直角三角形小结

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九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系本章小结与复习教案(新版)北师大版

第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。

二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。

如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。

显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。

2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。

这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。

3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。

4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。

同时要强调三角函数的实质是比值。

防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。

如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。

5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。

人教版八年级上册三角形小结与复习课件 (共39张PPT)

广东省怀集县凤岗镇初级中学黎方和
一、基础知识
练一练： 1、已知△ABC中,∠A=∠B+∠C,则∠A的度数为 ( B)
A.100° B.90° C.80° D.85°
2、三角形的每个外角都为120°，则这个三角形是（ C ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形
一、基础知识
A．11
B．12
C．13
D．14
4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D 是 AB 上一点，
将△ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B′处，则∠ADB′等于( D )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
第4题
二、填空题 5．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有____稳定 _____性．
角形的第三边长m的取值范是 6〈m〈10
.
广东省怀集县凤岗镇初级中学黎方和
一、基础知识
3、如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE 是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是 24，则ABE的面积是（ B ）
A
A、3
B、6
E
C、9
D、12
C
B
D
广东省怀集县凤岗镇初级中学黎方和
一、基础知识
F
B 广东省怀集县凤岗镇初级中学
G 黎方和
E C
二. 强化训练 8.如图，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别为 ∠ABC与∠ADC的平分线，能判断BE∥DF吗？试说明理由．
广东省怀集县凤岗镇初级中学黎方和
一、选择题章末检测
1．如图，在△ABC 中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD 的度数( B )

初中数学解直角三角形知识点小结

第十一章解直角三角形小结考点一、直角三角形的性质（3~5分）1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD ∙=2⇒ AB AD AC ∙=2CD ⊥AB AB BD BC ∙=26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC考点二、直角三角形的判定（3~5分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念（3~8分）1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即ca sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cb cos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即ba tan =∠∠=的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即ab cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 33 04、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系1cos sin 22=+A A（3）倒数关系tanA ∙tan(90°—A)=1（4）弦切关系tanA=AA cos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形（3~5）1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

第十二章全等三角形小结教学反思三角形教学反思

第十二章全等三角形小结教学反思三角形教学反思在日常学习、工作或生活中，大家总少不了接触作文或者范文吧，通过文章可以把我们那些零零散散的思想，聚集在一块。

范文怎么写才能发挥它最大的作用呢？这里我整理了一些优秀的范文，盼望对大家有所关心，下面我们就来了解一下吧。

第十二章全等三角形小结教学反思篇一在其次阶段，探究三角形的三条边之间的重要关系过程中，由于是再现课，同学的乐观性不是很高，由于他们已经知道了结果，再加上我对这种状况的'处理阅历有限，所以在突破重难点时不够深刻。

今日这节课，让我更加深刻地熟悉到一堂真正胜利的数学课堂，过程才是最重要的。

数学教学内容是数学基础学问和数学思想方法的有机结合，在今日的数学课上，加上是再现课的缘由，孩子一味地利用“三角形两边之和大于第三边”来回答问题，而对于这句话的理解却很模糊，甚至消失错误，这说明他们对是如何得出这句结论的过程并没有深刻理解，这也反映了同学往往只留意对数学学问的学习和运用，而忽视了连结这些学问的观点及由此产生的解决问题的方法与策略。

只注意结果而不注意数学学习过程的这种学习模式，不是一时半会养成的，这是孩子在常年的学习中形成的一种错误学习模式。

我现在带的是一班级数学，在遇到解决实际问题的题目时，许多孩子上来就列算式，只要看到数字，要么就加要么就减，这是一种很危急的信号，假如这种学习持续下去，最终的结果就是孩子只会“做”题目，不会论述、思索、讨论问题。

因此我盼望自己在将来的教学中更加注意在数学课堂中渗透数学思想方法的教育，让同学在学到数学学问的同时也学到数学思想方法，在以后的生活，工作中都可以随时随地用它们去解决问题，在培育智力的同时也培育了孩子观看、分析、综合概括、语言组织表达等力量，这也将更促进我们素养教育的开展。

第十二章全等三角形小结教学反思篇二全等三角形第一课时，这节课比较简洁，我采纳了先学后教的教学策略。

教学过程大致是：首先，同学自学。

其次，老师多媒体展现教材上的图案以及制作的一些图案，引导同学识图，检测同学自我建构全等三角形概念的状况。

直角三角形的小结与复习

A
E
B
C D
作业
如图，AC与BD相交于点. O,DA⊥AC,
DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立的理由. A O D C B
如图:AC与BD相交于点O,DA⊥AC, DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立的理由. A B 解：理由如下：连接DC， O ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=90° 又∵AC=BD(已知) C D CD=DC(公共边) ∴Rt△ACD≌Rt△BDC(HL) ∴∠BDC=∠ACD(全等三角形的对应角相等) ∴ OD=OC(等角对等边)
A
E
2、如图：直线L上有三个正方形A、B、C。
若A、C的面积分别为5和11，则B的面积为
多少？
B A C
例2、如图：设A城市气象台测得台风中心，在 A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。
.
1、如图：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm， BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC 上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，请探究当点P满足什么条件时，△ABC和△PQA全等。解:当P点为AC中点或P点与C点重合时△ABC和△PQA全等. 1)当P为AC中点时,PA=PC=5cm, M ∴PA=CB, Q ∵AB=QP ∴Rt △ABC≌ Rt △QPA(HL) B 2)当P点与C点重合时,AC=PA ∵AB=PQ ∴Rt △ABC≌ Rt △PQA(HL)
∴ △ACD是Rt △ ∴S四边形ABCD= ×4 ×3﹢ ×12 ×5=36
1 2 1 2
练习

初中三角形知识点总结

初中三角形知识点总结初中三角形知识点总结「篇一」1.知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

12.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

多边形对角线的条数：(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

初中三角形知识点总结「篇二」初中三角形数学知识点总结三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

接下来为大家整合的是上海初中数学三角形知识点总结。

三角形知识点三角形两边的和大于第三边推论三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角中考知识点总结：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

第四章三角形(单元小结)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂(北师大版)

（2） 3， 4， 7；
（3） 9， 13， 5；
（4） 11， 12， 20；
（5） 14， 15， 31.
解：能摆成三角形的是（1）（3）（4），根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
考点专练
1.已知一个三角形的两边长分别是 2 cm和 4 cm，则第三边长 x 的取值范围是 2 <x<6 ；若 x 是奇数，则 x 的值是 3 或 5 ；此三角形的周长 y 的取值范围是___8_<_y_<_1_2______ . 2. 一个等腰三角形的一边是 2 cm，另一边是 9 cm ，则这个三角形的周长是 20 cm. 3. 一个等腰三角形的一边是 5 cm，另一边是 7 cm ，则这个三角形的周长是 17或19 cm.
A D
2.如图3，在△ABC 中，BC 边上的高为__A__E____．
C EB
F
图3
考点专练
（四）关于全等三角形性质及判定
A
例4：如图，在△ABC 中，AB=AC，BE=CE，则由
E
“SSS”可以判定是（C ）
A.△ABD≌△ACD C.△ABE≌△ACE
B.△BDE≌△CDE D. △ABE≌△CDE
B
DC
例5：如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，
A
还需条件（D ）
12
A.AB＝AD，BC＝DE
B.BC＝DE，AC＝AE
EC
C.∠B＝∠D，∠C＝∠E
D.AC＝AE，AB＝AD B
D
考点专练
1.如图，点C，F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC，试判断 AB 与 ED 有什么关系？并说明理由.

直角三角形边角关系小结PPT

2.在Rt△ABC中,∠C=900,∠B=600,AB=4, 求AC,BC,sinA和cosA. 3.把一条长1.35m的铁丝弯成顶角为1500 的等腰三角形,求此三角形的各边长(结果精确到0.01m).
独立作业
知识的升华
P29 复习题A,B组共16题.
祝你成功！
驶向胜利的彼岸
/plus/view.php?aid=38678
复习题A组
驶向胜利的彼岸
想一想
3.在Rt△ABC中,∠C=900,a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知a=3,b=3,求∠A; (2)已知c=8,b=4,求a及∠A;; (3)已知c=8,∠A=450,求a及b . 4.已知cosA=0.6,求sinA,tanA.
?
想一想P29 5
cos A a sin A cos B , c b cos A sin B , c
c a A b ┌ C B
特殊角300,450,600角的三角函数值.
/plus/view.php?aid=38660 3 随堂练习P29
复习题A组
1.计算: (1)sin450-cos600+tan600; (2)sin2300+cos2300-tan450; (3)sin300-tan300+cos450.
tan A 1 ∠A= 450
/plus/view.php?aid=38656
/plus/view.php?aid=38658 回顾与思考 2
驶向胜利的彼岸
直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB 同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1. tan A sin A .

第11章三角形小结与复习人教版数学八年级上册课件(共31张PPT)

60°，AB 与 DE 有怎样的位置关系？AD 与 BC 有怎样
的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC. 理由如下： ∵ 六边形 ABCDEF 的内角都相等，
D
E
2C
∴ 六边形 ABCDEF 的每一个内角都是 120°.
∴∠C =∠EDC =∠FAB = 120°.
F
1B
∵∠1 =∠2 = 60°，
1．(德阳)八一中学九年级 2 班学生小冲和小锐的家
到学校的直线距离分别是 5 km 和 3 km. 那么小冲、
小锐两家的直线距离不可能是
(A)
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
2．(抚州)已知等腰三角形两边的长分别为 a，b，且满足 |a－3|＋(b－7)2＝0.则这个等腰三角形的周长为_1_7__.
例4 如图，D 是△ABC 的边 BC 上任意一点，E、F 分
别是线段 AD、CE 的中点，且△ABC 的面积为 24，求
△BEF 的面积．
A
解：∵ 点 E 是 AD 的中点，
EF
∴ S△DBE = S△ABD，S△DCE = S△ADC.
BD
C
∴ S△DBE + S△DCE = S△ABC = ×24 = 12，即 S△BCE = 12.
考点二三角形的重要线段
例3 如图，CD 为△ABC 的 AB 边上的中线，△BCD 的周
长比△ACD 的周长大 3 cm，BC = 8 cm，求边 AC 的长．解：∵ CD 为△ABC 的 AB 边上的中线， ∴ AD = BD． ∵△BCD 的周长比△ACD 的周长大 3 cm， ∴ (BC + BD + CD)－(AC + AD + CD) = 3． ∴ BC－AC = 3． ∵ BC = 8 cm， ∴ AC = 5 cm．

人教版数学八年级上册第十一章复习小结：三角形

第十一章三角形复习小结教学目标：1、回忆本章知识，形本钱章知识构造.2、总结本章解题规律，进展跟踪训练.重点：归纳本章知识构造，进展跟踪训练.难点：总结本章解题规律.教学过程：一、回忆本章知识，形本钱章知识构造二、双基训练：⒈在活动课上，小红有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，那么小红应取的第三根小木棒的长应为8 cm．⒉⊿ABC中，假设∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,那么△ABC是直角三角形.⒊三角形中至少有一个角不小于60 °；没有对角线的多边形是三角形；一个多边形中，锐角最多有三个；一个四边形截去一个角后可以得到的多边形是三角形或四边形或五边形.⒋一个多边形的每个外角都是30°，那么它是十二边形，其内角和是1800°.⒌一个多边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大100°，那么边数n＝9 .⒍如图⑴，在直角△ABD中，∠D＝90°，C为BD上一点，那么x可能是〔B〕A、10B、20C、30D、40⒎如图⑵有两个正方形和一个等边三角形，那么图中度数为30°的角有〔D〕A、1个B、2个C、3个D、4个⒏一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为〔B〕A、正三边形B、正四边形C、正五边形D、正六边形三、例题解析：例1．等腰三角形一腰上的中线将周长分为6和15两局部，求此三角形的腰长. 解：如图等腰△ABC中，AB＝AC,BD是腰AC上的中线，x设AB＝AC＝x ,BC＝y 那么AD＝DC＝2①当AB＋AD＝6 , BC＋CD＝15时,即：x ＋2x ＝6，y ＋2x ＝15 解得x ＝4， y ＝13 ∵4＋4＜13∴此时不能组成三角形，故x ＝4， y ＝13不合题意，舍去.②当AB ＋AD ＝15 , BC ＋CD ＝6时,即：x ＋2x ＝15，y ＋2x ＝6 解得x ＝10， y ＝1∵10＋1＞10∴10、10、1能构成三角形.∴此三角形的腰长为10.例2.如图⑶一个四边形ABCD 模板，设计要求AD 与BC 的夹角应为30°，CD与BA 的夹角应为20°.现在已测得∠A ＝80°，∠B ＝70°，∠C ＝90°,请问：这块模板是否合格？并说明理由.解：这块模板合格.理由：延长AD 、BC 相交于点E,延长BA 、CD 相交于点F在△ABE 中∵∠EAB ＝80°，∠B ＝70°∴∠E ＝180°―∠EAB―∠B ＝30°在△CFB 中∵∠FCB ＝90°，∠B ＝70°∴∠F ＝180°―∠FCB―∠B ＝20°∴这块模板合格.例3. ⊿ABC 中，⑴如图⑷，∠DBC 和∠ECB 的角平分线相交于点O ；⑵如图⑸，∠ABC 的角平分线BD 和∠ACE 的角平分线相交于点O ；如图⑹，∠CBD 的角平分线BO 和∠BCE 的角平分线CO 相交于点0,试猜测∠A 与∠D 的关系，并选择其中一个进展证明.提示：⑴∠BOC ＝180°－〔∠2＋∠3〕＝180°－〔∠1＋∠4〕＝180°－〔∠5＋∠6＋∠7＋∠8〕＝180°－〔∠BAC ＋∠BOC 〕＝90°－2BAC ∠ ⑵∠A ＝322∠-∠＝2O ∠⑶∠BOC ＝180°－2ABC ACB ∠+∠ ＝180°－1802A -∠＝90°＋2A ∠．三、稳固练习： 1.有四条线段，长度分别是12cm,10cm,8cm,4cm,选其中的三条组成三角形，那么可组成 3 个不同的三角形.2.如果等腰三角形的两边长为5cm 和9cm ，那么三角形周长为19cm 或23cm .3.△ABC 中，假设∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶7,那么△ABC 是直角三角形.4.一个n 边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大60°，那么边数n ＝ 6 .5..三角形最长边等于10，另两条边的长分别为x 和4，周长为C ，那么x 和C 的取值范围分别是 6＜x≤10 ，20＜C≤246.如图⑺，AB ∥CE, ∠C ＝37°，∠A ＝114°，那么∠F 的度数为 77°.7.如图⑻所示,△ABC 中AB ＝AC ，请你添加一个条件．．．．AD 平分∠EAC 〔不唯一〕，使得AD ∥BC.8.如图⑼，D 、E 是边AC 的三等分点假设△ABC 的面积为12㎝2，那么△BDC 的面积是8 ㎝2.9.如图⑽，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是300°.10.一个多边形的内角和是1980°，那么它的边数是_13 _，它的外角和是360 ° ，共有__65__条对角线.11.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的15，那么这个多边形是〔 D 〕A 、五边形B 、八边形C 、九边形D 、十二边形12.以下说法不正确的选项是〔 D 〕A 、任意形状的一些三角形可镶嵌地面B、用形状大小完全一样的六边形可镶嵌地面C、用形状大小完全一样的任意四边形可镶嵌地面D、用任意一种多边形可镶嵌地面13.用两个正三角形与下面的假设干个〔B〕可以进展平面镶嵌.A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形14.如图⑾，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，那么∠A、∠1、∠2之间的关系是〔B〕A、∠A＝∠1－∠2B、2∠A＝∠1－∠2C、3∠A＝2∠1－∠2D、3∠A＝2〔∠2－∠1〕15.如图⑿,∠1＋∠2＝180°，DG∥AC，求证：∠A＝∠DFE.证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°∴∠2＝∠DFE∴AB∥EF∴∠A＝∠3又∵DG∥AC∴∠3＝∠DFE ∴∠A＝∠DFE.16.如图⒀, △ABC中，点D在AC上，且∠ABC＝∠C＝∠BDC, ∠ABD＝∠A,求∠A的度数.解：设∠ABD＝∠A＝x°∵∠BDC＝∠ABD＋∠A∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°∴x°＋2x°＋2x°＝180°∴x＝36，∴∠A＝36°17.如图⒁,D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A＝35°,∠D＝42°,求∠ACD的度数.解：∵DF⊥AB∴∠AFE＝90°又∵∠CEF ＝∠AFE ＋∠A,∠CEF ＝∠ECD ＋∠D∴∠AFE ＋∠A ＝∠ECD ＋∠D又∵∠A ＝35°,∠D ＝42°∴90°＋35°＝∠ECD ＋42°∴∠ECD ＝83°,即∠ACD ＝83°.18.如图⒂,△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，AB ＝10cm,BC ＝8cm,AC ＝6cm.⑴求CD 的长；⑵求△ABE 的面积.解：⑴∵S △ABC ＝12(AC×BC)＝12(AB×CD) ∴12(6×8)＝12(10×CD) ∴CD ＝ 4.8(cm) .⑵∵BE 是AC 边上的中线∴S △ABE ＝12S △ABC ＝12 (682)＝12(cm 2). 19.如图⒂,∠xoy ＝90°,点A 、B 分别在射线ox,oy 上移动，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠C 的大小是否随点A 、B 的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C 的大小，如果随点A 、B 的移动而发生变化，请求出变化范围.解：∠C 的大小保持不变.∵BE 是∠ABy 的平分线∴∠3＝∠2＝12∠ABy 又∵AC 平分∠OAB∴∠1＝12∠OAB ∴∠C ＝∠3－∠1＝12∠ABy －12∠OAB ＝12 (∠ABy －∠OAB)＝12∠xoy 又∵∠xoy ＝90°∴∠C ＝45°.。

【中考数学29个几何模型】模型26 其他型解直角三角形(后附解题思路分析与小结)

专题26其他型解直角三角形一、单选题1．如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45m CD =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（）（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53︒≈）A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m二、解答题2．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60︒，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度1:3i =，6AB =米，广告牌CD 的高度为3米．()1求点B 距水平面AE 的高度BH ；()2求楼房DE 的高度.(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)3．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C 的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．4．如图，在一条笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘小船从A处沿北偏西60︒方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达P处，从B处测得小船在它的北偏东45︒的方向上．（1）求AB的距离；（2）小船沿射线AP的方向继续航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15︒的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）5．如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD 的长度是边沿BC 长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC ＝45°，边沿CD 所在直线与边沿BC 所在直线相交后所成的锐角为30°（即P 在BC 的延长线上，∠DCP ＝30°），经测量BC 的长度为7米，求零件的边沿CD 的长．（结果保留根号）6．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．（1）求A 的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈）7．如图，一艘渔船正以3海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A 处看小岛C 在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°．（1）求小岛C 到航线AB 的距离．（2）已知以小岛C 为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？8．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A 观测到67.5PAB ∠=︒，同时，巡逻船B 观测到36.9PBA ∠=︒，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A 与落水人P 的距离？（参考数据：3sin 36.95︒≈，3tan 36.94︒≈，12sin 67.513︒≈，12tan 67.55︒≈）9．课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A 处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK ，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ 长2.2米，坡角∠JHL ＝30°，窗口高EF ＝1.2米，树干底部KC ＝0.9m ，A 点距墙根G 为1.5m ，树干距墙面的水平距离IC 为4.5m ，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL 的长度．10．图1是一款折叠式跑步机，由支杆AE （点A 、E 固定），滑动杆PF 和底座AD 组成，AC 为滑槽，图2是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知AE =60cm ，AC =120cm ，收纳时，当滑动端点P 向右滑至点C 时，滑动杆．．．PF ．．恰好与滑槽．．．．．AC ．．重合．．．（1）如图3，当滑动端点P 滑至AC 的中点B 时，求点F 到底座AD 的距离；（2）当滑动端点P 从点B 向左滑动到点Q ，PF 与AD 的夹角是70°时，小明观察点F 处的仪表盘视角为最佳，求此时滑动端点P 继续向左滑动的距离BQ 的长 1.73≈，sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈，结果保留一位小数．）11．如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为70°时，箱盖ADE 落在AD′E′的位置（如图2）．已知AD ＝100厘米，点D 到地面距离为110厘米．求点D′离地面的高度．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）12．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG ∆的面积为FH 的长．13．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，BD 交于点F．（1）若点E 为CD 中点，4AB =，求EF 的长．（2）若tan 3AFB ∠=，求BF DF的值．（3）若点G 在线段BF 上，且2BG GF =，连结AG 、CG ，BF x DF =，四边形AGCE 的面积为1S ，ABG 的面积为2S ，求12S S 的最大值．14．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图，AB 和CD 是两根相同长度的活动支撑杆，点O 是它们的连接点，(),OA OC h cm =表示熨烫台的高度．（1）如图2-1，若80,120AO CO cm AOC ︒==∠=，求AC 的长(结果保留根号)；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h 为128cm 时，两根支撑杆的夹角AOC ∠是74︒，求该熨烫台支撑杆AB 的长度．(参考数据：370.6,370.8,530.8,530.6sin cos sin cos ︒︒︒︒≈≈≈≈)15．如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂12AB cm =，中臂8BC cm =，底座4.CD cm =（1）若上臂AB 与水平面平行，60ABC ︒∠=．计算点A 到地面的距离．（2）在一次操作中，中臂与底座成135︒夹角，上臂与中臂夹角为105︒，如图2，计算这时点A 到地面的距离．与图1状态相比，这时点A 向前伸长了多少?16．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，10m DE =，其坡度为13i =将步梯DE 改造为斜坡AF ，其坡度为21:4i =，求斜坡AF 的长度．（结果精确到0.01m 3 1.732≈17 4.122≈）17．如图，为了测量某条河的对岸边C ，D 两点间的距离，在河的岸边与CD 平行的直线EF 上取两点A ，B ，测得45BAC ∠=︒，37ABC ∠=︒，60DBF ∠=︒，量得AB 长为70米．求C ，D 两点间的距离（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）．18．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量．先测得居民楼AB 与CD 之间的距离AC 为35m ，后站在M 点处测得居民楼CD 的顶端D 的仰角为45°．居民楼AB 的顶端B 的仰角为55°．已知居民楼CD 的高度为16.6m ，小莹的观测点N 距地面1.6m ．求居民楼AB 的高度（精确到1m ）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）19．2018年9月21日“盐城大铜马“顺利回归，如图，小丽和小明决定用所学的知识测量大铜马AB 的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小明测得基座下部BE 长为1.8米，基座BC 高为6.12米，在E 点处测得点F 的仰角为80.72°，小丽沿直线BE 步行到达点D 处测得点A 和点F 的仰角分别为60.18°和50.75°，若A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内且B 、E 、D 和A 、C 、B 分别在同一直线上，请分别求出CF 和大铜马AB 的高度．（结果精确到0.01米，参考数据sin80.72°＝0.987，cos80.72°＝0.161，tan80.72°＝6.12，sin60.18°＝0.868，cos60.18°＝0.497，tan60.18°＝1.74，sin50.75°＝0.774，cos50.75°＝0.663，tan50.75°＝1.224）20．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？21．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且2BAC CBF ∠=∠．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若O 的直径为4，6CF =，求tan CBF ∠．22．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，测角仪高AF=2米，先在A处测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走20米到达B处（AB=20米），又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°．点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（结果保留根号）23．郑州大学(ZhengzhouUniversity)，简称“郑大”，是中华人民共和国教育部与河南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、“211工程”．某学校兴趣小组3人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上求大楼AC的高度．(≈1.73，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87)三、填空题24．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠= ，6AB =，4=AD ，拦水坝的横断面ABCD 的面积是________（结果保留三位有效数字，1.732= 1.414=）25．如图，AC 是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD 为坡面的斜坡，小明在A 点观察点D的俯角为30°，在A 点观察点B 的俯角为45︒，若坡面BD 的坡度为，则BD 的长为__________．26．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D 处，无人机测得操控者A 的俯角为37°，测得点C 处的俯角为45°．又经过人工测得操控者A 和教学楼BC 距离为57米，则教学楼BC 的高度为______米．（注：点A ，B ，C ，D 都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）27．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．//,BC AD BE AD ⊥，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移________m 时，才能确保山体不滑坡．（取tan50 1.2︒=）专题26其他型解直角三角形一、单选题1．如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45m CD =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（）（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53︒≈）A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m【答案】B【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE 、EC 、BE 、DF 、AF ，进而求出AB ．【详解】解：如图，由题意得，∠ADF ＝28°，CD ＝45，BC ＝60，在Rt DEC 中，∵山坡CD 的坡度i ＝1：0.75，∴DE EC ＝10.75＝43，设DE ＝4x ，则EC ＝3x ，由勾股定理可得CD ＝5x ，又CD ＝45，即5x ＝45，∴x ＝9，∴EC ＝3x ＝27，DE ＝4x ＝36＝FB ，∴BE ＝BC +EC ＝60+27＝87＝DF ，在Rt ADF 中，AF ＝tan28°×DF ≈0.53×87≈46.11，∴AB ＝AF +FB ＝46.11+36≈82.1，故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．二、解答题2．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60︒，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度1:3i =，6AB =米，广告牌CD 的高度为3米．()1求点B 距水平面AE 的高度BH ；()2求楼房DE 的高度.(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)【答案】（1）3米；（2）（9932+）米．【分析】（1）在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH ；（2）过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，用x 表示出BG 、CG 、CE ，然后表示出DE 的长，在△ADE 根据三角函数列出方程，解方程后即可求出楼房DE 的高度．【详解】解：（1）Rt △ABH 中，i=tan ∠BAH=3=，∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=3米；（2）如图，过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，∴四边形BHEG 是矩形．∵由（1）得：BH=3，AH=∴BG=AH+AE=（）米，EG=BH=3，Rt △BGC 中，∠CBG=45°，∴CG=BG=，∴CE=CG+EG=3+，∴DE=CE-CD=3+，Rt △ADE 中，∠DAE=60°，∴tan 60DE AE== ，∴x +=，∴92x +=，∴DE =9332+=92+.答：楼房DE 的高度为（9932+）米．【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．3．如图，052D 型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C ，途经渤海海域A 处时，葫芦岛军港C 的中国海军发现点A 在南偏东30°方向上，旅顺军港B 的中国海军发现点A 在正西方向上．已知军港C 在军港B 的北偏西60°方向，且B 、C 两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A 到军港C 的距离；（2）若“昆明舰”从A 处沿AC 方向向军港C 驶去，当到达A ＇时，测得军港B 在A ＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．【答案】（1）（2）60-海里．【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，在Rt ACD 中利用利用三角函数即可求解；（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N ，可证A ＇B 平分∠CBA ，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．【详解】解：（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D由题意可得：∠CBD30=︒，BC=120则DC=60故603 cos302DCAC AC︒===解得：AC=答：此时点A到军港C的距离为（2）过点A＇作A＇N⊥BC于点N 可得∠1=30︒，∠BA＇A=45︒则∠2=15︒，即A＇B平分∠CBA设AA＇=x，则A＇E=3 2 x故CA＇=2A＇N=322x ⨯=x+=∴x60=-答：此时“昆明舰”的航行距离为60-海里．【点睛】此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．4．如图，在一条笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘小船从A处沿北偏西60︒方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达P处，从B处测得小船在它的北偏东45︒的方向上．（1）求AB的距离；（2）小船沿射线AP的方向继续航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15︒的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）(5AB =+海里；（2）52海里．【分析】（1）过点P 作PD AB ⊥于点D ,利用余弦定义解出AP 、AD 的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD 的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；（2）过点B 作BF AC ⊥于点F ，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF 的长，在Rt BCF 中，由勾股定理解得BC 的长即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PD AB ⊥于点D ，在Rt PAD V 中，90ADP ∠=︒，906030PAD ∠=︒-︒=︒，∵cos AD PAD AP∠=，200.510AP ⨯==∴cos 102PA A D D AP =⋅=⨯=∠152PD AP ==在Rt PBD 中，90BDP ∠=︒，904545PBD ∠=︒-︒=︒，∴5BD PD ==．∴(5AB =+海里（2）如图，过点B 作BF AC ⊥于点F ，在Rt ABF 中，90AFB ∠=︒，30BAF ∠=︒，∴(11522BF AB ==+在ABC 中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒．在Rt BCF 中，90BFC ∠=︒，45C ∠=︒，∴52C B ==+海里．∴点C 与点B 之间的距离为52海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．5．如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边沿AD的长度是边沿BC长度的三倍，且它们所在的直线互相平行，检测员王刚参与了前期零件的基础设计，知道∠ABC＝45°，边沿CD所在直线与边沿BC所在直线相交后所成的锐角为30°（即P在BC的延长线上，∠DCP＝30°），经测量BC的长度为7米，求零件的边沿CD的长．（结果保留根号）【答案】14314【分析】过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，从而构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，用DP表示CN，MA，再根据矩形的性质，求出DP的长，进而求出CD的长．【详解】如图，过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于点N，∵BC∥AD，∴∠ABC ＝∠MAB ＝45°，又∵∠MBA ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴MA ＝MB ＝DN ，又∵AD ＝3BC ，BC ＝7，∴AD ＝21，在Rt △CDN 中，∠DCN ＝30°，∴CD ＝2DN ，CN DN ，由MD ＝BN 得，DN +21＝DN ，解得，DN ＝+7，∴CD ＝2DN ＝14+（米）．【点睛】考查了解直角三角形的应用，解题关键掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，利用方程求解是解决问题的基本方法．6．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．（1）求A 的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈）【答案】（1）圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）拉杆BC 的伸长距离为30cm ．【分析】（1）作BH ⊥AF 于点K ，交MN 于点H ，则△ABK ∽△ACG ，设圆形滚轮的半径AD 的长是xcm ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）求得CG 的长，然后在直角△ACG 中，求得AC 即可解决问题；【详解】（1）作BH AF ⊥于点K ，交MN 于点H .则BK CG ，ABK ACG ∆∆∽.设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x .则BK AB CG AC =，即3850595035x x -=-+，解得：8x =.则圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）在Rt ACG ∆中，80872(cm)CG =-=.则sin CG CAF AC∠=∴AC=72=sin 0.9CG CAF ∠=80(cm)∴805030(cm)BC AC AB =-=-=.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．7．如图，一艘渔船正以3海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A 处看小岛C 在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°．（1）求小岛C 到航线AB 的距离．（2）已知以小岛C 为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？【答案】（1）小岛C 到航线AB 的距离为16海里；（2）这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能；渔船进去危险区，那么经过453分钟可穿过危险区．【分析】（1）作CD ⊥AB 于D ，由题意得出∠CAB ＝∠ACB ＝30°，从而得出AB ＝CB ＝3233，在Rt △BCD 中，求得CD 的长即可．（2）利用勾股定理得出MD 的长进而得出答案．【详解】（1）作CD ⊥AB 交AB 于点D ，如图1所示由题意可知：∠CAB ＝90°-60°＝30°，∠CBD ＝90°-30°＝60°∴∠ACB ＝∠CBD-∠CAB ＝30°∴∠CAB ＝∠ACB∵∴AB ＝CB ＝32360360⨯＝3233在Rt △CBD 中()()3233233sin sin 6016332CD CB CBD =⨯∠=⨯=⨯=∴小岛C 到航线AB 的距离为16海里；（2）∵CD ＝16＜20∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能设M 为开始进入危险区的位置，N 为离开危险区的位置，如图2所示：即CM ＝CN ＝20∵CD ⊥AB∴DM ＝DN在Rt △CMD 中DM 12==∴MN ＝2DM ＝2443233小时即4⨯∴渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．【点睛】本题考查了方位角、勾股定理、等腰三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌方位角、握勾股定理、等腰三角形、三角函数的性质，从而完成求解．8．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A 观测到67.5PAB ∠=︒，同时，巡逻船B 观测到36.9PBA ∠=︒，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A 与落水人P 的距离？（参考数据：3sin 36.95︒≈，3tan 36.94︒≈，12sin 67.513︒≈，12tan 67.55︒≈）【答案】巡逻船A 与落水人P 的距离为39海里．【分析】过点P 作PC AB ⊥，垂足为C ．设PC x =海里，在Rt APC ∆中，可得AC=512x ，在Rt PCB ∆中，可得43BC x =，再根据63AC BC AB +==，可解得x 的值，最后根据sin PC A PA∠=可得出答案．【详解】解：如图所示，过点P 作PC AB ⊥，垂足为C ．设PC x =海里，在Rt APC ∆中，∵tan PC A AC ∠=，∴5tan 67.512==PC x AC ．在Rt PCB ∆中，∵tan PC B BC ∠=，∴4tan 36.93==x BC x ．∵63AC BC AB +==，∴5463123+=x x ，解得36x =，∵sin PC A PA ∠=，∴36133639sin67.5sin67.512===⨯=PCPA（海里）．∴巡逻船A与落水人P的距离为39海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，找到合适的直角三角形是解题的关键．9．课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度．【答案】6.8米【分析】由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，进而即可求出树高DL．【详解】解：连接EF，过点B作BM⊥DL，垂足为M，交EF于点N，由题意可知，BN＝AG＝1.5，MN＝IC＝4.5，由EF//DK,则△BEF∽△BKD得：EF KD＝BNBM，即1.2KD＝1.51.5 4.5+，解得：KD＝4.8，∵斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，∴CL ＝12HJ ＝1.1，∴DL ＝DK+KC+CL ＝4.8+0.9+1.1＝6.8（米），答：树项到地面的距离DL 的长度为6.8米．【点睛】本题考查解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应高的比是解决问题的关键．10．图1是一款折叠式跑步机，由支杆AE （点A 、E 固定），滑动杆PF 和底座AD 组成，AC 为滑槽，图2是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知AE =60cm ，AC =120cm ，收纳时，当滑动端点P 向右滑至点C 时，滑动杆．．．PF ．．恰好与滑槽．．．．．AC ．．重合．．．（1）如图3，当滑动端点P 滑至AC 的中点B 时，求点F 到底座AD 的距离；（2）当滑动端点P 从点B 向左滑动到点Q ，PF 与AD 的夹角是70°时，小明观察点F 处的仪表盘视角为最佳，求此时滑动端点P 继续向左滑动的距离BQ 的长 1.73≈，sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈，结果保留一位小数．）【答案】（1）约103.5cm ；（2）为19.2cm【分析】（1）连接AF ，由题意可知AB =AE =BE =EF =60，可得△ABF 是直角三角形，利用勾股定理求解即可；（2）过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ，设BQ x =，则11(60)22MQ AQ x ==-，根据cos MQ MQE QE Ð=求解即可．【详解】解：（1）如图1，连接AF ，由题意可知AB =AE =BE =EF =60，∴△ABF 是直角三角形，且90FAB ∠=︒．∴222212*********.8FA FB AB =-=-=»（cm ）．（2）如图2所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M，设BQ x =，则11(60)22MQ AQ x ==-，在Rt EMQ D 中，cos MQ MQE QE Ð=，∴1(60)2cos 7060x -°=，即600.34120x -=，解得19.2x =（cm ）．∴此时滑动的距离BQ 约为19.2cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．11．如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为70°时，箱盖ADE 落在AD′E′的位置（如图2）．已知AD ＝100厘米，点D 到地面距离为110厘米．求点D′离地面的高度．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【答案】204厘米．【分析】过点D′作D′H⊥MN，垂足为点H，交AD于点F，易得∠DAD′＝70°，然后用解直角三角形直接进行求解即可．【详解】过点D′作D′H⊥MN，垂足为点H，交AD于点F，如图所示．由题意，得：AD′＝AD＝100∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠MHD′＝90°，∠DAD′＝70°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝100×sin70°≈100×0.94=94∵点D到地面距离为110厘米，∴FH＝110，∴D′H＝D′F+FH＝94+110=204厘米，答：点D′离地面的高度为204厘米．【点睛】本题主要考查解直接三角形的应用，关键是构造直角三角形利用三角函数值进行求解线段的长．12．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG ∆的面积为23FH 的长．【答案】（1）见解析；（2）22【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的FEH FHG ∆∆∽，得到FE FH FH FG =，过点E 作EQ FG ⊥，可得出EQ ，根据2FH FE FG =⋅即可求解；【详解】（1）证明：∵80ABC ∠= ，BD 平分ABC ∠，∴40ABD DBC ∠=∠= ，∴140A ADB ∠+∠= ．∵140ADC ∠= ，∴140BDC ADB ∠+∠= ．A BDC ∠=∠，∴ABD DBC∆∆∽∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”．（2）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴三角形EFH 与三角形HFG 相似．又EFH HFG ∠=∠，∴FEH FHG ∆∆∽，∴FE FH FH FG=，∴2FH FE FG =⋅．过点E 作EQ FG ⊥，垂足为Q ．则3sin 602EQ FE FE =⨯=．∵12FG EQ ⨯=，∴122FG FE ⨯=∴8FG FE ⋅=，∴28FH FE FG =⋅=，∴FH =．【点睛】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．13．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上（不与点C ，D 重合），连结AE ，BD 交于点F．（1）若点E 为CD 中点，4AB =，求EF 的长．（2）若tan 3AFB ∠=，求BF DF的值．（3）若点G 在线段BF 上，且2BG GF =，连结AG 、CG ，BF x DF =，四边形AGCE 的面积为1S ，ABG 的面积为2S ，求12S S 的最大值．【答案】（1）253；（2）2；（3）118【分析】（1）由勾股定理可求AE 的长，通过证明△ABF ∽△EDF ，可得12DE EF AB AF ==，可求AF 的长；（2）由正方形的性质可得BD =，AO ⊥BD ，AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝2AB ，由锐角三角函数可求1236OF AO AB ==，即可求解；（3）分别求出S 1，S 2，再根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）四边形ABCD 是正方形，点E 为CD 中点，4AB AD CD ∴===，90ADC ∠=︒；2DE ∴=，AE ∴==//AB CD ，ABF EDF ∴∆∆∽，∴12DE EF AB AF ==，2AF EF ∴=，且AF EF +=，253EF ∴=．（2）如图1，连接AC ，四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，BD =，AO BD ⊥，AO BO CO DO ===，22AO DO BO AB ∴===，。

人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结

对于教学难点，如三角形的面积计算和判定方法，我感觉学生们掌握得还不够扎实。在授课时，我应该更加注重逐步引导，通过递进式的练习和案例分析，帮助学生逐步攻克这些难点。此外，我也计划在课后安排一些针对性的辅导，以便那些课堂上还没完全理解的学生能够及时跟上教学进度。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形面积或判断三角形类型的情况？”（如房屋建筑中的三角形结构等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形的奥秘。
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-海伦公式的应用：计算不规则图形的面积。
6.三角形的应用
-在生活中的应用：建筑、桥梁、航海等领域。
-在数学中的应用：解析几何、平面几何、立体几何等。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过探究三角形的性质和分类，使学生能够理解和运用几何图形描述现实世界中的问题。
2.强化学生的逻辑推理和数学思维能力，通过证明三角形的相关定理，让学生掌握严谨的数学论证方法，提高分析和解决问题的能力。
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结
一、教学内容
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结

九年级数学解直角三角形小结与复习教案

小结与复习1教学目标1、了解本章的知识结构。

2、回顾勾股定理的证明教学重难点重点：勾股定理。

难点：选择适当的知识解决具体问题。

教学过程一、情境导入通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？二、课前热身同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。

三、合作探究知识结构概括1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．课堂练习1. 求下列阴影部分的面积：2. （1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆3.（第1题）4. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．（第2题）5. 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．6. 求下列各式的值．7. （1） 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°;8. （2） sin 2 45°＋cos 2 60°;9. （3） ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222 . 学习小结内容总结本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。

方法归纳在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。

布置作业习题：10，11；练习册小结与复习2教学目标1、通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。

2、通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。

3、学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。

教学重难点重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。

难点：选择恰当知识解决具体问题。

教学过程一、情境导入三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？二、课前热身学生交流、讨论上述问题。

三、课堂练习5. 求下列各直角三角形中字母的值．（第5题）6. 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，∠A 平分线AM 的长为15 cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．8. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B的四个三角函数值．9. 如图，在直角坐标平面中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP与x 轴的正半轴的夹角a 的正切值是34，求：（1） y 的值；（2）角a 的正弦值．（第9题）（第10题）12. 一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？13. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角a 和坝底宽AD ．（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）（第13题）14. 如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）（第14题）四、学习小结五、布置作业习题：15，16，17；。

湘教版八年级数学下册课件《直角三角形》小结与复习(1)

5. 直角三角形_两__直__角__边__的平方和等于__斜__边___的平
方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条
直角边和斜边，那么__a_2__+ ___b2__=___c2__。
6.如果三角形中_两__边_的平方和等于第三边边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大边所对的角是直角。
逆时针旋转90°而得，连结DE，可得：
E
∠DAE=90°，CE=BD
在Rt∆DEC中，CE2+CD2=DE2 B
D
C
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2
又∵∠DCE=90° AE=AD， ∴ 在Rt∆ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2
分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠2
只要证明Rt∆BDC≌Rt∆ACD，条件满足吗？
A
B
O
证明: ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=900
D1
2
C
又∵ AC=BD ，CD=DC ∴ ∆ACD≌∆BDC （HL）
∴ ∠BDC= ∠ACD（全等三角形的对应角相等）
∴ OD=OC（等角对等边）
即：(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0 ∴ a=3，b=4，c=5 ∵ 32+42=52
∴ △ABC是直角三角形。作业：p28 A 1、6、7
定
勾股定理逆定理
3、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。
4.直角三角形勾股定理的内容： A
∵△ABC为直角三角形． ∴a2＋b2＝c2 .
bc C aB

第四章三角形小结与复习(教案)

-海伦公式的应用：对于海伦公式的推导和应用，学生可能会感到困惑，需要通过详细讲解和实际例题，使学生理解并能够运用海伦公式解决问题。
-特殊三角形的性质：等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质及其应用是学生理解的难点，需要通过直观图形和实际操作，让学生深入理解其性质。
举例：在讲解三角形判定方法时，针对学生容易混淆的情况，设计不同类型的题目，如给出两边和一角、两边和夹角等，让学生通过练习，掌握判定方法的灵活运用。
-三角形面积计算：灵活运用底乘高除以2的公式计算三角形面积，以及海伦公式的应用。
-特殊三角形：深入理解等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质和判定方法。
举例：在讲解三角形分类时，通过图形展示和实际操作，让学生直观感受不同类型三角形的特点，强调等腰三角形底角相等的重要性。
2.教学难点
-三角形判定方法的灵活运用：学生往往在判定方法的选择和应用上存在困难，需要通过大量实例和练习，帮助学生掌握不同情况下的判定方法。
-直角三角形的性质和判定。
-等边三角形的性质和判定。
7.三角形的应用
-在实际生活中的应用，如测量、设计等。
本节课将围绕以上内容展开，通过复习和巩固，提高学生对三角形知识的掌握程度。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过三角形的学习，使学生能够运用几何图形理解和解决实际问题，提升空间观念。
2.培养学生的逻辑推理能力，通过三角形性质的推理和应用，让学生掌握逻辑思维方法，提高分析问题和解决问题的能力。
第四章三角形小结与复习（教案）
一、教学内容
第四章三角形小结与复习（教案）：
1.三角形的定义及分类
-定义：由三条线段首尾相连围成的图形。
-分类：按边长分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

第2讲直角三角形的性质--学生版

第2讲直角三角形的性质知识要点--直角三角形的性质（1）（2）一、普通直角三角形的性质：性质一：直角三角形两锐角互余. 数学语言: ∵∠C=90°∵∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

数学语言:∵∠BCA=90°，D 是AB 的中点 ∵AB CD 21=(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)二、基本图形：（定理的实质）1、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形。

∵∠BCA=90°，D 是AB 的中点∵BD=CD DA=DC （(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

) ∵∠B=∠DCB ∠A=∠DCA （等边对等角）2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的两个逆命题都是真命题，但不是定理，不可以直接使用。

（1）已知：BD=CD=AD ，我们怎么证明∠BCA=90°？（2）已知：BD=CD ，∠BCA=90°，我们怎么证明DA=DC ？【例1】（1）直角三角形的两个锐角（2）直角三角形斜边上的中线等于（3）ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠48A ，则=∠B（4）ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，D 为斜边AB 的中点，若10=AB ，则CD =【例2】（1）ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠20A ，D 为BC 边中点，则BCD ∠的度数是度（2）ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，︒=∠25A ，那么BCD ∠= 度（3）如果直角三角形的面积是12，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是（4）等腰直角三角形斜边上的中线为5cm ，则这个三角形的面积为 2cm【例3】如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,BE ⊥AD ,交AD 的延长线于点E ,BF =EF .求证：EF ∥AC .【例4】如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，D 为AB 的中点，CD BE ⊥于F ，交AC 于E ，求证：CBE A ∠=∠【例5】已知：如图，ABC Rt ∆和ADC Rt ∆，∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点.求证：∠EBD =∠EDB .【例6】已知，如图BCD ∆中，BD CE ⊥于点E ，点A 是边CD 的中点，EF 垂直平分线段AB （1）求证：CD BE 21=（2）当BC AB =，︒=∠25ABD 时，求ACB ∠的度数第22题图EDCBA【例7】已知，如图，在ABC ∆中，︒=∠45ACB ，AD 是边BC 上的高，G 是AD 上一点，联结CG 点E 、F 分别是AB 、CG 的中点，且DF DE =，求证：GD BD =【例8】已知：如图，在ABC ∆中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，点M 是BC 的中点，且DE MN ⊥，垂足为点N 。

直角三角形全等判定定理知识点小结及其相应练习题

1A B D F CE （第3题）（第4题）直角三角形全等判定定理知识点小结判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等【“斜边、直角边”“HL ”】由此画全等三角形：（1）、画∠MC`N=90°;(2)、在射线C`M 上取B`C`=BC;(3)、以B`为圆心，AB 为半径画弧，交射线C`N 于点A`;(4)、连接A`B`.第6课时三角形全等的条件（5）一、选择题1．使两个直角三角形全等的条件是（）A ．一个锐角对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等D 。

一直角边和斜边对应相等二、填空题2．如图，BE 和CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，且BE=CD ，则图中有对全等三角形，其中能根据“HL ”来判定三角形全等的有对． 3．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．三、解答题4．已知：如图，AC=DF ，BF=CE ，AB ⊥BF ，DE ⊥BE ，垂足分别为B ，E ．求证：AB=DE5．已知：点 A 、C 、B 、D 在同一条直线，AC=BD ，∠M=∠N=90°，AM=CN 求证： MB ∥NDA B C E D （第2题）O26．如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有BF=AC ，FD=CD ．求证：BE ⊥AC ．综合习题：1、如右图，已知AB=AD ，且AC 平分∠BAD ，求证：BC=DC2．如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点, AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：（1）DE= DF ；（2）∠B =∠C ．3、如右图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠C AE ，AC=AE ，求证：AB=AD4、已知：如图，AB ＝CD ，AB ∥DC．求证：，AD∥BC， AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ，点E 在AC 上，点D 在BA 的延长线上，AD ＝AE ．求证：（1）△ADC ≌△AEB ；（2）BE=CD ．A BCE F（第6题）ABCDE第4题 ABCD（第2题）ABCEF （第5题）。

【中考数学29个几何模型】模型23 一字并肩型解直角三角形(后附解题思路分析与小结)

专题23一字并肩型解直角三角形一、单选题1．如图，港口A 在观测站O 的正东方向，2OA km =，某船西东从港口A 出发，沿北偏东15︒方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60︒的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（）A ．2kmBCD ．)1km2．如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是()A ．B ．(30+海里C ．120海里D ．60海里二、解答题3．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图探测最大角：∠OBC=73.14°技术参数探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）4．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60︒，热气球≈）与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m 1.735．如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈1213；cos67°≈513；tan67°≈125≈1.73）6．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A 处到E 处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E 点的俯角为∠FDE=30°，DF ⊥AB ，若甲、乙两楼的水平距离BC 为21米，求条幅的长AE 1.73 ，结果精确到0.1米）7．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB 由西向东行驶．在A 处测得岸边一建筑物P 在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P 在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P 到赛道AB 的距离（结果保留根号）．8．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）9．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A 村的俯角为30°，B村的俯角为60°(如图)则A，B两个村庄间的距离是多少米．(结果保留根号)．10．如图，在A岛周围50海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续正东方向航行40海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触1.732 ）11．一滑板运动场斜坡上的点A 处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点B 处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点C 处，AC =75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．1.4≈, 1.7≈，精确到1米）．12．一艘轮船向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在A 的北偏东60°方向，航行40海里到达B 处，此时测得灯塔P 在B 的北偏东15°方向上．（1）求灯塔P 到轮船航线的距离PD 是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B 处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P 处同时前往D 处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D 处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）13．下表是小明同学填写实习报告的部分内容：题目在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目标图示测得数据∠CAD=60°，AB=20米，∠CBD=45°，∠BDC=90°请你根据以上的条件，计算河宽CD （结果保留根号）．14．如图，为测量江面的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200m ，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB （结果精确到0.1m ）． 1.414≈ 1.732≈）15．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，求该大灯距地面的高度．16．（参考数据：sin8°≈425，tan8°≈17，sin10°≈950，tan10°≈528）16．数学活动课上，学生准备在学校操场上测量旗杆AB的高度，如图，现利用高为1米的测角仪CD先在C处测得旗杆AB的顶端A的仰角为37°，再沿CB向旗杆方向前进15米到E处，又测得旗杆顶端A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.7517．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里．（结≈1.41≈1.73≈2.45）（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15°方向，观测点D的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由．18．如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的B营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥．经过测量得知，A、B之间的距离为13km，∠A和∠B的度数分别是37°和53°，桥CD的长度是0.5km，图中的区域CDFE近似看做一个矩形区域．（1）求CE的长；（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）19．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正≈≈≈）南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁． 2.24, 2.65（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．20．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB 的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD 的高度，已知甲栋楼房AB 与乙栋楼房CD 的水平距离AC =B 点，测得乙栋楼房顶部D 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45︒，求乙栋楼房CD 的高度（结果保留根号）．21．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离．（参考数据： 1.4≈ 1.7≈，结果精确到1千米）．22．如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行海里至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，求A ，C 两港之间的距离为多少海里.（保留根号）23．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．测量数据α的度数β的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高度31o 42 5米 1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：sin 310.52≈ ，cos310.86≈ ，tan 310.60≈ ，sin 420.67≈ ，cos 420.74≈ ，tan 420.90≈ ）24．共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A ，B 两地向C 地新建AC ，BC 两条笔直的污水收集管道，现测得C 地在A 地北偏东45︒方向上，在B 地北偏西68︒方向上，AB 的距离为7km ，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km ，sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈ 1.41≈）25．如图，一架无人机在距离地面高度为14.3米的点A 处，测得地面上点M 的俯角为53︒，这架无人机沿仰角为35︒的方向飞行了56米到达点B ，恰好在地面上点N 的正上方，M ，N 在同一水平线上．求M ，N 两点之间的距离．（结果精确到1米．参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，sin 350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈）26．如图，小明在商城二楼地板A 处发现对五层居民楼顶防雨棚一侧斜面MN 与点A 在一条直线上，此时测得M ，N 仰角是22︒，上到九楼在地板边沿B 点测得居民楼顶斜面顶端M 点俯角是16︒，已知商城每层楼高3.6米，居民楼每层楼高3米，试计算居民楼顶防雨棚一侧斜面MN 的长度．（结果保留精确到1米）（参考数据：sin 220.38︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.41︒≈，sin160.28︒≈，cos160.96,︒≈tan160.29︒≈）27．某拦水坝的横截面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角为α，且34α=tan ，背水坡AD 的坡度为2:5i =是指坡面的铅直高度AE 与水平宽度DE 的比，坝面宽3AB m =，坝高12,AE m =则坝底宽CD =__________．28．如图，海中有个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D 处，测得小岛A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD 为________海里．29．如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A 出发，由西向东航行24nmile 到达B 处，这时测得灯塔P 在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P 的距离是________n mile ． 1.73≈）30．如图，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD =B 点测得教学楼顶部A 点的仰角是30°，底部C 点的俯角是45︒，则教学楼AC 的高度是____米（结果保留根号）.专题23一字并肩型解直角三角形（解析版）一、单选题1．如图，港口A 在观测站O 的正东方向，2OA km =，某船西东从港口A 出发，沿北偏东15︒方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60︒的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（）A ．2kmB C D ．)1km【答案】C【分析】过点A 作AD ⊥OB 于D ．先解Rt △AOD ，得出AD=12OA=1，再由△ABD 是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AD=2．【详解】如图，过点A 作AD ⊥OB 于D ．在Rt △AOD 中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2，∴AD=12OA=1．在Rt △ABD 中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=1，∴．即该船航行的距离（即AB 的长）为km ．故选：C ．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是()A ．B ．(30 海里C ．120海里D ．60海里【答案】B【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，先解Rt △ACD ，求出AD ，CD ，再根据BD=CD ，即可解出AB ．【详解】如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ACD=30°，∠BCD=45°，在Rt △ACD 中，AD=12CA=12×60=30（海里），CD=CA·cos ∠ACD=60×32=（海里），∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，∴在Rt △BCD 中，BD=CD ，∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．二、解答题3．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图探测最大角：∠OBC=73.14°技术参数探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）【答案】该设备的安装高度OC约为2.9m．【分析】根据题意可得OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，所以得AC=AB+BC=4+BC ，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．【详解】根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，∴在Rt △OBC 中，BC=tan OBC 3.3OC OC ∠≈，在Rt △OAC 中，OC=AC•tan ∠OAC≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6⨯(4+3.3OC )，解得OC≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC 的方程是解题的关键．4．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60︒，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m 1.73≈）【答案】152.2【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，根据仰角和俯角的定义得到BAD ∠和CAD ∠的度数，利用特殊角的正切值求出BD 和CD 的长，加起来得到BC 的长．【详解】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，根据题意，30BAD ∠=︒，60CAD ∠=︒，66AD m =，tan 30663BD AD =⋅︒=⨯=，tan 6066CD AD =⋅︒=⨯=，152.2BC m ==．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法．5．如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈1213；cos67°≈513；tan67°≈125≈1.73）【答案】A 地到C 地之间高铁线路的长约为()596km ．【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出结论．【详解】解：如解图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，∵B 地位于A 地北偏东67︒方向，距离A 地520km ，∴67ABD ︒∠=，∴12sin 67520480()13AD AB km ︒=⋅≈⨯=，5cos67520200()13BD AB km ︒=⋅≈⨯=．∵C 地位于B 地南偏东30︒方向，∴30CBD ︒∠=，∴32003tan 30200()33CD BD km ︒=⋅=⨯=，∴3480596()3AC AD CD km =+=+≈．答：A 地到C 地之间高铁线路的长约为()596km ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形．6．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A 处到E 处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E 点的俯角为∠FDE=30°，DF ⊥AB ，若甲、乙两楼的水平距离BC 为21米，求条幅的长AE 3 1.73=，结果精确到0.1米）【答案】33.1米【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．【详解】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°∴AF=DF=21米在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°∴EF=DF×tan30°=∴AE=AF+BF=米．答：条幅的长AE约是33.1米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．7．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．【答案】米.【解析】【分析】如图，作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值进行求解即可得.【详解】如图，过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，tan∠PAC=PCAC，∴AC=33PC，在Rt△PBC中，tan∠PBC=PCBC，∴3PC，∵AB=AC+BC=333PC=10×40=400，∴3，答：建筑物P到赛道AB的距离为3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值进行解答是关键.8．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73）【答案】这棵大树AB原来的高度约是9.2米．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．【详解】过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，AD=5，∴cos37°＝DEAD＝5DE≈0.8，∴DE≈4，∵sin37°＝AEAD＝5AE≈0.6，∴AE≈3，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE·tan∠CAE=3AE＝∴AC＝2CE＝∴AB＝AC+CE+ED＝+4＝（米）．答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A 村的俯角为30°，B村的俯角为60°(如图)则A，B两个村庄间的距离是多少米．(结果保留根号)．【答案】A，B两个村庄间的距离【分析】根据两个俯角的度数可知 ABP 是等腰三角形，AB ＝BP ，在直角△PBC 中，根据三角函数就可求得BP 的长．【详解】解：过P 作AB 的垂线，垂足是C ，由题意得：∠A ＝∠APQ ＝30°，∠PBC ＝∠BPQ ＝60°，∴∠APB ＝60°﹣30°，∴∠APB ＝∠A ，∴AB ＝PB ．在Rt BCP 中，∠C ＝90°，∠PBC ＝60°，PC ＝450米，∴PB ＝450sin60︒32＝∴AB ＝PB ＝．答：A ，B 两个村庄间的距离米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，正确理解解直角三角形的条件，熟练运用三角函数是解题关键．10．如图，在A 岛周围50海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O 处时，发现A 岛在北偏东60°方向，轮船继续正东方向航行40海里到达B 处发现A 岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触1.732≈）【答案】无触礁的危险．【分析】根据已知条件解直角三角形OAC 可得A 岛距离航线的最短距离AC 的值，若AC>50，则无触礁危险，若AC<50，则有触礁危险．【详解】解由题意得：∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACO=90°，OB=40∴∠BAC=45°，AC=BC在Ｒt △OAC 中，∠ACO=90°，∠AOC=30°，tan ∠AOC=33AC OC =，∴33AC AC OB =+，3403AC AC =+∴20AC =，2054.6450AC =≈>．因此无触礁的危险．【点睛】本题考查解直角三角形，由题意画出几何图形把实际问题转化为解直角三角形是解题关键．11．一滑板运动场斜坡上的点A 处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点B 处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点C 处，AC =75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．1.4≈, 1.7≈，精确到1米）．【答案】旗杆的高度约为9米．【分析】根据题意过点C 作CD AB ⊥于点D ，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案．【详解】解：过点C 作CD AB ⊥于点D ，30DCA =︒∠ ，3AC =12AD =，3AC =3cos302°332CD AC =⋅==，又BCA 7°5∠= ，°BCD 74°55°30∴∠=-=，3CD BD ∴==，2BC =32BD =33323 1.43 1.78.99()AB BC ∴+=++≈⨯++=≈米答：旗杆的高度约为9米．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键．12．一艘轮船向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在A 的北偏东60°方向，航行40海里到达B 处，此时测得灯塔P 在B 的北偏东15°方向上．（1）求灯塔P 到轮船航线的距离PD 是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B 处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P 处同时前往D 处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D 处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）【答案】（1）灯塔P 到轮船航线的距离PD 是（3+10）海里；（2）轮船每小时航行（60﹣3【分析】（1）作BC ⊥AP 于C ，根据余弦的定义求出AC ，根据等腰直角三角形的性质求出CP ，得到AP 的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案；（2）根据余弦的定义求出AD ，得到BD 的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）作BC ⊥AP 于C ，在Rt △ABC 中，∠PAB ＝30°，∴BC ＝12AB ＝20，AC ＝AB •cos ∠PAB ＝20，∵∠NBP ＝15°，∴∠PBD ＝75°，∴∠CBP ＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴PC ＝BC ＝20，∴AP ＝AC +PC ＝+20，在Rt △ADP 中，∠A ＝30°，∴PD ＝12AP ＝+10，答：灯塔P 到轮船航线的距离PD 是（+10）海里；（2）设轮船每小时航行x 海里，在Rt △ADP 中，AD ＝AP •cosA ＝，∴BD ＝AD ﹣AB ＝10，由题意得，103101560x -+＝103102x，解得，x ＝60﹣20经检验，x ＝60﹣答：轮船每小时航行（60﹣）海里．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题和分式方程的应用，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、正确列出分式方程是解题的关键．13．下表是小明同学填写实习报告的部分内容：题目在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目标图示测得数据∠CAD=60°，AB=20米，∠CBD=45°，∠BDC=90°请你根据以上的条件，计算河宽CD（结果保留根号）．【答案】CD=(30+)米.【分析】用CD表示出AD及DB，进而表示出AB的长，求解即可．【详解】解：∵∠CAD=60°，∠BDC=90°，∴AD33CD ,∵∠CBD=45°，∠BDC=90°∴BD=CD，∵AB=BD-AD，∴∴CD=30+答：河岸宽（30+.【点睛】考查解直角三角形的应用，用CD表示出与所求线段相关的线段是解决本题的关键．14．如图，为测量江面的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200m ，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB （结果精确到0.1m ）．1.414≈ 1.732≈）【答案】878.4m【分析】在Rt △ACH 和Rt △HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．【详解】由于CD ∥HB ，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°，在Rt △ACH 中，∵∠CAH=45°，∴∠CAH=∠ACH=45°，∴AH=CH=1200m ，在Rt △HCB ，∵tanB=CH HB ，∴HB=tan CH B =1200tan 30︒，∴AB=HB ﹣HA=1200﹣1200=1200×（1.732﹣1）=878.4m ，答：这条江的宽度AB=878.4m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．15．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC 的长为1.4米，求该大灯距地面的高度．（参考数据：sin8°≈425，tan8°≈17，sin10°≈950，tan10°≈528）【答案】1米【分析】过点A 作AD ⊥MN 于点D ，在Rt △ADB 与Rt △ACD 中，由锐角三角函数的定义可知，11.47528AD CD AD CD ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩,可求AD ．【详解】解：过点A 作AD ⊥MN 于点D ，在Rt △ADB 与Rt △ACD 中，由锐角三角函数的定义可知，()AD CD BC +=tan ∠ABD ，1( 1.4)7AD CD =+①，AD CD=tan ∠ACD ，528AD CD =②，联立两方程得11.47528AD CD AD CD ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得AD=1答：该大灯距地面的高度1米．【点睛】考点：解直角三角形的应用．熟练利用正切关系列出等式是关键．16．数学活动课上，学生准备在学校操场上测量旗杆AB 的高度，如图，现利用高为1米的测角仪CD 先在C 处测得旗杆AB 的顶端A 的仰角为37°，再沿CB 向旗杆方向前进15米到E 处，又测得旗杆顶端A 的仰角为60°，求旗杆AB的高度．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】21米【分析】延长DF交AB于点G，FG=x，则 1.73x≈，DG=DF+FG=15+x，根据三角函数求tan∠ADG可得x的取值，旗杆AB=AG+GB，则可求得答案．【详解】解：如图所示：延长DF交AB于点G，∵旗杆AB垂直于地面，故∠ABC=90°，且DG//BC，故∠AGD=90°，又∵在C点测得仰角为∠ADG=37°，在E点测得仰角为∠AFG=60°，∴设FG=x， 1.73x≈，DG=DF+FG=15+x，根据三角函数可得：tan∠ADG=tan37°=AG 1.73x3= DG15x4≈+，解得：x≈11.48m，AG 1.73x19.86≈≈m，AB=AG+GB=19.86+1=20.86m，取整数，AB=21m，答：旗杆AB的高度为21米．【点睛】本题主要考察了构造直角三角形、三角函数的应用，解题的关键在于通过三角函数求出未知边长．17．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里．（结≈1.41≈1.73≈2.45）（1）求巡逻船B 与渔船C 间的距离；（2）已知在A ，B 两艘巡逻船间有一观测点D （A ，B ，D 在直线MN 上），测得渔船C 在观测点D 的北偏东15°方向，观测点D 的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B 沿BC 方向去营救渔船C ，问有没有触礁的危险？并说明理由．【答案】（1）巡逻船B 与渔船C 间的距离为海里；（2）没有触礁的危险，理由详见解析．【分析】（1）作CE MN ⊥于E ，由直角三角形的性质得1602AE AC ==，CE BE ===，45ABC ∠=︒，证BCE ∆是等腰直角三角形，得出BC ==即可；（2）作DF BC ⊥于F ，由45ABC ∠=︒，得出BDF ∆是等腰直角三角形，则54DF =»海里，由5445>，即可得出没有触礁的危险．【详解】解：（1）作CE MN ⊥于E ，如图1所示：则30ACE ∠=︒，45BCE ∠=︒，15DCE ∠=︒，45ABC ∠=︒，1602AE AC \==，CE ==，BCE ∆是等腰直角三角形，BE CE \==，BC ==，答：巡逻船B 与渔船C 间的距离为606海里；（2）没有触礁的危险；理由如下：由题意得：60360AB BE AE =+=+，301545ACD ACE DCE Ð=Ð+Ð=°+°=°Q ，ACD ABC ∴∠=∠，CAD BAC ∠=∠ ，CAD BAC \D D ∽，∴AD AC AC AB=，即12012060360AD =+，解得：120(31)AD =，60360120(31)180603BD AB AD \=-=-=-；作DF BC ⊥于F ，如图2所示：45ABC ∠=︒ ，BDF ∴∆是等腰直角三角形，29026542DF \==（海里），5445>Q ，∴没有触礁的危险．【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．18．如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A 营地出发，准备前往正东方向的B 营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C 处过桥．经过测量得知，A 、B 之间的距离为13km ，∠A 和∠B 的度数分别是37°和53°，桥CD 的长度是0.5km ，图中的区域CDFE 近似看做一个矩形区域．（2）该考察小组希望到达B 营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）CE 的长为6km ；（2）他们的行进速度至少是3.6/km h ．【分析】（1）设CE xkm =，先根据矩形的性质可得0.5EF CD km ==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF ^，再解直角三角形分别求出43AE x =，34BF x =，然后根据线段的和差列出等式，求解即可得；（2）先根据题（1）的结论求出AE 、BF 、DF 的长，再利用勾股定理分别求出AC 、BD 的长，然后根据速度的计算公式列出不等式，求解即可得．【详解】（1）设CE xkm= 四边形CDFE 是矩形0.5EF CD km ∴==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF^在Rt ACE △中，tan CE A AE =，即tan 37x AE =︒解得4()tan 370.753x x AE x km =≈=︒在Rt BDF V 中，9037BDF B ∠=︒-∠=︒，tan BF BDF DF∠=，即tan 37BF x =︒解得3tan 370.75()4BF x x x km =︒≈=又AE EF BF AB ++= 430.51334x x ∴++=解得6()x km =（2）由（1）可知，483AE x km ==，3942BF x km ==，6DF x km ==则10()AC km ==157.5()2BD km ====设他们的行进速度为/ykm h 由题意得：127AC CD BD y ++≤-，即100.57.55y++≤解得 3.6(/)y km h ≥答：他们的行进速度至少是3.6/km h ．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．19．一艘渔船从位于A 海岛北偏东60°方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁． 2.24, 2.65≈≈≈）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．。

直角三角形常考的10个易错点浅析-2.20

直角三角形常考的10个易错点浅析1. 直角三角形的性质性质1：直角三角形两锐角互余.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 性质3：直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半.2. 直角三角形的判定判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形.判定2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.3. 直角三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么222c b a =+.4. 直角三角形的判定勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.5. 直角三角形全等的判断：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“H L ”）6. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.7. 角平分线的性质定理的逆定理：角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.易错点1 忽略了运用直角三角形的性质的前提条件在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。

例题1 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∠A =60°，则∠BCD 的度数为（） A .30° B .60° C .90° D .无法确定【错解】B【错因】在本题中没有指明△ABC 是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。

错解中想当然地认为△ABC 是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。

【正解】D例题2 如图，在△ABC 中，∠ABC =75°，从顶点B 引射线BD 与CA 交于D 点，使∠CDB =30°，BD =AD 。

求证：AD =2BC 。

【错解】在△BCD 中，∵∠CDB =30°，∴BC =12BD 。