第十章 结构力学力矩分配法

F M B C
F P
F C P
F M C B
(b)M 图
F
1 M F B B P
C 1 1 M M B AM A B
1
1 F C
B C
C 1 M C B
(c)开B锁C
1 F B
1 1 M ( F F ) C C P C
M
C 1 B C
1 M C B
1 M C D
分配系数：
A1
4 9
A2
2 9
A3
3 9
A4 0
2) 计算分配和传递弯矩
M A1


4 63 28kN m 9
M
C 1A
1 28 14 kN m 2
M A2
2 63 14 kN m 9
C M2 A 1 14 14kN m
M A3

3 63 21kN m 9
C M3 A 0
3)叠加计算各杆最后弯矩
F M A1 M A M 1 A1 28 6 34kN m
F M A2 M A M 2 A2 14 0 14kN m
M A3 21 9 12kN m
FP 1 F P2 1 A
(a)
先在结点A上附加刚臂锁定其不会发生角位 移，然后加荷载，见图(b)所示。
F P1 F P2 1 A
(b) M F 图
这相当于位移法的基本结构在荷载 单独作用下的情况，见图(c)。
FP 1 FP 2
M1FA M
F A4 F M A3
1
M
F A4
M
F A1
A
A
(c)M图
1P
(c)
i4 1 i1 A i2 (d) M i3
近端弯矩：
M A1 M 1 z1 4i1 z1 S A1
S
i 1
4
M
Ai
M A2 i2 z1
S A2
S
i 1
4
M
Ai
M A3 3i3 z1
S A3
S
i 1
4
M
Ai
远端弯矩：
M 1A 1 2i1 z1 M A1 2
（a)
F M C D C
（b)
M C B M C D D C
C M B C
（c)
C M B C
M C D C
（d)
（e)
M
C
C B C
C
（f)
1)荷载单独作用时
类似本例的结点B分配单元，BC杆的 分配系数和固端弯矩均可看作远端C 端为铰支计算。作为结点C分配单元 在其他单元开始分配前首先分配一 次便完成使命，注意力矩分配完后C 非悬臂一侧弯矩向远端B端的传递， 并悬壁一侧干的转动刚度及分配系 数均等于零。
MF
杆端的弯矩叫固端弯矩，并由结点A的力 矩平衡条件得刚臂中的反力矩F1P，即：
F1P M
F A1
M
F A3
M
F A4
M
i 1
n
F Ai
(d)
根据叠加原理。可将-F1P的作用分解出 来单独考虑，见图(d)，
M A =-F 1 P 1 A
(d)
并设MA=-F1P，由式(d)可知：
M A M
M 2 A i2 z1 M 2 A
M 3A 0
同一刚结点上的某一根杆的转动 刚度与所有杆的转动刚度总和的 比值为该杆的力矩分配系数 同一刚结点上的杆端力矩的分配 系数之和等于1。 力矩传递系数，用 C Ai 表示。
2、力矩分配系数、转动刚度和传递 系数 1）力矩分配系数
Ai
第一节 力矩分配法概念
1.力矩分配法的来源
力矩分配法的解题思路来源于具有一个结 点角位移刚架的内力（弯矩）计算结果。
以图10-1-1(a)所示刚架为例
i4 z1 1 i1 A i2
(a) (b)
M i3
当z1单独作用在刚架的位移法基本结构上时， 见图(c)所示
i4 z1 1 i1 i2 3i3 (c) A i3
F M1A M1C M A 1 A 14 6 8kN m
C F M 2A M 2 M A 2 A 14kN m
M A4 M
F A4
60kN m
注意：1)力矩分配法中的杆端弯矩正负号规定同位移法
第二节 多结点的力矩分配法
F P
(a)原结构
F B P
i 1
n
F Ai
(10-1-4)
例10-1-1
q=2kN/m,FP1=10kN,FP2=8kN
试用力矩分配法计算，并作刚架弯矩图。
FP 1=10kN
F P 2=8kN 1 A
(a)
6m
6m
FP1 =10kN
F P2=8kN 1 A
60kNm 1 14kNm A 21kNm 28kNm
M A =6
附加刚臂中的反力为：
F11 k11 z1 (4i1 i2 3i3 ) z1
(a)
若引入转动刚度概念，即，当使一等截面直杆 的一端（近端）发生单位转角位移，另一端 （远端）有某一确定的支座约束（支座端）， 则近端所需施加力矩的大小叫该杆的转动刚度。 或，当等截面直杆的一端为固定支座，另一端 有某一确定的支座约束，若固定支座发生单位 转角位移时引起固定支座的反力矩叫该杆的转 动刚度。
2）计算结点力矩
M A M
i 1
4
F Ai
63kN m
用力矩分配法计算 MA 作用时杆端弯矩：
1)计算力矩分配系数： 转动刚度：
S A1 4i A1
S A3 3i A3
EI 4 4 6
EI 3 3 6
S A2 i A2
S A4 0
2 EI 2 6
结点C单元：SCB=8
SCE=8 SCD=4 CD 1 5 CB CE 2 5
F CE
2)计算固端弯矩：
M M
F EC
20 6 2 60kN m 12
3)列表进行力矩分配：
4)绘制弯矩图：见图(b)所示。
72.85
4.29
B
4.29
C
E
(b)M图(kNm)
A
D
例10-2-3用力矩分配法计算图(a)所示 连续梁。已知 EI 3.6 104 kN m 2
E I B `
E I
说明：本例使连续梁产生内力的因素有 两个，一是C铰支座上梁外伸悬挑，并悬 臂端有荷载作用；二是B支座发生沉陷。 利用叠加原理，可分别单独考虑各因素 单独作用。
C
D
表1
2)支座移动单独作用时
CD B `
（g)
见图(g)、(h)，很明显，仅考虑支座移 动时CD悬臂部分上内力等于零，即梁的 内力计算与CD部分无关，可视为图(h) 所示体系的力矩分配。
表2
C F B P B `
M B A
M B C
（h)
原体计算表示表1、表2的综合，即 将连续梁在荷载及支座移动下的力 矩分配计算的各个步骤综合在一个 计算表中进行。
S Ai
S
i 1
n
(10-1-1)
Ai
2）转动刚度和传递系数
均与杆件的线刚度、远端支座形式相关
4 i A = 1 A
A = 1 3 i
2 i j
S Ai =4i
j A
A = 1 i
S Ai=3i S Ai =i
j
A i
3）结点力矩和固端弯矩
由以上所述知，刚架在结点集中力偶M在 用下的杆端弯矩，可成一般式：
例10-2-1
用力矩分配法计算图(a)所示连续梁， 并作弯矩图。
E I
2 m2 m
6 m
解：1)计算分配系数：令EI=1 B 结点分配 单元：
S BA EI 4 1 4
S BC
EI 2 4 6 3
S
Bi
5 3
BA
3 5
BC
2 5
C结点分配单元：
S CB 2 3 8 17
EI 3 S CD 3 4 4 9 CD 17
S
Ci
17 12
CB
Hale Waihona Puke Baidu2)计算固端弯矩
M
F BA
M
F AB
40 4 20 kN m 8
F M CD
20 4 2 40kN m 8
3)列表进行力矩分配
各节点每次待分配结点力矩的计算， 在表中开始体现为汇交在结点上所有 杆的固端弯矩，以后的轮次中则体现 为汇交在结点上所有杆端的传递弯矩。 当计算右固端弯矩及传递弯矩引起的 待分配结点力矩时，要注意叠加后须 反号。
M Ai
S Ai
S
i 1
n
M Ai M
Ai
(10-1-2)
M iA C Ai M Ai
(10-1-3)
先讨论一般荷载作用下的情况。见图 10-1-3(a)，有一个自由刚结点的刚架 上作用一般荷载（非结点力偶）。显然， 该刚架无法直接利用式(10-1-2)和(101-3)计算。解决的思路和方法如下：
(d) 开C锁B
2 1 M F B B C 2 2 M A B M 2 B A M B C
2 F C
C 2 M C B
(e) 开B锁C
2 F B
2 2 M F C C
2 M C D M
M
C 2 B C
2 C B
(f) 开C锁B
F B P
F C P
(g)
力矩分配法只能用于无结点线 位移（位移法基本未知量）的 结构。
最后杆端弯矩的计算，是将同一杆 端（表中同一杆端下的列）下的固 端弯矩、分配弯矩及传递弯矩相叠 加得出。
例10-2-2 用力矩分配法计算图示刚架， 并作弯矩图。
q = 2 0 k N /m B C E
A
D
(a)
6 m
6 m
解：1)计算分配系数：设EI/6=1
结点B单元：SBA=4 SBC=8 BA 1 3 BC 2 3
某杆件的转动刚度表示为，两个下标表示 杆件的两端（或杆两端结点）的编码，第 一个下标为近端码。所以，式(a)可表示 成：
k11 S A1 S A2 S A3 S A4 S Ai
i 1
4
F11 (S A1 S A2 S A3 S A4 ) z1
(b)
当荷载单独作用在刚架的位移法基本结 构上时，见图(d)所示，附加刚臂中的反 力为： F M
解：计算结点力矩MA：
1）计算固端弯矩：参照图(b)
F P 1=10kN F P 2=8kN -9kNm
1
A
(b)M 图
F
M
F A1
6kN m 1 F 2 M A3 2 6 9kN m 8 F M A4 10 6 60kN m M
F 1A
1 6 8 6kN m 8