322m p A A n C A ⨯⨯====⨯⨯．故答案为12. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.8.如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为_____. 【答案】6π 【解析】【详解】由()3cos 2y x ϕ=+得图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称知， 403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()832k k Z ππϕπ+=+∈， 即()832k k Z ππϕπ=-+∈.因此，ϕ的最小值为 ()min min ||266k ππϕπ=--=.故答案为6π 9.如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离是32，则B 、C 两点的球面距离是______．【答案】π【解析】试题分析：由已知，AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O'是AC 的中点．223232O'C (3)()2=-=2，∴BC=3，即BC=OB=OC ．∴∠BOC=3π，则B 、C 两点的球面距离=3π×3=π． 考点：球的几何特征，球面距离．点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系． 10.设(),P x y 是曲线2cos :{sin x C y θθ=-+=（θ为参数，02θπ≤<）上任意一点，则y x的取值X 围是________． 【答案】33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：曲线曲线2cos :{sin x C y θθ=-+=可化为22(2)1x y ++=，可得曲线表示以(2,0)C -为圆心，半径为1的圆，又(),P x y 是曲线上一点，则OP y k x=，即点,O P 两点连线的斜率，当P 的坐标为33(,)22-时，y x 有最小值为33-，当P 的坐标为33(,)22--时，y x 有最大值为3，所以y x 的取值X 围为33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：简单的线性规划的应用，圆的参数方程．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出圆的普通方程，利用y x的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的X 围，即可得到结论．11.已知()402401234123x a a x a x a x +=++++，若数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值为____.【答案】17【解析】【分析】先由展开式通项求得k a ，根据11k k k k a a a a -+≥⎧⎨≥⎩可得k a 最大，由此求得k 的最大值. 【详解】()402401234123x a a x a x a x +=++++， 展开式通项为()4040140403232k k k k k k k k T C x C x --+=⋅⋅=⋅⋅⋅，14114032k k k k a C ---∴=⋅⋅， 由于数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，11k k k k a a a a -+≥⎧∴⎨≥⎩，即141124224040141140404032323232k k k k k k k k k k k k C C C C ----------⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，解得828755k ≤≤， 因此，k 的最大值为17.故答案为：17.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．12.函数11y x=-的图象与函数2sin π([2,4],)y x x k k k =∈--+∈Z 的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k 的值是_________.【答案】1002或1003【解析】【分析】 由题意可得函数11y x=-的图象与函数2sin π(35)y x x =-≤≤的图象所有交点成对出现， 且每一对关于点(1,0)对称，结合所有横坐标之和等于2012即可得到k 的值. 【详解】解：函数11y x=-的图象关于点(1,0)对称，函数2sin π(24)y x k x k =--≤≤+的图象也关于点(1,0)对称，如图所示：故函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x k x k =--≤≤+的图象所有交点成对出现， 且每一对关于点(1,0)对称，因为他们的横坐标之和为2012，当1x >时，它们共有1006对交点，所以41006k +=或41007k +=，解得1002k =或1003.故答案为：1002或1003.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，属于中等题.二、选择题（共有4题）13.已知α：区间[,]a b 内恰含两个整数.则以下结论正确的是（ ）A. “1b a -≥”是α成立的充分条件B. “1b a -≥”是α成立的必要条件C. “2b a -≤”是α成立的充分条件D. “2b a -≤”是α成立的必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用排除法进行判断即可.【详解】当12a =，32b =，满足1b a -≥成立，但在区间13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内只有一个整数1，故充分性不成立，则A 错误，当12a =，32b =，满足2b a -≤成立，但在区间13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内只有一个整数1，故充分性不成立，则C 错误，若区间[,]a b 内恰含两个整数，则满足1b a -≥，故B 正确，当0a =，2b =时，满足2b a -≤成立，但在区间[0,2]内有3个整数0，1，2，故必要性不成立，则D 错误，故选：B.【点睛】本题主要充分条件和必要条件的定义，属于基础题.14. 在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β；②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β；③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．15.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的 整数的值之和是（ ）A. 13B. 18C. 21D. 26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示． 若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则 ()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩， 解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.16.已知点(4,0)B ，点P 在曲线28y x =上运动，点Q 在曲线22(2)1x y -+=上运动，则2||||PB PQ 的最小值为（ ）A. 35【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为F ，可知F 为抛物线28y x =的焦点，并且2||||PB PQ 最小时，PB 经过圆心F ，设(,)P x y ，则22222||(4)(4)816PB x y x x x =-+=-+=+，||213PQ x x =++=+，可得22||16||3PB x PQ x +=+，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】解：设圆心为F ，则F 为抛物线28y x =的焦点，该抛物线的准线方程为2x =-，设(,)P x y ，由抛物线的定义：||2PF x =+，要使2||||PB PQ 最小，则||PQ 需最大，如图||PQ 最大时，经过圆心F ，且圆F 的半径为1，∴||||13PQ PF x =+=+，且222||(4)16PB x y x =-+=+.∴22||16||3PB x PQ x +=+， 令3(3)x t t +=≥，则3x t =-，∴2||2564||PB t PQ t=+-≥，当5t =时取“=”，此时2x =.∴2||||PB PQ 的最小值为4. 故选：B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题. 三、解答题（满分76分）17.如图，三棱柱中111ABC A B C -，它的体积是153，底面△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，1B 在底面的射影是D ，且D 为BC 的中点.(1)求侧棱1BB 与底面ABC 所成角的大小； (2)求异面直线1B D 与1CA 所成角的大小. 【答案】()()1236ππ【解析】 【分析】()11B D ⊥面ABC ,1B BD ∠就是侧棱1BB 与底面ABC 所成的角θ,运用棱柱的体积公式和解直角三角形,即可得到所求值.()2取11B C 的中点E,连接EC , 1A E ，则1ECA ∠(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小,运用解直角三角形,计算即可得到所求值. 【详解】作图如下：()1依题意得,1B D ⊥面ABC ,1B BD ∠就是侧棱1BB 与底面ABC 所成的角θ,由111111431532ABC A B C ABC V S B D B D -∆=⋅=⨯⨯⨯=则1532B D =由D 为BC 中点,22435BC =+=，即有52BD =. 由15tan tan 2B D BD θθ==， 即有tan 3θ=, 所以3πθ=.即侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π. ()2取11B C 中点E ，连接1EC A E 、,则1ECA ∠(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小. 由1B D ⊥面ABC ,1B D CE ,面ABC面111A B C ,所以CE⊥面111A B C,故1CE A E⊥,1532tan532AEACEEC∠===,所以所求异面直线1B D与1CA所成角为6π.【点睛】本题考查空间角的求法.主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法;考查直线与平面的位置关系;属于中档题;线面角和异面直线所成角的求解步骤：()1作出所要求的角;()2证明所作的角即为所求的角（或其补角）；()3在三角形中，通过解三角形求角的大小或其角的三角函数值.18.四边形ABCD如图所示，已知2AB BC CD===，23AD=.（13cos cosA C-的值；（2）记ABD△与BCD的面积分别是1S与2S，求2212S S+的最大值.【答案】（13cos1A C-=（2）最大值为14【解析】【分析】（1）利用余弦定理，求出BD3cos cosA C-的值；（2）求出2212S S+的表达式，1cos31C-<<，即可求2212S S+的最大值.【详解】解：（1）在ABD △中，由余弦定理得222cos 2AB AD BD A BD AB AD+-=⇒=⋅在BCD 中，同理可得DB =，cos 1C A -==. （2）依题意2211212cos S A =-，22244cos S C =-， 所以2222221211212cos 44cos 8cos 8cos 128cos 142S S A C C C C ⎛⎫+=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，因为24BD <<，所以8cos (16C -∈-.解得1cos 1C -<<，所以221214S S +≤，当1cos 2C =-时取等号，即2212S S +的最大值为14.【点睛】本题主要考查了解三角形，解三角形是高考重点考查的内容，正确变形合理转化，把涉及到的量转化到一个三角形内求解，涉及求最值时可以适当地选取变量，把所求最值用变量表示，属于中等题.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过定点1,2E ⎛ ⎝⎭，其左右集点分别为1F ，2F 且12EF EF +=2F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圈交于P ，Q 两点.（1）求椭圆C 的方程：（2）若O 为坐标原点，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，m 的取值X 围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可求出a 的值，再把点E 的坐标代入椭圆方程，即可求出b 的值，从而得到椭圆C 的方程；（2）先设点P ，Q 的坐标以直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P ，Q 横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m 与k 的关系式，可求出m 的取值X 围.【详解】解：（1）∵点E在椭圆上，且12EF EF +=∴2a =，a =又∵定点1,2E ⎛ ⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=， ∴1b =，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）假设存在点(,0)M m 满足条件，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为：(1)y k x =-，联立方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∴21224k 12k x x +=+，21222212k x x k-=+，2880k =+>△， 又()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-，()2121,PQ x x y y =--， ∴()12122,MP MQ x x m y y +=+-+，由题意知.21211221(2)()(())()x x m x x MP MQ PQ y y y y =+--++-+⋅212112(2)()()0x x m x x y y =+--+=，∵12x x ≠，∴21122()0x x m k y y +-++=， 即()22112220x x m kx x +-++-=，则22222442201212k k m k k k ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭， ∴2012mk m=->，∴102m <<， 故存在点(,0)M m ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，m 的取值X 围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆，解决此类问题的关键是把直线代入椭圆利用韦达定理，转化成向量之间的关系，属于中等题. 20.对定义在[0，1]上的函数f （x ），如果同时满足以下三个条件： ①对任意x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0； ②f （1）=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立． 则称函数f （x ）为理想函数．（1）判断g （x ）=2x ﹣1（x ∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由； （2）若f （x ）为理想函数，求f （x ）的最小值和最大值；（3）若f （x ）为理想函数，假设存在x 0∈[0，1]满足f[f （x 0）]=x 0，求证：f （x 0）=x 0． 【答案】（1）是；（2）f （x ）取得最小值2，f （x ）取得最大值3；（3）见解析． 【解析】【详解】（1）①显然f （x ）=2x ﹣1在[0，1]上满足f （x ）≥0；②f （1）=1． 若x 1≥0，x 2≥0，且x 1+x 2≤1，则有f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0故f （x ）=2x ﹣1满足条件①②③，所以f （x ）=2x ﹣1为理想函数，（2）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1] ∴f （x 2）=f[（x 2﹣x 1）+x 1]≥f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣2 ∴f （x 2）﹣f （x 1）≥f （x 2﹣x 1）﹣2≥0，∴f （x 1）≤f （x 2），则当0≤x ≤1时，f （0）≤f （x ）≤f （1）， 在③中，令x 1=x 2=0，得f （0）≤2，由②得f （0）≥2， ∴f （0）=2，当x=1时，f （1）=3， ∴当x=0时，f （x ）取得最小值2， 当x=1时，f （x ）取得最大值3，（3）由条件③知，任给m 、n ∈[0，1]，当m ＜n 时，由m ＜n 知n ﹣m ∈[0，1]， ∴f （n ）=f （n ﹣m+m ）≥f （n ﹣m ）+f （m ）≥f （m ）． 若f （x 0）＞x 0，则f （x 0）≤f[f （x 0）]=x 0，前后矛盾； 若：f （x 0）＜x 0，则f （x 0）≥f[f （x 0）]=x 0，前后矛盾． 故f （x 0）=x 0．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-，*n ∈N .（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，某某数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）9-；（III ）3C 为指数型和. 【解析】【分析】（I ）通过计算证明证得12n nb b +=，来证得数列{}n b 是等比数列. （II ）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由1n n a a +≥，10n n a a +-≥，求得a 的最小值.（III ）先求得{}n C 的通项公式，对p 分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”.【详解】（I ）13n n n a S +=+，*11323,n n n n n n n S S S S S n N ++-=+⇒=+∈.由于3nn n b S =-，当3a ≠时，11113233233n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-===--，所以数列{}n b 是等比数列.1133b S a =-=-，()132n n b a -=-⨯.（II ）由（I ）得()1332nn n n b S a -=-=-⨯，()1332n n n S a -=+-⨯()12*12332,2,n n n n n a S S a n n N ---=-=⨯+-⨯≥∈，所以()12,12332,2n n n a n a a n --=⎧=⎨⨯+-⨯≥⎩.因为1n n a a +≥，213a a a a =+>=.当2n ≥时， ()122332n n n a a --=⨯+-⨯，()112332n n n a a -+=⨯+-⨯，而1n n a a +≥，所以10n n a a +-≥，即()()12123322332n n n n a a ---⎡⎤⨯+-⨯-⨯+-⨯⎣⎦()1243320n n a --=⨯+-⨯≥，化简得11243338322n n n a ----⨯⎛⎫≥+=-⨯+ ⎪⎝⎭，由于当2n ≥时，13832n -⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭单调递减，最大值为2138312392-⎛⎫-⨯+=-+=- ⎪⎝⎭，所以9a ≥-，又3a ≠，所以a 的最小值为9-.（III ）由（I ）当4a =时，12n nb -=，当2n ≥时，()1212324232112n n n n C +⨯-=++++=+=+-.13C =也符合上式，所以对正整数n 都有21n n C =+.由21,12p n p n t t =+-=，（*,t p N ∈且1,1t p >>），t 只能是不小于3的奇数.①当p 为偶数时，221112p ppnt t t ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于21p t +和21p t -都是大于1的正整数，所以存在正整数,g h ，使得2212,12p pg h t t +=-=，()222,2212ghhg h--=-=，所以22h =，且2121,2g hh g --=⇒==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”；② 当p 为奇数时，()()21111pp t t t t t --=-++++，由于211p t t t -++++是p 个奇数之和，仍为奇数，又1t -为正偶数，所以()()21112p n t t t t --++++=不成立，此时没“指数型和”.综上所述，{}n C 中的项存在“指数型和”，为3C .【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查根据数列的单调性求参数的取值X 围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
2020届上海市建平中学高三下学期7月摸底数学试题(解析版)
2020届上海市建平中学高三下学期7月摸底数学试题一、单选题1．已知锐角ABC 的面积为3AC =，4BC =，则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．5π C ．4π D ．3π 【答案】D【解析】本题先建立方程143sin 2C =⨯⨯，再求sin C ，最后求角C 的大小即可. 【详解】解：因为锐角ABC 的面积为3b AC ==，4a BC ==，所以1sin 2ABCSab C =，即143sin 2C =⨯⨯，解得：sin 2C =， 由因为角C 是锐角，所以3C π∠=故选：D. 【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，是基础题.2．1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（ ） A ．如果1//l α，//2l α，则一定有12l l // B ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥ C ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1//l α D ．如果1l α⊥，//2l α，则一定有12l l ⊥ 【答案】D【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】若1//l α，//2l α,则1l 与2l 可能平行、相交或异面,故A 错误； 如果12l l ⊥,2l α⊥,则有1//l α或1l α⊂,故B 、C 错误； 如果1l α⊥,则1l 垂直α内的所有直线,又//2l α,则过2l与α相交的平面交α于a ,则2//l a ,∴12l l ⊥,故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题考查空间线面平行垂直关系,熟练掌握有关定理是解题的关键,属于基本题. 3．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是（ ）． A ．A B > B ．A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定 【答案】A【解析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出A B 、的表达式，利用不等式的性质求解即可. 【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为,x y (单位为：元)，则有28,2,34522x y x A y B x y +>⎧==⎨+<⎩. 所以有,23A B x y ==，因此8(1)35222(2)3B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩. (1)5(2)(1)⨯+⨯-可得：6A >；(1)2(2)(1)⨯+⨯-可得：6B <，因此A B >.故选：A 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.4．已知函数()()1xf x x D x=∈-，有下列四个结论： ①对任意x D ∈，()()0f x f x -+=恒成立；②对任意()0,1m ∈，方程()f x m =有两个不相等的实数根；③存在函数()g x 使得()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称；④对任意()1,k ∈+∞，函数()()g x f x kx =-在D 上有三个零点. 则上述结论中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①根据解析式计算()()0f x f x -+=；②画出函数()y f x =的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数()g x 满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据()0f x kx -=，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数. 【详解】①函数的定义域是{}1x x ≠±，()()011x xf x f x x x--+=+=---，故①正确；②(),11,0111,101,11xx x x x xx y f x xx x x x x x ⎧>⎪-⎪⎪<<⎪-===⎨--⎪-<<⎪+⎪-⎪<-+⎩，函数的图象如图所示：y m =与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数()g x 上的任一点为(),P x y 关于y x =的对称点为(),y x 在函数()f x 上， 则1y x y =-，当0y >时，1xy x =+，当0y ≤时，1x y x =-，当2x =时，23y =或2y =-，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数()g x 使得()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称，故③不正确；④01xkx x-=-， 当0x =时，满足方程，所以方程的一个实数根是0x =， 当0x ≠时，11k x =- ，11x k =-，当1k >时，110k ->，11x k ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭， 所以满足方程()()0g x f x kx =-=的有三个实数根据0，11k ⎛⎫±- ⎪⎝⎭，所以函数有3个零点，故④正确. 故正确的个数有3个. 故选：C 【点睛】本题考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型.二、填空题 5．行列式2002=______.【答案】4【解析】根据行列式的计算法则a bad bc c d=-，计算求值即可； 【详解】根据行列式计算的对角线法则，知：20220402=⨯-=；故答案为：4 【点睛】本题考查了行列式的计算，应用行列式的对角线法则计算求值，属于简单题； 6．已知集合{}420A x x =-≤≤，{}5B x x =≥，则A B =______.【答案】[]5,20 【解析】直接求A B 即可.【详解】因为{}420A x x =-≤≤，{}5B x x =≥， 所以{|520}AB x x =≤≤．故答案为：[]5,20 【点睛】本题考查集合的交集运算，是简单题. 7．不等式311x x +>+的解集为______. 【答案】()1,-+∞ 【解析】本题先将不等式311x x +>+转化为10x +>，最后再求不等式的解集即可. 【详解】解：因为311x x +>+⇔31011x x x x ++->++⇔201x >+⇔10x +>1x ⇔>-， 所以不等式311x x +>+的解集为()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞ 【点睛】本题考查求分式不等式的解集，是基础题.8．从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______. 【答案】225【解析】先根据题意建立方程，再求解即可. 【详解】解：设高三学生的总人数为x 人，有题意：8010080900x-=， 解得：225x =，所以高三学生的总人数为225人. 故答案为：225. 【点睛】本题考查分层抽样，是基础题.9．若函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则实数a =______. 【答案】1【解析】由题意可得()21f =，由此可求得实数a 的值.【详解】由于函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则()()32log 21f a =+=，解得1a =.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用反函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题.10．已知空间向量(),a x y =-，(),b y x =-，则a 与b 的夹角为______. 【答案】2π 【解析】计算出0a b ⋅=，由此可得出a 与b 的夹角. 【详解】由已知条件可得20a b xy xy xy ⋅=--+=，a b ∴⊥，因此，a 与b 的夹角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查利用空间向量的数量积求空间向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 11．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，渐近线方程为2y x =±，若点()4,2在C 上，则双曲线C 的焦距为______.【答案】【解析】分别讨论双曲线C 的焦点在x 轴上，双曲线C 的焦点在y 轴上，设出双曲线方程，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果. 【详解】若双曲线C 的焦点在x 轴上， 设双曲线C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，因为渐近线方程为2y x =±，点()4,2在C 上，所以221641b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，因此c =则双曲线C的焦距为2c =若双曲线C 的焦点在y 轴上， 设双曲线C 的方程为()222210,0y xa b a b-=>>，因为渐近线方程为22y x =±，点()4,2在C 上， 所以22224161a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解，故双曲线C 的焦点不在y 轴上； 综上243c =. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 12．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______. 【答案】221+【解析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可． 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-表示复数z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221．本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 13．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为______.【答案】38【解析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足“这个数能被3整除”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，包含的基本事件个数为4216=； 这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，1155，1515，1551，共6个， 则这个数能被3整除的概率为63168P ==. 故答案为：38.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.14．已知x C ∈，且510x -=，则4321=x x x x+++_____．【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=，当1x =时,43214x x x x+++=,当43210x x x x ++++=时，432432111x x x x x x x xx x+++++++-==-，故43214x x x x+++=，或-1故答案为4或-1． 【点睛】本题考查1的五次方根,化简,求值,考查计算能力,属于中档题.15．已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______. 【答案】3【解析】先得到12=2AP AC λλ+和212AQ AB λλ=+，最后表示出APQS 并转化求值即可. 【详解】解：因为()120PA PC λ-+=，所以2PA PC PC λ-=，即12PC CA λ= 因为()120PA PC λ-+=，所以()12AP PC λ=-+所以()1212PC CA AP PCλλ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，所以()11212=22AP CA AC λλλλ+=-+⋅， 因为QA QB QC BC λλλ++=，所以2AQ QB λ=，所以212AQ AB λλ=+，12=2AP AC λλ+，212AQ AB λλ=+ 因为ABC 的面积为3，所以1sin 32ABC S AB AC A =⋅⋅=，111221sin ()()sin sin 3222122APQSAP AQ A AC AB A AB AC A λλλλ+=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=+，所以APQ 的面积是3 故答案为：3 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，是中档题.三、解答题16．存在实数α∈R 使得m ≥，则实数m 的取值范围为______.【答案】⎛-∞ ⎝⎦【解析】首先利用三角函数化简已知，转化为()f α=几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求m 的取值范围. 【详解】==，设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-， 如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且点B 在,P Q 之间时等号成立， 又()2211702022QB ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，故()f α的最大值为172，因为存在实数α∈R 使得2222112cos sin cos sin 22m αααα⎛⎫⎛⎫++-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2222max112cos sin cos sin 22m αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即172m ≤故答案为：17,⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦【点睛】本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，属于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值. 17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，5BC =，14AA =，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且112A E D F ==，5AH DG ==．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（1）111179AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=；（2）515【解析】（1）由题意,平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM EH ⊥,垂足为M ,证明HG AM ⊥,推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出,AM AF 的值．设直线AF 与平面α所成角为θ,求解即可． 解法二：建立空间直角坐标系,求出平面α一个法向量,设直线AF 与平面α所成角为θ,通过空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,()111111(25)457022AA EH DD FG V A E AH A A AD -=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=,()111111(36)459022BHEB CGFC V BH B E B B BC -=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=,所以，111179AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=．（2）解法一：作AM EH ⊥,足为M ,题意，HG ⊥平面11ABB A ，故HG AM ⊥，所以AM ⊥平面EFGH ,因为114AA EH S =梯形,14AA E S =△，所以10AEH S =△，因为5EH =，所以4AM =．又222111135AF AA A D D F =++=，设直线AF 与平面α所成角为θ,则45sin AM AF θ==所以,直线AF 与平面α45． 解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则()5,0,0A ,()5,5,0H ,()5,2,4E ,()0,2,4F ,故(5,0,0)FE=,(0,3,4)HE=-,设平面α一个法向量为(,,)n x y z=,则n FEn HE⎧⋅=⎨⋅=⎩即50340xy z=⎧⎨-+=⎩,所以可取(0,4,3)n=．设直线AF与平面α所成角为θ,则||45sin15||||n AFn AFθ⋅==．所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为4515．【点睛】本题考查几何体的体积,空间角的计算,对于空间角计算通常有两种方法：①几何法,作出所求角,然后计算,作、证、算三步缺一不可;②空间向量法,建立空间直角坐标系,求出线段的方向向量坐标,面的法向量坐标,即可求出角.18．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x，当()0,1∈x时，()241xxf x=+.（1）当()0,1∈x时，解方程()25f x=；（2）求()f x在区间1,0上的解析式.【答案】（1）∅；（2）0,0()2,1041xxxf xx=⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩.【解析】（1）由题意有22415xx=+，解方程即可求得解集，且保证()0,1∈x即可；（2）利用奇函数的性质：()()f x f x-=-且在0x=处有定义时()00=f，即可求()f x在区间1,0上的解析式；【详解】（1）222122522024152xx x xx=⇒⋅-⋅+=⇒=+或221x x=⇒=-（舍）或1x=（舍）；故当()0,1∈x时，方程()25f x=无解，即解集为∅.（2）由题意知：()00=f；当()1,0x∈-时，()()224141x xx xf x f x---=--=-=++综上所述，0,0()2,1041xxxf xx=⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩.【点睛】本题考查了含指数元方程的解法：换元法转化为一元二次方程求解，利用函数的奇偶性求函数解析式，属于简单题；19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知18AB=米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为θ.（1）若3πθ=，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【答案】（1）机器人乙按与AB的夹角为13的角度释放才能挑战成功；（2）宽AD至少为6米.【解析】（1）由题意可知2=AQ EQ ，设EQ x =，则2=AQ x ，利用余弦定理可求得x 的值，进而利用余弦定理可求得cos α的值，由此可求得结果； （2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，利用余弦定理以及诱导公式可求得9cos 62x x θ=-，可计算出sin x θ=sin x θ的最大值，可得出()max sin AD x θ≥，进而可得出结论. 【详解】（1）由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2=AQ EQ ，设EQ x =，QAB α∠=，易知()3,9x ∈，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得()()2229221cos cos 3292x x x πθπ+--===-⨯⨯，整理得23270x x --=，解得32x +=. ()222929cos 292124x x x x x αα+-==+=⇒=⨯⨯，答：机器人乙按与AB 的夹角为的角度释放才能挑战成功； （2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，易知()3,9x ∈，由余弦定理可得()()222929cos 2926x x x x x πθ+--==-⨯⨯，9cos 62x x θ∴=-，sin x θ===由题意得sin AD x θ≥对任意()3,9x ∈恒成立，故()max sin 6AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD的宽AD至少为6米时，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.【点睛】本题考查解三角形的综合应用，考查余弦定理、反三角以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.20．设椭圆M:22221(0)x ya ba b+=>>的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点11,22P⎛⎫-⎪⎝⎭，且AP PO⊥．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为12,k k的直线交椭圆M于,D E两点，且121k k=，求证：直线DE恒过一个定点．【答案】（1）22113yx+=（2314（3）(2,0)-【解析】试题分析：根据AP PO ⊥，利用斜率关系求出a ，再利用椭圆过点P ，求出b ，写出椭圆方程；AP 为定直线，要想APQ ∆面积最大，只需点Q 到AP 的距离最大.写出AP 所在直线方程，巧设点Q ，求出点Q 到直线AP 的距离的最大值，问题得到解决；写出AD 所在直线方程后联立方程组，利用根与系数关系，有1A x =-，写出点D 的坐标，同理写出点E 的坐标，根据211k k =，减元化简DE k ，利用点斜式写出DE 所在直线方程，令0y =，求出2x =-，说明直线过定点(2,0)-，直线过定点问题是高考常见题型，要掌握解题方法和技巧.试题解析：（1）由AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(),0,a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =，因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113y x +=． （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=，由于Q 是椭圆M上的点，故可设cos Q θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以122APQ S ∆=⨯16πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当()2Z 6k k πθπ+=∈，即()2Z 6k k πθπ=-∈时，APQ S ∆取最大值．故APQ S ∆1+4． 法二：由图形可知，若APQ S ∆取得最大值，则椭圆在点Q 处的切线l 必平行于AP ，且在直线AP 的下方． 设l 方程为(0)y x t t =+<，代入椭圆M 方程可得2246310x tx t ++-=，由0∆=，可得t =，又0t <，故t =． 所以APQ S ∆的最大值11+2264=⋅=． （3）直线AD 方程为()11y k x =+，代入2231x y +=，可得()2222111316310k x k x k +++-=，21213131A D k x x k -⋅=+，又1A x =-，故21211313D k x k -=+，2111221113211313D k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，同理可得22221313E k x k -=+，222213E k y k =+，又121k k =且12k k ≠，可得211k k =且11k ≠±， 所以212133E k x k -=+，12123E k y k =+，()1122111222111221122313231331313E D DEE D k k y y k k k k k k x x k k k --++===---+-++， 直线DE 的方程为()21112221112213131331k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭，令0y =，可得()22112211311321313k k x k k +-=-=-++． 故直线DE 过定点()2,0-． （法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2231x y +=，可得()2223210t y tsy s +++-=，可得22221,33D E D E ts s y y y y t t --+=⋅=++， 又()()1211111D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得()()()()221110D E D E t y y t s y y s -+++++=，故()()()2222212111033s ts t t s s t t ---++++=++，可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-． 所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点()2,0-．【点睛】先根据题意列方程组求出,a b 写出椭圆的标准方程；最值问题首先表示三角形的面积，写出直线AP 的方程，由于点Q 是椭圆M 上的点，所以巧设点Q 的坐标，借助点到直线距离公式表示三角形的高，从而表示出三角形的面积，然后求最值；第三步为直线过定点问题，把A 所在直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系找出D E 、 坐标，写出DE 所在直线方程，证明其过定点.21．已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，()*2121n n a a n n N +=++∈.（1）求5a 和7a 的值； （2）设()*212n n na b n N -=∈，nS 为数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，求2020S ； （3）设定义在*N 上的函数()818283843n n n n f n a a a a ++++=++-，求()252f 的值，并求出函数()f n 的值域.【答案】（1）55a =，78a =；（2）80802021；（3）()2521009f =，{}*41,y y n n N =+∈. 【解析】（1）根据递推关系直接求5a 、7a 即可；（2）先判断数列{}n b 是以0为首项，12为公差的等差数列，从而求出n b ，再将121n n b b ++化简1141n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，最后求2020S 即可； （3）先求出()41f n n =+，再求()2521009f =和函数()f n 的值域. 【详解】解：（1）()5211232213455a a a a =+=++=+=()7311242224488a a a a =+=++=+=.（2）1212121111221122222n n n nn n n n na a ab b +---++++===+=+ 故数列{}n b 是以121111022a ab -===为首项，12为公差的等差数列()()()**12114114211n n n n b n N n N b b n n n n ++-⎛⎫=∈⇒==-∈ ⎪++⎝⎭故2020111111180804...4112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）()()()8142241443847n n n n a a n a n a n +=++=++=++()()8241221443847n n n n a a a n a n ++=+=++=++ ()()()83412242484888n n n n a a n a n a n ++=++=++=++ ()8442212143847n n n n a a a a n +++=+=+=++()()()818283843884741n n n n f n a a a a n n n ++++=++-=+-+=+故()2521009f =，函数()f n 的值域为{}*41,y y n n N =+∈.【点睛】本题考查数列与函数的关系、判断数列是等差数列、利用递推关系求指定项、裂项相消法求n 前项和，是中档题.。
2020届上海市建平中学高三下学期7月摸底数学试题(解析版)
2020届上海市建平中学高三下学期7月摸底数学试题一、单选题1．已知锐角ABC 的面积为3AC =，4BC =，则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．5π C ．4π D ．3π 【答案】D【解析】本题先建立方程143sin 2C =⨯⨯，再求sin C ，最后求角C 的大小即可. 【详解】解：因为锐角ABC 的面积为3b AC ==，4a BC ==，所以1sin 2ABCSab C =，即143sin 2C =⨯⨯，解得：sin 2C =， 由因为角C 是锐角，所以3C π∠=故选：D. 【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，是基础题.2．1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（ ） A ．如果1//l α，//2l α，则一定有12l l // B ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥ C ．如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1//l α D ．如果1l α⊥，//2l α，则一定有12l l ⊥ 【答案】D【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】若1//l α，//2l α,则1l 与2l 可能平行、相交或异面,故A 错误； 如果12l l ⊥,2l α⊥,则有1//l α或1l α⊂,故B 、C 错误； 如果1l α⊥,则1l 垂直α内的所有直线,又//2l α,则过2l与α相交的平面交α于a ,则2//l a ,∴12l l ⊥,故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题考查空间线面平行垂直关系,熟练掌握有关定理是解题的关键,属于基本题. 3．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是（ ）． A ．A B > B ．A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定 【答案】A【解析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出A B 、的表达式，利用不等式的性质求解即可. 【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为,x y (单位为：元)，则有28,2,34522x y x A y B x y +>⎧==⎨+<⎩. 所以有,23A B x y ==，因此8(1)35222(2)3B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩. (1)5(2)(1)⨯+⨯-可得：6A >；(1)2(2)(1)⨯+⨯-可得：6B <，因此A B >.故选：A 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.4．已知函数()()1xf x x D x=∈-，有下列四个结论： ①对任意x D ∈，()()0f x f x -+=恒成立；②对任意()0,1m ∈，方程()f x m =有两个不相等的实数根；③存在函数()g x 使得()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称；④对任意()1,k ∈+∞，函数()()g x f x kx =-在D 上有三个零点. 则上述结论中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①根据解析式计算()()0f x f x -+=；②画出函数()y f x =的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数()g x 满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据()0f x kx -=，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数. 【详解】①函数的定义域是{}1x x ≠±，()()011x xf x f x x x--+=+=---，故①正确；②(),11,0111,101,11xx x x x xx y f x xx x x x x x ⎧>⎪-⎪⎪<<⎪-===⎨--⎪-<<⎪+⎪-⎪<-+⎩，函数的图象如图所示：y m =与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数()g x 上的任一点为(),P x y 关于y x =的对称点为(),y x 在函数()f x 上， 则1y x y =-，当0y >时，1xy x =+，当0y ≤时，1x y x =-，当2x =时，23y =或2y =-，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数()g x 使得()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称，故③不正确；④01xkx x-=-， 当0x =时，满足方程，所以方程的一个实数根是0x =， 当0x ≠时，11k x =- ，11x k =-，当1k >时，110k ->，11x k ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭， 所以满足方程()()0g x f x kx =-=的有三个实数根据0，11k ⎛⎫±- ⎪⎝⎭，所以函数有3个零点，故④正确. 故正确的个数有3个. 故选：C 【点睛】本题考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型.二、填空题 5．行列式2002=______.【答案】4【解析】根据行列式的计算法则a bad bc c d=-，计算求值即可； 【详解】根据行列式计算的对角线法则，知：20220402=⨯-=；故答案为：4 【点睛】本题考查了行列式的计算，应用行列式的对角线法则计算求值，属于简单题； 6．已知集合{}420A x x =-≤≤，{}5B x x =≥，则A B =______.【答案】[]5,20 【解析】直接求A B 即可.【详解】因为{}420A x x =-≤≤，{}5B x x =≥， 所以{|520}AB x x =≤≤．故答案为：[]5,20 【点睛】本题考查集合的交集运算，是简单题. 7．不等式311x x +>+的解集为______. 【答案】()1,-+∞ 【解析】本题先将不等式311x x +>+转化为10x +>，最后再求不等式的解集即可. 【详解】解：因为311x x +>+⇔31011x x x x ++->++⇔201x >+⇔10x +>1x ⇔>-， 所以不等式311x x +>+的解集为()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞ 【点睛】本题考查求分式不等式的解集，是基础题.8．从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______. 【答案】225【解析】先根据题意建立方程，再求解即可. 【详解】解：设高三学生的总人数为x 人，有题意：8010080900x-=， 解得：225x =，所以高三学生的总人数为225人. 故答案为：225. 【点睛】本题考查分层抽样，是基础题.9．若函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则实数a =______. 【答案】1【解析】由题意可得()21f =，由此可求得实数a 的值.【详解】由于函数()()3log f x x a =+的反函数的图象经过点()1,2，则()()32log 21f a =+=，解得1a =.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用反函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题.10．已知空间向量(),a x y =-，(),b y x =-，则a 与b 的夹角为______. 【答案】2π 【解析】计算出0a b ⋅=，由此可得出a 与b 的夹角. 【详解】由已知条件可得20a b xy xy xy ⋅=--+=，a b ∴⊥，因此，a 与b 的夹角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查利用空间向量的数量积求空间向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 11．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，渐近线方程为2y x =±，若点()4,2在C 上，则双曲线C 的焦距为______.【答案】【解析】分别讨论双曲线C 的焦点在x 轴上，双曲线C 的焦点在y 轴上，设出双曲线方程，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果. 【详解】若双曲线C 的焦点在x 轴上， 设双曲线C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，因为渐近线方程为2y x =±，点()4,2在C 上，所以221641b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，因此c =则双曲线C的焦距为2c =若双曲线C 的焦点在y 轴上， 设双曲线C 的方程为()222210,0y xa b a b-=>>，因为渐近线方程为22y x =±，点()4,2在C 上， 所以22224161a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解，故双曲线C 的焦点不在y 轴上； 综上243c =. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 12．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______. 【答案】221+【解析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可． 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-表示复数z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221．本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 13．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为______.【答案】38【解析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足“这个数能被3整除”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，包含的基本事件个数为4216=； 这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，1155，1515，1551，共6个， 则这个数能被3整除的概率为63168P ==. 故答案为：38.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.14．已知x C ∈，且510x -=，则4321=x x x x+++_____．【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=，当1x =时,43214x x x x+++=,当43210x x x x ++++=时，432432111x x x x x x x xx x+++++++-==-，故43214x x x x+++=，或-1故答案为4或-1． 【点睛】本题考查1的五次方根,化简,求值,考查计算能力,属于中档题.15．已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______. 【答案】3【解析】先得到12=2AP AC λλ+和212AQ AB λλ=+，最后表示出APQS 并转化求值即可. 【详解】解：因为()120PA PC λ-+=，所以2PA PC PC λ-=，即12PC CA λ= 因为()120PA PC λ-+=，所以()12AP PC λ=-+所以()1212PC CA AP PCλλ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，所以()11212=22AP CA AC λλλλ+=-+⋅， 因为QA QB QC BC λλλ++=，所以2AQ QB λ=，所以212AQ AB λλ=+，12=2AP AC λλ+，212AQ AB λλ=+ 因为ABC 的面积为3，所以1sin 32ABC S AB AC A =⋅⋅=，111221sin ()()sin sin 3222122APQSAP AQ A AC AB A AB AC A λλλλ+=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=+，所以APQ 的面积是3 故答案为：3 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，三角形的面积公式，是中档题.三、解答题16．存在实数α∈R 使得m ≥，则实数m 的取值范围为______.【答案】⎛-∞ ⎝⎦【解析】首先利用三角函数化简已知，转化为()f α=几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求m 的取值范围. 【详解】==，设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f PQ PB α==-， 如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且点B 在,P Q之间时等号成立， 又()2211702022QB ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，故()f α的最大值为172，因为存在实数α∈R 使得2222112cos sin cos sin 22m αααα⎛⎫⎛⎫++-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2222max112cos sin cos sin 22m αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪≤++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即172m ≤故答案为：17,⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦【点睛】本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，属于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值. 17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，5BC =，14AA =，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且112A E D F ==，5AH DG ==．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【答案】（1）111179AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=；（2）515【解析】（1）由题意,平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM EH ⊥,垂足为M ,证明HG AM ⊥,推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出,AM AF 的值．设直线AF 与平面α所成角为θ,求解即可． 解法二：建立空间直角坐标系,求出平面α一个法向量,设直线AF 与平面α所成角为θ,通过空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,()111111(25)457022AA EH DD FG V A E AH A A AD -=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=,()111111(36)459022BHEB CGFC V BH B E B B BC -=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=,所以，111179AA EH DD FG BHEB CGFC V V --=．（2）解法一：作AM EH ⊥,足为M ,题意，HG ⊥平面11ABB A ，故HG AM ⊥，所以AM ⊥平面EFGH ,因为114AA EH S =梯形,14AA E S =△，所以10AEH S =△，因为5EH =，所以4AM =．又222111135AF AA A D D F =++=，设直线AF 与平面α所成角为θ,则45sin AM AF θ==所以,直线AF 与平面α45． 解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则()5,0,0A ,()5,5,0H ,()5,2,4E ,()0,2,4F ,故(5,0,0)FE =,(0,3,4)HE =-,设平面α一个法向量为(,,)n x y z =,则00n FE n HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即50340x y z =⎧⎨-+=⎩,所以可取(0,4,3)n =．设直线AF 与平面α所成角为θ, 则||45sin 15||||n AF n AF θ⋅==．所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515．【点睛】本题考查几何体的体积,空间角的计算,对于空间角计算通常有两种方法：①几何法,作出所求角,然后计算,作、证、算三步缺一不可;②空间向量法,建立空间直角坐标系,求出线段的方向向量坐标,面的法向量坐标,即可求出角.18．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ，当()0,1∈x 时，()241xx f x =+.（1）当()0,1∈x 时，解方程()25f x =； （2）求()f x 在区间1,0上的解析式.【答案】（1）∅；（2）0,0()2,1041xx x f x x =⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩. 【解析】（1）由题意有22415x x =+，解方程即可求得解集，且保证()0,1∈x 即可；（2）利用奇函数的性质：()()f x f x -=-且在0x =处有定义时()00=f ，即可求()f x 在区间1,0上的解析式；【详解】（1）222122522024152x x x x x =⇒⋅-⋅+=⇒=+或221x x =⇒=-（舍）或1x =（舍）；故当()0,1∈x 时，方程()25f x =无解，即解集为∅. （2）由题意知： ()00=f ；当()1,0x ∈-时，()()224141x xx xf x f x ---=--=-=++ 综上所述，0,0()2,1041xx x f x x =⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩. 【点睛】本题考查了含指数元方程的解法：换元法转化为一元二次方程求解，利用函数的奇偶性求函数解析式，属于简单题；19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲.若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知18AB =米，E 为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ.（1）若3πθ=，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲？ 【答案】（1）机器人乙按与AB 的夹角为13的角度释放才能挑战成功；（2）宽AD 至少为6米.【解析】（1）由题意可知2=AQ EQ ，设EQ x =，则2=AQ x ，利用余弦定理可求得x 的值，进而利用余弦定理可求得cos α的值，由此可求得结果； （2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，利用余弦定理以及诱导公式可求得9cos 62x x θ=-，可计算出sin x θ=sin x θ的最大值，可得出()max sin AD x θ≥，进而可得出结论. 【详解】（1）由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2=AQ EQ ，设EQ x =，QAB α∠=，易知()3,9x ∈，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得()()2229221cos cos 3292x x x πθπ+--===-⨯⨯，整理得23270x x --=，解得32x +=. ()222929cos 292124x x x x x αα+-==+=⇒=⨯⨯，答：机器人乙按与AB 的夹角为的角度释放才能挑战成功； （2）设EQ x =，则22AQ EQ x ==，易知()3,9x ∈，由余弦定理可得()()222929cos 2926x x x x x πθ+--==-⨯⨯，9cos 62x x θ∴=-，sin x θ===由题意得sin AD x θ≥对任意()3,9x ∈恒成立，故()max sin 6AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为6米时，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲. 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，考查余弦定理、反三角以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.20．设椭圆M :22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点11,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且AP PO ⊥． （1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．【答案】（1）22113y x +=（2314（3）(2,0)-【解析】试题分析：根据AP PO ⊥，利用斜率关系求出a ，再利用椭圆过点P ，求出b ，写出椭圆方程；AP 为定直线，要想APQ ∆面积最大，只需点Q 到AP 的距离最大.写出AP 所在直线方程，巧设点Q ，求出点Q 到直线AP 的距离的最大值，问题得到解决；写出AD 所在直线方程后联立方程组，利用根与系数关系，有1A x =-，写出点D 的坐标，同理写出点E 的坐标，根据211k k =，减元化简DE k ，利用点斜式写出DE 所在直线方程，令0y =，求出2x =-，说明直线过定点(2,0)-，直线过定点问题是高考常见题型，要掌握解题方法和技巧.试题解析：（1）由AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(),0,a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =，因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113y x +=． （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=，由于Q 是椭圆M上的点，故可设cos Q θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以122APQ S ∆=⨯16πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当()2Z 6k k πθπ+=∈，即()2Z 6k k πθπ=-∈时，APQ S ∆取最大值．故APQ S ∆1+4． 法二：由图形可知，若APQ S ∆取得最大值，则椭圆在点Q 处的切线l 必平行于AP ，且在直线AP 的下方． 设l 方程为(0)y x t t =+<，代入椭圆M 方程可得2246310x tx t ++-=，由0∆=，可得t =，又0t <，故t =． 所以APQ S ∆的最大值11+2264=⋅=． （3）直线AD 方程为()11y k x =+，代入2231x y +=，可得()2222111316310k x k x k +++-=，21213131A D k x x k -⋅=+，又1A x =-，故21211313D k x k -=+，2111221113211313D k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，同理可得22221313E k x k -=+，222213E k y k =+，又121k k =且12k k ≠，可得211k k =且11k ≠±， 所以212133E k x k -=+，12123E k y k =+，()1122111222111221122313231331313E D DEE D k k y y k k k k k k x x k k k --++===---+-++， 直线DE 的方程为()21112221112213131331k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭，令0y =，可得()22112211311321313k k x k k +-=-=-++． 故直线DE 过定点()2,0-． （法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2231x y +=，可得()2223210t y tsy s +++-=，可得22221,33D E D E ts s y y y y t t --+=⋅=++， 又()()1211111D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得()()()()221110D E D E t y y t s y y s -+++++=，故()()()2222212111033s ts t t s s t t ---++++=++，可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-． 所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点()2,0-．【点睛】先根据题意列方程组求出,a b 写出椭圆的标准方程；最值问题首先表示三角形的面积，写出直线AP 的方程，由于点Q 是椭圆M 上的点，所以巧设点Q 的坐标，借助点到直线距离公式表示三角形的高，从而表示出三角形的面积，然后求最值；第三步为直线过定点问题，把A 所在直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系找出D E 、 坐标，写出DE 所在直线方程，证明其过定点.21．已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，()*2121n n a a n n N +=++∈.（1）求5a 和7a 的值； （2）设()*212n n na b n N -=∈，nS 为数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，求2020S ； （3）设定义在*N 上的函数()818283843n n n n f n a a a a ++++=++-，求()252f 的值，并求出函数()f n 的值域.【答案】（1）55a =，78a =；（2）80802021；（3）()2521009f =，{}*41,y y n n N =+∈. 【解析】（1）根据递推关系直接求5a 、7a 即可；（2）先判断数列{}n b 是以0为首项，12为公差的等差数列，从而求出n b ，再将121n n b b ++化简1141n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，最后求2020S 即可； （3）先求出()41f n n =+，再求()2521009f =和函数()f n 的值域. 【详解】解：（1）()5211232213455a a a a =+=++=+=()7311242224488a a a a =+=++=+=.（2）1212121111221122222n n n nn n n n na a ab b +---++++===+=+ 故数列{}n b 是以121111022a ab -===为首项，12为公差的等差数列()()()**12114114211n n n n b n N n N b b n n n n ++-⎛⎫=∈⇒==-∈ ⎪++⎝⎭故2020111111180804...4112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）()()()8142241443847n n n n a a n a n a n +=++=++=++()()8241221443847n n n n a a a n a n ++=+=++=++ ()()()83412242484888n n n n a a n a n a n ++=++=++=++ ()8442212143847n n n n a a a a n +++=+=+=++()()()818283843884741n n n n f n a a a a n n n ++++=++-=+-+=+故()2521009f =，函数()f n 的值域为{}*41,y y n n N =+∈.【点睛】本题考查数列与函数的关系、判断数列是等差数列、利用递推关系求指定项、裂项相消法求n 前项和，是中档题.。
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解析：解：因为 f-1（x）的值域为函数
的定义域，
所以
，
解得 0＜x≤2，
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即 f-1（x）的值域为（ 0，2]． 故答案是：（0，2]． 反函数 y=f（-1）（x）值域分别是函数 y=f（x）的定义域． 本题考查了反函数，反函数 y=f（-1）（x）的定义域、值域分别是函数 y=f（x）的值域、定义域．
12. 某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何
体的体积（单位：立方厘米）是______
13. 已知方程 + =1 表示的曲线为 C，任取 a，b∈{1，2，3，4，5}，则曲线 C 表示焦距等于 2 的椭 圆的概率等于______．案为[ ，+∞），
故选：D． 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函 数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的 斜率问题． 本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．
2.答案：C
解析：解：设
，令 x=0，可得 a0=1．
再令 x= ，可得 0=1+
8.答案：
解析：解：∵f（x）是奇函数， ∴f（x）=-f（-x），
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∴
=
∴
=
，
解得 a= ．
故答案为： ．
根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入 f（x）的解析式，得到等式即可求出 a 的值． 本题主要考查奇函数的性质，根据 f（x）=-f（-x）列出式子即可解得 a 的值，本题比较基础．
-1≤x≤- ，f（x）=x+1-2x-a=-x-a+1≥- +1；
x＞- ，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞- +1，
∴2-a=3 或- +1=3，
∴a=-1 或 a=-4，
a=-1 时，- +1＜2-a，故舍去；
综上，a=-4 或 8． 故选：D． 分类讨论，利用 f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3，建立方程，即可求出实数 a 的值． 本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
⇒
代入②可得
∴P 的轨迹椭圆． 故选：A． 设 EF 的中点为 O，过 O 作 EF 的垂面 α，则 AB 的中点 P 必在平面 α 内，设 A，B 在 α 上的射影分别 为 M，N，MN=2 ，以 O 为原点，以∠MON 的平分线所在直线为 x 轴，在平面 α 内建立平面坐标系
xOy，设 M（x，y），OM=m，ON=n，则由余弦定理可得 m2+n2-mn=12…①
本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题，理解不等式
＜0 与不等式（x-a）（x-b）＜0 同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算．
6.答案：0
解析：解：由 z（1+i）=1-i，得 z=
，
∴Rez=0． 故答案为：0． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
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的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线 C 的标准方程； （2）某日，研究人员在 A、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A、B 两岛收到鱼群在 P 处反射信号的时间比为 5：3，问你能否确定 P 处的位置（即点 P 的坐 标）？
x1≠x2，f（x1）=f（x2）成立的充要条件是
．
21. 已知{an}，{bn}为两非零有理数列（即对任意的 i∈N*，ai，bi 均为有理数），{dn}为一无理数列 （即对任意的 i∈N*，di 为无理数）． （1）已知 bn=-2an，并且（an+bndn-andn2）（1+dn2）=0 对任意的 n∈N*恒成立，试求{dn}的通项 公式． （2）若{dn2}为有理数列，试证明：对任意的 n∈N*，（an+bndn-andn2）（1+dn2）=1+dn 恒成立的
- ≤x≤-1，f（x）=-x-1+2x+a=x+a-1≥ -1； x＞-1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a-2， ∴ -1=3 或 a-2=3， ∴a=8 或 a=5， a=5 时， -1＜a-2，故舍去；
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≥-1 时，x＜-1，f（x）=-x-1-2x-a=-3x-a-1＞2-a；
2020 年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
1. 若实数 x、y 满足
则 的取值范围是（ ）
总分
A. （0，2）
B. （0，2）
C. （2，+∞）
D. [ ，+∞）
2. 设
，则
的值为（ ）
A. 2
B. 0
C. -1
D. 1
3. 若函数 f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3，则实数 a 的值为（ ）
16. 已知平面向量
满足
，设
，则
______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17. 如图：四面体 ABCD 的底面 ABC 是直角三角形，AC⊥BC，AC=3，BC=4，DA⊥
平面 ABC，DA=5，E 是 BD 上的动点（不包括端点）． （1）求证：AE 与 BC 不垂直；
（2）当 AE⊥DC 时，求 的值．
5. 设集合 A={x|log2x＜1}，B={x| ＜0}，则 A∩B=______．
6. 已知复数 z 满足 z（1+i）=1-i，则 Rez=______． 7. 已知点 A（2，1）、B（3，5）、C（5，2），则△ABC 的面积是______．
8. 若 f（x）=
是奇函数，则 a=______．
18. 已知复数 z1=2sinθ- i，z2=1+（2cosθ）i，i 为虚数单位，θ∈[ ， ]． （1）若 z1•z2 为实数，求 sec2θ 的值； （2）若复数 z1，z2 对应的向量分别是 ， ，存在 θ 使等式（λ - ）•（ -λ ）=0 成立，求实数 λ 的取值范围．
19. 某海域有 A、B 两个岛屿，B 岛在 A 岛正东 4 海里处．经多年观察 研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线 C，曾有渔船在距 A 岛、B 岛距离和为 8 海里处发现过鱼群．以 A、B 所在直线为 x 轴，AB
或
，解
得-2＜x＜1， 则 A={x|0＜x＜2}，B={x|-2＜x＜1}，所以 A∩B={x|0＜x＜1}． 故答案为：{x|0＜x＜1}． 把集合 A 中的 1 变为 log22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出 x 的范围即可 得到集合 A；由集合 B 中的不等式得到 x-1 与 x+2 异号，列出不等式求出解集即可得到集合 B，然后 求出 A 与 B 的交集即可．
充要条件为
．
（3）已知 sin2θ= （0＜θ＜ ），dn= （1+dn2）=1 恒成立，试计算 bn．
，对任意的 n∈N*，（an+bndn-andn2）
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：不等式组
，
当取得点（2，3）时， 取得最小值为 ，
10.答案：-4
解析：解：关于 x 的不等式|ax+2|＜6 的解集根据公式应该是-6＜ax+2＜6； 这时，当 a=0 时，显然不合题意；
当 a＞0 时， ＜x＜ ，根据不等式|ax+2|＜6 的解集为（-1，2），
即满足 =2 且 =-1，显然矛盾；
当 a＜0 时，解为
，根据不等式|ax+2|＜6 的解集为（-1，2），
⇒
代入②可得
即可
本题考查了轨迹方程的求解、空间线面位置关系的判断与性质，考查了数形结合方法、推理能力与 计算能力，属于难题．
5.答案：{x|0＜x＜1}
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解析：解：由已知，集合 A 中的不等式 log2x＜1=log22，由 2＞1 得到对数函数为增函数及对数函数
的定义域为：x＞0 得到：0＜x＜2；而集合 B 中的不等式 ＜0 可化为
20. 已知函数 y=f（x）（x∈R）． （1）若 f（x）满足 y=f（x+1）为 R 上奇函数且 y=f（x-1）为 R 上偶函数，求 f（-3）+f（5）的 值；
（2）若函数 y=g（x）（x∈R）满足
对 x∈R 恒成立，函数 h（x）=f
（x）+g（x），求证：函数 h（x）是周期函数，并写出 h（x）的一个正周期； （3）对于函数 y=f（x），y=k（x）（x∈R），若 f（k（x））=f（x）对 x∈R 恒成立，则称函数 y=f（x）是“广义周期函数”，k（x）是其一个广义周期，若二次函数 f（x）=ax2+bx+c（a≠0） 的广义周期为 k（x）（k（x）=x 不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的 x1，x2∈R，
9.答案：3 或 5
解析：解：∵直线 l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0 与直线 l2：2（k-3）x-2y+3 平行，
则
，即
，解得：k=3 或 k=5．
故答案为：3 或 5． 直接由两直线的系数的关系列式求解 k 的值． 本题考查了直线的一般方程与直线平行的关系，关键是对两直线平行条件的记忆与运用，是基础题．