13_1一致收敛性习题课

证: 由 f1( x) C[a,b] , f1( x)有界.
设在区间[ a , b ]上, f1(x) M
x
x
f2 (x) | a f1 | a | f1 | M (x a) M (b a)
f3(x)
x
a f2
x
|
a
f2
|

M 2
(x
a)2

1 2
.…….
n层复合
试证明:若对 n和x, y [ a , b ],有,
fn(x) fn( y) n | x y |
则函数列{ fn (x)}在区间[ a , b ]上一致收敛.
证:
对

0
,
取N ,使n

N 时,
有: n


ba
于是对任何自然数 p和x [ a , b ],有:
对 0 , N, n N, p N,有

| fn1( x) fn p ( x) |
2
对x ( a , a )成立.
fn1(a) fn p (a)
lim xa
fn1( x) fn p ( x)

2

{ fn (a)}为 Cauchy 列,

1 M N0
Def
G
即函数 f (x)在数集D上有界.
(次证 fn (x)在数集D上一致有界)
n N 时,对x D,有 fn(x) f (x) fn(x) f (x) 1
fn(x) G 1 取 M max{ M1 , M 2 , L , M n , G 1 }, 易见对x D和 n，有 fn (x) M . 即函数列{ fn (x)}在数集D上一致有界.
即{ fn (a)}收敛. 与已知条件矛盾.
可求得
max
0 x1
fn ( x)

f
n

1 n


1 2
0,
(n )
函数列{ fn (x)}在区间[ 0 , 1 ]上非一致收敛.
例3 设函数 f1( x)在区间[ a , b ]上连续.
x
定义 fn1(x) fn (t)dt .试证明: a
函数列{ fn (x)}在[ a , b ]上一致收敛于零.
§13.1一致收敛性 习题课
例1 设 fn (x) f (x), ( n ), x D. an 0,an 0且( n ). 若对每个自然数 n ,有
fn (x) f (x) an 对x D成立,
则函数列{ fn (x)}在D上一致收敛于函数 f (x). 解 :Q an 0, 0,N N ( ),n N ,有 : an ,
例 4 设 f : [a,b] (a,b).n 0
且n 0,( n ).令
f1(x) f (x), f2 (x) f f (x) f f1(x) ,…,
fn (x)
f

f n 1
(
x)

f 1
f 4
L f (x)L
4 4 2 4 4 43
例 6 设{ fn (x)}为定义在区间[ a , b ]上的函数 列,且对每个n,函数 fn (x)在点a 右连续,但数列 { fn (a)}发散.试证明:
对 0 ( b a) , 函数 列 { fn (x) } 在 区 间 ( a , a )内都不一致收敛.
证: 反设， 0,使{ fn (x)}在区间( a , a ) 内一致收敛.则
证:(先证函数 f (x)在数集D上有界)
设在D上，有 fn (x) Mn.
由函数列{ fn (x)}在数集D上一致收敛,
对 1, N ,当N0 N 时,对x D,有
f (x) | fN0 (x) | | f (x) fN0 (x) | 1
f (x)
1 |
fN0 (x) |
fn (x) f (x) an ,
对x D成立.
故fn (x)在D上一致收敛于f (x)
例2
fn ( x)

nx 1 n2x2
,
x [
0
,1
].
讨论函数列{ fn (x)}的一致收敛性.
解:
Q
lim
n
fn ( x)
0
当x [ 0 , 1 ]时, fn (x) 0 fn (x)
| fn (x) fn p (x) | fn (x) fn f p (x)
n | x fp(x) | n (b a)
由Cauchy收敛准则,
函数列{ fn (x)}在区间上[ a , b ]一致收敛.
例 5 设在数集D上函数列{ fn (x)}一致收敛于 函数 f (x).若每个 fn (x)在数集D上有界,则函数 列{ fn (x)}在数集D上一致有界.
M (b a)2
………………………
fn1(x)
|
பைடு நூலகம்
x
a fn |
x
|
a
fn
|

M (x n!
a)n

1 M (b a)n n!
注意到对
c,

|
c n
|n !

M (b a)n 0 ( n ) n!

fn

0,
(
n
),
x[ a , b ]