高数三重积分

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专升本高数知识点汇总

专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。

以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。

对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。

2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。

奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。

单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。

周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。

有界性则是指函数的值域在某个范围内。

3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。

4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。

5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。

无穷小的性质在极限计算中经常用到。

二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。

2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。

3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

5、复合函数求导通过链式法则进行求导。

6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。

7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。

8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。

三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。

高数下9.3三重积分及其计算

1, 2在xoz面上的投影区域D1, D2分别为:
D1: 0zx2, 0x1;
关于y的变化范围: 在D1上:
D2: x2zx2+1, 0x1. 0 0.25 0.5 0.75 1
z
2
0y1;
1.5
在D2上: z x2 y 1.
D2
1
0.5
所以,
o
01dx01dy0x2 y2 f ( x, y, z)dz
然后再把它化为三次积分来计算.
积分次序一般是先z次r后 . 积分限是根据 z, r, 在积分区域中的变化范围来
截面法的一般步骤:
(1) 把积分区域向某轴(例如 z 轴)投影, 得投影
区间[c1, c2]; (2) 对z[c1, c2]用过 z 轴且平行xoy面的平面去截
, 得截面D(z);
(3) 计算二重积分 D(z) f ( x, y, z)dxdy, 其结果为 z
的函数F(z);
(4)
最后计算单积分
c2
f
(
x,
y,
z)dz
为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy
上的密度函数.
由三重积分的物理意义,
z
若将f(x, y, z)理解为闭区域
z=z2(x, y)
上的体密度函数, 那么三重积
分
f ( x, y, z)dv
表示空间物体的质量M.
o
a
则函数F(x, y)可以理解为压缩 b
在平面薄片Dxy上的密度函数. x
o
故 z2dv cc z2dzD(z) dxdy
y
ab
cc
z 2 (1
z2 c2
)dz

高数同济六版D103三重积分

通过选取特定的节点和权系数，使得数值积分具有更高的代数精度和更好的稳定性。
数值方法在求解复杂三重积分中应用
1 2 3
适应性网格划分
根据被积函数的特性，自适应地划分积分区域，使得在函数变化剧烈的区域采用更细的网格，提高计算精度。
蒙特卡罗方法
通过随机抽样估计三重积分值，适用于高维、复杂积分区域的计算，但计算结果的精度与抽样次数和随机数生成质量有关。
通过投影法或截面法，可以将三重积分转化为二重积分进行计算。
二重积分与三重积分在解决实际问题时常常相互转换，如计算物体体积、质量等。
与曲线曲面积分关系及转换方法
三重积分与曲线积分、曲面积分之间有着密切的联系，它们都是研究多元函数积分学的重要内容。
在一定条件下，三重积分可以转化为曲线积分或曲面积分进行计
划分微元
将积分区域Ω划分为n个小立方体，每个小立方体的边长分别为dx, dy, dz，小立方体的体积为dV=dx×dy×dz。
三重积分表达式
对于被积函数f(x,y,z)，其在积分区域Ω上的三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dV，其中积分号∭表示三重积分，dV表示体积微元。
计算步骤
先对z进行积分，再对y进行积分，最后对x进行积分。即 ∭f(x,y,z)dV=∫[a,b]dx∫[c,d]dy∫[e,f]f(x,y,z)dz，其中[a,b]、 [c,d]、[e,f]分别为x、y、z的积分上下限。
高维数值积分方法
将高维积分转化为一系列一维积分的组合，利用一维数值积分方法进行计算，降低计算复杂度。
误差分析和收敛性判断
误差来源分析
分析数值积分过程中产生的各种误差来源，包括截断误差、舍入误差、模型误差等，为后续的误差控制和收敛性判断提供依据。

高数---第3讲三重积分的计算

第3讲三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。

三重积分函数奇点

三重积分函数奇点
在进行三重积分时，我们需要考虑函数的奇点。

奇点是指函数在某些点上无定义或者不连续的点。

在三重积分中，奇点可以分为两种情况，第一种是函数在积分区域内的某些点上无定义，第二种是函数在积分区域内的某些点上不连续。

对于第一种情况，即函数在积分区域内的某些点上无定义，我们需要将积分区域进行分割，将包含奇点的子区域排除在外，只对定义良好的区域进行积分。

这样可以避免在奇点处出现积分结果的发散或者无穷大的情况。

对于第二种情况，即函数在积分区域内的某些点上不连续，我们需要将积分区域进行分割，将包含不连续点的子区域分开考虑。

对于每个子区域，我们可以分别计算积分，然后将结果相加得到整个积分的结果。

需要注意的是，对于奇点的处理需要根据具体函数的性质来确定。

有些函数的奇点是可积的，可以通过一些特殊的积分技巧来处理。

而有些函数的奇点是不可积的，此时我们需要通过其他方法来求解积分，例如使用数值积分等近似方法。

总结起来，处理三重积分函数的奇点需要将积分区域进行合理的分割，将包含奇点的子区域排除或者分开考虑，根据具体函数的性质选择适当的积分方法，以得到准确的积分结果。

第九章重积分(二重和三重)高数课件

其中Ω 其中Ω 所围立体. 所围立体
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤ θ ≤ 2π
∴
r=R
∫∫∫Ω
3. 三重积分的计算
(1) 投影法 (“先单后重”) 先单后重” 先单后重
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
关键：正确的判断上、下曲面关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域. 找对投影区域
2011-2012学年高等数学第二学期期中考试说明
• 题型：题型：个小题）；个小题）；一、填空题（5个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、填空题（个小题）；二选择题（个小题）；三计算题（个小题）；四计算题（个小题）；五个小题）；个小题）；计算题（ 5个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计算与解答题（个小题）；六证明题（个小题个小题）；个小题）。算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（ 1个小题）。 • 考试时间：考试时间： 2012年5月4日（第10周周五）下午：00－6：00 年月日周周五）周周五下午4：－： • 考试地点：考试地点：化学工程与工艺6班制药工程化学工程与工艺班、制药工程1—2班： 24-303 班生物工程1—2班：24-305 班生物工程
2π
2 h
h
x
o
y
例. 计算三重积分
其中Ω 其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围成半圆柱体. 成半圆柱体

大一高数知识点总结完整版

大一高数知识点总结完整版导言：大学高级数学（简称高数）是一门对很多理工科学生来说非常重要的课程。

在大一期间，我们学习了高数的基础知识，这些知识对我们后续学习进一步的数学课程以及其他学科都有很大帮助。

下面将对大一高数的几个重要知识点进行总结，以便于我们复习巩固。

1. 一元函数的极限和连续性1.1 函数的极限：介绍了函数极限的概念、定义和性质。

包括左极限和右极限，无穷大极限等。

1.2 连续性：介绍了函数连续性的概念，以及一些函数连续性的判定方法，如闭区间上的连续函数必定有界。

1.3 中值定理：包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，讲述了函数导数和函数性质之间的关系。

2.1 导数的定义：介绍了导数的定义和性质，导数的图形意义以及几何意义。

2.2 导数的四则运算法则：讲述了求和、差、积和商的函数的导数的法则。

2.3 高阶导数：介绍了导数的概念，如一阶导数、二阶导数等。

2.4 微分：讲述了微分的定义、性质和微分形式。

3. 微分中值定理和泰勒级数3.1 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理：介绍了导数中值定理的概念和应用。

3.2 泰勒级数：讲述了泰勒级数的概念、性质以及泰勒展开公式的推导。

4.1 不定积分的定义和常用公式：介绍了不定积分的定义和性质，以及一些基本的不定积分公式。

4.2 定积分和变量替换法：讲述了定积分的概念和性质，以及变量替换法在定积分中的应用。

5. 定积分的应用5.1 平均值、面积和弧长：介绍了定积分在求函数平均值、曲线下面积和弧长等方面的应用。

5.2 微分方程的应用：讲述了定积分在求解微分方程的问题中的应用。

6. 多元函数的极限与连续性6.1 多元函数的极限：讲述了多元函数的极限的定义和判定方法。

6.2 多元函数的偏导数：介绍了多元函数的偏导数的定义和计算方法。

6.3 多元函数的连续性：讲述了多元函数的连续性的概念和性质。

7. 重积分7.1 二重积分：介绍了二重积分的定义和性质，以及二重积分的计算方法。

高数定积分公式大全

高数定积分公式大全高数定积分，又称定积分或定性积分，是在高等数学中一种重要的概念，它能够用来求解许多复杂的和高度不确定的定积分问题，发挥着非常重要的作用。

在利用定积分解决问题时，需要利用一系列的定积分公式，以完成对各种复杂函数的考察和计算。

在数学及其应用科学领域中，高数定积分的应用场景十分广泛，由于其丰富的定积分公式，使得它能够成功地解决各种复杂的定积分问题。

这些定积分公式可以分为三类：边界公式、普遍公式和变换公式三类。

一、边界公式：边界公式是对定积分中表达式的特殊情况进行求解时的有效的简化方法，常见的边界公式有二重定积分的边界公式，三重定积分的边界公式以及变量偏导数的边界公式等。

1、二重定积分的边界公式：其中，∮∫f(x,y)dydx的解是：①当f(x,y)=h(x)g(y)时，∮∫h(x)g(y)dydx=∫h(x)dx∫g(y)dy②当f(x,y)=h(y)g(x)时，∮∫h(y)g(x)dydx=∫h(y)dy∫g(x)dx2、三重定积分的边界公式：其中，∮∫∫f(x,y,z)dzdydx的解是：当f(x,y,z)=h(x)g(y)j(z)时，∮∫∫h(x)g(y)j(z)dzdydx=∫h(x)dx∫g(y)dy∫j(z)dz3、变量偏导数的边界公式：其中，z/xy解是：当f(x,y,z)=h(x)g(y)j(z)时，（z/xy =/x (∫h(x)dx∫g(y)dyj(z))而边界条件有：①y为常数时，（z/xy = (j(z)/x)②x为常数时，（z/xy = (h(x)/x)二、普遍公式：普遍公式又称常规公式，它是一般情况下定积分的解决方案，例如，1、∮∫f(x,y)dydx =[∫f(x,y)dy]dx2、∮∫∫f(x,y,z)dydzdx =[∫[∫f(x,y,z)dz]dy]dx3、（z/xy =/x (∫[∫f(x,y)dy]dx)三、变换公式：变换公式指的是将定积分解决方案中的某些变量或变量对进行变换，例如，1、∮∫[f(u,v)]dudv=∫[∫[f(u,v)du]dv]2、（z/xy =/x (∫[∫f(u,v)dv]du)3、∮∫[f(λ,μ)]dλdμ=∫[∫[f(λ,μ)dμ]dλ]以上就是定积分公式大全，上述定积分公式可以用于解决许多复杂的定积分问题，它们对解决复杂的定积分问题起到了非常重要的作用。

高数二三重积分的应用

I xy = ∫∫∫ z 2 ρdv , I yz = ∫∫∫ x 2 ρdv , I zx = ∫∫∫ y 2 ρdv ,
Ω Ω Ω
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρdv ,
Ω
I y = ∫∫∫ ( z 2 + x 2 ) ρdv ,
Ω
I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρdv ,
2y zy = , a
1+ z + z =
2 x 2 y
2x 2 y 1+ + a a
2
2
2 1 + z x + z 2 = 2, 由 z = 2a − x + y 知 y
2 2
1 2 a + 4 x2 + 4 y2 , = a
1 2 2 2 a + 4 x + 4 y dxdy + ∫∫ 2dxdy 故S = ∫∫ D xy a D xy
则 y = 0,
o
(0 < a < b)
y
a
b x
x=
∫∫ xρdσ
D
∫∫ ρdσ D
πρ 8 πρ 4
a cos θ
r cos θ ⋅ rdr
ρ⋅ D
=
(b3 −a 3 ) b 2 + ba + a 2 . = 2 2 (b −a ) 2(b + a )
1 2 πa a 2π 5π π 2 3 [ y( x )] dx = = 2 ∫0 ∫0 [1 − cos t ] dt = 6 . 6 πa 6π
所求形心坐标为 ( πa, 5 π ) . 6
例4、求位于两圆 r = a cos θ , r = b cos θ 之间的均匀薄片的重心.

高数2 第10章三重积分

第三节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想, 采用k k k k v ∆),,(ζηξμΩ),,(k k k ζηξkv ∆引例: 设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质,,),,(C z y x ∈μ求分布在Ω内的物质的可得∑=nk 1lim →λ=M “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量M .密度函数为定义.设,),,(,),,(Ω∈z y x z y x f kk k nk k v f ∆∑=→),,(lim 10ζηξλ存在,),,(z y x f ⎰⎰⎰Ωvz y x f d ),,(称为体积元素,v d .d d d z y x 若对Ω作任意分割:任意取点则称此极限为函数在Ω上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域Ω上连续,则存在,),,(Ω∈ζηξ使得⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(Vf ),,(ζηξ=V 为Ω的体积,积和式”极限记作二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法(“先一后二”)方法2 . 截面法(“先二后一”) 方法3 . 三次积分法,0),,( z y x f 先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数, 方法:当被积函数在积分域上变号时, 因为),,(z y x f 2),,(),,(z y x f z y x f --),,(1z y x f =),,(2z y x f -非负函数根据重积分性质仍可用下面介绍的方法计算.2),,(),,(z y x f z y x f +=zyabc dz=gz=eNMPzy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=Ω=[a ,b ;c ,d ;e ,g ]I =⎰ge zz y x f d ),,(积分区域是长方体..ΩD同理，也有其它积分顺序⎰⎰Dy x d d ⎰⎰⎰=ged cbazz y x f y x d ),,(d d 1.计算三重积分方法1. 投影法(“先一后二”)zyz 2(x ,y )Ω为图示曲顶柱体I =⎰21),(),(d ),,(y x z y x z zz y x f ⎰⎰Dy x d d PNM..积分区域是曲顶柱体ΩDz 1(x ,y )2.计算三重积分zy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=zyz 2(x ,y )I =D积分区域是曲顶柱体Ω为图示曲顶柱体这就化为一个定积分和一个二重积分的运算z 1(x ,y )2.计算三重积分.zy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=⎰21),(),(d ),,(y x z y x z zz y x f ⎰⎰Dy x d dz =0y = 0x =0yxΩ：平面x = 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域先画图xz y1121D xy是曲顶柱体ΩD xy :x = 0, y = 0, x+2y =1 围成：上顶yx z 21--=：下底z = 0121⎰⎰⎰2--102-101=yx x z y x x d d d 481=...例1. 计算三重积分x + 2y + z =1D xyz y x x I d d d ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰2--10yx z x y x d d d I =Ω：平面y =0 , z =0，3x+y =6,3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域yx6241 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图D xy :y = 0, 3x +y = 6, 3x+2y =12 围成y x z --=6z = 0不画立体图做三重积分D xy ⎰⎰⎰--=yx D zz ,y ,x f y x I xy6 0)d (d d ⎰⎰⎰----=yx y y zz y x f x y 603243260d ),,(d d ..是曲顶柱体Ω：上顶：下底例2.zy x z ,y ,x f I d d d )( Ω⎰⎰⎰=计算66x+y+z=63x+y=62.z yΩ3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域66x+y+z=63x+y=62.zyΩ3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域3x+y=63x+2y=12 x+y+z=6.66zy 42Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域3x+y=63x+2y=12 x+y+z=6.66zy 42Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域z = 0y = 042x+y+z=6.zy66Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域420zy663x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域Ω⎰⎰--=y x Dzz ,y ,x f yx I 6 0)d (d d .0yx624D ..⎰⎰⎰----=yx yy zz y x f x y I 6 0324 26 0d ),,(d dyx2πxy = 1 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图不画立体图做三重积分D xy :xz -=2πz = 0⎰⎰⎰-=x πD zz ,y ,x f y x I xy2 0)d (d d ⎰⎰⎰-=x πx πzz y x f y x 2 02 0d ),,(d d 围成2=0==πx ,y ,x y 。

高数三重积分知识点与例题精讲(二)

三重积分(2)
一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结思考题
机动目录上页下页返回结束
二、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
M(x, y,z)
o

x
r
y

P(r,)
如图，三坐标面分别为
r 为常数圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面；平面．
M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐标的关系为
o

r P(r, )
y
x r cos ,

r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
练习题: 计算三重积分
其中为由柱面 x2 y2 2x 及平面
o

y

d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .

例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中是锥面
x2 y2 z2，与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标

三重积分定义式手写

三重积分定义式手写三重积分是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。

它是对二维和一维积分的扩展，可以用来求解空间函数的面积分和体积分。

三重积分的应用场景包括求解质心、惯性矩、曲率半径等。

三重积分的定义式为：∫∫∫_Ω f(x, y, z) dV其中，f(x, y, z) 表示空间域上的函数，Ω 表示空间域上的有界区域。

三重积分的计算方法有多种，如累次积分法、重积分法、球面坐标法等。

在实际计算过程中，选择合适的方法可以大大简化计算过程。

下面以一个手写三重积分为例，说明如何进行计算：例：求空间域上的函数f(x, y, z) = x + y + z 在球体域Ω上的三重积分。

解：首先将球体域Ω转换为直角坐标系，然后利用累次积分法进行计算。

Ω域的边界为：x + y + z = R，其中R 为球体的半径。

则有：∫∫∫_Ω f(x, y, z) dV = ∫∫_Ω (x + y + z) dxdydz根据球坐标系转换公式，将x = R * sinθcosφ，y = R * sinθsinφ，z = R * cosθ 代入上式，得到：= ∫∫_Ω (R * sinθ * cosφ + R * sinθ * sinφ + R * cosθ) * R *sinθdθdφdz= ∫∫_Ω (R * sinθ * (cosφ + sinφ + 1)) * sinθdθdφdz利用球坐标系下的累次积分公式，计算得：= ∫_Ω R * sinθ * dθ * ∫_Ω cosφ + sinφ + 1 * dφ * ∫_Ωsinθ * dz= R * ∫_Ω sinθ * dθ * ∫_Ω (cosφ + sinφ + 1) * dφ * ∫_Ω sinθ * dz根据累次积分计算公式，可得：= R * [(sinθ)]_θ [(cosφ + sinφ + 1)/2]_φ [sinθ]_z最后，将R 和具体数值代入，即可得到三重积分的结果。

齐民友高数下册上课第10章05柱面坐标与求面坐标系中三重积分的计算(1)

第5节柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算5.1 利用柱面坐标计算三重积分我们不按课本上的讲法，换一种讲法。

用柱面坐标计算三重积分的步骤：（1）把三重积分写成二套一：将往xOy 平面投影得xy D，设的小z 边界1(,)zz x y 大z 边界2(,)zz x y ，则21(,)(,)(,,)d (,,)xyz x y z x y D f x y z vdxdyf xy z dz（2）用极坐标计算外层的二重积分：设12(,)|()(),xyD则212211(,)(,)()(cos ,sin )()(cos ,sin )(,,)d (,,) (cos ,sin ,)xyz x y z x y D z z f x y z vdxdyf x y z dzd df zdz注意：用极坐标计算外层二重积分时，总是先对后对积分；用坐标关系cos x ，sin y 代入被积函数和里层定积分的上下限，z不动，并且外层面积元素多一个因子，即dxdyd d ，或说体积元素dxdydzd d dz ．当然，当投影区域xy D 的边界有圆弧或被积函数有22x y 时用柱面坐标计算简单。

离散数学【例5.1】计算三重积分22()d xy v ，其中是由曲线220y z x绕z轴旋转一周而成的曲面与平面2z所围成的区域．解旋转面的方程为：222x yz ．如图5.1所示，将积分区域投影到xOy 面，得投影区域为：22(,)|4xyD x y x y ．的小z 边界222x y z 大z 边界2z 。

积分区域为：222212(,,)|()2,4x y z x y zx y ，所以2222222222222100222220246()d () 1 d(2)d 211162()2123xy x y D xy vdxdy x y dz d ddz图5.1我们看到，上面计算方法中，用,,z 作坐标（变量）。

设空间有一点(,,)M x y z ．并设M 在xOy 面上的投影点P 的极坐标为,，则这样三个数,,z 就叫做点M 的柱面坐标．一般地,,z 的取值范围为： 0，02，z ．容易看出，所谓柱面坐标，就是：z 不变还是z ，而,x y 换成极坐标。

高数大一知识点三重积分

高数大一知识点三重积分高等数学是大学数学专业的一门重要课程，对于数学专业的学生来说，掌握高数知识点是非常重要的。

在大一的高等数学课程中，三重积分是一个非常重要的知识点。

下面将从基本概念、计算方法和应用等几个方面来介绍三重积分。

一、基本概念三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算。

如果一个三维空间中的函数在某个区域上是连续的，那么可以对这个函数进行三重积分。

三重积分可以看作是对空间中的体积进行求和的过程。

在三重积分中，我们需要确定积分函数、积分区域、积分方向和积分顺序等要素。

二、计算方法三重积分的计算方法有直接计算法和间接计算法两种。

直接计算法是将积分区域划分成小的立体元，然后对每个立体元进行积分计算，最后将所有立体元的积分结果相加得到最终的积分结果。

间接计算法是利用高斯公式和格林公式来进行计算。

高斯公式是将三重积分转化为对闭合曲面上的二重积分，然后再将二重积分转化为对曲线上的一重积分。

格林公式则是将曲线积分转化为坐标轴上的一重积分。

利用这两个公式，可以将三重积分的计算转化为一重积分的计算，简化了计算的步骤。

三、应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

在物理学中，三重积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。

例如，在力学中，我们可以通过对物体密度分布函数进行三重积分来计算物体的质量。

在工程学中，三重积分可以用来计算物体的体积、质量、质心等。

例如，在建筑工程中，我们可以通过对建筑结构进行三重积分来计算结构的体积和质量。

在计算机图形学中，三维模型的表面可以通过三重积分来进行渲染和着色。

例如，通过对三维物体的颜色分布进行三重积分，可以得到物体在不同方向上的颜色分布，从而实现逼真的渲染效果。

四、总结三重积分是大一高等数学中的一个重要知识点，掌握三重积分的基本概念、计算方法和应用是非常重要的。

通过对三重积分的学习和应用，可以提高数学建模和问题求解的能力，并在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥重要作用。

高数讲义第三节三重积分(二)

Dxy : 0 2 , 0 a
x2 y2 z2 z ,
4
o
y
: 0 2 , 0 a, z a, x
Dxy
I ( x2 y2 )dxdydz 02 d 0ad a 2dz
2 0a 3(a )d
a5. 10
解由锥面和球面围成，采用球面坐标，
: 0 2 , 0 2, 2 z 4，
例 5 计算 I zdxdydz，其中是抛物面
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
Dxy {(x, y) | x2 y2 4}
{(, ) | 0 2 , 0 1}
z1 x2 y2 2, z2 4,
3
z2 2
4 2
d
2
3
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点，点 M 到原点的距离记为 r ,
有向线段 OM 与 z 轴正向的夹角记为，
点 M 在xoy 面上的投影为P ( x, y)
自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段 z
OP 的角度记为
则三元有序数组( r, , )
例 5 计算I zdxdydz，其中是抛物面.
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
由
z
x2
y2 ,
z 4
知曲面与平面的交线为
x2
y2
4,
z4
o
y
x
Dxy {(x, y) | x2 y2 4} {(, ) | 0 2 , 0 2}
z1 x2 y2 2, z2 4,
y
sin
,
z z.
o
• P(, )

高数（下）六类积分

⾼数（下）六类积分1.⼆重积分(PDF P150)⼏何意义：曲顶柱体的体积、平⾯薄⽚的质量∫∫Dµ(x,y) dxdy, µ为密度形式：∫∫D f(x,y) dxdy， dxdy为⾯积元素计算⽅法：交换积分次序简化、利⽤对称性、换元法（dxdy -> Jdudv）极坐标代换（dxdy -> rdr) {x=rcosθ,y=rsinθ}2.三重积分（P167）⼏何意义：物体的质量∫∫∫Ωf(x,y,z)dv, f为密度形式：∫∫∫Ωf(x,y,z)dv= ∫∫∫Ωf(x,y,z)dxdydz , dv为体积元素，Ω为空间中有界闭区域计算⽅法：投影法，截⾯法，对称性（积分区域对称性，轮换对称性）柱⾯坐标代换（dxdydz -> rdrdθdz）{x=rcosθ,y=rsinθ,z=z} 球⾯坐标代换（dxdydz -> r2sinφdrdθdφ）{x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ} (0≤θ≤2π，0≤φ≤π)重积分的应⽤（P180）1.⼏何应⽤：平⾯区域的⾯积、曲⾯⾯积、曲顶柱体的体积2.物理应⽤：质⼼、转动惯量、引⼒空间曲⾯的曲⾯⾯积：S=∫∫D√（1+z x2+z y2）dxdy质⼼：x c=∫∫D x*µ(x,y) dσ / ∫∫Dµ(x,y) dσ , y c=∫∫D y*µ(x,y) dσ / ∫∫Dµ(x,y) dσ转动惯量：对x轴的转动惯量 I x= ∫∫D y2*µ(x,y) dσ, 对y轴的转动惯量 I y= ∫∫D x2*µ(x,y) dσ空间⽴体对单位质量的质点的引⼒：F x = G ∫∫∫Ωρ(x,y,z)x / r3 dV, F y = G ∫∫∫Ωρ(x,y,z)y / r3 dV, F z = G ∫∫∫Ωρ(x,y,z)z/ r3 dV3.第⼀型曲线积分（P194）⼏何意义：曲线的质量 m = ∫L µ(x,y)dS形式：∫L f(x,y)dS计算⽅法：⽤参数⽅程4.第⼀型曲⾯积分（P224）⼏何意义：曲⾯的⾯积，m = ∫∫S µ(x,y,z) dS, dS曲⾯微元形式：∫∫Σf(x,y,z)dS计算⽅法：1.曲⾯投影到平⾯，2.被积函数三元变两元，3. 曲⾯微元变为曲⾯⾯积5.第⼆型曲线积分（P200)⼏何意义：变⼒沿曲线所做的功形式：∫L Pdx+Qdy (有⽅向)计算⽅法：平⾯封闭曲线上⽤格林公式，当P x=Q y，与积分路径⽆关，选取折线路径计算6.第⼆型曲⾯积分(P229)⼏何意义：流向曲⾯⼀侧的流量形式：∫∫ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS 计算⽅法：合⼀投影法、分⾯投影法、⾼斯公式。

高数上需要记住的知识点

高数上需要记住的知识点高等数学作为大学中的一门重要基础课程，是理工科学生必修的一门课程之一。

学好高等数学对于理解和掌握其他专业课程至关重要。

下面将介绍高数上需要记住的一些重要的知识点。

一、函数与极限函数是高等数学的核心概念之一。

在高数上，我们需要掌握函数的概念、性质以及一些常见函数的图像和性质。

同时，我们还需要了解极限的概念和性质，掌握通过极限来求解函数的连续性、导数和积分等问题的方法。

二、导数与微分导数作为函数的一种重要性质，是研究函数的变化率和趋势的重要工具。

在高数上，我们需要熟悉导数的定义、求导法则以及一些基本函数的导数公式。

掌握导数的概念和性质，能够帮助我们解决函数的最值、切线和曲线的凹凸性等问题。

三、微分方程微分方程是高等数学中的重要内容。

在高数上，我们需要掌握一阶常微分方程的基本概念、解法和应用，了解常微分方程在物理、生物、经济等领域中的具体应用。

四、定积分与不定积分定积分和不定积分是高数上的两个重要概念。

我们需要熟悉定积分和不定积分的定义、性质以及求解方法。

掌握积分的概念和性质，能够帮助我们解决曲线下面积、定积分的计算和应用等问题。

五、级数与数项级数级数是高等数学中的一个重要内容。

在高数上，我们需要了解级数的概念、性质以及级数的收敛与发散的判别方法。

同时，我们还需要掌握数项级数的概念、性质以及常用的收敛判别法则。

六、多元函数与偏导数多元函数是高等数学中的一个重要分支。

在高数上，我们需要掌握多元函数的概念、性质以及一些常见多元函数的图像和性质。

同时，我们还需要了解偏导数的概念和计算方法，能够求解多元函数的极值和函数的最优化问题。

七、二重积分二重积分是高等数学中的一种重要的积分形式。

在高数上，我们需要掌握二重积分的概念、性质以及求解方法。

能够应用二重积分来计算平面图形的面积、质量、重心等问题。

八、三重积分三重积分是高等数学中的一种重要的积分形式。

在高数上，我们需要了解三重积分的概念、性质以及求解方法。

巧用“先二后一”积分法计算三重积分

技术创新33巧用“先二后一"积分法计算三重积分◊青岛农业大学理学与信息科学学院曹秀梅吴自库本文主要对三重积分中“先二后一”计算方法进行总结并加以引申和推广，通过例题使学生对此部分内容加深理解，拓展计算技巧，提高综合分析应用能力。

三重积分是高等数学主要内容之一，相比其他类型的积分其计算方法更丰富，可以利用直角坐标、柱面坐标及球面坐标来计算。

在众多方法中，“先二后一”是一种技巧性很强的计算方法，但无论国外还是国内的常见教材g对此方法介绍的都不够详细。

本文以同济版高等数学第七版下册为教学背景，首先向学生讲清楚最简单形式的公式来源，然后再介绍较复杂的形题沁的推广应用。

1引言与方法介绍通常使用“先二后一”法对被积函数和积分区域均有要求，这里以后“z”为例说明。

最简形式满足两个条件：①被积函数为一元函数/(z);②利用垂直于Z轴的截面截积分区域Q,所得截面的平面区域2的面积S(z)容易计算。

令Q在z 轴上的投影区间为S,切，贝!J有如下结果：张=f尿^f{z)da=f/(z)S(z)血(］)一些同学对公式(1)理解较困难。

我们可以从三重积分的定义m入手：N\\\f(x,y,z)dv=啓・)△%(2)Q日我们可以采取特殊的分法和取点方法由公式(2)来得到公式(1)。

可以先用垂直于z轴的平面将积分区域分割成一些柱体(加片)，然后在切割每个柱体(”个)，每个小柱体的母线都平行于z轴。

他=f/(z)S(z)屁f=l”先二后一”积分法不仅仅适用于上述简单情形，还可推广到更广泛的情形中去，文献"在这方面进行了讨论。

这里仍以后“Z”为例给出一种情况的结论。

这里也要求积分满足两个条件：①f(x,y,z)=p(z)•q(x,y)；②利用垂直于z轴的截面截积分区域Q,飆截面的平面区域为Q”二重积分恥，刃嘶2容易积分，且结敕为z的函数，不妨记为T⑵。

高等数学各类积分总结

关于各类积分的一些总结一、定积分实质：直线上函数的积分，积分对象是直线元 dx 。

二、二重积分实质：平面区域上的二元函数的积分，积分对象是dxdy 。

方法：累次积分，即先固定一个变量，对另一个变量积分，再对另一个变量积分。

三、三重积分实质：对空间上的三元函数积分，积分对象是dxdydz 。

方法：累次积分，可以化成三个一次积分（如球坐标代换），也可化成一个二重积分和一个一次积分（如柱坐标代换）。

四、第一型曲线积分实质：对曲线上的一元函数积分，积分对象是曲线元ds 。

方法：转化成定积分曲线r=(x(t),y(t),z(t)),则dt z y x t z t y t x f ds z y x f s dt t t ⎰⎰⎰⎰'+'+'=222))(),(),((),,(。

五、第一型曲面积分实质：对曲面上的二元函数积分，曲面元dS.方法：转化为二重积分。

曲面r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), 则(,,)((,),(,),(,))s D dr dr f x y z dS f x u v y u v z u v dudv du dv=⨯⎰⎰⎰⎰特别的dr dr dx dy ⨯= 六、第二型曲线积分实质：变力在曲线上作功,或是对有向线元的积分,即对坐标的积分。

形式：⎰++LRdz Qdy Pdx ①方法：１、拆 ①＝⎰⎰⎰++L L L Rdz Qdy Pdx =⎰⎰⎰++121212z z y y x x Pdz Pdy Pdx εεε(化成三个定积分)2、合用定义化成第一形曲线积分①＝dl v dz dy dx R Q P LL τ⋅=⋅⎰⎰),,(),,(３、对于环路积分，一般用斯托克斯公式化去做①＝dl v dz dy dx R Q P τ⋅=⋅⎰⎰),,(),,(＝⎰⎰⋅Dnds rotv ε七、第二形曲面积分实质：通量，或是对有向面积元的积分，即对坐标的曲面积分。