2015版【5年高考3年模拟】2014年高考真题分类汇编：9.2 圆的方程
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12 圆锥曲线与方程)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题：1.（2015安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=2.（2015安徽理）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=3．（2015福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．4．（2015福建理）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 考点：双曲线的标准方程和定义．5. （2015广东文）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．6．（2015广东理）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ． 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题． 7. （2015湖北文）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 8．（2015湖北理）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9、(2015湖南文)若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A 7B 、54C 、43D 、53【答案】D【解析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c ba c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D.考点：双曲线的简单性质10、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【答案】B11.(2015全国新课标Ⅰ卷理)已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（ （B ）（）（C ）（） （D ）（【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程12．(2015全国新课标Ⅱ卷理)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．13. (2015陕西文) 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.14、(2015四川文、理)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A )433(B )23 (C )6 (D )43 【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.【名师点睛】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.15、(2015四川文)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4) 【答案】D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.16.(2015四川理)设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式. 【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x 上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.17. (2015天津文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D ) 2213y x -= 【答案】D考点：圆与双曲线的性质.18.(2015天津理)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.19、(2015浙江文)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.20. (2015浙江理) 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++21. (2015重庆文)设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 12± (B) 22± (C) 1± (D) 2±【答案】C 【解析】考点：双曲线的几何性质.22．(2015重庆理)设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(2,0)(0,2) D 、(,2)(2,)-∞+∞ 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：1、（2015北京文）已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．3【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =考点：双曲线的焦点.2. （2015北京理）已知双曲线()22210x y a a-=>30x y +=，则a =．【答案】33考点：双曲线的几何性质3.(2015湖南理)设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b ac +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.4. (2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
2015高考数学一轮精品课件：9.3 圆的方程
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
梳理自测
梳理自测
3.方程|x|-1= 1-(-1)2 所表示的曲线是(
A.一个圆
B.两个圆
C.半个圆
D.两个半圆
探究突破
巩固提升
)
关闭
由题意得
(||-1)2 + (y-1)2 = 1,
||-1 ≥ 0.
2
2
(-1)
+
(y-1)
= 1,
即
≥1
( + 1)2 + (y-1)2 = 1,
与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应有
不同:若求轨迹方程,把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,
指出轨迹是什么样的曲线.
考点一
考点二
考点三
第十九页，编辑于星期五：十三点 六分。
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
梳理自测
探究突破
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
方法提炼
常见的求圆的方程的方法有两种:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐
标和半径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法,它的应用关键是根据
已知条件选择标准方程还是一般方程.如果给定的条件易求圆心坐标和半
径长,则选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及
关闭
x2+y2=2
解析
答案
第十页，编辑于星期五：十三点 六分。
第九章
9.3
圆的方程
考纲要求
2015年高考数学真题分类汇编：专题(15)几何证明选讲(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题15 几何证明选讲 文1.【2015高考天津，文6】如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为【 】 (A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【解析】根据相交弦定理可得 2122,339CM MD AM MB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 2212,339CN NE AN NB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 所以8,3C M MD C M M D C N NE N E CN ⨯⨯=⨯⇒==所以选A.【考点定位】本题主要考查圆中的相交弦定理.【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解,本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.2.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____. 【答案】2211x y +-=（） 【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可、曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=， ，它的直角坐标方程为222x y y += ，2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）、【考点定位】圆的极坐标方程【名师点睛】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行、3.【2015高考广东，文14】【坐标系与参数方程选做题】在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系、曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩【t 为参数】，则1C 与2C 交点的直角坐标为 、 【答案】()2,4-【解析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-、 【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点、【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点、【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程和两曲线的交点，属于容易题、解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化、4.【2015高考广东，文15】【几何证明选讲选做题】如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D 、若4AB =，C E =，则D A = 、【答案】3【解析】连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE ⋅AE ，所以()412BE BE +=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-【舍去】，所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3、【考点定位】1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理、【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题、解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误、凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识、 【2015高考上海，文5】若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛0213 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c .【答案】16【解析】由题意，⎩⎨⎧==53y x 是方程组⎩⎨⎧==+2132c y c y x 的解，所以⎩⎨⎧==52121c c ，所以1652121=-=-c c .【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.【名师点睛】对于增广矩阵,他是线性方程组的矩阵表现形式,最后一列是常数项,前面的几列是方程组的系数.本题虽然是容易题，按照定义，仔细计算，不出错. 5.【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠ (II)若3,AD DC BC ==，求O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3.所以CBD DBA ∠=∠(II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =，所以4AC ==所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==， 故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.【考点定位】1.几何证明；2.切割线定理.【名师点睛】【1】近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；【2】在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形.全等三角形.切割线定理等基础知识；【3】本题属于基础题，要求有较高分析推理能力. 6.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数】，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】(I) (223x y +-=； (II) (3,0).【解析】试题分析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C ，则=，故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+⎪⎝⎭，又C ，=，故当0t =时，PC 取得最小值， 此时P 点的坐标为(3,0).【考点定位】1. 极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化.本题属于基础题，注意运算的准确性.7. 【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；(II)+的最大值. 【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4. 【解析】试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3,1a b =-=；(II)=+≤4===1t =时等号成立，故min4+=.试题解析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-则24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b =-=+=+≤4===1t=时等号成立，故min 4+=【考点定位】1.绝对值不等式；2.柯西不等式.【名师点睛】【1】零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间.去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；【2】要注意区别不等式与方程区别；【3】用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件8.【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.【I】若D为AC中点，求证：DE是O切线；【II】若OA=，求ACB∠的大小.【答案】【Ⅰ】见解析【Ⅱ】60°【Ⅱ】设CE =1，AE =x ,由已知得AB =BE =， 由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =，解得x ACB =60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.9.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.【I 】求12,C C 的极坐标方程. 【II 】若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.【答案】【Ⅰ】cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=【Ⅱ】12【解析】试题分析：【Ⅰ】用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；【Ⅱ】将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：【Ⅰ】因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分【Ⅱ】将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.10. 【2015高考新课标1，文24】【本小题满分10分】选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . 【I 】当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；【II 】若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】【Ⅰ】2{|2}3x x <<【Ⅱ】【2，+∞】 【解析】试题分析：【Ⅰ】利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；【Ⅱ】将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.试题解析：【Ⅰ】当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x-1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<. ……5分 【Ⅱ】由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为【2，+∞】. ……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.。
2015年高考数学真题分类汇编：专题-直线与圆-Word版含解析
（ ）求k的取值范围；
（ ） ，其中O为坐标原点，求 .
【答案】（ ） （ ）2
（ ）设 .
将 代入方程 ,整理得 ,
所以
,
由题设可得 ，解得 ，所以l的方程为 .
故圆心在直线l上，所以 .
本题属于基础题，注意运算的准确性.
6.【2015高考湖北，文16】如图，已知圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且 .
（Ⅰ）圆 的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆 在点 处的切线在 轴上的截距为_________.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】设点 的坐标为 ，则由圆 与 轴相切于点 知，点 的横坐标为 ，即 ，半
考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力
【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将 用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.
综上所述，当 或 时，直线 与曲线 只有一个交点.
考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.
【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线 与圆 相交于不同的两点 ， ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆 的圆心 ，直线与圆相交 （ 是圆心到直线的距离），直线与圆相切 （ 是圆心到直线的距离）．
2015届高考数学一轮总复习 8-2圆的方程
2015届高考数学一轮总复习 8-2圆的方程基础巩固强化一、选择题1．(2012·重庆三模)在同一坐标系下，直线ax ＋by ＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(ab ≠0，r >0)的图象可能是( )[答案] D[解析] 直线方程可化为x b ＋ya ＝1，依据A 、B 、C 、D 中的图象可知a >0，b <0，满足圆心(a ，b )中a >0，b <0的只有选项D.2．(文)已知直线3x ＋4y －24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 直线3x ＋4y －24＝0与坐标轴的两个交点为A (8,0)，B (0,6)，由题知AB 为圆的直径，且|AB |＝10，∴圆的半径是5.(理)圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0[答案] D[解析] 抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－12，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心在直线y ＝x ＋12(y >0)上，与y 2＝2x (y >0)联立可得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，半径为1，则方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0.3．(文)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15C ．－13D ．－15[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15.(理)(2013·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A.2B.3 C ．1 D ．3[答案] A[解析] 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.4．(文)设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x [答案] B[解析] 设P (x ，y )，圆心C (1,0)，由题意知P A ⊥AC ， ∴|PC |2＝|P A |2＋|AC |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2，故选B.(理)圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，0) C ．(－4，＋∞) D ．(4，＋∞) [答案] A[解析] 圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，由条件知，圆心C (1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，∴b ＝－2，又10－5a >0，∴a <2，∴a －b <4.5．(文)圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 [答案] C[解析] 由圆心在直线y ＝x 上排除B 、D ；由对称轴知，若圆(x －1)2＋(y －1)2＝2满足题意，则(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2也必满足题意，故选C.(理)已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0[答案] A[解析] 设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.6．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( ) A ．4 B ．5 C ．32－1 D ．2 6 [答案] A[解析] 如图，作出A 关于x 轴的对称点B ，最短路程是BD ＝BC －r ＝4.二、填空题7．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． [答案] 2 2[解析] 最短弦为过点(3,1)，且和点(3,1)与圆心的连线垂直的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2.8．(2013·陕西检测)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．[答案] 2[解析] 由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个． 9．(2012·石家庄一模)已知动圆的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，该圆经过点A (0，p )，且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为________．[答案] 1[解析] 当圆心C 的纵坐标为p 时，C (2p ，p )为圆心的圆方程为(x －2p )2＋(y －p )2＝2p 2，令y ＝0得，x ＝2p ±p ，∴MC ⊥NC ，∴sin ∠MCN ＝1.三、解答题10．(文)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[分析] (1)设出点P 的坐标，由|P A |＝2|PB |写出方程，化简即可；(2)直线l 2与曲线C 只有一个公共点M ，故l 2与C 相切，当|QC |取最小值时，|QM |取到最小值，故|CQ |为点C 到l 1的距离时满足要求．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化得可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2 ＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.(理)(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．[解析] (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332. 能力拓展提升一、选择题11．(文)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 [答案] A[解析] 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.(理)已知圆x 2＋y 2＝4，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 ⎝⎛⎭⎫－1≤x <12 B ．(x －1)2＋y 2＝4 (0≤x <1) C ．(x －2)2＋y 2＝4 ⎝⎛⎭⎫－1≤x <12 D ．(x －2)2＋y 2＝4 (0≤x <1) [答案] D[分析] 直线过点A ，可设出点斜式方程，由OP 与割线ABC 垂直，消去斜率k 可得轨迹方程，注意k 不存在的情形．[解析] 设割线的方程为y ＝k (x －4)，再设BC 中点的坐标为(x ，y )，则y x ＝－1k ，代入y ＝k (x －4)消去k 得，(x －2)2＋y 2＝4.画出图形易知轨迹应是在已知圆内的部分，且x 的取值范围是0≤x <1.故选D.[点评] 求动点M 的轨迹方程时，设M (x ，y )，然后结合已知条件找x 、y 满足的关系式．如果点M 的运动依赖于点A 的运动，而点A 在已知曲线C 上，这时将A 的坐标用x 、y 表示，代入C 的方程，即得M 点的轨迹方程．12．(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] B[解析] 如图所示，要使|PQ |最小，则过圆心作直线x ＝－3的垂线分别与圆及直线交于点P 、Q ，此时|PQ |最小，圆心到直线x ＝－3的距离为6，则|PQ |min ＝6－2＝4.故选B.13．(文)过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( ) A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条 [答案] C[解析] ∵圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的标准方程为：(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，即此圆是一个以点O (－1,2)为圆心，以R ＝13为半径的圆．∵|OA |＝12，而R ＝13，经过A 点且垂直于OA 的弦是经过A 点的最短的弦，∴其长度为2132－122＝10；而经过A 点的最长的弦为圆的直径2R ＝26；∴经过A 点且为整数的弦长还可以取11,12,13,14,15，…，25共15个值，又由于圆内弦的对称性，经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则一定有2条，而最长弦与最短弦各只有1条，故一共有15×2＋2＝32条．(理)已知直线x a ＋yb ＝1(a 、b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．60条B ．66条C ．72条D ．78条 [答案] A[解析] 在第一象限内圆x 2＋y 2＝100上的整数点只有(6,8)，(8,6)，又点(10,0)，(0,10)在圆上， ∴由对称性知x 2＋y 2＝100上横、纵坐标均为整数的点共有12个．过这12个点的圆x 2＋y 2＝100的切线有12条，割线有11×122＝66条，共78条．其中垂直于坐标轴的有14条，过原点与坐标轴不垂直的有4条，∴共有78－18＝60条． 二、填空题 14.(2013·江西联考)如图，已知长度为2的线段AB 的两个端点在动圆O 的圆周上运动，O 为圆心，则AB →·AO →＝________.[答案] 2[解析] 取AB 的中点C ，连接OC ，则OC ⊥AB ，AO →＝AC →＋CO →＝12AB →＋CO →，所以AB →·AO →＝AB →·(12AB →＋CO →)＝12AB →2＝2.15．(2013·惠州调研)已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．[答案] (3－22)π[解析] 因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋(b －1)2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.三、解答题16．(文)(2013·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解析] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意知y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而得y 2＋2＝x 2＋3. ∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设与直线y ＝x 平行且距离为22的直线为l ：x －y ＋c ＝0，由平行线间的距离公式得C ＝±1. ∴l ：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.与方程y 2－x 2＝1联立得交点坐标为A (0,1)，B (0，－1)． 即点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y 2＋2＝r 2得r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.(理)设O 点为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆． ∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称． ∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b . 将y ＝－x ＋b 代入圆方程得， 2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. Δ＝4(4－b )2－8×(b 2－6b ＋1)>0， ∴2－32<b <2＋32， 由韦达定理得，x 1＋x 2＝b －4，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12，y 1·y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2＋2b ＋12，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即b 2－6b ＋12＋b 2＋2b ＋12＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线方程为y ＝－x ＋1.考纲要求1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程，会用适当方法求圆的方程． 补充说明 一、数形结合思想在解决与圆有关的最值问题时，主要借助圆的几何性质，用数形结合的方法求解．1．圆上点到定点P 的距离的最大(小)值：连结圆心C 与P 交圆于两点为最大(小)值点．(1)点P 在⊙C 内，过点P 的⊙C 的弦中，最长的为EF (过圆心)，最短的为AB (AB ⊥EF )，在⊙C 上所有点中，点E 到点P 距离最小，点F 到点P 距离最大．(2)点P 在⊙C 外，PC 与圆交于E 、F ，圆上所有点中到点P 距离最大(小)的点为F (E )，过点P 可作两条直线P A 、PB 与⊙C 相切，则PC 为∠APB 的平分线，PC 垂直平分AB .2．圆上的点到定直线的距离最值：由圆心向直线作垂线与圆两交点为最值点．直线l 与⊙C 外离，PC ⊥l 交⊙C 于A 、B ，则在⊙C 上到直线l 距离最大(小)的点为B (A )．二、等价转化思想 已知点P (x ，y )为圆上动点(1)形如y －bx －a的最值转化为动直线的斜率求解，一般在相切位置取最值．(2)形如ax ＋by 的最值，一般设u ＝ax ＋by ，转化为动直线的截距问题．用判别式法求解，或在相切位置取最值．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值转化为动点到定点的距离问题或设(x －a )2＋(y －b )2＝k 2，转化为两圆有公共点时，k 的取值范围问题．备选习题1．已知两点A (1，－2)，B (－4，－2)及下列四条曲线：①4x ＋2y ＝3 ②x 2＋y 2＝3③x 2＋2y 2＝3 ④x 2－2y 2＝3其中曲线上存在点P ，使|P A |＝|PB |的曲线有( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④[答案] C[解析] ∵|P A |＝|PB |，∴P 点在线段AB 的垂直平分线上，易知线段AB 的垂直平分线l 的方程为x ＝－32，画图知与直线l 有公共点的曲线有①②③，故选C. 2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是( )[答案] C[解析] 注意到方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或②x ＋y ＋1＝0.①表示的是不在直线x ＋y ＋1＝0的左下方且在圆x 2＋y 2＝4上的部分；②表示的是直线x ＋y ＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.3．与直线3x ＋4y ＋3＝0相切且圆心在曲线y ＝3x(x >0)上的面积最小的圆的方程为________． [答案] (x －2)2＋(y －32)2＝9 [解析] 设圆心坐标为(a ，3a)(a >0)， 则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35(a ＋4a ＋1)≥35(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径r ＝⎪⎪⎪⎪3×2＋4×32＋332＋42＝3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9. 4．(2013·山东淄博联考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．[解析] (1)依题意知圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0， 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5. 由垂径定理得m 25＋(3)2＝22，即m ＝±5. 所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.。
2015届高考数学总复习 第七章 第三节圆的方程课时精练试题 文(含解析)
1．(2013·河南第二次联考)已知p ：“x 2＋y 2＋2x ＝F 为一圆的方程(F ∈R )”，q ：“F >0”，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 2＋ y 2 ＋2x ＝F 为一圆的方程(F ∈R )，则有22＋4F ＞0，即F ＞－1；反之，若F＞0，则22＋4F ＞0一定成立，所以， x 2＋ y 2＋2x ＝F 为一圆的方程(F ∈R )，故p 是q 的必要不充分条件．故选C.答案：C2．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝100B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25答案：C3．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，由中点公式得点A (2x －3,2y )，∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.故选C. 答案：C4．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM ＝－2，所以k l ＝12.所以直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.答案： D5．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4表示以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆，当－a <－2且2a ＞2， 即a >2时，曲线C 上所有的点均在第二象限内．故选D. 答案：D6．(2013·天津卷)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，所以P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．所以K OP ＝2－02－1＝2，又过点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．所以a ＝K OP ＝2.故选C.答案：C7．(2013·吉林模拟)圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ． (4，＋∞)解析：由题意得，圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，得b ＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，∴a －b <4，故选A.答案：A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.故选C.答案：C9．(2013·佛山、江门二模)已知圆C 经过点A (0,3)和B (3,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，则圆C 的方程为__________．解析：设圆心坐标为C (a ，a )，则由题意可得半径r ＝a 2＋a －2＝a －2＋a －2，解得 a ＝1，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝510．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为____________．解析： 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k 2＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，解得k ＝1或177. 答案：1或17711．(2013·温州模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b 为正实数)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________．解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2 2.等号成立的条件为a ＝2－2，b ＝2－1.答案：3＋2 212．(2012·北京西城区二模)已知曲线C 的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －|x |x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －|y |y 2＝8，给出下列三个结论：①曲线C 与两坐标轴有公共点；②曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P ，Q 在曲线C 上，则|PQ |的最大值是6 2. 其中，所有正确结论的序号是________．解析：显然x ≠0，y ≠0，所以①错误．分四种情况去掉绝对值，可画出其图形，其图形是圆(x －1)2＋(y －1)2＝8在第一象限的圆弧关于x ，y 和原点对称而形成的封闭图形，其图形上两点间的最大距离是圆半径的3倍，即62，所以②③正确．答案：②③ 13．求过A (1,4)，B (3,2)两点，且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程，并判断点M 1(2,3)，M 2(2,4)与圆的位置关系．解析：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A ，B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上，因此圆心坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)，半径r ＝－1－2＋－2＝20，所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.因为M 1到圆心C (－1,0)的距离为＋2＋－2＝18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |＝＋2＋－2＝25>20，所以M 2在圆C 外．14．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＋4＝0相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列， 得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1. 所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0).15．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．（1)证明：∵圆C 过原点O ，∴|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解析：∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，满足圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.此时圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
2015高考数学一轮课件：9.3 圆的方程
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直 线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3， －2)．
动画展示
y0＝－4x0， |x30－＋xy020－2＋1|＝－r2，－y02＝r2，
x0＝1， 解得y0＝－4，
r＝2 2.
因此所求圆的方程为(x－1)2＋
(y＋4)2＝8.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十六页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
【例 2】 已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
思维启迪
解析
探究提高
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当 y
＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取
得最大值和最小值，此时
|2－0＋b|＝ 2
3，即
b＝－2±
6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最
思维启迪
解析
探究提高
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
题型分类·深度剖析
题型二
与圆有关的最值问题
【例 2】 已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
思维启迪
解析
探究提高
根据代数式的几何意义，借助图 形来求最值．
难点正本 疑点清源
4．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充 要条件是 D2＋E2－4F>0 ，其中圆心
为 －D2 ，－E2 ，
D2＋E2－4F
半径 r＝ 2
.
1.确定圆的方程时，常用
2015届高考数学总复习第七章 第三节圆的方程课件 理
故当b变化时，圆C经过除原点外的一个定点， 其坐标为(－1,1)
与圆有关的最值问题
【例 3】 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1 上． (1)求 x＋y 的最大值和最小值； y (2)求x的最大值和最小值； (3)求 x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．
解析：(1)(法一)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝ － x ＋ t 的纵截距，所以x ＋ y 的最大值和最小值就是直线与圆有 公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的 纵截距．由直线与圆相切圆的方程
【例1】 根据下列条件，求圆的方程．
(1)和圆x2＋y2＝4相外切于点P(－1， )，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上； (3)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段 长为4 . 思路点拨：在用待定系数法求圆的方程时，若已知条件 与圆心、半径有关，则设圆的标准方程；若已知条件与圆心、
圆的综合问题 【例2】 x－y－2 已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：
＝0相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)设点A(x0，y0)为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q
满足 (其中m＋n＝1，m，n≠0，
m为常数)，试求动点Q的轨迹方程C2.
解析：(1)设圆的半径为r，圆心到直线l1的距离为d， 则r＝d＝ ＝2，所以圆C1的方程为x2＋y2＝4.
2 b －bD＝0， 2 2 1－b ＋1－b ＋1－bD＋1－bE＝0，
D＝b， 解得 E＝b－2.
故经过三点O，A，B的圆C的方程为 x2＋y2＋bx＋(b－2)y＝0.
设圆C的圆心坐标为(x0，y0)，则x0 = 所以 y0 ＝ x0 ＋ 1 ，这说明当 b 变化时，圆 C 的圆心在
2014高考数学冲刺预测题圆的方程
2014高考数学冲刺预测题圆的方程1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.故选B.答案：B2．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝100B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25答案：C3．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，由中点公式得点A (2x －3,2y )．∵点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.故选C.答案：C4．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM ＝－2，所以k l ＝12.所以直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0. 答案：D5．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4表示以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆，当－a <－2且2a ＞0， 即a >2时，曲线C 上所有的点均在第二象限内，故选D.答案：D6．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则||PM 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案：D7．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，得b ＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，∴a －b <4，故选A.答案：A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.故选C.答案：C9．已知圆C 经过点A (0,3)和B (3,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，则圆C 的方程为__________．解析：设圆心坐标为C (a ，a )，则由题意可得半径r ＝a 2＋(a －3)2＝(a －3)2＋(a －2)2，解得 a ＝1，故圆C 的方程为 (x －1)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝510．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为____________．解析： 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k (x＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22， 解得k ＝1或177. 答案：1或17711．若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b 为正实数)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________．解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋a b ＋2b a≥3＋2 2.等号成立的条件为a ＝2－2，b ＝2－1.答案：3＋2 212．已知曲线C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －|x |x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －|y |y 2＝8，给出下列三个结论： ①曲线C 与两坐标轴有公共点；②曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；③若点P ，Q 在曲线C 上，则|PQ |的最大值是6 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：显然x ≠0，y ≠0，所以①错误．分四种情况去掉绝对值，可画出其图形，其图形是圆(x －1)2＋(y －1)2＝8在第一象限的圆弧关于x ，y 和原点对称而形成的不包括坐标轴上的点的图形，其图形上两点间的最大距离是圆半径的3倍，即62，所以②③正确．答案：②③13．求过两点A (1,4)，B (3,2)，且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程，并判断点M 1(2,3)，M 2(2,4)与圆的位置关系．解析：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A ，B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上，因此圆心坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)，半径r ＝(－1－1)2＋(0－4)2＝20，所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.因为M 1到圆心C (－1,0)的距离为(2＋1)2＋(3－0)2＝18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |＝(2＋1)2＋(4－0)2＝25>20，所以M 2在圆C 外．14．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＋4＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2. 由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2· (x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1. 所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0).15．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴|OC |2＝t 2＋4t 2. ∴圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2. 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解析：∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12. ∴直线OC 的方程是y ＝12x . ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，满足圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.此时圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
2014高考数学复习资料 圆的方程
圆的方程 基础知识与方法的梳理1．圆的定义： 2．圆的标准方程： 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为：4.两点式的圆方程 以),(),,(2211y x B y x A 为直径的圆方程：5．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系6.求圆方程的方法：（1） （2）7.直线与圆的关系： =++，0:C By Ax l 与圆0:22=++++F Ey Dx y x C (1)位置关系：代数法： 几何法：（2）圆中的弦长求法：代数法： 几何法：（3）圆的切线的求法：① 过圆上一点),(00y x P 的切线②过圆外一点),(00y x P 的切线 8.两圆的位置关系：典例题型一：求圆的方程1.求经过点A (5,2)，B (3,-2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程？変式：求过A(2，-1),又与直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程？2.求过点A(1,2),B(3,4)且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程？変式：已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )A ．(x ±33)2＋y 2＝43B ．(x ±33)2＋y 2＝13C ．x 2＋(y ±33)2＝43D ．x 2＋(y ±33)2＝133.（江苏）在平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(,2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C (1) 求实数b 的取值范围； (2) 求圆C 的方程； (3) 问：圆C 是否经过定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。
4.求过直线2x+y-3=0与圆x 2+y 2-2x-4y+1=0的交点且圆的面积最小的圆的方程.、变式：求过圆x 2+y 2-6x-4=0与圆x 2+y 2-6y-28=0的交点且圆心在直线x+y-4=0上的圆的方程.5．设方程x 2＋y 2－2（m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9=0 ①(1) m 为何值时，方程①表示圆？（2）m 为何值时，方程①表示的圆的半径最小？ （3）方程①表示圆时，求圆心的轨迹题型二：与圆有关的最值及对称问题6如果实数x 、y 满足22(2)3x y ++=，求yx的最大值、2y x -的最小值。
2014届高考一轮复习数学9.3圆的方程
目录
退出
(2)可知
������-3 表示直线 MQ 的斜率, ������+2
设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),
������-3 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. ������+2
由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 可得 2- 3≤k≤2+ 3, 所以
������-3 的最大值为 2+ ������+2
又因为 A,B,C 为三角形的三个顶点,所以 A,B,C 三点不共线,即点 B,C 不能重合且 B,C 不能为圆 A 的一直径的两个端点. 因为点 B,C 不能重合,所以点 C 不能为(3,5). 又因为点 B,C 不能为一直径的两个端点,所以 不能为(5,-1). 故端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10〔除去点(3,5)和(5,-1)〕,它的 轨迹是以点 A(4,2)为圆心, 10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.
1 3
目录
退出
T 题型二与 圆有关的最值问题
例 2 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0,求: ������ (1) 的最大值和最小值;
������
(2)y-x 的最大值和最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求 解.
目录
2 2 代入������0 + ������0 =4 中得(x-2)2+(y+1)2=1.
目录
退出
5.圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范围 是 . 【答案】(-∞,4) 【解析】由题得圆心(1,-3),且(-2)2+62-4×5a>0,即 a<2. 由圆心在直线上,可得 b=-2,故 a-b<4.
2015届备考2014全国名校数学试题分类解析汇编第四期：H单元解析几何
【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(11月第四期)：H单元+解析几何H单元解析几何目录H单元解析几何 (2)H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程 (2)H2两直线的位置关系与点到直线的距离 (14)H3圆的方程 (18)H4直线与圆、圆与圆的位置关系 (18)H5椭圆及其几何性质 (31)H6双曲线及其几何性质 (47)H7抛物线及其几何性质 (50)H8直线与圆锥曲线（AB课时作业） (53)H9曲线与方程 (66)H10 单元综合 (66)H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程【数学（理）卷·2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】15.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_________(写出所有正确命题的编号).①存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【知识点】直线的一般式方程．H1，【答案】【解析】①③⑤解析：①令y=x+12既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；恰经过整点（0，0），所以本命⑤令直线题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤【思路点拨】①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．【数学理卷·2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】12．已知点(),2P t在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x 所表示的平面区域内运动，l为过点P 和坐标原点O 的直线，则l 的斜率的取值范围为 ． 【知识点】简单的线性规划；斜率的计算公式.E5 H1【答案】【解析】[1,2] 解析：由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x可得所表示的可行域， 由图可知：当取点P 12，时， 直线l 的斜率的取得最大值，221k ．当取点P 1,1时，直线l 的斜率的取得最小值，111k故答案为：[1,2]．【思路点拨】由不等式组可得所表示的可行域，即可得到：当取点P 12，时，直线l 的斜率取得最大值．当取点P 1,1时，直线l 的斜率的取得最小值。
2025高考数学必刷题 第59讲、圆的方程(教师版)
第59讲圆的方程知识梳理知识点一：基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．知识点二：基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()-+-=x a y b r ，圆心坐标为（a ，b ），半径为(0)>r r （2）圆的一般方程：22220(40)++++=+->x y Dx Ey F D E F ，圆心坐标为,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E ，半径2=D E Fr （3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)A x y B x y ，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0--+--=x x x x y y y y （4）圆的参数方程：①222(0)+=>x y r r 的参数方程为cos sin =⎧⎨=⎩x r y r θθ（θ为参数）；②222()()(0)-+-=>x a y b r r 的参数方程为cos sin =+⎧⎨=+⎩x a r y b r θθ（θ为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos ,sin )++a r b r θθ（θ为参数，,（）a b 为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()-+-=x a y b r 的位置关系：①222()()-+->⇔x a y b r 点P 在圆外；②222()()-+-=⇔x a y b r 点P 在圆上；③222()()-+-<⇔x a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220++++=x y Dx Ey F 的位置关系：①2200000++++>⇔x y Dx Ey F 点P 在圆外；②2200000++++=⇔x y Dx Ey F 点P 在圆上；③2200000++++<⇔x y Dx Ey F 点P 在圆内．必考题型全归纳题型一：求圆多种方程的形式例1．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）过()0,1A 、()0,3B 两点，且与直线1y x =-相切的圆的方程可以是（）A ．()()22122x y ++-=B ．()()22225x y -+-=C ．()()22122x y -+-=D ．()()22225x y ++-=【答案】C【解析】因为()0,1A 、()0,3B ，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为2y =，设圆心为(),2C t ，则圆C 的半径为r ==，又因为r AC ====整理可得2670t t +-=，解得1t =或7t =-，当1t =时，r AC ==()()22122x y -+-=；当7t =-时，r AC ==，此时圆的方程为()()227250x y ++-=.综上所述，满足条件的圆的方程为()()22122x y -+-=或()()227250x y ++-=.故选：C.例2．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为(21)-，，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．22420x y x y ++-=B ．224250x y x y +-+-=C ．224250x y x y ++--=D ．22420x y x y +-+=【答案】A【解析】设直径的两个端点分别()(),0,0,A a B b ，圆心C 为点(2,1),-由中点坐标公式，得002,122a b++=-=，解得4, 2.a b =-=∴半径r =∴圆的方程是22(2)(1)5,x y ++-=即22420.x y x y ++-=故选：A.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆心为(2,3)-的圆与直线10x y -+=相切，则该圆的标准方程是（）A ．22(2)(3)8x y ++-=B ．22(2)(3)8x y -++=C ．22(2)(3)18x y ++-=D ．22(2)3)1(8x y ++=-【答案】A【解析】因为圆心为(2,3)-的圆与直线10x y -+=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r d ===所以该圆的标准方程是22(2)(3)8x y ++-=．故选：A变式1．（2024·河北邢台·高三统考期末）已知圆22:25C x y +=与直线():3400l x y m m -+=>相切，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（）A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)25x y ++-=C ．22(6)(8)16x y ++-=D ．22(6)(8)25x y ++-=【答案】D【解析】由圆22:25C x y +=的圆心为原点O ，半径为5，又圆C 与直线l 相切，则O 到直线l 的距离为5d =，则5d =，解得25m =，设过O 且与l 垂直的直线为0l ，则0l ：430x y +=，联立4303342504x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，得直线l 与0l 的交点为()3,4-，设圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为(),p n ，由中点公式有03620842p p nn +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩所以圆心(0,0)O 关于点()3,4-的对称点为()6,8-，因此圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：22(6)(8)25x y ++-=，故选：D.变式2．（2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．22(1)(1)17x y +++=D ．22(1)(2)26x y +++=【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线11A B ：=1x -，设1122(,),(,)A x y B x y ，令弦AB 的中点为E，而圆心C 是线段11A B 的中点，又111111,AA A B BB A B ⊥⊥，即有11////EC AA BB ，11EC A B ⊥，显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线:1AB x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，12||y y -==点E 的纵坐标为1222y y t +=，于是得圆C 的半径111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -，而圆C 过点(2,3)M -，则有||MC r ==，解得12t =，因此圆C 的圆心(1,1)C -，半径r =，圆C 的方程为22(1)(1)5x y ++-=.故选：B变式3．（2024·全国·高三专题练习）求过两点()()0,4,4,6A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程是（）A ．22(1(4)25)y x +++=B ．22(4)(1)25x y ++-=C ．22(4)(1)25x y -++=D ．22(4)(1)25x y -+-=【答案】D【解析】设圆心坐标为C （2b +2，b ），由圆过两点A （0，4），B （4，6），可得|AC |=|BC |，即()()()()222222042246b b b b =+-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得1b =，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为22(4)(1)25x y -+-=．故选：D ．变式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线(32)(32)50x y λλλ+-+-=＋恒过定点P ，则与圆C ：22(2)(3)16x y -++=有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为（）A ．22(2)3)3(6x y ++=-B ．22(2)(3)25x y -++=C ．22(2)3)1(8x y ++=-D ．22(2)(3)9x y -++=【答案】B【解析】直线(32)(32)50x y λλλ+-+-=＋，即(231)(325)0x y x y λ+-+-+=，由23103250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)P -，圆C ：22(2)(3)16x y -++=的圆心(2,3)C -，||5PC =，所以所求圆的标准方程为22(2)(3)25x y -++=.故选：B变式5．（2024·全国·高三专题练习）圆C ：()()22122x y -+-=关于直线0x y -=对称的圆的方程是（）A ．22(1)(2)2x y -++=B ．22(1)(2)2x y +++=C ．22(2)(1)2x y -+-=D ．22(2)(1)2x y +++=【答案】C【解析】由圆C ：()()22122x y -+-=，可知圆心坐标：(1,2)因为点(1,2)关于直线y x =的对称点为(2,1)，所以圆C ：()()22122x y -+-=关于直线0x y -=对称的圆的方程是22(2)(1)2x y -+-=，故选：C变式6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点,A B 是MON ∠的OM 边上的两个定点，C 是ON 边上的一个动点，当且仅当ABC 的外接圆与边ON 相切于点C 时，ACB ∠最大．在平面直角坐标系中，已知点()2,0D ，()4,0E ，点F 是y 轴负半轴的一个动点，当DFE ∠最大时，DEF 的外接圆的方程是（）．A ．()(2239x y -++=B ．()(2239x y -+-=C ．(()2238x y ++-=D ．(()2238x y -+-=【答案】A【解析】由米勒定理知当DFE ∠最大时，DEF 的外接圆与y 轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，因为点()2,0D ，()4,0E ，所以圆心在直线3x =上，又圆与y 轴负半轴相切，所以圆的半径为3，设圆心为(3,)P b ，0b <，则||3PD ，解得b =±，又0b <，所以b =-所以DEF 的外接圆的方程是22(3)(9x y -++=，故选：A ．变式7．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）过点()4,2P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PAB 的外接圆方程是（）A ．()()22215x y -+-=B ．()()224220x y -+-=C ．()()22215x y +++=D ．()()224220x y +++=【答案】A【解析】由圆224x y +=，得到圆心()0,0O ，由题意知O 、A 、B 、P 四点共圆，PAB 的外接圆即四边形OAPB 的外接圆，又()4,2P ，从而OP 的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，1||2OP =22(2)(1)5x y -+-=.故选：A变式8．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（）A ．22(1)2x y -+=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)2x y +-=D ．22(1)4x y +-=【答案】D【解析】设ABC 外接圆的方程为()222()x a y b r -+-=则有()()()222222222()0)0(0)3a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解之得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为22(1)4x y +-=故选：D【解题方法总结】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a ，b ）和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．题型二：直线系方程和圆系方程例4．（2024·全国·高三专题练习）圆心在直线x -y -4＝0上，且经过两圆x 2+y 2+6x -4＝0和x 2+y 2+6y -28＝0的交点的圆的方程为（）A ．x 2+y 2-x +7y -32＝0B ．x 2+y 2-x +7y -16＝0C ．x 2+y 2-4x +4y +9＝0D ．x 2+y 2-4x +4y -8＝0【答案】A【解析】根据题意知，所求圆经过圆x 2+y 2+6x -4＝0和圆x 2+y 2+6y -28＝0的交点，设其方程为(x 2+y 2+6x -4)+λ(x 2+y 2+6y -28)＝0，即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy -4-28λ＝0，其圆心坐标为31λ-⎛ +⎝，31λλ-⎫⎪+⎭，又由圆心在直线x -y -4＝0上，所以31λ-+-31λλ-⎛⎫⎪+⎝⎭-4＝0，解得λ＝-7，所以所求圆的方程为：(-6)x 2+(-6)y 2+6x -42y +192＝0，即x 2+y 2-x +7y -32＝0，故选：A ．例5．（2024·高二课时练习）过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是．【答案】22310x y x y +-+-=【解析】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=.例6．（2024·江苏·高二专题练习）曲线2233x y -=与228y x x =--的四个交点所在圆的方程是．【答案】22(4)(2)49x y -+-=【解析】根据题意得到：()222342483x y y x x -=----，化简得到答案.2233x y -=，228y x x =--，故()222342483x y y x x -=----，化简整理得到：2284290x y x y +---=，即22(4)(2)49x y -+-=.故答案为：22(4)(2)49x y -+-=.变式9．（2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为.【答案】2231240x y x y ++--=【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0∴70λ-+=解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=.变式10．（2024·高二校考课时练习）过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点()3,1的圆的方程是.【答案】2213203x y x y +-++=【解析】设所求圆的方程为：(()22222)4480x y x y x y x y λ+---+++--=将()3,1代入得：25λ=-∴所求圆的方程为：2213203x y x y +-++=本题正确结果：2213203x y x y +-++=变式11．（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:240C x y x y ++-=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.【答案】222612320555x y x y ++-+=【解析】可设圆的方程为2224(240)0x y x y x y λ++-+++==,即222(1)(4)40x y x y λλλ++++-+=,此时圆心坐标为41,2λλ-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,当圆心在直线240x y ++=上时，圆的半径最小，从而面积最小，42(1)402λλ-∴--++=,解得85λ=,则所求圆的方程为222612320555x y x y ++-+=，故答案为222612320555x y x y ++-+=.变式12．（2024·江西九江·高一统考期中）经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程为【答案】227320x y x y +-+-=【解析】由题可先设出圆系方程；222264(628)0x y x x y y λ++-+++-=，则圆心坐标为；33(,11λλλ--++，又圆心在直线40x y --=上，可得；3340,11λλλ-+-=++解得7λ=-.所以圆的方程为：227320x y x y +-+-=.故答案为：227320x y x y +-+-=.变式13．（2024·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆C 过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的方程为．【答案】22317024x y x y ++-=【解析】根据题意可设圆C 的方程为：()22241240x y x y x y λ++-++++=，因为原点在圆C 上，故14λ=-.所以所求圆的方程为22317024x y x y ++-=.考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.【解题方法总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线1111:0++=l A x B y C 与直线2222:0++=l A x B y C 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：11112222()()0+++++=A x B y C A x B y C λλ2212(0)+≠λλ简记为：221122120(0)+=+≠l l λλλλ当10≠λ时，简记为：120+=l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆221111:0++++=C x y D x E y F 与圆222222:0++++=C x y D x E y F 相交于A ，B两点，则过A ，B两点的圆系方程为：2222111222()0(1)+++++++++=≠-x y D x E y F x y D x E y F λλ简记为：120(1)+=≠-C C λλ，不含2C 当1=-λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）121212:()()0-+-+-=l D D x E E y F F 注意：与圆C 共根轴l 的圆系:0+=C C l λλ题型三：与圆有关的轨迹问题例7．（2024·全国·高三专题练习）点()1,0P ，点Q 是圆224x y +=上的一个动点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B ．22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭C ．22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】设点M 的坐标为(),M x y ，因为M 点是线段PQ 的中点，可得()21,2Q x y -，点Q 在圆上，则22(21)(2)4x y -+=，即22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：A.例8．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知A ，B 是C ：()()222425x y -+-=上的两个动点，P 是线段AB 的中点，若6AB =，则点P 的轨迹方程为（）A ．()()224216x y -+-=B ．()()222411x y -+-=C ．()()222416x y -+-=D ．()()224211x y -+-=【答案】C【解析】因为AB 中点为P ，所以CP AB ⊥，又6AB =，所以4CP ==，所以点P 在以C 为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为()()222416x y -+-=.故选：C.例9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数(0,1)λλλ>≠的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍．求点P 的轨迹方程；【解析】设点(),P x y ，点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍，可得2PA PB =，=()2224x y -+=，所以点P 的轨迹方程为()2224x y -+=；变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知(4,0)P 是圆2236x y +=内的一点,,A B 是圆上两动点，且满足90APB ︒∠=，求矩形APBQ 顶点Q 的轨迹方程．【解析】连接AB ，PQ ，设AB 与PQ 交于点M ，如图所示．因为四边形APBQ 为矩形，所以M 为AB ，PQ 的中点，连接OM .由垂径定理可知,OM AB ⊥设(,),M M M x y 由此可得22222||||36().M M AMOA OM x y =-=-+①又在Rt APB 中，有||AM PM ==②由①②得224100,MM M x y x +--=故点M 的轨迹是圆．因为点M 是PQ 的中点，设(,),Q x y 则4,,22M M x y x y +==代入点M 的轨迹方程中得，2244()()4100,222x y x +++-⨯-=整理得2256x y +=，即为所求点Q 的轨迹方程．变式15．（1977·福建·高考真题）动点(),P x y 到两定点()30A -,和()3,0B 的距离的比等于2，求动点P 的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．【解析】由题意可知：2PA PB=，又(),P x y ，()30A -,和()3,0B ，2=，化简得221090x x y -++=即()22516x y -+=，所以动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径是4的圆变式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C ：222430x y x y ++-+=.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程；(2)从圆C 外一点(,)P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求点P 的轨迹方程.【解析】（1）由222430x y x y ++-+=配方得22(1)(2)2x y ++-=，所以圆C 的圆心(1,2)C -，因为直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，所以设直线l 为x y b +=，即0x y b +-=，则由直线l 与圆C =1b =-或3b =，∴直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=.（2）由圆上切点的性质知222PM PC r =-，又因为PM PO =，所以222PO PC r =-，所以2222(1)(2)2x y x y +=++--，整理得2430x y -+=，故点P 的轨迹方程为2430x y -+=.变式17．（2024·全国·高三专题练习）由圆229x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B ，两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法设弦A B 的中点M 的坐标为(,)M x y ,连接O P 、OM ,则OM AB ⊥．在OM P 中,由勾股定理有2222(5)(12)169x y x y ++-+-=，而(,)M x y 在圆内，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程为225120(33)x y x y x +--=-<<.［方法2］：定义法因为M 是A B 的中点,所以OM AB ⊥,所以点M 的轨迹是以O P 为直径的圆,圆心为5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为||1322OP =，所以该圆的方程为:222513(6)22x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得225120(33)x y x y x +--=-<<［方法3］：交轨法易知过P 点的割线的斜率必然存在，设过P 点的割线的斜率为k ,则过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-.∵OM AB ⊥且过原点,∴OM 的方程为1=-y x k这两条直线的交点就是M 点的轨迹.两方程相乘消去k ,化简,得:225120x y x y +--=，其中33x -<<.［方法4］：参数法设过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-,它与圆229x y +=的两个交点为A 、,B A B 的中点为M ，设()()1122(,),,,,M x y Ax y B x y .由22(5)129y k x x y =-+⎧⎨+=⎩可得，()()()2221212512590k x k k x k ++-+--=，所以，()12221251k k x x k -+=-+，即有()21251k k x k-=-+，21251ky k -=+，消去k ，可求得M 点的轨迹方程为：225120x y x y +--=，33x -<<．［方法5］：点差法设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y ,则12122,2x x x y y y +=+=.∵222211229,9x y x y +=+=.两式相减,整理,得()()()()212121120x x x x y y y y -+--+=.所以21122112y y x x xx x y y y-+=-=--+,即为A B 的斜率，而A B 的斜率又可表示为1212,55y y xx x y--∴=---,化简并整理,得225120x y x y +--=.其中33x -<<.【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知圆22:40G x y x +-=，平面上一动点P 满足：226PM PN +=且(1,0)M -，(1,0)N ．求动点P 的轨迹方程；【解析】设(,)P x y ，由226PM PN +=，所以2222(1)(1)6x y x y +++-+=，整理得222x y +=，即动点P 的轨迹方程222x y +=．变式19．（2024·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD 中，边AB 、BC 上分别有一个动点Q 、R ，且BQ CR =．求直线AR 与DQ 的交点P 的轨迹方程．【解析】分别以AB ，AD 边所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系．如图所示，则点(0,0)A 、(1,0)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ≤≤，由BQ CR =知：AQ BR =，则(1,)R t ．当0t ≠时，直线AR ：y tx =①，直线DQ ：1x y t +=，则1xy t-=②，①×②得：(1)xy y tx t-=⋅，化简得220x y y +-=．当0=t 时，点P 与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程．故点P 的轨迹方程为221100,022x y y x y ⎛⎫+-=≤≤≤≤ ⎪⎝⎭．变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知R t ABC 的斜边为A B ，且(1,0),(3,0)A B -.求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边B C 的中点M 的轨迹方程.【解析】（1）设(,)C x y ，因为,,A B C 三点不共线，所以0y ≠，因为A C B C ⊥，所以1AC BC k k ⋅=-，又因为,13AC BC y y k k x x ==+-，所以113y yx x ⋅=-+-，整理得22230x y x +--=，即22(1)4x y -+=，所以直角顶点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠.（2）设00(,),(,)M x y C x y ，因为(3,0)B ，M 是线段B C 的中点，由中点坐标公式得0030,22x y x y ++==，所以0023,2x x y y =-=，由（1）知，点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠，将0023,2x x y y =-=代入得22(24)(2)4x y -+=，即22(2)1x y -+=所以动点M 的轨迹方程为()()22210x y y -+=≠.变式21．（2024·高二课时练习）如图，已知点A (-1，0)与点B (1，0)，C 是圆x 2+y 2=1上异于A ，B 两点的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD|=|BC|，求线段AC 与OD 的交点P 的轨迹方程.【解析】设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心，由A (-1，0)，B (1，0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0-1，2y 0)，由重心坐标公式得001121323x x y y -++-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()000312302x x y y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=≠⎪⎩代入221x y +=，整理得()2214039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭故所求轨迹方程为()2214039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.变式22．（2024·高二课时练习）已知点()2,0A 是圆224x y +=上的定点，点()1,1B 是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程．(2)若90PBQ ∠=︒，求线段P Q 中点N 的轨迹方程．【解析】（1）设AP 中点为(,)M x y ，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(22,2)x y -∵P 点在圆224x y +=上，∴22(22)(2)4x y -+=．故线段AP 中点的轨迹方程为22(1)1x y -+=．（2）设P Q 的中点为(,)N x y ，在Rt PBQ △中，||||PN BN =，设O 为坐标原点，则ON PQ ⊥，所以22222||||||||||OP ON PN ON BN =+=+，所以2222(1)(1)4x y x y ++-+-=．故线段P Q 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=．【解题方法总结】要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x ，y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件例10．（2024·河南·高三阶段练习）“1a <”是“方程22222650x y ax y a ++++=表示圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为方程22222650x y ax y a ++++=，即225302ax y ax y ++++=表示圆，等价于2910a a +->0，解得9a >或1a <.故“1a <”是“方程22222650x y ax y a ++++=表示圆”的充分不必要条件.故选：A例11．（2024·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆C 的方程为0(),f x y =，点00(,)P x y 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上，方程00:(,(0,))C f x y f x y '-=，则下面判断正确的是（）A ．方程C '表示的曲线不存在B ．方程C '表示与C 同心且半径不同的圆C ．方程C '表示与C 相交的圆D ．当点P 在圆C 外时，方程C '表示与C 相离的圆【答案】B【解析】因为C 为圆，设22(,)10f x y x y =+-=，点(1,1)P ，其圆心为(0,0)，半径为1，而C '的方程为00(,)(,)0f x y f x y -=，即22110x y +--=，2220x y +-=因此上述方程中，圆心亦为(0,0)C 与圆C '是同心且半径不同的圆.故选：B.例12．（2024·高三课时练习）关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是（）.A ．0B =，且0A C =≠B ．1B =，且2240D E A F +->C ．0B =，且0A C =≠，2240D E AF +-≥D ．0B =，且0A C =≠，2240D E A F +->【答案】D【解析】关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是220040B A C D E F A A A ⎧⎪=⎪⎪=≠⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即0B =，且0A C =≠，2240D E A F +->.故选：D变式23．（2024·全国·高三专题练习）若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≤-B ．2a ≥C ．2a <-或2a >D ．2a ≤-或2a ≥【答案】C【解析】若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则222420a +-⨯>，解得：2a >或2a <-.故选：C变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知方程22220x y y ++++=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(3,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】因为方程22220x y y ++++=表示圆，所以222420+-⨯>，解得4m >.故选：D变式25．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆C ：()()22221212640x y m x m y m m +--+-+-+=过坐标原点，则实数m 的值为（）A ．2或1B ．-2或-1C ．2D ．-1【答案】C【解析】∵()()22221212640x y m x m y m m +--+-+-+=表示圆，∴()()()222212142640m m m m ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣--+---+>⎦∴1m >.又圆C 过原点，∴22640m m -+=，∴2m =或1m =（舍去）；∴2m =.故选:C.变式26．（2024·全国·高三专题练习）若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（）A ．(1，＋∞)B ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1，＋∞)∪1(,)5-∞D ．R【答案】A【解析】因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D 2＋E 2―4F ＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.变式27．（2024·高二课时练习）若()0,2απ∈，使曲线22cos sin cos sin 10x y x y αααα++++=是圆，则（）A ．54πα=B ．4πα=C ．4πα=或54πα=D ．2πα=【答案】A【解析】由题意，cos sin αα=，因为()0,2απ∈，所以4πα=或54πα=，当4πα=时，方程为22102222x y x y ++++=，化简得220x y x y ++++=，此时22420D E F -=+-<，不表示圆；当54πα=时，方程为22102222x y x y ---+=-，化简得220x y x y +++-=，此时22420D E F +=+->，表示圆.所以54πα=.故选：A【解题方法总结】方程220++++=x y Dx Ey F 表示圆的充要条件是2240+->D E F ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E ，半径=r 题型五：点与圆的位置关系判断例13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点()1,2P -在圆C ：222410x y kx y k +++++=的外部，则k 的取值范围是（）A ．21k -<<B ．12k <<C ．2k <-D ．2<<2k -【答案】B【解析】由222410x y kx y k +++++=，得()22232324k x y k ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则23304k ->，解得：2<<2k -①，又∵点()1,2P -在圆C 的外部，∴214810k k ++-++>，即220k k +->，解得2k <-或1k >②，由①②得12k <<，故选：B ．例15．（2024·四川自贡·高一统考期中）点P 在单位圆⊙O 上（O 为坐标原点），点()()1,1,0,1A B ---，AP AO AB μλ=+，则μλ+的最大值为（）A ．32B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】如图所示：设(),P x y ，因为AP AO AB μλ=+，所以()()()1,11,11,0x y μλ++=+，则11x y μλμ+=+⎧⎨+=⎩，即11x y μλμ=+-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆221x y +=上，所以()()22111μλμ+-+-=，令t μλ=+，得222210t t μμ-+-+=，()()2224210t t ∆=---+≥，即220t t -≤，解得02t ≤≤，所以μλ+的最大值为2，故选：C变式28．（2024·全国·高二专题练习）点()5,P m 与圆2224x y +=的位置关系是（）A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不确定【答案】C【解析】因为22252524m m +=+>，所以点在圆外，故选：C变式29．（2024·全国·高二专题练习）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <【答案】D【解析】由题可知，半径r =a ∈R ，把点()1,1a a +-代入方程，则()()()22112140a a a a ++----<，解得1a <，所以故a 的取值范围是1a <.故选：D变式30．（2024·全国·高二专题练习）已知圆222:O x y r +=，直线l ：234x y r +=，若l 与圆O 相交，则（）．A ．点()3,4P 在l 上B ．点()3,4P 在圆O 上C ．点()3,4P 在圆O 内D ．点()3,4P 在圆O 外【答案】D【解析】由已知l 与圆O 相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，225r r =<，故5r <，把()3,4P 代入23491625x y r +=+=>，所以点不在直线l 上，故A 错误；又5OP r =>，则点(2,3)P 在圆O 外，故D 正确.故选：D ．【解题方法总结】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．题型六：数形结合思想的应用例16．（2024·高二校考单元测试）若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x =-表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)）．当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ；当l1=，得43k =，切线记为2l ．分析可知当423k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选：A ．例17．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线y10kx y k -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】曲线y 整理得22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=，即()110k x y +--=，则令1010x y +=⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，则其过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k=，所以234k =，1101112k --==--，所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C ．例18．（2024·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线y x b =+与曲线1y =有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是（）A ．(1-+B ．(11⎤--⎦C ．1,1⎡-+⎣D ．3,1⎡+⎣【答案】B【解析】由11y =≤可得1y -=，整理可得()2214x y +-=，其中1y ≤，所以，曲线1y =()2214x y +-=的下半圆，如下图所示：当直线y x b =+与曲线1y =-0b <，2=，解得1b =-当直线y x b =+过点()0,1-时，则有1b =-，由图可知，当11b -<≤-时，直线y x b =+与曲线1y =-故选：B.变式31．（2024·全国·高二专题练习）直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】因为曲线(10x y +-=就是10x y +-=或224x y +=，表示一条直线与一个圆，联立22010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即直线220x y +-=与直线10x y +-=有一个交点()1,0；.联立222204x y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或8565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线220x y +-=与224x y +=有两个交点.所以直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为2个.故选：B变式32．（2024·高二单元测试）若两条直线1l ：y x m =+，2l ：y x n =+与圆22220x y x y t +--+=的四个交点能构成矩形，则m n +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】由题意直线12,l l 平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆22220x y x y t +--+=的圆心为：()1,1，圆心到1:l y x m =+的距离为：1d =圆心到2:l y x n =+的距离为：2d ==，m n ==，由题意m n ≠，所以0m n m n =-⇒+=，故选：A.变式33．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线22:1033x y ⎛Γ--= ⎝，要使直线()y m m =∈R 与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．(()3,- B ．()3,- C ．()3,3D ．(【答案】B【解析】由题意得：2290x y +-≥，即229x y +≥，即曲线Γ上的点(),x y 为圆229x y +=上或圆229x y +=外的点，由221033x y ⎛--= ⎝得：22133y x -=或229x y +=，由22221339x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得：x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由此可得曲线Γ的图象如下图所示，由图象可知：当()3,m ∈-时，直线y m =与曲线Γ有四个不同交点；∴实数m的取值范围为()3,-.故选：B.变式34．（2024·吉林白山·统考二模）若过点(2,4)P 且斜率为k 的直线l与曲线y =有且只有一个交点，则实数k 的值不可能是()A ．34B ．45C ．43D ．2【答案】B【解析】如图，曲线y =即()2204y x y +=≥表示以O 为圆心，2为半径的上半圆，因为直线l y k x 24()=-+：即240kx y k --+=与半圆相切，2=，解得34k =．因为P 24A 20()()-,，,，所以()40122-==--PA k ，又直线l与曲线y =有且只有一个交点，所以PA k k >或34k =，所以实数k 的取值范围是3()41⎧⎫⎨⎬⎩⎭+∞⋃,故选：B变式35．（2024·全国·高三专题练习）若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =表示的曲线是圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +-=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得3m =，当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，则03m ≤<.故选：B.变式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()2,0对称，当[]0,2x ∈时，()f x =()()20f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是（）A ．,⎛⋃-∞ ⎪⎪⎩⎭⎝⎭B ．2,4⎛⋃-∞- ⎪⎪⎩⎭⎝⎭C ．,412⎧⎛⎫⎪-⋃+∞ ⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎝⎭D ．412⎧⎛⎫⎪⋃+∞ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭【答案】A【解析】方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点()2,0对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．因为[]0,2x ∈时，()f x =所以22(1)1x y -+=，所以图象为圆的一部分，作出()y f x =和()2y k x =-的图象如图所示．当0k >时，只需直线()2y k x =-与圆()2251x y -+=相切，1=，可得k =当0k <时，只需直线()2y k x =-与圆22(3)1x y ++=相离，1>，解得得k <k >．故k 的取值范围是,412⎛⎫⋃-∞ ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭．故选：A ．变式37．（2024·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥【答案】C【解析】对于A 选项，当0x >时，()2222(sgn())1110x y x x y +--=+--≤，即表示圆()2211x y +-=内部及边界，显然不满足，故错误；对于C 选项，当0x >时，()2222(sgn())1110x y x x y +--=+--≥，即表示圆()2211x y +-=外部及边界，满足；当0x <时，()2222(sgn())1110x y x x y +--=++-≤，即表示圆()2211x y ++=的内部及边界，满足，故正确；对于B 选项，当0y >时，()2222(sgn())1110x y y x y -+-=-+-≤，即表示圆()2211x y -+=内部及边界，显然不满足，故错误；对于D 选项，当0y >时，()2222(sgn())1110x y y x y -+-=-+-≥，即表示圆()2211x y -+=外部及边界，显然不满足，故错误；故选：C【解题方法总结】研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．题型七：与圆有关的对称问题例19．（2024·高二单元测试）圆222410x y x y ++-+=关于直线10ax y ++=对称，则=a ．【答案】3【解析】由222410x y x y ++-+=可得圆的标准方程为：()()22124x y ++-=，则由题意得直线10ax y ++=过圆心()1,2-，代入直线方程有210a -++=，解得3a =，故答案为：3.例20．（2024·西藏日喀则·统考一模）已知圆22:4230C x y x ay +-++=关于直线260x y +-=对称，圆C 交y 于A 、B 两点，则AB =【答案】2【解析】圆22:4230C x y x ay +-++=，即()()22221x y a a -++=+，圆心()2,C a -，半径r =因为圆C 关于直线260x y +-=对称，所以()2260a +⨯--=，解得2a =-，所以()()22225x y -+-=，圆心()2,2C ，半径r =，则圆心()2,2C 到y 轴的距离2d =，所以2AB ==.故答案为：2例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()()22129x y ++-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b -+=>>对称，则224a b +的最小值是．【答案】2【解析】圆()()22129x y ++-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b -+=>>对称，所以直线过圆心，有220a b --+=，即22a b +=.()222224422a b ab a b a b +=⋅⋅=+≥，当且仅当2a b =，即11,2a b ==时等号成立.∴()2222222424444a a a b b a b b b a =+++++=+≤，即2242a b +≥，所以11,2a b ==时，224a b +的最小值为2.故答案为：2变式38．（2024·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C 与圆D ：224230x y x y +--+=关于直线4250x y +-=对称，则圆C 的方程为．【答案】222x y +=【解析】因为22224230(2)(1)2x y x y x y +--+=⇒-+-=，设圆C 的圆心为(),C a b ，又因为圆C 与圆D 关于直线4250x y +-=对称，即圆心(2,1)D 与(,)a b 关于直线4250x y +-=对称，所以1(2)1221425022b a a b -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，所以，圆C 的方程为222x y +=变式39．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()()22139x y ++-=上存在两点关于直线()100,0ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是．【答案】16【解析】由圆的对称性可得，直线10ax by -+=必过圆心()1,3-，所以31a b +=，所以()1313333101016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当33b a a b =，即14a b ==时取等号，则13a b+的最小值是16故答案为：16变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2f x =的图像上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图像上，则实数k 的取值范围是．【答案】4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】由21(2)0x --≥，解得13x ≤≤，又1y kx =+关于直线1y =的对称直线为1y kx =-+，则题设等价于函数()2f x =的图像和1y kx =-+的图象有两个交点.易得()2y f x =等价于()222(2)1(13)x y x -+-=≤≤，画出()y f x =和1y kx =-+的图象，设直线1y kx =-+和()y f x =相切，1=，解得43k =-或0k =（舍），又当直线1y kx =-+过点()1,2时，1k =-，结合图象可知，当4,13k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，函数()2f x =的图像和1y kx =-+的图象有两个交点.故答案为：4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦.变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为．【答案】相交【解析】由圆1C 的方程知其圆心()14,4C ，半径15r =；由圆2C 的方程知其圆心22,2C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2r =圆2C 关于直线10x +=对称，。
2015年高考数学真题分类汇编：专题(15)几何证明选讲(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题15 几何证明选讲 文1.【2015高考天津，文6】如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【解析】根据相交弦定理可得 2122,339CM MD AM MB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 2212,339CN NE AN NB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 所以8,3C M MD C M M D C N NE N E CN ⨯⨯=⨯⇒==所以选A. 【考点定位】本题主要考查圆中的相交弦定理.【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解,本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.2.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.【答案】2211x y +-=（）【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=， ，它的直角坐标方程为222x y y += ，2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）． 【考点定位】圆的极坐标方程【名师点睛】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()2,4-【解析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程和两曲线的交点，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．4.【2015高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．【答案】3【解析】连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE =A AE ，由切割线定理得：2C E =BE ⋅AE ，所以()412BE BE +=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3．【考点定位】1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．【2015高考上海，文5】若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c .【答案】16【解析】由题意，⎩⎨⎧==53y x 是方程组⎩⎨⎧==+2132c y c y x 的解，所以⎩⎨⎧==52121c c ，所以1652121=-=-c c .【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.【名师点睛】对于增广矩阵,他是线性方程组的矩阵表现形式,最后一列是常数项,前面的几列是方程组的系数.本题虽然是容易题，按照定义，仔细计算，不出错.5.【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠(II)若3,AD DC BC ==，求O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3.所以CBD DBA ∠=∠(II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA AD BC CD==，又BC =，从而AB =，所以4AC == 所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅ 即26AB AE AD==， 故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.【考点定位】1.几何证明；2.切割线定理.【名师点睛】（1）近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；（2）在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形.全等三角形.切割线定理等基础知识；（3）本题属于基础题，要求有较高分析推理能力.6.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.【答案】(I) (223x y +-=； (II) (3,0). 【解析】试题分析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-= (II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又)C ，则PC ==，故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C ，则PC ==， 故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).【考点定位】1. 极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化.本题属于基础题，注意运算的准确性.7. 【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x <<(I)求实数,a b 的值；(II)+的最大值.【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4.【解析】试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3,1a b =-=；(II)=+≤4===1t =时等号成立，故min 4+=.试题解析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-则24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b =-=+=+≤4===1t=时等号成立，故min 4+=【考点定位】1.绝对值不等式；2.柯西不等式.【名师点睛】（1）零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间.去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；（2）要注意区别不等式与方程区别；（3）用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件8.【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.（I）若D为AC中点，求证：DE是O切线；（II）若OA=，求ACB∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =，解得x ACB =60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.9.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12 【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.10. 【2015高考新课标1，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x-1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<. ……5分 （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.。
2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题第九章平面解析几何圆的方程
精品题库试题理数1. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.61.D1.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.2.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，4）若圆C经过(1，0) ，(3，0) 两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）(A) (B)(C) (D)2. D2. 根据圆C与y轴相切可设圆C的方程为，又圆C因为过点(1，0) ，(3，0) ，可得圆心在x=2上，得a=2，把点（1,0）代入圆的方程得b=，所以圆C的方程为.3.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个3. C3. 焦点F的坐标为（1,0），准线为x=－1，由圆与相切可设圆的方程为:，则由题意可得①、②两式联立得，代入到①中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.4.(2014兰州高三第一次诊断考试, 8) 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A． B．C．D．4. C4. 依题意，，解得，，双曲线方程为.5.（2013重庆，10,5分）在平面上, ⊥, ||=||=1, =+. 若||< , 则||的取值范围是()A. B. C. D.5.D5.以A为原点, AB1所在直线为x轴建立直角坐标系, 如图所示.设B1(a, 0), B2(0, b), O(m, n), 则由已知得P(a, b). 由||=||=1, ||< , 得(m-a) 2+n2=1,m2+(n-b) 2=1, (m-a) 2+(n-b) 2< ,即-2am+a2=1-(m2+n2), -2nb+b2=1-(m2+n2), ①m2+n2-2am-2bn+a2+b2< , ②①代入②中, 得m2+n2+1-(m2+n2) +1-(m2+n2) < ,即有m2+n2> , > . 又||=||=1,相当于以O为圆心, 半径为1的圆与x轴, y轴有交点,即有|m|≤1, |n|≤1, 即m2+n2≤2,≤, 故有||=∈, 选D.6.（2013山东，9,5分）过点(3,1) 作圆(x-1) 2+y2=1的两条切线, 切点分别为A, B, 则直线AB的方程为()A. 2x+y-3=0B. 2x-y-3=0C. 4x-y-3=0D. 4x+y-3=06.A6.如图, 圆心坐标为C(1,0), 易知A(1,1).又k AB·k PC=-1, 且k PC==, ∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1), 即2x+y-3=0, 故选A.7. (2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________________.7.x2+(y-1)2=17.根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.8.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，14）已知是上一动点, 线段是的一条动直径(是直径的两端点), 则的取值范围是__________________．8.8. 因为，又因为|AB|=2，所以①，又因为，两边同时平方得② ①②两式相加得，由①得，由圆的性质可得，所以的取值范围是.9.(2013年河南十所名校高三第二次联考，13,5分) 圆－2x＋my－2＝0关于抛物线＝4y的准线对称，则m＝_____________9.29.抛物线＝4y的准线方程为直线，由题意，圆心在直线上，所以，解得.10.（2013重庆，14,5分）如图, 在△ABC中, ∠C=90°, ∠A=60°, AB=20, 过C作△ABC的外接圆的切线CD, BD⊥CD, BD与外接圆交于点E, 则DE的长为.10.510.设外接圆的圆心为O, 则AB是直径, O为AB的中点. 连结OE, 在Rt△ABC中, ∠ABC=30°, 又由CD与圆相切, 得∠BCD=60°. 又由BD⊥CD, 得∠CBD=30°, 所以∠OBD=60°, 所以△OBE是等边三角形, BE=10. 又可算得BD=15, 则DE=15-10=5.11. (2014重庆,21,12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.11.查看解析11.(Ⅰ)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|== c.从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(Ⅱ)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(Ⅰ)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.12.(2013山东青岛高三三月质量检测，22,13分）已知椭圆: 的焦距为, 离心率为, 其右焦点为, 过点作直线交椭圆于另一点.(Ⅰ) 若, 求外接圆的方程;(Ⅱ) 若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.12.(Ⅰ) 由题意知：，，又，解得.椭圆的方程为：.可得，, 设，则，.，，即.由，或即，或.①当的坐标为时，，外接圆是以为圆心，为半径的圆，即.②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，其外接圆是以线段为直径的圆，圆心坐标为，半径为，外接圆的方程为综上可知, 外接圆方程是，或. (Ⅱ) 由题意可知直线的斜率存在.设，，，.由得,由得：（），即.结合（）得，从而，点在椭圆上，，整理得, 即.，或.12.13.（2013重庆，21,12分）如图, 椭圆的中心为原点O, 长轴在x轴上, 离心率e=, 过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A, A' 两点, |AA' |=4.(Ⅰ) 求该椭圆的标准方程;(Ⅱ) 取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P', 过P, P' 作圆心为Q的圆, 使椭圆上的其余点均在圆Q外. 若PQ⊥P' Q, 求圆Q的标准方程.13.(Ⅰ) 由题意知点A(-c, 2) 在椭圆上, 则+=1, 从而e2+=1.由e=得b2==8, 从而a2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(Ⅱ) 由椭圆的对称性, 可设Q(x0, 0). 又设M(x, y) 是椭圆上任意一点, 则|QM|2=(x-x0) 2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0) 2-+8(x∈).设P(x1, y1), 由题意, P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此, 上式当x=x1时取最小值, 又因x1∈(-4,4), 所以上式当x=2x0时取最小值, 从而x1=2x0, 且|QP|2=8-.因为PQ⊥P' Q, 且P' (x1, -y1), 所以·=(x1-x0, y1) ·(x1-x0, -y1) =0,即(x1-x0) 2-=0. 由椭圆方程及x1=2x0得-8=0,解得x1=±, x0==±. 从而|QP|2=8-=.故这样的圆有两个, 其标准方程分别为+y2=, +y2=.13.14.(2013湖南，21,13分)过抛物线E: x2=2py(p> 0) 的焦点F作斜率分别为k1, k2的两条不同直线l1, l2, 且k1+k2=2, l1与E相交于点A, B, l2与E相交于点C, D, 以AB, CD为直径的圆M, 圆N(M, N为圆心) 的公共弦所在直线记为l.(Ⅰ) 若k1> 0, k2> 0, 证明: ·< 2p2;(Ⅱ) 若点M到直线l的距离的最小值为, 求抛物线E的方程.14.(Ⅰ) 由题意, 抛物线E的焦点为F, 直线l1的方程为y=k1x+.由得x2-2pk1x-p2=0.设A, B两点的坐标分别为(x1, y1), (x2, y2),则x1, x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2) +p=2p+p.所以点M的坐标为, =(pk1, p).同理可得点N的坐标为, =(pk2, p),于是·=p2(k1k2+).由题设, k1+k2=2, k1> 0, k2> 0, k1≠k2,所以0< k1k2< =1.故·< p2(1+12) =2p2.(Ⅱ) 由抛物线的定义得|FA|=y1+, |FB|=y2+, 所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p, 从而圆M的半径r1=p+p.故圆M的方程为(x-pk1) 2+=(p+p) 2,化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1) y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1) y-p2=0.于是圆M, 圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1) x+(-) y=0.又k2-k1≠0, k1+k2=2, 则l的方程为x+2y=0.因为p> 0, 所以点M到直线l的距离d===.故当k1=-时, d取最小值. 由题设, =, 解得p=8. 故所求的抛物线E的方程为x2=16y.14.15.（2013浙江，21,15分）如图, 点P(0, -1) 是椭圆C1: +=1(a> b> 0) 的一个顶点, C1的长轴是圆C2: x2+y2=4的直径. l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A, B 两点, l2交椭圆C1于另一点D.(Ⅰ) 求椭圆C1的方程;(Ⅱ) 求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.15.(Ⅰ) 由题意得所以椭圆C的方程为+y2=1.(Ⅱ) 设A(x1, y1), B(x2, y2), D(x0, y0). 由题意知直线l1的斜率存在, 不妨设其为k, 则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2: x2+y2=4, 故点O到直线l1的距离d=,所以|AB|=2=2.又l2⊥l1, 故直线l2的方程为x+ky+k=0.由消去y, 整理得(4+k2) x2+8kx=0,故x0=-.所以|PD|=.设△ABD的面积为S, 则S=|AB|·|PD|=,所以S=≤=, 当且仅当k=±时取等号.所以所求直线l1的方程为y=±x-1.15.16.（2013江苏，17,14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 点A(0,3), 直线l: y=2x-4.设圆C的半径为1, 圆心在l上.(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;(2) 若圆C上存在点M, 使MA=2MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.16.(1) 由题设, 圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点, 解得点C(3,2), 于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3) 的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意, =1, 解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2) 因为圆心在直线y=2x-4上, 所以圆C的方程为(x-a) 2+2=1.设点M(x, y), 因为MA=2MO,所以=2, 化简得x2+y2+2y-3=0, 即x2+(y+1) 2=4, 所以点M在以D(0, -1) 为圆心, 2为半径的圆上.由题意, 点M(x, y) 在圆C上, 所以圆C与圆D有公共点, 则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3.由5a2-12a+8≥0, 得a∈R;由5a2-12a≤0, 得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.16.17.(2013课标Ⅰ, 20,12分)已知圆M: (x+1) 2+y2=1, 圆N: (x-1) 2+y2=9, 动圆P与圆M外切并且与圆N内切, 圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ) 求C的方程;(Ⅱ) l是与圆P, 圆M都相切的一条直线, l与曲线C交于A, B两点, 当圆P的半径最长时, 求|AB|.17.由已知得圆M的圆心为M(-1,0), 半径r1=1; 圆N的圆心为N(1,0), 半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x, y), 半径为R.(Ⅰ) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1) +(r2-R) =r1+r2=4.由椭圆的定义可知, 曲线C是以M、N为左、右焦点, 长半轴长为2, 短半轴长为的椭圆(左顶点除外), 其方程为+=1(x≠-2).(Ⅱ) 对于曲线C上任意一点P(x, y), 由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0) 时, R=2. 所以当圆P的半径最长时, 其方程为(x-2) 2+y2=4.若l的倾斜角为90°, 则l与y轴重合, 可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°, 由r1≠R知l不平行于x轴, 设l与x轴的交点为Q,则=, 可求得Q(-4,0), 所以可设l: y=k (x+4). 由l与圆M相切得=1, 解得k=±. 当k=时, 将y=x+代入+=1, 并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 当k=-时, 由图形的对称性可知|AB|=.综上, |AB|=2或|AB|=.17.。