高数 三重积分

z z2 ( x , y )

2) ( x , y ) Dxy
过点( x, y) D 作生命线 ,
a
z z1 ( x, y )
o
D ( x, y)
y y1 ( x )
y
y y2 ( x )
认清入口曲面 和出口曲面 ：
b
x
3） “先一后二” 地计算：
d xd y
d z
a
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
两种方法各有特点, 具体计算时应根据 被积函数 及积分域（重积分两要素）的特点灵活选择.
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方法1. 投影法【“先一后二” ;“丝丝吃 法 ”】 z 1) 选 择 恰 当 的 投 影 面 ，
如 闭 区 域 在 xoy 面 上的投影为闭区域 D,

此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这 种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介 绍的柱坐标系下的计算法
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分） 在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
选择题: 为六个平面 x 0， x 2， y 1， x 2 y 4， z x ， z 2围成的区域， f ( x , y , z ) 在 上连续， 则累次积分 D f ( x , y , z )dv .
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
z
z2 z1

c
d
( 3) 过点 ( x , y ) D 作直线,
x x1 ( y ) x x 2 ( y ), : c y d, 事实上， z ( x , y ) z z ( x , y ). 2 1
d x2 ( y )
o
y
得到 z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ).
( x, y)
D
f ( x , y , z )dv c dy x1 ( y ) dx z1 ( x , y ) f ( x , y , z )dz.

z2 ( x , y )
方法2. 截面法【“先二后一” ;“片片吃 法”】 z 1) 选择恰当的投影轴：Prj oz : [a, b] b
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 可得
n
近似和, 求极限”

lim ( k , k , k )vk M 0
k 1
v k
( k , k , k )
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定义 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上 的有界函数，将闭区域 任意分成 n个小闭区域 v1，v2 ,, v n ，其中 vi 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的体积, 在每个 vi 上任取一点 ( i 1,2,, n) ， ( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) vi ， 并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为 函数 f ( x , y , z )在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z )dv ,
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方法1. 投影法 (“先一后二”切条 法) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
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易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积 分容易计算时，用截面法较为方便，
尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时
dxdy D( z )
就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、 正方形等，面积较易计算
z
例1 将 其中 为长方体，各边界面 平行于坐标面。
第十章
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
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一、三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广 到空间区域，被积函数推广到三元函数 ，就得到三重积分的定义
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
思考题
( A)
( B)


2
0
dx
1
2
(C )
( D)
0 2
dx
x 2 2 x 2 2
dy f ( x , y , z )dz;
2

x
0
2
dx
1 1
dy f ( x , y , z )dz;
2 2
x

0
dx
x 2 2x 2 2
1
dy f ( x , y , z )dz;
记作
a
b
b
DZ
f ( x, y , z ) d x d y d z
a d z D
f ( x , y , z )d x d y
Z
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f ( x, y , z )
f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) 2 2 f1 ( x, y, z ) f 2 ( x, y, z )
二、在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积为 V xyz 故在直角坐标系下的体积元为 dV dxdydz 三重积分可写成
f ( x , y , z )dV f ( x , y , z )dxdydz
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
x y z 例4 计算 z dv , : 2 2 2 1 a b c
2
2
2
2
例5
2 2 dxdydz , : z x y ,z 1
x
dy f ( x , y , z )dz.
x
2
例1 将
其中 为长方体，各边界面平行于坐标面 解 将 投影到xoy面得D，它是一个矩形 在D内任意固定一点（x ,y)作平行于 z 轴的直线
f ( x , y , z )dV
化成三次积分
交边界曲面于两点，其竖坐标为l 和m（l < m)
1
z2 ( x, y )
f ( x , y , z )d z
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f ( x, y, z ) d xd y
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方法2. 截面法 (“先二后一” ;切片法)
z b z a
x
以 Dz为底, d z 为高的柱形薄片质量为
Dz

y
该物体的质量为
面密度≈
f ( x, y , z ) d z

f ( x , y , z )dV [ f ( x , y , z )dz]d
dx dy f ( x , y , z )dz
a c l
D b l
m
d
m
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
f ( x , y , z )dV
化成三次积分
m l o
a x
b
。 D
(x , y )
c
d
y
例2 计算
xdxdydz, 其中 是三个
坐标面与平面 x + 2y + z =1 所围成的区域
例3
化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz 为三

次积分，其中 积分区域 为由曲面
z z 2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
微元线密度≈
记作
D d xd y z ( x, y )
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算
先假设连续函数 f ( x, y, z ) 0 , 并将它看作某物体 的密度函数 ,通过计算该物体的质量引出下列各计算
方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”先单后重)
方法2 . 截面法 (“先二后一”先重后单) 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
z x 2 y 2 , y x 2 , y 1, z 0
所围成的空间闭区域.
补充：利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
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２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地， 当积分区域 关于 xoy 平面对称， 且被 积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分为 零， 若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数， 则三重 积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重积分 的两倍. “你对称，我奇偶”
2) z [a , b] ，过中z作生命面（截面） 穿过积分域 ，认清截面 3) “先二后一” 地计算：
c2
z a
Dz

f ( x , y , z )dv dz c D( z )
1
x f ( x , y , z )dxdy
y
具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
均为非负函数
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法 方法1. 投影法【 “先一后二” ;“丝丝吃法”】
d xd y
D
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
方法2. 截面法【“先二后一” ;“片片吃法”】
对 I f ( x , y , z )dv

① 若 关于 xoy 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv
1
I 2 f ( x , y , z )dv
2 ( x , y, z ) | ( x , y, z , y 0)
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
f ( x , y , z )dz.
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的
直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。 ( 2) D向 y 轴投影，得到
x1 ( y ) x x 2 ( y ), D: c y d.
D
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
D : y1 ( x ) y y2 ( x ),
a x b,
f ( x , y , z )dv dx
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )

其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同
若极限存在，则称函数可积
若函数在闭区域上连续，则一定可积
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 中值定理： 在有界闭域 上连续,V 为 的体积,则存在 ( , , ) , 使得
f ( x, y, z ) d v f ( , , )V