圆锥曲线中的轨迹问题(含解析)

圆锥曲线中的轨迹问题

一、单选题

1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线

B ．一个圆

C ．一个椭圆

D ．曲线的一支

2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有

1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ）

A ．3

B ．32

C ．

32

D ．1

3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1

3

AM =

，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．抛物线

C ．双曲线

D ．直线

二、填空题

4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________.

5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.

三、解答题

6．圆C 过点()60A ，

，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.

（1）求圆C 的方程；

（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.

7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1

||2

PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程；

8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3

l x =

的距离之比是常数3

5，求点

M 的轨迹方程.

9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在

圆上运动时，线段PD 上有一点M

，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程；

10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；.

（2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率.

一、单选题

1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆

C ．一个椭圆

D ．曲线的一支

【答案】A 【分析】

先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型. 【详解】

如图，设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线

AB β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直

所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面β与平面α的交线上.

【点睛】

本题主要考查轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.

2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有

1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ）

A 3

B ．32

C ．

3

2

D ．1

【答案】C 【分析】

本题首先可以根据题意确定当1PC BD ⊥时直线PC 所在平面区域，然后结合图像即可得出动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ，然后求出1AB C 面积即可得出结果. 【详解】

如图，易知直线1BD ⊥平面1ACB ， 故动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ， 因为1AB C 为边长为2的正三角形，

所以其面积()

2

3

32

S =⋅

=

， 故选：C. 【点睛】

本题考查线面垂直的相关性质，若直线与平面垂直，则直线垂直这个平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.

3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1

3

AM =

，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．抛物线

C ．双曲线

D ．直线

【答案】B 【分析】

作PQ AD ⊥，11QR A D ⊥，PR 即为点P 到直线11A D 的距离，由勾股定理得

2221PR PQ RQ -==，由已知221PR PM -=，故PQ PM =，即P 到点M 的距离

等于P 到AD 的距离 【详解】

解：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，作PQ AD ⊥，垂足为Q ， 则PQ ⊥平面11ADD A ，过Q 作11QR A D ⊥，则11A D ⊥平面PQR ， 则PR 为点P 到直线11A D 的距离， 由题意得2

2

2

1PR PQ RQ -==， 由已知得221PR PM -=， 所以PQ PM =，

即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离，

所以根据抛物线的定义可得，点P 的轨迹是抛物线， 故选：B

【点睛】

此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结的数学思想，属于中档题

二、填空题

4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 【答案】2

2

1(0)x y y +=≠ 【分析】

设点(),P x y ，轨迹直线PA 与PB 的斜率之积为-1，即1PA PB k k ⋅=-化简求解. 【详解】 设点(),P x y ，

因为直线PA 与PB 的斜率之积为-1，