13_1一致收敛性习题课
13-高等数学第十三讲 含参量的积分
387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性
x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
第1节一致收敛性
当x 1有 f n (1) f (1) 0 ,
f n ( x )在(1,1]上收敛, 且其极限函数为
0, f ( x) 1,
n
x 1 x 1
当 x 1, 有 x ( n ),
x 1, 有 1,1,1,发散 .
x n 在(1.,1]外均发散
( 2) nx(1 x )n
nx x f ( x) 解 : (1)x [0,1], 有 lim n 1 n x
nx 而 sup f n ( x ) f ( x ) sup x x[ 0 ,1] x[ 0 ,1] 1 n x
x(1 x ) 2 sup n x[ 0,1] 1 n x
而 ln(1 an )或 an收敛 lim an 0
n
ln(1 an ) lim 1, 由比较判别法知 ： n an
ln(1 a
n
)与 an同敛散 .
CH13.函数列与函数项级数
第一节 一致收敛性
第二节 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
第一节 一致收敛性
2.若一致收敛， 则必收敛； 反之不真.
定理1 : (函数列的一致收敛性)函数列 f n 在数集D上
一致收敛 0, N 0, 使得n, m N
对于一切x D,均有 f n ( x ) f m ( x ) f ( n ), x D 证明 : (必要性)设 f n
1 且f n ( x ) n f ( x ) f ( x ) , 则函数列 f n ( x ) n 在[, ] (a, b)一致收敛于函数f ( x ).
证明： r (, b), x [, ], N1 0, n N1 , 有
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
多媒体教学课件
三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
数学分析选讲
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
数学分析ch13-1有界闭区域上的重积分
f (i ,i ) i ， 这里 i 表示 Di 的面积。于是，原曲顶柱体的体积近似地等于
n
f (i ,i ) i 。
i 1
当所有的小区域 Di 的最大直径（记为 ）趋于零时，这个近似值趋 于原曲顶柱体的体积，即
n
V
lim 0
i 1
f (i ,i ) i
。
Hale Waihona Puke 这就是二重积分的概念。定义 13.1.1 设 D 为 R2 上的零边界闭区域，函数 z f (x, y) 在 D 上
利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是
可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 0，存在 U 的一个
划分，使得
所以有
mB mA（= mBD ） 。
定理 1.1.1 有界点集 D 是可求面积的充分必要条件是它的边界
D 的面积为 0。
同样可以考虑 D 的边界 D 的面积。记与 D 的交集非空的那些
n
i i
i 1
n
i
i 1
，
n
所以 lim 0
i i
i 1
0 ，即
f
(x, y)
在 D 上可积。
多重积分 同 R2 中定义面积一样，可以在 Rn ( n 3)中定义体积的概念。定 义 Rn 中的 n 维闭矩形[a1,b1][a2 ,b2 ][an ,bn ] 的体积为
(b1 a1) (b2 a2 ) (bn an ) ， 那么就可以将 R2 上定义面积的叙述完全平移到 Rn ( n 3)上来定义体 积，并同样称边界体积为零的的有界区域为零边界区域，而且可以证 明光滑曲面片的体积为零。
i 1
i 1
当 n 时，它的极限是零。所以 L 的面积为 0。
函数列一致收敛性的充要条件
函数列一致收敛性的充要条件例1 设() ,2,1,==n x x f n n 为定义在()∞∞-,上的函数列，证明它的收敛域是(—1，1]，且有极限函数()⎩⎨⎧=<=.1,1,1,0x x x f （3） 证 任给0>ε (不妨设1<ε)，当10<<x 时，由于()(),nn x x f x f =- 只要取(),ln ln ,xx N εε=当()x N n ,ε>时，就有 ()().ε<-x f x f n当0=x 和1=x 时，则对任何正整数n ，都有()()()().011,000εε<=-<=-f f f f n n这就证得{}n f 在(]1,1-上收敛，且有(3)式所表示的极限函数． 当1>x 时，则有(),∞→+∞→n x n ，当1-=x 时，对应的数列为.,1,1,1,1 --它显然是发散的．所以函数列{}n x叫区间(]1,1-外都是发散的． 例 2 定义在()+∞∞-,上的函数列().2,1,sin ==n nnx x f n 由于对任何实数x ，都有 ,1sin nn nx ≤ 故对任给的,0>ε，只要,1ε=>N n 就有.0sin ε<-nnx 所以函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin 的收敛域为无限区间()+∞∞-,，极限函数().0=x f 对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质．比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题．定义1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切,D x ∈都有()(),ε<-x f x f n则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()x f x f n →→ (),∞→n .D x ∈ 由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()εN (即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有()().ε<-x f x f n由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛．反之，在D 上每一点都收敛的函数列{}n f ，在D 上不一定一致收敛．如上述例2中函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin ，对任给正数ε，不管x 取()∞∞+-,上什么值，都可取ε1=N （它仅依赖于ε的值），当n>N 时，恒有,sin ε<n nx 所以函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin ，在()+∞∞-,上一致收敛于函数()0=x f ．函数列{}n f 在D 上不一致收敛于函数f ，是指它们不满足定义1的条件．但也可以根据定义1对不一致收敛给予正面的陈述．即函数列(1)在D 上不一致收敛于f 的充要条件是：存在某正数o ε，对任何正数N ，都有D 上某一点'x 与正整数N n >'（注意：'x 与'n 的取值与N 有关），使得()().''ε≥-x f x f n从前面例1中知道，函数列{}nx 在(0，1)上收敛于()0=x f 。
数学分析中的一致收敛及其应用-初稿
《数学分析中的一致收敛及其应用-初稿》摘要：由（ⅰ），任给，存在某正整数，使得当及任何正整数，对一切，有又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到 . 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论. 例16 证明函数项级数在上一致收敛，由（ⅰ），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时， . 对任何一个，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到 . 再由（ⅲ），对任给的，存在正数，当时，对一切，有，所以， . 于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在上一致收敛. 例18 试判别的一致收敛性，因为，，所以 =，．例25 求的值. 解因为，，所以 . 4.4 一致收敛在求导中的应用例26 求在处的阶导数. 解:因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解出，进行两次积分：则，即 . 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用定理：设是一个数列，若存在一个函数，使得成立，则称为数列的生成函数. 例27 将一枚硬币不间断扔10次，求出现20的概率是多少目录 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 3 1.1函数列级数及其一致收敛性 3 1.2函数项级数一致收敛性 4 2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法 6 2.1 定义判别法 6 2.2 M判别法 6 2.3 莱布尼兹判别法 6 2.4 余项判别法 7 2.5 柯西准则 8 2.6 类数项级数判别法的函数项级数判别法 10 2.6.1 比式判别法 10 2.6.2 根式判别法 12 2.6.3 对数判别法 13 2.9 导数判别法 13 2.10 连续性判别法 14 2.11 迫敛性判别法 15 2.12 M判别法的推论 15 3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 16 3.1 阿贝尔判别法 16 3.2 狄利克雷判别法 17 3.3 积分判别法 19 4. 一致收敛的应用 20 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 20 4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 20 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 22 4.4 一致收敛在求导中的应用 22 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 23 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 24 4.7 一致收敛在计算积分中的应用 24 总结 26 参考文献 27 致谢 28 数学分析中的一致收敛及其应用摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。
一致收敛性习题课
04 一致收敛的应用
CHAPTER
在实数列上的应用
实数列的一致收敛性
实数列的一致收敛性是指对于任意小的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有 |a_n(x)-a(x)|<ε。这种收敛性在实数列的极限、积分和微分等数学问题中有着广泛的应用。
一致收敛的判定方法
判断实数列是否一致收敛，可以通过比较判别法、Cauchy判别法、Weierstrass判别法等方法进行判 定。这些方法可以帮助我们判断实数列是否一致收敛，以及收敛的速度和范围。
2. 几乎处处收敛：如果 存在一个子集$E$，其测 度为1，使得在$E$上函 数序列一致收敛于极限 函数，则称函数序列几 乎处处收敛。
3. 一致收敛与局部收敛、 几乎处处收敛等收敛性 质之间的关系是密切相 关的。例如，如果函数 序列在区间上一致收敛， 则它在该区间上必然局 部收敛和几乎处处收敛。
02 一致收敛的判定方法
的收敛性。
极限判别法
1 2
极限判别法
如果存在某个实数$M$，使得对于所有$n$，有 $|f_{n}(x)| leq M$，则级数$f_{n}(x)$一致收敛。
应用场景
适用于判断级数在全实数域上的一致收敛性。
3
注意事项
需要找到一个合适的$M$，使得所有项的绝对值 都小于等于$M$，同时需要验证级数在全实数域 上的收敛性。
一致收敛性习题课
目录
CONTENTS
• 一致收敛的定义与性质 • 一致收敛的判定方法 • 一致收敛的等价条件 • 一致收敛的应用 • 一致收敛的习题解析
01 一致收敛的定义与性质
CHAPTER
一致收敛的定义
总结词
一致收敛是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数项在某个区间上趋于一致 的行为。
一致收敛级数的判别与性质
− nx) 。可知 un (x) 在 x
=
α
n
处达到最大值 ⎜⎛α
⎝e
⎟⎞α ⎠
1 nα
，即
0
≤
un
(
x)
≤
⎜⎛ ⎝
α
e
⎟⎞α ⎠
1 nα
， x ∈[0,+∞) 。
∑ 由 于
α
>1
，正项级数
∞ ⎜⎛ α
n=1 ⎝ e
⎟⎞α ⎠
1 nα
收敛，由
Weierstrass
判别法，
∞
∑ xα e−nx (α > 1) 在[0,+∞) 上一致收敛。
是单调的，且{an(x)}在 D 上一致有界： │an(x)│ ≤ M， x∈D，n∈N+ ；
∞
同时， ∑ bn (x) 在 D 上一致收敛。 n =1 ⑵ （Dirichlet 判别法）函数序列{an(x)}对每一固定的 x∈D 关于 ∞
n 是单调的，且{an(x)}在 D 上一致收敛于 0；同时，函数项级数 ∑ bn (x) n =1
m > n > N 与一切 x∈D，成立
∑ ∑ │ un+1(x) + un+2 (x) + " + um (x)│=
m
uk (x) −
k =1
n
uk (x)
k =1
<
ε 2
∞
固定 x∈D，则数项级数 ∑ un (x) 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 n=1
∞
S(x) = ∑ un (x) ， x∈D， n=1
│ un+1 (x) + un+2 (x) + " + um (x)│ ≤ │ un+1 (x) │ + │ un+2 (x) │ + " + │um (x)│ ≤ an+1 + an+2 + " + am ，
第一课数学分析复习3一致收敛
C[a
,
b],
⑵ fn'(x) 在[a,b]一致收敛于g(x),
⑶ x0 [a,b], fn( x0 )收敛
则 fn( x)在[a,b]上一致收敛于f ( x),
且对x [a,b], f '( x) g( x),
即
[ lim n
fn ( x)]'
[lim n
f
2 一致收敛
定义：
设 fn在点集I上逐点收敛于f ,
若 0, 与x无关N ( ),
s.t 当n N时,对一切x I,
都有 fn( x) f ( x) ,
称 fn在I上一致收敛于f .
2 一致收敛
定理1. 记 : n sup fn ( x) f ( x)
n1 n n1 n
0
证明：
取an
cos nx,bn
1 ,则 n
bn (x)单调减，一致趋于0.
n ak (x)
k 1
n
cos kx
k 1
1 sin x
1
sin
2
2
一致有界
cos nx 在[ ,2 ]上一致收敛.
n1 n
Abel判别法 an ( x)bn ( x) n1
由M任意性, S( x)C(,).
二、逐项积分 1.函数列：
定理3：设 fn R[a,b],且fn ( x) uni f ( x),
则f R[a,b] 且 lim ab fn( x)dx ab f ( x)dx n 极限与积分交换
推论 设 fn C[a,b],且fn uni f ( x),则
§13..2一致收敛性质
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n
1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,
函数项级数的一致收敛性及非一致收敛性判别法归纳
函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一 概念引言设函数列{}n f 与函数f 概念在同一数集D 上，假设对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 那么称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x fn →→()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是概念在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ )1(称为概念在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1, E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部份和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，那么对每一个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．概念1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，假设{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部份和函数列来确信，因此能够依照函数列一致收敛性概念取得等价概念．概念2]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是概念在同一数集D 上，假设关于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，那么称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．概念3 设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部份和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，假设0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，那么函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1 试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明 显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1． 对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xxn nk k1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+ 成立,只要当N n >时，恒有()r r n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依概念，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1． 存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使 ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依概念，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二 函数项级数一致收敛性的判定方式定理1 Cauchy 一致收敛准那么]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使适当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或 ()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21 或()ε<∑++=pn n k kx u 1专门地，当1=p 时，取得函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1 函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0．定理2]2[ 函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3 放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列,和函数)(x S ,都是概念在同一数集D 上,关于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得关于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,那么称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明 因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由概念2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要明白)(x S . 定理4 确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是 ()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n证明 充分性 设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列, )(x S 为和函数,那么有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方式把一致收敛问题转化为求数列极限的问题． 定理5 若()∑x u n 在区间D 上收敛,那么()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明 充分性 假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,那么0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此取得{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性 因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,因此N ∃>∀,0ε,使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,关于{}D x n ⊂∀,那么有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2 设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上持续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于持续函数()x f ，那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明 已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，因此[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上持续,既然()ε<x R n ,因此00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时, ()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每一个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}组成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6 M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑概念在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,假设对一切D x ∈,有 2,1,)(=≤n M x u n x)3(那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明 由假设正项级数()x u n ∑收敛,依照函数项级数的Cauchy 准那么,∀0>ε,∃某正整数N ,使适当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1依照函数项级数一致收敛的Cauchy 准那么,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:假设能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,那么()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3 函数项级数∑∑22cos ,sin n nxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin nn nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n 是收敛的. 推论2 设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得关于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,那么函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明 已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,那么()n n a k ∑∞=+1ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n pn,当1>p 时收敛,故当n a =p n 1时,有 推论2' 设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,假设存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,那么函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4 证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明 关于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim 2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得, ∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7 比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,假设N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()x u n ∑区间I 绝对一致收敛.证明 已知 ()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准那么知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4 假设有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,那么函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明 已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数). 又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3 比较极限法假设有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,假设级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明 由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4 有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,那么函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明 由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知, 函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5 假设函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,那么函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明 由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,那么级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5 设函数项级数()∑x u n 概念在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，假设对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9 逼近法[]5假设对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,那么()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明 设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,因此D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即 +∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；因此+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛概念知, ()x u n n ∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10 由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，那么[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛证明 由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使 适当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21 ()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(因此 ()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)( εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准那么知，[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛定理11 Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上持续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于持续函数，那么函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．利用步骤：⑴判定()0≥x u n 且持续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上持续．Abel 引理定理12 Abel 判别法[]1 证明推论6 设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，那么()()x u x g n∑在D 上一致收敛.证明 因为()x g 在D 上有界,因此,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u pn nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式说明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g p n nk k pn nk k .由Cauchy 准那么知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13 Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部份和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调; (ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,那么级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明 充分性 由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n , 时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,取得 ()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；因此()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++于是由一致收敛的Cauchy 准那么级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,那个地址再也不赘述.例6 假设数列{}n a 单调且收敛于0,那么级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明 由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x xn kx n k 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,因此级数∑nx cos 的部份和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnna x v nx x u ==,cos ,那么由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14 积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数, ()x u n ∑是概念在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,若是()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,假设含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,那么()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明 由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,因此()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7 设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0持续.证明 第一对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,咱们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,而且无穷级数dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,因此含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得, ()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 持续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也持续,因此()x S 在0x 持续,由0x 在()+∞,0的任意性可知, ()x S 在()+∞,0上持续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者持续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性概念及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如持续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,咱们可利用积分的便利条件判定某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15 函数列(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,那么级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明 级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.那么()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,那么()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6 设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且知足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,那么函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 对0>∀ε,因为b a ,为有限数,因此存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,咱们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时, 对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j j x x u()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj j pn j j x x u u()ε12+≤M因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使适当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17 设()x u nn ∑为概念在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每一个()x u n 在上一致可微, ()x u nn ∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn ∑.定理18 设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上持续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n ∑∞=1在点0x处收敛; ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,那么函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛, ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.依照拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2 假设函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明 由函数项级数的柯西收敛准那么有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两头取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准那么知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,持续,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19 利用内闭一致收敛判别[]7假设函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛. 证明 必要性,充分性用终归法,那个地址再也不赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能取得函数级数在区间一致收敛的.例8 证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛. 证明 ∑<<∀nx sin ,0,πεε的部份和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知, ∑nnx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n nx n ,2,02ππ,那么0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知, ∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛. 推论7 若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,, ()x u n ∑皆收敛.证明 与定理19类似,略.定理20[]7 设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且知足引理2中必要条件,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明 必要性 用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,那么由定理20知不可;假设()b a x ,0∈,那么存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性 用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,那么由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8 设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且知足引理的必要条件,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明 与定理20的类似,略.推论12[]4 设∑)(x u n 使概念在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D 上有界，假设D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，那么当1>q 时，∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，因此1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n n n n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n s n s ++≥，因此s S O N SOn sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑sSO nMN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明 不妨设关于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，那么1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，那么当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1因此1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，那么函数项级数在D 上一致收敛．证明 因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε )1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11 判定函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛性． 证明 因为11)(1≤=xx u ， 且 11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛． 定理23[]8 （根式判别法）设∑)(x u n 为概念在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，假设存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8 （根式判别法的极限形式）设)(x u n 为概念在数集D 上的函数列，假设nn x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，因此εε+<+<q x q x u n n )()(，因此n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51' 设()∑x u n 为概念在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明 由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么存在正整数N ,使适当N n >时，有()1<≤q x q n ，那么对任意的N n >，D x ∈∀有 ()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12 函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()xnx u q nn n n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n D x n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛． 推论16[]8 有函数项级数()∑x u n ，假设对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明 因()1lim <=∞→l x u n n n ，那么1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13 判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明 因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8 （对数判别法）设()x u n 为概念在D 上的正的函数列，假设()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，那么函数项级数()∑x u n 一致收敛；②假设对D x ∈∀，()1<<p x p ，那么函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明 由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ， 即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，那么当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25 设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是概念在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q D x =∈；①当+∞<=21,0q q 时，假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n 在D 上也一致收敛． ②当+∞=>21,0q q 时，假设()∑x u n 在D 上一致收敛，那么()∑x v n 在D 上也一致收敛． ③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛． 证明 由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，那么任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n，取得()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部份可知假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部份可知假设()∑x u n 在D 一致收敛，那么()∑x v n在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5概念4 设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的持续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，那么称这种级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26 假设()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，那么①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明 ①因为()x u n 是[]b a ,上的持续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于持续函数()0=x u ．因此()()x u x u k k 1+-在[]b a ,持续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，因此()1111≤-∑=+n k k ,故()∑=+-nk k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交织函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14 试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的持续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17 设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，假设()x S n 可写成L 型函数项级数的部份和，那么函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明 设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k n k k n ∑=+-=111，那么对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15 证明()∑-xnn 11在[)+∞,δ上一致收敛． 证明 因为[)+∞∈∀,δx ，()x xnn 1110≤+≤，01lim =∞→x n n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k211，由Cauchy 准那么证毕．定理27[]9 利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，那么①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1 Cauchy 准那么与M 判别法比较有效一样优先考虑；2 Cauchy 准那么、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对必然的表达式进行有效是我放大．三 非一致收敛性的判别 1 利用非一致收敛的概念概念3，略．例16 讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是不是一致收敛．解 ()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，不管n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2 利用确界原理的逆否命题定理28 假设函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明 它是确界原理的逆否命题，故成立．例17 函数项级数()∑x u n 的部份和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是不是一致收敛．证明 部份和函数()xx x S nn --=11，当1<x 时，()(),11lim x x S x S n n -==∞→又当∞→n 时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数明白时值得用3 利用定理5的逆否命题定理29 设()()x S x u n =∑，假设存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明 略．注：此定理比较有效．4 利用Cauchy 准那么逆否命题定理30 函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明 它是Cauchy 准那么的逆否命题，故成立． 例18 讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性． 解 取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>o ε= 故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛． 注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方式，即取1=p 能适用于很多例题．此方式比较有效，优先考虑．推论18 函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明 它是推论1的逆否命题，故成立． 例19 设()()()()12sin 1212cos +⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解 取()12+=n n x n ，那么()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，因此(){}x u n 在概念域内非一致收敛于0，那么()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9 假设函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim≠∞→n n n x u ，那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛． 例20 讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解 因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛． 5 利用求极值的方式定理31 ()()∑∞+==1n k kn x u x R ，假设()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21 证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明 因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，因此()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,因此[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛． 注：极限函数明白时，可考虑用．6 利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2 假设持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim证明 由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．依照持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么()x f 也必在D 上持续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32 持续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}D x n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22 讨论∑+221xn x在()+∞∞-,上一致收敛性． 解 显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上持续，取() ,2,11==n n x n ，那么0lim =∞→n n x ．再设()221x k xx u k +=，由定积分概念。
一致收敛性.ppt
数学分析之十三章函数列与函数项级数
连续 .即证: 对 0 , 0 , 当 | x x0 | 时, | f (x) f (x0 ) | . )
| f (x) f (x0) || f (x) fn(x) | | fn(x) fn(x0) | | fn(x0) f (x0) |
估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项
说明: 虽然函数序列 sn ( x) xn 在( 0, 1 )内处处 收敛于 s( x) 0 , 但 sn ( x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从下图可以看出:
y y sn ( x) x n (1,1)
n1
n2
n n410
n 30
o
1x
注意：对于任意正数r 1，这级数在[0,r] 上 一致收敛．
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
例 1 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x 解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n )
un ( x) n 1 1 x 1 x
註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛
的函数列{ f n (x) }, 有
lim lim
xx0 n
fn (x)
lim lim
n xx0
fn (x)
即极限次序可换 .
3. 可积性定理
若在区间 [ a ,b ] 上函数列{ fn (x) }一致收
敛 , 且每个 f n (x) 在[ a , b ] 上连续. 则有
13_1一致收敛性习题课
设在D上，有 fn (x) Mn.
由函数列{ fn (x)}在数集D上一致收敛,
对 1, N ,当N0 N 时,对x D,有
f (x) | fN0 (x) | | f (x) fN0 (x) | 1
f (x)
1 |
fN0 (x) |
.…….
n层复合
试证明:若对 n和x, y [ a , b ],有,
fn(x) fn( y) n | x y |
则函数列{ fn (x)}在区间[ a , b ]上一致收敛.
证:
对
0
,
取N ,使n
N 时,
有: n
ba
于是对任何自然数 p和x [ a , b ],有:
§13.1一致收敛性 习题课
例1 设 fn (x) f (x), ( n ), x D. an 0,an 0且( n ). 若对每个自然数 n ,有
fn (x) f (x) an 对x D成立,
则函数列{ fn (x)}在D上一致收敛于函数 f (x). 解 :Q an 0, 0,N N ( ),n N ,有 : an ,
fn (x) f (x) an ,
对x D成立.
故fn (x)在D上一致收敛于f (x)
例2
fn ( x)
nx 1 n2x2
,
x [
0
,1
].
讨论函数列{ fn (x)}的一致收敛性.
解:
Q
lim
n
fn ( x)
0
当x [ 0 , 1 ]时, fn (x) 0 fn (x)
习题10.2一致收敛级数的判别与性质-FudanUniversity
∑m
uk (xn ) =
xn e −(n+1) xn2
+
xn e −(n+2) xn2
+"+
xn e −2nxn2
>
nxn e −2nxn2
k =n+1
= ne−2 → +∞ (n → ∞) ，
所以 ∑∞ x e−nx2 不满足
Cauchy
收敛原理的条件，由此可知
∞
∑
x e−nx2
在
n=0
n=0
[0,+∞) 上非一致收敛；
在(1,+∞)
上连续，且有各阶连续导函数；函数
∑∞ (−1)n
nx
n=1
在 (0,+∞) 上连续，且有各阶连续导函数。
证
∑ 设
f (x) =
∞1 nx
n =1
，对任意1 < a <
A < +∞ ，当 x∈[a, A]，成立 0 <
1 nx
≤
1 na
，
∞
且∑ n=1
1 na
收敛，由
Weierstraass
(x)
=
−
∞
∑
n=0
n sin nx n2 +1
在(0,2 π
)
上连续。再由逐项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,2 π )上成立，即
f
(
x)
=
∞
∑
n=0
cos nx n2 +1
在(0,2
π
)上有连续的导函数。
∞
3. 证明：函数 f (x) = ∑ n e−nx 在 (0,+∞) 上连续，且有各阶连续导函数。
数项级数一致收敛
数项级数一致收敛摘要：1.数项级数的基本概念2.一致收敛的定义和性质3.判断一致收敛的方法4.应用举例5.总结正文：一、数项级数的基本概念数项级数是指一系列实数或复数的和，形式如：a1 + a2 + a3 + ...其中，ai（i=1，2，3...）是级数中的第i项。
判断一个级数的收敛性，通常需要分析级数项的绝对值和项与项之间的符号。
二、一致收敛的定义和性质1.一致收敛的定义：设数列{an}是一个实数或复数序列，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an|<ε，则称数列{an}一致收敛。
2.一致收敛的性质：（1）一致收敛的级数项的绝对值可以有限或无限，但不会出现无限大的情况。
（2）一致收敛级数的和是一个确定的实数或复数，且与级数项的顺序无关。
（3）一致收敛级数具有保号性，即级数的正负性与各项的正负性相同。
三、判断一致收敛的方法1.几何级数收敛性判断：当级数项的绝对值满足|ai+1| < |ai|时，几何级数一致收敛。
2.交错级数收敛性判断：对于交错级数，当负项绝对值逐项减小，正项绝对值逐项增大时，级数一致收敛。
3.泰勒级数收敛性判断：根据函数在区间内的性质，判断泰勒级数是否收敛。
四、应用举例1.举例1：判断级数收敛性级数：1/n^2 + 1/n + 1/2 + 1/4分析：该级数可以看作是交错级数，各项绝对值逐项减小，因此级数一致收敛。
2.举例2：判断函数的泰勒级数收敛性函数f(x) = e^x，在区间(-1,1)内求泰勒级数收敛性。
分析：f(x)在(-1,1)内可微，且导数f"(x) = e^x > 0，因此泰勒级数收敛。
五、总结本文介绍了数项级数的基本概念，一致收敛的定义和性质，以及判断一致收敛的方法和应用举例。
在实际问题中，掌握一致收敛的判断方法有助于分析级数的收敛性，为后续求解级数和提供依据。
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.…….
n层复合
试证明:若对 n和x, y [ a , b ],有,
fn(x) fn( y) n | x y |
则函数列{ fn (x)}在区间[ a , b ]上一致收敛.
证:
对
0
,
取N ,使n
N 时,
有: n
ba
于是对任何自然数 p和x [ a , b ],有:
§13.1一致收敛性 习题课
例1 设 fn (x) f (x), ( n ), x D. an 0,an 0且( n ). 若对每个自然数 n ,有
fn (x) f (x) an 对x D成立,
则函数列{ fn (x)}在D上一致收敛于函数 f (x). 解 :Q an 0, 0,N N ( ),n N ,有 : an ,
例 4 设 f : [a,b] (a,b).n 0
且n 0,( n ).令
f1(x) f (x), f2 (x) f f (x) f f1(x) ,…,
fn (x)
f
f n 1
(
x)
f 1
f 4
L f (x)L
4 4 2 4 4 43
M (b a)2
………………………
fn1(x)
|
x
a fn |
x
|
a
fn
|
M (x n!
a)n
1 M (b a)n n!
注意到对
c,
|
c n
|n !
M (b a)n 0 ( n ) n!
fn
0,
(
n
),
x[ a , b ]
即{ fn (a)}收敛. 与已知条件矛盾.
| fn (x) fn p (x) | fn (x) fn f p (x)
n | x fp(x) | n (b a)
由Cauchy收敛准则,
函数列{ fn (x)}在区间上[ a , b ]一致收敛.
例 5 设在数集D上函数列{ fn (x)}一致收敛于 函数 f (x).若每个 fn (x)在数集D上有界,则函数 列{ fn (x)}在数集D上一致有界.
例 6 设{ fn (x)}为定义在区间[ a , b ]上的函数 列,且对每个n,函数 fn (x)在点a 右连续,但数列 { fn (a)}发散.试证明:
对 0 ( b a) , 函数 列 { fn (x) } 在 区 间 ( a , a )内都不一致收敛.
证: 反设， 0,使{ fn (x)}在区间( a , a ) 内一致收敛.则
证:(先证函数 f (x)在数集D上有界)
设在D上，有 fn (x) Mn.
由函数列{ fn (x)}在数集D上一致收敛,
对 1, N ,当N0 N 时,对x D,有
f (x) | fN0 (x) | | f (x) fN0 (x) | 1
f (x)
1 |
fN0 (x) |
对 0 , N, n N, p N,有
| fn1( x) fn p ( x) |
2
对x ( a , a )成立.
fn1(a) fn p (a)
lim xa
fn1( x) fn p ( x)
2
{ fn (a)}为 Cauchy 列,
fn (x) f (x) an ,
对x D成立.
故fn (x)在D上一致收敛于f (x)
例2
fn ( x)
nx 1 n2x2
,
x [
0
,1
].
讨论函数列{ fn (x)}的一致收敛性.
解:
Q
lim
n
fn ( x)
0
当x [ 0 , 1 ]时, fn (x) 0 fn (x)
1 M N0
Def
G
即函数 f (x)在数集D上有界.
(次证 fn (x)在数集D上一致有界)
n N 时,对x D,有 fn(x) f (x) fn(x) f (x) 1
fn(x) G 1 取 M max{ M1 , M 2 , L , M n , G 1 }, 易见对x D和 n，有 fn (x) M . 即函数列{ fn (x)}在数集D上一致有界.
可求得
max
0 x1
fn ( x)
f
n
1 n
1 2
0,
(n )
函数列{ fn (x)}在区间[ 0 , 1 ]上非一致收敛.
例3 设函数 f1( x)在区间[ a , b ]上连续.
x
定义 fn1(x) fn (t)dt .试证明: a
函数列{ fn (x)}在[ a , b ]上一致收敛于零.
证: 由 f1( x) C[a,b] , f1( x)有界.
设在区间[ a , b ]上, f1(x) M
x
x
f2 (x) | a f1 | a | f1 | M (x a) M (b a)
f3(x)
x
aБайду номын сангаасf2
x
|
a
f2
|
M 2
(x
a)2
1 2